(1+1/n)^n→e の恐怖

13 ：１３２人目の素数さん：2019/04/15(月) 03:52:51.64 ID:8IDqhR4r.net

数セミ増刊「数学の問題〜エレ解をもとむ〜」第(1)集、日本評論社（1977)
　●4

14 ：１３２人目の素数さん：2019/11/06(水) 00:22:10.19 ID:Its/QXR1.net

〔問題２〕
　a_n = (1 + 1/n)^n
　b_n = (1 + 1/n)^(n+1)
　c_n = (1 + 1/n)^(n+1/2)
とおくとき、nが増加すると a_n は増加し、
b_n と c_n は減少することを証明せよ。
　(数学検定 １級 2次[2]改、2011年･秋)

採点者「微分法を使うのは･････本末転倒の感がある。」

数検総合スレpart13 - 559-560
数検1級合格4 - 236,237
数検1級スレ - 195,196
分かスレ４５６ - 289,290
//suseum.jp/gq/question/3120
//www.casphy.com/bbs/highmath/472060/ 不等式２ - 363

15 ：１３２人目の素数さん：2019/11/06(水) 00:24:35.56 ID:Its/QXR1.net

(略解)
(a)
　a_n / a_{n-1} = (1 +1/n)^n (1 -1/n)^(n-1),
　{1,････,1,(1-1/n)} のn個でAM-GMすると
　　n-1個
　(1 -1/nn)^n > 1 -1/n,
∴　a_n / a_{n-1} = (1 +1/n)^n (1 -1/n)^(n-1) > 1,

(b)
　b_n / b_{n-1} = (1 +1/n)^(n+1) (1 -1/n)^n,
　{1,････,1,n/(n-1)} のn+1個で AM-GMすると
　　n個
　{nn/(nn-1)}^(n+1) > n/(n-1),
∴　b_n / b_{n-1} = (1 +1/n)^(n+1) (1 -1/n)^n < 1,

(c)
　　c_n / c_{n-1} = (1 +1/n)^(n+1/2) (1 -1/n)^(n-1/2),
二項公式を使うと
　(1 -1/nn)^(n+1/2)
　　= 1 - (n+1/2)/nn + (n+1/2)(n-1/2)/(2n^4) - ････
　　= 1 - 1/n - 1/(2nn) + (nn-1/4)/(2n^4) - ････
　　< 1 - 1/n - 1/(2nn) + 1/(2nn)
　　= 1 - 1/n,
∴　c_n / c_{n-1} = (1 +1/n)^(n+1/2) (1 -1/n)^(n-1/2) < 1.

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//www.casphy.com/bbs/highmath/472060 不等式２ - 363

16 ：１３２人目の素数さん：2019/11/08(金) 01:21:45.06 ID:DXX0U4bp.net

>>14
〔第１問〕
すべての正の実数xに対して
　(1+1/x)^x < e < (1+1/x)^(x+1/2),
が成り立つことを示せ。
ただし　e = lim[t→∞] (1+1/t)^t　とする。

東大理系数学 (2016年) 第1問
http://www.youtube.com/watch?v=T1Wxg4Aoj4c 12:44

17 ：１３２人目の素数さん：2019/11/16(土) 17:05:30 ID:c8Gst240.net

〔補題〕
(a)　n! > n^n / e^(n-1),
(b)　n! < n^(n+1) / e^(n-1),
(c)　n! < n^(n+1/2) / e^(n-1),

(略証)
(a)　>>14 より
　(1+1) < (1+1/2)^2 < (1+1/3)^3 < ････ < {1+1/(n-1)}^(n-1) < e,
すなわち
　2 < (3/2)^2 < (4/3)^3 < ････ < {n/(n-1)}^(n-1) < e,
右のn-1項を掛け合わせて
　n^n / n! < e^(n-1),

(b)　>>14 より
　(1+1)^2 > (1+1/2)^3 > (1+1/3)^4 > ････ > {1+1/(n-1)}^n > e,
すなわち
　2^2 > (3/2)^3 > (4/3)^4 > ････ > {n/(n-1)}^n > e,
右のn-1項を掛け合わせて
　n^(n+1) / n! > e^(n-1),

(c)　>>14 より
　(1+1)^(3/2) > (1+1/2)^(5/2) > (1+1/3)^(7/2) > ････ > {1+1/(n-1)}^(n-1/2) > e,
すなわち
　2^(3/2) > (3/2)^(5/2) > (4/3)^(7/2) > ････ > {n/(n-1)}^(n-1/2) > e,
右のn-1項を掛け合わせて
　n^(n+1/2) / n! > e^(n-1),

18 ：１３２人目の素数さん：2019/11/17(日) 03:32:33.61 ID:bVYW1FCH.net

〔応用問題〕　
(a)　(2n)! / n! > (4n/e)^n,
(b)　(2n)! / n! < 2(4n/e)^n,
(c)　(2n)! / n! < (√2)(4n/e)^n,

(略証)
　(1+1/n)^(n+a), {1+1/(n+1)}^(n+1+a), ･････, {1+1/(2n-1)}^(2n-1+a)
すなわち
　{(n+1)/n}^(n+a), {(n+2)/(n+1)}^(n+1+a), ･････, {2n/(2n-1)}^(2n-1+a)
のn個を掛け合わせると
　(2^a)(4n)^n･n!/(2n)!,
これと e^n と比べる。　>>14

19 ：１３２人目の素数さん：2019/11/17(日) 15:12:20.48 ID:bVYW1FCH.net

スターリングの公式
　n! ≒ n^(n+1/2) e^{-n + 1/(12n)} √(2π)
と比べてみると････

>>17(c) は真値の約 1.08444 倍。

>>18(c) は真値の約 exp(1/(24n))倍。n→∞ では１に近づく。

20 ：１３２人目の素数さん：2019/11/21(木) 03:25:27.48 ID:csjb64+h.net

スターリングの公式を使えば
a_n = (1+1/n)^n = e^{1 + 1/[12n(n+1)]} /√(1+1/n)
　≒ e{1 - 1/(2n) + 11/(24nn) - 7/(16n^3)}
　≒ e{1 - 1/[2(n + 11/12)]},
ゆえ
　d_n = (n +23/12)a_{n+1} - (n +11/12)a_n,
の方が早く収束する。

[分かスレ４５．454-456,461]

21 ：１３２人目の素数さん：2019/11/21(木) 19:30:35.96 ID:csjb64+h.net

スターリングの公式を使えば
b_n = (1 +1/n)^(n +1/2) = e^{1 + 1/[12n(n+1)]}
　≒ e{1 + 1/[12n(n+1)]},
ゆえ
　d_n = ((n/2) + 1)b_{n+1} - (n/2)b_n,
の方が早く収束する。

22 ：１３２人目の素数さん：2020/05/05(火) 13:46:39 ID:H2fT6dc1.net

世界最古の数学書として知られるエジプトのリンド・パピルス
（1650 BC）には有名な円積問題に関連して
　　√10 =（4/3)^4 = 3.160494
と看做したことに相当する解法が述べられているとか。

23 ：１３２人目の素数さん：2020/05/05(火) 15:44:23 ID:H2fT6dc1.net

(略解)
(1+1/n)^(n+1）= e･√(1+1/n）=（1 + 1/2n)e,

n=3 とすると
　(4/3)^4 =（7/6)e = 19/6 = √10,
ここで e = 19/7 とした。
エジプトの人がこうやって求めたとは思えないけど。

24 ：１３２人目の素数さん：2020/06/07(日) 08:42:53 ID:iuWMJ9OX.net

2項分布
　C[n,k] p^k (1-p)^(n-k)　　　　(0<p<1)
は 1 << k << n のとき、正規分布
　N(np+(p-1/2), (n+1)p(1-p))
で近似できる。

25 ：１３２人目の素数さん：2020/06/08(月) 00:24:56.49 ID:4nsS10XA.net

　μ = (n+1)p - 1/2 + (p-1/2)/{12(n+1)p(1-p)},　　　(0<p<1)
　σ^2 = (n+1)p(1-p),

しかし非対称な（歪度≠0）ものを対称な関数で近似するのは････だ

26 ：１３２人目の素数さん：2020/06/08(月) 07:53:24.43 ID:4nsS10XA.net

　σ^2 = {n+1 - 1/(2(n+1))}p(1-p),

27 ：１３２人目の素数さん：2020/08/09(日) 13:15:01.99 ID:JWKFohD3.net

?

28 ：１３２人目の素数さん：2020/08/09(日) 13:22:16.55 ID:PffM3EMx.net

1+1/2!+1/3!+1/4!+…
= lim (1+1/n)^n

になる証明おせーて

29 ：１３２人目の素数さん：2020/08/09(日) 13:51:41.85 ID:xetTFeYP.net

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30 ：１３２人目の素数さん：2020/08/22(土) 00:21:48.34 ID:PIye8TW8.net

指数関数は任意の環に対して定義できるのでしょうか

31 ：１３２人目の素数さん：2020/08/22(土) 00:35:24.20 ID:bDgw3N62.net

標数有限だと階乗分の1をどう扱うのだろう？

32 ：１３２人目の素数さん：2020/08/25(火) 19:06:31.18 ID:LqiSh/C2.net

eのp進版とかあるの？

33 ：１３２人目の素数さん：2020/08/26(水) 10:21:01.47 ID:8ae+cQFx.net

ある

https://en.wikipedia.org/wiki/P-adic_exponential_function

34 ：１３２人目の素数さん：2020/09/01(火) 19:30:27.51 ID:2qjbTlF5.net

3030
学コン・宿題ボイコット実行委員会@gakkon_boycott 9月1日
#拡散希望
#みんなで学コン・宿題をボイコットしよう
雑誌「大学への数学」の誌上で毎月開催されている学力コンテスト(学コン)と宿題は、添削が雑で採点ミスが多く、訂正をお願いしても応じてもらえない悪質なコンテストです。(私も7月号の宿題でその被害に遭いました。)このようなコンテストに参加するのは時間と努力の無駄であり、参加する価値はありません。そこで私は、これ以上の被害者を出さないようにするため、また、出版社に反省と改善を促すために、学コン・宿題のボイコットを呼び掛けることにしました。少しでも多くの方がこの活動にご賛同頂き、このツイートを拡散して頂ければ幸いです。
https://twitter.com/gakkon_boycott/status/1300459618326388737
(deleted an unsolicited ad)

35 ：１３２人目の素数さん：2020/09/02(水) 16:24:44.72 ID:fCej1xmg.net

eて1の無限コピーをする時にプラス方向に無限小ずれるのを無限回やったらどうなるかじゃん？
0の無限コピーをする時に無限小ずれるのを許したらどうなんのやろって。

36 ：１３２人目の素数さん：2020/09/15(火) 21:40:25.58 ID:oug42vb/.net

>>32
ある

37 ：１３２人目の素数さん：2020/09/17(木) 16:12:32.25 ID:JAjT4ATP.net

>>16
示すべき式を ☆ とする。
f(x) = log(左辺) = x･log(1+1/x)　とおく。
f '(x) = log(1+1/x) - 1/(x+1)　→ 0　(x→∞)
f "(x) = -1/{x(x+1)^2} < 0,
∴　f '(x) > 0,
題意より　lim[x→∞] f(x) = log(e),
∴　f(x) < log(e),
(1+1/x)^x = exp{f(x)} < e　…　(1)

g(x) = log(右辺) = (x+1/2)log(1+1/x)　とおく。
g '(x) = log(1+1/x) - 1/(2x) - 1/{2(x+1)}
　　　→ 0　　(x→∞)
g "(x) = 1/{2xx(x+1)^2} > 0,
∴　g '(x) < 0,
題意より　lim[x→∞] g(x) = log(e),
∴　log(e) < g(x),
∴　e < exp{g(x)} = (1+1/x)^{x+1/2}　…　(2)
(1),(2)より ☆は成り立つ。

38 ：１３２人目の素数さん：2020/09/17(木) 17:59:45.14 ID:JAjT4ATP.net

x≧1 に限れば、マクローリン展開でも…

log(1+1/x) = ∫[0,1/x] 1/(1+u) dx
　= ∫[0,1/x] (1 - u + u^2 - u^3 + u^4 - ････) du
　= [ u -(1/2)u^2 +(1/3)u^3 /3 -(1/4)u^4 +(1/5)u^5 - ････](0,1/x)
　= 1/x - 1/(2x^2) + 1/(3x^3) - 1/(4x^4) + 1/(5x^5) - ････

f(x) = x･log(1+1/x)
　= 1 - 1/(2x) + 1/(3x^2) - 1/(4x^3) + 1/(5x^4) - ････
　= 1 - {1/(2x) - 1/(3x^2)} - {1/(4x^3) - 1/(5x^4)} - ････
　< 1,

g(x) = (x+1/2)log(1+1/x)
　= (x+1/2){1/x - 1/(2x^2) + 1/(3x^3) - 1/(4x^4) + 1/(5x^5) - ････}
　= 1 + (1/12)(1/x^2 - 1/x^3) + (1/120)(9/x^4 - 8/x^5) + ････
　= 1 + Σ[k=1,∞] {1/(4(2k+1))}･{(2k-1)/k／x^{2k}) - 2k/(k+1)／x^{2k+1} }
　> 1,

∵　(2k-1)/k - 2k/(k+1) = (k-1)/(k(k+1)) ≧ 0,

39 ：１３２人目の素数さん：2020/09/21(月) 07:49:00.15 ID:z8CeEVDW.net

>>23
　√10 = 19/6,

(略証)
　10 = (10/3)･3
　　= {(10/3 + 3)/2}^2 - {(10/3 - 3)/2}^2
　　= (19/6)^2 - (1/6)^2,

40 ：盗聴盗撮犯罪者・色川高志が嫌がらせをしつこく継続：2021/03/30(火) 17:46:07.72 ID:mvMvg5Js.net

色川高志（葛飾区青戸６−２３−２１ハイツニュー青戸１０３）
●色川高志「高添沼田の息子の金属バット集団殴打撲殺を熱望します」
龍神連合五代目総長・高添沼田の息子（葛飾区青戸６−２６−６）の挑発
●高添沼田の息子「糞関東連合文句があったらいつでも俺様を金属バットで殴り殺しに来やがれっ!! 糞関東連合の見立・石元・伊藤リオンの糞野郎どもは
龍神連合五代目総長の俺様がぶちのめしてやるぜっ!! 賞金をやるからいつでもかかって来いっ!!　糞バエ関東連合どもっ!! 待ってるぜっ!!」(挑戦状)

492盗聴盗撮犯罪者色川高志（青戸６−２３−２１ハイツニュー青戸１０３2021/02/03(水) 13:53:22.55ID:QtP78E4Z
●青戸六丁目被害者住民一同「盗聴盗撮犯罪者の高添沼田ハゲエロ老義父の逮捕を要請します」
色川高志（盗聴盗撮犯罪者の高添沼田ハゲエロ老義父を逮捕に追い込む会＆被害者の会会長）住所＝東京都葛飾区青戸6−23−21ハイツニュー青戸103
●盗聴盗撮つきまとい嫌がらせ犯罪者／アナル挿入食糞愛好家で息子の嫁で自慰行為をしている高添沼田ハゲエロ老義父
高添沼田ハゲエロ老義父の住所＝東京都葛飾区青戸6−26−６
【通報先】亀有警察署＝東京都葛飾区新宿4ー22ー19　�рO３ー３６０７ー０１１０

盗聴盗撮つきまとい嫌がらせ犯罪者／アナル挿入食糞愛好家で息子の嫁で自慰行為をしている高添沼田ハゲエロ老義父の盗聴盗撮つきまとい嫌がらせ犯罪者／愛人変態メス豚家畜清水婆婆（青戸6−23−19）の
五十路後半強制脱糞
http://img.erogazou-pinkline.com/img/2169/scatology_anal_injection-2169-027.jpg
アナル挿入食糞愛好家で息子の嫁で自慰行為をしている高添沼田ハゲエロ老義父によりバスタ