高校数学の質問スレPart408

1 ：１３２人目の素数さん：2020/10/13(火) 22:56:42.03 ID:IAG/QuOR.net

【質問者必読！！】
まず>>1-4をよく読んでね

数学@5ch掲示板用 掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例
http://mathmathmath.dotera.net/

・まずは教科書、参考書、web検索などで調べるようにしましょう。（特に基本的な公式など）
・問題の写し間違いには気をつけましょう。
・長い分母分子を含む分数はきちんと括弧でくくりましょう。
　　（× x+1/x+2　；　 ○((x+1)/(x+2)) ）
・丸文字、顔文字、その他は環境やブラウザによりうまく表示できない場合があります。
　どうしても画像を貼る場合はPCから直接見られるところに見やすい画像を貼ってください。
　ピクトはPCから見られないことがあるので避けてください。
・質問者は名前を騙られたくない場合、トリップを付けましょう。
　（トリップの付け方は　名前(N)に　俺！#oretrip　←適当なトリ)
・質問者は回答者がわかるように問題を書くようにしましょう。
　でないと放置されることがあります。
　（変に省略するより全文書いた方がいい、また説明なく習慣的でない記号を使わないように）
・質問者は何が分からないのか、どこまで考えたのかを明記しましょう。
　それがない場合、放置されることがあります。
　（特に、自分でやってみたのに合わないので教えてほしい、みたいなときは必ず書くように）
・回答者も節度ある回答を心がけてください。
・970くらいになったら次スレを立ててください。

※前スレ
高校数学の質問スレPart407
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1597160116/

67 ：１３２人目の素数さん：2020/10/20(火) 22:45:15.63 ID:VeZlfMCW.net

>>65
平面は立方体を正三角形に切り、球を円に切る
球と立方体を合わせた断面図は正三角形と円を合わせた形になる
正三角形の3つの角が少しだけ円からツノのように出てる感じ

正三角形と円の6つの交点は平面と立方体と球の共通点であり
立方体の上面(z=1)では
球の式、平面の式にz=1を代入して
x^2+y^2=1,x+y=0
これを解いて(x,y,z)=(±1/√2,∓1/√2,1)の2点
同様に
立方体の左面(x=1)では(1,±1/√2,∓1/√2)の2点
立方体の右面(y=1)では(±1/√2,1,∓1/√2)の2点

これらは各面において
平面と立方体の交線である正三角形の辺(各面の対角線)
球の立方体の交線である円(各面で半径1の円)
の交点でもある

68 ：１３２人目の素数さん：2020/10/20(火) 23:18:49.48 ID:jV/5wyMR.net

(2/3)πになっちゃった
なんか計算間違えてるのかな

69 ：１３２人目の素数さん：2020/10/20(火) 23:23:07.21 ID:jV/5wyMR.net

間違いだった
(5/3)πだな

70 ：イナ ：2020/10/21(水) 10:05:15.62 ID:Cobd5QkN.net

前>>66
>>54
一辺2の立方体の切り口ACFは正三角形で、
その一辺の長さは一辺2の正方形の斜辺だから2√2
面積は一辺1の正三角形の(2√2)^2倍になる。
△ACF=(√3/4)(2√2)^2=2√3
頂点A,C,Fはいずれも一辺2の立方体の中心から√3の距離にある。
△ACFを底面とし、一辺2の立方体の中心を頂点とする正三角錐の体積は、
高さをhとして(1/3)(2√3)h=(√3)(√3)(1/2)(√3)(1/3)=√3/2
h=(√3/2)/(2√3/3)=3/4
球の半径√2と切り口の一辺2の立方体の中心からの距離h=3/4についてピタゴラスの定理より、
円の半径=√(√2)^2-(3/4)^2=√(4-9/16)=√55/4

71 ：イナ ：2020/10/21(水) 11:10:21.63 ID:Cobd5QkN.net

前>>70
円の面積=π(√55/4)^2=55π/16
∴問題は最後まで読まないといけない。

72 ：１３２人目の素数さん：2020/10/21(水) 21:28:15.01 ID:NuoCiuit.net

全然違う

73 ：１３２人目の素数さん：2020/10/21(水) 22:04:11.54 ID:zpG3Fs2K.net

>>54
これなんとなく解いてみて正解5/3πなんだろうけどピンとくる解説が欲しい　不勉強で申し訳ないが

74 ：１３２人目の素数さん：2020/10/21(水) 22:14:50.50 ID:NuoCiuit.net

>>73
自分の解き方も書いてみてはどうか

球の半径と球の中心から切断面までの距離から切断面の半径を求めて面積を出した
球の半径はすぐわかる
中心から切断面までの距離はACFHを頂点とする正四面体の各面の面積と体積から求めた

75 ：１３２人目の素数さん：2020/10/22(木) 00:18:58.41 ID:htAtlPZ7.net

頂点の位置ベクトルを平均するだけでいいのでは？

76 ：１３２人目の素数さん：2020/10/22(木) 06:37:01.62 ID:wlq0kB3a.net

立方体の８つの辺の中点で接する球のイメージからして湧いてこないな。６つの正方形の重心で接するなら直ぐにイメージできるけど。

77 ：１３２人目の素数さん：2020/10/22(木) 08:05:18.73 ID:q/rRxjow.net

問題を解くだけなら球をイメージする必要はないんじゃない？
球を平面で切断したら切断面は円なのでその円の半径がわかれば面積がわかる
円の半径は球の半径と球の中心から切断面までの距離がわかれば求まる
「立方体すべての辺の中点で球と立方体の辺が接している」とあるので球の中心は立方体の中心であり、
球の半径は立方体の中心から立方体の辺の中点までの距離だとわかる
あとは切断面までの距離の方が問題になるだけ

辺だけで構成された枠のなかに風船を入れてどんどんふくらませてちょうどはまる状態だと考えればなんとなくはイメージできる
実在するものだとこんなのに似たイメージ http://iup.2ch-library.com/i/i020958911915874111291.jpg

78 ：１３２人目の素数さん：2020/10/22(木) 08:28:25.38 ID:jBrqqFRk.net

給水タンクで草

79 ：１３２人目の素数さん：2020/10/22(木) 11:33:56.61 ID:zJ/4YQmt.net

ある野球部の部員は、男子5人と女子3人の8人である。
この8人の中から、男子を少なくとも1人は入れて、渉外試合担当者を3人選びたい。選び方は何通りあるか。

答えは55通り(8C3-1)なのですが、男子5人の中から1人選ぶ(5C1)、残り7人から2人選ぶ(7C2)で5C1×7C2=105通りは、
何が間違っているのでしょうか？

80 ：１３２人目の素数さん：2020/10/22(木) 12:19:54.41 ID:pZBtxhXK.net

その数え方だと例えば男Aを先に選んだときと
後から決めた2人に男Aが含まれるときが重複する

81 ：１３２人目の素数さん：2020/10/22(木) 13:10:49.46 ID:vGO5nsA/.net

高校で習う範囲なら命題と条件は同じだと思って良いよって言われたんだけど、
これって例えば命題の「偶数である」を条件で表したときは「ｘは偶数である」って意味としてとらえて良いよって事ですかね？

82 ：１３２人目の素数さん：2020/10/22(木) 14:15:52.51 ID:X48JTsmd.net

>>81
＞高校で習う範囲なら命題と条件は同じだと思って良いよって言われたんだけど、
それは言ったやつが間違っている。

＞命題の「偶数である」
「偶数である」は命題ではない。

83 ：１３２人目の素数さん：2020/10/22(木) 14:25:08.72 ID:htAtlPZ7.net

文脈次第だろ

84 ：１３２人目の素数さん：2020/10/22(木) 14:51:13.35 ID:fuU1UJro.net

>>81
趣旨は、
高校では命題と条件をきちんと区別してないから、全部条件だと思った方がいいよ、
くらいかな。

「ｘは偶数である」も「xは4の倍数である」も条件であって命題ではないけど、
「xが偶数ならばxは4の倍数である」になるとなぜか命題になる。
両者の区別をきちんとするのは面倒なだけで益が少ない。
しかも、「ならば」つきで考える場合は大抵必要条件、十分条件という扱いになるから、条件として考えた方が混乱が少ない。
詳しく言えばこんなとこだろう。

85 ：１３２人目の素数さん：2020/10/22(木) 16:06:14.20 ID:vGO5nsA/.net

>>82
ありがとうございます
>「偶数である」は命題ではない。
についてもう少し詳しくお願いします

言われた事について自分なりに考えてみたのですが
「１２で割れる」ならば「３で割れるかつ偶数である」
これを「ｐ→ｑ∧ｒ」と表したときｒは命題ではなく
「ｘが１２で割れる」ならば「ｘは３割れるかつ偶数である」
って意味の省略としてとらえてｒは条件って事になる
質問を改めると
条件の「偶数である」は「ｘは偶数である」って意味としてとらえて良いよって事ですかね？

お願いします

86 ：１３２人目の素数さん：2020/10/22(木) 16:14:11.23 ID:vGO5nsA/.net

>>84
って事は
>>85
は見当違いな事を言っている？

87 ：１３２人目の素数さん：2020/10/22(木) 16:25:57.25 ID:zJ/4YQmt.net

>>80
残り7人から2人を選ぶ(7C2)で、すでに選ばれた一人が重複しないようにしているのですが。

88 ：１３２人目の素数さん：2020/10/22(木) 16:53:17.58 ID:Y/RZWVbv.net

条件をp(x)とかpxって書くのは理解できるんだけど、
条件をpって書くのには何に対しての条件だよっていう違和感が常にある
俺だけかな？かな？

89 ：１３２人目の素数さん：2020/10/22(木) 16:55:59.65 ID:cZ4q4dIv.net

で、てめーら今年論文何本アクセプトされたの？
どーせゼロだろ？
消えろ無能低能

90 ：１３２人目の素数さん：2020/10/22(木) 22:19:07.22 ID:s490ipSQ.net

>>87
A BC （はじめにAが選ばれ次にBCが選ばれる）
B AC （はじめにBが選ばれ次にACが選ばれる）
これらは組としては同じになるがダブルカウントしてしまっている

91 ：１３２人目の素数さん：2020/10/22(木) 23:30:41.54 ID:fpSazIe1.net

sin(x)/(x+1) の原始関数がショ糖的な関数で表せないのはなぜですか

92 ：１３２人目の素数さん：2020/10/23(金) 02:58:45.08 ID:0KQJMwlF.net

解析はそんなに甘くないってことさ

93 ：１３２人目の素数さん：2020/10/23(金) 06:10:48.01 ID:SwsGn22h.net

共に1以下の半径の2つの円（A，B）の交点の求め方で質問です。

このときAとBは重ならないとし、どの組み合わせでも必ず (1, 0) の交点を持つとします。

※つまり解の1つは分かっている


[A] (x-a)^2 + y^2 = rA^2　・・・中心は常にX軸上にある


[B] (x-1)^2 + (y-b)^2 = rB^2　・・・中心は常に（Y軸に平行な）x=1線上にある

a, b, rA , rB 全て0〜1の間　（円の半径＞0）

最初、教科書通りに x^2, y^2 の項を消して x と y の関係式を求め、x の2次方程式
を得ようとしました。

しかし、思いのほか複雑になった上に「折角、交点の1つは固定され分かっているのだから、

この有り難みを活かせないものかのう？」

と考え、ここで質問することにしました。


図は下記の感じです。

何か簡便な求め方はありますか？

https://dotup.org/uploda/dotup.org2287726.png

94 ：93：2020/10/23(金) 06:13:00.41 ID:SwsGn22h.net

ゴメンなさい。
テキストファイルからコピペして投稿したら無駄な改行が増えてしまいました。

95 ：82：2020/10/23(金) 07:32:20.76 ID:RHL3NhPx.net

>>85
＞>「偶数である」は命題ではない。
＞についてもう少し詳しくお願いします

「偶数である」は命題でも条件でもない。
「xは偶数である」はxについての条件。
「12は偶数である」「5は偶数である」などは命題。


命題というのは真偽が定まる"文"のことで、「偶数である」は文になってないから命題ではない。

xについての条件というのはxの値を定めれば真偽が定まる文のことで、
「xは偶数である」はxの値によって真偽が変わる、すなわち真偽が定まっていないので命題ではないが
xになんらかの値を定めれば真偽が定まるので条件ではある。

96 ：１３２人目の素数さん：2020/10/23(金) 08:07:54.80 ID:s7BNNIlB.net

コロナに感染すると肺が繊維化してしまうんだよ
本来風船のように収縮するはずの肺がテニスボールのようになって収縮しなくなり呼吸が苦しくなる
最悪なのは一度繊維化した肺はもう回復しないこと
元患者が後遺症についてネットで書いてるけどマジで地獄
自分がかかったり見ず知らずの他人に伝染すだけならまだしも油断してコロナ感染して
家族や同僚に伝染して死なせたり一生残る後遺症を与えてしまったら悔やんでも悔やみきれ無いよ

97 ：82：2020/10/23(金) 08:17:54.91 ID:RHL3NhPx.net

>>85
＞条件の「偶数である」は「ｘは偶数である」って意味としてとらえて良いよって事ですかね？
これに対して律義に答えると、誤りですとなる。
・条件「xは偶数である」の主語を省略した「偶数である」は条件ではない。
・命題「6は偶数である」の主語を省略した「偶数である」は命題ではない。
これが数学的に正しい認識である。しかし、おそらくこれが欲しい答えではないのだろうとも思う。

「省略された主語を補って解釈していいですか？」が質問の趣旨だと私は思ったのでそのように回答するが
主語が省略されている文はそのままでは意味が通じないのだから、主語を補って解釈するのは当然のことである。

主語を省略してよいですか？ということについては、基本的には省略すべきではないが何もかも省略せずに書くのはあまりにも煩雑なので、
文意が誤解無く伝わる範囲での省略は許容されるだろうということになる。文脈によるとしか言いようがない。
これは数学の話ではなく言語の話である。日本語は欧米の言語に比べて主語が省略されることが多いという背景もある。
数学的には一切何も省略しないことが一番正しく、何をどこまで省略することが許容されるかは言語の話であり文化の話であり文脈による。

98 ：１３２人目の素数さん：2020/10/23(金) 10:37:37.72 ID:Ucfuo/wk.net

と、暇な老年ハゲメタボ

99 ：１３２人目の素数さん：2020/10/23(金) 13:12:17.63 ID:BxGOrqDy.net

>>93
ABの法線ベクトルを適当な（必要な）長さ倍して(1，0)に継ぎ足せばいいんじゃね

100 ：１３２人目の素数さん：2020/10/23(金) 13:13:58.74 ID:BxGOrqDy.net

>>99
A，Bはそれぞれ円の中心

101 ：１３２人目の素数さん：2020/10/23(金) 13:33:42.82 ID:a1gBvMXA.net

>>93
2つの交点は2つの円の中心を結んだ直線について線対称

102 ：１３２人目の素数さん：2020/10/23(金) 16:39:54.53 ID:3H0+pqA9.net

>>93
最初から rA = 1 - a, rB = b とすれば？

103 ：93：2020/10/23(金) 16:53:22.74 ID:SwsGn22h.net

レス有り難うございます

>>99
円の中心を結ぶ線の法線ベクトルを（必要な）長さ倍？

>>101
なるほど

>>102
でもそれだと>>93で書いた「x^2, y^2 の項を消して x と y の関係式を求め・・・」
になって解の式が煩雑になるような

104 ：イナ ：2020/10/23(金) 17:06:53.94 ID:hyHntbrW.net

前>>71
>>54
球の式はx^2+y^2+z^2=2
切断面の式は-x+y+z=1
zを消去するとx^2+y^2+x-y-xy-1/2=0
(x+1/2)^2+(y-1/2)^2=xy+1
円の中心は(-1/2,1/2,0)
ABCD面の切り口の通過地点のうち球の表面にある点は(1/√2,1,1/√2)
円の半径はこの2点の距離だから距離の二乗は、
｛1/√2-(-1/2)｝^2+(1-1/2)^2+(1/√2)^2
=1/2+1/√2+1/4+1/4+1/2
=(3+√2)/2
∴円の面積は(3+√2)π/2

105 ：イナ ：2020/10/23(金) 18:28:01.60 ID:hyHntbrW.net

前>>104
>>79
8人に名前をつける。
男子は、あ人、い夫、う男、え郎、お介の5人、
女子は、か子、き美、く代の3人。
あ人が選ばれるとき、残りの7人から2人を選ぶ選び方は7Ｃ2=7×6/2=21
い夫が選ばれるとき、すでに選ばれてるあ人を避けて残り6人から2人を選ぶ選び方は6Ｃ2=6×5/2=15
う男が選ばれるとき、すでに選ばれてるあ人とい夫を避けて残りの５人から2人を選ぶ選び方は5Ｃ2=5×4/2=10
え郎が選ばれるとき、すでに選ばれてるあ人とい夫とう男を避けて残りの4人から2人を選ぶ選び方は4Ｃ2=4×3/2=6
お介が選ばれるとき、すでに選ばれてるあ人とい夫とう男とえ郎を避けて残り3人から2人を選ぶ選び方は3Ｃ2=3
21+15+10+6+3=55(人)

106 ：イナ ：2020/10/23(金) 20:49:21.40 ID:z6+rbnso.net

前>>104訂正。
>>54
球の平面による切断面は円で、円の半径をrとすると、△AFC上に球の切断面の外周が、すなわち円弧が点A,点F,点C付近に三つ描かれる。
一辺2√2の正三角形の高さは√6で重心は辺から高さの1/3の地点にある。
ABCD面に出ている球の立方体による断面は半径1の円だから、
ピタゴラスの定理よりr=√｛1^2+(√6/3)^2｝=√(5/3)
∴円の面積はπr^2=5π/3

107 ：イナ ：2020/10/23(金) 20:57:40.61 ID:z6+rbnso.net

前>>106訂正。
>>54
球の平面による切断面は円で、円の半径をrとすると、△AFC上に球の切断面の外周が、すなわち円弧が点A,点F,点C付近に三つ描かれる。
一辺2√2の正三角形の高さは√6で重心は辺から高さ1/3の地点つまり√6/3の距離にある。
ABCD面に出ている球の立方体による断面は半径1の円だから、
ピタゴラスの定理よりr=√｛1^2+(√6/3)^2｝=√(5/3)
∴円の面積はπr^2=5π/3

108 ：１３２人目の素数さん：2020/10/23(金) 23:41:02.96 ID:6adb1DVC.net

https://i.imgur.com/7JPwRXe.jpg

(2)の解答について
�B式は�@式を(m,n+1)→(m+1,n)と置き換えた式ですが、�@ではx=t^mと置換しているのに対し�B式ではx=t^(m+1)と置換している筈なので、同じtとして連立する事ができないのではないかと考えてしまいます。

何故解答のように書けるのかどなたかの説明を頂きたいです。

109 ：１３２人目の素数さん：2020/10/24(土) 00:16:20.55 ID:FL24wyPg.net

池沼かよ

110 ：81：2020/10/24(土) 00:19:53.18 ID:2Pk4w+Tm.net

>>84
>>97
詳細な説明ありがとうございます

例えば「アリならば昆虫である」の命題は正しくは「ｐ」とするべき
文脈によりこれを主語の省略されたｐ,ｑを使った「ｐ→ｑ」として説明される事もあるので日本語はややこしい
しかも主語を省略されてしまうとｐとｑが命題なのか条件なのかが確定しない

覚えました。

111 ：１３２人目の素数さん：2020/10/24(土) 01:30:43.86 ID:k2W3D/Kn.net

>>110
わけのわからんことを覚えるな。

例えば「アリならば昆虫である」の命題は正しくは「xがアリであるならばxは昆虫である」とするべき
しかし、省略して「アリならば昆虫である」と記述しても文意は誤解無く伝わると思われるのでこの程度の省略は許容されるだろうということ。日本語のややこしさとは無関係な話である。

＞しかも主語を省略されてしまうとｐとｑが命題なのか条件なのかが確定しない
そうではない。>>97が書いているのは、主語を省略すると命題でも条件もなくなるということ。

112 ：１３２人目の素数さん：2020/10/24(土) 02:01:35.51 ID:sU9t17iw.net

An ant is an insect.

日本語に限った話じゃなくないか？

113 ：イナ ：2020/10/24(土) 02:32:39.84 ID:ppZN3X44.net

前>>107
>>108
4.求積(2)
4・1(1)πa^2/2×(1/√2)=πa^2√2/4
(2)三角錐=(πa^2/3)a=πa^3/3
小さいほう=(πa^3/3)(1/2)(2/3)=πa^3/9

114 ：１３２人目の素数さん：2020/10/24(土) 10:35:24.60 ID:DOZLNCZ2.net

すみませんlogについて習ったんですが
A = B + Cの式をlogにすると
logA = logB + logCってするのは無理というのは解りましたが
logA = log(B+C)みたいにするのはダメなんですか？

115 ：１３２人目の素数さん：2020/10/24(土) 11:08:18.11 ID:QBAjPENz.net

だめじゃないよ

116 ：１３２人目の素数さん：2020/10/24(土) 11:11:34.33 ID:QBAjPENz.net

真数条件の話？

117 ：１３２人目の素数さん：2020/10/24(土) 11:37:27.04 ID:3LwE/PDe.net

例えば
　log(4) = log(2+2) = log(2) + log(2),
　log(6) = log(1+2+3) = log(1) + log(2) + log(3),

118 ：１３２人目の素数さん：2020/10/24(土) 13:47:02.07 ID:t94wWBzk.net

log(2+2) = log(4) = log(2×2) = log(2) + log(2)
log(1+2+3) = log(6) = log(1×2×3) = log(1) + log(2) + log(3)

119 ：イナ ：2020/10/24(土) 13:48:24.27 ID:ppZN3X44.net

前>>113
>>108訂正。
4.求積(2)
4・1(1)πa^2/2×(1/√2)=πa^2√2/4
(2)三角錐=(πa^2/3)a=πa^3/3
小さいほう=∫[t=0→a/2]｛π(a-t)^2-t√(a-t)^2-t^2｝dt
=∫[t=0→a/2]｛πa^2-2πat+πt^2-(t^2/2)√(a^2-2t)+(t^2/2)/√(a^2-2t)｝dt
=∫[t=0→a/2][πa^2t-πat^2+πt^3/3-a^2t^2/2√(a^2-2t)+t^3/√(a^2-2t)+(t^2/2)√(a^2-2t)-t√(a^2-2t)]
=πa^2(a/2)-πa(a/2)^2+π(a/2)^3/3-a^2(a/2)^2/2√(a^2-a)+(a/2)^3/√(a^2-a)+(a^2/8)√(a^2-a)-a√(a^2-a)/2
=πa^3(1/2-1/4+1/24)
=7πa^3/24-(a^4-a^3+a^2)/8√(a^2-a)

120 ：イナ ：2020/10/24(土) 14:11:23.02 ID:ppZN3X44.net

前>>119訂正。
切り口は放物線で面積は長方形の2/3だった。
>>108
4.求積(2)
4・1(1)a(a/√2)(2/3)2=4a^2/3√2=2a^2√2/3
(2)三角錐=(πa^2/3)a=πa^3/3
小さいほう=三角錐の半分-底面2a^2√2/3,高さa/√2の錐体
=πa^3/3-(1/3)(2a^2√2/3)(a/√2)
=(π/3-2/9)a^3

121 ：イナ ：2020/10/24(土) 14:13:46.12 ID:ppZN3X44.net

前>>120訂正。
切り口は放物線で面積は長方形の2/3だった。
>>108
4.求積(2)
4・1(1)a(a/√2)(2/3)2=4a^2/3√2=2a^2√2/3
(2)三角錐=(πa^2/3)a=πa^3/3
小さいほう=三角錐の半分-底面2a^2√2/3,高さa/√2の錐体
=πa^3/6-(1/3)(2a^2√2/3)(a/√2)
=(π/6-2/9)a^3

122 ：１３２人目の素数さん：2020/10/24(土) 15:16:01.48 ID:FgQK/f/3.net

>>87
男子１：５　女子６：８とすると
男子１を選んで、残り７人から二人を２，６を選んだ場合と
男子２を選んで、残り７人から二人と１、６を選んだ場合で
重複して数えている。

123 ：１３２人目の素数さん：2020/10/24(土) 15:33:03.21 ID:FgQK/f/3.net

>>122
＞男子１：５　女子６：８とすると

男子を１，２，３，４，５、女子を６，７，８
と番号を付けるという意味

124 ：１３２人目の素数さん：2020/10/24(土) 16:05:46.25 ID:FgQK/f/3.net

>>122
プログラムに組み合わせを列挙させて最後の方を表示さえてみた。

> re=NULL # 格納する変数
> for(m in 1:5){ # m: 1~5から順に一人目を選ぶ
+ # mを除いた7人から二人を選んで３人を組み合わせる
+ re=rbind(re,cbind(m,combinations(7,2,(1:8)[-m])))
+ }
> tail(re) # この方法での組み合わせの数　105通り
m
[100,] 5 4 6
[101,] 5 4 7
[102,] 5 4 8
[103,] 5 6 7
[104,] 5 6 8
[105,] 5 7 8

> tail(unique(t(apply(re,1,sort)))) # その105通りから重複を除いてカウント
[,1] [,2] [,3]
[50,] 4 6 7
[51,] 4 6 8
[52,] 4 7 8
[53,] 5 6 7
[54,] 5 6 8
[55,] 5 7 8

125 ：１３２人目の素数さん：2020/10/24(土) 17:55:12.94 ID:sU9t17iw.net

8Ｃ3−3Ｃ3＝55
じゃあかんの？

126 ：１３２人目の素数さん：2020/10/24(土) 19:13:28.35 ID:t/JXD1S3.net

互いに素でない二つの自然数において、公約数で割って互いに素ならば、それが最大公約数となる。これを証明する方法はありますか?

127 ：１３２人目の素数さん：2020/10/24(土) 20:07:48.85 ID:LMmLCFr8.net

a,bの最大公約数をdとするとa=dm, b=dn,でmとnは互いに素
これらを公約数eでわるとa/e=(d/e)m, b/e=(d/e)n
e<dとするとd/eは２以上の自然数なのでa/e とb/eは互いに素にならないのでe=dである

128 ：81：2020/10/24(土) 21:40:40.06 ID:2Pk4w+Tm.net

>>111
ありがとうございます。指摘部分を修正し復唱すると、

例えば、「１２で割れる」ならば「３で割れるかつ偶数である」
の「１２で割れる」「３で割れる」「偶数である」各々は文になっていないので「省略された主語を補って解釈」して
「ｘは１２で割れる」ならば「ｘは３割でれるかつ偶数である」とするべき

例えば、「アリ」ならば「昆虫である」
の「アリ」「昆虫である」各々は文になっていないので「省略された主語を補って解釈」して
「ｘがアリである」ならば「ｘは昆虫である」とするべき

主語が省略されている文はそのままでは意味が通じないのだから、主語を補って解釈するのは当然のこと
本来は主語が無いと文ではなくなるので命題でも条件でもないが、文意は誤解無く伝わると思われるので上記程度の主語の省略は許容されるだろう
ただし、当然数学的には一切何も省略しないことが一番正しい

覚えました。

129 ：１３２人目の素数さん：2020/10/25(日) 00:58:22.29 ID:2hlYWElQ.net

t>0 とする。
(1)　B = 1+t,　C = 1+1/t　のとき　A = B + C　を求めよ。
(2)　log(A) = log(B) + log(C)　を示せ。

130 ：１３２人目の素数さん：2020/10/25(日) 01:10:28.25 ID:7eieyZMZ.net

>>90
重複カウントしているから>79の計算での105をで割った105/2通りにはならないんだな。
なんでだろ？

131 ：１３２人目の素数さん：2020/10/25(日) 01:36:11.97 ID:SvsiFpep.net

>>130
３人とも男子のときはA−BC、B-AC、C-ABの三重カウント
２人が男子、一人が女子のときはA-Bc、B-Acの二重カウント
１人が男子、二人が女子のときはA-bcでダブリなし
よって5C1*4C2/3+5C1*4C1*3C1/2+5C1*3C2=55

132 ：１３２人目の素数さん：2020/10/25(日) 06:56:09.47 ID:6HGEVv7n.net

>>131
解説ありがとうございました。納得できました。

朝飯前に練習がてらにプログラムでカウントさせてみました。

> print(head(res),q=F)
重複
[1,] A a b 1
[2,] A a B 2
[3,] A a c 1
[4,] A a C 2
[5,] A a D 2
[6,] A a E 2

,,,,,

> print(tail(res),q=F)
重複
[100,] E B c 2
[101,] E B C 3
[102,] E B D 3
[103,] E c C 2
[104,] E c D 2
[105,] E C D 3

> ans=0
> for(i in 1:3){
+ ans <- ans + nrow(res[res[,4]==i,])/i
+ }
> ans
[1] 55

133 ：１３２人目の素数さん：2020/10/25(日) 07:16:06.59 ID:T/xDoF2e.net

>>129
こんなんも見つけたぞー

t>0 とする。
B=1+t+t^2、C=1+t 、D=1/t、A=B+C+Dのとき

log(A)=log(B)+log(C)+log(D)

134 ：１３２人目の素数さん：2020/10/25(日) 08:02:22.77 ID:5GNG1T31.net

>>132
いい加減にしろ
お前のは数学じゃなくて計算技術(1〜4級)だ

135 ：１３２人目の素数さん：2020/10/25(日) 10:38:14.22 ID:2hlYWElQ.net

それでは…
t>0 とする。
B = 1 + 1/t + 1/t,　C = 1+t,　D = 1,　A = B+C+D のとき
log(A) = log(B) + log(C) + log(D).

136 ：１３２人目の素数さん：2020/10/25(日) 10:57:41.48 ID:T/xDoF2e.net

一般には
D=(B+C)/(BC-1)
でファイナルアンサー

4項以上のときもtと1/tの多項式的なパラメータで書けるものがあるんかな

137 ：１３２人目の素数さん：2020/10/25(日) 11:10:24.38 ID:T/xDoF2e.net

いや、一般にその方針でいけるのか・・・

B=1+(n-1)/t、C=1+t、D=E=…=1
か

138 ：１３２人目の素数さん：2020/10/25(日) 11:37:06.38 ID:T/xDoF2e.net

定数多項式は含まない条件下で、tと1/tの多項式パラメトライズはあるか？

139 ：１３２人目の素数さん：2020/10/25(日) 12:16:44.00 ID:TPOqs/ES.net

10n+1,10n+3,10n+7,10n+9

これらすべてが素数となるとき、
nの取り得る値が1しかないことを証明する方法はありますか?

素数は無数にあることは知られていますが、
nが1でない時は4つのうちのいずれかが素数でなくなるということも証明できれば良いのですが。

140 ：１３２人目の素数さん：2020/10/25(日) 12:34:30.28 ID:TPOqs/ES.net

3の倍数判定を使うと簡単かと思いましたが、
2,4,8,10
3,5,9,11
4,6,10,12
5,7,11,13
1ずつ足していくと3の倍数が引っかかる、、、
これでは49に限らず素数の自乗を見つけられません。
証明として成り立たないので、質問してみました。

141 ：１３２人目の素数さん：2020/10/25(日) 12:40:48.02 ID:cx0U6oD/.net

>>139 >>140
そもそも予想が間違っている
n=1 の他にもたくさんある
n = 10, 19, 82, 148, 187, 208, 325, 346, ...

おそらく無限個あるのだろうけれど この手の問題は未解決です

142 ：１３２人目の素数さん：2020/10/25(日) 12:42:53.10 ID:TPOqs/ES.net

3の倍数に引っかからない合成数が49であることを考えると、オイラー素数の意味も見えてくる。

143 ：１３２人目の素数さん：2020/10/25(日) 12:54:34.94 ID:cx0U6oD/.net

>>139
>>141
無限個あるという結論(仮)は Schinzel's hypothesis H という予想から導かれる:

[準備]
整数係数多項式f(x)に対して,
D(f(x)) = max{m∈N ; ∀x∈N m|f(x)} とおく
つまり, 「どんな自然数xに対しても f(x)がmで割り切れる」
となるような最大の自然数mを D(f(x))で定義する

今, k個の既約整数係数多項式が与えられたとして,
それのk個の積で定まる多項式をQ(x)とかくことにする
もし, D(Q(x))=1 ならば k個の多項式が同時に素数値を取ることは無限に発生する
これを　Schinzel's hypothesis H という

これを用いるなら まず4つの整数係数多項式,
10x+1, 10x+3, 10x+7, 10x+9 はどれも既約
(つまり1次有理数係数多項式の積に書けない)
そして Q(x)= (10x+1)(10x+3)(10x+7)(10x+9) とおくとき
gcd(Q(1),Q(2))=1 であるから D(Q(x))=1 であることがいえる
よって　 Schinzel's hypothesis H が正しいならば
問題の4つの式が同時に素数値を取ることは無限回発生する

144 ：１３２人目の素数さん：2020/10/25(日) 12:58:23.99 ID:cx0U6oD/.net

一部タイプミスの修正
最後から5行目

[誤] つまり1次有理数係数多項式の積に書けない
[正] つまり1次以上の有理数係数多項式の積に書けない

あとはたぶん大丈夫そう

145 ：１３２人目の素数さん：2020/10/25(日) 13:10:05.74 ID:TPOqs/ES.net

>>141
ありがとうございます。数字和(3の倍数)で素数を追うには147,369には対応できても258には無力だということを思い知らされました。

146 ：１３２人目の素数さん：2020/10/25(日) 13:38:32.20 ID:MzU0UQdM.net

奇数mで次の条件を満たすものはありますか。
「m+2^n (n=1,2,3,…) がすべて合成数」

147 ：１３２人目の素数さん：2020/10/25(日) 14:11:17.62 ID:cx0U6oD/.net

>>146
基本的には その手の問題は 2^k-1 のprimitive prime divisors を考えるのが筋
それは 古くはSierpinskiの covering set という考え方に基づくもの

2^(2^k)-1 の形の数が持つ primitive prime divisors を考える

2^64 - 1 = 3*5*17*257*641*65537*6700417 に注意する

たとえば 以下の合同式を満たすようにmを設定すれば条件を満たす:
m≡1 (mod 2)
m≡2 (mod 3*5*17*257*65637)
m≡ 333 (mod 641)
m≡ 6700415 (mod 6700417)

具体的には m = 8233406372846257083

148 ：１３２人目の素数さん：2020/10/25(日) 14:25:47.09 ID:cx0U6oD/.net

(1) 9^n+8^n+4^n+3^n+2^n+1 が素数ならば nは36の倍数であることを証明せよ
†(2) nが36の倍数のとき, (1)の数が素数になることはあるか

149 ：１３２人目の素数さん：2020/10/25(日) 16:47:01.89 ID:2hlYWElQ.net

>>136
　A1 = 1 + t,
　A2 = 1 + 1/t,
　A3 = 1 + t/(tt+t+1),
X=Anの漸化式は
　A1 + A2 + ････ + A_{n-1} + X = A1･A2････A_{n-1}･X,
より
　X = (A1+A2+･････+A_{n-1})/(A1A2････A_{n-1} - 1),

150 ：１３２人目の素数さん：2020/10/25(日) 17:47:31.15 ID:T/xDoF2e.net

>>149
有理式でいいならそりゃそうだけどさ
そもそもA1〜A(n-1)を好きな有理式(ただし積≠1)にしてもAnは有理式になるわけだし

151 ：１３２人目の素数さん：2020/10/25(日) 18:12:32.17 ID:cx0U6oD/.net

>>150
和と積が一致するパラメタ
A[1] = n
A[2] = 2
A[3] = ... = A[n] = 1

これで すべて整数係数多項式
"異なる"とかそういう条件が入ると難問だろう

152 ：１３２人目の素数さん：2020/10/25(日) 18:27:14.14 ID:T/xDoF2e.net

>>151
だから>>138に定数多項式は含まない、と書いたんだけどな

でもtと1/tの整係数多項式で全て非定数で異なるのも簡単だった
A1=Σ[i=2,n]Ai、A2=2/t^((n-1)(n-2)/2)、 A3=t^1…= An=t^(n-2)
とかでいい

153 ：１３２人目の素数さん：2020/10/25(日) 20:07:10.19 ID:AdWq2Ww/.net

>>141
数字和で3の倍数フィルターが258になることを必要条件とすると、
n=3x+1が成り立つのは理解できますが、
それだけでは不十分なので、何か別の条件があるはずです。
そうでないと49,77,133,169が素数でないことを立証できないからです。

154 ：１３２人目の素数さん：2020/10/25(日) 21:55:07.79 ID:V72jBZRi.net

質問なんですが、六芒星をとがった部分から直線を

滑る感じで回転するときの軌跡ってどうなりますか？教えてください！

155 ：１３２人目の素数さん：2020/10/25(日) 21:58:02.90 ID:V72jBZRi.net

回転というか1回転した時の軌跡です！

156 ：１３２人目の素数さん：2020/10/25(日) 22:49:13.63 ID:BxW91u5O.net

プレミアム率25%ってどういう意味?

157 ：１３２人目の素数さん：2020/10/26(月) 00:23:00.48 ID:WM0yBFVu.net

>>136
n=3
ΔXYZ は直角三角形でないとする。
　B = tan(x),　C = tan(y),　D = tan(z)

----------------------------------------
sinの加法公式(*)は
sin(x+y+z)
　= cos(x)cos(y)sin(z) + cos(x)sin(y)cos(z) + sin(x)cos(y)cos(z) - sin(x)sin(y)sin(z)
　= cos(x)cos(y)cos(z) [ tan(x) + tan(y) + tan(z) - tan(x)tan(y)tan(z) ],
また、題意より
　x+y+z = π,　sin(x+y+z) =0,
　cos(x)cos(y)cos(z) ≠ 0,
したがって
　tan(x) + tan(y) + tan(z) - tan(x)tan(y)tan(z) = 0,

*)　exp の加法公式
　cos(x+y+z) +ｉsin(x+y+z) = e^{ｉ(x+y+z)}
　= e^{ｉx} e^{ｉy} e^{ｉz}
　= (cos(x)+ｉsin(x))(cos(y)+ｉsin(y))(cos(z)+ｉsin(z)),
の虚数部をとる。

158 ：１３２人目の素数さん：2020/10/26(月) 00:50:57.24 ID:CzRFy8fL.net

>>157
実は元の>>133はその形を特殊化して導いた

x=π/2-α+β、y=α-γ、z=π/2-β+γ
s=tanα、t=tanβ、u=tanγとおくと
B=(1+st)/(s-t)、C=(s-u)/(su+1)、D=(1+tu)/(t-u)
というパラメータ表示を得る
ここでs=1+t、u=0と特殊化すると>>133の式になる

159 ：１３２人目の素数さん：2020/10/26(月) 00:59:18.72 ID:WM0yBFVu.net

n=3,
ﾁｮﾄ追加
x+y+z = π とする。
B = tan(mx),　C = tan(my),　D = tan(mz),
B = cot(m'x),　C= cot(m'y),　D = cot(m'z),
ここに mは整数　m' = m + 1/2.

160 ：１３２人目の素数さん：2020/10/26(月) 01:04:09.27 ID:CzRFy8fL.net

対称的なパラメータ形としては
x=α-β、y=β-γ、z=γ-αとおいて
B=(s-t)/(1+st)、C=(t-u)/(1+tu)、D=(u-s)/(1+us)
が得られる

161 ：１３２人目の素数さん：2020/10/26(月) 01:20:10.40 ID:LJx6Jxx9.net

>>154
三角形

162 ：１３２人目の素数さん：2020/10/26(月) 01:31:32.22 ID:baGfFlni.net

>>161
意味わからないんですけど・・・・・・・・・・・

163 ：１３２人目の素数さん：2020/10/26(月) 02:34:01.42 ID:SJUVhnC9.net

>>154
何が回転したときの何の軌跡かを指定しないと意味不明な問題だぞ。

164 ：１３２人目の素数さん：2020/10/26(月) 02:35:44.76 ID:KYnQZda7.net

>>148
(1) F(n)=9^n+8^n+4^n+3^n+2^n+1
n≧1のとき F(n)≧27
3|F(n) if n≡1 (mod 2)
5|F(n) if n≡2 (mod 4)
13|F(n) if n≡4,8 (mod 12)
19|F(n) if n≡6,12 (mod 18)
nが36の倍数でなければF(n)は3,5,13,19のいずれかを約数にもつ合成数である

(2) 高校数学で解けるの？

165 ：１３２人目の素数さん：2020/10/26(月) 03:50:35.22 ID:KYnQZda7.net

>>154
「滑らずに転がる」だったらこんな感じになる
http://imgur.com/476ENXZ.gif
滑る感じで回転ってのはよくわからない

166 ：１３２人目の素数さん：2020/10/26(月) 05:47:11.67 ID:WM0yBFVu.net

n=3m のとき
F(3m) = (9^3)^m + (8^3)^m + (4^3)^m + (3^3)^m + (2^3)^m + 1
　≡ 7^m + (-1)^m + 7^m + 8^m + 8^m + 1　　　(mod 19)
　≡ 0　　(mod 19)　　　　　　(if　n≡6,9,12 (mod18))