これってどうなりますか？

1 ：１３２人目の素数さん：2019/12/06(金) 17:51:24 ID:Z47a2mN8.net

教えてください
https://i.imgur.com/1wnpSmH.jpg

2 ：１３２人目の素数さん：2019/12/06(金) 18:50:50.18 ID:p7y/STA0.net

＋無限大に発散

3 ：１３２人目の素数さん：2019/12/06(金) 19:28:14.00 ID:wdFT+9p7.net

太陽に焼かれる

4 ：１３２人目の素数さん：2019/12/20(金) 02:24:38.46 ID:yiLw1Jz8.net

2445
しろ@huwa_cororon 11月27日
苦節6ヶ月、初満点&一等賞です！
https://twitter.com/huwa_cororon/status/1199593474128896000
(deleted an unsolicited ad)

5 ：１３２人目の素数さん：2019/12/20(金) 19:44:09.93 ID:PmZ/hS5B.net

√2^(√2^(√2^(√2^(√2^(√2^(√2))))))
スマホ電卓では、1.95…となった。

直感で2だと予想するが、
厳密な証明は、イロイロチャチャが
入りそうで楽しみ。

誰か間違ってもいいから、その極限値
と、その値の証明記載しないかな

6 ：イナ ：2019/12/20(金) 20:07:46.57 ID:YrQye4gv.net

256は超えていく。
2^n(n→∞)だと思う。
{(√2)^(√2)}^(√2)=2なんだよ。
何回か(√2)乗したら4になってまた何回か(√2)乗したら2の何乗かの整数になったよ。
何回か(√2)乗して256になって、これは無限に2^nだよ。
(答え)∞

7 ：１３２人目の素数さん：2019/12/20(金) 20:29:28.71 ID:u2Jdn9yC.net

テトレーション問題ね
2011年の同志社で出された問題で2に収束する
先月12月号の大学への数学で特集になってた

>>6はアホで有名な奴だからスルー推奨

8 ：イナ ：2019/12/20(金) 20:59:49.21 ID:YrQye4gv.net

前>>6
>>7
{(√2)^(√2)}^(√2)=2だから、
2^(√2)＞2=2^1だと思うんだよ。
さらに(√2)乗していくと2をどんどん超えていくじゃないか。
どんどん大きくなって2に戻ってくることはないと思う。
それとも、さようならした女が戻ってくるか？　じゃあ逆に。

9 ：１３２人目の素数さん：2019/12/21(土) 02:00:21.44 ID:CpV80DwV.net

その式をxとおくところまでは分かった

10 ：１３２人目の素数さん：2019/12/21(土) 13:08:15.99 ID:EWAlKOof.net

>>7
テトレーションとの貴重情報 Thank U
これは、何だかオモシロイ。
設問は、無限反復指数関数のようだ。

で、無限大ダイスキ宇宙人から
テトレーションのテレパシー受信

EXCEL関数
A1セル : =2^0.5
A2セル : =(2^0.5)^A1
A3セル : =(2^0.5)^A2
A4セル : =(2^0.5)^A3
…
A∞セルは、2ですというテレパシーだ

とにかくオモシロイのだ。
2^0.5の代わりに1.4としてもほぼ2
でも、0.01とか、1.5とかにすると
予想外の値となルゥゥ。何これ

文学的に言えば
振られた女が、1.4なら戻ってくるが
振られた女は、1.5なら戻ってこない
振られた女が、0.1だと何これって感じ

11 ：イナ ：2019/12/21(土) 13:37:08.42 ID:q5Y63yec.net

前>>8
{(√2)^(√2)}^(√2)=2だから、その先は、
2^(√2)＞2
2＜2^(√2)＜{2^(√2)}^(√2)＜[{2^(√2)}^(√2)]^(√2)
延々と発散するじゃん。
>>2>>6>>8が正解だよ。

12 ：１３２人目の素数さん：2019/12/22(日) 00:41:46.81 ID:Nm5BZSre.net

>>11 それだと (...(((√2^√2)^√2)^√2)^...)^√2 の形ですが、
質問者のは √2^(...^(√2^(√2^(√2^√2)))...) ですね。

漸化式で書けば
x[1]= √2、x[n+1] = (√2 )^ x[n] = exp(ln√2 * x[n])

y = exp(ln√2 * x[n]) と y=x のグラフより(※)
lim{n→∞} x[n] = 2

他にも例えば
x[1] ∈ (2,4] なら lim{n→∞} x[n] = 4
x[1] ∈ (4,∞) なら lim{n→∞} x[n] = +∞

(※ 一目瞭然ですが、数式を連ねて示すのが正統派なのかもしれない)
http://o.5ch.net/1le39.png

13 ：１３２人目の素数さん：2019/12/22(日) 00:45:08.82 ID:Nm5BZSre.net

訂正:
x[1] ∈ (-∞,4) lim{n→∞} x[n] = 2
x[1] = 4 lim{n→∞} x[n] = 4
x[1] ∈ (4, +∞) lim{n→∞} x[n] = +∞

14 ：イナ ：2019/12/22(日) 01:45:01.32 ID:qRTpNfqO.net

前>>11
>>12そうです。そう解釈しました。
……の先の(√2)^(√2)から計算することはできないからです。最後とおぼしき(√2)はじつは最後ではなく、さらに(√2)乗する、それが……の意味するところだから、区切れません。
区切れるのは最初の(√2)の前。つまり最初の(√2)を(√2)乗するところからしか計算できません。出題者がとくに断りを書いてない以上、そう解釈するのが自然です。
{(√2)^(√2)}^(√2)
3個目の√2を乗じた段階で=2になり、……にいくころにはどんどん増えて2をはるかに超えてます。
∴無限大に発散する、が正解と考えられます。

15 ：１３２人目の素数さん：2019/12/22(日) 09:43:00.74 ID:Nm5BZSre.net

… (点々) の極限意図は出題側の定義次第なので、一概にどっちかは決められません。
一般的な組版では確かな違いがありますが、あの手書きから判断するのはちょっと難しいですね。
http://o.5ch.net/1le7i.png

16 ：１３２人目の素数さん：2019/12/22(日) 13:55:37.24 ID:CtNCJB0X.net

それが本当なら意外だ。だから早速、
それが本当か実験したっ。

【実験概要】
x[1]=★、x[n+1] = (√2 )^ x[n] 
★が、3.999の場合と
★が、ピッタリ4の場合と
★が、4.001の場合で実験だ。

【実験方法】
EXCELの関数で、実験だ
セルX1 : 3.999とか4とか4.001だ
セルX2 : =SQRT(2)^X1　だ
セルX3 : =SQRT(2)^X2　ま、X2コピペ
セルX4 : =SQRT(2)^X3　ま、X3コピペ
…
で、細い説明は省略ぅ。

【実験結果】
セルX1 : 3.999では、
　なんか、2に収束って感じ
セルX1 : 4では、
　ずっと4のままだ
セルX1 : 4.001では、
　最初は4より若干大きいだけ、でも
　その内、超々…指数関数的に増大

【結論】
　　・4付近で値が急変は意外。
　　・Excelは漸化式に強い

【超ヘンな感想文】
★=3.999の場合 2へ収束される
★=4の場合 4のままで収束しない
★=4.001の場合 +∞に超々~発散

設問の★が4より小さいかどうかが鍵
∞大に拡大すれば、ワカルンです。

17 ：１３２人目の素数さん：2019/12/23(月) 22:48:43.33 ID:Akky99Qg.net

特に注意書きでもない限り、
累乗の累乗って上から下向きに計算してくもんだと思ってたがなあ。
「演算子の優先順位」で検索しても、見たところは全部そう書いてあるし。

f(x)=x^x^x^…　は、
1/(e^e)≦x≦e^(1/e) でのみ定義されてるんだそうだ。

ソースはこの動画。
https://youtu.be/DmP3sFIZ0XE
動画内で詳細は説明されてないけど、論文の出処は書いてある。

18 ：１３２人目の素数さん：2019/12/24(火) 02:03:42.11 ID:T1jw55eQ.net

>>17
1/(e^e) はグラフ交点での傾き = -1 から決まる。これ "以下" では 数列 x[n] は振動する。
収束点候補の交点近傍に注目したら分かる。

e^(1/e) はグラフが接触する条件から決まる。これより大きいと行き場を失って発散する。
http://o.5ch.net/1lf5x.png