よく分からん問題ができたwww助けてww

1 ：名無し：2020/08/29(土) 11:33:10.14 ID:mnGYk5Ar.net

画像が上下逆さまなのは勘弁してくれ
花みたいな図形を書こうとしたがどのくらいの大きさで書けば良いか検討をつけたい
https://i.imgur.com/v4MPdVz.jpg

2 ：１３２人目の素数さん：2020/08/29(土) 13:12:52.50 ID:4Hh4nTJu.net

辺の中点で内接して、頂点で外接する

3 ：１３２人目の素数さん：2020/08/29(土) 13:18:34.76 ID:Rdp6rbkX.net

R1/(cos(π/4)cos(π/5)cos(π/6)・・)≒4.35R1

4 ：１３２人目の素数さん：2020/08/29(土) 21:29:35 ID:mnGYk5Ar.net

まじか
ありがとうございます

5 ：１３２人目の素数さん：2020/08/31(月) 19:33:20 ID:5D4+y8sX.net

Q：
平面上に半径R_1の円がある。
その円に外接する正方形の外接円の半径をR_2,
その円に外接する正5角形の外接円の半径をR_3,
(中略)
その円に外接する正(n+2)角形の外接円の半径をR_nとする。
lim(n→∞) R_n を求めよ。

6 ：１３２人目の素数さん：2020/08/31(月) 19:42:31 ID:5D4+y8sX.net

R_n / R_{n-1} = 1/cos(π/(n+2)),
n=2,3,････ で掛ける。
R = R_1・Π[n=2,∞] 1/cos(π/(n+2)) = 4.3500183126041 R_1

(参考書)
数セミ増刊「数学の問題」第(2)集, 日本評論社 (1978)
●111　(●117 に数値計算)

7 ：１３２人目の素数さん：2020/09/01(火) 17:59:27.93 ID:NjDIEWIQ.net

〔補題〕
　R < 6 R_1　を示せ。

(略解)
sinの半角公式
　cos(x) = 1 - 2{sin(x/2)}^2 > 1 - xx/2,
を利用すれば
R_{n-1} / R_n = cos(π/(n+2))
　> 1 - ππ/{2(n+2)^2}
　> 1 - 5{n(n+4)}　　　　　(ππ/2 <5)
　= {n(n+4)-5}/{n(n+4)}
　= (n+5)/(n+4)・(n-1)/n,
よって
R_m = R_1・Π[n=2,m] 1/cos(π/(n+2))
　< R_1・Π[n=2,m] (n+4)/(n+5)・n/(n-1)
　= R_1・6m/(m+5)
　< 6 R_1,
R = lim[m→∞] R_m < 6 R_1

8 ：１３２人目の素数さん：2020/09/01(火) 19:21:28.11 ID:2qjbTlF5.net

2130
学コン・宿題ボイコット実行委員会@gakkon_boycott 9月1日
#拡散希望
#みんなで学コン・宿題をボイコットしよう
雑誌「大学への数学」の誌上で毎月開催されている学力コンテスト(学コン)と宿題は、添削が雑で採点ミスが多く、訂正をお願いしても応じてもらえない悪質なコンテストです。(私も7月号の宿題でその被害に遭いました。)このようなコンテストに参加するのは時間と努力の無駄であり、参加する価値はありません。そこで私は、これ以上の被害者を出さないようにするため、また、出版社に反省と改善を促すために、学コン・宿題のボイコットを呼び掛けることにしました。少しでも多くの方がこの活動にご賛同頂き、このツイートを拡散して頂ければ幸いです。
https://twitter.com/gakkon_boycott/status/1300459618326388737
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9 ：１３２人目の素数さん：2020/09/01(火) 19:24:11.43 ID:NjDIEWIQ.net

〔補題〕
　π < √10.

　tan(π/6) = 1/√3,
半角公式より
　tan(π/12) = 2 - √3,
半角公式より
　tan(π/24) = √2 + √6 - (2+√3) = (1+√3)(2√2 -1 -√3)/2,
　π < 24 tan(π/24) < 3.16 < √10,

10 ：１３２人目の素数さん：2020/09/01(火) 23:18:55 ID:NjDIEWIQ.net

〔補題〕
　R < 5 R_1

R_m = R_2・Π[n=3,m] 1/cos(π/(n+2))
　< R_2・Π[n=3,m] (n+4)/(n+5)・n/(n-1)
　= R_1(√2)・7m/2(m+5)
　< (7/√2) R_1
　< 4.95 R_1
R = lim[m→∞] R_m < 4.95 R_1

11 ：１３２人目の素数さん：2020/09/02(水) 09:52:45 ID:1pAmelOb.net

〔補題〕
　R < 4.85 R_1

ππ/2 = 5 - 2δ = (3-δ)^2 - (2-δ)^2,
とおく。
R_{n-1} / R_n = cos(π/(n+2))
　> 1 - ππ/{2(n+2)^2}
　= 1 - (5-2δ)/(n+2)^2
　> 1 - (5-2δ)/{(n+2)^2 - (2-δ)^2}
　= {(n+2)^2 - (3-δ)^2}{(n+2)^2 - (2-δ)^2}
　= (n+5-δ)/(n+4-δ)・(n-1+δ)/(n+δ),
よって
R_m = R_2・Π[n=3,m] 1/cos(π/(n+2))
　< R_2・Π[n=3,m] (n+4-δ)/(n+5-δ)・(n+δ)/(n-1+δ)
　= R_2 (7-δ)/(2+δ)・(m+δ)/(m+5-δ)
　< R_2 (7-δ)/(2+δ)
　= R_1 (√2)(7-δ)/(2+δ)
　= 4.84768 R_1,
R = lim[m→∞] R_m < 4.84768 R_1

12 ：１３２人目の素数さん：2020/09/02(水) 17:29:46.07 ID:1pAmelOb.net

　R_2 = (√2) R_1,
　R_3 = (√2)(2/φ) R_1,
　R_4 = (√2)(2/φ)(2/√3) R_1,
　φ = (1+√5)/2 = 1.618034　　(黄金比)

>>7 >>10 の式から
　R < (6/1) R_1,
　R < (7/2) R_2 = 4.94975 R_1,
　R < (8/3) R_3 = 4.6615 R_1,
　R < (9/4) R_4 = 4.5416 R_1,

>>11 の式から
　R < ((6-δ)/(1+δ)) R_1 = 5.77901 R_1,
　R < ((7-δ)/(2+δ)) R_2 = 4.84768 R_1,
　R < ((8-δ)/(3+δ)) R_3 = 4.59260 R_1,
　R < ((9-δ)/(4+δ)) R_4 = 4.48857 R_1,

ここに　δ = (10-ππ)/4 = 0.0325989

13 ：１３２人目の素数さん：2020/09/04(金) 18:11:43.96 ID:4rR4gXNg.net

くわしい計算は↓

数セミ増刊「数学の問題」第(2)集, 日本評論社 (1978)
●117 の解説に御老公の方法がある。

14 ：１３２人目の素数さん：2020/09/15(火) 21:44:00.72 ID:oug42vb/.net

へえ

15 ：１３２人目の素数さん：2020/09/19(土) 03:33:37.06 ID:0zHXJRh+.net

>>9
　π < √10,

(略証)
　ππ/6 = ζ(2)
　　= Σ[k=1,∞] 1/kk
　　= 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + Σ[k=6,∞] 1/kk
　　= 5269/3600 + Σ[k=6,∞] 1/kk
　　< 5280/3600 + Σ[k=6,∞] 1/((k-1)k)
　　= 22/15 + Σ[k=6,∞] {1/(k-1) - 1/k}
　　= 22/15 + 1/5
　　= 5/3,

16 ：１３２人目の素数さん：2020/09/19(土) 04:00:29.31 ID:0zHXJRh+.net

>>9
　π < √10,

(略証)
　ππ/6 = ζ(2)
　　= Σ[k=1,∞] 1/kk
　　= 1 + 1/4 + Σ[k=3,∞] 1/kk
　　< 1 + 1/4 + Σ[k=3,∞] 1/(kk - 1/4)
　　= 1 + 1/4 + Σ[k=3,∞] {1/(k-1/2) - 1/(k+1/2)}
　　= 1 + 1/4 + 2/5
　　< 1 + 1/4 + 5/12
　　= 5/3,

17 ：１３２人目の素数さん：2020/09/25(金) 12:03:41.37 ID:C/C9yJEj.net

π < √2 + √3,
コーシーで
π^2 < (√2 + √3)^2 < (1+1)(2+3) = 2･5 = 10,
π < √10,

18 ：１３２人目の素数さん：2021/01/12(火) 01:31:46.52 ID:DWDz7Rh1.net

>>17
1行目を出すのが難しい････


π^2 ≒ 10 - 3/23 = 9.8695652
π^2 ≒ 10 - 142/(33^2) = 9.8696051

[円周率について語り合おう【π】．346, 375]
[πって本当に無理数なの？．186, 209]