dx dy の意味は？

1 ：１３２人目の素数さん：2019/12/08(日) 23:51:21.03 ID:S0D0Segw.net

dx とか dy って微積で出るけど、この明確な意味って何だ？

微少増分だとすると、大学初級のεδ論法でそんな曖昧なコトは排除されたのでは？
dy/dx が分数ではないとされるけど、分数のように計算したりするし…

微分形式だという話もあるが、微分形式の本を読んでも「これが微分形式だ！」なんて
やらないで、例によって天下り的に「こういう性質があるのが微分形式だ！」なんて言って
根底に潜むだろう思想を隠蔽するしｗ

525 ：１３２人目の素数さん：2020/08/27(木) 19:45:25.78 ID:iHp+DszR.net

多様体を勉強すると、普通の3次元ユークリッド空間の偏微分がわからなくなるのか。恐ろしいものだね。

526 ：１３２人目の素数さん：2020/08/27(木) 20:55:19.65 ID:OkjNctHm.net

>>524
主張の曖昧さが同程度ってことね

527 ：１３２人目の素数さん：2020/08/28(金) 06:27:29.44 ID:AvC5ykEl.net

>>508
無茶苦茶親切なテキスト。工学系なのかな。日本にはこういうのは、ありそうでない。ただ、数学科向きではなさそう。

528 ：１３２人目の素数さん：2020/08/28(金) 12:15:40.55 ID:pTMPdN6W.net

>>527
Department of Engineering Scienceの講義のようだね

合成関数の微分法則も陰関数定理も例は書いているのに証明はない
もう少し「証明のお気持ち」くらいは日本の工学部向けの講義でやるだろうが
実際の講義では講師が何か口で喋ってるのかもしれない

529 ：１３２人目の素数さん：2020/08/28(金) 15:55:22 ID:+UlWnN8S.net

>>525
難しいことやると前の内容が（曖昧すぎるなどで）わからなくなることはあるが...

530 ：１３２人目の素数さん：2020/08/28(金) 18:21:58.14 ID:yiDDKT3p.net

単に多様体を勉強したんで、それでやりたいだけだろｗ

531 ：１３２人目の素数さん：2020/08/28(金) 18:56:06.38 ID:k2BVBVe/.net

多様体の話持ち出すまでもなく偏微分のレベルで意味が通じない
偏微分法の発展形が多様体論の話だけど、偏微分のレベルで間違えてる

532 ：１３２人目の素数さん：2020/08/28(金) 19:06:18.77 ID:35VYxQXw.net

集合と写像さえ知ってたら偏微分が少し複雑な議論を孕んでることくらい分かるだろうに
偏見だけど微分に関するあれこれを簡単だと思ってるやつはだいたい無知に無自覚なだけだと思ってる

533 ：１３２人目の素数さん：2020/08/29(土) 09:16:50.87 ID:GFEIBWEz.net

x=a, y=b, z=c は、
条件式F(x,y,z)=0を満足するとする。
すなわち、F(a,b,c)=0。
z=cに固定して、
x,yの関数F(x,y,c)を考える。
この関数に対して、
∂F/∂x(y)は同形写像とすると、
陰関数定理より、
(a,b)∈R^2の近傍Vとb∈Rの近傍Wが
存在して、Wの任意の点yに対して
方程式F(x,y,c)=0は、1つの解を持ち
それをf(y)と書けば(f(y),y)はVに属する。
従って、F(x,y,c)=F(f(y),y,c)と表され、
dF/dy=∂F/∂x・dx/dy+∂F/∂yである。
元々F(f(y),y,c)=0を満たすので
dF/dy=0であり、
0=∂F/∂x・dx/dy+∂F/∂yとなる。
これより、dx/dy=-(∂F/∂y)/(∂F/∂x)。
ここまでの一連の条件を含むものとして左辺を改めて∂x/∂yと表示すると、
∂x/∂y=-(∂F/∂y)/(∂F/∂x)である。
以下同様に、y=bに固定して
x,zの関数F(x,b,z)を考えると
∂z/∂x=-(∂F/∂x)/(∂F/∂z)となる。
x=aに固定して
y,zの関数F(a,y,z)を考えると
∂y/∂z=-(∂F/∂z)/(∂F/∂y)となる。
従って、三者の辺々を乗じると
∂x/∂y・∂y/∂z・∂z/∂x=-1。

534 ：１３２人目の素数さん：2020/08/29(土) 11:30:54.60 ID:ckKk+xu7.net

>>533
元々記号の多相性が問題点なんだから多相的な記号を使ったまま詳しく書いても意味ないだろ

535 ：１３２人目の素数さん：2020/08/29(土) 12:27:43.72 ID:GFEIBWEz.net

>>534
偏微分に関する記号の濫用の意味を
ハッキリさせたつもりだけど。
この種の記号の濫用を許すとした場合、
>>533は間違っているのかい？

536 ：１３２人目の素数さん：2020/08/29(土) 12:35:48.84 ID:hWTtNMh9.net

まぁ要するに
(∂/∂x)zを計算するときの局所座標は(x,y)、
(∂/∂y)xを計算するときの局所座標は(y,z)、
(∂/∂z)yを計算するときの局所座標は(z,x)
でとるという意味に解釈すればという意味だな
しかしそんなもんわからん
∂/∂xと組みにできるもう一つの変数なんかy,z,x+y,z^3+y+sin(x)などいくらでもとれてそれぞれに応じて∂/∂xの意味は変わってしまう
偏微分の記号の意味が理解できていないというそしりは免れない

537 ：１３２人目の素数さん：2020/08/29(土) 12:42:24.54 ID:ckKk+xu7.net

>>535
dx/dyとか定義が書かれておらずハッキリしてないし、なんならdF/dyとか書いてて問題文よりも濫用が増えてる

538 ：１３２人目の素数さん：2020/08/29(土) 12:57:31.23 ID:GFEIBWEz.net

>>537
F(x,y,c)=F(f(y),y,c)と書いたように、
x=f(y)だよ。これを記号の濫用をして、
x=x(y)とした。
だから、dx/dy=df/dy(y)だよ。
また、dF/dy=dF(f(y),y,c)/dy(y)だよ。
この種の記号の濫用を認めた場合、
>>533は間違っているかい？

539 ：１３２人目の素数さん：2020/08/29(土) 13:48:47.74 ID:ckKk+xu7.net

>>538
それを普通dF/dyとは書かない
また∂F/∂yも何か濫用が起きてるように見えるし、おそらくそこの意味を明確にすると間違いが出てくるように思う
そもそもが問題文の意味が明らかでない以上解答の正統性を論じることはできないって話だけど

540 ：１３２人目の素数さん：2020/08/29(土) 14:05:56.34 ID:GFEIBWEz.net

>>539
問題文の意図を>>533のように解釈した場合の話だよ。問題文の本来の趣旨は誰にもわからないから置いておくとして、仮に問題文の不明な記号の意味を>>533や>>538のように理解した場合、それでもなお間違っているのと聞いているんだよ。どうなの？あなたの主張は、確信はないが、何となく間違いがありそうという予想なのかい？

541 ：１３２人目の素数さん：2020/08/29(土) 14:18:49.95 ID:ckKk+xu7.net

>>540
∂F/∂yの意味がハッキリしていない以上確信は持てないが、何となく∂F/∂yの意味に関連した間違いがありそうだと予想している

542 ：１３２人目の素数さん：2020/08/29(土) 15:02:14 ID:GFEIBWEz.net

>>541
F(x,y,c)は、x,yの関数だよ。
ここではxとyは独立変数とする。
このとき、∂F/∂y(x,y,c)は、
yによる偏微分として定義されるよね。
これは問題ないよね。この時点で既に何かおかしいかい？
一方、実際には、xとyには、
x=f(y)という関係がある。
この場合においても、上記の意味の
∂F/∂y(x,y,c)を用いて、
∂F/∂y=∂F/∂y(x,y,c)と定義する。
これなら、∂F/∂yの意味は、ハッキリしたでしょう？この意味において、
>>533は、間違っているのかい？

543 ：１３２人目の素数さん：2020/08/29(土) 15:08:30 ID:OK9AZDbu.net

>>542
自信満々やから今度は合ってんのかと思って読んでみたらメチャメチャやんwww

544 ：１３２人目の素数さん：2020/08/29(土) 15:13:49 ID:tSF/nLdc.net

何なんだこのスレは

545 ：１３２人目の素数さん：2020/08/29(土) 15:20:16.77 ID:GFEIBWEz.net

>>543
どこがおかしいの？
馬鹿にしないで教えてくれよ。

546 ：１３２人目の素数さん：2020/08/29(土) 15:39:01.97 ID:OK9AZDbu.net

>>545
ツッコミどこだらけ
まず最初の

方程式F(x,y,c)=0は、1つの解を持ち
それをf(y)と書けば(f(y),y)はVに属する。
従って、F(x,y,c)=F(f(y),y,c)と表され、

このsetupならFはyの値のみで決定してるやん？
F(f(y),y,c)で変数はyだけなんでしょ？
しかもf(y)はF(x,y,c)=0をfixした各yについてxについての方程式とみなしたときの解なんだからF(f(y),y,c)は0ですがな
結局こういうわけわからんこと書いておかしいと思えないのは自分でこの問題のsetupが理解できてないからだよ
例えばF(x,y,z)=2x+3y+zとかx^2+y^2+z^2とかの時にそれぞれ(∂/∂x)zは何になるのか、何故そうなるのか、解答を書いてみて書いた文章の全ての行に自分でツッコミ入れてみて全部答えられるか考えてみたらいい
そもそも論として∂/∂xの厳密な数学的定義を読み直して
F(x,y,z)=2x+3y+z、(x,y,z)=(1,2,-8)のときとかで独立変数をx,yとしたときの∂z/∂x、x,zとしたときの∂z/∂x、x,y+z^2としたときの∂z/∂xとか計算してみたらいい
偏微分の記号の厳密な意味わかってないで問題もへったくれもない

547 ：１３２人目の素数さん：2020/08/29(土) 17:24:15.62 ID:ckKk+xu7.net

>>542
関数を扱うときに「独立変数」や「変数どうしの関係」なる謎概念は使わないでね
で、よく分からないけど>>533で5回出てくる∂F/∂yはすべてその意味で使ってる？

548 ：１３２人目の素数さん：2020/08/29(土) 18:34:05.01 ID:GFEIBWEz.net

>>547
「独立変数」という用語は、普通に使うでしょう。「xとyには、x=f(y)という関係がある。」というのは、その等式が成り立つという意味だよ。また、∂F/∂yの5回は同じ意味だよ。ただし、固定する変数が異なるときは独立な変数を読み替える必要がある。この値は、最初に設定した点(a,b,c)で評価するから同じになるよ。

549 ：１３２人目の素数さん：2020/08/29(土) 19:06:25.48 ID:ckKk+xu7.net

>>548
「独立変数」という用語をどうしても使いたいならその厳密な定義を書いてね
もちろん一階述語論理に即した形で
で、よく分からないんだけど>>533で証明したのは実数に関する等式？それとも関数に関する等式？関数に関する等式なら定義域はどこ？

550 ：１３２人目の素数さん：2020/08/29(土) 20:27:37.01 ID:aBtbXls1.net

他人を「偏微分の定義を理解していない」と認定しているこの偏微分厨は大学でやる偏微分の定義は嘘だと言いたいのか。

あと>>194と同様のレスを他のスレで見たときはxはy,z、yはx,z、zはx,yの関数とするってちゃんと書いてあったんだよね。
>>194はそこを省略してるのが問題なのかね。

551 ：１３２人目の素数さん：2020/08/29(土) 22:00:49.65 ID:WmScapNr.net

偏導関数が消えないという条件は不要？

552 ：１３２人目の素数さん：2020/08/29(土) 22:01:50.00 ID:WmScapNr.net

ああC^1級なら、十分近い点で常に成り立っていれば偏導関数の連続性から言えるのか

553 ：１３２人目の素数さん：2020/08/30(日) 00:38:25.82 ID:ZrvdpM03.net

>>550
関数とは集合のタプル(S, T, U)であって
U⊂S×T∧∀x∈S, ∃!y∈T, (x, y)∈U
を満たすもののことだけど、「xはy,zの関数である」とはどういう意味？

554 ：１３２人目の素数さん：2020/08/30(日) 10:16:02.38 ID:yvpJtH83.net

f(x1,...,xn)=0
df=f_1dx1+...+f_ndxn=0
f_idxi+f_jdxj=0 when (dx1,...dxn)=(0,...,0,dxi,0,...,0,dxj,0,...,0)
dxi/dxj=xi_j=-f_j/f_i when (dx1,...dxn)=(0,...,0,dxi,0,...,0,dxj,0,...,0)
x1_2x2_3....xn_1=(-1)^n

555 ：１３２人目の素数さん：2020/08/30(日) 10:57:34.76 ID:lcMYsTwf.net

またなんか出てきたw

556 ：１３２人目の素数さん：2020/08/30(日) 11:28:19.22 ID:yvpJtH83.net

>>553
f(x1,...,xn)=0 ⇔ f∈R^n={(x1,...,xn)|xi∈R}

557 ：１３２人目の素数さん：2020/08/30(日) 17:13:38.69 ID:ZrvdpM03.net

>>556
申し訳ないけど全く意味が分からない
fはR^nの元？なのにfが関数であるかのようにf(x1,...,xn)と書いてるらしいのも意味が分からないし、「xはy,zの関数である」の意味について聞いてるのにx1などが急に出てくるのも意味が分からないし、どれだけ好意的に解釈しようとしても君の主張が欠片も理解できない
日本語で書いて

558 ：１３２人目の素数さん：2020/08/30(日) 17:22:27.92 ID:yvpJtH83.net

>>557
分からなくてイイよ

559 ：１３２人目の素数さん：2020/08/30(日) 22:38:54.46 ID:2ZyABLQA.net

>>557
それは違う人

これあれだ
ある変数が別の変数の関数であるとはどういうことかは一応中学校の教科書に載っている。
だから中学生から大学入りたてぐらいまでは理解できる概念。

ところが関数を関数を集合で厳密に定義すると途端にこの概念は意味不明になる。
数学でよくある、先のことを学んでからその感覚で前のことを振り返ると、曖昧すぎて逆に分からなくなる現象。

そもそも変数とは何ぞや？ってなる。

560 ：１３２人目の素数さん：2020/08/30(日) 23:32:05.55 ID:yvpJtH83.net

>>559
>ところが関数を関数を集合で厳密に定義すると途端にこの概念は意味不明になる。
別に意味不明という程でもないだろ
関数はグラフで理解すべきなのはそれが登場した最初からそうなのだし
グラフが関数だという認識を持つべきと関数概念をハッキリさせただけ

561 ：１３２人目の素数さん：2020/08/31(月) 00:08:41.54 ID:zsdyswFL.net

まぁこの問題の定義域がどこかは実は重要な問題
もちろん元のx,y,zはR^3で定義されてる関数だけど、あの等式はFの零点集合である2次元多様体
M={(a,b,c) | F(s,b,c)=0}
に制限して得られる等式で∂/∂xなどもM上の関数に作用する微分作用素
関数x,y,zなどをM上の関数とみなすのは簡単
しかし微分作用素∂/∂xは「R^3の微分作用素∂/∂xをMに制限すれば自然に得られる」わけではない
なので(∂/∂x)zはなんかの但し書きがないと意味をなさない
どうもエスパーするとローカルには
x,yを局所座標として選んだFx,Fy、
y,zを局所座標として選んだDy,Dz、
z,xを局所座標として選んだEz,Ex
などがとれる(もちろん局所座標なんかアホほどあるから他にもできるけど)
そして本問ではDy(x)Ez(y)Fx(z)=-1がM上で成立する事を示せというもの
それを∂/∂xなどと書いたのではもちろん意味が通らない
そもそも定義域が違う
ちなみに上に書いたExとFxも別の微分作用素
xと組み合わせる局所座標関数の取り方で全部意味合いが違ってくる
まぁどっちかというと示されてる件の等式そのものより、そういう問題に出てくる記号の数学的定義がちゃんとわかってるかどうかの方がはるかに大切だろうな
そもそもこの話し突破できないと微分形式もへったくれもない

562 ：１３２人目の素数さん：2020/08/31(月) 00:14:38.34 ID:PZ/FFL1O.net

>>559
別人なのは察してた

まあだいたいそんな感じっぽいね
とはいえ高校生でも人によっては「微分は関数に対してするものなのにx^2+y^2=r^2という方程式の両辺を微分するってどういうことだ」みたいな部分とかから「変数」の曖昧さに疑問をもったりするとは思うけど
純粋数学の変数と応用数学や高校数学の変数ってたぶん全くの別物で、後者で使う変数っておそらく明確な定義がないのよね
後者の立場で書かれた文章を前者の立場に翻訳する一般的なテクを誰か資料にまとめてくれないかなあと思ってる

563 ：１３２人目の素数さん：2020/08/31(月) 23:21:18.91 ID:aleATQLL.net

それって実は
x^2+y^2=r^2
という二変数の代数方程式だったのを、
x^2+{f(x)}^2=r^2
という関数方程式として見てるんだよね。

564 ：１３２人目の素数さん：2020/09/01(火) 19:16:28 ID:2qjbTlF5.net

1630
学コン・宿題ボイコット実行委員会@gakkon_boycott 9月1日
#拡散希望
#みんなで学コン・宿題をボイコットしよう
雑誌「大学への数学」の誌上で毎月開催されている学力コンテスト(学コン)と宿題は、添削が雑で採点ミスが多く、訂正をお願いしても応じてもらえない悪質なコンテストです。(私も7月号の宿題でその被害に遭いました。)このようなコンテストに参加するのは時間と努力の無駄であり、参加する価値はありません。そこで私は、これ以上の被害者を出さないようにするため、また、出版社に反省と改善を促すために、学コン・宿題のボイコットを呼び掛けることにしました。少しでも多くの方がこの活動にご賛同頂き、このツイートを拡散して頂ければ幸いです。
https://twitter.com/gakkon_boycott/status/1300459618326388737
(deleted an unsolicited ad)

565 ：１３２人目の素数さん：2020/09/09(水) 23:12:05.66 ID:IR7822fG.net

↑の議論は何を問題にしてるの

566 ：１３２人目の素数さん：2020/09/13(日) 07:44:31.70 ID:lvD613sl.net

笠原 皓司 「対話･微分積分学」より
北：君たち、dx と書けば小さいもの、どんどん小さくなっていったもの、という感じが抜けきれないので困りますねえ。何も dx、dy、dz は小さくないのです。ただ
　　z - f(a,b) = α(x-a) + β(y-b)
で
　　dx = x-a,　dy = y-b,　dz = x-a,　z - f(a,b)
と置いただけですよ。

中：先生、そしたら一変数の関数のときでも
　　dy = f'(x)dx ･････ (#10)
と書いていいんですか。高校のときはdy/dx はワンセットで上下ばらばらにしてはだめだって教わったんですが。

北：(#1)は立派な接線の方程式です。高校のときでも
　　Y-y = f'(x)(X-x) ･････ (#11)
と書いたでしょう。それを大学では(#10)のように書くだけですよ。
　dy/dx を上下バラバラにしてはいけないという忠告は微分と微分係数の区別をはっきりさせない段階で、混乱を防ぐための便法であまりよい忠告ではありません。

567 ：１３２人目の素数さん：2020/09/13(日) 07:45:52.06 ID:lvD613sl.net

(続く）
中：何ですか、その微分と微分係数の違いというのは。
北：微分というのは上で説明したように近似1次関数のことです。これに対して微分係数というのはその近似一次関数の係数を意味します。関数自身とその係数は本来まったく別のものです。ところが1変数関数の場合
　　　　 f(x) - f(a)
　　lim ────── = f'(a)
　　x→a　　x - a
で微分係数を定義し、微分も(#10)から
　　 dy
　　── = f'(a)
　　 dx
とかけないことはありません。つまり1変数の場合、1つの係数だけで1次関数が決まってしまうため、関数の方を微分、係数の方を微分係数といったところであまり意味はないのです。
　しかし dy/dx を上下バラバラにしてはいけないという忠告はいろいろな害毒を流しましたね。第一にいま言った微分の意味をわからなくしてしまったこと。もっと大きな害毒は dx、dy が各々無限に小さいものという全くのナンセンスを若い諸君に植えつけてしまったことです。


　これを読んでますますわからなくなったwwwwwwwwww

568 ：１３２人目の素数さん：2021/01/17(日) 14:31:31.22 ID:ggmWRd3W.net

俺氏ようやく高木の解析が異論のΔx=dxの欺瞞を悟る

569 ：１３２人目の素数さん：2021/01/17(日) 15:21:20.06 ID:fibLPDsx.net

>>568
えらい

570 ：１３２人目の素数さん：2021/01/18(月) 17:20:27.40 ID:DZTf0z3I.net

dy/dx = y/x

571 ：１３２人目の素数さん：2021/05/21(金) 09:25:44.77 ID:CuseUkNz.net

>>568
欺瞞じゃないけど？

572 ：１３２人目の素数さん：2021/05/21(金) 16:50:03.26 ID:mYXW/zq9.net

それぞれがこだわることはあるもんだ、他人が気にする必要はない
自分だけが正義と主張する奴に気をつける必要はあるがな
河村とか高須とか

573 ：１３２人目の素数さん：2021/05/22(土) 21:40:26.85 ID:IgdV24Wf.net

モピロン
0＜(1+x)^(1/x)＜∞　⇒ x∈dx
∴
(1+x)^(1/x)=1/e ⇒ x∈dx ∧
(1+x)^(1/x)=1 ⇒ x∈dx ∧
(1+x)^(1/x)=e ⇒ x∈dx ∧
(1+x)^(1/x)=1000 ⇒ x∈dx ∧
(1+x)^(1/x)=∀正実数 ⇒ x∈dx
…という感じ

なお、この逆は成り立たない気がする

by 👾の霊感だから、地球🌏人には
　モチロン教えないでね。

574 ：１３２人目の素数さん：2021/05/27(木) 05:50:02.07 ID:Tm1jFoBY.net

φ: X → Y

∂∈TX, φ∂∈TY, f∈C∞Y
f→∂(f○φ)

d∈ΩY, φ*d∈ΩX, ∂∈TX
∂→dφ∂