高校数学の質問スレPart408

1 ：１３２人目の素数さん：2020/10/13(火) 22:56:42.03 ID:IAG/QuOR.net

【質問者必読！！】
まず>>1-4をよく読んでね

数学@5ch掲示板用 掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例
http://mathmathmath.dotera.net/

・まずは教科書、参考書、web検索などで調べるようにしましょう。（特に基本的な公式など）
・問題の写し間違いには気をつけましょう。
・長い分母分子を含む分数はきちんと括弧でくくりましょう。
　　（× x+1/x+2　；　 ○((x+1)/(x+2)) ）
・丸文字、顔文字、その他は環境やブラウザによりうまく表示できない場合があります。
　どうしても画像を貼る場合はPCから直接見られるところに見やすい画像を貼ってください。
　ピクトはPCから見られないことがあるので避けてください。
・質問者は名前を騙られたくない場合、トリップを付けましょう。
　（トリップの付け方は　名前(N)に　俺！#oretrip　←適当なトリ)
・質問者は回答者がわかるように問題を書くようにしましょう。
　でないと放置されることがあります。
　（変に省略するより全文書いた方がいい、また説明なく習慣的でない記号を使わないように）
・質問者は何が分からないのか、どこまで考えたのかを明記しましょう。
　それがない場合、放置されることがあります。
　（特に、自分でやってみたのに合わないので教えてほしい、みたいなときは必ず書くように）
・回答者も節度ある回答を心がけてください。
・970くらいになったら次スレを立ててください。

※前スレ
高校数学の質問スレPart407
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1597160116/

229 ：１３２人目の素数さん：2020/10/29(木) 19:47:37.47 ID:kB7lNWqX.net

元々の問題>>195としてはリストの3番目と4番目の和が奇数のときはそれがa+b+c+d、というのが最良の解答か

230 ：１３２人目の素数さん：2020/10/29(木) 19:55:28.26 ID:JZmjW2qA.net

うむ。
>>197 の期待に少しは応えられたかな？

231 ：１３２人目の素数さん：2020/10/29(木) 20:12:36.75 ID:JZmjW2qA.net

>>228　の場合は
　a = (o+p)/2,
　b = m-a,
　c = n-a,
　d = (o-p)/2,
かな

232 ：イナ ：2020/10/30(金) 03:26:28.02 ID:zTLc67RJ.net

前>>190
>>226
王冠でC3POとR2B2を見たことある。
買ったことはない。そもそもあの手のジュースを飲んだことがない。コーラだったかな？
ただ街のゴミ箱やら焼却炉やらグランドやらに落ちてるのを拾いあつめた。

233 ：イナ ：2020/10/30(金) 03:29:23.34 ID:zTLc67RJ.net

前>>232
P700iやったかな？
けっこう長く使ってたよ。
二つ折りのな。

234 ：１３２人目の素数さん：2020/10/30(金) 11:48:06.16 ID:NYoUhiCM.net

>>227 の場合は
・m = a+b,　n = a+c,　o = a+d,　p = b+c,
　(a,b,c,d) = ((m+n-p)/2, m-a, n-a, o-a) = (72, 37, 27, 15)
・m = a+b,　n = a+c,　o = b+c,　p = a+d,
　(a,b,c,d) = ((m+n-o)/2, m-a, n-a, p-a) = (121/2, 97/2, 77/2, 7/2)
のいずれか。

　o+p = a+b+c+d,
　m+n-o-p = a-d,
　{2mn+op-(m+n)(m+n-o-p)}/2 = ab+ac+ad+bc+bd+cd,
　g/6 = aa+bb+cc+dd,

　a = (m+n-p)/2, (m+n-o)/2,
を根とする2次式は
(2X-m-n+p)(2X-m-n+o)
　= 4XX - 4{m+n-(o+p)/2}X + (m+n)(m+n-o-p) + op
　= 4XX - 4{m+n-(o+p)/2}X + mm+nn + (m+n-o-p)^2 -g/6,

235 ：１３２人目の素数さん：2020/10/30(金) 12:47:50.23 ID:NYoUhiCM.net

しかし >>228 が指摘したように
・m = a+b,　n = a+c,　o = a+d,　p = a-d,
　(a,b,c,d) = ((o+p)/2, m-a, n-a, (o-p)/2) = (151/2, 67/2, 47/2, 23/2)
もある。
これも含めれば
　o+p = a+b+c+d　or　2a,
　m+n-o-p = a-d　or　b+c,
　g/6 = aa+bb+cc+dd,
　
　a = (m+n-p)/2, (m+n-o)/2, (o+p)/2,
を根とする3次式　>>222　となる。

236 ：１３２人目の素数さん：2020/10/30(金) 19:02:16.47 ID:qC05kNtC.net

10y^2−24xy−5＝0
x^2＋y^2＝1

もともとは三角比の問題で、sinθcosθをそれぞれxyに書き替えて解こうとしたら
絶望的な流れになって、何度ごちゃごちゃやってみても解けません。
この連立方程式は簡単そうに見えて実は解けない、あるいは難しいのでしょうか？
アドバイスいただけると助かります。

237 ：１３２人目の素数さん：2020/10/30(金) 19:46:23.80 ID:U2stiFDk.net

x だけ y だけにすれば 4次方程式になるだけだろ
何の問題があるのだ？

238 ：１３２人目の素数さん：2020/10/30(金) 19:50:18.27 ID:U2stiFDk.net

答えだけなら簡単
https://ja.wolframalpha.com/input/?i=10y%5E2-24xy-5%3D0%2Cx%5E2%2By%5E2%3D1

239 ：１３２人目の素数さん：2020/10/30(金) 20:21:56.60 ID:Yhtffd3b.net

�@ 10yy-24xy-5=0
�A xx+yy=1

�@+8×�Aより 18yy-24xy+8xx=13
�B y=(2/3)x+√(13/18) または
�C y=(2/3)x-√(13/18)

�Bを�Aに代入して (13/9)xx+(4/3)√(13/18)x-5/18=0
x = 1/√26, -5/√26 これを�Bに代入してyを求める
(x,y) = (1/√26, 5/√26),(-5/√26, 1/√26)

同様にして �C より
(x,y) = (5/√26, -1/√26),(-1/√26, -5/√26)

240 ：１３２人目の素数さん：2020/10/30(金) 20:44:01.35 ID:rIN0soo1.net

>>239
へー、よく完全平方を思いついたねぇ。

241 ：イナ ：2020/10/30(金) 21:03:07.45 ID:zTLc67RJ.net

前>>233
>>236
単位円x^2+y^2=1上の点を(cosθ,sinθ)とおき、
10y^2-24xy-5=0と接点を持ちそうなのでx=cosθ,y=sinθを代入すると、
10cos^2θ-24cosθsinθ-5=0
5(2cos^2θ-1)=12(2sinθcosθ)
5cos2θ=12sin2θ
25cos^2(2θ)=144sin^2(2θ)=144｛1-cos^2(2θ)｝
(25+144)cos^2(2θ)=144
169cos^2(2θ)=144
13cos2θ=12
cos2θ=12/13=2cos^2θ-1=2x^2-1
13(2x^2-1)=12
26x^2=1
x=1/√26,y=5/√26
グラフを描くと交点が(1/√26,5/√26)のほかに3点ありそう。
　　

242 ：イナ ：2020/10/30(金) 21:19:56.37 ID:zTLc67RJ.net

前>>241訂正。
>>236
単位円x^2+y^2=1上の点を(cosθ,sinθ)とおき、
10y^2-24xy-5=0と接点を持ちそうなのでx=cosθ,y=sinθを代入すると、
10cos^2θ-24cosθsinθ-5=0
5(2cos^2θ-1)=12(2sinθcosθ)
5cos2θ=12sin2θ
25cos^2(2θ)=144sin^2(2θ)=144｛1-cos^2(2θ)｝
(25+144)cos^2(2θ)=144
169cos^2(2θ)=144
13cos2θ=12
cos2θ=12/13=2cos^2θ-1=2x^2-1
13(2x^2-1)=12
26x^2=1
x=±1/√26,y=±5/√26(復号同順)
グラフを描くと交点はx,yの対称性より、
(±1/√26,±5/√26),(±5/√26,干1/√26)(復号同順)
　　

243 ：１３２人目の素数さん：2020/10/30(金) 21:30:35.94 ID:nmXOfPnp.net

＞13(2x^2-1)=12
＞26x^2=1

これはあかん

244 ：１３２人目の素数さん：2020/10/30(金) 21:58:44.65 ID:nmXOfPnp.net

>>236
＞10y^2−24xy−5＝0
＞x^2＋y^2＝1

10y^2−24xy−5(x^2＋y^2)＝0
5y^2−24xy−5x^2＝0
(5y＋x)(y−5x)＝0
−5y＝x または y＝5x

−5y＝xとx^2＋y^2＝1より26y^2＝1
よって(x,y)＝(−5/√26, 1/√26), (5/√26, −1/√26)

y＝5xとx^2＋y^2＝1より26x^2＝1
よって(x,y)＝(−1/√26, −5/√26), (1/√26, 5/√26)

245 ：１３２人目の素数さん：2020/10/30(金) 23:00:14.31 ID:4mx++Qq5.net

>>236
定数消去して因数分解でもいける

246 ：イナ ：2020/10/30(金) 23:06:46.07 ID:zTLc67RJ.net

前>>242
>>243なにがあかんじゃ。
グラフ描いてこれがベストやないか。

247 ：236：2020/10/30(金) 23:30:25.01 ID:qC05kNtC.net

>239
�B�Cの答えが出るのか理解するだけで苦労しました。
平方完成(こういう綺麗な形の時は240さんおっしゃるとおり完全平方？)を
思いつくのがスゴいと思います。

>242
丁寧な回答ありがとうございます。
238にあるリンク先で、グラフの外形を見て驚きました。
まさかここまで複雑な難問とは思いもしませんでした。
円じゃない方のグラフの形を見ると高校数学外な気もしますが…
どちらにしても、示してくださった回答が非常に複雑で、今まだ解読中です。
でもまずは先にお礼を申し上げます。

>244
いちばん納得できる、わかりやすい回答でした。
でも、この形はとてもじゃないけど私じゃひらめきません。
答が先に示されたとしたらなんとか…みたいなレベルです。

xがsinθ yがcosθで、�@の式が
10cos^2θ-24sinθcosθ-5=0
のときの tanθを求める問題で、両辺にcos^2θをかけるとうまくいくのが「模範解答」
なんですが、思いつかずなんとなならないか試行錯誤して今回の質問に至りました。
ところがどうやら模範解答の方が救いのある発想なようで…(^^;

練習を重ねていくうちにcos^2θをかけるなんていうひらめきができるようになるのか、とても不安です。
皆さんのおかげで、あるいみスパッと気持ちを切り替えることができました！
なんでも代入して(簡単に)解けると思ったら大間違いだったんですね。
肝に銘じておきます。

248 ：236：2020/10/30(金) 23:34:25.64 ID:qC05kNtC.net

間違えました。
「cos^2θをかける」んじゃなくて「cos^2θで割る」が正しいです。
tanってあまりつかうことないので、なかなか思いつきません…。
2年3年と進むにつれて使うことが多くなるのなら頑張れるのですが
今のところその気配はないようで…。

249 ：イナ ：2020/10/31(土) 00:42:07.84 ID:/HtleTZK.net

前>>246計算間違いか。訂正。
>>236
単位円x^2+y^2=1上の点を(cosθ,sinθ)とおき、
10y^2-24xy-5=0と接点を持ちそうなのでx=cosθ,y=sinθを代入すると、
10cos^2θ-24cosθsinθ-5=0
5(2cos^2θ-1)=12(2sinθcosθ)
5cos2θ=12sin2θ
25cos^2(2θ)=144sin^2(2θ)=144｛1-cos^2(2θ)｝
(25+144)cos^2(2θ)=144
169cos^2(2θ)=144
13cos2θ=12
cos2θ=12/13=2cos^2θ-1=2x^2-1
13(2x^2-1)=12
26x^2=12+13=25
x=±5/√26,y=干1/√26(復号同順)
グラフを描くと交点はx,yの対称性より、
(±1/√26,±5/√26),(±5/√26,干1/√26)(復号同順)

250 ：１３２人目の素数さん：2020/10/31(土) 01:30:01.39 ID:GUC2y5s4.net

>>249
ようやく読み解けました。
倍角の公式なんですね。
こんなところでうまく使える自信はまったくありませんが、
自分の知識だけでなんとか解けることを知れたことがうれしいです。
特に「169cos^2(2θ)=144」のところは気持ちいいです。
計算が合ってる自信というか、正解にたどり着けそうな雰囲気というか。
こんな工夫を知ったことは、この先何かの糧になるかもしれません。
できる限り頭の隅にとどめておきます。
本当にありがとうございました！

251 ：１３２人目の素数さん：2020/10/31(土) 01:38:29.60 ID:i9jEU/Qp.net

２次同次式は倍角と半角で次数下げがセオリー

252 ：１３２人目の素数さん：2020/10/31(土) 06:37:49.44 ID:IflJOm3v.net

>>251
後だしだっせぇ〜

253 ：１３２人目の素数さん：2020/10/31(土) 06:49:18.12 ID:IflJOm3v.net

ちなみに無知な馬鹿どものために教えてやる。これは自治医科大の過去問。

254 ：１３２人目の素数さん：2020/10/31(土) 07:45:08.38 ID:vjQd1vI0.net

なんで顔真っ赤にしてんのw？

255 ：１３２人目の素数さん：2020/10/31(土) 07:51:04.00 ID:IflJOm3v.net

>>254
顔真っ赤にするのが大好きだからだよ

256 ：１３２人目の素数さん：2020/10/31(土) 07:52:41.51 ID:IflJOm3v.net

ほかに顔真っ赤にする理由があるのかよクソが。

257 ：１３２人目の素数さん：2020/10/31(土) 13:09:12.14 ID:4ft4y0rs.net

なんで怒ってんの？

258 ：１３２人目の素数さん：2020/10/31(土) 17:07:23.68 ID:i9jEU/Qp.net

>>252
俺は違う解法書いてる

259 ：１３２人目の素数さん：2020/10/31(土) 17:44:27.53 ID:2ihjertC.net

>>258
頓馬は黙ってろ

260 ：１３２人目の素数さん：2020/10/31(土) 21:41:19.24 ID:3AyWXIVe.net

関数f(x)が、f(0)=0, f'(x)>0, f''(x)<0　を満たすとき
任意の正の定数cに対して、f(x+c)/f(x) はx→∞で1に収束すると言えるますか。

261 ：１３２人目の素数さん：2020/11/01(日) 01:22:13.57 ID:S0PL8w05.net

f(x) = 2x + 1 - exp(x)

262 ：１３２人目の素数さん：2020/11/01(日) 04:54:10.84 ID:zGFQw1Vr.net

>>225
3次元的に見れば良かった

和の大小関係
(a+b)
　v
(a+c)>(b+c)
　v　　 v
(a+d)>(b+d)>(c+d)

差の大小関係
(a-d)>(b-d)>(c-d)
　v　　 v
(a-c)>(b-c)
　v
(a-b)

に対してc+d>0という条件を課すと
両図式の正方形の頂点が新たに結ばれ立方体になる
立方体には(a+b)>という角が1本と
>(c+d),>(c-d),>(a-b)という足が3本でており
角をトップとする立方体の対角線を軸にS3対称性が作用する

263 ：１３２人目の素数さん：2020/11/01(日) 08:54:02.57 ID:wjET/d39.net

>>212�d
導関数の連続性はどこで使いますか？
中間値の定理はg(x)の連続性だけだと思うのですが

264 ：１３２人目の素数さん：2020/11/01(日) 10:25:37.08 ID:vPayCbtl.net

>>212

[附記]　導函数の連続性について

区間[a,b]においてf(x)が微分可能ならば、f(x)は連続であるが、
導函数f '(x)は必ずしも連続でない。
すなわち 微分法は連続性を保存しない。

[例]　f(x) = x^2･sin(1/x),　　(x≠0)
　　　f(0) = 0,

導函数は必ずしも連続でないから、x→a のとき f '(x) → f '(a) とはいかない。
lim[x→a] f '(x) は存在すらも保証されない。

高木貞治『解析概論』改訂第三版, 岩波書店 (1961)
　第2章, §18, p.50　附記
http://www1.gifu-u.ac.jp/~kameyama/derivative.pdf

265 ：１３２人目の素数さん：2020/11/01(日) 10:42:19.75 ID:0A33OiP2.net

>>261
f'(x)=2-exp(x)がどうしたの？

266 ：１３２人目の素数さん：2020/11/01(日) 11:29:10.01 ID:vPayCbtl.net

>>200
　(a,b) で g(x)≠0 (単調) なら、SはTの1価関数だから
ノーマルの方でいけるね。

だが一般には、f '(x) = g '(x) = 0 でなければいいので、
SはTの多価関数かもしれない。
g'(x) = 0 なる点でいくつかの区間に分けるのも面倒だ。


この定理に興味ある幾何学的の説明を与えることができる。
曲線　x=g(t),　y=f(t),　　a≦t≦b
を考察する。　t=a, t=b に対応する点を A, B とすれば
左辺は　弦ABの勾配で、右辺は点t=ξに対応する点P
における接線の勾配である。すなわち 曲線AB上の中間の或
る点Pにおける接線が、弦ABに平行になるのである。

　高木貞治『解析概論』改訂第三版, 岩波書店 (1961)
　　第2章, §18, 定理21のあと, p.49

267 ：１３２人目の素数さん：2020/11/01(日) 12:26:24.91 ID:OnAzt99c.net

>>260
言えそうだよね。

上に凸なグラフで単調増加だから、f(x)<f(x+c)<f'(x)c+f(x)
f(x)>0で除して、1<f(x+c)/f(x)<cf'(x)/f(x) +1

x→∞でf(x)が有限な値に収束する場合はf'(x)→0
x→∞でf(x)→∞の場合でも、f''(x)<0 よりf'(x)は単調減少
なので、0<f'(x)<f'(0)となり 0 < f'(x)/f(x) <f'(0)/f(x)
でf'(x)/f(x) →0
ってことで、x→∞でcf'(x)/f(x) +1 →1となるので、
f(x+c)/f(x)→1

268 ：１３２人目の素数さん：2020/11/01(日) 12:33:03.98 ID:vPayCbtl.net

>>260

f '(x) は単調減少で正だから収束する。
lim[x→∞] f '(x) = m ≧ 0.

f(x) ≧ f(0) + ∫[0,x] m dt = mx　(x>0)

任意の ε>0 に対して、十分大きいxをとれば
　mx ≦ f(x) < (m+ε)x,
m=0 のときは成立
m≠0 のときは
1 < f(x+c)/f(x) < (m+ε)(x+c)/(mx),
1 ≦ lim[x→∞] f(x+c)/f(x) ≦ (m+ε)/m,
ε>0 は任意だったから
lim[x→∞] f(x+c)/f(x) = 1,

269 ：１３２人目の素数さん：2020/11/01(日) 13:37:34.71 ID:S0PL8w05.net

おっと f'(x) > 0 だったか f'(0) > 0 に空目した！
ならば >>260 の答は YES だ
証明は 2つに場合に分ける
lim f(x) < ∞ の場合：lim f(x) = M > 0 が存在するから
lim f(x+c)/f(x) = (lim f(x+c))/(lim f(x)) = M/M = 1
lim f(x) = ∞ の場合：lim f'(x) = M ≧ 0 が存在して
f(x+c) = f(x) + c f'(ξ), x ≦ ξ ≦ x+c だから
lim f(x+c)/f(x) = lim(1 + c f'(ξ)/f(x)) = 1 + c M/(lim f(x)) = 1

270 ：１３２人目の素数さん：2020/11/01(日) 16:37:54.51 ID:QDSLSe3f.net

正方形ABCDの内部の点をPとしてPA=１,PB=２,PC=３のとき正方形の面積を求めよ。

271 ：１３２人目の素数さん：2020/11/01(日) 17:44:00.45 ID:vPayCbtl.net

　AB = CD = l,
　BC = DA = m,
　P(x,y)
とおく。
　3 = PB^2 - PA^2 = (l-x)^2 - xx　より
　x = (l-3/l)/2,
　5 = PC^2 - PB^2 = (m-y)^2 - yy　より　
　y = (m-5/m)/2,
これを
　xx + yy = 1,
に入れて l=m とすれば
　l^4 - 10l^2 + 17 = 0,
　l^2 = 5 + 2√2,
　S = l･m = l^2 = 5 + 2√2 = 7.8284271

272 ：１３２人目の素数さん：2020/11/01(日) 17:44:42.99 ID:OnAzt99c.net

>>270
135/34 ?

273 ：１３２人目の素数さん：2020/11/01(日) 17:45:40.50 ID:OnAzt99c.net

まちがえた、225/34?

274 ：１３２人目の素数さん：2020/11/01(日) 17:50:59.35 ID:OnAzt99c.net

すまん、なんか全然間違えてたｗ

275 ：１３２人目の素数さん：2020/11/01(日) 18:32:00.61 ID:OnAzt99c.net

>>271
相変わらずお見事。書き込み直前に確認すれば
恥をかかずにすんだのに、、、残念ｗ

l^2=5-2√2はどうやって排除するの？自明な気もするが。

276 ：260：2020/11/01(日) 18:42:21.37 ID:81uyEtG7.net

うわあ証明がいっぱいだ！
ありがとうございます！　>>267-269

277 ：１３２人目の素数さん：2020/11/01(日) 19:21:59.53 ID:vPayCbtl.net

l^2 = 5-2√2 の場合は
l√2 = 2.08402
PC = 3 だから PはABCDの内部の点でない。
∴ 題意に不適。

278 ：１３２人目の素数さん：2020/11/01(日) 19:32:56.30 ID:vPayCbtl.net

それより
正方形ABCDの内部の点をPとして PA=1, PB=2, PC=√{7+(3-√3)φ} = 3.0085852 のとき
(1)　∠PAB を求めよ。
(2)　面積は 5π/2 より大きいか小さいか。
φ = (1+√5)/2 = 1.618034

279 ：１３２人目の素数さん：2020/11/01(日) 22:06:50.44 ID:QDSLSe3f.net

>>278
プログラムで計算させた

（座標を書いてベクトルの内積からacosでだすと）
∠PAB は
rad deg
0.7930288 45.4372053


lm = function(a,b,c) {
b1=sqrt(2)*b
(1/2)*(a^2 + c^2 + sqrt((a+b1+c)*(a+b1-c)*(a-b1+c)*(-a+b1+c)))
}

面積は
> lm(PA,PB,PC)
[1] 7.854102

> 5*pi/2
[1] 7.853982

よりわずかに大きい。

280 ：１３２人目の素数さん：2020/11/02(月) 00:17:57.24 ID:nV+GRV6y.net

(2) は正解です！
(1) PC の式が複雑すぎたかな。

※　元の問題では PC=3 で、その場合は　　>>270
　x = (1+√2)/l,　y = (√2)/l,　l = √(5+2√2) = 2.79793265
　tan(∠PAB) = y/x = 2 - √2,
　∠PAB = 30.3611934°
　これと大差ないと思ったが…

281 ：１３２人目の素数さん：2020/11/02(月) 00:42:00.95 ID:+8d7S6a5.net

>>277
なるほど、2l^2 =10-4√2 < PC^2=9 だから除外できるのか。
頭いいな。

282 ：１３２人目の素数さん：2020/11/02(月) 14:07:18.15 ID:jc+J+kmQ.net

Ｘ²−Ｙ²＝60を満たす自然数をもとめよ！

この問題の解説お願いします！

283 ：１３２人目の素数さん：2020/11/02(月) 14:15:20.46 ID:PRz9hXtP.net

>>282
因数分解してかけて60になる組み合わせを調べるだけ

284 ：１３２人目の素数さん：2020/11/02(月) 17:54:01.51 ID:nV+GRV6y.net

XX-YY = (X+Y)(X-Y),
X+Y と X-Y は共に偶数 or 共に奇数。
本問では両方とも偶数。
(X+Y)/2 = s,　(X-Y)/2 = t　(s>t>0)とおくと
st = (X+Y)(X-Y)/4 = (XX-YY)/4 = 15,
(s,t) = (15,1)　or　(5,3)
(X,Y) = (s+t, s-t) = (16,14)　or　(8,2)

285 ：１３２人目の素数さん：2020/11/02(月) 19:49:43.47 ID:nV+GRV6y.net

>>278
m = 1/2 + √{13/4 + (3-√3)φ}
　= φ√3
　= 2.80251708
らしい…

286 ：１３２人目の素数さん：2020/11/02(月) 20:55:02.86 ID:FAp7bgxt.net

>>282
x^2 - y^2 = 60
xとyは偶奇が等しく,x＞y だから
x = y + 2z (z:自然数)とおけるので
(y+2z)^2 - y^2 = 60
よって z(y + z) = 15
zはy+zより小さいので,zは√15未満の15の正の約数である
よって,z=1,3 の場合だけを調べればよい
z=1 のとき y=14 だから (x,y)=(16,14)
z=3 のとき y=2 だから (x,y)=(10,2)

287 ：１３２人目の素数さん：2020/11/02(月) 20:56:53.43 ID:FAp7bgxt.net

最下段は計算ミス
z=3 のとき y=2 まではOKで (x,y)=(8,2) が正しい

288 ：１３２人目の素数さん：2020/11/02(月) 23:08:36.59 ID:+8d7S6a5.net

>>284
いつもながら華麗な解答だねぇ。文句なし。

289 ：１３２人目の素数さん：2020/11/03(火) 15:08:21.28 ID:WgTW/jgC.net

単調増加で下に凸な関数はｘが無限に行くと無限大に発散しますか？

290 ：１３２人目の素数さん：2020/11/03(火) 15:26:59.84 ID:WzeT9Eh0.net

1/xとかどうですか？

291 ：１３２人目の素数さん：2020/11/03(火) 15:34:51.95 ID:3zkQMGoc.net

>>289
発散する。任意の点における接線で下から評価すればよい。

>>290
1/xは十分大きいxに対して上に凸である。

292 ：１３２人目の素数さん：2020/11/03(火) 16:40:24.33 ID:XCxGvOul.net

>>289
　g(x) = {f(x) - f(0)}/x,　　　(x>0)
とおく。
・f(x)は単調増加だから
　g(x) ≧0,　　　　　(x>0)
・f(x) は下に凸な関数。
0<a<b とすると、
　(a,f(a)) は線分 (0,f(0))−(b,f(b)) より下にある。
∴ g(b) - g(a) = {(a/b)f(b) + (1-a/b)･f(0) - f(a)}/a ≧ 0,
∴ g(x) も x>0 で単調増加。
　g(x) > g(b) > 0　　　　(x>b)
　f(x) = f(0) + g(x) x >　f(0) + g(b) x　→ ∞　　(x→∞)

1/x は x>0 で単調減少。

f(x) が微分可能の場合は接線が曳けますが、下に尖 の場合も…
xがどんなに大きくても 1/x は下に凸。

293 ：１３２人目の素数さん：2020/11/03(火) 16:42:36.25 ID:DD5vwt+r.net

先日の大阪都構想開票報道で100万人の結果が3000人のサンプルでピッタリ合ってたので驚きました
１0万人の結果を300人のサンプルでは当てられないですよね
母数１億人だったら何人ぐらい調べたらいいですか

294 ：１３２人目の素数さん：2020/11/03(火) 16:52:16.95 ID:XCxGvOul.net

>>285
　PA=1, PB=2, AB=l=φ√3,
　∠PAB = ?
う〜む

295 ：１３２人目の素数さん：2020/11/03(火) 17:10:10.48 ID:sEtrplSe.net

質問です。　反復試行の確率でなざCがでてくるのでしょうか。　当たる順番が大切だからと言われてもピンときません。

296 ：１３２人目の素数さん：2020/11/03(火) 17:18:57.58 ID:6zTKqNDW.net

馬鹿かよ

297 ：１３２人目の素数さん：2020/11/03(火) 17:31:55.64 ID:QLs0C1iT.net

バカじゃないならこんなとこで聞くわけないわな

298 ：１３２人目の素数さん：2020/11/03(火) 20:14:07.70 ID:Zi8GxxPv.net

i=√-1で、-i=-√-1という理解でよいのですか？

299 ：１３２人目の素数さん：2020/11/03(火) 20:48:27.47 ID:XCxGvOul.net

>>297
対偶は
　こんなとこで訊く　なら　バカだわな

300 ：１３２人目の素数さん：2020/11/03(火) 21:44:25.76 ID:FFMlQKpH.net

>>298
√-1 をどう考えてるかによる
本来は意味のない表現だからな

301 ：１３２人目の素数さん：2020/11/03(火) 23:30:43.07 ID:XCxGvOul.net

>>294
　第二余弦定理で

302 ：１３２人目の素数さん：2020/11/04(水) 18:47:57.46 ID:c/0O/dNO.net

A〜Eの5人
月曜日、火曜日、水曜日の3日間について、1日2人ずつの宿直を決める。
1回も宿直に当たらない人はいてもよいが、1人で3日すべて宿直に当たるのはナシとするとき、
3日間の宿直の割り振り方は何通りありますか？

303 ：１３２人目の素数さん：2020/11/04(水) 20:35:21.57 ID:SDW+Wes8.net

無条件で２人ずつ選ぶ場合の数から、１人が３日すべて宿直する
場合の数を引く。これでは５人のうちの２人が３日すべて宿直
する場合が二重にカウントされて引かれてるので、それを加える。

(5C2)^3 - 5×(4C1)^3 + 5C2 = 1000 -320 + 10 = 690 通り

304 ：１３２人目の素数さん：2020/11/04(水) 20:49:09.79 ID:zpA7lgDs.net

京大実践模試　理系数学　2017 第1回　第3問について質問です。
[問題]
さいころを投げて、他のさいころと同じ目が出ているさいころをすべて取り除く。
例えば、7回投げて
1,2,3,4,4,5,5または1,2,3,4,4,4,4
と出たときは1,2,3が出た3個だけを残すことになる。
n個(n>=7)のさいころを投げたとき、さいころがちょうど5個だけ残る確率をp,およびちょうど4個だけ残る確率qを求めよ。


[質問]
pは求まりましたが、qが分かりません。
インターネット上で最終的な値だけは見つかったのですが、自分の答えと一致しません。
qに関して、過程も含めて解答お願いします。
一応下にネットで見つけた値(恐らく正しい値だとは思います)。



[答え]
p=(1/6)^(n-1)×n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)
q={(1/6)^(n-1)×5n(n-1)(n-2)(n-3)}{2^(n-5)-n+4}

305 ：１３２人目の素数さん：2020/11/04(水) 21:16:02.09 ID:0ym78Hqr.net

q = [Binomial(n, 4)×4!×{2^(n-4)-2×(n-4)}×Binomial(6, 4)]/6^n = {(1/6)^(n-1)×5n(n-1)(n-2)(n-3)}{2^(n-5)-n+4}

306 ：１３２人目の素数さん：2020/11/04(水) 21:18:03.49 ID:0ym78Hqr.net

説明が難しいです。

307 ：１３２人目の素数さん：2020/11/04(水) 21:21:15.26 ID:0ym78Hqr.net

Binomial(n, 4)は生き残った4つのサイコロの出た目の数字の集合が何通りあるか。
{�@, �A, �B, �C}
{�@, �A, �B, �D}
{�@, �A, �B, �E}
…
{�B, �C, �D, �E}

308 ：１３２人目の素数さん：2020/11/04(水) 21:22:35.19 ID:0ym78Hqr.net

あ、間違えました。

309 ：１３２人目の素数さん：2020/11/04(水) 21:23:59.79 ID:0ym78Hqr.net

Binomial(6, 4)は生き残った4つのサイコロの出た目の組み合わせの数。

310 ：１３２人目の素数さん：2020/11/04(水) 21:25:58.98 ID:0ym78Hqr.net

Binomial(n, 4)はNo.1からNo.nまでのn個のサイコロのうち、生き残る4個のサイコロを選ぶ組み合わせの数。

311 ：１３２人目の素数さん：2020/11/04(水) 21:27:22.30 ID:0ym78Hqr.net

4!は生き残った4個のサイコロに割り当てる4つの異なる数字の割り当て方の数。

312 ：１３２人目の素数さん：2020/11/04(水) 21:29:32.84 ID:0ym78Hqr.net

{2^(n-4)-2×(n-4)}は取り除かれてしまうn-4個のサイコロの目の出かたの数。

313 ：１３２人目の素数さん：2020/11/04(水) 21:34:34.38 ID:zpA7lgDs.net

>>305

314 ：１３２人目の素数さん：2020/11/04(水) 21:35:59.38 ID:zpA7lgDs.net

>>305-312
分かりやすい説明ありがとうございます。場合の数に分けるのが上手ですね。理解できました。

315 ：１３２人目の素数さん：2020/11/04(水) 21:38:33.73 ID:0ym78Hqr.net

�@�A�B�Cが生き残る4つのサイコロの出た目の数の組み合わせとすると、
他のn-4個のサイコロの出た目は�Dか�Eで�Dも�Eも2回以上出ていないといけない。

n-4個のサイコロを投げたとき出る目が�Dか�Eであるような目の出方の数は、2^(n-4)通り。
そのうち�Dがちょうと1回でるような目の出方の数はn-4通り。
そのうち�Eがちょうと1回でるような目の出方の数はn-4通り。

2^(n-4) - (n-4) - (n-4)通りの目の出方は、�Dも�Eも（あれば）2個以上含む

316 ：１３２人目の素数さん：2020/11/04(水) 21:39:14.88 ID:0ym78Hqr.net

すみません。説明するのが苦手で自分で書いてて意味不明になってきました。

317 ：１３２人目の素数さん：2020/11/04(水) 21:53:28.88 ID:zpA7lgDs.net

>>315-316
いえいえ。非常にわかりやすかったです。qを一発で求めに行く発想はなかったので面白かったです。
自分の解答に重複して数えたりした部分がなかったか確認したいと思います。

318 ：302：2020/11/05(木) 00:09:39.00 ID:p1xgTp2C.net

ありがとお

319 ：１３２人目の素数さん：2020/11/05(木) 12:50:09.34 ID:cJYLjAE9.net

>>302
プログラムを組んで690を列挙してみた。　最初とと最後の10個を書き出すと

> print(head(ans,10),quote=F)
月 月 火 火 水 水
[1,] C D A B A B
[2,] C E A B A B
[3,] D E A B A B
[4,] B C A C A B
[5,] B D A C A B
[6,] B E A C A B
[7,] C D A C A B
[8,] C E A C A B
[9,] D E A C A B
[10,] B C A D A B
> print(tail(ans,10),quote=F)
月 月 火 火 水 水
[681,] C E C D D E
[682,] A B C E D E
[683,] A C C E D E
[684,] A D C E D E
[685,] B C C E D E
[686,] B D C E D E
[687,] C D C E D E
[688,] A B D E D E
[689,] A C D E D E
[690,] B C D E D E

320 ：１３２人目の素数さん：2020/11/05(木) 13:15:07.58 ID:cJYLjAE9.net

>>302
# 1回も宿直に当たらない人がいてはいけない。
# 1人で3日すべて宿直に当たるのもあってはならない。

と条件を変更すると

> print(tail(ans,10),quote=F)
月 月 火 火 水 水
[171,] B C A D D E
[172,] B C A E D E
[173,] A B B C D E
[174,] A C B C D E
[175,] A D B C D E
[176,] A E B C D E
[177,] A C B D D E
[178,] A C B E D E
[179,] A B C D D E
[180,] A B C E D E
> print(tail(ans,10),quote=F)
月 月 火 火 水 水
[171,] B C A D D E
[172,] B C A E D E
[173,] A B B C D E
[174,] A C B C D E
[175,] A D B C D E
[176,] A E B C D E
[177,] A C B D D E
[178,] A C B E D E
[179,] A B C D D E
[180,] A B C E D E
>
１８０通り

321 ：１３２人目の素数さん：2020/11/05(木) 13:33:25.20 ID:cJYLjAE9.net

さらにこんな条件を追加してみた、すなわち、

# 1回も宿直に当たらない人がいてはいけない。
# 1人で3日すべて宿直に当たるのもあってはならない。
# (Aの彼女をBが寝取ったためAとBとを同じ日に宿直させると刃傷沙汰になるため)AとBは別の日に宿直させなければならない。
> print(head(ans,10),quote=F)
月 月 火 火 水 水
[1,] B E A D A C
[2,] B D A E A C
[3,] D E B C A C
[4,] A E B D A C
[5,] B E B D A C
[6,] C E B D A C
[7,] D E B D A C
[8,] A D B E A C
[9,] B D B E A C
[10,] C D B E A C

> print(tail(ans,10),quote=F)
月 月 火 火 水 水
[117,] B C A C D E
[118,] B D A C D E
[119,] B E A C D E
[120,] B C A D D E
[121,] B C A E D E
[122,] A C B C D E
[123,] A D B C D E
[124,] A E B C D E
[125,] A C B D D E
[126,] A C B E D E

１２６通り

322 ：１３２人目の素数さん：2020/11/05(木) 14:07:06.54 ID:48rfgVX4.net

>>320
># 1回も宿直に当たらない人がいてはいけない。
># 1人で3日すべて宿直に当たるのもあってはならない。

この条件のほうが現実的な割り振りの仕方だね。
誰か１人が２日やるので、その選び方５通りあって、その
人をどの曜日に割当るかは3C2=3通り。そのそれぞれについ
て、その人が当たってない日に誰がやるかは4C2=6通りで、
さらにそのそれぞれについて、残りの２人をどっちの曜日
につけるかが2通りと、都合5x3x6x2 =180通り

323 ：１３２人目の素数さん：2020/11/05(木) 14:16:19.53 ID:48rfgVX4.net

AとBは別の日という条件を加えるということは,
AとBが同じ日になる場合の数をさっぴけばよい。
どの曜日に同じになるかは３通り。それぞれに
ついて、残りの２日をACDEに割り振るのは4C2=6通り。
また、BCDEに割り振るのも6通り。CDEに割り振る
のは誰を2日やらせるかで3通り、そのそれぞれに
ついて残りの２人の曜日のとり方が２通りなので、
都合 3x(6+6+3x2)=54通り
よって180-54=126通り

324 ：１３２人目の素数さん：2020/11/05(木) 15:15:01.86 ID:oCSwH2P1.net

>>304
他のどのサイコロとも異なる出目のサイコロを「孤立サイ」と呼ぶ。

n個(n≧7)投げて、孤立サイk個が生き残り、(n-k)個が取り除かれたとする。
取り除かれた(n-k)個のサイコロの出目は(6-k)種のいずれかである。
総計 (6-k)^{n-k} とおりの順列のうち、孤立サイが無いものを求める。
特定のｊ個が孤立している順列は P(n-k,6-k-j)・j^{n-6+j} 個。
孤立サイが無い順列は、ド・モルガンの法則を使って
　Q(n,k) = Σ[j=1,6-k] (-1)^{6-k-j}・Binomial(6-k,j)・P(n-k,6-k-j)・j^{n-6+j} 個,
n個(n≧7)投げて、孤立サイk個が生き残る確率は
　Binomial(n,k)･P(6,k)･Q(n,k) / (6^n),
ここで
　Binomial(n,k)　はn個のサイコロのうち、生き残るk個を選ぶ組合せの数。
　P(6,k) = Binomial(6,k) × k!　は生き残ったk個の孤立サイの出目の順列の数。
　Q(n,k)　は取り除かれる (n-k)個のサイコロの出目の順列の数。

325 ：１３２人目の素数さん：2020/11/05(木) 16:44:25.32 ID:oCSwH2P1.net

上記の
　Q(n,k) = Σ[j=1,6-k] (-1)^{6-k-j}・Binomial(6-k,j)・P(n-k,6-k-j)・j^{n-6+j},
を具体的に書けば
　Q(n,5) = 1^{n-5} = 1,
　Q(n,4) = 2^{n-4} - 2(n-4),
　Q(n,3) = 3^{n-3} - 3(n-3)･2^{n-4} + 3(n-3)(n-4),
　Q(n,2) = 4^{n-2} - 4(n-2)･3^{n-3} + 6(n-2)(n-3)･2^{n-4} - 4(n-2)(n-3)(n-4),
　Q(n,1) = 5^{n-1} - 5(n-1)･4^{n-2} + 10(n-1)(n-2)･3^{n-3} - 10(n-1)(n-2)(n-3)･2^{n-4} + 5(n-1)(n-2)(n-3)(n-4),
　Q(n,0) = 6^n - 6n･5^{n-1} + 15n(n-1)･4^{n-2} - 20n(n-1)(n-2)･3^{n-3} + 15n(n-1)(n-2)(n-3)･2^{n-4} - 6n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4),

326 ：１３２人目の素数さん：2020/11/05(木) 18:31:04.75 ID:oCSwH2P1.net

>>301
　∠PAB = (PA^2 + AB^2 - PB^2)/(2･PA･AB),

327 ：１３２人目の素数さん：2020/11/06(金) 09:34:10.73 ID:MFaIptOD.net

>>322
宿直１人で現実的な問題を考えてみた。

A,B,C,D,Eの５人で1日１人の宿直を以下の条件で
日曜日から土曜日までのある７日の宿直を割り当てる。
　1回も宿直に当たらない人がいてはいけない
　誰も2日続けて宿直してはならない
割り当て方は何通りあるか？

プログラムで最初と最後の１０個を列挙させてみた。

> print(head(ans,10),quote=F)
日 月 火 水 木 金 土
[1,] A B A B C D E
[2,] A B A B C E D
[3,] A B A B D C E
[4,] A B A B D E C
[5,] A B A B E C D
[6,] A B A B E D C
[7,] A B A C A D E
[8,] A B A C A E D
[9,] A B A C B D E
[10,] A B A C B E D
>
> print(tail(ans,10),quote=F)
日 月 火 水 木 金 土
[7791,] E D E C D A B
[7792,] E D E C D B A
[7793,] E D E C E A B
[7794,] E D E C E B A
[7795,] E D E D A B C
[7796,] E D E D A C B
[7797,] E D E D B A C
[7798,] E D E D B C A
[7799,] E D E D C A B
[7800,] E D E D C B A

7800通り

328 ：１３２人目の素数さん：2020/11/06(金) 09:43:29.10 ID:MFaIptOD.net

A,B,C,D,Eの５人で1日１人の宿直を以下の条件で
日曜日から土曜日までのある７日の宿直を割り当てる。

# 1回も宿直に当たらない人がいてはいけない
# 誰も2日続けて宿直してはならない
# 誰においても7日の宿直日数の上限は２日である
という条件にすると

> print(tail(ans,10),quote=F)
日 月 火 水 木 金 土
[6591,] E D E C B C A
[6592,] E D E C B D A
[6593,] E D E C D A B
[6594,] E D E C D B A
[6595,] E D E D A B C
[6596,] E D E D A C B
[6597,] E D E D B A C
[6598,] E D E D B C A
[6599,] E D E D C A B
[6600,] E D E D C B A

6600通り