高校数学の質問スレPart408

337 ：１３２人目の素数さん：2020/11/06(金) 14:24:01.25 ID:ScfEnqq3.net

>>334
因数定理を用いる(以下くわしく)
α= cos(π/3)+isin(π/3)とすれば
1,α,.,α^5 はすべて異なる複素数である
また, α^6=1 から それら6数はすべてz^6=1を満たしている
(∵ (α^i)^6 = (α^6)^i = 1 (i=0,1,.,5)

今, 多項式f(x)=x^6-1 を考える
g(x) = (x-1)(x-α)..(x-α^5)　とおく.
f(x)に対して因数定理を6回用いれば
f(x)はg(x)で割り切れることがいえる
よって, f(x) = g(x)h(x) を満たす多項式h(x)が取れる
両辺の次数を比較することで h(x)は定数であるといえる
よって両辺の最高次の係数を比較することで h(x)=1 を得る
したがって f(x) = (x-1)(x-α)..(x-α^5) がいえた