【万年】黒木玄を語ろう【助教】 その2

1 ：１３２人目の素数さん：2019/02/09(土) 23:02:17.14 ID:nz4J2NZS.net

過去スレ
【万年】黒木玄を語ろう【助教】
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966 ：１３２人目の素数さん：2023/05/25(木) 11:57:55.40 ID:uX1zSDVe.net

特に体ならば体である

967 ：１３２人目の素数さん：2023/05/25(木) 12:00:33.36 ID:uX1zSDVe.net

f(x)=a、f(y)=b
ab=f(x)f(y)=f(xy)=f(yx)=f(y)f(x)=ba
Rは可換環

968 ：１３２人目の素数さん：2023/05/25(木) 12:01:20.20 ID:uX1zSDVe.net

f(1)=eとする

969 ：１３２人目の素数さん：2023/05/25(木) 12:01:51.45 ID:uX1zSDVe.net

非可換環とする。単位元は持つ

970 ：１３２人目の素数さん：2023/05/25(木) 12:02:34.51 ID:uX1zSDVe.net

fは環同型写像とする

971 ：１３２人目の素数さん：2023/05/25(木) 12:09:13.69 ID:uX1zSDVe.net

ea=f(1)f(x)=f(1x)=f(x)=a
ae=f(x)f(1)=f(x1)=f(x)=a

972 ：１３２人目の素数さん：2023/05/25(木) 12:24:49.13 ID:uX1zSDVe.net

ab=00となったとする
ab=f(x)f(y)=f(xy)=00=f(0)
fは単射であるから
xy=0⇔x=0∨y=0
f(x)=f(0)⇔a=00
f(y)=f(0)⇔b=00
よってR'も整域である

fは同型写像なので全単射、1対1対応の写像

x≠0とする。fは同型写像とする
f(0x)=f(0)=f(0)f(x)
f(0)=0またはf(x)=e
xは任意であるからfの単射性によりf(x)=eとはならない。よってf(0)=0である

973 ：１３２人目の素数さん：2023/05/25(木) 12:29:22.13 ID:uX1zSDVe.net

この行列に複素数a+bi a, b∈ℝ
が対応する。
Mₙ≅ℂ
a+bi、-b+ai
(ab-ba)(1i)

974 ：１３２人目の素数さん：2023/05/25(木) 12:33:00.28 ID:uX1zSDVe.net

Mₙ→Hとすると
Mₙ≅H

975 ：１３２人目の素数さん：2023/05/25(木) 12:35:09.97 ID:uX1zSDVe.net

四元数体

976 ：１３２人目の素数さん：2023/05/25(木) 12:36:52.37 ID:uX1zSDVe.net

R(θ) S(φ)
-S(φ) R(θ)

≅H

977 ：１３２人目の素数さん：2023/05/25(木) 12:47:55.04 ID:uX1zSDVe.net

FⁿはF上の線型空間

978 ：１３２人目の素数さん：2023/05/25(木) 12:49:26.56 ID:uX1zSDVe.net

係数体Fがℝのとき実線型空間
実Vector空間

979 ：１３２人目の素数さん：2023/05/25(木) 12:50:07.51 ID:uX1zSDVe.net

係数体Fが複素数体ℂのとき
複素線型空間
複素Vector空間

980 ：１３２人目の素数さん：2023/05/25(木) 12:52:06.98 ID:uX1zSDVe.net

n次元数線型空間

981 ：１３２人目の素数さん：2023/05/25(木) 12:52:32.53 ID:uX1zSDVe.net

n次元数Vector空間

982 ：１３２人目の素数さん：2023/05/25(木) 12:53:42.39 ID:uX1zSDVe.net

Fは有限体でも良い

983 ：１３２人目の素数さん：2023/05/25(木) 12:58:36.07 ID:uX1zSDVe.net

和とScalar倍

984 ：１３２人目の素数さん：2023/05/25(木) 13:00:02.40 ID:uX1zSDVe.net

体FはF上の線型空間である

985 ：１３２人目の素数さん：2023/05/25(木) 13:00:46.80 ID:uX1zSDVe.net

Fⁿにおいてn=1とするとFとなる

986 ：１３２人目の素数さん：2023/05/25(木) 13:01:26.97 ID:uX1zSDVe.net

体F上の線型空間𝕍

987 ：１３２人目の素数さん：2023/05/25(木) 13:11:31.61 ID:uX1zSDVe.net

〈xᵢ〉で張られる線型空間

988 ：１３２人目の素数さん：2023/05/25(木) 13:12:39.51 ID:uX1zSDVe.net

体F上の線型空間
∑[k=1, n] aₖxₖ
線型結合

989 ：１３２人目の素数さん：2023/05/25(木) 14:04:58.31 ID:uX1zSDVe.net

ax=0
a∈F、x, 0∈𝕍
a≠0のときa⁻¹が存在し
a⁻¹ax=a⁻¹0⇔ex=0⇔x=0
x≠0のとき∀i、aᵢ=0

990 ：１３２人目の素数さん：2023/05/25(木) 15:25:16.40 ID:w/Z6glCt.net

0x+x=0x+ex=(0+e)x=ex=x
∴0x=0

a0+ax=a(0+x)=ax
∴a0=0
よつてa=0∨x=0⇒ax=0となる

991 ：１３２人目の素数さん：2023/05/25(木) 16:17:34.55 ID:ohl4kDhE.net

ax=0のとき
a=0⇒0x=0となる
a≠0のときa⁻¹が存在し
a⁻¹ax=a⁻¹0⇔x=0となる

992 ：１３２人目の素数さん：2023/05/25(木) 16:32:11.36 ID:ohl4kDhE.net

W+Uさ部分空間

993 ：１３２人目の素数さん：2023/05/25(木) 16:32:56.99 ID:ohl4kDhE.net

x+y∈W∩U
ax∈W∩U

994 ：１３２人目の素数さん：2023/05/25(木) 16:35:31.30 ID:ohl4kDhE.net

𝕍をℝ²としW=x=0、U=y=0とする
x+y=(1, )∉W∪Uである

995 ：１３２人目の素数さん：2023/05/25(木) 16:49:21.87 ID:ohl4kDhE.net

{x}が線型独立⇔x≠0

996 ：１３２人目の素数さん：2023/05/25(木) 16:49:52.42 ID:ohl4kDhE.net

{x}が線型従属⇔x=0

997 ：１３２人目の素数さん：2023/05/25(木) 17:13:33.69 ID:+1AbzU8k.net

x、y
ax+by
線型関係=0が自明な場合を除き成り立たない場合→線型独立
Sa+tb=0⇔s=t=0の場合のみ
st斜交座標系をなす

998 ：１３２人目の素数さん：2023/05/25(木) 18:10:27.04 ID:pFJpnmGs.net

〈x₁, x₂, …, xₙ〉
x₁、x₂が線型独立
a₁x₁+a₂x₂=0⇔a₁=a₂=0
少なくともx₁, x₂, , …, xₙは全て0ではない

999 ：１３２人目の素数さん：2023/05/25(木) 18:18:17.80 ID:pFJpnmGs.net

線型従属の時,
n個のVectorのうち少なくとも1つは他のVectorたちによって表される。従ってdim{x}≤n-1
よって少なくとも1つのVectorは0である。

1000 ：１３２人目の素数さん：2023/05/25(木) 18:20:53.63 ID:pFJpnmGs.net

全ての有限部分集合が線型独立⇒線型独立

1001 ：１３２人目の素数さん：2023/05/25(木) 18:21:57.31 ID:pFJpnmGs.net

少なくとも1つ有限集合で線型従属なものを含めば線型従属

1002 ：１３２人目の素数さん：2023/05/25(木) 18:24:38.05 ID:pFJpnmGs.net

線型空間𝕍の有限部分集合Sか0を含めばSは線型従属である

1003 ：１３２人目の素数さん：2023/05/25(木) 18:27:17.37 ID:pFJpnmGs.net

部分集合m≤n
必要ならば適当に順番を変えてVectorの本数のみに着目する

1004 ：１３２人目の素数さん：2023/05/25(木) 18:30:02.25 ID:pFJpnmGs.net

Tₘが線型従属⇒Sₙは線型従属
m≤n

1005 ：１３２人目の素数さん：2023/05/25(木) 18:34:30.78 ID:pFJpnmGs.net

唯1つのVectorxに対して
{x}が線型独立⇔x≠0∧a=0
{x}が線型従属⇒x=0∧aは任意

1006 ：１３２人目の素数さん：2023/05/25(木) 19:19:03.11 ID:5Qd5ahhu.net

𝕍ⁿのn本のVectorで0を表したい
∑ax=0
xᵢが線型独立⇒aは全て0となる
dim=n
xᵢが線型従属⇒aは全て0とは限らない、∀a≠0であっても∑ax=0となり得る。少なくとも1つのVectorは0となる。dim≤n-1

1007 ：１３２人目の素数さん：2023/05/25(木) 19:24:29.29 ID:5Qd5ahhu.net

ax+by+cz=0、y=kxのときk≠0
yが消去出来て
ax+bkx+cz=0
a+bk=0、c=0
a b c→a+bk 0 c
y成分は0ということになる
これは一意的ではなくxを消去しても良い。0 b+a/k c

1008 ：１３２人目の素数さん：2023/05/25(木) 19:28:31.69 ID:5Qd5ahhu.net

線型独立⇔∀Vector≠0、∀a=0
線型従属⇒∃Vector=0、∃a≠0
a+bk=0∧a, b, k≠0
例、a+3b=0、a=-3b≠0でも成り立つ

1009 ：１３２人目の素数さん：2023/05/25(木) 22:12:46.94 ID:m2dMq+bF.net

S⊂〈T〉⇒〈S〉⊂〈T〉

1010 ：１３２人目の素数さん：2023/05/25(木) 23:44:47.76 ID:NuyI8Gfn.net

何かと思ったら埋め立て荒らしか、

1011 ：１３２人目の素数さん：2023/05/26(金) 00:11:59.07 ID:cx0MXxRE.net

なんらかの都合の悪さを感じてやってるんだろうな

1012 ：１３２人目の素数さん：2023/05/26(金) 00:53:12.74 ID:DtiHd8B0.net

多項式f(x) 係数∈可換環R

1013 ：１３２人目の素数さん：2023/05/26(金) 00:54:59.11 ID:DtiHd8B0.net

単位元はx⁰=eと規約する

1014 ：１３２人目の素数さん：2023/05/26(金) 00:56:26.05 ID:DtiHd8B0.net

R上の多項式環R[x]

1015 ：2ch.net投稿限界：Over 1000 Thread

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