IUTを読むための用語集資料スレ2

1 ：１３２人目の素数さん：2020/12/01(火) 18:11:43.01 ID:g/5kciS4.net

テンプレは後で

365 ：１３２人目の素数さん：2024/04/20(土) 20:05:07.85 ID:b3gJjkjy.net

つづき

A significant bifurcation occurred in Deligne’s 1989 paper on Le groupe fondamental de la droite projective moins trois points,in which the author brings in the rich toolbox of rational homotopy theory and motives (at least what we nowadays call mixed Tate motives),at the expense of using the prounipotent (not profinite) fundamental group. The ensuing version of the Grothendieck-Teichmüller group of course does not contain the Galois group anymore but this linearized version of the theory lends itself more easily to computations (e.g. those involving Multiple Zeta Values) and has become largely prevalent (including lately in deformation theory).

In this week long meeting we will discuss both versions (which could also be termed “linear” and “nonlinear”), including in particular an introduction to the profinite (nonlinear) version of the theory, which seems much closer to what Grothendieck initially had in mind and has been hitherto much less publicized. There will be mini-courses by subject experts of introductory nature for younger researchers, who were not exposed to these topics before.There will also be a few research talks by active researchers to explain the current state of the art in the subject of the meeting.

Accommodation will be provided for outstation participants at our on campus guest house.
ICTS is committed to building an environment that is inclusive, non discriminatory and welcoming of diverse individuals. We especially encourage the participation of women and other under-represented groups.
Eligibility Criteria: Senior Ph.D. students, postdocs, and faculties working on topics related to the theme of the meeting.
(引用終り)

366 ：１３２人目の素数さん：2024/04/20(土) 20:09:47.99 ID:lgVZM1FC.net

This multi-volume set deals with Teichmüller theory in the broadest sense, namely, as the study of moduli space of geometric structures on surfaces, with methods inspired or adapted from those of classical Teichmüller theory. The aim is to give a complete panorama of this generalized Teichmüller theory and of its applications in various fields of mathematics.

The volumes consist of chapters, each of which is dedicated to a specific topic. The present volume has 19 chapters and is divided into four parts:

The metric and the analytic theory (uniformization, Weil–Petersson geometry, holomorphic families of Riemann surfaces, infinite-dimensional Teichmüller spaces, cohomology of moduli space, and the intersection theory of moduli space).
The group theory (quasi-homomorphisms of mapping class groups, measurable rigidity of mapping class groups, applications to Lefschetz fibrations, affine groups of flat surfaces, braid groups, and Artin groups).
Representation spaces and geometric structures (trace coordinates, invariant theory, complex projective structures, circle packings, and moduli spaces of Lorentz manifolds homeomorphic to the product of a surface with the real line).
The Grothendieck–Teichmüller theory (dessins d'enfants, Grothendieck's reconstruction principle, and the Teichmüller theory of the soleniod).
This handbook is an essential reference for graduate students and researchers interested in Teichmüller theory and its ramifications, in particular for mathematicians working in topology, geometry, algebraic geometry, dynamical systems and complex analysis.

The authors are leading experts in the field.

367 ：１３２人目の素数さん：2024/04/20(土) 20:11:57.70 ID:b3gJjkjy.net

P.Lochakは、中村先生のホームページに３カ所出てくる

(参考)
http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~nakamura/selection.html
Articles on Anabelian Geometry

Y.Ihara, H.Nakamura:
``Some illustrative examples for anabelian geometry in high dimensions''
in `Geometric Galois Actions I' (L.Schneps, P.Lochak eds.)
London Math. Soc. Lect. Note Series 242 (1997), pp. 127--138.
http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~nakamura/zoo/lion/INanabel.pdf

H.Nakamura:
``Galois representations in the profinite Teichmueller modular groups''
in `Geometric Galois Actions I' (L.Schneps, P.Lochak eds.)
London Math. Soc. Lect. Note Series 242 (1997), pp. 159--173.
http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~nakamura/zoo/lion/Gaction.pdf

Galois-Teichmueller theory:
P.Lochak, H.Nakamura, L.Schneps:
"Eigenloci of 5 point configurations on the Riemann sphere and the Grothendieck-Teichmueller group"
Math. J. Okayama Univ. 46 (2004), 39--75.
http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~nakamura/zoo/deer/_09_Lochak-Nakamura-Schneps.pdf

368 ：１３２人目の素数さん：2024/04/20(土) 20:32:56.24 ID:lgVZM1FC.net

The Teichmüller space of a surface was introduced by O. Teichmüller in the 1930s. It is a basic tool in the study of Riemann's moduli spaces and the mapping class groups. These objects are fundamental in several fields of mathematics, including algebraic geometry, number theory, topology, geometry, and dynamics.

The original setting of Teichmüller theory is complex analysis. The work of Thurston in the 1970s brought techniques of hyperbolic geometry to the study of Teichmüller space and its asymptotic geometry. Teichmüller spaces are also studied from the point of view of the representation theory of the fundamental group of the surface in a Lie group

369 ：１３２人目の素数さん：2024/04/20(土) 22:59:53.93 ID:b3gJjkjy.net

>>368
ありがとうございます
こういう重要ポイントをさらっとコピーできるのは、御大かな

さて、下記の動画がよさげです
（宇宙の説明は、間違った説明ですが、それ以外は）

https://www.youtube.com/watch?v=BC2zezyqIwA
宇宙際タイヒミューラー理論 JPアクチュアリーコンサルティング（JPAC)株式会社
JPアクチュアリーコンサルティング株式会社
2020/04/16

@user-sx2zr3rs4q
2 年前
いま宇宙際タイヒミラー理論呼んでいるところです。この動画の解説はよくわかります。有難うございます。IVを読み終わて、山下剛氏のABC予想のレポートを3分の一ぐらい読み、１を9割ぐらい読みIIを3分の1位読みIIIを半分弱読んでいます。この段階で星氏の解説や望月氏のレクチャーを読むと少しは納得いきます。私は頭が悪く数学者でもなく素人ですが若いころベーユやグロタンデークやセールの論文を仲間と読んだ経験しかありません。宇宙際タイヒミラー理論は、グロタンデーク宇宙を無限に格子状に並べて垂直方向はlog矢印で固定してるが水平方向は宇宙にかかわりのある矢印で結んでいて、何かに依存して振動しているみたいですね。ABC]予想を証明するためには、無限格子を４枚用意しているみたいですね。

370 ：１３２人目の素数さん：2024/04/20(土) 23:25:03.78 ID:b3gJjkjy.net

>>369 補足
>宇宙際タイヒミラー理論は、グロタンデーク宇宙を無限に格子状に並べて垂直方向はlog矢印で固定してるが水平方向は宇宙にかかわりのある矢印で結んでいて

ここ、完全に望月さんのミスリードに乗せられています
・IUT最新文書は、下記2024年03月24日付けのものです
・なお、補足下記Mathlogで「前節で述べた通り本稿で考察する対象であるGrothendieck宇宙は，圏論を含む現代数学の多くを展開するにたる大きさを持つ集合である」
　ということです。なお正確には
　「Grothendieck宇宙は，圏論を含む現代数学の多くを展開するにたる大きさを持つ宇宙（集合とクラスのあつまり）である」でしょうね
　”大きさを持つ集合”というと、パラドックスを誘導するのでまずいですね

＜IUT最新文書＞
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/news-japanese.html
2024年03月24日 望月新一
　・（過去と現在の研究）2024年4月に開催予定のIUGCの研究集会での講演の
　　スライドを公開。https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/IUT%20as%20an%20Anabelian%20Gateway%20(IUGC2024%20version).pdf
P8
In this context, it is important to remember that, just like SGA,
IUT is formulated entirely in the framework of
“ZFCG”
(i.e., ZFC + Grothendieck’s axiom on the existence of universes),
especially when considering various set-theoretic/foundational
subtleties (?) of “gluing” operations in IUT (cf. [EssLgc],
§1.5,§3.8,§3.9, as well as [EssLgc],§3.10, especially the discussion of “log-shift adjustment” in (Stp 7)):
(引用終り)

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B0%E3%83%AD%E3%82%BF%E3%83%B3%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%82%AF%E5%AE%87%E5%AE%99
グロタンディーク宇宙
宇宙のアイデアは、アレクサンドル・グロタンディークが代数幾何において真のクラスを回避する方法として導入したことに起因する。
グロタンディーク宇宙は、すべての数学が実行可能な集合を与える（実際には、集合論のためのモデルを与える）。

https://mathlog.info/articles/130
Mathlog
サクラ
大学数学基礎
解説
Grothendieck宇宙のーと
Grothendieck宇宙の導入の意義：圏のサイズの問題
現代数学の基礎概念の一つに圏がある．この圏は次のように定義することができる．

Grothendieck宇宙の定義と基本性質
前節で述べた通り本稿で考察する対象であるGrothendieck宇宙は，圏論を含む現代数学の多くを展開するにたる大きさを持つ集合である．

371 ：１３２人目の素数さん：2024/04/21(日) 09:25:54.83 ID:+2zd27AU.net

これいいね
四半世紀前だが、ここまで戻らないと、理解がついていかない
中村博昭先生の話は、分かり易い
”集中講義の機会をお世話くださった田口雄一郎氏”とありますが
田口雄一郎先生は、このころから遠アーベルのワールドの住人だったのですね（当時は北大か）

http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~nakamura/hokudai99/hokudai99.pdf
１９９９年度北大集中講義
レクチャーノート
ガロア・タイヒミュラー群の理論
中村博昭述
北海道大学数学講究録 No.65 2000

はしがき
このノートは、1999年6月7日〜6月11日に北海道大学で集中講義した内容に若干加筆してまとめたものである。
この講義の主なねらいは、代数曲線のモジュライ空間の基本群タイヒミュラーモジュラー群たちが、リーマン面の退化を通じて、多重な仕方で積み重なっている様子を、有理数体の絶対ガロア群の表現の言葉で記述することであった。
特に、代数曲線のモジュライ空間に関係する種々の副有限基本群におけるガロア表現が、その最も基本的な場合である射影直線マイナス３点の場合をうまく組み合わせることで具体的に記述できる、ということを説明した。
この一環としてタイヒミュラー幾何学のような位相幾何と代数幾何が交錯する世界の一面を、ガロア理論を通じて群論的な平易な言葉で描写することを試みた。
初日の談話会(§1)において、本講義の主題であるガロア・タイヒミュラー群を素朴な立場から説明するとともに、ここにおけるガロア表現を記述するために最近L.Schnepsとの共同研究において導入したリーマン面のキルト分解 のなす extended Hatcher およびグロタンディーク・タイヒミュラー群GTの精密化について紹介した。
そのあと、連続講義では一旦基礎的な話題に立ち戻り、次のような内容を論じた。
§2.射影直線マイナス３点の基本群における外ガロア表現とBelyiの定理とその意義。
§3.基本亜群とtangential base point概念の導入。またGrothendiek-Teichmuller群の定義と基本事項の紹介。
§4.極大退化曲線の形式近傍の具体的な構成とガロア表現のvan Kampen的貼り合わせについて。
§5.代数曲線のモジュライ空間の基本群とその位相幾何的な生成元(Dehn twist)へのガロア作用について、種数１の特別な場合に限定して例示。
　末尾に、講義で十分に立ち入ることの出来なかった詳細などを補うために、簡単な文献案内を追加した。
例外的なものを除き、出版されているものに限った。
もとより完全な文献リストを意図したものではなく、読者諸氏の参考の一助にとの思いから供するものに過ぎない。
集中講義の機会をお世話くださった田口雄一郎氏をはじめ、筆者の拙い講義に辛抱強く出席してくださった学生の皆さん、特にTeXで記録を作成して下さった大溪幸子、長谷部寛之、林真也、山上敦士の諸氏のお力添えがなければ、このノートは決して完成いたしませんでした。
心より感謝申し上げます。平成１２年５月中村博昭都立大・理

372 ：１３２人目の素数さん：2024/04/21(日) 09:52:51.70 ID:+2zd27AU.net

>末尾に、講義で十分に立ち入ることの出来なかった詳細などを補うために、簡単な文献案内を追加した。

文献案内がいい
岩澤健吉先生から始るのか！
伊原康隆先生や
P.Lochak先生も出てきます

http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~nakamura/hokudai99/hokudai99.pdf
参考文献
本文中に引用した、基本群とガロア群に関する次の教科書は、基礎的な事項から正確に学べる大変有用な書物です。
[岩澤]岩澤健吉,『代数函数論増補版』 岩波書店1952

数論的基本群の組織的研究は、Grothendiek,Deligneそしてわが国の伊原康隆先生により、独立の観点から進められてきました。
組紐群の導入により、俄然トポロジーとの接近が急速になった契機としては、次のDrinfeldによる論文が重要でした。

その後、世界中の研究者の注目を集めるようになった数論的基本群について、Grothendiekに近い立場からL.Schneps,P.Lochakが中心となり国際研究集会が催されるようになりました。次の報告集は今では基本的な文献となっています。

373 ：１３２人目の素数さん：2024/04/21(日) 10:50:09.47 ID:+2zd27AU.net

用語 宇宙(universe)
に対する混乱は、2002年8月頃の下記文書でも見られる
しかし、用語 宇宙(universe)の混乱はあっても、それはIUTの数学としての成否に直結しない
むしろ、アイデアの飛翔をうながしたかもしれない

(参考)
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/papers-japanese.html
望月新一論文
講演のアブストラクト・レクチャーノート
[4] Anabelioidの幾何学とTeichmuller理論. PDF
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Anabelioid%20no%20kikagaku%20to%20Teichmuller%20riron%20(Muroran%202002-08).pdf
Anabelioidの幾何学とIbichmiiller理論
望月新一（京都大学数理解析研究所）
2002年8月

§1 P進双曲曲線を他宇宙から見る
我々が通常使用している、スキームなどのような集合論的な数学的対象は、実
は、磯論を開始した際に採用された「集合論｣、つまり、あるGrothendieck宇宙の
選択に本質的に依存しているのである。この「1つの集合論」の採用は、もっと具体
的にいうと、
「あるラベル（＝議論に登場する集合やその元の名前）のリストの選択」
と見ることもできる。すると、次のような問い掛けが生じる：
問：スキームのような集合論的幾何的対象を別の集合論的宇宙から見たら、
つまり、たまたま採用したラベルたちを取り上げてみたら、その幾何的対
象はどのように見えるか？

このように、宇宙を取り替えたりするような作業を行なう際、別の宇宙にも通じる
数学的対象を扱うようにしないと、議論は意味を成さなくなるが、（本稿では省略す
るが）様々な理由によって、園は、そのような性質を満たす。一般に、違う宇宙にも
通じるものをintcr-universalと呼ぶことにするが、「圏」というものは、最も基本的か
つ原始的なinter-universalな数学的対象ということになる。
さて、スキームを他宇宙から見たらどんな風に見えるか、という問いに答える
ためには、スキームを、inter-universalに表現する必要がある。これには様々な手法
があるが、本稿では、次のものを取り上げる（別の手頃な例については、IMzk7]を
参照）：

ここでは、B(G)を、1つの幾何的対象とみなし、anabelioidと呼ぶことにする。
実は、B( G)は、「連結なanabelioid」になるが、一般には、複数の連結成分をもつ
anabelioidを扱うこともある（詳しくは、[Mzk8]を参照) ｡

つづく

374 ：１３２人目の素数さん：2024/04/21(日) 10:50:38.53 ID:+2zd27AU.net

つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
宇宙 (数学)
数学、とりわけ集合論や数学基礎論における宇宙とは、特定の状況において考察される実体のすべてを元として含むような類のことである。このアイデアにはいくつものバージョンがあるため、項目を分けて説明する。

ある特定の文脈において
おそらく最も単純なバージョンは、研究対象が特定の集合で閉じている限り、任意の集合が宇宙であるというものである。 もし研究対象が実数として形式化されていれば、実数の集合である実数直線 R は考察下において宇宙になりうる。 これは1870年代から1880年代にかけてゲオルク・カントールが実解析の応用として、初の現代的な集合論と濃度の開発に用いた宇宙である。 カントールが当時興味を持っていた集合は、R の部分集合だった。

この宇宙の概念はベン図の使用に反映されている。 ベン図において、作用は伝統的に宇宙 U を表す大きな四角形の内部に生じる。 一般的に集合が U の部分集合であれば、それは円によって表現される。集合 A の補集合は A の円の外側の四角形の部分によって与えられている。

通常の数学
与えられた X (カントールの場合には、 X = R) の部分集合を考えれば、宇宙は X の部分集合の集合の存在を要請する。 (例えば、X の位相は X の部分集合の集合である。) X の様々な部分集合の集合は、それ自体は X の部分集合にならないが、代わりに X の冪集合 PX の要素はX の部分集合になる。 これに続き、研究対象は宇宙が P(PX) になるような場合における X の部分集合の集合などを構成する。

集合論
SNは通常の数学の宇宙であるという主張に正確な意味を与えることは可能である。すなわち、それはツェルメロ集合論のモデルである。
Vi のすべての和集合は次のようにフォン・ノイマン宇宙 V となる
これらの和集合 V は真の類である。 置換公理と同時期にZFにを加られた正則性公理は、すべての 集合が V に属することを主張している。

クルト・ゲーデルの構成可能集合 L と構成可能公理
到達不能基数は ZF のモデルと加法性公理を生じ、さらにグロタンディーク宇宙の集合の存在と等価である。

圏論
圏論に歴史的につながる宇宙への別のアプローチの方法がある。これはグロタンディーク宇宙と呼ばれる。大まかに言えば、グロタンディーク宇宙とは集合論の通常実行されるすべての操作を内部にもつ集合である。
(引用終り)
以上

375 ：１３２人目の素数さん：2024/04/21(日) 12:40:47.40 ID:+2zd27AU.net

グロタンディークのガロア理論
むずいが、この程度は「常識だ！」と言えないと、IUTは分らない
むずいが勉強中です

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E5%9C%8F
ガロア圏
ガロア圏（ガロアけん、Galois category）とは古典ガロア理論が展開される、いくつかの公理を満たす圏である。
元来古典ガロア理論および位相幾何学における基本群の理論の類似点が指摘されていたが、アレクサンドル・グロタンディークがガロア理論の成り立つ公理系を明言し、一般的なガロア圏の理論を構成した。古典ガロア理論および基本群の理論はこの理論の基本的な例になる。この理論はグロタンディークのガロア理論と呼ばれることもある。

ガロア圏成立の経緯
グロタンディークのガロア理論、ガロア圏は、体のガロア理論の抽象的なアプローチであり、1960年頃に開発され、代数幾何学の設定おいて代数トポロジー(algebraic topology)の基本群の研究方法をもたらした。体論の古典的設定の中で、1930年代頃から標準的となっている線型代数を基礎としたエミール・アルティン(Emil Artin)の理論に代わる見方をもたらした。

アレクサンドル・グロタンディーク(Alexander Grothendieck)のアプローチは、固定された射有限群 G に対して有限 G-集合の圏を特徴付ける圏論的性質に関係している。例えば、G として ˆZ と表記される群が考えられる。この群は巡回加法群 Z/nZ の逆極限である。あるいは同じことであるが、有限指数の部分群の位相に対する無限巡回群の完備化である。すると、有限 G-集合は G が商有限巡回群を通して作用している有限集合 X であり、X の置換を与えると特定することができる。

上の例では、古典的なガロア理論との関係は、
ˆZ を任意の有限体 F 上の代数的閉包 F の射有限ガロア群 Gal(F/F) と見なすことである。すなわち、F を固定する F の自己同型は、 F 上の大きな有限分解体をとるように、逆極限により記述される。幾何学との関係は、原点を取り除いた複素平面内の単位円板の被覆空間として見なすことができる。複素変数 z と考えると、円板の zn 写像により実現される有限被覆は、穴あき円板の基本群の部分群 n.Z に対応する。

SGA1[1]で出版されたグロタンディークの理論は、どのようにして G-集合の圏をファイバー函手(fibre functor) Φ から再構成するかが示されている。ファイバー函手は、幾何学的な設定では、（集合として）固定されたベースポイント上の被覆のファイバーを持つ。実際、タイプ
G ≅ Aut(Φ)
として証明された同型が存在する。右辺は、Φ の自己同型群（自己自然変換）である。集合の圏への函手をもつ圏の抽象的な分類は、射有限な G に対する G-集合の圏を認識することによって与えられる。

どのようにしてこれを体の場合に適用するかを知るには、体のテンソル積を研究する必要がある。
トポスの理論の中の体のテンソル積は、原子的トポス(atomic topos)の理論の全体となる。

376 ：１３２人目の素数さん：2024/04/21(日) 13:14:40.98 ID:+2zd27AU.net

これいいね
この程度が私には合っているかも

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/H18-tamagawa.pdf
成18年度(第28回)数学入門公開講座テキスト(京都大学数理解析研究所，平成18年7月31日〜8月3日開催)
ガロア理論とその発展
玉川安騎男

§0. はじめに
ガロア理論とは、Evariste Galois (1811-1832) によって創始された、代数方程式の解の置換に関する理論です。その基本定理は「体」と「群」という代数学の基本概念を用いて述べることができ、現在でも整数論の研究の中で最も基本的な道具の１つであり続けています。

最後に、遠アーベル幾何など、現代の整数論・数論幾何におけるガロア理論の展開についても紹介したいと思います。

5.1. 無限次ガロア理論
5.2. 絶対ガロア群
任意の体Kに対して、Kの最大ガロア拡大体Ksepが（K上の同型をのぞいて一意的に）存在し、任意のガロア拡大L/Kは、Ksep/Kの中間拡大とみなすことができます。KsepはKの「分離閉包」（あるいは「分離的代数閉包」）として定義され、Kが完全体のとき（例えばKが有理数体Qの拡大体のとき）には、KsepはKの「代数閉包」Kと一致します。GK =Gal(Ksep/K)をK の絶対ガロア群と言います。これは、体Kから決まる重要な群で、Kのさまざまな情報を含んでおり、今日の整数論・数論幾何学における最も基本的な道具の一つとなっています。特に、有理数体の絶対ガロア群GQは、それ自身が整数論の重要な研究対象です。現代の整数論のかなりの部分は、GQのさまざまな観点からの研究とみなせると思います。

5.3. ノイキルヒ・内田の定理
ガロア理論の基本定理は、ガロア対応により、体の拡大の様子が群の言葉で完全に記述できることを示しています。
しかし、そこに現れる体は、あくまで固定された一つの体の拡大体ばかりです。
遠アーベル幾何の精神は、一種の絶対的なガロア理論であり、ある種の体に対しては、体そのものの様子を群の言葉で完全に記述できるだろうという考えです。
特に、一つの体だけでなく、二つの異なる体の上のガロア群の群論的な比較という問題を含みます。
次のノイキルヒ・内田の定理（の弱形）は、遠アーベル幾何の典型的な例を与えています。
定義. Qの有限次拡大体を代数体と言う。
定理. K1, K2を代数体とする。この時、K1 K2（体として同型）⇐⇒ GK1 GK2（位相群として同型）
通常のQ上の（無限次）ガロア理論の帰結として出るのは、K1 K2 ⇐⇒ GK1とGK2 がGQ内で互いに共役
であり、GK1 ,GK2 はあくまでGQの部分群としてしか見ていません。
その意味で、あくまでQ上の相対的なガロア理論であると言えます。
一方、ノイキルヒ・内田の定理では、GK1 ,GK2 を抽象的な（位相）群として扱っており、GQの部分群として見ているわけではありません。
この意味で、絶対的なガロア理論と言うことができます。

つづく

377 ：１３２人目の素数さん：2024/04/21(日) 13:15:07.75 ID:+2zd27AU.net

つづき

5.4. スキームの基本群と遠アーベル幾何
前節で「絶対的ガロア理論」という遠アーベル幾何の精神について、例を挙げて説明しましたが、なぜ「幾何」なのか、なぜ「遠アーベル」なのか、ということについては説明しませんでした。
以下これについて説明して本稿を終わりたいと思います。
体の一般化として、環という概念があります。体の定義の中で、除法（÷）に関する部分（及び1=0という条件）を全て削除したものが環の定義になります。（正確には、これは「可換環」の定義ですが、ここでは可換環を単に環と呼ぶことにします。）つまり、環とは、加法、減法、乗法が自由にできるような集合のことを言います。体のほか、整数環Zや多項式環K[x1,...,xn]、K[x]などが環の例になります。環の典型的な現れ方として、与えられた空間Xの上の（適当な条件を満たす）関数全体のなす環があります。この場合、関数の値の和、差、積を考えることにより、関数の和、差、積を定義します。（1,0は、それぞれ恒等的に値1,0を取る関数として定義します。）
実は、任意の環はこのようにして得られることが知られています。より正確に言うと、与えられた環Rに対し、アフィンスキームと呼ばれるある種の空間Spec(R)が定まり、Rは空間Spec(R) 上の正則関数全体のなす環と自然に同一視されます。

更に、環を考えることとアフィンスキームを考えることは本質的に同等であることが知られています。
一般のスキームは、アフィンスキームをはり合わせることにより定義されます。１９５０年代後半にグロタンディークによって定義されたこのスキームは、代数多様体（≈多項式で定義される図形）の概念を大きく一般化するもので、現在の代数幾何学・数論幾何学の基礎をなす概念です。グロタンディーク自身により、体のガロア理論は、スキームのガロア理論へと一般化されました。この理論で体の絶対ガロア群に当たるものが、スキームの基本群です。絶対ガロア群は、与えられた体の（有限次分離）拡大体全体を統制する副有限位相群でしたが、基本群は、与えられたスキームの（有限エタール）被覆全体を統制する副有限位相群です。スキームの基本群は、通常の位相幾何（トポロジー）で扱う位相空間の基本群の代数的（ないし代数幾何的）な類似と見ることができます。
１９８０年代初頭、グロタンディークは、遠アーベル幾何という新しい幾何を提唱しました。その基本的な発想の一つは、遠アーベルスキームと呼ばれるある種のスキームの幾何は、その（アーベル群から程遠い）基本群によって完全に決定されるだろう、というものです。グロタンディークの提唱した形での遠アーベル幾何は、遠アーベルスキームの一般的な定義が見つかっていないなど、理論的にはまだまだ発展途上の状態ですが、既にいくつもの重要な結果が得られています。例えば、ノイキルヒ・内田の定理は、（グロタンディークが遠アーベル幾何を提唱する以前の結果ですが）遠アーベル幾何における一つの基本的な結果となっています。また、近年では、代数曲線やそのモジュライ空間の遠アーベル幾何の研究が、（本研究所を中心に）さまざまな角度から進められ、興味深い結果がいくつも得られています。このように、１９世紀前半に生まれたガロア理論は、現代もなお強い生命力を持って進化しています。

(引用終り)
以上

378 ：１３２人目の素数さん：2024/04/21(日) 14:46:59.61 ID:+2zd27AU.net

これいいね

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B5%B6%E5%AF%BE%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%BE%A4
絶対ガロア群
体 K の絶対ガロア群 GK（ぜったいガロアぐん、英: absolute Galois group）とは、K の分離閉包 Ksep の K 上のガロア群のことである。これは、K の代数的閉包の自己同型のうちで K を固定するもの全てから成る群と一致する。絶対ガロア群は副有限群であり、内部自己同型による違いを除いて well-defined である。

K が完全体であれば Ksep は K の代数的閉包 Kalg と等しい。K が標数0の場合や、K が有限体の場合がこれにあたる。

例
・代数的閉体の絶対ガロア群は単位元のみからなる自明な群である。
・実数体の絶対ガロア群は複素共役と恒等写像からなる位数2の巡回群である。これは、複素数体 C が 実数体 R の分離閉包であり、[C:R] = 2 であることから分かる。
・有限体 K の絶対ガロア群は次の群
　𝑍^=lim ←𝑍/𝑛𝑍
と同型である（記号については射影極限参照）。フロベニウス自己同型 Fr は GK の標準的な位相的生成元である。
Fr は、q を K の元の数とすると、Fr(x) = x^q （x は K^alg の元）で定義される写像である。
複素数体上の有理関数体の絶対ガロア群は自由副有限群である。
これはリーマンの存在定理に起源を持つ定理で、アドリアン・ドゥアディ（英語版）により証明された[1]。
・より一般に、任意の代数的閉体 C に対して、有理関数体 K = C(x) の絶対ガロア群は自由でその階数は C の濃度に等しいことが知られている。これはデイヴィッド・ハーバター（英語版）[訳語疑問点]とフロリアン・ポップにより証明され、のちにダン・ハラン（英語版）[訳語疑問点]とモシェ・ジャーデン（英語版）[訳語疑問点]により代数的な方法で別証明が与えられた[2][3][4]。
・K を p 進数体 Qp の有限次拡大とする。p ≠ 2 であれば、この体の絶対ガロア群は [K:Qp] + 3 個の元で生成され、またその生成元と関係式も完全に知られている。これはウーヴェ・ヤンセン（英語版）とケイ・ヴィンベルグ（英語版）[訳語疑問点]による結果である[5][6]。p = 2 の場合にもいくつかの結果があるが、Q2 に対してはその構造は知られていない[7]。
・総実な代数的数全ての体の絶対ガロア群が決定されている[8]。
未解決問題
・有理数体の絶対ガロア群を直接的に記述する方法が知られていない。有理数体の絶対ガロア群の元で他の元と区別できるよう名前が付けられているのは単位元と複素共役だけである[9]。ベールイの定理によりこの絶対ガロア群はグロタンディークの子供のデッサン（曲面上の地図）に忠実に作用するので、代数体のガロア理論を"見る"ことはできる。
・有理数体の最大アーベル拡大 K の絶対ガロア群は自由副有限群であろうと予想されている（シャファレヴィッチの予想）[10]。

https://en.wikipedia.org/wiki/Absolute_Galois_group
Absolute Galois group

379 ：１３２人目の素数さん：2024/04/21(日) 16:00:20.51 ID:+2zd27AU.net

これいいね
Florian Pop先生、さすがですね

https://swc-math.github.io/aws/2005/notes.html
Arizona Winter School 2005
Florian Pop: “Anabelian phenomena in arithmetic and geometry”
Course description
Course notes
Video:
Lecture 1: video
Lecture 2: video
Lecture 3: video
Lecture 4: audio
Course notes https://swc-math.github.io/aws/2005/05PopNotes.pdf

PART I: Introduction and motivation The term “anabelian” was invented by Grothendieck, and a possible translation of it might be “beyond Abelian”.
The corresponding mathematical notion of “anabelian Geometry” is vague as well, and roughly means that under certain “anabelian hypotheses” one has:
∗ ∗ ∗Arithmetic and Geometry are encoded in Galois Theory ∗ ∗ ∗
It is our aim to try to explain the above assertion by presenting/explaining some results in this direction.
For Grothendieck’s writings concerning this the reader should have a look at [G1], [G2].

PART II: Grothendieck’s Anabelian Geometry The natural context in which the above result appears as a first prominent example is Grothendieck’s anabelian geometry, see [G1], [G2]. We will formulate Grothendieck’s anabelian conjectures in a more general context later, after having presented the basic facts about ´etale fundamental groups. But it is easy and appropriate to formulate here the so called birational anabelian Conjectures, which involve only the usual absolute Galois group.

P22
The result above by Mochizuki is the precursor of his much stronger result concerning hyperbolic curves over sub-p-adic fields as explained below.

PART III: Beyond Grothendieck’s anabelian Geometry

References
Ihara, Y., On beta and gamma functions associated with the Grothendieck-Teichmller group II, J. reine angew. Math. 527 (2000), 1–11.
Mochizuki, Sh., The profinite Grothendieck Conjecture for closed hyperbolic curves over number fields, J. Math. Sci. Univ Tokyo 3 (1966), 571–627.
Mochizuki, The absolute anabelian geometry of hyperbolic curves, Galois theory and modular forms, 77–122, Dev. Math., 11, Kluwer Acad. Publ., Boston, MA, 2004.
Nagata, M., A theorem on valuation rings and its applications, Nagoya Math. J. 29 (1967), 85–91.
Nakamura, H., Galois rigidity of the ´ etale fundamental groups of punctured projective lines, J. reine angew. Math. 411 (1990) 205–216.

380 ：１３２人目の素数さん：2024/04/21(日) 19:40:26.47 ID:+2zd27AU.net

ホッジシアター（ホッジ劇場）とは

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99%E9%9A%9B%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%92%E3%83%9F%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%90%86%E8%AB%96
宇宙際タイヒミュラー理論

理論の範囲
遠アーベル的な復元、変形手順のインフラストラクチャは、Θリンクやlogリンクなど、いわゆるホッジ劇場間の特定のリンクによってデコードされる[66]。
これらのホッジ劇場は、IUTの2つの主要な対称性を使用する。乗法演算と加法幾何学である。ホッジ劇場は、アデールやイデールなどの古典的オブジェクトをグローバル要素に関連して一般化し、一方で、望月のホッジ・アラケロフ理論に登場する特定の構造を一般化する。劇場間のリンクは、環またはスキーム構造と互換性がなく、従来の数論幾何学の外部で実行される。 ただし、それらは特定の群構造と互換性があり、絶対ガロア群や特定のタイプの位相群はIUTで基本的な役割を果たす。関数性の一般化である多重放射性の考慮事項は、3つの穏やかな不確定性を導入する必要があることを意味している[66]。

https://ja.ユアペディア.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99%E9%9A%9B%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%92%E3%83%9F%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%90%86%E8%AB%96
宇宙際タイヒミュラー理論
ホッジ舞台[編集]
まず、初期テータ情報が与えられる。
初期テータ情報とは、
・数体Fの代数的閉包をFで割った剰余体
・F上の楕円曲線X_F
・5以上の素数L
・K上の双曲線
・楕円曲線X_Fのモジュライの体における付値の集合V_mod
・わるい還元をもつ楕円曲線における付値の集合V_mod^bad
の組のことである。
ことなる素数Lや体Fごとに初期テータ情報は無数に存在し、 特殊な添え字の理論によってラベルがつけられる。 テータ橋梁がこのラベルを参考にことなる初期テータ情報の関連付けを行う。 テータ橋梁が関連付けるのはテータ情報から出現する素数ストリップのいくつかの組で、 この射の集まりのことをホッジ舞台とよぶ。

381 ：１３２人目の素数さん：2024/04/21(日) 19:59:39.99 ID:+2zd27AU.net

ホッジシアター（ホッジ劇場）とは (2)
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~yuichiro/introduction_to_inter-universal_teichmuller_theory.pdf
宇宙際Teichm¨uller 理論入門(Introduction to Inter-universal Teichm¨uller Theory)
By星裕一郎(Yuichiro Hoshi)

謝辞
本稿のからまでの部分は年月に京都大学数理解析研究所で行われた研究集会宇宙際タイヒミューラー理論の検証と更なる発展での筆者による講演数体の単遠アーベル的復元の内容の一部をまとめて更に説明を付け加えたものでありそして本稿のからまでの内容をもとに年月に九州大学の数論幾何学セミナーにおいて宇宙際理論入門という題目の講演を行いましたこれら講演の機会を与えてくださった望月新一先生田口雄一郎先生にお礼申し上げます

§20.加法的Hodge劇場
§23.θHodge劇場
§25.乗法的Hodge劇場
§26.Hodge劇場と対数リンク

Ｐ3
・§13から§20：テータ関数に関わる局所理論やその大域化の説明、特に、加法的/幾何学的な対称性が重要な役割を果たす加法的Hodge劇場の構成の説明
・§21から§25：数体の復元に関わる理論の説明、特に、乗法的/数論的な対称性が重要な役割を果たす乗法的Hodge劇場の構成の説明
・§26：最終的なHodge劇場の構成の説明

382 ：１３２人目の素数さん：2024/04/21(日) 20:15:49.50 ID:+2zd27AU.net

ホッジシアター（ホッジ劇場）とは (3)
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~yuichiro/introduction_to_inter-universal_teichmuller_theory_continued.pdf
続・宇宙際Teichm¨uller 理論入門(Introduction to Inter-universal Teichm¨uller Theory, Continued)
By星裕一郎(Yuichiro Hoshi)

謝辞
本稿のそれぞれ§2と§3,§7と§16と§17と§18,§1と§4と§5は
2015年12月に京都大学数理解析研究所で行われた研究集会
"代数的整数論とその周辺2015”
での筆者による連続講演宇宙際理論入門の
第1講演,第2講演,第3講演
の内容の一部をまとめて更に説明を付け加えたものです
この連続講演の機会を与えてくださったプログラム委員の高橋浩樹先生大野泰生先生津嶋貴弘先生にお礼申し上げます

目次
§1.初期θデータとHodge劇場
§4.Hodge劇場の加法的対称性
§5.Hodge劇場の乗法的対称性

383 ：１３２人目の素数さん：2024/04/26(金) 15:48:16.07 ID:em70EpiX.net

再録
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1712989377/190-195
山下剛のオモチャのたとえでフーリエ変換と同じ発想でいくのだろ。
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Uchuusai%20ni%20tsuite%20no%20FAQ.pdf
入れものにいれたぼやけた像でも、NMRなどではフーリエ変換の積算回数で、ぼやけのS/N比をクリアにしていく。

>入れものにいれたぼやけた像でも、NMRなどではフーリエ変換の積算回数で、ぼやけのS/N比をクリアにしていく。

あ、そのフーリエ変換の例えは分かり易い
同意です
フーリエ変換を、宇宙と宇宙の変換とは言わない
普通の関数の世界をフーリエ変換で別の世界に写すようなこと（またその逆変換）だと思う

384 ：１３２人目の素数さん：2024/04/26(金) 15:51:30.07 ID:em70EpiX.net

再録
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1712989377/196-197
問題なのはその“ぼやけた数論”とは何か、どう定義するんかって話

>問題なのはその“ぼやけた数論”とは何か、どう定義するんかって話

まさにまさに
下記”blurring”（ぼやけ）がSS文書の論点です
望月氏の”blurring”（ぼやけ）については、SCHOLZE氏は「訳わからん説明だ」みたいな扱い
（わざと、”blurring”を強調したとしか思えない書き方です）

ところで、”blurring”はおそらく 星氏の 宇宙際Teichm¨uller 理論入門（下記）
§10. 軽微な不定性 P113 (Ind1),(Ind2), (Ind3)と関連していると思われます
（ですが、ここから先は私にはさっぱりですので、各自におまかせします）

(参考)
https://www.math.uni-bonn.de/people/scholze/WhyABCisStillaConjecture.pdf
Whyabc is still a conjecture PETER SCHOLZE AND JAKOB STIX Date: July 16, 2018.

P10
The conclusion of this discussion is that with consistent identifications of copies of real numbers, one must in (1.5) omit the scalars j^2 that appear, which leads to an empty inequality.
We voiced these concerns in this form at the end of the fourth day of discussions.
On the fifth and final day,

Mochizuki tried to explain to us why this is not a problem after all.
In particular, he claimed that up to the “blurring” given by certain indeterminacies the diagram does commute;
it seems to us that this statement means that the blurring must be by a factor of at least O(l^2) rendering the inequality thus obtained useless.
（google訳）
望月氏は、結局のところ、なぜこれが問題にならないのかを説明しようとしました。
特に、特定の不確定性によって与えられる「ぼやけ」までは、図は可換であると彼は主張した。
このステートメントは、ぼかしは少なくとも O(l^2) 倍でなければならず、こうして得られた不等式を役に立たなくすることを意味しているように私たちには思えます。

https://eow.alc.co.jp/search?q=blurring
英辞郎 - アルク
blurring の意味・使い方・読み方
名 〔輪郭などの〕ぼけ
形 〔輪郭などが〕ぼやけた、にじんだ

https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/244783/1/B76-02.pdf
RIMS Kˆokyˆuroku Bessatsu B76 (2019), 79–183
宇宙際Teichm¨uller 理論入門 星裕一郎
§10. 軽微な不定性
この“ある軽微な不定性”は3つの部分(Ind1),(Ind2), (Ind3) からなり,
§3 の後半で導入した用語を用いますと,
(Ind1) は単解的なエタール輸送不定性,
(Ind2) は単解的なKummer 離脱不定性,
(Ind3) は正則的な Kummer 離脱不定性です.

385 ：１３２人目の素数さん：2024/04/26(金) 16:23:23.95 ID:em70EpiX.net

(Ind 1,2,3)について：SCHOLZE氏は
下記では まじめに取り上げていないようです

(参考)
https://www.math.uni-bonn.de/people/scholze/WhyABCisStillaConjecture.pdf
Whyabc is still a conjecture PETER SCHOLZE AND JAKOB STIX Date: July 16, 2018.

P9
2.2. Proof of [IUTT-3, Corollary 3.12].
As we indicated earlier, there is no clear distinction between abstract and concrete pilot objects in Mochizuki’s work,
so it is argued in [IUTT-3, Corollary 3.12] that the multiradial algorithm [IUTT-3, Theorem 3.11]*12 implies that up to certain indeterminacies, e.g. (Ind 1,2,3) (without which the conclusion would be obviously false),
this becomes an identification of concrete Θ-pilot objects and concrete q-pilot objects (encoded via their action on processions of tensor packets of log-shells), and then the inequality follows directly.
注）
*12
We pause to observe that with the simplifications outlined above, such as identifying identical copies of objects along the identity, the critical [IUTT-3, Theorem 3.11] does not become false, but trivial.

（google訳（一部手直し））
したがって、マルチラジアル アルゴリズム [IUTT-3、定理 3.11]*12 は、特定の不確定性 即ち (Ind 1,2,3) (これがなければ 結論は明らかに間違っています)があり、[IUTT-3、系 3.12] で 議論されています。
これは、具体的な Θ パイロット オブジェクトと具体的な q パイロット オブジェクト (ログ シェルのテンソル パケットの行列に対するアクションを介してエンコードされる) の識別となり、不等式が直接従います。
注）
*12
私たちは、ここで立ち止まって、アイデンティティに沿ってオブジェクトの同一のコピーを識別するなど、上で概説した単純化によって、重要な [IUTT-3、定理 3.11] が誤りではないが、trivialなものになることを観察します。

386 ：１３２人目の素数さん：2024/04/26(金) 16:32:44.91 ID:em70EpiX.net

(Ind 1,2,3)について：原文は下記です

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20III.pdf
望月新一
[3] Inter-universal Teichmuller Theory III: Canonical Splittings of the Log-theta-lattice. PDF NEW !! (2020-05-18)

P154
for the collection of data (a), (b), (c) regarded up to indeterminacies of the following two types:

(Ind1) the indeterminacies induced by the automorphisms of the procession of D-prime-strips Prc(n,◦DT);

(Ind2) for each vQ ∈ Vnon Q (respectively, vQ ∈ Varc Q ), the indeterminacies induced by the action of independent copies of Ism [cf. Proposition 1.2, (vi)] (respectively, copies of each of the automorphisms of order 2 whose orbit constitutes the poly-automorphism discussed in Proposition 1.2, (vii)) on each of the direct summands of the j+1 factors appearing in the tensor product used to define IQ(S± j+1;n,◦DvQ ) [cf. (a) above; Proposition 3.2, (ii)] —where we recall that the cardinality of the collection of direct summands is equal to the cardinality of the set of v ∈ V that lie over vQ.

(Ind3) as one varies m ∈ Z, the isomorphisms of (a) are “upper semicompatible”, relative to the log-links of the n-th column of the LGPGaussian log-theta-lattice under consideration, in a sense that involves certain natural inclusions “⊆” at vQ ∈ Vnon Q and certain natural surjections “↠” at vQ ∈ Varc Q —cf. Proposition 3.5, (ii), (a), (b), for more details.

387 ：１３２人目の素数さん：2024/04/26(金) 19:29:43.96 ID:CEPjIAQZ.net

>>384

・星裕一郎　IUTT入門
>本稿には, 説明のための不正確な記述が多数存在します.
また, 当 然のことですが, 何か物事を説明する際, その説明の方法は一意的ではなく,
そして, “最 善なもの” というものも通常は存在しないと思います.
本稿で行われている解説は, あく まで, “ある時点での筆者が選択した方法” に
よる 1 つの解説に過ぎません. 別の方が本稿 のような解説を行えば,
まったく別の方法による解説が得られるでしょう.
あるいは, 筆 者が数年後に再びこの理論の解説を試みれば,
また別の方法による解説が得られるかもし れません.

>宇宙際 Teichmu ̈ller 理論の本格的な理解を目指すならば,
どうしても原論文の精読が不可欠である, という当たり前な事実を,
ここに指摘します.

388 ：１３２人目の素数さん：2024/04/26(金) 22:22:00.79 ID:A7Cl6sKK.net

IUT入門 星裕一郎
玉川安騎男先生, 松本眞先生、安田正大先生、田口雄一郎先生、査読者
何人もの人の目を経たIUT入門だということを、理解しましょう！

https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/244783/1/B76-02.pdf
RIMS Kˆokyˆuroku Bessatsu B76 (2019), 79–183
宇宙際Teichm¨uller 理論入門
星裕一郎
P180

謝辞

そのセミナーを共に乗り切りそこでの数々の議論にお付き合いくださった玉川安騎男先生, 松本眞先生に感謝申し上げます. そして, 本稿に対していくつもの有益な指摘をくださった安田正大先生と査読者の方に感謝申し上げます.本稿の§1 から§3までの部分は2015年3月に京都大学数理解析研究所で行われた研究集会“宇宙際タイヒミューラー理論の検証と更なる発展”での筆者による講演“数体の単遠アーベル的復元”の内容の一部をまとめて更に説明を付け加えたものであり,そして, 本稿の§1から§8までの内容をもとに2015年6月に九州大学の数論幾何学セミナーにおいて“宇宙際Teichm¨uller 理論入門” という題目の講演を行いました. これら講演の機会を与えてくださった望月新一先生,田口雄一郎先生にお礼申し上げます.

389 ：１３２人目の素数さん：2024/04/27(土) 10:20:51.17 ID:ow5Z8f7w.net

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/papers-japanese.html
望月新一
講演のアブストラクト・レクチャーノート
[4] Anabelioidの幾何学とTeichmuller理論. PDF 2002年8月
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Anabelioid%20no%20kikagaku%20to%20Teichmuller%20riron%20(Muroran%202002-08).pdf
§1 p進双曲曲線を他宇宙から見る
　我々が通常使用している、スキームなどのような集合論的な数学的対象は、実は、艤論を開始した際に採用された「集合論｣、つまり、あるGrothendieck宇宙の遷択に本質的に依存しているのである。
この「1つの集合論」の採用は、もっと具体的にいうと、
「あるラベル（＝議論に登場する集合やその元の名前）のリストの選択」
と見ることもできる。すると、次のような問い掛けが生じる：
問：スキームのような集合論的幾何的対象を別の集合論的宇宙から見たら、
つまり、たまたま採用したラベルたちを取り上げてみたら、その幾何的対象はどのように見えるか？
このように、宇宙を取り替えたりするような作業を行なう際、別の宇宙にも通じる
数学的対象を扱うようにしないと、議論は意味を成さなくなるが、（本稿では省略す
るが）様々な理由によって、圏は、そのような性質を満たす。
一般に、違う宇宙にも通じるものをinter-universalと呼ぶことにするが、「圏」というものは、最も基本的か
つ原始的なinter-universalな数学的対象ということになる。
さて、スキームを他宇宙から見たらどんな風に見えるか、という問いに答えるためには、
スキームを、inter-universalに表現する必要がある。これには犠々な手法
があるが、本稿では、次のものを取り上げる（別の手頃な例については、[Mzk7]を
参照）：
Et(X) =def {xの有限次エタール被覆の圏｝
(ただし、xは、連結なネータ・スキームとする｡）副有限群Gに対してB(G)を、
Gの連続な作用をもつ有限集合の圏、というふうに定義すると、Et(x)という圏は、
B(π1(X)) (ただし、π1(X)は、xの代数的基本群とする）と同値になる。
ここでは、B(G)を、1つの幾何的対象とみなし、anabelioidと呼ぶことにする。
(引用終り)

１）”スキームなどのような集合論的な数学的対象”とありますが、スキーム（概型）を圏論で扱うところに妙味があるのでは？
２）”艤論を開始した際に採用された「集合論｣、つまり、あるGrothendieck宇宙の遷択に本質的に依存しているのである”も、なんか変です

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A6%82%E5%9E%8B
概型
概型あるいはスキーム (英: scheme) とは、可換環に対して双対的に構成される局所環付き空間である。二十世紀半ばにアレクサンドル・グロタンディークによって導入され、以降の代数幾何学において任意標数の代数多様体を包摂し、係数の拡大や図形の「連続的」な変形を統一的に取り扱えるような図形の概念として取り扱われている
スキームを通じて圏論的に定義される様々な概念は、大きな威力を発揮する

390 ：１３２人目の素数さん：2024/04/27(土) 10:34:33.12 ID:ow5Z8f7w.net

宇宙とは？

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
宇宙 (数学)
集合論や数学基礎論における宇宙とは、特定の状況において考察される実体のすべてを元として含むような類のことである。このアイデアにはいくつものバージョンがあるため、項目を分けて説明する。
ある特定の文脈において
おそらく最も単純なバージョンは、研究対象が特定の集合で閉じている限り、任意の集合が宇宙であるというものである。 もし研究対象が実数として形式化されていれば、実数の集合である実数直線 R は考察下において宇宙になりうる。 これは1870年代から1880年代にかけてゲオルク・カントールが実解析の応用として、初の現代的な集合論と濃度の開発に用いた宇宙である。 カントールが当時興味を持っていた集合は、R の部分集合だった。
この宇宙の概念はベン図の使用に反映されている。 ベン図において、作用は伝統的に宇宙 U を表す大きな四角形の内部に生じる
https://en.wikipedia.org/wiki/Universe_(mathematics)
Universe (mathematics)

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B0%E3%83%AD%E3%82%BF%E3%83%B3%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%82%AF%E5%AE%87%E5%AE%99
グロタンディーク宇宙
宇宙のアイデアは、アレクサンドル・グロタンディークが代数幾何において真のクラスを回避する方法として導入したことに起因する。
グロタンディーク宇宙は、すべての数学が実行可能な集合を与える（実際には、集合論のためのモデルを与える）。
https://en.wikipedia.org/wiki/Grothendieck_universe
Grothendieck universe

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A9%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%8E%E3%82%A4%E3%83%9E%E3%83%B3%E5%AE%87%E5%AE%99
フォン・ノイマン宇宙

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A7%8B%E6%88%90%E5%8F%AF%E8%83%BD%E9%9B%86%E5%90%88
ゲーデルの構成可能集合（こうせいかのうしゅうごう、 constructible universe または Gödel's constructible universe）
https://en.wikipedia.org/wiki/Constructible_universe
Constructible universe

391 ：１３２人目の素数さん：2024/04/27(土) 10:56:24.81 ID:ow5Z8f7w.net

渕野昌 下記の「グロタンディク宇宙」の説明が
分かり易い
望月先生の（グロタンディク）宇宙は、標準的な用語の使い方からずれている

https://fuchino.ddo.jp/index-j.html
渕野昌
https://fuchino.ddo.jp/misc/category-vers-sets-2020-x.pdf
圏論と集合論 23年1月22日
以下の文章は、現代思想2020年現代思想7月号「特集＝圏論」に寄稿した論説の拡張版である。雑誌掲載版では紙数の制限などのために削除した部分も復活させている。また、投稿後／校正後の加筆訂正も含まれる。

4 グロタンディク宇宙 ・・11

「与えられたどんな順序数βよりも大きな順序数αで、Vαが⌜⌜ZFC⌝⌝を満たすようなものが存在する」という公理を集合論に付加して考えると、この体系はZFCより真に強いものとなるが、この体系では、次のようにして、小さい30)圏や、小さい圏からなる大きな圏27)を集合論の対象として捉えなおすことができる

グロタンディク宇宙は、このアイデアでの、「Vα|=⌜⌜ZFC⌝⌝となるVα」の特別な場合で、その存在の主張はこのようなVαの存在の主張よりずっと強くなるが、　反面、もう少し「通常の」数学の言葉で表現できる条件で規定できる集合の概念である。

実際には、大きいカテゴリーの議論を含むカテゴリー論は、ZFCの無矛盾性の強
さを超えずに集合論の中に組み込むことができる

392 ：１３２人目の素数さん：2024/04/28(日) 13:48:31.17 ID:OWUeIreS.net

ゴミ箱
↓
0257 １３２人目の素数さん 2024/04/28(日) 13:23:08.55

>>254
>望月論文の意味がわかる、ちゃんと標準的な数学の表現だけを使って表現できるならやればいい

・プロ数学者が考えていることは、IUTを乗り越えていくこと
・"Arithmetic and Homotopic Galois Theory”は、IUTの復習セミナーにあらず
・みんな自分の次の論文を狙っています（下記は一例）

(参考)
https://ahgt.math.cn...ry%20RIMS%202024.pdf
A RIMS- Kyoto University & “Arithmetic and Homotopic Galois Theory” lecture
BERKOVICH METHODS FOR ANABELIAN RECONSTRUCTIONS AND THE RESOLUTION OF NONSINGULARITIES
E. LEPAGE- April. 08, 10, & 12, 2024

RESOLUTION OF NON-SINGULARITIES AND LOG-DIFFERENTIALS TALK 2 This talk will focus on Mochizuki and Tsujimura’s proof of the absolute anabelian conjecture: every isomorphism between the étale fundamental groups of hyperbolic curves over finite extensions of Qp is geometric. The new input of their work is the proof of resolution of non-singularities: given a hyperbolic curve X over a finite extensions of Qp is geometric, every divisorial valuations on K(X) comes from some irreducible component of the special fiber of the stable model after replacing X by some finite étale cover. If Mochizuki and Tsujimura’s proof is written in a purely scheme-theoretic framework, some of its intuition comes from previous work using analytic methods: resolution of non-singularities can be reduced to the study of the vanishing of differentials appearing in the image of the Hodge-Tate map H1(XCp ,Zp(1)) → H0(XCp ,Ω1). I will reformulate their proof using analytic geometry.
ID:Agzcnutl(3/3)

0259 １３２人目の素数さん 2024/04/28(日) 13:41:10.60
カレーにスルー

393 ：１３２人目の素数さん：2024/04/28(日) 18:35:51.50 ID:OWUeIreS.net

>>384
ゴミクズ

「不確定性原理」
信号処理と量子力学とに関係していて
コーシー＝シュワルツの不等式
である”不確定性”の存在が証明されるという（下記）
”不確定性”＝誤差 と読み替えれば分かり易いかも
そして、コーシー＝シュワルツの不等式を使うから
不等式が出てくるのは、当然のこと
（不等式は基礎論とは、無関係だが、量子論理という分野があるそうな）

394 ：１３２人目の素数さん：2024/04/28(日) 18:37:36.96 ID:OWUeIreS.net

IUTTはトンデモ

395 ：１３２人目の素数さん：2024/04/28(日) 19:51:14.93 ID:5VbZet92.net

ゴミ箱　IUTTはトンデモ

MathWills @KimChan
信号処理と不確定性原理と量子力学と 2020/12/12

信号処理の授業で不確定性原理の話が出てきて、証明を見たら、量子力学の不確定性原理とまったく同じやんけ！と思った経験を整理しました。
本投稿では、信号における局在性の定義を説明してから、その不等式制約を示して、最小波束を導出します。
最後に、一次元量子力学の不確定性原理も定数倍を除いてまったく同じ証明であることを説明します。(量子力学の知識がなくとも、お楽しみいただけるかと思われます。)

目次
信号とフーリエ変換
局在性の定義
局在性の制約
最小波束
cの制約
最小波束の計算
量子力学との関係
おわりに

後で使うコーシー＝シュワルツの不等式を復習しておきます。
コーシー＝シュワルツの不等式
任意の信号
g(t),h(t)について、以下の不等式が成立する。等号が成立するのは、
∃c∈Cに対して、
h(t)=cg(t)を満たすときのみである。
略
局在性の制約
実は、時間領域と周波数領域における局在性(分散)の積、つまり
(Δt)^2 *(Δω)^2
の値には不等式制約が存在します。
これをコーシー＝シュワルツの不等式を用いて証明するのですが、

396 ：１３２人目の素数さん：2024/05/04(土) 08:31:08.68 ID:B+vDRgim.net

転載
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1713536729/266
2024/05/04(土) 08:07:32.28ID:B+vDRgim
>>265
>https://mathoverflow.net/questions/108860/anabelian-geometry-study-materials
>Will Sawinはanabelian geometryを勉強しているようだ。

なるほど
・Will Sawinのコメントは２カ所あり
　i)Cite Improve this answer Follow edited Dec 12, 2013 at 18:49 Will Sawin
　ii)2 That is quite a list of authors. – Will Sawin Oct 5, 2012 at 18:39
　ですね。
・補足すると、上記”ii)2”は、”answered Oct 5, 2012 at 7:45 Niels”へのコメントで
　”i)Cite Improve ”は、Dec 12, 2013で １年後に思い出したようにFollowしている

追記
・”1 users.ictp.it/~pub_off/lectures/lns001/Matsumoto/Matsumoto.pdf –
Junyan Xu
May 7, 2013 at 23:11
Add a comment”
があるが、リンク切れ

・ここ5chでもあるが、単にURLのリンクだけ貼ると
　リンク切れのときに、再現が難しいんだ
　だから、必ず 題名と年月日と著者は、明記するようにしているのです
・Matsumoto＝松本眞 広島大と思うのだが

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9D%BE%E6%9C%AC%E7%9C%9E_(%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%80%85)
松本 眞（まつもと まこと、1965年2月18日[1] - ）は、日本の数学者。名前の表記は旧字体の「眞」が正しい[2]。
広島大学大学院理学研究科教授。専門は疑似乱数、数論幾何、組合せ数学、位相幾何学。優れた疑似乱数生成法であるメルセンヌ・ツイスタを考案したことで知られる。
http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/m-mat/
まつもと まことのホームページ
（本人の情報 2023年8月一杯で退職しました）

（これ良いんじゃね？）
http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/m-mat/TEACH/TEACH/kyokusen1.pdf
代数曲線に触れる松本　眞∗平成16年12月12日
http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/m-mat/TEACH/hosoku1.pdf
代数曲線に触れる:補足松本　眞∗平成21年12月2日
目次
1局所環1
2ネーター環4
3近代的代数幾何（空間概念とスキーム論）5
3.1アフィンスキーム：集合から関数環へ. . . . . . . . . . . 6
4層10
4.1カテゴリー（圏）. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

397 ：１３２人目の素数さん：2024/05/04(土) 08:33:20.98 ID:B+vDRgim.net

転載
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1712989377/400
2024/05/01(水) 17:18:42.78ID:htxJqTT9
いま振り返ってみると
下記の「過去と現在の研究の報告 (2008-03-25 現在）」が
非常に参考になる！
必読の文献だね

１）
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Kako%20to%20genzai%20no%20kenkyu%20(fonto%20umekomi%20ban).pdf
過去と現在の研究の報告 (2008-03-25 現在）　（フォント埋め込み版）

(c)楕円曲線のHodge-Arakelov理論: (1998年〜2000年）
この理論は、
古典的なガウス積分
∫-∞〜∞ exp(-x^2)dx＝√π
の「離散的スキーム論版」と見ることもできる。詳しくは、
A Survev of the Hodge-Arakelov TheolEV of ElliDtic Curves I.II
をご参照下さい。

P5
因みに、2000年夏まで研究していたスキーム論的なHodge-Arakelov理論がガウス
積分
∫-∞〜∞ exp(-x^2)dx＝√π
の「離散的スキーム論版」だとすると、IUTbichは、
このガウス積分の「大域的ガロア理論版ないしはIU版」
と見ることができ、また古典的なガウス積分の計算に出てくる「直交座標」と「極座
標」の間の座標変換は、(IU版では）ちょうど「The geometry of Frobenioids l II」
で研究した「Frobenius系構造」と「etale系構造」の間の「比較理論」に対応して
いると見ることができる。この「本体」の理論は、現在のところ二篇の論文に分けて
書く予定である。

２）
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/students-japanese.html
望月新一を指導教員に志望する学生・受験生諸君

398 ：１３２人目の素数さん：2024/05/04(土) 08:50:33.99 ID:B+vDRgim.net

転載
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1712989377/476-477
2024/05/02(木) 23:32:38.54ID:e13eGB1v
>> 472-473
信心というより、修行（いわゆる勉強）が足りないのでは？
下記の”望月研を希望する学生へ”のどの段階まで、修行は進んでいますか？

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/students-japanese.html
望月研を希望する学生へ
私の研究の主なテーマは、「双曲的代数曲線の数論」です。「双曲的代数曲線」
とは、大雑把に言うと、多項式で定義される幾何学的な対象の中で、上半平面
で一意化されるリーマン面に対応するものです。ただし、複素数体の上でしか
意味を成さないリーマン面の理論と違って、代数的な対応物を扱うことによっ
て、数体やp進局所体といった「数論的な体」の上で定義されたものの様々な
興味深い性質を考察することが可能になります。また、双曲的なリーマン面と
同様に、双曲的代数曲線の研究では、基本群およびその基本群へのガロア群の
作用が重要な役割を果たします。私の研究に関するもっと詳しい説明について
は本サイトの「論文」、「過去と現在の研究」、または「出張・講演」を
ご参照下さい。

修士課程への入学を希望する学生に対しては次のような予備知識を
要求しております：
　(1) 代数位相幾何の基礎的な知識（＝基本群や特異コホモロジー）
　(2) リーマン面の基礎的な知識（＝line bundleやRiemann-Rochの定理）
　(3) 可換環論やスキーム論の基礎的な知識（「松村」、「Hartshorne」を参照）
ただし、特に(3)については完全な理解を要求するのではなく、内容に対して一定の「親しみ」さえあれば、
入学してからセミナーなどで復習することは可能です。

仮に修士課程に入学し、私の学生になった場合の、少なくとも最初の一年間の「カリキュラム」は
大体次のとおりになります：
　(a) 「松村」、「Hartshorne」の復習
　(b) 複素多様体や微分多様体の理論の復習
　(c) エタール・トポス、エタール・コホモロジー、エタール基本群
　(d) 曲線やアーベル多様体のstable reduction
　(e) log scheme の幾何
　(f) エタール基本群のweightの理論

これらの基本的なテーマの勉強が済んだら、
　(i) crystalやcrystalline site, crystalline cohomology
　(ii) Fontaine氏が定義した様々な「p進周期環」
　(iii) p-divisible groupsとfiltered Frobenius moduleの関係
　(iv) Faltingsのp進Hodge理論
　(v) p進遠アーベル幾何
　(vi) p進Teichmuller理論
のようなp進的なテーマに進むことなどが考えられます。

つづく

399 ：１３２人目の素数さん：2024/05/04(土) 08:50:51.48 ID:B+vDRgim.net

つづき

「IUTeich」（宇宙際タイヒミューラー理論）ですが、
様々な既存の理論の上に成り立っているそれなりに高級な理論なので、修士課程の段階で直接IUTeichの
勉強を始めるのはちょっと難しいと思いますが、関連したテーマで、IUTeichの「心」を汲んでいるものについて
勉強することは可能です。IUTeichの「心」は、簡単に言うと、次のようなものです：
　「数論幾何において本質的なのは、環やスキームのような‘具体的’な対象たちではなく、むしろそれら
　の具体的なスキーム論的な対象たちを統制している、様々な（‘組み合わせ論的アルゴリズム’に近い）
　抽象的なパターンである。」

このような現象の典型的な例として次のようなものが挙げられます：
(1) log schemeの幾何：詳しくは、私の論文　Extending Families of Curves over Log Regular Schemesの
文献リストに出ている加藤和也先生の二つの論文を参照して下さい。簡単にまとめると、
「多項式環等、Noether環の構造のある側面の本質は、モノイドという組み合わせ論的な対象に集約される」
という内容の理論です。
(2) 遠アーベル幾何：これについては、沢山の論文を書いていますが、入門的な解説では、次の二つが挙げ
られます：
・「代数曲線の基本群に関するGrothendieck予想」
・「代数曲線に関するGrothendieck予想 --- p進幾何の視点から」
簡単にまとめると、「数論的な体」の上で定義された双曲的曲線の構造は、その有限次エタール被覆の自己
同型群の群論的構造だけで決まるという理論です。

(3) 圏の幾何：これについては、私の論文
・Categorical representation of locally noetherian log schemes
・Categories of log schemes with archimedean structures
・Conformal and Quasiconformal Categorical Representation of Hyperbolic Riemann Surfaces

それから、講演のレクチャーノート
・「A Brief Survey of the Geometry of Categories (岡山大学 2005年5月)」
を参照して下さい。簡単にまとめると、スキーム（または、log schemeやarchimedeanな構造付きのlog
scheme）や双曲的リーマン面の構造は、そのような対象たちが定義する圏（＝‘category'）の圏論的構造
だけで決まるという話です。

因みに、IUTeich関係の話では、p進Teichmuller理論に登場する「標準的なFrobenius持ち上げの微分を
とる」という操作の「抽象的パターン的類似物」が主役です。p進Teichmuller理論の解説としては、
・An Introduction to p-adic Teichmuller Theory
・「An Introduction to p-adic Teichmuller Theory」 (和文）
が挙げられます。
(引用終り)
以上

400 ：１３２人目の素数さん：2024/05/04(土) 10:12:00.48 ID:B+vDRgim.net

転載
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1713536729/
2024/05/03(金) 20:40:39.91ID:ygS3n9Mw
>>251
>このabc喜劇において与えられた役割を立派に果たすがよい

おお
良いことを

望月氏も、2003年ころは 宇宙に夢をみて
a∈aに妄想をたくましくしていたが
出来上がった理論は、結構ZFCGの中におさまったらしい
しかし、若い頃（20年前）の余韻さめず、IUT理論と名付ける

若手Z氏がもう一人の数学者と来日し、討議したのち
返信で相手を罵倒する悪いクセが出た（joshi氏にも罵倒癖でた。なんだかな）

かっかかっかしたZ氏は、意趣返しのレビューを出す大失態（若気の至り）
一方、望月氏にはフランス国から強力な援軍が参戦
米国から、ケドラヤ氏やフロリアン・ポップ氏も参加
Stixもどうも宗旨替えをした感あり

はてさて、この結末やいかに！

401 ：１３２人目の素数さん：2024/05/04(土) 10:17:52.98 ID:B+vDRgim.net

転載
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1712989377/425-430
2024/05/02(木) 11:15:51.94ID:D4jdpvN5
>> 410
>F_1のところだけど、フロベニオイドのとこだよね。

１）F_1は、下記の2003年九大と北大の講演で出てくる意味は
　明らかに、一元体のF1の意味ですよ （>>395より 一元体 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BD%93 ）
２）”信州大(2008)の講演資料 https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/taguchi-san-no-nooto.pdf”
　ではなく、そこは 下記の九州大学 2003年7月 田口さんのノートのことですよ
　で 田口さん＝田口 雄一郎氏で、現在東工大教授ですね（彼は同時九大です（下記））
３）おっしゃる通り”フロベニオイドは望月新一（2008）によって導入された”が
　2003年当時は、F1=一元体を考えていた
　一元体だから、本来は元aしかない、つまり「a∈F1」しかないｗ
　だれが考えても、元aの1個ではどうしうもない！ｗ
　そこで、”a∈a∈a∈a・・”と妄想したのかも（2003）
　その妄想が、”フロベニオイド”になったかもしれないですね（2008）
　それは、まさに天才の発想ですね

(参考)
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/travel-japanese.html
望月新一 出張・講演
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/taguchi-san-no-nooto.pdf
[9] 数論的 log scheme の圏論的表示　（九州大学 2003年7月）. 田口さんのノート
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Suuronteki%20log%20scheme%20no%20kenrontekihyouji%20kara%20mita%20daen%20kyokusen%20no%20suuron%20(Hokudai%202003-11).pdf
[10] 数論的log schemeの圏論的表示から見た楕円曲線の数論　（北海道大学 2003年11月）. PDF

https://nrid.nii.ac.jp/ja/nrid/1000090231399/
田口 雄一郎 TAGUCHI Yuichiro
所属 (現在)
2024年度: 東京工業大学, 理学院, 教授
所属 (過去の研究課題情報に基づく)
*注記 2016年度 – 2023年度: 東京工業大学, 理学院, 教授
2015年度: 東京工業大学, 理工学研究科, 教授
2012年度 – 2015年度: 九州大学, 数理(科)学研究科(研究院), 准教授
2013年度 – 2014年度: 九州大学, 数理学研究院, 准教授
2007年度 – 2012年度: 九州大学, 大学院・数理学研究院, 准教授
2008年度 – 2011年度: 九州大学, 数理学研究院, 准教授
2006年度: 九州大学, 大学院数理学研究院, 准教授
2005年度 – 2006年度: 九州大学, 大学院数理学研究院, 助教授
2005年度: 九州大学, 大学院・数理学研究所, 助教授
2005年度: 九州大学, 大学院数理学研究科, 助教授
2001年度 – 2005年度: 九州大学, 大学院・数理学研究院, 助教授
2004年度: 九州大学, 大学院・数理学研究科, 助教授
1999年度 – 2000年度: 北海道大学, 大学院・理学研究科, 助教授
1998年度: 北海道大学, 大学院理学研究科, 助教授
1997年度: 東京都立大学, 大学院・理学研究科, 助手
1997年度: 東京都立大学, 理学研究科, 助手
1993年度: 東京都立大学, 理学部, 助手

つづく

402 ：１３２人目の素数さん：2024/05/04(土) 10:18:11.51 ID:B+vDRgim.net

つづき

2024/05/02(木) 11:42:14.40ID:D4jdpvN5
>> 425 補足
>https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/travel-japanese.html
>望月新一 出張・講演
>https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/taguchi-san-no-nooto.pdf
>[9] 数論的 log scheme の圏論的表示　（九州大学 2003年7月）. 田口さんのノート
(引用開始)
P1
これは新しい幾何の世界への入口である。
但し、scheme論では上の等式によりaffine schemeを貼合せることが出来たが、
ここでは通常のscheme論を安易にまねて貼合せをするのではなく、
一般の圏を､圏同値を除いて､扱ふ
(つまり圏が基本的幾何的対象｡）
これをIU幾何( inter-universal geometry )と呼ぶ。

圏としてSch(X)の形のものだけ考へてゐたのでは
本質的に（通常のscheme以上に）新しい対象は出て来ない。
新しい幾何を得るためには圏Sch(X)を少し「狭める」必要がある。
この様な新しい幾何的対象（圏）として､現在
次の二つのものが考へられてゐる：
(1) Loc*型圏（ここでは″F_1上のFrobenius"が定義出来る｡）
(2)分布版（これにより"F 1上の楕円曲線の族の分類射"が定義出来る｡）
略す
P2
別な言ひ方をすれば､分類射Loc*→M/F_1が出来た！
(引用終り)

さて、上記で
・新しい幾何の世界、通常のscheme論でなく、つまり圏が基本的幾何的対象
・これをIU幾何( inter-universal geometry )と呼ぶ
・この様な新しい幾何的対象（圏）として､現在
　(1)Loc*型圏（ここでは″F_1上のFrobenius"が定義出来る｡）
　(2)分布版（これにより"F 1上の楕円曲線の族の分類射"が定義出来る｡）
　別な言ひ方をすれば､分類射Loc*→M/F_1が出来た！
と記されています

なので、F_1は 一元体
″F_1上のFrobenius"が定義出来る→フロベニオイド
じゃないでしょうか
(引用終り)
以上

403 ：１３２人目の素数さん：2024/05/04(土) 10:26:59.54 ID:B+vDRgim.net

F1＝一元体について
黒川・小山先生が
「望月氏の論文は、F1上の微分をF1上の小平・スペンサー写像として構成するところが最大の要点であり」
と記されている
この本（ABC予想入門）は、私も読みました

https://アマゾン
ABC予想入門 ペーパーバック – 2018/2/16
黒川 信重 (著), 小山 信也 (著) ‎ PHP研究所

上位レビュー、対象国： 日本
susumukuni
5つ星のうち5.0 abc予想が映す現代数学の風景： 数学愛好者に薦められる超面白い一冊
2013年4月2日に日本でレビュー済み
Amazonで購入
望月新一教授の論文で解決されたのでは？と現在注目を集めている「abc予想」の解説書である。この予想が提出されるに至った歴史的経緯、この予想から導かれる重大な帰結、更にラングの講義録集『ラング 数学を語る』の第II講に、この予想が「20世紀における最高の予想の１つ」として解説されている事、などをご存知の数学ファンも少なくないだろう。本書はその様な方々にとっても、とても魅力ある書であると言える。

本書の最大の魅力は、ゼータ関数論や絶対数学の開拓者であり唱道者でもある著者が、abc予想とゼータ関数に関する「リーマン予想」と「ラングランズ予想」、さらに楕円曲線と保型形式の数論との関わりを情熱的に語っている所にあると思う。
例えば、2.6「素数とリーマン予想」、2.7「リーマン予想と絶対数学」では、リーマン予想とラングランズ予想攻略への絶対数学の位置づけに関する著者の揺ぎない信念が語られており、非常に印象的である。
また、「望月氏の論文は、F1上の微分をF1上の小平・スペンサー写像として構成するところが最大の要点であり」とあり、壮大な数学宇宙の広がりを予見させてくれる。

404 ：１３２人目の素数さん：2024/05/04(土) 12:52:07.38 ID:9aDs5pF7.net

Fq は元数がqである有限体を表す記号です。
元数が1である有限体は存在しません。
何を言ってるかわかりません。

405 ：１３２人目の素数さん：2024/05/04(土) 14:11:14.29 ID:7JN7PIJg.net

そういう質問をしたら
「君アッチいってなさい」
といわれた

406 ：１３２人目の素数さん：2024/05/04(土) 20:25:36.77 ID:B+vDRgim.net

en.wikipedia Monoid schemes 「環の加法構造を「忘れ」、乗法構造だけを残すこと」 これIUTそっくり

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BD%93
一元体（field with one element）あるいは標数1の体とは、「ただひとつの元からなる有限体」と呼んでもおかしくない程に有限体と類似の性質を持つ数学的対象を示唆する仮想的な呼称である
しばしば、一元体を F1 あるいは Fun[note 1] で表す
通常の抽象代数学的な意味での「ただひとつの元からなる体」は存在せず、「一元体」の呼称や「F1」といった表示はあくまで示唆的なものでしかないということには留意すべきである

そういった新しい枠組みにおける理論で一元体を実現しているようなものは未だ存在していないが、標数 1 の体に類似した対象についてはいくつか知られており、それらの対象もやはり用語を流用して象徴的に一元体 F1 と呼ばれている
なお、一元体上の数学は日本の黒川信重ら一部の数学者によって、絶対数学と呼ばれている

F1 が旧来の意味の体にならないことは、体が通常加法単位元 0 と乗法単位元 1 という二つの元を持つことから明らかである
制限を緩めて、ただひとつの元からなる環を考えても、それは 0 = 1 のみからなる零環 (trivial ring) であり、零環の振舞いと有限体の振る舞いは大きく違うものになってしまう
提案されている多くの F1 理論では抽象代数学をすっかり書き換えることが行われており、ベクトル空間や多項式環といった旧来の抽象代数学でしばしば扱われる数学的対象は、その抽象化された性質とよく似た性質を持つ新しい理論における対応物で置き換えられている
このような理論によって新しい基礎付けのもと可換環論や代数幾何学の展開が可能となる
こういった F1 についての理論の決定的な特徴のひとつは、新しい基礎付けのもとで古典的な抽象代数学で扱ったものよりも多くの数学的対象が扱えるようになり、そのなかに標数 1 の体であるかのように振舞う対象があるということである

https://en.wikipedia.org/wiki/Field_with_one_element
Field with one element
This object is denoted F1, or, in a French–English pun, Fun.

Monoid schemes
Deitmar's construction of monoid schemes[25] has been called "the very core of F1‑geometry",[16] as most other theories of F1‑geometry contain descriptions of monoid schemes. Morally, it mimicks the theory of schemes developed in the 1950s and 1960s by replacing commutative rings with monoids. The effect of this is to "forget" the additive structure of the ring, leaving only the multiplicative structure. For this reason, it is sometimes called "non-additive geometry".
（google訳）
モノイドスキーム
Deitmar のモノイド スキームの構築[25] は、 F 1幾何学の他のほとんどの理論にモノイド スキームの記述が含まれているため、「 F 1幾何学のまさに核心」と呼ばれています[16]。道徳的には、可換環をモノイドに置き換えることによって 1950 年代と 1960 年代に開発されたスキーム理論を模倣しています。この効果は、環の加法構造を「忘れ」、乗法構造だけを残すことです。このため、「非加算ジオメトリ」と呼ばれることもあります

407 ：１３２人目の素数さん：2024/05/04(土) 21:42:23.34 ID:b7B9koXu.net

【閲覧注意】

>1は数学の線形代数|・|≠0を理解できないトンデモ　
↓
0426 １３２人目の素数さん
2023/10/29(日) 14:22:15.63

IUTは、ガリレオ天動説です
だんだん、理解され受け入れられてきたよ

408 ：１３２人目の素数さん：2024/05/06(月) 09:04:25.44 ID:Co8XPBRF.net

IUTとF1

https://m-hiyama.はてなblog.com/entry/20100713/1278997329
檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)
2010-07-13
僕がエフイチにハマる理由

ここんとこF1の話ばっかりしてますな。

「いわゆる「一元体」の正体をちゃんと考えてみる」において、「F1」という記法も、「一元体」「標数1の体」という言葉もあまりにも不適切でヒド過ぎるとブーたれたけど、いまさらどうにもならないので、F1を使います。太字・下付きが面倒ならF1、呼び方はエフワンだとカーレースみたいだからエフイチ。

F1の計算て、デジャブな感じ、何かと思い当たるふしがあるのです。そこが面白い。コンヌみたいな超天才の大数学者が、喩え話とかではなくて、モロに 1 + 1 を真剣に探求しているってことも、世間話としては楽しいしね。

F1単独じゃなくて、F2、B、F1の3つ組で考えるとより興味深いと思います。どれも台集合は {0, 1} で、足し算が違います。もし1ビットの計算機があったら、機械語命令Addは、繰り上がりを捨てて 1 + 1 = 0 とするのが自然だと思います； これはF2の計算。真偽値計算なら、1 + 1 = 1 （論理OR）ですよね； Bの計算がこれです。skipとhangについては「コンヌの挑戦とプログラムの代数」で述べました； これ、F1の計算になっています。

1956年にティッツ（Tits）が夢想した「n次の一般線形群GLn(K)が、n次の対称群（置換群）になる」状況は、拡張アミダ圏で実現できます。つまり、拡張アミダ圏は、“足し算なしの線形代数”のモデルになっています。

半世紀近くも見つからなかった構造がこんなに簡単だったなんて、なんか面白いでしょ。

[追記]
あーそうだ、もうひとつ理由がありますね。F1の掛け算九九は簡単です：「ゼロゼロがゼロ、ゼロイチがゼロ、イチゼロがゼロ、インイチがイチ」 -- これなら子供に負けないでしょう。（http://d.hatena.ne.jp/m-hiyama/20100714#c1279078194 参照）

409 ：１３２人目の素数さん：2024/05/06(月) 09:21:29.07 ID:Co8XPBRF.net

IUTとF1 その2
//m-hiyama.はてなblog.com/entry/20100709/1278665632
檜山正幸のキマイラ飼育記 201007
コンヌの挑戦とプログラムの代数
掛け算から足し算を作るパズルとしてだけではなく、コンヌ／コンサニの論文はとても興味深いものです

「掛け算ありき」から見えるエキゾチックな世界と真実の世界
モノイドだけで作る幾何空間 準備編
なにが興味深いかというと、まったく単純でつまらなそうな対象物のなかに極めて深遠な構造が隠されているかもしれない可能性と神秘性です。それと、その“単純でつまらなそうな対象物”がコンピュータやソフトウェアの世界でもお馴染みのモノだということです。あまりにも“単純でつまらなそう”なので、注目も意識もされないのですが、これなしでは何もできないほどに本質的かつ基本的な対象物です

謎の代数 {0, 1}
コンヌ御大が、非可換幾何、スキーム理論、モチーフ理論などを総動員して探求・解明しようとしている代数系は {0, 1} です。なんでこんな“単純でつまらなそうな”モノが壮大なアタックの対象になるのか、それが謎ですよね。僕は、かすかに雰囲気を感じるだけで分かってません。それでも、コンヌとその周辺の試みが成功すると、とんでもないインパクトがありそうなことを察することはできます

次に足し算です。足し算の可能性、あるいは足し算に対する態度は3つあるようです
1.1 + 1 = 0 と定義する
2.1 + 1 = 1 と定義する
3.1 + 1 は未定義とする
1番目は、F2 = Z/2Z の計算なので、今までもよく知られていたものです。2番目はANDとORを持つ論理計算 -- 掛け算も足し算もベキ等な可換代数系になります。F2に比べると少し型崩れした感じがありますが、論理計算はお馴染みです。これはブール代数なのでBで表します

最後のケースが、足し算を考えない吸収元付きモノイドです。コンヌやその他の人々は、この代数系をF1（標数1の体）と書きます。その意味をあまり詮索せずに、記号「F1」は単なる符丁と考えたほうが精神衛生上は良いと思います

コンヌ達は、F1を実際に基礎体のごとく扱って、F1上のベクトル空間、拡大体、多元環（algebra）、加群などを議論しているようです。足し算なしの線形代数ですね。まー、「足し算なしの線形代数」は常人の想像を超えているので、とっかかりはゼロ（吸収元）付き可換モノイドを調べよう、となるでしょう（その話が、「モノイドだけで作る幾何空間 準備編」）

プログラムは順次実行で結合できますから、順次実行を掛け算とする（非可換）モノイドになります。そして、プログラムは状態空間に作用しますから、モノイド作用を持つ集合（状態空間）としてシステムをモデル化できます。状況をまとめてみると：
・プログラムのモノイドは{0, 1}を含みます
・そのモノイドは状態空間に作用しています
さて一方、基礎体（係数体）K上で線形代数をやろうとすると、Kを含む多元環（可換とは限らない）Aを考えて、A上の加群を考えたりします。このとき：
・多元環Aは基礎体Kを含みます
・その多元環は加群に作用します
「『足し算なしの線形代数』は常人の想像を超えている」と書きましたが、よく知られているプログラムの実行モデルは「足し算なしの線形代数」にかなり近いんじゃないか、とも思えます
コンヌ御大の挑戦が僕らに無関係だとは言えません

410 ：１３２人目の素数さん：2024/05/06(月) 09:30:54.33 ID:Co8XPBRF.net

IUTとF1 その3

https://m-hiyama.はてなブログ.com/entry/20100707/1278464212
檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)
2010-07-07
モノイドだけで作る幾何空間 準備編

コンヌとコンサニの論文 "Characteristic 1, entropy and the absolute point" （ http://www.alainconnes.org/docs/Jamifine.pdf）を拾い読みすると、次のようなメッセージがあるように思えます。

掛け算があれば、足し算はなくてもいいんじゃないか
今まで可換環が担っていた役割を、吸収元付き可換モノイド（commutative monoid with absorbing element）で代用することがかなりの程度できるようです。ただし、足し算は冗長な概念だったということではなくて、足し算がない世界も存在し得るということです。そして足し算がない世界は、足し算がある世界とは様相が一変します。エキゾチックを超えてミステリアスな世界のようです*1。

以下では、モノイド演算は常に掛け算（乗法）とみなし、その吸収元をゼロと呼びます。足し算は考えないので、ゼロは足し算の中立元（単位元）ではなくて、掛け算により次のように特徴付けられる元です。

・任意のxに対して、x・0 = 0・x = 0

ゼロ付き可換モノイドの圏をCMoZ（Commutative Monoid with Zero から）と書くことにします。CMoZの射は、f(0) = 0 となるモノイド準同型です。（コンヌ／コンサニは、CMoZではなくMoという記法を使っています。）

ここでは、コンヌ／コンサ二に沿って、ゼロ付き可換モノイド概念だけから幾何空間（geometric space）を構成します。「空間」という言葉はやたらに色々な場面で使われるので、本来の幾何学的な空間を幾何空間と呼びます。幾何空間とは位相空間であって、座標や関数環（の類似）の概念を持つものです。デカルトの意味での解析幾何の対象物と言ってもいいかもしれません。

まだ定義はしていませんが、幾何空間の圏をGSと書きます。モノイドがベースなので、モノイド幾何空間または幾何モノイド空間（monoidal geometric space, geometric monoidal space）と呼ぶのが正式ですが、モノイド・ベースだと了解されているなら単に幾何空間とします。モノイド空間とは限らない場合は、「一般の幾何空間」と呼ぶことにします。

一般の幾何空間のアブストラクトナンセンスな定義
Cは圏で、その部分圏Lが与えられているとします。C=(可換環の圏)、L=（局所環の圏）が典型的な例です。圏Cの対象は、空間の上に棲んでいる関数達の集合を表現するモノです。部分圏Lの対象は特に、1点での関数芽の集合を表現するのに適したモノ、Lの射は1点の周辺の対応を記述するモノですね。茎や芽の概念を定義するために、圏Cでは、有向系（directed family of objects）の極限が取れる必要があります。

つづく

411 ：１３２人目の素数さん：2024/05/06(月) 09:31:20.81 ID:Co8XPBRF.net

つづき

さて、(X, S)が(C, L)に値を持つ幾何空間であるとは：
1.Xは位相空間である。Xを、幾何空間の台空間（underlying (topological) space）と呼ぶ。
2.SはX上の層である。Sを、幾何空間の構造層（structure sheaf）と呼ぶ。
3.Xの点xにおける茎Sxは、部分圏Lの対象となる。
最後の条件は局所性（locality）条件と呼びます。Cの部分圏Lに属する対象は、空間の1点の状況を記述する目的のモノで、局所対象と呼びます。局所性条件は、空間の各点が実際に局所対象で記述できるということです。

C=(可換環の圏)、L=（局所環の圏）であるときが、通常の代数幾何のセッティングです。これ以外の状況を一般的に定義してもナンセンスな感じですが、可換環以外の例が少なくとも1つ（モノイドのケース）がある*2ので、一般的な定義を与えておきます。

モノイド・ベースの幾何空間
上の一般的な幾何空間の定義では、(C, L)がパラメータになっていました。(C, L)を具体化します。
・ベースとなる圏Cとして、CMoZを採用する。つまり、可換な掛け算ができて、0を持つような代数系とその準同型の圏です。
・Cの部分圏Lとして、対象はCMoZと同じで、可逆元の逆像がちょうど可逆元になるような準同型（後述）からなる圏をとる。
二番目の条件は次の意味です； f:M→N がCMoZの射だとして、M×, N×を可逆元の集合だとします。掛け算の単位1は可逆元なので、M×, N×は空ではありません。fが局所射だとは次が成立することです。

足し算と掛け算
ここまでの話は、やたらに一般的な枠組みを準備しただけで、「足し算が不要」とか「掛け算だけ」の内容には踏み込んでいません。「掛け算だけでOK」を実質的に示すには、可換な掛け算（とゼロ）だけを持つモノイドM（CMoZの対象）から、幾何空間 Spec(M) を実際に作る必要があります。Spec は関手になっていて、CMoZをGSに（反変的に）埋め込みます。

これが事実なら、可換モノイドは必ず何らかの幾何空間なのだ（控えめに言えば、「何らかの幾何空間から派生するものだ」）と言えます。

[追記]
圏GSは、グロタンディーク構成の良い例になっていますので、そのことを補足します。

位相空間X上の「圏Cに値をとる層」の圏をShf[X]とします。圏のベキ（指数）DCを[C, D]とも書くことにすれば、Shf[X] = ([Open(X), C]の適当な部分圏）です。連続写像 f:X→Y があると、層の押し出しは、f*:Shf[X]→Shf[Y] という関手を定義します。この状況は、（関手の反変・共変の違いを無視すれば）Shf[-] が位相空間の圏Topをベース圏とするインデックス付き圏（indexed category）であることを意味します。幾何空間の圏は、このようなインデックス付き圏から作ったグロタンディーク構成になっています。（「インデックス付き圏のグロタンディーク構成」を参照。）
(引用終り)
以上

412 ：１３２人目の素数さん：2024/05/06(月) 16:18:26.27 ID:hi35vIbq.net

１　わけもわからずコピペしてハラ壊す

413 ：１３２人目の素数さん：2024/05/06(月) 22:14:57.01 ID:BrY/Xomq.net

>>409-411
1ビットLLMは「足し算だけの線形代数」で人工知能と言えるレベルの自然言語処理を低計算コストで実現する。
http://egg.5ch.net/test/read.cgi/scienceplus/1709129384/

>>412
自称阪大卒の大阪雪駄は1bit脳以下の恐怖のバカ。

414 ：１３２人目の素数さん：2024/05/06(月) 22:51:48.96 ID:Co8XPBRF.net

望月さんも、2003年ころは F1（一元体）による理論構築を考えていた
最終的には、圏論とモノイドが残った

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BD%93
一元体
しばしば、一元体を F1 あるいは Fun[note 1] で表す
一元体上の数学は日本の黒川信重ら一部の数学者によって、絶対数学と呼ばれている
https://en.wikipedia.org/wiki/Field_with_one_element
Field with one element
Monoid schemes
Deitmar's construction of monoid schemes[25] has been called "the very core of F1‑geometry",[16] as most other theories of F1‑geometry contain descriptions of monoid schemes. Morally, it mimicks the theory of schemes developed in the 1950s and 1960s by replacing commutative rings with monoids.

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/travel-japanese.html
望月新一 出張・講演
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Suuronteki%20log%20scheme%20no%20kenrontekihyouji%20kara%20mita%20daen%20kyokusen%20no%20suuron%20(Hokudai%202003-11).pdf
[10] 数論的log schemeの圏論的表示から見た楕円曲線の数論（北海道大学 2003年11月）
P1 F1上のキカが必要
　「属性方程式」 a∈aを解きたい
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/taguchi-san-no-nooto.pdf
[9] 数論的 log scheme の圏論的表示　（九州大学 2003年7月）. 田口さんのノート
(引用開始)
P1
これは新しい幾何の世界への入口である。
但し、scheme論では上の等式によりaffine schemeを貼合せることが出来たが、
ここでは通常のscheme論を安易にまねて貼合せをするのではなく、
一般の圏を､圏同値を除いて､扱ふ
(つまり圏が基本的幾何的対象｡）
これをIU幾何( inter-universal geometry )と呼ぶ。
この様な新しい幾何的対象（圏）として､現在
次の二つのものが考へられてゐる：
(1) Loc*型圏（ここでは″F_1上のFrobenius"が定義出来る｡）
(2)分布版（これにより"F 1上の楕円曲線の族の分類射"が定義出来る｡）
略す
P2
別な言ひ方をすれば､分類射Loc*→M/F_1が出来た！
(引用終り)

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ABC予想入門 ペーパーバック – 2018/2/16
黒川 信重 (著), 小山 信也 (著) ‎ PHP研究所
レビュー
susumukuni
5つ星のうち5.0 abc予想が映す現代数学の風景： 数学愛好者に薦められる超面白い一冊
2013年4月2日
本書の最大の魅力は、ゼータ関数論や絶対数学の開拓者であり唱道者でもある著者が、abc予想とゼータ関数に関する「リーマン予想」と「ラングランズ予想」、さらに楕円曲線と保型形式の数論との関わりを情熱的に語っている所にあると思う。
例えば、2.6「素数とリーマン予想」、2.7「リーマン予想と絶対数学」では、リーマン予想とラングランズ予想攻略への絶対数学の位置づけに関する著者の揺ぎない信念が語られており、非常に印象的である。
また、「望月氏の論文は、F1上の微分をF1上の小平・スペンサー写像として構成するところが最大の要点であり」とあり、壮大な数学宇宙の広がりを予見させてくれる。