【悲報】数学者、π+eが無理数かどうかまだ分からない

1 ：１３２人目の素数さん：2020/09/28(月) 01:34:23.09 ID:ImJd7qJa.net

いつになったら解けるのか？

21 ：１３２人目の素数さん：2021/03/09(火) 00:58:16.47 ID:llUuS/84.net

π - e = 69/163,
-5π + 7e = -83/25,

π = 12802/4075 = 3.1415951
e = 11077/4075 = 2.7182822

π + e = 23879/4075,
π･e = 16012/1875,
どちらも有理数…

22 ：１３２人目の素数さん：2021/03/09(火) 01:32:11.09 ID:llUuS/84.net

…てこたぁ
{-π, e} は2次方程式
　163t^2 + 69t - 1392 = 0,
の解だな

23 ：１３２人目の素数さん：2021/03/17(水) 23:52:13.30 ID:Rkkg81B/.net

π - e = 69/163,
π = 355/113 = 3.1415929　　(密率)

π + e = 710/113 - 69/163 = 107933/18419,
で有理数

24 ：１３２人目の素数さん：2021/03/18(木) 00:17:31.27 ID:YUb0UK5f.net

π = (√912345 + 69)/326 = 3.14161817
e = (√912345 - 69)/326 = 2.71830529

π + e = (√912345)/163,
で代数的数

912345 = 3･5･7･8689

25 ：１３２人目の素数さん：2021/10/25(月) 06:14:00.46 ID:4tizcZlG.net

e+π は無理数か ?
http://www.youtube.com/watch?v=ZxA-xD9mUmM 04:35,

e+π, eπ の両方とも有理数ではない。
http://www.youtube.com/watch?v=HZsjwLlka-8 01:27,

26 ：１３２人目の素数さん：2022/08/19(金) 21:56:17.75 ID:KHHs/en2.net

e+πが有理数a, eπが有理数ｂとすると、

(x-e)(x-π）＝x^2-ax+b
である。するとeもπも共に有理係数のｘの二次式の零点になるから、
代数的数である。それはeあるいはπが超越数であることに矛盾する。
よってaとbの両方が有理数であることは不可能。

これは一般的に
　　2つの超越数の和と積が共に有理数になることは無い
ことを示している。さらに強く、共に代数的数になることもないといえる。

27 ：１３２人目の素数さん：2022/08/19(金) 22:47:48.59 ID:7bkYNoMI.net

弱くなってないか

28 ：１３２人目の素数さん：2022/08/20(土) 09:18:44.23 ID:y7Stomz3.net

弱くなどなっていないぞ。
「2つの超越数の和と積が共に有理数になることは無い。」
という言明は
「2つの超越数の和と積が共に代数的数になることは無い。」
ことを意味しないから。

29 ：１３２人目の素数さん：2022/08/20(土) 11:27:44.31 ID:ZKm6D/Md.net

2つの超越数e,πに対して、
e+πが有理数a, eπが有理数ｂとすると、

(x-e)(x-π）＝x^2-ax+b
である。

>2つの超越数e,πは共に有理係数のｘの二次式の零点にはならないから、
>有理係数xの二次式x^2-ax+bの解は高々2次の代数的数とはならない。
>よって、a=e+π、b=eπ、π>eから、有理係数の二次式x^2-ax+bの解を計算すると
>x=e,πであって、2つの解x=e,πは有理係数のｘの高々二次式の零点にはならない。
ここから先、矛盾するようなことがいえない

30 ：１３２人目の素数さん：2022/08/22(月) 02:33:27.63 ID:e6zx79a1.net

「代数的数を係数とする代数方程式の根は代数的数である（別途証明を要す）」、
より、「2つの超越数の和と積が共に代数的数になることはない」、が言える。
なぜならば、もしも和と積が共に代数的数になるとしたら、
2つの超越数が実は代数的数だとなってしまい、矛盾するから。

31 ：１３２人目の素数さん：2022/08/22(月) 11:33:37.53 ID:kskCSCM4.net

>>30
リンデマン・ワイエルシュトラスの定理はご存じ？

32 ：１３２人目の素数さん：2022/08/22(月) 23:10:00.78 ID:e6zx79a1.net

そんな大定理を持ち出すような命題だろうかね？
超越数の和と積が云々は中学生レベルの数学だろ。

33 ：１３２人目の素数さん：2022/08/25(木) 16:36:22.34 ID:v3VGVXcm.net

イー・エス・パイ！

34 ：１３２人目の素数さん：2022/09/07(水) 10:11:43.96 ID:mQ5a4/XV.net

アルゴリズムで定義された実数は、一般にはそれが有理数であるかどうかを判定出来ない
（つまりアルゴリズムで定義された数が、有理数かどうかを必ず決定できる
　アルゴリズムは存在しない）。

35 ：１３２人目の素数さん：2022/09/19(月) 06:36:42.35 ID:A2bkdkFJ.net

e÷π　あるいは　eｘπ　はどちらも無理数（さらに超越数）だと
予想するけれども、だれか証明してたかな？

36 ：１３２人目の素数さん：2022/09/19(月) 16:42:54.80 ID:xZJ2ZO8O.net

e÷π＝１ でヨシ(๑•̀ㅂ•́)و✧
eｘπ＝９ でヨシ(๑•̀ㅂ•́)و✧
∵π＝３でヨシなのでe＝3でヨシ

無理数とか有理数とか小数とか
存在しません。自然数だげで、ヨシ

37 ：１３２人目の素数さん：[ここ壊れてます] .net

歴史的にも超賢い人達大勢が証明を試みたが解決していない難題を、
そこらの凡人が証明を思いついたりするようなものではなからう。

38 ：１３２人目の素数さん：2022/09/27(火) 02:49:05.35 ID:F9N4BXZR.net

π+eが無理数かどうかなんてムダに労力を使う割りには大した価値がない結果だから、
誰にも証明を試みる気が起きないだけだよ
派手な級数で表示されたπ+eを書いてπ+eが無理数であることを証明する気なんて普通起きないだろ

39 ：１３２人目の素数さん：2022/09/27(火) 13:06:10.87 ID:HLgl1QBU.net

そんな安易なアプローチでは証明にはたどり着けまい。

40 ：１３２人目の素数さん：2022/09/27(火) 13:19:45.03 ID:WTyZ+EGm.net

何段階か踏む必要があるけど証明出来るよ

41 ：１３２人目の素数さん：2022/10/01(土) 02:10:05.85 ID:dZ2OkH57.net

ではやってみるよろしある。π＋eが無理数になること証明すると
ちょっとは有名になれるあるよ。

42 ：１３２人目の素数さん：2022/10/01(土) 06:29:08.37 ID:xOYUwJLs.net

π＋eが無理数であることだけπ＋eを級数表示して証明するより、
正しければπ＋eが超越数であることを証明する方が効率がいい筈

43 ：１３２人目の素数さん：2022/10/01(土) 09:57:53.21 ID:QigG7fAY.net

πが無理数になるのは、直線と曲線の長さの比較をしていることに原因がある。
どこまで拡大しても直線は曲線にならず、曲線は直線にならない。
無限大に拡大したとしてもだ。（無限大なるものこそこの世に存在しない。）

それで、どこまで拡大して比較しても近似なので、当然πは無理数になる。
eが無理数かどう変わらないが、πが無理数であるだから、
π＋eも当然無理数となる。

44 ：１３２人目の素数さん：2022/10/01(土) 10:29:51.43 ID:xOYUwJLs.net

eの級数表示 e=Σ_{k=0,1,…,+∞}(1/k!) は使わないと何もかも始まらない
正しければリンデマン・ワイエルシュトラスの定理に出て来るような式が
区間 (0,1) 上殆ど至るところで成り立つことを使えば、>>42のようなことが出来る

45 ：１３２人目の素数さん：2022/10/02(日) 09:17:15.54 ID:8lkJmRv0.net

eのγ乗は果たして無理数か？

46 ：１３２人目の素数さん：[ここ壊れてます] .net

yを実変数とすれば、区間 (0,+∞) は実数の乗法について実数1を単位元とする群だから、
実変数yに関して区間 [0,1) 上殆ど至る所で成り立つ式 y=1-e^{-y] とeが超越数であること、
及び任意の実代数的数xに対して e^x が超越数であるという
リンデマン・ワイエルシュトラスの定理の特殊な場合の結果を使えば、
実変数のときは実変数yに関して直線R上殆ど至る所 e^y は無理数であることがいえて簡単に終わる

47 ：１３２人目の素数さん：2022/10/02(日) 20:04:06.74 ID:8lkJmRv0.net

eのγ乗は果たして無理数か？

48 ：１３２人目の素数さん：2022/10/03(月) 10:53:34.44 ID:+qq/CSI5.net

γはオイラーの定数だったのか。
直線Rの部分空間Aを A={a∈R|aは代数的数} と定義する。区間 [0,1) の部分空間X,Yを
X={a∈[0,1)}|aは実代数的数}、Y={log(x)∈[0,1)|xは区間 [1,e) における実代数的数}
と定義する。代数的数の全体は可算集合で、空間Aは直線R上の零集合だから、Xは区間 [0,1) 上の零集合である。
同様に、リンデマン・ワイエルシュトラスの定理の特殊な場合の結果から、Yは区間 [0,1) 上の零集合である。
X∩Y=∅ であって、XとYは直線R上の零集合だから、X∪Y は直線R上の零集合である
X∪Y と [0,1) は可測集合で、X∪Y のルベーグ測度は0、[0,1) の一次元ルベーグ測度は1だから、
区間 [0,1) の部分空間 [0,1)-(X∪Y) は可測集合であって、[0,1)-(X∪Y) の一次元ルベーグ測度は1である
>>46で書いた、実変数yに関して区間 [0,1) 上殆ど至る所で成り立つ式 y=1-e^{-y] とは、
区間 [0,1) における可測集合 [0,1)-(X∪Y) 上で成り立つ式 y=1-e^{-y] のことを指している

さてオイラーの定数γは γ＝lim_{n→+∞}(1+…+1/n-log(n)) と定義される
各正整数nに対して、γ_n=1+…+1/n-log(n) とおく
どんな2以上の整数nについても γ_n はXとYのどちらにも含まれないことが
リンデマン・ワイエルシュトラスの定理を使えばどちらかというと比較的簡単に示せるから、
任意の2以上の整数nに対して γ_n∈[0,1)-(X∪Y) である
よって、任意の2以上の整数nに対して γ_n=1-e^{-γ_n] が成り立つ
γを代数的数とすると、n→+∞ とすれば γ＝1-e^{-γ] が得られて、
リンデマン・ワイエルシュトラスの定理に反し矛盾するから、γは超越数で、無理数である
故に、γはXには含まれない。γ∈Y とする。集合Yの定義から、
或る実代数的数 x∈[1,e) が存在して log(x)=e^γ である
よって、x=e^{e^γ} である。だが、e^γ＝Σ_{k=0,1,…,+∞}(γ^k/k!)＞1 だから、
x>e であって、x∈[1,e) に反し矛盾する。故に、背理法により、γはYにも含まれない
0<γ<1 だから、γは区間 [0,1) における可測集合 [0,1)-(X∪Y) に含まれる。
よって、等式 γ=1-e^{-γ] が成り立つ。γは超越数だから、e^γは超越数である

49 ：１３２人目の素数さん：2022/10/03(月) 11:18:24.87 ID:+qq/CSI5.net

γ_n はXとYのどちらにも含まれないことが
→ γ_n はXとYのどちらにも属さないことが

γはXには含まれない → γはXには属さない

故に、背理法により、γはYにも含まれない
→ 故に、背理法により、γはYにも属さない

γは区間 [0,1) における可測集合 [0,1)-(X∪Y) に属する
→ γは区間 [0,1) における可測集合 [0,1)-(X∪Y) に属する

50 ：１３２人目の素数さん：2022/10/03(月) 11:20:40.14 ID:+qq/CSI5.net

一応、更なる訂正

γは区間 [0,1) における可測集合 [0,1)-(X∪Y) に含まれる
→ γは区間 [0,1) における可測集合 [0,1)-(X∪Y) に属する

51 ：１３２人目の素数さん：2022/10/03(月) 11:39:26.30 ID:+qq/CSI5.net

あっ、>>48の
>γ∈Y とする。集合Yの定義から、或る実代数的数 x∈[1,e) が存在して log(x)=e^γ である
>よって、x=e^{e^γ} である。だが、e^γ＝Σ_{k=0,1,…,+∞}(γ^k/k!)＞1 だから、
>x>e であって、x∈[1,e) に反し矛盾する。故に、背理法により、γはYにも含まれない
>0<γ<1 だから、γは区間 [0,1) における可測集合 [0,1)-(X∪Y) に含まれる。
>よって、等式 γ=1-e^{-γ] が成り立つ。γは超越数だから、e^γは超越数である
の部分は全体的に間違えた
e^γ が無理数かどうかまでは知らない
γが集合Yにも属さなければ、e^γ は超越数であって、無理数である

52 ：１３２人目の素数さん：2022/10/03(月) 15:51:18.01 ID:kniguVng.net

一応、>>48の後半の訂正：
リンデマン・ワイエルシュトラスの定理に反し矛盾するから、γは超越数で、無理数である
→ リンデマン・ワイエルシュトラスの定理から矛盾が生じるから、γは超越数で、無理数である

53 ：１３２人目の素数さん：2022/10/03(月) 16:45:19.10 ID:kniguVng.net

γ∈Y とする。集合Yの定義から、或る実代数的数 x∈[1,e) が存在して log(x)=e^γ である
よって、x≠1 であって、γは 1/2<γ<1 を満たすから、
x=e^{e^γ}
　>e^{e^{1/2}}
　=Σ_{k=0,1,…,+∞}( ( e^{k/2} )/(k!) )
　>Σ_{k=-0,1,2}( ( e^{k/2} )/(k!) )
　=1+e^{1/2}+e/2
　>1+1+2/2=3
　>e
である。故に、x∈[1,e) に反し矛盾する。この矛盾は γ∈Y としたことから生じたから
背理法が適用出来て、背理法を適用すれば、γはYに属さない
γは X∪Y には属さないから、γは可測集合 [0,1)-(X∪Y) に属する
よって、等式 γ=1-e^{-γ] が成り立つ。γは超越数だから、e^γは超越数であって無理数である
評価が正しければこれでいい。まあ、正確には段階を踏む必要はあるが

54 ：１３２人目の素数さん：2022/10/03(月) 17:01:52.51 ID:kniguVng.net

>>53でのxの下からの評価における途中式の訂正：
Σ_{k=-0,1,2}( ( e^{k/2} )/(k!) ) → Σ_{k=0,1,2}( ( e^{k/2} )/(k!) )
何故か0を-0と書いてしまった

55 ：１３２人目の素数さん：2022/10/03(月) 17:41:41.11 ID:kniguVng.net

また間違えた。>>53-54はなし。やはり、γ∈Y かどうかまでは知らない
まあ、等式 γ=1-e^{-γ] が成り立つことは微分積分の基本的な手法で確認出来る

56 ：１３２人目の素数さん：2023/01/09(月) 15:22:04.96 ID:afxohR47.net

eのオイラー定数乗が無理数になること、あるいは超越数になることを
うまく示せたら良いのにね。もちろんオイラー定数が無理数、超越数に
なることを示せれば（なお）良い。

57 ：１３２人目の素数さん：2023/01/09(月) 16:17:23.58 ID:3M9cj6Q7.net

微積分で泥臭い計算をしてみたが、e^γ は超越数になる
実際は実数体R上での実解析の応用で既に終わってた
定理にも一般化出来るとは思う

58 ：１３２人目の素数さん：2023/01/09(月) 16:21:25.70 ID:3M9cj6Q7.net

そんなことより、計算可能な実数や計算不可能な実数とか
正規数に関する話とかもっと難しいことは幾らでもある

59 ：１３２人目の素数さん：2023/01/09(月) 17:39:51.18 ID:afxohR47.net

＞57
それではγの超越性あるいは無理数性はどうよ？

60 ：１３２人目の素数さん：2023/01/11(水) 07:27:25.49 ID:cwiFwB3I.net

>>59
等式 γ=1-e^{-γ] が成り立つことはいえているから、
e^γ が超越数であればγも超越数になる

61 ：１３２人目の素数さん：2023/01/12(木) 17:33:57.89 ID:eujZ92Wl.net

実数は構成法が存在しないものがほとんどで、構成法の存在するものは可算の濃度
しか持たないから稀である。

「構成法が具体的に示されている実数であって、
それが有理数になるかならないかを決定できない
ということを証明できる」、そのようなものがあるだろうか？
というのは、確かに難しそうだな。

こういうのをかんがえてみよう。
いま無理数aを勝手に決める。例えばπでもeでも√2でも良い。
そうして、実数ｘの定義を、次のようにする
　命題Pが真であればｘ＝0とする、命題Pが偽ならｘ＝a とする。
するとｘは確かに実数であって、有理数か無理数かどちらかだが、
命題Pの真偽が決定できなければ、どちらであるかが決定できない。
でもこれでは答えになっていないかな。

62 ：１３２人目の素数さん：2023/01/13(金) 03:55:48.93 ID:rsDxt8ni.net

無理やり在ると仮定されたオラクル使って計算機科学的な議論をすることは多々ある。

63 ：１３２人目の素数さん：2023/08/25(金) 11:21:58.67 ID:XXY9yAWmD

岸田異次元増税憲法ガン無視地球破壊霸権主義文雄が補償するから核汚染水たれ流させろとかデ夕ラメほざいてて唖然とするよな
世界最悪の脱炭素拒否テロ国家に送られる化石賞連続受賞して世界中から非難されながら憲法１3条25条29条と公然と無視して力による一方的な
現状変更によってクソ航空機倍増、閑静な住宅地から都心まで数珠つなき゛で鉄道の３０倍以上もの莫大な温室効果ガスまき散らして騒音まみれ
静音か゛生命線の知的産業壊滅させて知的能力者の仕事に生活にと破滅させなか゛ら補償とか何ひとつしていないのか゛現実だしな．高い所と騒音か゛
大好きな人としての最低限の知的能カすらなく何ひとつ価値生産もて゛きないクソ公務員か゛家の壁とか容易に突き抜ける低周波騒音による被害
すらガン無視、こんなテロ政府の言うことを真に受けるのは相当の盆暗だけ、生物濃縮によってフクシマ沖の魚1匹から１万80０0ベクレルもの
セシウムか゛検出されてるのか゛現実だし、いくら抗議しても共有スルだのほざいてスルーするだけの国土破壊省のようになるのが目に見えてるそ゛
そして何かしらの集団行動に出たところで、ついこの間のクソ成田強制執行みたいなジェノサヰドを平然とやるのが人の命より金の岸田の本性
(羽田)ttps://www.call４.jp/info.рhp?tyＰe=items&id=I０000０62 , tТps：//haneda-projеct.jimdofree.Сom/
［成田〕tTＰs：//n-souonhigaisosуoudan.amebaownd.сom/
〔テロ組織)tΤps：//i.imgur.com/hnli1ga.jρeg

64 ：１３２人目の素数さん：2023/08/31(木) 13:32:34.21 ID:JkOA/66C.net

東大の２次試験にさりげなく出題したら。
満点防止で。
証明して来たら満点あげてもいい。

65 ：１３２人目の素数さん：2023/08/31(木) 13:34:15.06 ID:JkOA/66C.net

ＡＢＣ予測は京大の先生が証明したけど
論文の内容が難し過ぎて世界で数人しか理解できない。
また、他人に分かりやすく説明できる人は０人。

66 ：１３２人目の素数さん：2023/08/31(木) 13:35:32.21 ID:JkOA/66C.net

実はπが無理数かどうかもわかっていないからね。
計算つづけたら、どこかで割り切れる可能性はある。

67 ：１３２人目の素数さん：2023/08/31(木) 13:37:10.64 ID:JkOA/66C.net

シュレディンガーの猫だね。
π＋ｅ　は証明されるまで無理数であり有理数。
かけをするなら無理数でいいんじゃない。

68 ：１３２人目の素数さん：2023/09/12(火) 00:28:59.30 ID:aC6xOsAW.net

無理数に決まってるだろ
背理法で簡単に示せる

69 ：１３２人目の素数さん：2023/09/12(火) 07:20:49.72 ID:4bt08AcT5

丿儿ト゛ストリー厶爆破したというウクラヰナの自作自演だろうがダム爆破で街中水没．日本では世界最悪の殺人テロ組織公明党国土破壊省
斉藤鉄夫らテロ組織国土破壊省が憲法1З条25条2９条と公然と無視しながら力による一方的な現状変更によって都心まで数珠つなぎで
鉄道の30倍以上もの莫大な温室効果カ゛スまき散らす大量破壊兵器クソ航空機飛ばして気候変動させて海水温上昇させてかつてない量の水蒸気を
日本列島に供給させて洪水に土砂崩れに暴風にと住民の生命と財産を強奪することで私腹を肥やしてるし同じテ□国家のウクラヰナた゛の
曰本に原爆落とした世界最悪のならす゛者国家だのと共謀して私利私欲のために軍事演習だなんだと隣国挑発して正当防衛権行使させておいて
白々しく安全保障ガーだのバカ丸出しプ囗パガンダ放送だのJアラ‐トだのし国民煽って軍事増税に軍事大国にと税金泥棒利権を
全方位から堅牢にしてチョロすぎる国民から強奪した血税で私腹を肥やしまくって腐敗テロ国家を謳歌してる岸田異次元増税売國奴文雄が
これほど分かりやすい茶番やってるってのに霞ヶ関か゛火の海になることすらないとか北朝鮮人民までドン引きだぞ
(羽田］tｔps://www.call4.jp／info.Ｐhp?type＝items&id=I0０00062 , ttps://haneda-рroject.jimdofree.com/
〔成田)tＴps:／/n-souonhigaisosуoudan.amеbaownd.com/
(テロ組織)ttps:／/i.imgur.com/hnli1ga.jpｅg

70 ：１３２人目の素数さん：2023/09/12(火) 13:58:02.97 ID:GT3P2Tlp.net

>>67
そういうことだと思う
数学も二値論理ではなく確率的状態を取れば現実に即する