高校数学の質問スレPart408

1 ：１３２人目の素数さん：2020/10/13(火) 22:56:42.03 ID:IAG/QuOR.net

【質問者必読！！】
まず>>1-4をよく読んでね

数学@5ch掲示板用 掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例
http://mathmathmath.dotera.net/

・まずは教科書、参考書、web検索などで調べるようにしましょう。（特に基本的な公式など）
・問題の写し間違いには気をつけましょう。
・長い分母分子を含む分数はきちんと括弧でくくりましょう。
　　（× x+1/x+2　；　 ○((x+1)/(x+2)) ）
・丸文字、顔文字、その他は環境やブラウザによりうまく表示できない場合があります。
　どうしても画像を貼る場合はPCから直接見られるところに見やすい画像を貼ってください。
　ピクトはPCから見られないことがあるので避けてください。
・質問者は名前を騙られたくない場合、トリップを付けましょう。
　（トリップの付け方は　名前(N)に　俺！#oretrip　←適当なトリ)
・質問者は回答者がわかるように問題を書くようにしましょう。
　でないと放置されることがあります。
　（変に省略するより全文書いた方がいい、また説明なく習慣的でない記号を使わないように）
・質問者は何が分からないのか、どこまで考えたのかを明記しましょう。
　それがない場合、放置されることがあります。
　（特に、自分でやってみたのに合わないので教えてほしい、みたいなときは必ず書くように）
・回答者も節度ある回答を心がけてください。
・970くらいになったら次スレを立ててください。

※前スレ
高校数学の質問スレPart407
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1597160116/

193 ：１３２人目の素数さん：2020/10/28(水) 14:31:35.01 ID:NIS56CXm.net

A の波形と B - A の波形を足せば B の波形ができる

194 ：１３２人目の素数さん：2020/10/28(水) 14:43:30.63 ID:pMUVLWJP.net

>>188マジスレすると不定積分とはaからxまでの定積分

195 ：１３２人目の素数さん：2020/10/28(水) 15:58:41.24 ID:HUHbWRce.net

異なる四つの正の整数がある。これらのうちから二つを選んで和と差（大きい方の数から小さい方の数減じて得た数）を算出して、その全てを大きい順に左から並べたところ、次のとおりになった。

109　99　87　64　57　52　45　42　35　22　12　10

この時、四つの整数の和はいくらか。

121

144

151

154

173

196 ：１３２人目の素数さん：2020/10/28(水) 16:38:32.03 ID:QJpWLHx7.net

151

197 ：１３２人目の素数さん：2020/10/28(水) 16:45:49.66 ID:Z3Ky8IUF.net

パズルの問題だな
15＋27＋37＋72＝151

体系的な解き方があるのか気になる

198 ：１３２人目の素数さん：2020/10/28(水) 19:52:30.09 ID:aHV2ojAc.net

F(a)=-C⇔∫[t=a,x]f(t)dt=F(t)[t=a,x]=F(x)-F(a)=F(x)+C=∫f(x)dx⇒定積分の積分始点が不定の場合が不定積分

説明割愛要素を無くしつつ間抜き書きで要約すると此んな感じでせうか？もっと濃ゆ〜く出来れば御願い仕度候う｡
間抜き=理解渋滞を招くほど間抜け説明に成る事を厭わず間を抜く事。間を重んじる芸人業界や関西人が特に忌避する行為｡

199 ：１３２人目の素数さん：2020/10/28(水) 20:04:16.24 ID:dJQSH1Po.net

0<a<b<c<d とすると
　c + d = 109,
　b + d = 99,
　a+d または b+c = 87,
　2b + 4c + 6d = 109 + 99 + 87 + ･････ + 12 + 10 = 634,　(*)
　4文字で方程式4つ
・b+c=87 のとき
　(a, 77/2, 97/2, 121/2)　∴ 不適
・a+d=87 のとき
　(a, a+12, a+22, 87-a) ただし 0<a≦32,
これらのうち、和&差 が一致する組合せを探す。

*)
　(a+b) + |b-a| = 2b,
　(a+c) + |c-a| = (b+c) + |c-b| = 2c,
　(a+d) + |d-a| = (b+d) + |d-b| = (c+d) + |d-c| = 2d,

200 ：１３２人目の素数さん：2020/10/28(水) 20:06:02.15 ID:RX5Gz9Xa.net

質問です
コーシーの平均値の定理の証明はどのサイトを見ても細工した関数にロルの定理を使って示していますが
ノーマルな平均値の定理と媒介変数の微分法で明らかなことではないでしょうか
コーシーの平均値の定理の左辺は分子がf(x)の増分,分母がg(x)の増分
S=f(x),T=g(x)とすると局所的にSはTの関数で左辺はその平均変化率
右辺はある値T=αにおけるdS/dTの値
それは(dS/dx)/(dT/dx)のある値x=cにおける値→まさに定理の左辺
αとcの対応も中間値の定理で問題なし
この考え方のどこに穴がありますか？

201 ：１３２人目の素数さん：2020/10/28(水) 20:08:44.99 ID:yHaiCuTZ.net

<n>　で　n番目の大きさの数を表すこととする。例えば、<1>=109,<2>=99,<3>=87,..,<12>=10

<1>-<2>=10=<12>
<1>-<3>=22=<10>
<1>-<4>=45=<7>
<1>-<5>=52=<6>
<1>-<6>=57=<5>
<1>-<7>=64=<4>
<1>-<8>=67=<->
<1>-<9>=74=<->
<1>-<10>=87=<3>
<1>-<11>=97=<->
<1>-<12>=99=<2>

４数を大きい順に、a,b,c,d　とすると、<1>=a+b、　は確定
a+b　から、　a±c,a±d,b±c,b±d　を減じると、再び、x±y　型の数が現れる　(x,y∈{a,b,c,d})
a+b　から、a-b,c+d,c-d　を減じると、x±y　型にはならない。（ただし、偶然なることは否定できない）
上の計算から、<8>=45,<9>=42,<11>=12　が　a-b,c+d,c-d　のいずれかに対応していることが確定
c+dとc-dの偶奇は一致するので、a-b=45、c+d=42、c-d=12が確定。
a+b=109なので、a+b+c+d=109+42=151

202 ：１３２人目の素数さん：2020/10/28(水) 20:11:29.03 ID:QJpWLHx7.net

>>197
４数を大きい順にＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄとしたとき
１２個の数の最大のものはＡ＋Ｂだし、総和は６Ａ＋４Ｂ＋２ＣだからＡ＋ＣとＢ−Ｃも確定する
あとは和がＡ＋ＢやＡ＋Ｃの２数の組み合わせ、差がＢ−Ｃの２数の組み合わせを探し出してパズル的に解く

203 ：１３２人目の素数さん：2020/10/28(水) 20:45:00.33 ID:oc0XT5fX.net

行列の転置について質問です！

xは列ベクトルの行列、Tは転置記号として

(
x1T
x2T
x3T
)T

↑x1,x2,x3が要素の列ベクトルの転置

これが
(x1 x2 x3)になるのがわかりません。。。

(
x1
x2
x3
)
にならないんですか！？

204 ：１３２人目の素数さん：2020/10/28(水) 21:10:19.50 ID:9vTmFXWu.net

>>203
マルチポストです。

205 ：１３２人目の素数さん：2020/10/28(水) 21:24:12.17 ID:oc0XT5fX.net

>>204
申し訳ございませんでした

206 ：１３２人目の素数さん：2020/10/28(水) 21:39:33.07 ID:3BqdbK1h.net

>>197
機械的にするなら
リストの最大の数m、和f、2乗和g、3乗和hという4つ情報から4つの未知数(a>b>c>d)を決定できる

具体的には方程式
48X^3-24(f-2m)X^2+(6(f-3m)^2+18m^2-2g)X-f^3+12f^2m+fg-2mg-54fm^2+84m^3-h=0
の解からaを、順次b=m-a、c=f/2-2m-a、d=√(g/6-a^2-b^2-c^2)を決める
最初が3次式なので(a,b,c,d)は3通りあり、この中から正整数で大小が正しいものを選ぶ

207 ：１３２人目の素数さん：2020/10/28(水) 22:29:11.47 ID:3BqdbK1h.net

>>206
訂正
方程式最終項の-hは正しくは-2h

208 ：１３２人目の素数さん：2020/10/28(水) 22:32:56.50 ID:3BqdbK1h.net

しかし、このリストの作り方は隠れた対称性がありそうで気になる
例えば{1,2,3,4}と{0,1,2,5}だと同じリストを与える

209 ：１３２人目の素数さん：2020/10/28(水) 23:23:11.26 ID:yHaiCuTZ.net

>>208
確かに同じリストができるようです。
201式で、復元できるか確かめてみました。

与えられるリストは、
7,6,5,5,4,3,3,2,2,1,1,1

最大数から、残りを引くと、
_,1,2,2,3,4,4,5,5,6,6,6
_ + + + + + - + + + - -

対応が無い(元)メンバーの数は、3,1,1
a+b=7、で、a-b,c-d,c+d　のいずれかが、　1,1,3　に対応すると考えると、
確かに、{1,2,3,4}と{0,1,2,5}が復元できる

210 ：１３２人目の素数さん：2020/10/28(水) 23:41:20.58 ID:3BqdbK1h.net

3次方程式の解から作る3パターンは
a,b,c,d
(a+b+c-d)/2, (a+b-c+d)/2, (a-b+c+d)/2, (-a+b+c+d)/2
(a+b+c+d)/2, (a+b-c-d)/2, (a-b+c-d)/2, (a-b-c+d)/2
になるようだね
これらのリストは一致する

211 ：１３２人目の素数さん：2020/10/29(木) 00:00:39.27 ID:kB7lNWqX.net

例えば
(10 4 3 1)、(9 5 4 2)、(8 6 5 1)
は同じリストを与える

やはり総和a+b+c+dが対称性の鍵になってるから、もしかすると上手い計算で総和だけはすぐ求められるのかも

212 ：１３２人目の素数さん：2020/10/29(木) 00:11:38.85 ID:dcmo6QTY.net

>>200
「微分可能なら導関数が連続」を証明する必要がある

213 ：１３２人目の素数さん：2020/10/29(木) 01:29:53.52 ID:o+Di++S9.net

>>211
与えられるリストは
14,13,11,9,7,7,6,5, 4, 3, 2, 1　　　・・・（１）
14との差をリストにすると
__, 1, 3,5,7,7,8,9,10,11,12,13　　　・・・（２）
(2)にはあるが、(1)にないものは、
8,10,12 で、それに対応する(1)の値は、6,4,2
この3数が、a-b,b+c,b-c　のどれかに対応
a-bが6の時は、b+cは4
a-bが4、あるいは、2の時は、いずれの場合でも　b+cは6

従って、a+b+c+dは、14+4=18　または、14+6=20

214 ：１３２人目の素数さん：2020/10/29(木) 02:11:54.40 ID:kB7lNWqX.net

>>210-211
s=a+b+c+d
σ:(a,b,c,d)→(s/2-d, s/2-c, s/2-b, s/2-a)
τ:(a,b,c,d)→ (s/2, s/2-(c+d), s/2-(b+d), s/2-(b+c))
とおくと、関係式
σ^2=id、τ^2=id、στσ=τστ
より、これらは3次対称群の4次元表現Φとなる
指標を計算すると、既約分解が
Φ=(自明表現)+(自明表現)+(標準表現)
であることも分かる
例えば(a,b,c,d)=(3,2,1,0),(1,1,0,0)が各自明表現の基底である

215 ：１３２人目の素数さん：2020/10/29(木) 09:44:38.53 ID:HeoTRr8A.net

2点A(0 ,1),B(0,-1)をとる。

点Pは∠APB=π/6を満たしながら動く。点Pの軌跡を求めよ。

点Pは∠AQB=5π/6を満たしながら動く。点Qの軌跡を求めよ。


ベクトルで計算していったのですが
｛x^(y^2-1)｝^2=3/4｛x^4+2(y^2+1)+(y-1)2^｝
となって円の方程式になりません、おねがいします

216 ：１３２人目の素数さん：2020/10/29(木) 09:57:39.80 ID:JZmjW2qA.net

>>199
(x+y) + |x-y| = 2x,　　　　　　　(x>y)
(x+y)^2 + |x-y|^2 = 2(xx+yy),

a>b>c>d>0 とすると
　m = a+b = 109,
　n = a+c = 99,
　f = 6a+4b+2c = 634,　　(f=4m+2n だが)
　g = 6(aa+bb+cc+dd) = 6･7507,
よって
　(a,b,c,d) = (a, m-a, n-a, √{(g/6) -a^2 -(m-a)^2 -(n-a)^2})
整数条件から
　(a,b,c,d) = (72,37,27,15)　　　>>197
に絞る。

あるいは
　(x+y)^3 + |x-y|^3 = 2x^3 + 6xyy,　(x>y)
　h = (6a^3+4b^3+2c^3) + 6{abb+(a+b)cc+(a+b+c)dd}
　　= (6a^3+4b^3+2c^3) + 6{abb+mcc+(m+n-a)dd} = 3733240,
を使って3つに絞る。
　(a,b,c,d) = (72, 37, 27, 15)
　　　　　(121/2, 97/2, 77/2, 7/2)
　　　　　(151/2, 67/2, 47/2, 23/2)

217 ：１３２人目の素数さん：2020/10/29(木) 10:20:08.56 ID:YGCYELpd.net

×公式はミニプログラム　○公式はアルゴリズム

本当に内視鏡技師か怪しいなプログラム爺は

218 ：１３２人目の素数さん：2020/10/29(木) 13:12:57.30 ID:z2jmRItd.net

大人ABCDEF 子供xyz
x x y y z z x x y y z z
[1,] A B C D E F [46,] B E C D A F
[2,] A B C E D F [47,] B E C F A D
[3,] A B C F D E [48,] B E D F A C
[4,] A B D E C F [49,] B F A C D E
[5,] A B D F C E [50,] B F A D C E
[6,] A B E F C D [51,] B F A E C D
[7,] A C B D E F [52,] B F C D A E
[8,] A C B E D F [53,] B F C E A D
[9,] A C B F D E [54,] B F D E A C
[10,] A C D E B F [55,] C D A B E F
[11,] A C D F B E [56,] C D A E B F
[12,] A C E F B D [57,] C D A F B E
[13,] A D B C E F [58,] C D B E A F
[14,] A D B E C F [59,] C D B F A E
[15,] A D B F C E [60,] C D E F A B
[16,] A D C E B F [61,] C E A B D F
[17,] A D C F B E [62,] C E A D B F
[18,] A D E F B C [63,] C E A F B D
[19,] A E B C D F [64,] C E B D A F
[20,] A E B D C F [65,] C E B F A D
[21,] A E B F C D [66,] C E D F A B
[22,] A E C D B F [67,] C F A B D E
[23,] A E C F B D [68,] C F A D B E
[24,] A E D F B C [69,] C F A E B D
[25,] A F B C D E [70,] C F B D A E
[26,] A F B D C E [71,] C F B E A D
[27,] A F B E C D [72,] C F D E A B
[28,] A F C D B E [73,] D E A B C F
[29,] A F C E B D [74,] D E A C B F
[30,] A F D E B C [75,] D E A F B C
[31,] B C A D E F [76,] D E B C A F
[32,] B C A E D F [77,] D E B F A C
[33,] B C A F D E [78,] D E C F A B
[34,] B C D E A F [79,] D F A B C E
[35,] B C D F A E [80,] D F A C B E
[36,] B C E F A D [81,] D F A E B C
[37,] B D A C E F [82,] D F B C A E
[38,] B D A E C F [83,] D F B E A C
[39,] B D A F C E [84,] D F C E A B
[40,] B D C E A F [85,] E F A B C D
[41,] B D C F A E [86,] E F A C B D
[42,] B D E F A C [87,] E F A D B C
[43,] B E A C D F [88,] E F B C A D
[44,] B E A D C F [89,] E F B D A C
[45,] B E A F C D [90,] E F C D A B

219 ：１３２人目の素数さん：2020/10/29(木) 13:14:37.40 ID:z2jmRItd.net

>>217
内視鏡は国家資格がないと施行できんよ。
内視鏡技師なんてのは民間資格。

220 ：１３２人目の素数さん：2020/10/29(木) 13:25:17.68 ID:JZmjW2qA.net

>>215
Pがある円周上にあるとすると、
中心角は　∠AOB = 2∠APB = 60°
中心は　O (±√3, 0)

Pの軌跡　(|x|-√3)^2 + y^2 = 4,
Qの軌跡　(|x|+√3)^2 + y^2 = 4,

221 ：１３２人目の素数さん：2020/10/29(木) 15:48:47.51 ID:z2jmRItd.net

>>190
グループ分けして松竹梅の部屋に各グループを入れるというのでなければ>218に示した90通りだと思う。

222 ：１３２人目の素数さん：2020/10/29(木) 17:00:02.02 ID:JZmjW2qA.net

>>216
0 = 2(6a^3 + 4b^3 + 2c^3) + 12{abb+(a+b)cc+(a+b+c)dd} - 2h
　= 12a^3 + 8b^3 + 4c^3 + 12abb + 12mcc + 2(m+n-a)(g-aa-bb-cc) - 2h
　= 12X^3 +8(m-X)^3 +4(n-X)^3 +12X(m-X)^2 +12m(n-X)^2 +2(m+n-X){(g-6mm-6nn)+12(m+n)X-18X^2} - 2h
　= 48X^3 - 48(m+n)X^2 + {24(mm+mn+nn) -2g}X - 4(m^3 +3mmn +2n^3) + 2(m+n)g - 2h,
　= 48(X')^3 + {8(mm-mn+nn)-2g}(X') + (4/9)(m-2n)^3 -4mmn + (4/3)(m+n)g - 2h,
ここに
　X' = X - (m+n)/3,　f = 4m+2n,
とおいた。
3つの実根をもつ場合は cos の3倍角公式で解ける。

223 ：１３２人目の素数さん：2020/10/29(木) 19:08:37.66 ID:HeoTRr8A.net

>>220
Pがある円周上というのは円周角の定理の逆ということですか?

224 ：１３２人目の素数さん：2020/10/29(木) 19:15:41.95 ID:HeoTRr8A.net

>>220
なぜ2倍になるのでしょうか?

225 ：１３２人目の素数さん：2020/10/29(木) 19:26:58.22 ID:kB7lNWqX.net

>>214
前々から謎だった順序a>b>c>d>0の構造がだんだん分かってきた
これに対称性のある構造を乗せるにはあえてdだけはc+d>0を満たす範囲で負も許す方がいいのかもしれない
互換ε=στσ=τστは正規でない部分群を生成するから、これを潰して見たままではただの集合になってしまう
不定な3つの大小(3番目は通常見えていない)
(a+d,b+c)、(a-d,b+c)、(a+d,a-d)
に三次対称群の元τ,σ,εが互換として作用する
これらはΦのうち自明表現1つと標準表現1つを使って作る置換表現の直交基底に対応している
リストの12要素のうち
自明表現の基底に対応する(a+b),(a+c),(b-c)を不変にし
残り9要素が3要素の3つ組を同時に置換する
(a+d),(b+c),(a-d)
(b-d),(a-c),(b+d)
(c-d),(a-b),(c+d), (b-c)
ただし大小関係としてb-cは三段目のどこかに位置し
縦方向には順序を固定された12本の"直線"を持つ
(a+d)>(a-c)>(a-b)
(a+d)>(a-c)>(b-c)
(a+d)>(b+d)>(c+d)
(a+d)>(b+d)>(b-c)
(b+c)>(b+d)>(c+d)
(b+c)>(b+d)>(b-c)
(b+c)>(b-d)>(c-d)
(b+c)>(b-d)>(b-c)
(a-d)>(b-d)>(c-d)
(a-d)>(b-d)>(b-c)
(a-d)>(a-c)>(a-b)
(a-d)>(a-c)>(b-c)

226 ：１３２人目の素数さん：2020/10/29(木) 19:34:48.02 ID:441wzOkm.net

>>190
イナさんが初めて買ったパソコンのCPUは何ですか？俺はＰ3の700Ｍｈｚ

227 ：１３２人目の素数さん：2020/10/29(木) 19:36:31.54 ID:JZmjW2qA.net

>>216
　m = a+b = 109,
　n = a+c = 99,
　o + p = (a+d) + (b+c) = 87 + 64 = 151,　← これを使う。
　f = 6a+4b+2c = 634,　　(f=4m+2n, 不要?)
から
　b = m-a,
　c = n-a,
　d = o+p-m-n+a,
これらを入れて
　0 = (aa+bb+cc+dd) - g/6
　　= aa + (m-a)^2 + (n-a)^2 + (o+p-m-n+a)^2 - g/6
　　= 4XX -4{m+n-(o+p)/2}X + mm+nn+(o+p-m-n)^2 - g/6
　　= {2X - (m+n) + (o+p)/2}^2 + (2/3)(mm-mn+nn) + (1/3)(m+n -3(o+p)/2)^2 - g/6,
2次方程式を解いて
　X = [m+n -(o+p)/2 + √{g/6 - (2/3)(mm-mn+nn) - (1/3)(m+n-3(o+p)/2)^2} ] /2
　　= 72,
(∵　m=109, n=99, o=87, p=64, g/6 =7507)

228 ：１３２人目の素数さん：2020/10/29(木) 19:45:41.34 ID:kB7lNWqX.net

>>227
リストの3番目と4番目が(a+d),(b+c)というのは一般には判定できないけどね
(a+d),(a-d)の可能性がある

229 ：１３２人目の素数さん：2020/10/29(木) 19:47:37.47 ID:kB7lNWqX.net

元々の問題>>195としてはリストの3番目と4番目の和が奇数のときはそれがa+b+c+d、というのが最良の解答か

230 ：１３２人目の素数さん：2020/10/29(木) 19:55:28.26 ID:JZmjW2qA.net

うむ。
>>197 の期待に少しは応えられたかな？

231 ：１３２人目の素数さん：2020/10/29(木) 20:12:36.75 ID:JZmjW2qA.net

>>228　の場合は
　a = (o+p)/2,
　b = m-a,
　c = n-a,
　d = (o-p)/2,
かな

232 ：イナ ：2020/10/30(金) 03:26:28.02 ID:zTLc67RJ.net

前>>190
>>226
王冠でC3POとR2B2を見たことある。
買ったことはない。そもそもあの手のジュースを飲んだことがない。コーラだったかな？
ただ街のゴミ箱やら焼却炉やらグランドやらに落ちてるのを拾いあつめた。

233 ：イナ ：2020/10/30(金) 03:29:23.34 ID:zTLc67RJ.net

前>>232
P700iやったかな？
けっこう長く使ってたよ。
二つ折りのな。

234 ：１３２人目の素数さん：2020/10/30(金) 11:48:06.16 ID:NYoUhiCM.net

>>227 の場合は
・m = a+b,　n = a+c,　o = a+d,　p = b+c,
　(a,b,c,d) = ((m+n-p)/2, m-a, n-a, o-a) = (72, 37, 27, 15)
・m = a+b,　n = a+c,　o = b+c,　p = a+d,
　(a,b,c,d) = ((m+n-o)/2, m-a, n-a, p-a) = (121/2, 97/2, 77/2, 7/2)
のいずれか。

　o+p = a+b+c+d,
　m+n-o-p = a-d,
　{2mn+op-(m+n)(m+n-o-p)}/2 = ab+ac+ad+bc+bd+cd,
　g/6 = aa+bb+cc+dd,

　a = (m+n-p)/2, (m+n-o)/2,
を根とする2次式は
(2X-m-n+p)(2X-m-n+o)
　= 4XX - 4{m+n-(o+p)/2}X + (m+n)(m+n-o-p) + op
　= 4XX - 4{m+n-(o+p)/2}X + mm+nn + (m+n-o-p)^2 -g/6,

235 ：１３２人目の素数さん：2020/10/30(金) 12:47:50.23 ID:NYoUhiCM.net

しかし >>228 が指摘したように
・m = a+b,　n = a+c,　o = a+d,　p = a-d,
　(a,b,c,d) = ((o+p)/2, m-a, n-a, (o-p)/2) = (151/2, 67/2, 47/2, 23/2)
もある。
これも含めれば
　o+p = a+b+c+d　or　2a,
　m+n-o-p = a-d　or　b+c,
　g/6 = aa+bb+cc+dd,
　
　a = (m+n-p)/2, (m+n-o)/2, (o+p)/2,
を根とする3次式　>>222　となる。

236 ：１３２人目の素数さん：2020/10/30(金) 19:02:16.47 ID:qC05kNtC.net

10y^2−24xy−5＝0
x^2＋y^2＝1

もともとは三角比の問題で、sinθcosθをそれぞれxyに書き替えて解こうとしたら
絶望的な流れになって、何度ごちゃごちゃやってみても解けません。
この連立方程式は簡単そうに見えて実は解けない、あるいは難しいのでしょうか？
アドバイスいただけると助かります。

237 ：１３２人目の素数さん：2020/10/30(金) 19:46:23.80 ID:U2stiFDk.net

x だけ y だけにすれば 4次方程式になるだけだろ
何の問題があるのだ？

238 ：１３２人目の素数さん：2020/10/30(金) 19:50:18.27 ID:U2stiFDk.net

答えだけなら簡単
https://ja.wolframalpha.com/input/?i=10y%5E2-24xy-5%3D0%2Cx%5E2%2By%5E2%3D1

239 ：１３２人目の素数さん：2020/10/30(金) 20:21:56.60 ID:Yhtffd3b.net

�@ 10yy-24xy-5=0
�A xx+yy=1

�@+8×�Aより 18yy-24xy+8xx=13
�B y=(2/3)x+√(13/18) または
�C y=(2/3)x-√(13/18)

�Bを�Aに代入して (13/9)xx+(4/3)√(13/18)x-5/18=0
x = 1/√26, -5/√26 これを�Bに代入してyを求める
(x,y) = (1/√26, 5/√26),(-5/√26, 1/√26)

同様にして �C より
(x,y) = (5/√26, -1/√26),(-1/√26, -5/√26)

240 ：１３２人目の素数さん：2020/10/30(金) 20:44:01.35 ID:rIN0soo1.net

>>239
へー、よく完全平方を思いついたねぇ。

241 ：イナ ：2020/10/30(金) 21:03:07.45 ID:zTLc67RJ.net

前>>233
>>236
単位円x^2+y^2=1上の点を(cosθ,sinθ)とおき、
10y^2-24xy-5=0と接点を持ちそうなのでx=cosθ,y=sinθを代入すると、
10cos^2θ-24cosθsinθ-5=0
5(2cos^2θ-1)=12(2sinθcosθ)
5cos2θ=12sin2θ
25cos^2(2θ)=144sin^2(2θ)=144｛1-cos^2(2θ)｝
(25+144)cos^2(2θ)=144
169cos^2(2θ)=144
13cos2θ=12
cos2θ=12/13=2cos^2θ-1=2x^2-1
13(2x^2-1)=12
26x^2=1
x=1/√26,y=5/√26
グラフを描くと交点が(1/√26,5/√26)のほかに3点ありそう。
　　

242 ：イナ ：2020/10/30(金) 21:19:56.37 ID:zTLc67RJ.net

前>>241訂正。
>>236
単位円x^2+y^2=1上の点を(cosθ,sinθ)とおき、
10y^2-24xy-5=0と接点を持ちそうなのでx=cosθ,y=sinθを代入すると、
10cos^2θ-24cosθsinθ-5=0
5(2cos^2θ-1)=12(2sinθcosθ)
5cos2θ=12sin2θ
25cos^2(2θ)=144sin^2(2θ)=144｛1-cos^2(2θ)｝
(25+144)cos^2(2θ)=144
169cos^2(2θ)=144
13cos2θ=12
cos2θ=12/13=2cos^2θ-1=2x^2-1
13(2x^2-1)=12
26x^2=1
x=±1/√26,y=±5/√26(復号同順)
グラフを描くと交点はx,yの対称性より、
(±1/√26,±5/√26),(±5/√26,干1/√26)(復号同順)
　　

243 ：１３２人目の素数さん：2020/10/30(金) 21:30:35.94 ID:nmXOfPnp.net

＞13(2x^2-1)=12
＞26x^2=1

これはあかん

244 ：１３２人目の素数さん：2020/10/30(金) 21:58:44.65 ID:nmXOfPnp.net

>>236
＞10y^2−24xy−5＝0
＞x^2＋y^2＝1

10y^2−24xy−5(x^2＋y^2)＝0
5y^2−24xy−5x^2＝0
(5y＋x)(y−5x)＝0
−5y＝x または y＝5x

−5y＝xとx^2＋y^2＝1より26y^2＝1
よって(x,y)＝(−5/√26, 1/√26), (5/√26, −1/√26)

y＝5xとx^2＋y^2＝1より26x^2＝1
よって(x,y)＝(−1/√26, −5/√26), (1/√26, 5/√26)

245 ：１３２人目の素数さん：2020/10/30(金) 23:00:14.31 ID:4mx++Qq5.net

>>236
定数消去して因数分解でもいける

246 ：イナ ：2020/10/30(金) 23:06:46.07 ID:zTLc67RJ.net

前>>242
>>243なにがあかんじゃ。
グラフ描いてこれがベストやないか。

247 ：236：2020/10/30(金) 23:30:25.01 ID:qC05kNtC.net

>239
�B�Cの答えが出るのか理解するだけで苦労しました。
平方完成(こういう綺麗な形の時は240さんおっしゃるとおり完全平方？)を
思いつくのがスゴいと思います。

>242
丁寧な回答ありがとうございます。
238にあるリンク先で、グラフの外形を見て驚きました。
まさかここまで複雑な難問とは思いもしませんでした。
円じゃない方のグラフの形を見ると高校数学外な気もしますが…
どちらにしても、示してくださった回答が非常に複雑で、今まだ解読中です。
でもまずは先にお礼を申し上げます。

>244
いちばん納得できる、わかりやすい回答でした。
でも、この形はとてもじゃないけど私じゃひらめきません。
答が先に示されたとしたらなんとか…みたいなレベルです。

xがsinθ yがcosθで、�@の式が
10cos^2θ-24sinθcosθ-5=0
のときの tanθを求める問題で、両辺にcos^2θをかけるとうまくいくのが「模範解答」
なんですが、思いつかずなんとなならないか試行錯誤して今回の質問に至りました。
ところがどうやら模範解答の方が救いのある発想なようで…(^^;

練習を重ねていくうちにcos^2θをかけるなんていうひらめきができるようになるのか、とても不安です。
皆さんのおかげで、あるいみスパッと気持ちを切り替えることができました！
なんでも代入して(簡単に)解けると思ったら大間違いだったんですね。
肝に銘じておきます。

248 ：236：2020/10/30(金) 23:34:25.64 ID:qC05kNtC.net

間違えました。
「cos^2θをかける」んじゃなくて「cos^2θで割る」が正しいです。
tanってあまりつかうことないので、なかなか思いつきません…。
2年3年と進むにつれて使うことが多くなるのなら頑張れるのですが
今のところその気配はないようで…。

249 ：イナ ：2020/10/31(土) 00:42:07.84 ID:/HtleTZK.net

前>>246計算間違いか。訂正。
>>236
単位円x^2+y^2=1上の点を(cosθ,sinθ)とおき、
10y^2-24xy-5=0と接点を持ちそうなのでx=cosθ,y=sinθを代入すると、
10cos^2θ-24cosθsinθ-5=0
5(2cos^2θ-1)=12(2sinθcosθ)
5cos2θ=12sin2θ
25cos^2(2θ)=144sin^2(2θ)=144｛1-cos^2(2θ)｝
(25+144)cos^2(2θ)=144
169cos^2(2θ)=144
13cos2θ=12
cos2θ=12/13=2cos^2θ-1=2x^2-1
13(2x^2-1)=12
26x^2=12+13=25
x=±5/√26,y=干1/√26(復号同順)
グラフを描くと交点はx,yの対称性より、
(±1/√26,±5/√26),(±5/√26,干1/√26)(復号同順)

250 ：１３２人目の素数さん：2020/10/31(土) 01:30:01.39 ID:GUC2y5s4.net

>>249
ようやく読み解けました。
倍角の公式なんですね。
こんなところでうまく使える自信はまったくありませんが、
自分の知識だけでなんとか解けることを知れたことがうれしいです。
特に「169cos^2(2θ)=144」のところは気持ちいいです。
計算が合ってる自信というか、正解にたどり着けそうな雰囲気というか。
こんな工夫を知ったことは、この先何かの糧になるかもしれません。
できる限り頭の隅にとどめておきます。
本当にありがとうございました！

251 ：１３２人目の素数さん：2020/10/31(土) 01:38:29.60 ID:i9jEU/Qp.net

２次同次式は倍角と半角で次数下げがセオリー

252 ：１３２人目の素数さん：2020/10/31(土) 06:37:49.44 ID:IflJOm3v.net

>>251
後だしだっせぇ〜

253 ：１３２人目の素数さん：2020/10/31(土) 06:49:18.12 ID:IflJOm3v.net

ちなみに無知な馬鹿どものために教えてやる。これは自治医科大の過去問。

254 ：１３２人目の素数さん：2020/10/31(土) 07:45:08.38 ID:vjQd1vI0.net

なんで顔真っ赤にしてんのw？

255 ：１３２人目の素数さん：2020/10/31(土) 07:51:04.00 ID:IflJOm3v.net

>>254
顔真っ赤にするのが大好きだからだよ

256 ：１３２人目の素数さん：2020/10/31(土) 07:52:41.51 ID:IflJOm3v.net

ほかに顔真っ赤にする理由があるのかよクソが。

257 ：１３２人目の素数さん：2020/10/31(土) 13:09:12.14 ID:4ft4y0rs.net

なんで怒ってんの？

258 ：１３２人目の素数さん：2020/10/31(土) 17:07:23.68 ID:i9jEU/Qp.net

>>252
俺は違う解法書いてる

259 ：１３２人目の素数さん：2020/10/31(土) 17:44:27.53 ID:2ihjertC.net

>>258
頓馬は黙ってろ

260 ：１３２人目の素数さん：2020/10/31(土) 21:41:19.24 ID:3AyWXIVe.net

関数f(x)が、f(0)=0, f'(x)>0, f''(x)<0　を満たすとき
任意の正の定数cに対して、f(x+c)/f(x) はx→∞で1に収束すると言えるますか。

261 ：１３２人目の素数さん：2020/11/01(日) 01:22:13.57 ID:S0PL8w05.net

f(x) = 2x + 1 - exp(x)

262 ：１３２人目の素数さん：2020/11/01(日) 04:54:10.84 ID:zGFQw1Vr.net

>>225
3次元的に見れば良かった

和の大小関係
(a+b)
　v
(a+c)>(b+c)
　v　　 v
(a+d)>(b+d)>(c+d)

差の大小関係
(a-d)>(b-d)>(c-d)
　v　　 v
(a-c)>(b-c)
　v
(a-b)

に対してc+d>0という条件を課すと
両図式の正方形の頂点が新たに結ばれ立方体になる
立方体には(a+b)>という角が1本と
>(c+d),>(c-d),>(a-b)という足が3本でており
角をトップとする立方体の対角線を軸にS3対称性が作用する

263 ：１３２人目の素数さん：2020/11/01(日) 08:54:02.57 ID:wjET/d39.net

>>212�d
導関数の連続性はどこで使いますか？
中間値の定理はg(x)の連続性だけだと思うのですが

264 ：１３２人目の素数さん：2020/11/01(日) 10:25:37.08 ID:vPayCbtl.net

>>212

[附記]　導函数の連続性について

区間[a,b]においてf(x)が微分可能ならば、f(x)は連続であるが、
導函数f '(x)は必ずしも連続でない。
すなわち 微分法は連続性を保存しない。

[例]　f(x) = x^2･sin(1/x),　　(x≠0)
　　　f(0) = 0,

導函数は必ずしも連続でないから、x→a のとき f '(x) → f '(a) とはいかない。
lim[x→a] f '(x) は存在すらも保証されない。

高木貞治『解析概論』改訂第三版, 岩波書店 (1961)
　第2章, §18, p.50　附記
http://www1.gifu-u.ac.jp/~kameyama/derivative.pdf

265 ：１３２人目の素数さん：2020/11/01(日) 10:42:19.75 ID:0A33OiP2.net

>>261
f'(x)=2-exp(x)がどうしたの？

266 ：１３２人目の素数さん：2020/11/01(日) 11:29:10.01 ID:vPayCbtl.net

>>200
　(a,b) で g(x)≠0 (単調) なら、SはTの1価関数だから
ノーマルの方でいけるね。

だが一般には、f '(x) = g '(x) = 0 でなければいいので、
SはTの多価関数かもしれない。
g'(x) = 0 なる点でいくつかの区間に分けるのも面倒だ。


この定理に興味ある幾何学的の説明を与えることができる。
曲線　x=g(t),　y=f(t),　　a≦t≦b
を考察する。　t=a, t=b に対応する点を A, B とすれば
左辺は　弦ABの勾配で、右辺は点t=ξに対応する点P
における接線の勾配である。すなわち 曲線AB上の中間の或
る点Pにおける接線が、弦ABに平行になるのである。

　高木貞治『解析概論』改訂第三版, 岩波書店 (1961)
　　第2章, §18, 定理21のあと, p.49

267 ：１３２人目の素数さん：2020/11/01(日) 12:26:24.91 ID:OnAzt99c.net

>>260
言えそうだよね。

上に凸なグラフで単調増加だから、f(x)<f(x+c)<f'(x)c+f(x)
f(x)>0で除して、1<f(x+c)/f(x)<cf'(x)/f(x) +1

x→∞でf(x)が有限な値に収束する場合はf'(x)→0
x→∞でf(x)→∞の場合でも、f''(x)<0 よりf'(x)は単調減少
なので、0<f'(x)<f'(0)となり 0 < f'(x)/f(x) <f'(0)/f(x)
でf'(x)/f(x) →0
ってことで、x→∞でcf'(x)/f(x) +1 →1となるので、
f(x+c)/f(x)→1

268 ：１３２人目の素数さん：2020/11/01(日) 12:33:03.98 ID:vPayCbtl.net

>>260

f '(x) は単調減少で正だから収束する。
lim[x→∞] f '(x) = m ≧ 0.

f(x) ≧ f(0) + ∫[0,x] m dt = mx　(x>0)

任意の ε>0 に対して、十分大きいxをとれば
　mx ≦ f(x) < (m+ε)x,
m=0 のときは成立
m≠0 のときは
1 < f(x+c)/f(x) < (m+ε)(x+c)/(mx),
1 ≦ lim[x→∞] f(x+c)/f(x) ≦ (m+ε)/m,
ε>0 は任意だったから
lim[x→∞] f(x+c)/f(x) = 1,

269 ：１３２人目の素数さん：2020/11/01(日) 13:37:34.71 ID:S0PL8w05.net

おっと f'(x) > 0 だったか f'(0) > 0 に空目した！
ならば >>260 の答は YES だ
証明は 2つに場合に分ける
lim f(x) < ∞ の場合：lim f(x) = M > 0 が存在するから
lim f(x+c)/f(x) = (lim f(x+c))/(lim f(x)) = M/M = 1
lim f(x) = ∞ の場合：lim f'(x) = M ≧ 0 が存在して
f(x+c) = f(x) + c f'(ξ), x ≦ ξ ≦ x+c だから
lim f(x+c)/f(x) = lim(1 + c f'(ξ)/f(x)) = 1 + c M/(lim f(x)) = 1

270 ：１３２人目の素数さん：2020/11/01(日) 16:37:54.51 ID:QDSLSe3f.net

正方形ABCDの内部の点をPとしてPA=１,PB=２,PC=３のとき正方形の面積を求めよ。

271 ：１３２人目の素数さん：2020/11/01(日) 17:44:00.45 ID:vPayCbtl.net

　AB = CD = l,
　BC = DA = m,
　P(x,y)
とおく。
　3 = PB^2 - PA^2 = (l-x)^2 - xx　より
　x = (l-3/l)/2,
　5 = PC^2 - PB^2 = (m-y)^2 - yy　より　
　y = (m-5/m)/2,
これを
　xx + yy = 1,
に入れて l=m とすれば
　l^4 - 10l^2 + 17 = 0,
　l^2 = 5 + 2√2,
　S = l･m = l^2 = 5 + 2√2 = 7.8284271

272 ：１３２人目の素数さん：2020/11/01(日) 17:44:42.99 ID:OnAzt99c.net

>>270
135/34 ?

273 ：１３２人目の素数さん：2020/11/01(日) 17:45:40.50 ID:OnAzt99c.net

まちがえた、225/34?

274 ：１３２人目の素数さん：2020/11/01(日) 17:50:59.35 ID:OnAzt99c.net

すまん、なんか全然間違えてたｗ

275 ：１３２人目の素数さん：2020/11/01(日) 18:32:00.61 ID:OnAzt99c.net

>>271
相変わらずお見事。書き込み直前に確認すれば
恥をかかずにすんだのに、、、残念ｗ

l^2=5-2√2はどうやって排除するの？自明な気もするが。

276 ：260：2020/11/01(日) 18:42:21.37 ID:81uyEtG7.net

うわあ証明がいっぱいだ！
ありがとうございます！　>>267-269

277 ：１３２人目の素数さん：2020/11/01(日) 19:21:59.53 ID:vPayCbtl.net

l^2 = 5-2√2 の場合は
l√2 = 2.08402
PC = 3 だから PはABCDの内部の点でない。
∴ 題意に不適。

278 ：１３２人目の素数さん：2020/11/01(日) 19:32:56.30 ID:vPayCbtl.net

それより
正方形ABCDの内部の点をPとして PA=1, PB=2, PC=√{7+(3-√3)φ} = 3.0085852 のとき
(1)　∠PAB を求めよ。
(2)　面積は 5π/2 より大きいか小さいか。
φ = (1+√5)/2 = 1.618034

279 ：１３２人目の素数さん：2020/11/01(日) 22:06:50.44 ID:QDSLSe3f.net

>>278
プログラムで計算させた

（座標を書いてベクトルの内積からacosでだすと）
∠PAB は
rad deg
0.7930288 45.4372053


lm = function(a,b,c) {
b1=sqrt(2)*b
(1/2)*(a^2 + c^2 + sqrt((a+b1+c)*(a+b1-c)*(a-b1+c)*(-a+b1+c)))
}

面積は
> lm(PA,PB,PC)
[1] 7.854102

> 5*pi/2
[1] 7.853982

よりわずかに大きい。

280 ：１３２人目の素数さん：2020/11/02(月) 00:17:57.24 ID:nV+GRV6y.net

(2) は正解です！
(1) PC の式が複雑すぎたかな。

※　元の問題では PC=3 で、その場合は　　>>270
　x = (1+√2)/l,　y = (√2)/l,　l = √(5+2√2) = 2.79793265
　tan(∠PAB) = y/x = 2 - √2,
　∠PAB = 30.3611934°
　これと大差ないと思ったが…

281 ：１３２人目の素数さん：2020/11/02(月) 00:42:00.95 ID:+8d7S6a5.net

>>277
なるほど、2l^2 =10-4√2 < PC^2=9 だから除外できるのか。
頭いいな。

282 ：１３２人目の素数さん：2020/11/02(月) 14:07:18.15 ID:jc+J+kmQ.net

Ｘ²−Ｙ²＝60を満たす自然数をもとめよ！

この問題の解説お願いします！

283 ：１３２人目の素数さん：2020/11/02(月) 14:15:20.46 ID:PRz9hXtP.net

>>282
因数分解してかけて60になる組み合わせを調べるだけ

284 ：１３２人目の素数さん：2020/11/02(月) 17:54:01.51 ID:nV+GRV6y.net

XX-YY = (X+Y)(X-Y),
X+Y と X-Y は共に偶数 or 共に奇数。
本問では両方とも偶数。
(X+Y)/2 = s,　(X-Y)/2 = t　(s>t>0)とおくと
st = (X+Y)(X-Y)/4 = (XX-YY)/4 = 15,
(s,t) = (15,1)　or　(5,3)
(X,Y) = (s+t, s-t) = (16,14)　or　(8,2)

285 ：１３２人目の素数さん：2020/11/02(月) 19:49:43.47 ID:nV+GRV6y.net

>>278
m = 1/2 + √{13/4 + (3-√3)φ}
　= φ√3
　= 2.80251708
らしい…

286 ：１３２人目の素数さん：2020/11/02(月) 20:55:02.86 ID:FAp7bgxt.net

>>282
x^2 - y^2 = 60
xとyは偶奇が等しく,x＞y だから
x = y + 2z (z:自然数)とおけるので
(y+2z)^2 - y^2 = 60
よって z(y + z) = 15
zはy+zより小さいので,zは√15未満の15の正の約数である
よって,z=1,3 の場合だけを調べればよい
z=1 のとき y=14 だから (x,y)=(16,14)
z=3 のとき y=2 だから (x,y)=(10,2)

287 ：１３２人目の素数さん：2020/11/02(月) 20:56:53.43 ID:FAp7bgxt.net

最下段は計算ミス
z=3 のとき y=2 まではOKで (x,y)=(8,2) が正しい

288 ：１３２人目の素数さん：2020/11/02(月) 23:08:36.59 ID:+8d7S6a5.net

>>284
いつもながら華麗な解答だねぇ。文句なし。

289 ：１３２人目の素数さん：2020/11/03(火) 15:08:21.28 ID:WgTW/jgC.net

単調増加で下に凸な関数はｘが無限に行くと無限大に発散しますか？

290 ：１３２人目の素数さん：2020/11/03(火) 15:26:59.84 ID:WzeT9Eh0.net

1/xとかどうですか？

291 ：１３２人目の素数さん：2020/11/03(火) 15:34:51.95 ID:3zkQMGoc.net

>>289
発散する。任意の点における接線で下から評価すればよい。

>>290
1/xは十分大きいxに対して上に凸である。

292 ：１３２人目の素数さん：2020/11/03(火) 16:40:24.33 ID:XCxGvOul.net

>>289
　g(x) = {f(x) - f(0)}/x,　　　(x>0)
とおく。
・f(x)は単調増加だから
　g(x) ≧0,　　　　　(x>0)
・f(x) は下に凸な関数。
0<a<b とすると、
　(a,f(a)) は線分 (0,f(0))−(b,f(b)) より下にある。
∴ g(b) - g(a) = {(a/b)f(b) + (1-a/b)･f(0) - f(a)}/a ≧ 0,
∴ g(x) も x>0 で単調増加。
　g(x) > g(b) > 0　　　　(x>b)
　f(x) = f(0) + g(x) x >　f(0) + g(b) x　→ ∞　　(x→∞)

1/x は x>0 で単調減少。

f(x) が微分可能の場合は接線が曳けますが、下に尖 の場合も…
xがどんなに大きくても 1/x は下に凸。

293 ：１３２人目の素数さん：2020/11/03(火) 16:42:36.25 ID:DD5vwt+r.net

先日の大阪都構想開票報道で100万人の結果が3000人のサンプルでピッタリ合ってたので驚きました
１0万人の結果を300人のサンプルでは当てられないですよね
母数１億人だったら何人ぐらい調べたらいいですか