純粋・応用数学（含むガロア理論）6

現代数学の系譜雑談

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　"昔々、多分１９６０年ころの東大の院試問題で
　「群が指数有限の部分群を含めば、指数有限の正規部分群を含む」
　ってのが出た"

龍孫江氏のYoutube動画 https://www.youtube.com/watch?v=scJhIv1P32Q
解説テキスト版：https://note.mu/ron1827/n/n6f79eb36c397
この解説テキスト版より
「問題：指数有限の正規部分群は存在するか」
「問題：令和元年5月13日」
”Ｇが群、ＨがＧの指数有限の部分群ならば、Ｈは指数有限の正規部分群を包むことを示せ．”
(引用終り) （注：”包む”は、普通は”含む”だと思うが）

なんか言いたいことは分かってきたけど

１．もし、Gを有限群として、この場合部分群をHとして、Hの指数は常に有限だ
２．Gを有限単純群にとると、Hに含まれる真の正規部分群は、単位元のみから成る自明な正規部分群{e}になる
３．正規部分群{e}を許すならば、Gを有限群とした場合は、命題は自明
４．Gが無限群のときが、命題の本質部分。このとき、{e}では指数有限にならない。正規部分をNとして、Nは無限群でなければ、指数有限にならない
５．Gが部分群として、アーベル（可換）なら、部分群は全て正規部分群になるので、この場合も自明
６．従って、命題の本質部分は、
　「Gが非可換の無限群で、真部分群をHを含むとき、Hは非正規部分群として、Hが正規部分群Nを含み、Nは無限群でGに対して指数有限」ってことだな
７．龍孫江氏のYoutube動画では、特に「Nは無限群でGに対して指数有限」のところが、きちんと言えていないと思うよ

いままで、有限群や、N、Z、Q、R、Cなどアーベルの場合が多かったから、Gが非可換の無限群の場合は馴染みが無かったけど
面白いね