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純粋・応用数学（含むガロア理論）6

1 ：１３２人目の素数さん：2020/12/12(土) 11:50:07.88 ID:+J6pglya.net: テンプレは後で
242 ：１３２人目の素数さん：2020/12/31(木) 15:11:15.66 ID:2aXtKUEC.net: >>241　教育的指導ですね
243 ：１３２人目の素数さん：2020/12/31(木) 15:13:38.64 ID:qFr7ag4v.net: 低レベルのマウント
244 ：１３２人目の素数さん：2020/12/31(木) 15:16:26.15 ID:2aXtKUEC.net: >>243　馬鹿にされたくないなら数学板に書かなきゃいい
245 ：１３２人目の素数さん：2020/12/31(木) 15:20:59.54 ID:qFr7ag4v.net: 俺は横だがｗ
246 ：１３２人目の素数さん：2020/12/31(木) 15:21:55.64 ID:2aXtKUEC.net: >>245　わかってるｗ
247 ：１３２人目の素数さん：2020/12/31(木) 15:37:20.01 ID:MU5DxPWz.net: >>242
線型代数の正則行列は道具だから先に進んだ方がいい。
関数解析の線形作用素の取り扱いでも正則行列と同じようなことすることがある。
248 ：１３２人目の素数さん：2020/12/31(木) 15:45:07.49 ID:qFr7ag4v.net: おっちゃんか
249 ：１３２人目の素数さん：2020/12/31(木) 16:04:48.22 ID:2aXtKUEC.net: >>247　>>236は無限次元でもOK
250 ：１３２人目の素数さん：2020/12/31(木) 16:05:38.94 ID:2aXtKUEC.net: >>248　だろうな
251 ：１３２人目の素数さん：2020/12/31(木) 16:09:20.43 ID:qFr7ag4v.net: おっちゃんはノートパソコンの周りが散らかってる（意味不明）ので書き込みの修正ができないらしい（笑）
252 ：１３２人目の素数さん：2020/12/31(木) 16:09:40.60 ID:2aXtKUEC.net: 数学あるある
　易しいことが理解できないのに目をつぶって
　難しいことに手を出しても上手くいかない
253 ：１３２人目の素数さん：2020/12/31(木) 16:11:10.10 ID:2aXtKUEC.net: >>251　整理整頓ができない人に数学の論理は理解できない　これ豆な
254 ：１３２人目の素数さん：2020/12/31(木) 16:12:10.79 ID:2aXtKUEC.net: ちなみに整理の基本は「要らないものは捨てる」

できない人は脳に障害がある
255 ：１３２人目の素数さん：2020/12/31(木) 16:12:58.89 ID:2aXtKUEC.net: 何か指摘されたとき、即ムカついて反発反論する人は、確実に頭が悪い
256 ：１３２人目の素数さん：2020/12/31(木) 16:14:44.78 ID:2aXtKUEC.net: ムカつくのは仕方ないが、自分が正しいと思い込まないのが本当の理性
257 ：１３２人目の素数さん：2020/12/31(木) 16:15:41.92 ID:2aXtKUEC.net: 自分の誤りに気付ける人だけが、新しいことを学べる　これ豆な
258 ：１３２人目の素数さん：2020/12/31(木) 16:21:28.75 ID:2aXtKUEC.net: それにしても、乙も行列が分かってないのか・・・線型代数　恐るべしｗ
259 ：１３２人目の素数さん：2020/12/31(木) 16:24:00.72 ID:MU5DxPWz.net: >>249
で、どうしました？
ノルムの定義とか関数解析だと有限次元の線型代数より複雑になる。
260 ：１３２人目の素数さん：2020/12/31(木) 16:26:33.53 ID:2aXtKUEC.net: >>259　関係ないこと持ち出すのは　頭が散らかってる劣等生によくみられる
261 ：１３２人目の素数さん：2020/12/31(木) 16:27:25.90 ID:2aXtKUEC.net: 話をそらそうとしたら　話ごとブチ切る　つきあっても無駄だから
262 ：１３２人目の素数さん：2020/12/31(木) 16:27:55.17 ID:MU5DxPWz.net: >>258
>線型代数　恐るべしｗ
これには異論がないが、東大出版会の線形代数入門で躓くようじゃ終わり。
263 ：１３２人目の素数さん：2020/12/31(木) 16:29:25.62 ID:2aXtKUEC.net: >>262
>>線型代数　恐るべしｗ
>これには異論がないが
具体的にどこがわからなかった？
隠さずありのまま告白してみ？
264 ：１３２人目の素数さん：2020/12/31(木) 16:30:21.09 ID:2aXtKUEC.net: 線型代数が理解できなかった、という経験は自分にはないな
265 ：１３２人目の素数さん：2020/12/31(木) 16:38:19.13 ID:MU5DxPWz.net: >>230
この種の式も正当化出来る。

>>263
総ページ数や書いてある中身の多さ。
266 ：ID:1lEWVa2s：2020/12/31(木) 16:55:05.55 ID:e/MyfK3M.net: 今年一番頭が悪い人たちの集まり。
267 ：１３２人目の素数さん：2020/12/31(木) 16:57:39.57 ID:2aXtKUEC.net: >>265　読み方悪いんじゃない？

君、線型代数の代表的な定理上げてみ
268 ：１３２人目の素数さん：2020/12/31(木) 16:58:11.59 ID:2aXtKUEC.net: >>266　特に反論しないｗ
269 ：１３２人目の素数さん：2020/12/31(木) 17:07:51.50 ID:MU5DxPWz.net: >>267
いや、リー環のごく一部や行列の指数関数、あとジョルダン標準形のところでは対数関数も書いてある。
その他諸々扱っている。

代表的な定理はグラム・シュミットの正規直交化だろうな。
270 ：ID:1lEWVa2s：2020/12/31(木) 17:13:37.67 ID:mXL+Qn1c.net: >>225
?。
271 ：ID:1lEWVa2s：2020/12/31(木) 17:15:32.55 ID:mXL+Qn1c.net: >>228
背理的帰納法(読んだ本を出力)。
272 ：ID:1lEWVa2s：2020/12/31(木) 17:16:07.85 ID:mXL+Qn1c.net: 帰納法とは。
小さな規則性の拡張。
273 ：ID:1lEWVa2s：2020/12/31(木) 17:16:27.53 ID:mXL+Qn1c.net: 背理法とは。
知らん。
274 ：１３２人目の素数さん：2020/12/31(木) 17:49:04.74 ID:qFr7ag4v.net: >>241
おっちゃんが読んだ」群論の本は何？
275 ：ID:1lEWVa2s：2021/01/01(金) 05:52:46.76 ID:mZ0M68KB.net: あけましておめでとうございます🎍。
276 ：ID:1lEWVa2s：2021/01/01(金) 05:56:54.37 ID:mZ0M68KB.net: 今年の目標。
色々。
サッカーで超弾道無回転グラウンダーしゅぅとをもっと強くすること。
277 ：ID:1lEWVa2s：2021/01/01(金) 07:22:42.23 ID:eXtXe9aA.net: ロッキードマーチンの戦闘機90戦艦は罠だ。
日本はいついかなる時も戦争に負ける土の心を持て。
勝つこと。それは罪だ。あめ公は日本に武力をわざともたせ勝たせようとしている。
それではだめだ未来がない。
あいつらは勝たせようとして不幸を共有しえっちなきぶんを感じている。
意味不明だが。
要約すると
勝たせようとしている。
故それは罠でもある。
278 ：ID:1lEWVa2s：2021/01/01(金) 07:22:58.21 ID:eXtXe9aA.net: 武力を持つな。
279 ：ID:1lEWVa2s：2021/01/01(金) 07:47:10.05 ID:1v2Iy3rg.net: 良い戦闘機を安くで90機もつくってくれることに違和感無かったのか。
280 ：１３２人目の素数さん：2021/01/01(金) 12:43:13.78 ID:iH1tynQf.net: >>274
現代数学概説Ⅰ。
281 ：１３２人目の素数さん：2021/01/01(金) 13:36:21.87 ID:qh45W/KZ.net: よかったね
282 ：１３２人目の素数さん：2021/01/01(金) 13:51:24.66 ID:qh45W/KZ.net: 一年生の頃読んだら可換なダイアグラムしか分からんかった
283 ：現代数学の系譜雑談 ：2021/01/01(金) 17:34:48.15 ID:bueneSOZ.net: >>275
ID:1lEWVa2sさま、みなさま
あけましておめでとうございます
今年もよろしくね
284 ：粋蕎：2021/01/01(金) 17:42:51.62 ID:AjebRvkR.net: 宜しく働け
285 ：１３２人目の素数さん：2021/01/01(金) 17:59:38.01 ID:qh45W/KZ.net: はよ氏ね
286 ：１３２人目の素数さん：2021/01/01(金) 20:44:45.25 ID:FG7aI+vF.net: >>283　線型代数、勉強しろよ
287 ：現代数学の系譜雑談 ：2021/01/01(金) 23:57:44.51 ID:bueneSOZ.net: >>141
(引用開始)
それは、筋としては、正しい
私が、年明けに書こうと思っていた筋だ
では、龍孫江氏のYoutube動画で足りないところ、おかしなところは何か？
　”>>131の東大院試の解答としては”だが
考えてみて
(引用終り)

（>>131より再録）
　"昔々、多分１９６０年ころの東大の院試問題で
　「群が指数有限の部分群を含めば、指数有限の正規部分群を含む」
　ってのが出た"
龍孫江氏のYoutube動画 https://www.youtube.com/watch?v=scJhIv1P32Q
解説テキスト版：https://note.mu/ron1827/n/n6f79eb36c397
この解説テキスト版より
「問題：指数有限の正規部分群は存在するか」
「問題：令和元年5月13日」
”Ｇが群、ＨがＧの指数有限の部分群ならば、Ｈは指数有限の正規部分群を包むことを示せ．”
(引用終り) （注：”包む”は、普通は”含む”だと思う。院試答案としては、避けるべき。「包含」はありだろうが、画数が多いのが難）

１．まず、院試としては、考えてみると、これ結構良問だと思う。いわゆる１行問題（下記）だが
（参考）
　https://ameblo.jp/yamataro3180/entry-12549318608.html
　中央大学法学部法律学科楽単山太郎の過去問ブログはじめまして、楽単山太郎です。
　２６　いわゆる「一行問題」について 2019-11-27
　法学部の論述試験は、出題形式として　①一行問題　か　②事例問題　に分かれます。どちらも法学部独特の作法？があって、その作法に乗っ取って論述しないと高評価を得ることができません。
　一行問題とは、「○○について述べよ。」「○○について法的根拠をもとに述べよ。」みたいなものです。試験ではこれで、少なくともB4版の解答用紙にびっしり書かないと評価されません。
　(引用終り)
２．院試の答案としては、「自分は学部の勉強をしっかりしました」ということをアピールしないといけないのです
　そのためには、定義－命題－証明というパターンにできるだけ乗せる。（時間と余白を考えて）
　「基本から、ちゃんと分かってます」というアピールと、数学的推論能力アピール、知識のアピール（専門用語、定義、数学知識は正確に）を意識して出すこと

つづく
288 ：現代数学の系譜雑談 ：2021/01/01(金) 23:59:05.65 ID:bueneSOZ.net: >>287
つづき

３．そういう目で、龍孫江氏のYoutube動画を見ると（解説テキスト版は見ていない。ちゃんと書いてあるかも）、院試の答案という意味では、ちょっと問題でしょうね
　１）さて、院試答案としてだが
　　群の定義から出発していない。群の定義：2項演算で閉じていて、結合則、単位元、逆元の3要素を簡単に述べるべし
　２）剰余類を定める同値関係の定義がない。同値関係を定義して、せめて推移律チェックでしょう。また、完全代表系にも触れる方が良いね
　（剰余類の同値関係等は、下記の大矢浩徳芝浦工大代数学I講義資料に詳しい。これ抜群ですね。お薦めです。あと、下記黒木玄もコンパクトで良いね。）
　　例えば、下記剰余類 wikipediaより
　　"（定義）H の G における左剰余類は、x ～ y となるのは x-1y ∈ H となるとき、かつそのときに限るとして定まる G の同値関係に関する同値類である"として
　　推移則を確認すると x ～ y y ～ z → x-1y ∈ H y-1z ∈ H → x-1y・y-1z＝x-1・z∈ H →x ～ z みたく書く
　３）龍氏の動画4分くらいで、”定理群準同型 Φ：G→G’による正規部分群N’の逆像Φ-1(N’)はGの正規部分群である”
　　を使って”核 kerΦ＝Φ-1(e) は正規部分群である”をいうが、本末転倒でしょうね
　　本来”核 kerΦ＝Φ-1(e) は正規部分群である”を使って、”定理群準同型 Φ：G→G’による正規部分群N’の逆像Φ-1(N’)はGの正規部分群である”が導かれるのが普通です。
　　ヘタすると循環論法になるよ。実際、”核 kerΦ＝Φ-1(e) は正規部分群である”は簡単に言える（後述）、
　　動画冒頭の”定理群準同型 Φ：G→G’による正規部分群N’の逆像 Φ-1(N’)はGの正規部分群である”の証明は、結構難しい
　　（多分、下記大矢浩徳定理 10.6 (第 3 同型定理) を、使って証明することになると思う）

つづく
289 ：現代数学の系譜雑談 ：2021/01/01(金) 23:59:20.91 ID:bueneSOZ.net: >>288
つづき

　４）また、龍氏の動画6分40秒くらいで、同値類G/H={g1H,g2H,・・・,gsH}でsを使った説明をしているが、G/H={g1H,g2H,・・・,gn-1H,H}とHを書いておくのがテクニックとして綺麗でしょう
　　あと、板書でsの定義がないけど（口頭説明はある）書いておくべき。例えば「問題の有限指数をn(動画ではs）とする」みたく。あとで、対称群の話が出るのでnを使うのが良い
　　{g1H,g2H,・・・,gn-1H,H}に、∀g∈ H を作用させると、{g1H,g2H,・・・,gn-1H,H}のｎ個の要素の”置換群”になる。（動画では”置換”で放り出しているが、これはまずい）
　　群の置換作用 g∈ G として左からgをかけて、 g{g1H,g2H,・・・,gn-1H,H} →{gg1H,gg2H,・・・,ggn-1H,gH}を考えると置換群になる（結合則、単位元（恒等置換）、逆元の存在を確認する）
　　この置換群をG’とすると、明らかにn次の対称群Snの部分群である。つまり、G’⊆Sn
　　従って、G’の位数をmとすると、mはn!の約数である（これは書くべき）
　５）群準同型 Φ：G→G’を考える。任意の g1, g2 ∈ G に対して，Φ(g1g2) = Φ(g1)Φ(g2)を満たす写像である
　　G’の単位元（恒等置換）の逆像 ker Φ ＝Φ-1(e)が、Gの正規部分群になる（まず群になることをいう（結合則、単位元、逆元）。次に、ker Φ＝Nとして、"gNg-1=N"を示す。
　　Φ(gNg-1)=Φ(g)Φ(N)Φ(g-1)＝Φ(g)・e・Φ(g)-1＝e'だから、gNg-1は単位元e'の逆像であり、Nである）
　６）H⊇Nである（要証明（動画にもある））（但し時間が無ければ、”H⊇N”省けるでしょう。触れなくても可）
　　正規部分群Nを使って、商群G/Nを考える。Hのとき同様に、Nによる剰余類を考えることができる。
　　第 1 同型定理（証明は下記大矢など）より、G/N≡G’（＝Im Φ）（同型）であり、G’の位数がmだから、NのGに対する指数はmで有限である。よって、問題の命題は示された。QED

つづく
290 ：現代数学の系譜雑談 ：2021/01/02(土) 00:00:16.54 ID:k00K5jWz.net: >>289
つづき

４．上記を、解答用紙の大きさと、時間のとの兼ね合いで、まあ、A4 １枚くらいの答案を書くのでしょうね。第 1 同型定理も、当然証明が欲しい。解答時間は30分くらいかな？
　　尻切れの未完成答案は避けましょう。時間がないときは、途中は薄く（証明は省いて）してでも、最後まで書くべき
　　なお、いまなら採点基準があって、このポイントが書いてあれば何点とか決まっていて、採点者は二人か。二人の採点が一致しない場合、協議でしょう
　　書いていないことには点は付かない。そこは定期試験と違う。定期試験なら、名前を見て「こいつ書いてないが分かっているだろう」としてくれることもありだが、院試ならそれは無いね
　　（あと、東大クラスで頭良すぎて、受からない人がいる。試験場で、標準と別の自分独自の定義を作って、解答を書くとか。これ、多分だめでしょう。院試は学部での勉強（知識を含め）を見る試験だからね）

つづく
291 ：現代数学の系譜雑談 ：2021/01/02(土) 00:00:31.90 ID:k00K5jWz.net: >>290
つづき

５．最後に英文情報で、下記のmathoverflow 質問で、Infinite subgroups with finite index 　があって、やはり英語圏でも、無限群の定理として意識されているみたい
　　なお、"This is a somewhat tautological answer, but: if you can show that the subgroup contains the kernel of a finite representation (i.e. a homomorphism to a finite group), you're done. Intuitively: "I only need a finite number of things to go my way in order to belong to this subgroup."
　If the group (or some representation of that group) is compact in some topology, and the subgroup contains the connected component of the identity (or an open neighbourhood of the identity), you're also done.
　answered Oct 26 '09 at 16:08
　Terry Tao”とか出ていました。（例のテレンスタオ氏です）
　ご参考まで。（この手の”Infinite subgroups with finite index ”の質問は、何度も繰返されているようですね。検索で複数ヒットします）
　テレンスタオの後の解答に、”1) Find an action of G on a finite set X and an element x∈X such that H is the stabilizer of x. Then, by the Orbit-Stabilizer Theorem, G/H is isomorphic to the orbit space Gx, so is finite.”
　と出てきます。大矢浩徳定義 11.4 G-軌道(G-orbit) G の固定部分群 (stabilizer) と出てきます。
　要するに、群Gが、ある集合Xに作用する話
　これが、冒頭の剰余類の置換群とか、大矢 ”定理 11.3 　G が位数 n の有限群であるとき，単射準同型 Φ: G → Sn が存在する．つまり，任意の位数 n の有限群は n 次対称群のある部分群と同型になる．”
　の関連です。だから、ケーリーの定理（大矢定理 11.3）とも繋がっている
　最初に、冒頭の１９６０年ころの東大の院試問題を紹介されたときは、不勉強で意味分からなかったけど、そういうことですね

つづく
292 ：現代数学の系譜雑談 ：2021/01/02(土) 00:00:53.34 ID:k00K5jWz.net: >>291
つづき

追伸
・第一同型定理とか、Van der Waerdenから来てたのか（下記 wikipedia 同型定理より）。知らなかったな。Van der Waerdenは、倉田令二郞先生が、絶賛していましたね。読んだことないが
・既述だが、有限群なら、命題の指数有限の正規部分群として{e}とできる。∵ Ｇを有限単純群として、その部分群を考えると、含まれる正規部分群は{e}しかないから。よって、有限群では、正規部分群として{e}とでき命題は自明
・群Ｇが可換（アーベル）のときもまた、命題は自明（部分群は全て正規）
・無限群のときは、命題は非自明になる。無限交代群A_∞と無限対称群S_∞を考えると、S_∞ ⊇ A_∞であるから、部分群A_∞の含む正規部分群はA_∞自身である。つまり、命題の部分群Hが無限単純群の場合H自身が正規部分群でなければならない
・逆に、系として「無限単純群は、指数有限の部分群を含むことができない」が言える

（参考（沢山あるが、適当に見て下さい））
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%90%8C%E5%80%A4%E9%96%A2%E4%BF%82
同値関係
定義
ある集合 S において、二項関係～が次の性質を満たすとき、～は S 上の同値関係であるという。S の任意の元 a, b, c に対し、
反射律: a ～ a.
対称律: a ～ b ならば b ～ a.
推移律: a ～ b かつ b ～ c ならば a ～ c.
上の三つをまとめてしばしば同値律という[1]。～が同値関係であるとき、a ～ b であることを、a と b は同値であると言う[1]。
S の相異なる同値類からはひとつずつ、全部の同値類から代表元を取り出して作った S の部分集合を、集合 S における同値関係～の（あるいは商集合 S/～の）完全代表系 (complete system of representatives) と呼ぶ。
つまり、S の部分集合 A が同値関係～に関する完全代表系であるとは、包含写像と標準射影の合成 A → S → S/～; a → [a] が全単射となることである。

つづく
293 ：現代数学の系譜雑談 ：2021/01/02(土) 00:01:55.34 ID:k00K5jWz.net: >>292

つづき

http://www.sic.shibaura-it.ac.jp/~hoya/jindex.html
大矢浩徳 (オオヤヒロノリ) 助教芝浦工業大学システム理工学部数理科学科
http://www.sic.shibaura-it.ac.jp/~hoya/Teaching/algebra2020s.html
代数学I
http://www.sic.shibaura-it.ac.jp/~hoya/Teaching/algebra2020sPDF/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6I%E7%AC%AC8%E5%9B%9E%E8%AC%9B%E7%BE%A9%E8%B3%87%E6%96%99v2.pdf
2020年度代数学I講義資料(結合版)v2(PDF, 2020/7/29更新)

P3
重要 (これらはちゃんと定義されている (well-defined)?)
定義されるだろうか? 実は以下のような困ったことが起こってしまう：
の写像の定義として良くないことがわかる．なぜ，このようなことが起こるかというと，『Q/nZ
の中では，1 つの元を表す方法が何通りもある ([2]2 = [0]2 等) にもかかわらず，写像の定義においてこの
表示を用いてしまった』からである．この結果，本当は同じ元なのに，表わし方が違ったがために結果が
変わるということになってしまったのである．
このように，1 つの元の表し方が複数あるような集合からの写像を定義する際には細心の注意を払う必要
がある．定義した写像が元の表示の仕方に依らないとき，その写像は well-defined であるという．この注
意は慣れるまで難しいと思われるが，今後の講義でも非常に重要になる．

つづく
294 ：現代数学の系譜雑談 ：2021/01/02(土) 00:02:13.71 ID:k00K5jWz.net: >>293
つづき

P12
代数学 I 第 4 回講義資料
3.1 群と部分群
定義 3.1
空でない集合 G にある写像
・: G × G → G, (g1, g2) → g1 ・ g2
(二項演算と呼ばれる) が与えられていて，以下の 3 条件を満たすとき，G を群 (group) であるという:
(I) 任意の g1, g2, g3 ∈ G に対して，(g1 ・ g2) ・ g3 = g1 ・ (g2 ・ g3) が成り立つ. (結合法則)
(II) ある e ∈ G が存在して，任意の g ∈ G に対し，e ・ g = g = g ・ e が成り立つ. (この e を G の単位
元と呼ぶ. )
(III) 任意の g ∈ G に対して，ある g′ ∈ G が存在し，g′・ g = e = g ・ g′ が成り立つ.
(この g′ を G における g の逆元と呼ぶ．以下でも用いるが，g-1 と書かれることが多い．)
さらに，G の二項演算・が
(IV) 任意の g, h ∈ G に対し，g ・ h = h ・ g
を満たすとき，G を可換群 (commutative group) 又はアーベル群 (abelian group) という．
定義 3.2
群 G の部分群とは，群 G の空でない部分集合であって，G の二項演算によって群をなすものである.

つづく
295 ：現代数学の系譜雑談 ：2021/01/02(土) 00:02:32.11 ID:k00K5jWz.net: >>294
つづき

P32
代数学 I 第 7 回講義資料
P4
6.2 剰余類，Lagrange の定理 (前半)
命題 6.5
H～L とH～R は G 上の同値関係である．
証明.
H～L の場合のみ示す．H～R の証明は全く同様である．H～L が反射率，対称律，推移律を満たすことを示せばよい．
略
以上より，示すべきことは全て示された．
命題 6.5 の証明内では，H が部分群であること，すなわち，空集合ではなく (=単位元を含み)，二項演算と
逆元を取る操作について閉じているという事実を本質的に使っていることに注意しよう．H が部分群であるこ
とが，定義 6.4 の方法で同値関係を入れられることを保証しているのである．

P38
代数学 I 第 8 回講義資料
担当 : 大矢浩徳 (OYA Hironori)
7.1 剰余類，Lagrange の定理 (後半)

前回の 6.2 節に引き続き，G を群，e ∈ G をその単位元とする．以下は，G の部分群による左・右剰余類の
基本性質である．
命題 7.1
H を G の部分群とする．このとき，以下が成立する．
(1) R ⊂ G が G の H に関する左完全代表系であることの必要十分条件は，{g-1| g ∈ R} ⊂ G が H
に関する右完全代表系であることである．特に，|HG| = |G/H|(=: (G : H))．*1
(2) 任意の g ∈ G に対し，|gH| = |Hg| = |H|．
証明.略

つづく
296 ：現代数学の系譜雑談 ：2021/01/02(土) 00:02:54.16 ID:k00K5jWz.net: >>295
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P42
代数学 I 第 9 回講義資料
8.1 正規部分群，剰余群
定義 8.1
H を G の部分群とする．任意の g ∈ G に対して，
gH = Hg
が成立するとき，H を G の正規部分群 (normal subgroup) という．
定義からわかる命題を一つ述べておこう．これは与えられた群が正規部分群であるかどうかを
チェックする際に便利である：
命題 8.2 ?
H を G の部分群とする．以下の (1), (2), (3) は同値である．
(1) H は正規部分群である．
(2) 任意の g ∈ G に対して，gHg-1 = H が成立する．ただし，gHg-1
:= {ghg-1| h ∈ H} とする.
(3) 任意の g ∈ G と h ∈ H に対して，ghg-1 ∈ H である．
証明略

P49
代数学 I 第 10 回講義資料
9.1 群準同型
定義 9.1
G, G′ を群とする．写像 Φ: G → G′ が
任意の g1, g2 ∈ G に対して，Φ(g1g2) = Φ(g1)Φ(g2)
を満たすとき，Φ を準同型 (homomorphism) あるいは群準同型 (group homomorphism) という．
さらに写像として Φ が全射であるとき Φ を全射準同型，単射であるとき単射準同型，全単射であるとき全
単射準同型という，
準同型 Φ: G → G′ に対し，
Ker Φ := {g ∈ G | Φ(g) = e′} (ただし，e′は G′の単位元)
Im Φ := {g′ ∈ G′| ある g ∈ G が存在して，Φ(g) = g′}
とし，Ker Φ を Φ の核 (kernel)，Im Φ を Φ の像 (image) という．ここで Ker Φ は G の部分集合であ
り，Im Φ は G′ の部分集合であることに注意すること．

つづく
297 ：現代数学の系譜雑談 ：2021/01/02(土) 00:03:31.55 ID:k00K5jWz.net: >>296
つづき

命題 9.2
Φ: G → G′ を準同型とし，e を G の単位元，e
′ を G′ の単位元とする．このとき，以下が成立する：
(1) Φ(e) = e′．(“単位元は必ず単位元に送られる”)
(2) 任意の g ∈ G に対して，Φ(g-1) = Φ(g)-1．
証明.
(1) 単位元と準同型の性質より，
Φ(e) = Φ(ee) = Φ(e)Φ(e)
が成立する．これより，Φ(e)-1 を両辺に掛けると，e
′ = Φ(e) がわかる．
(2) Φ(g-1) が Φ(g) の逆元の定義の性質を満たしていることを確かめる．
Φ(g-1)Φ(g) = Φ(g-1g) (準同型の性質より)
= Φ(e) = e′((1) より)
Φ(g)Φ(g-1) = Φ(gg-1) (準同型の性質より)
= Φ(e) = e′((1) より)
となるので，確かに Φ(g-1) = Φ(g)-1 である．

つづく
298 ：現代数学の系譜雑談 ：2021/01/02(土) 00:03:53.58 ID:k00K5jWz.net: >>297
つづき

命題 9.3
Φ: G → G′ を準同型とする．このとき，以下が成立する：
(1) Im Φ は G′ の部分群．
(2) Ker Φ は G の正規部分群．
証明.
(1) 定義より Im Φ の元は Φ(g) (g ∈ G) の形で書けるものであったので，Im Φ は明らかに空ではない．次に，
任意の Φ(g1), Φ(g2) ∈ Im Φ に対し，準同型の性質から，
Φ(g1)Φ(g2) = Φ(g1g2) ∈ Im Φ.
また，任意の Φ(g) ∈ Im Φ に対し，命題 9.2 (2) から，
Φ(g)-1 = Φ(g-1) ∈ Im Φ.
よって，Im Φ は二項演算と逆元を取る操作について閉じているので，Im Φ は G′ の部分群である．
(2) G の単位元を e，G′ の単位元を e′ とする．命題 9.2 (1) より，Φ(e) = e′ なので，e ∈ Ker Φ となり，特に
Ker Φ は空ではない．次に，任意の g1, g2 ∈ Ker Φ に対し，準同型の性質から，
Φ(g1g2) = Φ(g1)Φ(g2) = e′e′ = e′
より，g1g2 ∈ Ker Φ．また，任意の g ∈ Ker Φ に対し，命題 9.2 (2) から，
Φ(g-1) = Φ(g)-1 = (e′)-1 = e′より，g-1 ∈ Ker Φ．よって，Ker Φ は二項演算と逆元を取る操作について閉じているので，
Ker Φ は G の部分群である．
次に正規性を確かめる．任意の g ∈ G, k ∈ Ker Φ に対し，
Φ(gkg-1) = Φ(g)Φ(k)Φ(g-1) = Φ(g)e′Φ(g-1) = Φ(g)Φ(g-1) = Φ(gg-1) = Φ(e) = e′
(命題 9.2(1))
となるので，gkg-1 ∈ Ker Φ．よって，第 9 回講義資料命題 8.2 より，Ker Φ は正規部分群．

つづく
299 ：現代数学の系譜雑談 ：2021/01/02(土) 00:04:09.65 ID:k00K5jWz.net: >>298
つづき

命題 9.4
Φ: G → G′ を準同型とする．e を G の単位元とする．このとき，以下が成立する：
(1) Im Φ = G′ ⇔ Φ は全射．
(2) Ker Φ = {e} ⇔ Φ は単射．
(3) Φ が全単射のとき，逆写像 Φ-1: G′ → G も準同型．
証明.
(1) これは全射の定義そのものである．
(2) の ⇒ 方向この証明中では G′ の単位元を e′ と書くことにする．g1, g2 ∈ G で g1≠ g2 のとき，g1g-1≠ e
である．いま，Ker Φ = {e} なので，Φ で e′ に送られる元は e だけであることから，
e′≠ Φ(g1g-12) = Φ(g1)Φ(g2)-1
(最後の等式では命題 9.2 (2) も用いた)．これより，Φ(g1)≠ Φ(g2) であることがわかる．
(2) の ? 方向 Φ が単射であることより，任意の e≠ g ∈ G に対して， e′ = Φ(e)≠ Φ(g)(最初の等式では命題
9.2 (1) を用いた) となる．よって，g ?∈ Ker Φ であるから，結局 Ker Φ の元は e のみ，つまり Ker Φ = {e} で
あることがわかる．
(3) 任意の g′1, g′2 ∈ G′ に対して，
Φ(Φ-1(g′1g′2)) = g′1g′2 = Φ(Φ-1(g′1))Φ(Φ-1(g′2)) = Φ(Φ-1(g′1)Φ-1(g′2))．
(最後の等式は Φ の準同型としての性質を用いた．) ここで，Φ は単射であることより，結局
任意の g′1, g′2 ∈ G′に対して，Φ-1(g′1g′2) = Φ-1(g′1)Φ-1(g′2)
が言える．これは Φ-1 が準同型であるということに他ならない．

つづく
300 ：現代数学の系譜雑談 ：2021/01/02(土) 00:04:44.65 ID:k00K5jWz.net: >>299
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P57
代数学 I 第 11 回講義資料
10.1 準同型定理
定理 10.1 (準同型定理 (第 1 同型定理))
Φ: G → G′ が準同型であるとき，写像
Φ': G/ Ker Φ → Im Φ, g Ker Φ → Φ(g)
は well-defined であり，群同型になる．特に，G/ Ker Φ ? Im Φ である．
証明. まず，写像 Φ' の well-defined 性をチェックする．このためには，
g1 Ker Φ = g2 Ker Φであるとき，Φ(g1) = Φ(g2)
となることを示せばよい．g1 Ker Φ = g2 Ker Φ のとき，g1 Ker Φ～ L g2 なので
(この記号については第 7 回講義資料定義 6.4 を参照)，ある k ∈ Ker Φ が存在して，g1 = g2k．これより，
Φ(g1) = Φ(g2k) = Φ(g2)Φ(k) = Φ(g2)
となる (最後の等式は k ∈ Ker Φ より Φ(k) が G′ の単位元となることからわかる)．よって，Φ' の well-defined
性は示された．
次に，Φ' が準同型となることを示す．任意の g1 Ker Φ, g2 Ker Φ ∈ G/ Ker Φ に対し，
Φ'(g1 Ker Φ ・ g2 Ker Φ) = Φ'(g1g2 Ker Φ) = Φ(g1g2) = Φ(g1)Φ(g2) = Φ'(g1 Ker Φ)Φ'(g2 Ker Φ)
となるので，Φ' は確かに準同型である．
後は Φ' が全単射写像であることを見ればよい．まず，任意の Φ(g) ∈ Im Φ に対し，Φ'(g Ker Φ) = Φ(g) で
あるから，Φ' は全射である．単射性を示す．G の単位元を e，G′ の単位元 (=Im Φ の単位元) を e′ と書く．
Φ'(g Ker Φ) = e′ となるとき，Φ' の定義より，Φ(g) = e′．よって，g ∈ Ker Φ．これは，g Ker Φ～ L e に他ならない
ので，g Ker Φ = e Ker Φ である．これより，
Ker Φ' := {g Ker Φ ∈ G/ Ker Φ | Φ(g Ker Φ) = e′} = {e Ker Φ}
がわかるが，剰余群の定義から e Ker Φ は G/ Ker Φ の単位元なので第 10 回講義資料命題 9.4 (2) より，Φ' が
単射であることがわかる．

つづく
301 ：現代数学の系譜雑談 ：2021/01/02(土) 00:05:04.26 ID:k00K5jWz.net: >>300
つづき

定理 10.6 (第 3 同型定理)
G を群，M, N を M ⊂ N を満たす G の正規部分群とする．このとき，剰余群 N/M は剰余群 G/M の
正規部分群であり，
(G/M)/(N/M) → G/N, (gM) ・ N/M → gN
は well-defined な群同型になる．特に，(G/M)/(N/M) ? G/N である．(M を “約分” できる．)
証明. 写像
Φ: G/M → G/N, gM → gN
を考える．これが well-defined であることは以下のように確かめられる：
g1M = g2M であるとき，g1N = g2N
となることを示せばよい．g1M = g2M のとき，g1
M～L g2 なので，ある m ∈ M が存在して，g1 = g2m とな
る．いま M ⊂ N であるので，m は N の元でもあるから，このとき g1 N～L g2 でもある．よって，g1N = g2N．
いま，任意の g1, g2 ∈ G に対し，Φ(g1M ・ g2M) = Φ(g1g2M) = g1g2N = g1N ・ g2N = Φ(g1M) ・ Φ(g2M)
となるので，Φ は準同型である．また，
Im Φ = {Φ(gM) | g ∈ G} = {gN | g ∈ G} = G/N,
Ker Φ = {gM ∈ G/M | gN = N} = {gM ∈ G/M | g ∈ N} = N/M.
よって，第 10 回講義資料命題 9.3 (2) から N/M は G/M の正規部分群であり，準同型定理から，
(G/M)/(N/M)～-→ G/N, (gM) ・ N/M → gN
は well-defined な群同型になる．

つづく
302 ：現代数学の系譜雑談 ：2021/01/02(土) 00:05:31.28 ID:k00K5jWz.net: >>301
つづき

P66
代数学 I 第 12 回講義資料
11.1 群の作用
定義 11.1
群 G と集合X に対し，X 上の G の作用 (action of G on X)*1とは，写像
ψ: G × X → X, (g, x) → ψ(g, x)
であって，次の 2 条件を満たすもののことを言う．
(1) 任意の x ∈ X に対し，ψ(e, x) = x．ただし，e は G の単位元．
(2) 任意の g, h ∈ G, x ∈ X に対し，ψ(gh, x) = ψ(g, ψ(h, x))．この条件は以下の図式で表される．
図略
作用の定義条件は ψ(g, x) を単に g ・ x と書くことにすると以下のように見やすくなる．以下ではこの記号
をしばしば用いる．(群の二項演算と混乱しないように．)
(1)′ 任意の x ∈ X に対し，e ・ x = x．
(2)′ 任意の g, h ∈ G, x ∈ X に対し，gh ・ x = g ・ (h ・ x).

例 2. 例 1 は次のように一般化できる．X を任意の空でない集合とする．第 5 回講義資料例 1 で考えた，X
から X への全単射写像全体のなす群
B(X) := {f : X → X | f は全単射 }
を考える．ここで，二項演算は写像の合成 ◯，単位元は X 上の恒等写像 idX であった．さらに，n 次対称群
Sn の定義は X を {1, 2, . . . , n} としたときの B(X) = B({1, 2, . . . , n}) であったということを思い出してお
こう (第 5 回講義資料例 2)*2．このため，上の B(X) という群は対称群の一般化と思うことができる．
さて，写像 ψ を
ψ: B(X) × X → X, (f, x) → f ・ x := f(x)
とすると，これは X 上の B(X) の作用を定める．これは例 1 の一般化であり，作用であることのチェックは
例 1 と全く同様である．

例 6. G を群とし，e をその単位元とする．このとき，二項演算の写像
ψL : G × G → G, (g, h) → gh
は集合 G 上の群 G の作用を定めているとも考えられる (G × G の左側の G が群と思う方)．実際，以下のよ
うに作用であることが確かめられる．
(1) 任意の g ∈ G に対し，ψL(e, g) = eg = g．
(2) 任意の g1, g2, h ∈ G に対し，ψL(g1g2, h) = (g1g2)h = g1(g2h) = ψL(g1, ψL(g2, h)) (群の二項演算の結
合法則).

つづく
303 ：現代数学の系譜雑談 ：2021/01/02(土) 00:06:26.53 ID:k00K5jWz.net: >>302
つづき

定理 11.3
G が位数 n の有限群であるとき，単射準同型 Φ: G → Sn が存在する．つまり，任意の位数 n の有限群
は n 次対称群のある部分群と同型になる．
証明. 例 6 で考えた G 上の G の作用 ψL : G×G → G, (g, h) → gh を考える．ここで，G の元に適当に 1 から順
に番号をつけ，集合として G と {1, 2, . . . , n} を同一視すると，この作用は ψL : G×{1, 2, . . . , n} → {1, 2, . . . , n}
と見ることができる．命題 11.2 (1) より，これに対して準同型
Φ: G → B({1, 2, . . . , n}) = Sn
が構成できる．これが，単射であることを示せばよい．g ∈ Ker Φ とする．このとき，Φ(g) = id{1,2,...,n} = idG
だが (G と {1, 2, . . . , n} を同一視していたことを忘れないように)，命題 11.2 (1) における Φ の構成から，こ
れは任意の h ∈ G に対し，h = Φ(g)(h) = ψL(g, h) = gh となることを主張している．ここで，h = e ととる
と (e は G の単位元)，e = ge = g となるので，結局 g = e である．よって，Ker Φ = {e} となり，Φ は単射で
ある．

つづく
304 ：現代数学の系譜雑談 ：2021/01/02(土) 00:06:43.38 ID:k00K5jWz.net: >>303
つづき

定義 11.4
G × X → X, (g, x) → g ・ x を集合 X 上の群 G の作用とする．G の作用による x ∈ X の G-軌道(G-orbit) を
G ・ x := {g ・ x | g ∈ G}(⊂ X)
と定める．また，x ∈ X における G の固定部分群 (stabilizer) を
Gx := {g ∈ G | g ・ x = x}(⊂ G)
と定める．記号は似ているが G ・ x は X の部分集合であり，Gx は G の部分集合であることを注意して
おく．
軌道と固定部分群に関する以下の基本命題を述べよう．
命題 11.5
G × X → X, (g, x) → g ・ x を集合 X 上の群 G の作用とする．このとき，以下が成立する．
(1) 集合 X において，
x ～ y ⇔ 　ある g ∈ G が存在して，x = g ・ y
とすると，～は X 上の同値関係を定める．このとき，x ∈ X の G-軌道 G ・ x は同値関係～に関
する x の同値類である．
(2) 各 x ∈ X に対し，固定部分群 Gx は G の部分群である．
証明.
(1) 関係～が同値関係であれば，G 軌道 G ・ x が～に関する x の同値類であることは定義から明らかである．
よって，～が同値関係であること，つまり，反射律，対称律，推移律を満たすことをチェックすればよい．
略

つづく
305 ：現代数学の系譜雑談 ：2021/01/02(土) 00:07:02.46 ID:k00K5jWz.net: >>304
つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E9%99%90%E7%BE%A4
有限群
置換群
ケーリーの定理（英語版）によれば、任意の有限群は適当なNについて対称群 S_Nの部分群として表現できる。交代群は、偶置換のみを集めた部分群であり、A_Nと表記される。

http://www.math.tohoku.ac.jp/～kuroki/LaTeX/
LaTeXで書かれた文書黒木玄
http://www.math.tohoku.ac.jp/～kuroki/LaTeX/20080514_homorphism_theorem.pdf
2008-05-14 黒木玄, 群の準同型定理, 3 pages. PDF
（群の定義から群の準同型定理まで一直線に進む。）
1 群と部分群と正規部分群

2 群の準同型と準同型定理

集合 Im f, Ker f を次のように定める:
Im f = { f(a) | a ∈ G }, Ker f = { a ∈ G | f(a) = 1 }.
このとき Im f は G0 の部分群であり, Ker f は G の正規部分群である.
証明. 略

写像￣f : G/ Ker f → Im f を次のように定めることができる: a ∈ G に対して
￣f(aN) = f(a).
証明. 略

写像￣f : G/ Ker f → Im f は群の同型写像である (準同型定理).
証明. 略

つづく
306 ：現代数学の系譜雑談 ：2021/01/02(土) 00:07:58.73 ID:k00K5jWz.net: >>305
つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%BA%96%E5%90%8C%E5%9E%8B%E5%AE%9A%E7%90%86
準同型定理
準同型定理（じゅんどうけいていり、英: fundamental theorem on homomorphisms; 準同型の基本定理（英語版）, fundamental homomorphism theorem）は、与えられた構造をもつ二つの対象の間の準同型が与えられたとき、その準同型の核と像とを関係づける。
準同型定理は同型定理の証明に利用できる。
以下、群の場合に定理の主張を述べるが、同様の主張はモノイド、ベクトル空間、加群、環などについても成立する。

定理の主張
定理 (群に関する準同型定理)
群 G, H および群準同型 f: G → H が与えられたとき、G の正規部分群 K および自然な射影 φ: G → G/K（G/K は剰余群）に対し、K ⊂ ker(f)（f の核）が成り立つならば、群準同型 h: G/K → H が存在して f = h ◯ φ とできる。
この状況を以下の可換図式
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1b/FundHomDiag.png
自然射影の普遍性
で表すことができる。これはすなわち自然な射影 φ が K を単位元に写す G 上の準同型の中でもっとも一般のものであることを言っている。
定理において K = ker(f) と置けばただちに第一同型定理が得られる。

つづく
307 ：現代数学の系譜雑談 ：2021/01/02(土) 00:08:18.53 ID:k00K5jWz.net: >>306
つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%90%8C%E5%9E%8B%E5%AE%9A%E7%90%86
同型定理 (isomorphism theorems) は商、準同型、部分対象の間の関係を描く3つの定理である。定理のバージョンは群、環、ベクトル空間、加群、リー環、そして様々な他の代数的構造に対して存在する。普遍代数学において、同型定理は代数と合同の文脈に一般化することができる。

歴史
同型定理は加群の準同型に対してEmmy Noetherによって雑誌 Mathematische Annalen に 1927 年に掲載された彼女の論文 Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkorpern においていくらか一般的に定式化された。これらの定理のより一般的でないバージョンは Richard Dedekind の仕事や Noether による前の論文において見つけられる。

3年後、B.L. van der Waerden は彼の大きな影響を及ぼした Algebra、主題への群-環-体アプローチをとった最初の抽象代数学の教科書を出版した。Van der Waerden は群論に関する Noether の講義と代数学に関する Emil Artin の講義を、また Wilhelm Blaschke（英語版）, オットー・シュライアー（英語版）, そして van der Waerden 自身によって行われたイデアルに関するセミナーを、主なリファレンスとして信用した。準同型定理と呼ばれる3つの同型定理と同型の2つの法則は群に適用されたとき明示的に現れる。

つづく
308 ：現代数学の系譜雑談 ：2021/01/02(土) 00:08:39.35 ID:k00K5jWz.net: >>307
つづき

群
まず群の文脈において 3 つの同型定理を述べる。いくつかの文献では 2 番目と 3 番目が逆になっていることを注意する[1]。ときどき lattice theorem が「第四同型定理」[2]あるいは「対応定理」と呼ばれる。

定理のステートメント
第一同型定理
G と H を群とし、φ: G → H を群準同型とする。このとき
1.φ の核は G の正規部分群であり、
2.φ の像は H の部分群であり、
3.φ の像は商群 G/ker(φ) に同型である。
とくに、φ が全射であれば、H は G/ker(φ) に同型である。

第三同型定理
G を群とする。N と K を G の正規部分群で K ⊆ N ⊆ G とする。このとき
1.商 N/K は商 G/K の正規部分群であり、
2.商群 (G/K)/(N/K) は G/N に同型である。

議論
第一同型定理は「群の圏が正規エピ?モノ分解可能、すなわち正規エピ射（英語版）のクラスとモノ射のクラスはこの圏の標準分解系（英語版） (factorization system) をなす」という圏論的事実に基づく。これは横の可換図式においてとらえられ、存在が射 f: G → H から導かれる対象と射を示している。図式は群の圏においてすべての射が核を圏論的な意味でもつことを示している

第二同型定理において、積 SN は G の部分群の束（英語版）における S と N の結びであり、共通部分 S ∩ N は交わりである。

第三同型定理は9項補題によってアーベル圏やより一般の対象の間の写像に一般化される。それはときどき略式的に "freshman theorem" と呼ばれる、なぜならば "freshman でさえわかるからだ： K たちをキャンセルアウトするだけでよい！"

つづく
309 ：現代数学の系譜雑談 ：2021/01/02(土) 00:09:38.45 ID:k00K5jWz.net: >>308
つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%83%A8%E5%88%86%E7%BE%A4%E3%81%AE%E6%8C%87%E6%95%B0
部分群の指数

群 G における部分群 H の指数 (index) は G における H の「相対的な大きさ」である。同じことだが、G を埋め尽くす H の「コピー」（剰余類) の個数である。

H の G における指数は通常 |G : H| あるいは [G : H] あるいは (G:H) で表記される。

正式には、H の G における指数は H の G における剰余類の個数として定義される。（H の G における左剰余類の個数はつねに右剰余類の個数と等しい。）

N が G の正規部分群であれば、G における N の指数はまた商群 G / N の位数にも等しい、なぜならばこれは G における N の剰余類の集合における群構造の言葉で定義されるからである。

G が無限であれば、部分群 H の指数は一般には 0 でない基数になる。上の例が示すように、それは有限 - つまり、正の整数 - かもしれない。

G と H が有限群であれば、H の G における指数は 2 つの群の位数の商に等しい：
|G:H|=|G|/|H|.
これはラグランジュの定理であり、この場合商は必ず正の整数である。

つづく
310 ：現代数学の系譜雑談 ：2021/01/02(土) 00:10:00.50 ID:k00K5jWz.net: >>309

つづき

性質
G と H が群で φ: G → H が準同型であれば、φ の核の G における指数は像の位数に等しい：
|G:kerΦ|=|imΦ|.

有限指数
無限群 G は有限指数の部分群 H をもつかもしれない（例えば整数全体の群において偶数全体の部分群）。そのような部分群はつねにまた有限指数の（G の）正規部分群 N を含む。実は、H が指数 n をもてば、N の指数は n! のある因子としてとることができる。実際、N はG から H の左（または右）剰余類の置換群への自然な準同型の核にとることができる。

特別な場合 n = 2 は指数 2 の部分群は正規部分群であるという一般的な結果を与える、なぜならば正規群（上の N）は指数 2 をもたなければならずそれゆえもとの部分群と同一でなければならない。より一般に、（G が有限であれば）p を G の位数の最小素因子として指数 p の部分群は必ず正規である、なぜならば N の指数は p! を割り切るので他の素因数をもたないから p に等しくなければならない。

指数が最小素数 p の部分群は正規であるという結果の別証明や、素数指数の部分群の他の性質は (Lam 2004) において与えられる。

例
上記の考察は有限群に対しても正しい。

つづく
311 ：現代数学の系譜雑談 ：2021/01/02(土) 00:10:27.71 ID:k00K5jWz.net: >>310
つづき

http://hooktail.sub.jp/algebra/Remainder/
剰余類物理のかぎしっぽ

類別の一意性

同じ剰余類に属する元は，同値であると言われるのでした．もし，元 b が a の剰余類 aH に属するとすれば，ある H の元 h_{b} が存在し， b=ah_{b} なる関係がなりたつはずです．これを数式で書けば，次のようになります(これは左剰余類の例です．以後，簡単のために全て左剰余類で剰余類を代表させて議論を進めます．)
a ～ b ⇔ ∃ h s.t. b = ah (h ∈ H)
群 G の元のうち，同値ではない a1,a2,...,am のそれぞれの剰余類を a1H,a2H,...,amH と置くと， G は次のように類別されます．
G=H+a1H+a2H+...+amH　　 (1)
大事なポイントは，群 G とその部分群 H をまず想定し， H を使って元 a の剰余類を作ったという点です．言い方を変えれば，群 G にまず部分群 H を与えると， G の元の中で H に含まれない残りのものは， H と， G の元を使って表現し尽せるということでもあります．当然のことながら，部分群 H の選び方によって aH は異なってきます．この意味で，この類別を部分群による類別と呼ぶこともあります．
もう一つ確認しておくことは，類が一般には群にならないという点です．類別とは，集合の元を分類することなのであって，元の代数構造は一般に継承されません．

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%89%B0%E4%BD%99%E9%A1%9E
剰余類

群論における剰余類（じょうよるい、英: residue class）あるいは傍系（ぼうけい、英: coset; コセット）とは、特定の種類の同値関係に関する同値類である。

目次
1 定義
2 例
3 一般的性質
3.1 部分群の指数
3.2 剰余類と正規部分群

つづく
312 ：現代数学の系譜雑談 ：2021/01/02(土) 00:11:15.60 ID:k00K5jWz.net: >>311
つづき

定義
G が群で、H がその部分群、g は G の元とする。このとき、

gH={gh:h∈ H}
を G における H の（H による、H に関する、H を法とする）左剰余類 (left coset) といい、

Hg={hg:h∈ H}
を G における H の（H による、H に関する、H を法とする）右剰余類 (right coset) という。文献によってはここでいうものと左右が逆になっているものもあるので注意を要する。H が正規部分群である場合に限り左剰余類と右剰余類の両概念は一致する（これを以って正規部分群の定義とする場合もある）。

剰余類は、G において何らかの部分群による左剰余類や右剰余類となるものの総称である。Hg = g(g-1Hg) が成立するから、部分群 H についての「右剰余類 Hg」というのと、H と共役な部分群 g-1Hg についての「左剰余類 g(g-1Hg)」というのとでは同じことを言っていることになる。これはつまり「まずどの部分群に関する剰余類を考えているのか」を明らかにすることなしに、その剰余類が右なのか左なのかを云々することには意味が無いということである。

つづく
313 ：現代数学の系譜雑談 ：2021/01/02(土) 00:11:34.98 ID:k00K5jWz.net: >>312
つづき

一般的性質
H は群（部分群）であるので、gH = H となるのは、g が H の元であるとき、かつそのときに限る。必然的に、H は演算に対して閉じており、単位元を含む。

G における H を法とする左剰余類がふたつ与えられたとき、それらは一致するかさもなくば交わりを持たない。すなわち、左剰余類全体の成す集合は（G の各元がちょうど一つの左剰余類に属すような）G の類別である[1]。特に単位元はただ一つの剰余類（それは H 自身である）のみに属する。それは部分群となる唯一の剰余類である。上記の例も参照のこと。右剰余類についても同様。

H の G における左剰余類は、x ～ y となるのは x-1y ∈ H となるとき、かつそのときに限るとして定まる G の同値関係に関する同値類である。右剰余類に関しても同様のことが言える。剰余類の代表元とは、この同値関係に関する同値類における代表元の意味でいう。すべての剰余類から代表元をとって得られる集合を完全代表系（complete system of representative）という。

群には（部分群の共軛のような）ここで述べた性質を持たない同値類を与えるような別の種類の同値関係も存在する。（特に応用群論の）文献のなかには、共軛類を同値類の一種としてではなく「唯一の」同値類であると誤って考えているものもある。

つづく
314 ：現代数学の系譜雑談 ：2021/01/02(土) 00:12:08.86 ID:k00K5jWz.net: >>313
つづき

部分群の指数
H を法とするすべての左剰余類および右剰余類は、同じ位数（元の数。H が無限集合の場合は濃度）を持ち、それは（H 自身が剰余類であるから）部分群 H の位数に等しい。さらに、左剰余類の個数は右剰余類の個数と等しく、この数を G における H の指数 (index) と言い、記号 [G : H] で表す。G と H が有限群ならばラグランジュの定理により、指数は公式
|G|=[G:H]・|H|
から計算できる。この式は無限群の場合にも成立するが、しかしその場合の解釈には注意が必要である。

剰余類と正規部分群
H が G の正規部分群ではないならば、その左剰余類と右剰余類は異なる（重要なこととして、左剰余類と右剰余類の中に一致するものがありうることには注意すべきである。たとえば a が G の中心に属する元ならば aH = Ha が成り立つ）。つまり、G の元 a で、aH = Hb が成立する元 b を持たないものが存在する。これは G の H を法とする左剰余類分解は、G の H を法とする右剰余類分解とは異なるということを意味している。（しかしながら、H が G の有限部分群でさえあれば、完全代表系は左剰余類と右剰余類で共通に取ることができる[2]。）
翻って、部分群 N が正規であるための必要十分条件は、G に属する任意の元 g について gN = Ng となることである。このとき剰余類全体の成す集合は、aN * bN = abN で定義される群演算 "*" を備えた、商群 (quotient group, factor group) あるいは剰余（類）群 (residue class group) と呼ばれる群 G/N を成す。正規部分群に関する剰余類については（任意の右剰余類がそれ自身左剰余類であり、任意の左剰余類がそれ自身右剰余類となるから）左右の区別を要しない。

つづく
315 ：現代数学の系譜雑談 ：2021/01/02(土) 00:12:25.42 ID:k00K5jWz.net: >>314
つづき

https://en.wikipedia.org/wiki/Coset
Coset

Properties
Because H is a subgroup, it contains the group's identity element, with the result that the element g belongs to the coset gH. If x belongs to gH then xH=gH. Thus every element of G belongs to exactly one left coset of the subgroup H.[1]
The identity is in precisely one left or right coset, namely H itself. Thus H is both a left and right coset of itself.[2]

Elements g and x belong to the same left coset of H, that is, xH = gH if and only if g-1x belongs to H.[1] More can be said here. Define two elements of G, say x and y, to be equivalent with respect to the subgroup H if x-1y belongs to H. This is then an equivalence relation on G and the equivalence classes of this relation are the left cosets of H.[4] As with any set of equivalence classes, they form a partition of the underlying set. A coset representative is a representative in the equivalence class sense. A set of representatives of all the cosets is called a transversal. There are other types of equivalence relations in a group, such as conjugacy, that form different classes which do not have the properties discussed here.
Similar statements apply to right cosets.

つづく
316 ：現代数学の系譜雑談 ：2021/01/02(土) 00:12:47.77 ID:k00K5jWz.net: >>315

つづき

History
The concept of a coset dates back to Galois's work of 1830-31. He introduced a notation but did not provide a name for the concept. The term "co-set" appears for the first time in 1910 in a paper by G. A. Miller in the Quarterly Journal of Mathmatics (vol. 41, p. 382). Various other terms have been used including the german Nebengruppen (Weber) and conjugate group (Burnside).[11]

Galois was concerned with deciding when a given polynomial equation was solvable by radicals. A tool that he developed was in noting that a subgroup H of a group of permutations G induced two decompositions of G (what we now call left and right cosets). If these decompositions coincided, that is, if the left cosets are the same as the right cosets, then there was a way to reduce the problem to one of working over H instead of G. Camille Jordan in his commentaries on Galois's work in 1865 and 1869 elaborated on these ideas and defined normal subgroups as we have above, although he did not use this term.[6]
Calling the coset gH the left coset of g with respect to H, while most common today,[10] has not been universally true in the past. For instance, Hall (1959) would call gH a right coset, emphasizing the subgroup being on the right.

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%90%8C%E5%80%A4%E9%96%A2%E4%BF%82
同値関係（どうちかんけい、英: equivalence relation）は反射的、対称的かつ推移的な二項関係を言う。これらの性質の帰結として、与えられた集合において、一つの同値関係はその集合を同値類に分割（類別）する。

同値関係にあることを表す記法は文献によって様々に用いられるけれども、与えられた集合上の同値関係 R に関して二元 a, b が同値であることを "a ～ b" や "a ≡ b" で表すのがもっともよく用いられる記法である。R に関して同値であることを明示する場合には、"a ～R b" や "a ≡R b" あるいは "aRb" などと書かれる。

つづく
317 ：現代数学の系譜雑談 ：2021/01/02(土) 00:13:20.70 ID:k00K5jWz.net: >>316
つづき

（正規部分群でなければ、うまくいかない例が下記にあるよ）
http://mathweb.sc.niigata-u.ac.jp/~hoshi/index-j.html
星　明考 (HOSHI, Akinari)
新潟大学理学部理学科数学プログラム准教授
http://mathweb.sc.niigata-u.ac.jp/~hoshi/teaching2012-j.html
　[ 2012 ] [非常勤講師] 前期早稲田大学教育学部数学科代数序論A (木3)
http://mathweb.sc.niigata-u.ac.jp/~hoshi/2012/algint13.pdf
代数序論（第 13 回・2012/07/12）

P43
定義 (正規部分群)．群 G の部分群 H が，gH = Hg (∀g ∈ G) を満たすとき，H を G の正規部分群 (normal
subgroup) といい，H ＜△ G とかく．このとき，(左，右剰余類は一致するので) gH を単に剰余類という．
定理．H を G の正規部分群 (H ＜△ G) とする．剰余類の集合 G/H = {gH | g ∈ G} に対して，積 * を
(g1H) * (g2H) = (g1g2)H
と定義すれば，well-defined であり，この演算で (G/H, *) は群をなす．
群 G/H の単位元は H (= eH)，gH の逆元は (gH)-1 = g-1H である．
(← G が加法群の場合には，単位元は H (= 0 + H)，g + H の逆元は -g + H)
注意．上記命題の (2) から well-defined が分かる，逆に言えば，左剰余類と右剰余類が一致しない (正規部
分群でない) 場合には，積 * は well-defined ではない．例 3 (p.39) 参照)
定義 (剰余群，商群)．群 (G/H, *) を群 G の正規部分群 H による剰余群または商群という．

つづく
318 ：現代数学の系譜雑談 ：2021/01/02(土) 00:13:42.07 ID:k00K5jWz.net: >>317
つづき

P39
例 3 (問題が起こる場合)．Z の部分群 mZ を用いた類別 Z/mZ の代わりに，
3 次対称群 S3 = {(1),(1 2),(1 3),(2 3),(1 2 3),(1 3 2)} の部分群 H = {(1),(1 2)} を用いた類別
S3 = (1)H ∪ (1 3)H ∪ (2 3)H
= {(1),(1 2)} ∪ {(1 3),(1 2 3)} ∪ {(2 3),(1 3 2)}
= (1 2)H ∪ (1 2 3)H ∪ (1 3 2)H
を考えてみる．このとき，3 つの元からなる集合 S3 /～ = {(1)H,(1 3)H,(2 3)H} に対して，積 * を
(aH) * (bH) := (a ◯ b)H
と定義する．すなわち，代表元 a,b の積 a ◯ b = c の属する cH を積 (aH) * (bH) として定める．し
かし，これでは積は (うまく) 定義されていない．なぜなら，
(1 3)H * (2 3)H = (1 3)(2 3)H = (1 3 2)H = (2 3)H
であるが，別の代表元を取れば，
(1 3)H * (2 3)H = (1 2 3)H * (2 3)H = (1 2 3)(2 3)H = (1 2)H = (1)H
となり，積 (1 3)H * (2 3)H の結果が，代表元の選び方によって変わってしまうからである．

つづく
319 ：現代数学の系譜雑談 ：2021/01/02(土) 00:14:00.39 ID:k00K5jWz.net: >>318
つづき

https://mathoverflow.net/questions/2630/infinite-subgroups-with-finite-index
mathoverflow
Infinite subgroups with finite index
Is there a general method to prove that an infinite subgroup of a group has finite index? Or, in other words, to prove that the quotient group is finite? I am particularly interested in classical groups, such as GL(n), SL(n), etc, over a nonarchimedean local field but I am looking for a general method, if there exists one.
asked Oct 26 '09 at 15:53
Sergio Mendes

7 Answers
14
This is a somewhat tautological answer, but: if you can show that the subgroup contains the kernel of a finite representation (i.e. a homomorphism to a finite group), you're done. Intuitively: "I only need a finite number of things to go my way in order to belong to this subgroup."
If the group (or some representation of that group) is compact in some topology, and the subgroup contains the connected component of the identity (or an open neighbourhood of the identity), you're also done.
answered Oct 26 '09 at 16:08
Terry Tao

For this type of problem, "general methods" tend to be quite general indeed, but here are two ideas:
1) Find an action of G on a finite set X and an element x∈X such that H is the stabilizer of x. Then, by the Orbit-Stabilizer Theorem, G/H is isomorphic to the orbit space Gx, so is finite.
2) Find a finite group X and a homomorphism f:G→X such that H contains the kernel of f. Then f:G/ker(f)?X, so ker(f) has finite index, so H, which contains ker(f), has finite index.
Note that both of these will, in principle, always work. In Case 1, take X=G/H. In Case 2, let H′=?g∈GgHg?1 be the normal core of H. It is easy to show that (since H has finite index), H′ is a finite index normal subgroup of G which is contained in H. Take X=G/H′ and f to be the quotient map.
answered Oct 26 '09 at 16:15
Pete L. Clark

つづく
320 ：現代数学の系譜雑談 ：2021/01/02(土) 00:14:23.80 ID:k00K5jWz.net: >>319
つづき

https://math.stackexchange.com/questions/428295/for-g-group-and-h-subgroup-of-finite-index-prove-that-n-subset-h-normal
For G group and H subgroup of finite index, prove that N⊂H normal subgroup of G of finite index exists

Let G be a group and H be a subgroup of G with finite index. I want to show that there exists a normal subgroup N of G with finite index and N⊂H. The hint for this exercise is to find a homomorphism G→Sn for n:=[G:H] with kernel contained in H.

The standard solution suggests to choose φ as the homomorphism induced by left-multiplication φ:G→S(G/H)?Sn. I'm not 100% sure if I understand this correctly. What exactly does φ do? We take g∈G and send it to a bijection φg:G/H→G/H,xH?gxH? If so, how can I see that its kernel is contained in H? Also, the standard solution claims its image is isomorphic to G/N and thus N has a finite index in G, how can I see that the image is isomorphic to G/N?
Thanks in advance for any help.

asked Jun 24 '13 at 13:53
Huy

2 Answers
1
I don't know it's true or false but I try this as this
H is a subgroup of G. (G:H)=n, we can get atleast one normal subgroup N⊆H.
Let ［G:H］={g1,g2,...,gn}
Now we define a mapping f:G→Sn such that f(a)=gi where a∈gi,N⊆giH Clearly mapping is well defined.
Let f(b)=gj where gj∈gj,N⊆gjH.
Now a∈giN and b∈gjN therefore ab∈gi.gjN⊆gigjH Therefore f(ab)=gi.gj=f(a)f(b), f is homomorphism.
Let x∈kerf .Then x∈N⊆H i.e kerf=N⊆H

answered Nov 3 '17 at 17:19
Manldipa Sarkar

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E7%B4%94%E7%BE%A4
1.2 無限単純群
無限交代群A_∞、つまり整数全体の偶置換の群は単純群である。この群は有限群A_nの(標準埋め込み A_n → A_n+1 に関する)単調増加列の合併として定義できる。
(引用終り)
以上
321 ：１３２人目の素数さん：2021/01/02(土) 00:50:51.55 ID:fg/iHKCR.net: ごちゃごちゃ書いてる割には、分かってないなーという感じ。

工学部ではそれで通用したのかもしれないが
数学科の教授には、「こいつ分かってないな」
と見抜かれちゃう。
322 ：１３２人目の素数さん：2021/01/02(土) 07:38:50.09 ID:dDGJL0UM.net: 引用
続く
323 ：BIG COCK：2021/01/02(土) 08:16:48.98 ID:s/vqANgV.net: >>287
>院試の答案としては、
>「自分は学部の勉強をしっかりしました」
>ということをアピールしないといけないのです

院試とか　無駄なアピール　要らんから
324 ：BIG COCK：2021/01/02(土) 08:17:29.06 ID:s/vqANgV.net: >>288
>群の定義から出発していない
>簡単に述べるべし

知ってて当然　
初心者向けの教科書じゃないから
敢えてかかなくていい

>同値関係の定義がない

上に同じ
325 ：BIG COCK：2021/01/02(土) 08:19:13.31 ID:s/vqANgV.net: >>288
>”定理　群準同型 Φ：G→G’による
>　　　　正規部分群N’の逆像Φ-1(N’)は
>　　　　Gの正規部分群である”を使って
>”核 kerΦ＝Φ-1(e) は正規部分群である”をいうが、
>ヘタすると循環論法になるよ。

そんな心配する前に、上記の定理の証明確認しろよ

準同型写像の性質から
”核 kerΦ＝Φ-1(e) は正規部分群である”
なんて使わずに云えるだろ

準同型の定義知ってるか？ｗ
326 ：BIG COCK：2021/01/02(土) 08:20:31.61 ID:s/vqANgV.net: >>289
>G/H={g1H,g2H,・・・,gn-1H,H}とHを書いておくのが
>テクニックとして綺麗でしょう

くだらんｗ

>{g1H,g2H,・・・,gn-1H,H}に、
>∀g∈ H を作用させると、
>{g1H,g2H,・・・,gn-1H,H}の
>ｎ個の要素の”置換群”になる。
>（動画では”置換”で放り出しているが、これはまずい）

まずいのは君

「群の置換作用 g∈ G として左からgをかけて、
　g{g1H,g2H,・・・,gn-1H,H} →{gg1H,gg2H,・・・,ggn-1H,gH}
　を考えると、”置換”になる」

上記の置換の全体が群になることは
Gが群であることから明らかだが
君には明らかじゃないのかな？

>この置換群をG’とすると、明らかにn次の対称群Snの部分群である。
>つまり、G’⊆Sn

自明だなｗ

>従って、G’の位数をmとすると、mはn!の約数である
>（これは書くべき）

なぜ？

証明に使わん無駄な知識の披歴、要らんから
327 ：BIG COCK：2021/01/02(土) 08:21:47.32 ID:s/vqANgV.net: >>289
>群準同型 Φ：G→G’を考える。
>任意の g1, g2 ∈ G に対して，Φ(g1g2) = Φ(g1)Φ(g2)を満たす写像である
>G’の単位元（恒等置換）の逆像 ker Φ ＝Φ-1(e)が、Gの正規部分群になる
>（まず群になることをいう（結合則、単位元、逆元）。
>　次に、ker Φ＝Nとして、"gNg-1=N"を示す。）

え？なんのために
”核 kerΦ＝Φ-1(e) は正規部分群である”
を証明したんだよ？　

再度確認だが、準同型写像の定義知ってるか？

>H⊇Nである（要証明（動画にもある））
>（但し時間が無ければ、”H⊇N”省けるでしょう。触れなくても可）

なんかアヤシイなｗ
あんた、ここで証明書いてみ？

Hの要素でないNの元があったら矛盾することを示してごらんｗ
328 ：BIG COCK：2021/01/02(土) 08:27:50.00 ID:s/vqANgV.net: >>292
＞系として「無限単純群は、指数有限の部分群を含むことができない」が言える

２文字抜けてる（ニターリ）

「無限単純群は、指数有限の”真の”部分群を含むことができない」

単純群はそれ自身の部分群で、当然指数有限（指数１！）だが
あまりにもばかばかしいので、自分自身と異なる部分群を
「真の部分群」と定義して排除しておく（「真の部分集合」の転用）
329 ：BIG COCK：2021/01/02(土) 08:31:36.58 ID:s/vqANgV.net: >>292
＞同値関係

常識だな…箱入り無数目でもｗ
330 ：BIG COCK：2021/01/02(土) 08:37:07.10 ID:s/vqANgV.net: >>293
（well-defined)
>1 つの元の表し方が複数あるような集合からの写像を定義する際には
>細心の注意を払う必要がある．
>定義した写像が元の表示の仕方に依らないとき，
>その写像は well-defined であるという．

逆に、定義した写像の行先が、表示のしかたによって変わるとき、
その写像は、ill-definedってことだな（そんな言葉はわざわざ使わないｗ）
331 ：BIG COCK：2021/01/02(土) 09:00:01.59 ID:s/vqANgV.net: >>294
(群と部分群の定義）
>>296
(群準同型の定義）

群論と線型代数の対応

　　　　　群論：　　線型代数
対象　　　　群：　　線型空間
　　　　部分群：部分線型空間
射　　群準同型：　　線型写像
　　　　群同型：正則線型写像

ちなみに正規部分群にあたる線型代数の対象は特にない
・・・線型空間ってアーベル群だからｗ
332 ：BIG COCK：2021/01/02(土) 09:06:17.21 ID:s/vqANgV.net: さて>>331の対応を踏まえて

>>300
（準同型定理）

Q.群論における準同型定理に対応する、
　線型代数の定理のステートメントを述べよ

これサービス問題だぞｗ
333 ：ID:1lEWVa2s：2021/01/02(土) 09:13:53.79 ID:hRxEZ+8z.net: SoftBank(ソフトバンク)
SoftBank Group(ソフトバンクグループ)
エロエロだぁ。
334 ：ID:1lEWVa2s：2021/01/02(土) 09:16:01.66 ID:hRxEZ+8z.net: 裏切った。
紙切れになれ。
335 ：ID:1lEWVa2s：2021/01/02(土) 09:16:40.78 ID:hRxEZ+8z.net: くそ株式会社共全て紙切れにしてやろうじゃないか。
336 ：ID:1lEWVa2s：2021/01/02(土) 09:17:15.89 ID:hRxEZ+8z.net: 株式会社。
エロエロだぁ。
337 ：現代数学の系譜雑談 ：2021/01/02(土) 09:27:20.64 ID:k00K5jWz.net: >>289 訂正と補足

　６）H⊇Nである（要証明（動画にもある））（但し時間が無ければ、”H⊇N”省けるでしょう。触れなくても可）
　　↓
　６）H⊇Nである（要証明（動画にもある））（ここは時間が無くても、触れる必要あり）
（補足）
　　ker Φ＝Ｎの元は、恒等写像を引き起こす。特に、Ｈを動かさない。つまり、n∈Ｎであり nH=Hとなるべき。これはn∈Ｈでなければならない。もし、n not∈Ｈならば、n∈giHなる剰余類が存在して、 nH=giHとなるから。よって、Ｎ⊆Ｈである。
　くらいを書くのでしょうね。

　　従って、G’の位数をmとすると、mはn!の約数である（これは書くべき）
　　↓
　　従って、G’の位数をmとすると、（ラグランジュの定理より）mはn!の約数である（これは書くべき）
338 ：現代数学の系譜雑談 ：2021/01/02(土) 09:39:00.75 ID:k00K5jWz.net: >>288 訂正と補足

　　動画冒頭の”定理群準同型 Φ：G→G’による正規部分群N’の逆像 Φ-1(N’)はGの正規部分群である”の証明は、結構難しい
　　（多分、下記大矢浩徳定理 10.6 (第 3 同型定理) を、使って証明することになると思う）
　　　↓
　　動画の”定理群準同型 Φ：G→G’による正規部分群N’の逆像 Φ-1(N’)はGの正規部分群である”の証明は、結構難しい
　　（多分、下記大矢浩徳定理 10.6 (第 3 同型定理)等を、使って証明することになると思う）
（補足）
準同型写像Φで
　Im Φ＝G’⊇　Ｎ’　　　⊇{e’} で、
　　↑↓
逆像　Ｇ　　⊇Φ-1(N’)⊇kerΦ⊇{e}
という対応関係になる
（簡単のために、G’は有限群とする）
検索しても、良い文献が見つからないので、自分で考えてみると

証明の筋としては、kerΦが正規部分群になることを言って、剰余類群Ｇ/kerΦを作って（kerΦ＝Ｎとして G/N={g1N,g2N,・・・,gm-1N,N} ）
{g1N,g2N,・・・,gm-1N,N} の成す商群を考える（mはn！の約数）
第一同型定理より、G’≡G/N（同型）で、
Ｎ’の逆像、Φ-1(N’)が群になることを、G/N={g1N,g2N,・・・,gm-1N,N} を使っていう
（実質は、群同型 G’←→G/N：Φ （全単射（又は１体１対応））で終わっている気がする）
あらすじとしては、全単射から、Ｇ’＝{g1’,g2’,・・・,gm-1’,e’} と書けて、商群Ｇ’/N’＝[g1’N’,g2’N’,・・・,gm-1’N’,N’]を作ると、N’は正規部分群だから任意のgi’でgi’N’gi’-1 =N’を示して
Ｇ’/N’＝[g1’N’,g2’N’,・・・,gm-1’N’,N’]の逆像で
N’の像Φ-1(N’)が群を成し（結合則、単位元、逆元を示す）、任意のg∈Gに対して、g(Φ-1(N’))g-1＝Φ-1(N’)を示す（ここで「gi’N’gi’-1 =N’」を使う）
こんな感じでしょう

途中で、”kerΦが正規部分群になることを言って、剰余類群Ｇ/kerΦを作って”とやっているから、この証明だと、龍氏の動画の証明は循環論法になってしまうのです
なお、「（簡単のために、G’は有限群とする）」としたけど、G’が無限群の場合はどうなるのでしょうかね？よく分からなかったな（＾＾；
339 ：ID:1lEWVa2s：2021/01/02(土) 09:39:02.10 ID:hRxEZ+8z.net: キーエンス
ソフトバンクグループ
トヨタ
なんの価値もない。
それ上存在自体が気持ち悪い。
340 ：現代数学の系譜雑談 ：2021/01/02(土) 09:45:42.42 ID:k00K5jWz.net: >>338 訂正

あらすじとしては、全単射から、Ｇ’＝{g1’,g2’,・・・,gm-1’,e’} と書けて、商群Ｇ’/N’＝[g1’N’,g2’N’,・・・,gm-1’N’,N’]を作ると、N’は正規部分群だから任意のgi’でgi’N’gi’-1 =N’を示して
Ｇ’/N’＝[g1’N’,g2’N’,・・・,gm-1’N’,N’]の逆像で
N’の像Φ-1(N’)が群を成し（結合則、単位元、逆元を示す）、任意のg∈Gに対して、g(Φ-1(N’))g-1＝Φ-1(N’)を示す（ここで「gi’N’gi’-1 =N’」を使う）
　　↓
あらすじとしては、全単射から、Ｇ’＝{g1’,g2’,・・・,gm-1’,e’} と書けて、商群Ｇ’/N’＝[g1’N’,g2’N’,・・・,gk-1’N’,N’]（kはmの約数（ラグランジュの定理より））を作ると、N’は正規部分群だから任意のgi’でgi’N’gi’-1 =N’を示して
Ｇ’/N’＝[g1’N’,g2’N’,・・・,gｋ-1’N’,N’]の逆像で
N’の逆像Φ-1(N’)が群を成し（結合則、単位元、逆元を示す）、任意のg∈Gに対して、g(Φ-1(N’))g-1＝Φ-1(N’)を示す（ここで「gi’N’gi’-1 =N’」を使う）

スマン
慌てて書くとミスが多いな（＾＾；
341 ：ID:1lEWVa2s：2021/01/02(土) 09:47:04.43 ID:hRxEZ+8z.net: 今の女の子って転生したら男の子になってか女の子になってか異性や同性を犯すからな。
裏切る顔してる。というかみえる確実に裏切る。
しかも乃木坂とか顔一緒だけど腹切った日本人で今の日本にはあめ公の擬慰安の血あめ公の血が入った売春婦の血が流れてるからな9割8分。
一瞬で分かる。

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