小中学校範囲の算数・数学の問題のスレ　Part 55

1 ：１３２人目の素数さん：2019/01/27(日) 21:06:17.60 ID:yWnx5HtY.net

小中学生の数学大好き少年少女！
ならびに小中学校範囲の算数・数学の問題で悩んでいる方！(年代を問わず)

分からない問題があったら気軽にレスしてください。
学校の宿題、塾の問題など幅広く扱っていきたいと思います。
文字の使い方等は>>2を参照のこと。

※あくまで小中学生のためのスレなので範囲外のものについては別スレに。
皆様のご協力よろしくお願いします。

前スレ
小中学校範囲の算数・数学の問題のスレ　Part 54
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1483872494/

969 ：１３２人目の素数さん：2020/09/02(水) 11:18:15.57 ID:aS8SLhhP.net

>>968
高校でも習った記憶がないな。

970 ：１３２人目の素数さん：2020/09/02(水) 11:31:23.24 ID:ftauqud+.net

要するにatan((√3)/2)が40°でない事を示せばいいわけだけど、数2以上の知識あればtanの3倍角で示せる
知らなくてもこんなのすぐ導出できるし
初等的にもできるだろうけど意味はないな

971 ：１３２人目の素数さん：2020/09/02(水) 14:39:29.55 ID:i1KE1wMl.net

>>967
ない

とだけ言っておく

972 ：イナ ：2020/09/02(水) 16:07:28.70 ID:oLFPYAp6.net

前>>962
>>967
R=16√3/3
この値は球とはなんの因果もないように見えて、
球の半径をr=16√3/3ぐらいにしたらいいんじゃないかな？
∠Aは90°を超えそうだけど。
ACも16√3/3がちょうどいいぐらい。

973 ：１３２人目の素数さん：2020/09/02(水) 19:28:26.71 ID:RoC6FTqa.net

>>970は元の>>940についてだね。
BC上にBD=4, CD=8となる位置に点Dを取ると△ABD側からAD⊥BD, AD=4√3 がいえるってことか。

∠Cをarctan(√3/2)=40.893…°に変えると存在するのね。

974 ：１３２人目の素数さん：2020/09/02(水) 20:15:39.55 ID:62Rt+r6G.net

球面三角形の余弦定理・正弦定理を満たす球の半径はR>12には存在しないから、条件を満たす球面三角形は存在しない。

975 ：１３２人目の素数さん：2020/09/02(水) 21:26:21.69 ID:62Rt+r6G.net

>>974
BCは大円の円周以下だから、Rは>12/(2π)以上で解は存在しないな。

976 ：１３２人目の素数さん：2020/09/02(水) 22:32:09.95 ID:62Rt+r6G.net

AB = 8, BC = 12, ∠B = 60°, ∠C = 40° のとき、
球面三角形ABCの存在する球の半径xを求めよ
という問題にして

中心角
a=BC/x=12/x
b=CA/x
c=AB/x=8/x
内角
B=pi*60/180=pi/3
C=pi*40/180=pi*2/9

sin(b)/sin(B)=sin(c)/sin(C) 正弦定理
cos(b)=cos(c)cos(a)+sin(c)sin(a)cos(B) 余弦定理
を適用して
sin(b)=sin(8/x)*sin(pi/3)/sin(pi*2/9)
cos(b)=cos(8/x)*cos(12/x)+sin(8/x)*sin(12/x)*cos(pi*2/9)

cos(b)^2+sin(b)^2=1で立式
(sin(8/x)*sin(pi/3)/sin(pi*2/9))^2+(cos(8/x)*cos(12/x)+sin(8/x)*sin(12/x)*cos(pi*2/9))^2=1

数値解を出すと
fn <- function(x)(sin(8/x)*sin(pi/3)/sin(pi*2/9))^2+(cos(8/x)*cos(12/x)+sin(8/x)*sin(12/x)*cos(pi*2/9))^2 -1
curve(fn(x),xlim=c(12/(2*pi),10),bty='l') ; abline(h=0,lty=3)
optimize(fn,c(6/pi,4))
(r1=uniroot(fn,c(6/pi,2.54),tol=1e-24)$root)
(r2=uniroot(fn,c(2.54,4),tol=1e-24)$root)

解が２つ出てきた
> (r1=uniroot(fn,c(6/pi,2.54),tol=1e-24)$root)
[1] 2.063988
> (r2=uniroot(fn,c(2.54,4),tol=1e-24)$root)
[1] 3.323372

977 ：イナ ：2020/09/02(水) 22:51:09.72 ID:oLFPYAp6.net

前>>972
>>967
AB=8,BC=12,∠A=60°を作図し、AからBCに垂線AHを下ろすとAH=4√3,BH=4,HC=8
△ABCが平面上にあるとするとピタゴラスの定理より、
AC=√(4√3)^2+8^2｝=4√7
8/4√7=2/√7=0.75592894601……
cos40°=0.76604444311……
HC/AC=8/4√7＜cos 40°
つまりACは平面だとじゅうぶん長い。
といってもほんのわずかだから、球体の半径をじゅうぶんとる必要があると考える。
∴△ABCは平面上には存在しないが、球体面上であれば存在すると考えられる。

978 ：１３２人目の素数さん：2020/09/02(水) 23:03:42.71 ID:h0vLgnmW.net

>>976
あるのコレ？
合ってる？
無理やろ？

979 ：イナ ：2020/09/02(水) 23:22:09.90 ID:oLFPYAp6.net

前>>977
>>967
水晶に、おっきい三角形とちっさい三角形が見えました。

980 ：１３２人目の素数さん：2020/09/02(水) 23:26:25.13 ID:RoC6FTqa.net

ふつう、球面三角形では辺の長さを180°以下とするから
12/R＜π 即ち R＞12/π=3.8197 が課せられるのだが、
この範囲にはたぶんない。

一辺だけ180°を超えることを許せば存在するみたいだ。
12/R＜2π かつ 8/R＜π
即ち R＞8/π=2.5464 でよいことになる。

どうやら
R=3.2722 のときに
(大円の半周は πR=10.279)

∠A=210.16°, ∠B=60°, ∠C=40,
AB=8, BC=12, BC=3.4175
(角度で表すと
AB/πR=0.7804=140.07°,
BC/πR=1.1707=210.11°,
AC/πR=0.3324=59.840°)

という解があると思う。

981 ：１３２人目の素数さん：2020/09/02(水) 23:37:53.17 ID:h0vLgnmW.net

>>980
なるほど
大円の優弧の方でできる可能性があったのか
気づかなかった

982 ：１３２人目の素数さん：2020/09/02(水) 23:51:28 ID:RoC6FTqa.net

>>976 には一ヶ所、余弦定理に入れる B の値にミスがある？
誤 cos(b)=cos(8/x)*cos(12/x)+sin(8/x)*sin(12/x)*cos(pi*2/9)
正 cos(b)=cos(8/x)*cos(12/x)+sin(8/x)*sin(12/x)*cos(pi/3)

すると自分と同じ値が出るかも。
ちなみに、球面三角形の内角を定義するあたりが高校範囲外たる理由だと思われる

983 ：１３２人目の素数さん：2020/09/02(水) 23:59:05.73 ID:7zGCxRUz.net

球面三角形は過去の学問で、実際の応用では回転行列に置き換わっている。

でも、行列は高校から追い出されたから使っちゃイカンのか？

984 ：１３２人目の素数さん：2020/09/03(木) 00:04:02.63 ID:0ZMkI57p.net

>>976
（立式間違いと数値修正）

959 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2020/09/02(水) 22:32:09.95 ID:62Rt+r6G
AB = 8, BC = 12, ∠B = 60°, ∠C = 40° のとき、
球面三角形ABCの存在する球の半径xを求めよ
という問題にして

中心角
a=BC/x=12/x
b=CA/x
c=AB/x=8/x
内角
B=pi*60/180=pi/3
C=pi*40/180=pi*2/9

sin(b)/sin(B)=sin(c)/sin(C) 正弦定理
cos(b)=cos(c)cos(a)+sin(c)sin(a)cos(B) 余弦定理
を適用して
sin(b)=sin(8/x)*sin(pi/3)/sin(pi*2/9)
cos(b)=cos(8/x)*cos(12/x)+sin(8/x)*sin(12/x)*cos(pi/3)

cos(b)^2+sin(b)^2=1で立式
(sin(8/x)*sin(pi/3)/sin(pi*2/9))^2+(cos(8/x)*cos(12/x)+sin(8/x)*sin(12/x)*cos(pi/3))^2=1

数値解を出すと
fn <- function(x)(sin(8/x)*sin(pi/3)/sin(pi*2/9))^2+(cos(8/x)*cos(12/x)+sin(8/x)*sin(12/x)*cos(pi/3))^2 -1
curve(fn(x),xlim=c(12/(2*pi),10),bty='l') ; abline(h=0,lty=3)
optimize(fn,c(6/pi,4))
(r1=uniroot(fn,c(6/pi,2.54),tol=1e-24)$root)
(r2=uniroot(fn,c(2.54,4),tol=1e-24)$root)

解が２つ出てきた
> (r1=uniroot(fn,c(6/pi,2.54),tol=1e-24)$root)
[1] 2.08421
> (r2=uniroot(fn,c(2.54,4),tol=1e-24)$root)
[1] 3.27225

985 ：１３２人目の素数さん：2020/09/03(木) 00:28:25.67 ID:0ZMkI57p.net

>>982
ご指摘の通りです。
そこを修正して同じ数値が出ました。

986 ：１３２人目の素数さん：2020/09/03(木) 03:21:12.51 ID:dsfFI9vN.net

よろしくお願いします。
ttp://get.secret.jp/pt/file/1599070740.png
この図は、三角形ＯＢＣに、底辺ＢＣに並行な線ＰＱと線ＡＤを書き加えたものです。
ＢＣの長さが14cm、ＡＤの長さが8cmです。

先日、相似比と面積比のことを教えていだだき勉強したのですが、
相似の三角形ＯＡＤとＯＢＣの面積の比は8*8：14*14＝16：49と分かりました。
よって面積比として、三角形ＯＡＤ：台形ＡＢＣＤ＝16：33となる、ということはわかりました。

そこで質問なんですが、同じく面積比として、
ＯＡＤ：ＡＰＱＤ：ＰＢＣＱ＝16：9：24となるそうなんですが、どうしてそうなるのかわかりません。

台形ＡＰＱＤと台形ＰＢＣＱの面積比を、どうやって確定すればいいのか、教えてください。

987 ：１３２人目の素数さん：2020/09/03(木) 03:23:31.45 ID:g1ssdHo3.net

>>980
それ、図示できる？

988 ：１３２人目の素数さん：2020/09/03(木) 03:30:16 ID:dsfFI9vN.net

もうひとつ質問です。中学受験用の問題でつまづきました。
ある問題への私の解答の何が間違っているのか指摘してください。

問題→「２時間に３分遅れる時計があります。この時計を午前６時に正確な時刻にあわせました。
この時計がその日の午後7時を指したとき、正確な時刻は７時何分ですか？」

私の考えは、
・２時間で３分なら、１時間で1.5分遅れるんだな。
・このアホ時計がAM6からPM7を指すまでに、現実には13時間＋（13*1.5分）が経っているはずだ。
・よって、このアホ時計が19時を指しているとき、正確な時間は19時19分30秒だ（だって13*1.5=19.5だから）

↑
これは間違いだそうです。正解は19時20分ジャストらしいです。私の何が間違っているんでしょうか？

989 ：１３２人目の素数さん：2020/09/03(木) 03:31:43 ID:g1ssdHo3.net

>>986
その条件だけでは確定しない
逆に、
ＯＡＤ：ＡＰＱＤ：ＰＢＣＱ＝16：9：24となるとき、ＰＱの長さを求めよ
とかいう問題ならわかる

990 ：１３２人目の素数さん：2020/09/03(木) 03:42:28 ID:dsfFI9vN.net

>>989

>>986です。

ひとつ書き忘れました。
APQD：PBCQ＝3：8という条件が問題にありました。

これでいかがでしょうか？

991 ：１３２人目の素数さん：2020/09/03(木) 03:44:53 ID:g1ssdHo3.net

>>988
＞・このアホ時計がAM6からPM7を指すまでに、現実には13時間＋（13*1.5分）が経っているはずだ。

ココが間違い

１時間に1.5分遅れる時計は、60分後に60-1.5分後を指すのであって、60+1,5分後に60分後を指す、のとは異なることに注意すべし

992 ：１３２人目の素数さん：2020/09/03(木) 03:48:45 ID:g1ssdHo3.net

>>990
その条件があれば確定する
ABCD＝APQD＋PBCQであることを利用して求めればよい

993 ：１３２人目の素数さん：2020/09/03(木) 04:13:24 ID:HwGeO5Ig.net

自分のもちょっと表記がおかしかった

∠A=210.16°, ∠B=60°, ∠C=40,
AB=8, BC=12, AC=3.4175
(角度で表すと
AB/R=2.4448=0.7782π=140.07°,
BC/R=3.6672=1.1673π=210.11°,
AC/R=1.0444=0.3324π=59.840°)
と書くべきか

>>987
（ ´∀`）つ https://dotup.org/uploda/dotup.org2245513.jpg
180度を超える角が思いのほかキモい

994 ：１３２人目の素数さん：2020/09/03(木) 04:30:10.40 ID:dsfFI9vN.net

>>991
ありがとうございました！もういちどよく考えてみます。

>>992
よく考えてみたらわかりました！！　ありがとうございました。

995 ：１３２人目の素数さん：2020/09/03(木) 09:08:25 ID:2sscVT4R.net

球面上だと凸の三角形をイメージするけど
凹三角形も可能じゃないかな。
これだと内角の和は180°より小さいと思う。

996 ：１３２人目の素数さん：2020/09/03(木) 09:12:18 ID:dtqt7yOK.net

>>995
ガウスボネがあるから無理やろ

997 ：１３２人目の素数さん：2020/09/03(木) 09:57:38.19 ID:2sscVT4R.net

こういうのも三角形と呼ぶのかな？

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/50/Long_circular_triangles_convex_concave.png/1280px-Long_circular_triangles_convex_concave.png

998 ：１３２人目の素数さん：2020/09/03(木) 10:14:48.68 ID:AC3DQaHX.net

>>997
赤と黄は問題ないな
青と緑はさすがに自己交叉してるとちょっとあかんやろ

999 ：イナ ：2020/09/03(木) 10:27:18.96 ID:X3Tfr0H/.net

前>>979
>>986
題意より△OAD:□ABCD=16:33
□APQD:□PBCQ=3:8=9:24(9+24=33だから)
∴△OAD:□APQD:□PBCQ=16:9:24

1000 ：イナ ：2020/09/03(木) 10:48:12.42 ID:X3Tfr0H/.net

前>>999
>>988
題意より時計は13時間に13×(3/2)=39/2分遅れる。
時計が午後7時のとき正確な時刻は午後7時19分30秒。
何時何分かと問うたはるから、19分か20分か。
その30秒が経たないと分針は動かないか正確な時刻で19分30秒遅れているとき、時計は20分遅れている。
∴午後7時20分

1001 ：１３２人目の素数さん：2020/09/03(木) 11:41:26.63 ID:7p7EW6Y9.net

どんなに頑張っても“内角”の和がπ以下になることはないな
３つの相異なる大円がわける８つ領域のうち少なくともひとつは内角が全て鈍角でないものが取れる
その内角をπ/2-a,π/2-b,π/2-cとすると８つの三角形の内角はπ/2±a, π/2±b, π/2±cとするとガウスの定理より
π/2±a±b±c>0
この3円の円弧からどう“三角形”を作っても、ひとつの角はπ/2±aか3π/2±a
残りの二つも同様でどうあがいても三角の和がπ以下にはなれない

1002 ：１３２人目の素数さん：2020/09/03(木) 11:48:40.44 ID:7p7EW6Y9.net

>>1001
証明間違ってる
撤回
でもまぁなさそう

1003 ：１３２人目の素数さん：2020/09/03(木) 11:50:10.21 ID:nXHPI3+8.net

>>1000
違うよ。

1004 ：１３２人目の素数さん：2020/09/03(木) 11:54:39.01 ID:nXHPI3+8.net

>>1000
ふざけてるんだったらやめて欲しい。

1005 ：１３２人目の素数さん：2020/09/03(木) 12:09:20.53 ID:FNYVyrwP.net

本気だからタチ悪いんだよ

1006 ：１３２人目の素数さん：2020/09/03(木) 12:27:30.81 ID:7p7EW6Y9.net

いや、さすがにふざけてんだと思うよ
よくいるじゃん、何にでも“ちょける”やつ
それのいい歳した大人版

1007 ：１３２人目の素数さん：2020/09/03(木) 12:31:10.81 ID:nXHPI3+8.net

本気なんだったとしたら、ちゃんと間違いを認めて訂正して欲しい。
なんか質問者をバカにしてるようで、見ててすごく不快だ。

1008 ：１３２人目の素数さん：2020/09/03(木) 12:39:04.26 ID:jfdFZiNU.net

>>1002
りんごに凹三角形を書いてみた。

https://i.imgur.com/WQdmjSS.jpg

1009 ：１３２人目の素数さん：2020/09/03(木) 13:29:42.02 ID:7p7EW6Y9.net

>>1008
それgeodesicでない

1010 ：イナ ：2020/09/03(木) 13:31:54.45 ID:X3Tfr0H/.net

前>>1000
>>988
先に出題者が答え言っちゃってるんでおもしろくもなんともないけど、この問題に対する答案としていいボケがとくに浮かばなかったからまともに答えた。

1011 ：イナ ：2020/09/03(木) 13:37:08.62 ID:X3Tfr0H/.net

前>>1010訂正。
>>988
題意より時計は13時間に13×(3/2)=39/2分遅れる。
時計が午後7時のとき正確な時刻は午後7時19分30秒。
何時何分かと問うたはるから、19分か20分か。
その30秒が経たないと分針は動かないから正確な時刻で19分30秒遅れているとき、時計は20分遅れている。
∴午後7時20分

1012 ：イナ ：2020/09/03(木) 13:42:16.26 ID:X3Tfr0H/.net

前>>1011訂正。
>>988
題意より時計は13時間に13×(3/2)=39/2分遅れる。
時計が午後7時のとき正確な時刻は午後7時19分30秒。 7時何分かと問うたはるから、19分か20分か。
その30秒が経たないと分針は動かないから正確な時刻で19分30秒遅れているとき、時計は20分遅れている。
∴午後7時20分
午後はつけといたほうがいいと思う。

1013 ：１３２人目の素数さん：2020/09/03(木) 14:05:38.09 ID:jfdFZiNU.net

>>1009
点線も実践も長さは同じだと思うんだが、
https://i.imgur.com/qm1lKBZ.jpg

1014 ：１３２人目の素数さん：2020/09/03(木) 14:06:40.96 ID:nS6n2NXV.net

>>988
正確な時計とアホ時計の進む時間の比は120:117。
で、アホ時計が780分進む間に正確な時計は780×(120/117)=800分進む。
よって7時20分ちょうど。

一応な。

1015 ：１３２人目の素数さん：2020/09/03(木) 14:34:30.02 ID:7p7EW6Y9.net

>>1013
球面幾何学なら測地線は大円しか許されない

1016 ：イナ ：2020/09/03(木) 15:25:38.30 ID:X3Tfr0H/.net

前>>1012別解。
>>988
2時間で3分遅れる時計は、
13時間20分後、
(13+1/3)(3/2)=39/2+1/2=20(分)遅れる。
∴午後7時20分

1017 ：１３２人目の素数さん：2020/09/03(木) 16:18:30.09 ID:FNYVyrwP.net

それは検算

1018 ：2ch.net投稿限界：Over 1000 Thread

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