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面白い問題おしえて〜な 32問目

1 :132人目の素数さん:2020/04/07(火) 12:32:13.40 .net
過去ログ置き場(1-16問目)
http://www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/

まとめwiki
http://www6.atwiki.jp/omoshiro2ch/

01 http://cheese.5ch.net/test/read.cgi/math/970737952/
02 http://natto.5ch.net/test/read.cgi/math/1004839697/
03 http://mimizun.com/log/2ch/math/1026218280/
04 http://mimizun.com/log/2ch/math/1044116042/
05 http://mimizun.com/log/2ch/math/1049561373/
06 http://mimizun.com/log/2ch/math/1057551605/
07 http://science2.5ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/
08 http://science3.5ch.net/test/read.cgi/math/1074751156/
09 http://science3.5ch.net/test/read.cgi/math/1093676103/
10 http://science4.5ch.net/test/read.cgi/math/1117474512/
11 http://science4.5ch.net/test/read.cgi/math/1134352879/
12 http://science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1157580000/
13 http://science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1183680000/
14 http://science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1209732803/
15 http://science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1231110000/
16 http://science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1254690000/
17 http://kamome.5ch.net/test/read.cgi/math/1284253640/
18 http://kamome.5ch.net/test/read.cgi/math/1307923546/
19 http://uni.5ch.net/test/read.cgi/math/1320246777/
20 http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1356149858/
21 http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1432255115/
22 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/
23 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1497416499/
24 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502016223/
25 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502032053/
26 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1518967270/
27 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1532793672/
28 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1540739963/
29 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1548267995/
30 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1572866819/

なお、削除依頼は不要です。
※前スレ
面白い問題おしえて〜な 31問目
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1580123521/

956 :132人目の素数さん:2020/08/23(日) 09:23:27.55 ID:UbZvhaLk.net
作りやすさってのもあるんじゃないか?

957 :132人目の素数さん:2020/08/23(日) 09:31:31.63 ID:WSLH6TNX.net
レンチをどうするん?

958 :132人目の素数さん:2020/08/23(日) 09:57:06.06 ID:DAxswYAA.net
>>955
二角形がベストと言うことか

959 :132人目の素数さん:2020/08/23(日) 11:11:26.86 ID:+zeUDUO0.net
>>930 或いは >>929
この等式の証明が分からない。誰か教えて。
流れ元の >>921, >>923 の方は理解できた。

960 :132人目の素数さん:2020/08/23(日) 11:22:29.04 ID:Wi06ZCqF.net
平行な辺がないとレンチをきっちり当てるのに苦労しそうだな
レンチをはめることを考えると四角形より六角形の方がやりやすく、角をなめにくいことを考えると八角形以上より六角形の方が有利
ってことで六角形なんじゃないか?

961 :132人目の素数さん:2020/08/23(日) 15:01:09.38 ID:+zeUDUO0.net
>>959 これ自己解決しました。

閉領域 [0...n]× [0...i] に於ける格子点を考える。
P, Q, M を其々 直線: y= (i/n) * x の 下方にある/ 上方にある / 乗っている 格子点数とする。
(n/2, i/2) に対しての点対称性より P = Q, それと M= gcd(i,n)+1
領域の全格子点数は (n+1)(i+1) = P+M+Q = 2P + gcd(i,n)+1
∴ Σ[j=1,n] 2[ij/n] = 2( P + M -1-n ) = (n+1)(i+1) -gcd(i,n)-1 + 2(gcd(i,n) -n)
 = gcd(i,n) -n + i(i+n)

962 :イナ :2020/08/23(日) 23:30:47.99 ID:Q5A4PXq6.net
>>936
>>955
ペンチやモンキーで挟むとき辺が平行じゃないと力が均等にかからないから回しにくい。よって正方形か正六角形か正八角形が考えられるが、正方形の場合ペンチを差しこむ体勢が2つしかない。となりのネジに障って回せなかったりコードに手が支えたりするなか確率の低いことをするとなんでネジを正方形にすんねんてなる。逆に正八角形だとネジとペンチの接触面が少なく力をじゅうぶんに伝えられず効率がわるい。
あいだをとって正六角形にするのがよいと考えられている。もちろん別の考えで別のかたちのネジを作ってもよいが、世間に認められるかどうかは別だ。

963 :132人目の素数さん:2020/08/25(火) 08:56:31 ID:7va++JjE.net
>>955
数学脳は真実を見ない典型だな
72°>60°
これに尽きる

964 :132人目の素数さん:2020/08/25(火) 18:38:19 ID:LqiSh/C2.net
なるほど
おもしろいですね

965 :132人目の素数さん:2020/08/26(水) 06:06:01 ID:+5D/ly7R.net
>>955
円でない理由は俺にもわかるw

966 :132人目の素数さん:2020/08/27(木) 13:45:54.80 ID:hFWBTQEb.net
∫^1_0ln(x^2-x+1)/(x*(x-1))dxはどのようにして求められますか?

967 :132人目の素数さん:2020/08/27(木) 14:12:46.78 ID:bBlfWfYS.net
大先生にお伺いをたてる
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%E2%88%AB%5E1_0ln%28x%5E2-x%2B1%29%2F%28x*%28x-1%29%29dx&lang=ja

968 :132人目の素数さん:2020/08/27(木) 15:07:50.44 ID:17pR8ej1.net
組合せ論の天才ロバース(数学オリンピック3回金メダル)の本だけあって面白い問題がありました。

□□□□□□□□
□□□□□□□□
□□□□□□□□
□□□□□□□□
□□□□□□□□
□■□□□□□□
□□□□□□□□
□□□□□□□□

2^n × 2^nのチェス盤から1つのマス目だけ取り除いた欠損チェス盤は以下のL字牌で敷き詰められることを証明せよ。


□□

969 :132人目の素数さん:2020/08/27(木) 15:30:22.70 ID:TE2F4JaV.net
2^n 倍に拡大したL字を 4^n 個のL字で敷き詰められることから帰納法

970 :132人目の素数さん:2020/08/27(木) 15:48:00 ID:MGNmMRXt.net
>>966
∫[0,1] log(x^2-x+1)/(x(x-1)) dx
と解釈すると、すぐに思いついたのは、 log(1+x) のテイラー展開より |x| < 1 のとき
log(1+x) = Σ[n=1,∞] (-1)^(n-1)x^n/n
で、 log(x^2-x+1)/(x*(x-1)) = log(1+x(x-1))/(x(x-1)) において
0 ≦ x ≦ 1 のとき |x(x-1)| < 1 だから、
log(1+x(x-1))/(x(x-1)) = Σ[n=1,∞] (-1)^(n-1)(x(x-1))^(n-1)/n
より、項別積分によって 0 ≦ x ≦ 1 における定積分が計算できる
ここで
∫[0,1] (x(x-1))^(n-1) dx = (-1)^(n-1) Β(n, n)
となるので、
∫[0,1] log(1+x(x-1))/(x(x-1)) dx = Σ[n=1,∞] Β(n, n)/n
= Σ[n=1,∞] (((n-1)!)^2/(n*(2n-1)!))
Wolfram大先生によると π^2/9 らしいが、どうやって証明するんだろう
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%CE%A3%5Bn%3D1%2C%E2%88%9E%5D+%28%28%28n-1%29%21%29%5E2%2F%28n*%282n-1%29%21%29%29

971 :132人目の素数さん:2020/08/27(木) 17:41:24.67 ID:bnTgCcB8.net
とりあえず
Σ[n=0,∞]n!n!/(2n+2)!=3F2(1,1,1;2,3/2;1/4)
になってコレにClausen's formulaなるものを使うと
=(2F1(1/2,1/2;3/2;1/4))^2
になりコレに2F1(1/2,1/2;3/2;s^2)=(1/s)arcsin(s)を適用すると
=(2(π/6))^2=π^2/9
にはなった

972 :132人目の素数さん:2020/08/27(木) 19:52:04.98 ID:yuNusFyR.net
Σ[n=m,∞] n!n!/(2n+2)! = 3F2(1,m+1,m+1;m+2,m+3/2;1/4)
で m=0 の場合。

>>969
□□
□△
○△△□
○○□□
のように分解していく・・・・

973 :132人目の素数さん:2020/08/27(木) 19:54:14.43 ID:2PsWGfvW.net
面白いな
関さんのブログに計算方法みつけたけど規制でリンク貼れない
http://integers.hate●nablog.com/entry/2018/12/19/150752
(●抜いて)

974 :132人目の素数さん:2020/08/27(木) 20:02:57.96 ID:17pR8ej1.net
>>972

模範解答は実は非常に分かりやすいんです。

975 :132人目の素数さん:2020/08/27(木) 20:08:22 ID:17pR8ej1.net
帰納法でやるんですが、例えば、

2^1のときには明らかに敷き詰め可能です。

2^kのときOKと仮定します:

□□□□
□■□□
□□□□
□□□□



□□□□□□□□
□□□□□□□□
□□□□□□□□
□□□■■□□□
□□□□■□□□
□■□□□□□□
□□□□□□□□
□□□□□□□□

を4分割します:

□□□□
□□□□
□□□□
□□□■

□□□□
□□□□
□□□□
■□□□

□□□□
□■□□
□□□□
□□□□

■□□□
□□□□
□□□□
□□□□

帰納法の仮定によりこれらの4つの欠損チェス盤は敷き詰め可能です。

もう一度、2^(k+1)の下のチェス盤を見てください:

□□□□□□□□
□□□□□□□□
□□□□□□□□
□□□■■□□□
□□□□■□□□
□■□□□□□□
□□□□□□□□
□□□□□□□□

976 :132人目の素数さん:2020/08/27(木) 20:09:26 ID:17pR8ej1.net
中央の

■■
□■

黒い部分(欠損している部分)はL字牌で敷き詰められます。

以上です。

977 :132人目の素数さん:2020/08/27(木) 22:05:49.33 ID:9j7a53Tx.net
>>974
さんの持ってる模範解答はともかくとして
Clausen's identity
(2F1(a,b;a+b+1/2;z))^2
=3F2(2a,2b,a+b;2a+2b,a+b+1/2;z)
ってどうやって示すんだろう?

978 :132人目の素数さん:2020/08/28(金) 00:17:31.39 ID:y9rDl245.net
>>974
良いスナその模範解答キモチヨイ

979 :132人目の素数さん:2020/08/28(金) 00:25:18.50 ID:PuYYvvEm.net
次の漸化式で定められた数列の全ての項は平方数であることを示せ
a_1=a_2=a_3=1
a_(n+3)=-a_(n+2)+2*a_(n+1)+8*a_n

980 :132人目の素数さん:2020/08/28(金) 01:08:42 ID:HSbg+0jD.net
10
11
20
31
52
121
200
314
512

これ次の数字分かる人いる?
数学というより数学モチーフにしたクイズ
規則性はちゃんとあるけどね

981 :132人目の素数さん:2020/08/28(金) 01:19:29.57 ID:Rc1d/x4d.net
851,1228,...

982 :132人目の素数さん:2020/08/28(金) 01:24:43.52 ID:HSbg+0jD.net
>>981
正解
これ注意書きなく単に「次の数字は?」って出し方したら悪問かな
どう思う?
自分は別にいい気がするけど

983 :132人目の素数さん:2020/08/28(金) 02:06:57.43 ID:sIUBKqp2.net
>>979
力技だけど
4項間漸化式を特性方程式x^3+x^2-2x-8=0の根
α=2, β=(-3+√(-7))/2, γ=(-3-√(-7))/2
を使って
a_n=Aα^n+Bβ^n+Cγ^n
と形を決めて、初項から
A=2/7, B=-1/7, C=-1/7
と係数を決定して
a_n=(2^(n+1)-((-3+√(-7))/2)^n-((-3-√(-7))/2)^n)/7
となるが、これは次の数列
b_n=(((-1+√(-7))/2)^n-((-1-√(-7))/2)^n)/√(-7
を使って
a_n=(b_n)^2
と書けている
b_nは3項間漸化式
b_0=0, b_1=1 b_(n+2)=-b_(n+1)-2b_n
を満たす数列であり、すべて整数である
よってa_nは必ず平方数になる

984 :132人目の素数さん:2020/08/28(金) 02:12:30.96 ID:Q3hz88VV.net
>>979
p=(-1+√7i)/2, q= (-1-√7i)/2, bn=(p^n-q^n)/(p-q)
とおく
b1=1, b2=-1, b3=-1
である
b[n+2]=-b[n+1]-2bn
によりbnは全て整数
cn=bn^2とおくとcnは全て平方数である
c1=c2=c3=1
cn=(p^2n+q^2n+2^n)/(p-q)^2
p^2+q^2+2=-1
2p^2+2q^2+p^2q^2=-2
2p^2q^2=8
によりcnは漸化式
c[n+3]=-c[n+2]+2c[n+1]+8c[n]
を満たす
∴ an=cn

985 :132人目の素数さん:2020/08/28(金) 02:27:13.37 ID:sIUBKqp2.net
>>973
このarcsinの2乗のテイラー展開は神秘的だな
逆三角関数のwiki英語版には書いてるけど日本語版には書いてない

986 :132人目の素数さん:2020/08/28(金) 04:14:46.67 ID:Lqo6RwyU.net
>>973
この記事ではChu-Vandermondeの恒等式とやらを使って証明しているけど、
f(x) := (arcsin(x))^2 のテイラー展開は普通に微分係数を計算しても証明できるみたい

f(0) = 0
f'(x) = 2arcsin(x)/(1-x^2)^(1/2) より f'(0) = 0
f''(x) = 2(1/(1-x^2) + xarcsin(x)/(1-x^2)^(3/2)) より f''(0) = 2
ここで微分方程式
(1-x^2)f''(x) = xf'(x) + 2
が成り立つので、この両辺を n 階微分すると、
(1-x^2)f^(n+2)(x) = (2n+1)xf^(n+1)(x) + (n^2)*f^(n)(x) より
f^(n+2)(0) = (n^2)*f^(n)(0)
が成り立つ。
よって n が奇数なら f^(n)(0) = 0, n が偶数なら、 n = 2k のとき
f^(2k)(0) = (2^(2k-1))*((k-1)!)^2
となるので、 f(x) のテイラー展開が
f(x) = Σ[n=1,∞] ((2^(2n-1))*((n-1)!)^2/(2n)!) x^(2n)
と求まる。
ゆえに、
2(arcsin(x/2))^2 = Σ[n=1,∞] (((n-1)!)^2/(2n)!) x^(2n)
が成り立つ。

特に x = 1 とすれば、
Σ[n=1,∞] (((n-1)!)^2/(2n)!) = π^2/18
となるから、したがって
Σ[n=1,∞] (((n-1)!)^2/(n*(2n-1)!)) = π^2/9
が得られる。

987 :132人目の素数さん:2020/08/28(金) 09:44:16.83 ID:RJx6/e6A.net
>>983 より
 b_0 = 0, b_1 = 1, b_{n+2} = -b_{n+1} - 2b_n,

ここで
 b_n = (-√2)^n B_n, cosθ = 1/√8,
とおくと
 B_0 = 0, B_1 = 1/(-√2),
 B_{n+2} = 2cosθ・B_{n+1} - B_n,
これと sinθ の和積公式
 sin((n+2)θ) = 2cosθ・sin((n+1)θ) - sin(nθ),
を比べて
 B_n = B_1 sin(nθ)/sinθ = 1/(-√2) sin(nθ)/(sinθ)
 b_n = (-√2)^{n-1} sin(nθ)/sinθ,
ここで
n-1が奇数 ⇒ sin(nθ)/sinθ はcosθ=1/√8 の奇関数、
n-1が偶数 ⇒ sin(nθ)/sinθ は cosθ=1/√8 の偶関数。
∴ b_n は整数。

なお、
 sin(nθ)/(sinθ) = U_{n-1}(cosθ),
を第二種チェビシェフ多項式と云うらしい。

988 :132人目の素数さん:2020/08/28(金) 09:52:46.84 ID:sIUBKqp2.net
ついこの前も3項間漸化式をわざわざチェビシェフ多項式で解いてたレス見たわ

ところで偶然にも>>973のテイラー展開はチェビシェフ多項式を使った「チェビシェフ展開」と見れる説が浮上してる

989 :132人目の素数さん:2020/08/28(金) 11:47:15.50 ID:RJx6/e6A.net
>>987
β,γは特性方程式の因数 x^2 + 3x + 4 = 0 の根
これより漸化式
 a_{n+2} = - 3a_{n+1} - 4a_n + 2^{n+2},
を得る。ここで
 a_n = (2^n)(A_n + 2/7), cos(2θ) = -3/4,
とおくと
 A_1 = 3/14, A_2 = -1/28, A_3 = -9/56,
 A_{n+2} = 2cos(2θ)・A_{n+1} - A_n,
これと cos の和積公式
 cos(2(n+2)θ) = 2cos(2θ)・cos(2(n+1)θ) - cos(2nθ),
を比べて
 A_n = - (2/7)cos(2nθ),
 a_n = 2^{n-1}・(4/7){1-cos(2nθ)}
   = 2^{n-1}・(8/7){sin(nθ)}^2,
となるが、平方数かどうか分からぬ・・・・・

990 :132人目の素数さん:2020/08/28(金) 12:06:59.67 ID:RJx6/e6A.net
>>980

2^n を (n+1)進法で表わしたもの。

http://oeis.org/A102626

991 :132人目の素数さん:2020/08/28(金) 12:40:36.01 ID:Lqo6RwyU.net
線型回帰数列の一般項を求めるのに線型代数を使おうが母関数を使おうが自由ではあるが、
一般項を求めるだけでは解決しない問題にわざわざ複雑な方法を使う意味がわからない
別の方法で計算したところで全く役に立ってないし

992 :132人目の素数さん:2020/08/28(金) 13:38:09.10 ID:RJx6/e6A.net
>>972
盤を 1x1のマスの集まりと見て、■マスを b_0
  2x2 ブロックの集まりと見たとき、■を含むブロックを b_1
  4x4 ブロックの集まりと見たとき、■を含むブロックを b_2
  ・・・・
  2^n x 2^n ブロック全体、b_n
とする。
 b_0 ⊂ b_1 ⊂ ・・・・ ⊂ b_n
これらの差分は、辺長が2ベキであるn個のL字形である。辺長は
  (1,2), (2,4),・・・・, (2^{n-1},2^n)
つまり、盤面全体が、■マスとn個のL字形とに分割される。

これらのL字形は、>>972 のやり方で半サイズのL字形に分解してゆけば、最後には
 □
 □□
に至る。

993 :132人目の素数さん:2020/08/28(金) 16:23:16 ID:2EjgpYll.net
n^2 + 1個の相異なる整数からなる数列には、長さn+1の増加部分列があるか、あるいは長さn+1の減少部分列があることを証明せよ。

994 :132人目の素数さん:2020/08/28(金) 16:31:54 ID:jXffUYs/.net
>>968 >>975
面白い問題ですね。
区画を 2*2 の4区画に分割していき、
切り分ける際に交点が1つあるのがミソですね。

これ、パーツを変更して
    □□
ただの2マスの棒にしたら
成立しないんだよな。(面積が偶数になってしまうからスペースが残せない)

995 :132人目の素数さん:2020/08/28(金) 16:36:44 ID:sIUBKqp2.net
>>993
分からない問題スレの方に説明書くわ

996 :132人目の素数さん:2020/08/28(金) 16:54:09.24 ID:jXffUYs/.net
>>968

□□■…
□□□…
□□□…


サイズが a^n × b^n のチェス盤がある。
1つのマス目だけ取り除いた欠損チェス盤が
以下の部品で敷き詰められる
ようなチェス盤は存在するか?

□□□

↑ 3マスの横棒
存在するならば、そのような自然数 a,b を求めよ。

997 :132人目の素数さん:2020/08/28(金) 22:59:15.08 ID:y9rDl245.net
>>994
たりめーじゃん

998 :132人目の素数さん:2020/08/29(土) 03:30:24.84 ID:nEvr3uHf.net
>>968 の追加問題

 ■の位置が決まれば、L字形の敷き詰め方は >>992 に限るか?

 頂点(i,j)については

 ○−△
 | |
 △ ○−△
 |   |
 ○−△−○

 ○ i+j=偶数
 △ i+j=奇数

>>991
 実数だけで解ける問題にわざわざ複素数を使う意味が分からぬ

次スレ
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1598637093/

999 :132人目の素数さん:2020/08/29(土) 03:50:24.27 ID:nEvr3uHf.net
>>987
 U_0 = 1, U_1(x) = 2x, U_2(x) = (2x)^2 -1, U_3(x) = (2x)^3 - 2(2x), …

 U_{n-1}(x) は 2x の整係数(n-1)次式。
∴ (√2)^{n-1} U_{n-1}(1/√8) は整数

1000 :132人目の素数さん:2020/08/29(土) 03:51:43.96 ID:gICDV3If.net
>>998
>実数だけで解ける問題にわざわざ複素数を使う意味が分からぬ

そういうことはせめて一般項を具体的に書き下してから言ってね
何? sin(nθ) って?
それに>>991>>979の解決に一切役に立っていないことを批判しているわけだが
わからないのか?

1001 :132人目の素数さん:2020/08/29(土) 06:16:48 ID:xlGB+YDQ.net
実数だけの問題を解くのに複素数を使うほうが楽な例はある
波動方程式とかね

そういうとき複素数を使うことに違和感はないけどな

1002 :132人目の素数さん:2020/08/29(土) 10:28:20.59 ID:nEvr3uHf.net
>>1000
cosθ = 1/√8,
すなわち
θ = arccos(1/√8) = (1/2)arccos(-3/4) = 1.2094292…
ですね。
よく見て「批判」しましょう。

1003 :132人目の素数さん:2020/08/29(土) 12:17:55.95 ID:gICDV3If.net
>>1002
閉じた式に書けないんですね

1004 :132人目の素数さん:2020/08/29(土) 13:06:24.18 ID:5wZMCkV+.net
後半へ〜続く!

面白い問題おしえて〜な 33問目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1598637093/

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