なぜeやπは様々な性質を持つのか？

1 ：１３２人目の素数さん：2018/11/19(月) 00:46:39.19 ID:siseiZTP.net

無理数なんて他にも沢山あるのになぜこの二つだけ登場回数が多いのか？

2 ：１３２人目の素数さん：2018/11/19(月) 00:58:15.17 ID:UVFj5Xt+.net

すごいよね

πもすごいけど、
微分されてもい積分されても全く動じないeはマジですごいと思う

3 ：１３２人目の素数さん：2018/11/19(月) 01:07:53.93 ID:PdSVbhZH.net

最初は図形で出てきたのに、統計学で出てくるπも凄いね

4 ：１３２人目の素数さん：2018/11/19(月) 01:09:40.70 ID:guFDMZ6h.net

使われる頻度が多いから。人間は三角関数とか指数関数をよく使うだろ？だからeとかπとかの性質が多く発見されてる。

5 ：１３２人目の素数さん：2018/11/19(月) 01:15:23.06 ID:KBBtU0PY.net

実はπやe以外にもそういう存在があるのか？
あるいは人間がそのように数学を作ったからそういう存在が見いだされてるだけなのか
今の数学体系はこの世界の仕組みから導かれる必然なのか人間がたまたま作った偶然の結果なのか
人間ではない他の知的生命体が数学のようなものを作ったら全く別のものが出来上がる可能性はあるのか気になった

6 ：１３２人目の素数さん：2018/11/19(月) 01:27:06.90 ID:KBBtU0PY.net

数学って幾何から生まれた部分と、ものの個数とかを数えるところから発展してきたはずだから、
この世界の仕組みが変わらなければ誰がやっても大体同じような数学体系になるのかな

7 ：１３２人目の素数さん：2018/11/19(月) 01:49:43.93 ID:CbhPHWeI.net

√2

8 ：１３２人目の素数さん：2018/11/19(月) 10:16:20.83 ID:6LGLLZZ9.net

eとπとiが代数的に独立じゃないことを主張するのが例のオイラーの公式。
解析的にも幾何学的にもか。

9 ：１３２人目の素数さん：2018/11/19(月) 12:49:22.89 ID:+0GlWUcR.net

＞eとπとiが代数的に独立じゃないことを主張するのが例のオイラーの公式。

何言ってんの

10 ：１３２人目の素数さん：2018/11/19(月) 19:40:16.87 ID:cQDY2WAM.net

e+πが無理数かどうかすらわかってないのにな
（e+π, e*πのいずれかは無理数）

11 ：１３２人目の素数さん：2018/11/19(月) 22:01:34.49 ID:UVFj5Xt+.net

ちょっと脇道にそれるけど、無理数と有理数の個数(?)の比ってわかってるんだっけ

12 ：１３２人目の素数さん：2018/11/19(月) 22:41:04.08 ID:Us25DtOZ.net

無理数の方が圧倒的に多い

13 ：１３２人目の素数さん：2018/11/20(火) 00:28:50.08 ID:vn8Rd3zq.net

eとπの超対称性不等式
　(e + π+π)/3 > 3 > (eππ)^(1/3),

14 ：１３２人目の素数さん：2018/11/20(火) 01:12:33.73 ID:vn8Rd3zq.net

eとπの超対称性不等式
13(e+π+π)/3 + (eππ)^(1/3) = (13+1)･3 = 42,

15 ：１３２人目の素数さん：2018/11/20(火) 01:21:15.33 ID:kI/Et8mN.net

どっちも二次曲線に関係する量だからだろ

16 ：１３２人目の素数さん：2018/11/20(火) 05:02:40.99 ID:JUvx8C3X.net

日蓮って天才なの？

17 ：１３２人目の素数さん：2018/11/20(火) 17:27:25.61 ID:vn8Rd3zq.net

>>13 >>14

(e+π+π)/3 = 3.000489045212877

(eππ)^(1/3) = 2.993629678783071

e^π -π = 19.999099979189475767

e^6 -π^5 -π^4 = 0.0000176734512321

18 ：１３２人目の素数さん：2018/11/20(火) 22:37:44.55 ID:Yxiiwnov.net

>>13
なんでπだけ2回使ってんの？

19 ：１３２人目の素数さん：2018/11/20(火) 23:07:01.88 ID:vn8Rd3zq.net

>>18
e ≒ 19/7 = 3 - 2/7 = 2.7142857…
π ≒ 22/7 = 3 + 1/7 = 3.142857…
らしいです。

20 ：１３２人目の素数さん：2018/11/21(水) 10:21:56.10 ID:rtFhNBMZ.net

>>19
これは良情報だ
サンクス

21 ：１３２人目の素数さん：2018/11/21(水) 15:47:33.03 ID:Se83NkLA.net

>>19
　π - e = 69/163

>>10
(e+π) + e^π = 29.00056711482810748

円周率について語り合おう【π】 - 202, 216, 217, 218
にもあるyo.

22 ：１３２人目の素数さん：2018/11/22(木) 00:13:03.40 ID:RtIdpuzT.net

超越数論マニアなら「周期」ぐらい読んでるよね？

23 ：１３２人目の素数さん：2018/11/22(木) 02:48:28.69 ID:Vdp3w8OO.net

>>11って結局わかってないってことかな

24 ：１３２人目の素数さん：2018/11/22(木) 04:20:45.77 ID:X48rsjn3.net

個数の比って∞じゃないの？
有理数の存在確率？は0でしょ

25 ：１３２人目の素数さん：2018/11/22(木) 12:28:32.86 ID:BerRWiUo.net

f(x)=x+e のような写像を使って無理数の部分集合と有理数の全体とを1対1対応させることはできる。その逆はできない
よって無理数の個数のほうが有理数の個数より大きいと言える

比がどうかという話はまだ別かも

26 ：１３２人目の素数さん：2018/11/22(木) 13:33:01.59 ID:C9lyMD48.net

>>14
6桁しか合わねーじゃん

27 ：１３２人目の素数さん：2018/11/22(木) 13:48:31.69 ID:Tp3N7JYh.net

>>25
いやその理屈はおかしい

28 ：１３２人目の素数さん：2018/11/22(木) 15:27:20.44 ID:x/Au2Ugh.net

>>13 >>14

G = (eππ)^{1/3} = 1/(50π),

29 ：１３２人目の素数さん：2018/11/22(木) 15:30:40.56 ID:x/Au2Ugh.net

>>13 >>14
　 訂正ｽﾏｿ

G = (eππ)^{1/3} = ３ − 1/(50π),

30 ：１３２人目の素数さん：2018/11/22(木) 18:17:14.68 ID:ATUxW6jZ.net

実数でルベーグ測度を考えると有理数全体の集合だけでなく
代数的数全体の集合も測度ゼロ
代数的整数論はメジャーゼロのナンセンスな研究w
これからは超越数の時代

31 ：１３２人目の素数さん：2018/11/23(金) 13:24:12.63 ID:+htPbX+P.net

扱える超越数も測度ゼロ

32 ：１３２人目の素数さん：2018/11/23(金) 17:41:23.77 ID:vTYG9pAl.net

>>24
例えば数直線上の実数を0から一個ずつ数えながら比を計算していけば、その無限遠までの比は
ある値に収束する可能性が微レ存じゃないの

33 ：１３２人目の素数さん：2018/11/23(金) 22:17:54.81 ID:CR/rkH54.net

>>32
自分が何を言ってるか数学の言葉で書いてみ

34 ：１３２人目の素数さん：2018/11/23(金) 23:30:05.06 ID:vTYG9pAl.net

>>33
伝わるかわからないけど、

有理数なら1、無理数なら0を返す関数yuri(x)
無理数なら1、有理数なら0を返す関数muri(x)
を定義できたとして、

lim[a→∞] {∫[-a〜+a] yuri(x)dx / ∫[-a〜+a] muri(x)dx }

を求める的なイメージ

muri(x) = 1 - yuri(x) で定義してもいいけど

35 ：１３２人目の素数さん：2018/11/24(土) 00:30:30.28 ID:/XW9nn0/.net

その関数yuriは一般的にディリクレ関数と呼ばれています
リーマン積分不可能(かつルベーグ積分可能)な関数の典型例としてよく知られています

36 ：34：2018/11/24(土) 01:20:35.64 ID:nmSRGP0J.net

>>35
ディリクレ関数というのがあるのか〜
ルベーグ積分がゼロということは、つまり全部無理数ってことになっちゃうてこと？？
だとしたら有理数は存在しているのに存在してないみたいな変な話になるな
謎すぎる

https://mathtrain.jp/dirifunction

37 ：34：2018/11/24(土) 01:31:52.14 ID:nmSRGP0J.net

おれが思いつくことなんてやっぱり先代の方々がすでに同じようなこと考えてすでに検討済みなんだな

失礼しました

38 ：１３２人目の素数さん：2018/11/24(土) 01:37:25.84 ID:mE8EJetP.net

e^π と　π^e はどちらが大きいか…

電卓なら直ぐ計算できるが、大学入試問題での証明例を見たが、取って付けた様な証明でなんとも。

39 ：１３２人目の素数さん：2018/11/24(土) 16:22:00.86 ID:Pu2mqvtw.net

π^eとe^πの対数とって
→e log πとπ log e のどっちが大きいか
→log π/πとlog e/e のどっちが大きいか
→ f(x)=log x/x の増減を見よう

自然な考え方だね

40 ：１３２人目の素数さん：2018/11/24(土) 17:03:00.88 ID:XQkgYki3.net

f(x)=x^(eπ/x)の増減を見よう
としても同じことか

41 ：１３２人目の素数さん：2018/11/24(土) 17:54:22.93 ID:JnslRd6o.net

実数はほとんどすべて無理数なのに、代表的な無理数がeやπくらいしかないのはどうしてなの？

42 ：１３２人目の素数さん：2018/11/24(土) 18:44:45.45 ID:Pu2mqvtw.net

>>41
log 2とかΓ(1/3)とか楕円積分とか他にも色々あるが
君が知らないだけ

43 ：１３２人目の素数さん：2018/11/25(日) 20:45:06.84 ID:BuFBIYzy.net

おっπって気持ちe

44 ：１３２人目の素数さん：2018/11/26(月) 04:31:29.96 ID:JAq6ovHt.net

>>17

　e^6 - π^5 - π^4 = 0.0000176734512321092
　π^9 / e^8 = 9.9998387978
　P.Stanbury: Math. Gazette, ６８, p.222 (1984)

45 ：１３２人目の素数さん：2018/11/26(月) 12:22:43.64 ID:ejJop0TC.net

>>36
>ルベーグ積分がゼロということは、つまり全部無理数ってことになっちゃうてこと？？
「ルベーグ測度ゼロの集合」と「空集合」は同じものではない。
有理数は存在する。ただ測度がゼロになるだけ。

46 ：１３２人目の素数さん：2018/11/26(月) 14:24:40.26 ID:D7Y0uoaM.net

人が認識できるものは可算個しかない

47 ：１３２人目の素数さん：2018/11/26(月) 21:47:34.78 ID:4m2vyH8D.net

まあニューロンが有限個しかないからな

48 ：１３２人目の素数さん：2018/11/27(火) 00:03:56.13 ID:xsnFDFEd.net

ぐらふぃ@grafi_tt
胡散臭いけどやばい論文です https://ieeexplore.ieee.org/document/8350369 …
Learning From Pseudo-Randomness With an Artificial Neural Network?Does God Play Pseudo-Dice?
- IEEE Journals & Magazine ニューラルネットに π や eといった数学定数とか Mersenne Twister の次の桁を予測させると統計的に優位に当たってる
3:08 - 2018年11月25日

49 ：１３２人目の素数さん：2018/11/27(火) 08:47:12.55 ID:jmPwIhyK.net

>>48
ふーんって感じ

50 ：１３２人目の素数さん：2018/11/27(火) 08:48:35.17 ID:0/PgGjmk.net

>>41
むしろ有理数か無理数かすらわからない数が多い。オイラーの定数γとか。
ひとつでも解決したら画期的だよ。

51 ：１３２人目の素数さん：2018/11/27(火) 13:40:01.72 ID:QMhuYErk.net

>>17 >>44

e^6 - π^5 - π^4 - {π^(-4) - π^(-5)} e^(-6) = 0.000000326601615742

(π +2 +1/π) / e^4 = 0.100001603286

52 ：１３２人目の素数さん：2018/11/28(水) 11:57:32.81 ID:gsXNT+S8.net

>>51

e^6 - π^5 - π^4 - {1/(π^4 + π^3 +π^2 +π^0 +1)} e^(-6) = 0.000000004044885

53 ：１３２人目の素数さん：2018/12/02(日) 05:06:10.86 ID:2QZ/NwgQ.net

[eとπの微妙な関係]

(e^{10π} + 744) / (2927 + 1323√5)^3 = 216 - 2.1935×10^{-20},

(e^{20π} + 744) / (2 + 9[1201 + 537√5 + (1/2)･5^{1/4}･(1607 + 719√5)]^2)^3

= 216 - 1.131384×10^{-47},

円周率について語り合おう-238

54 ：１３２人目の素数さん：2018/12/02(日) 05:37:54.62 ID:2QZ/NwgQ.net

>>53

e^{(√163)π/3} - 640320 = 6.04863735049×10^{-10},

e^{(√163)π} - 640320^3 - 744 = -7.499274028×10^{-13},

640320 = (2^6) 3･5･23･29,

55 ：１３２人目の素数さん：2018/12/02(日) 10:29:20.79 ID:aUoBgaUn.net

1/((1π)^2+1)+1/((2π)^2+1)+1/((3π)^2+1)+……=1/(e^2-1)

56 ：１３２人目の素数さん：2018/12/02(日) 17:09:37.61 ID:ycfIPf9Y.net

(e^(4π√58)+744)/(2+9*(1+√2)^3*(5+√29)^7*(-47+340√2+98√29)^2/128)^3
= 216 - 3.17*10^(-76)

(e^(π√1435)-744)/(-2+18*(2+√5)^10*(79*(121+28√5)+5*(263+85√5)√41)^2)^3
= 216 - 1.81*10^(-96)

(e^(40π)+744)*64*(-2+√5)^39/(869800084+703067697√2+430478740√5+265027941√10+5^(1/4)*(42730416+583140762√2+528899760√5+126712674√10))^3
= 216 - 3.00*10^(-102)

57 ：１３２人目の素数さん：2018/12/02(日) 18:15:38.96 ID:ycfIPf9Y.net

1/(e^(1π)+1)+3/(e^(3π)+1)+5/(e^(5π)+1)+7/(e^(7π)+1)+…=1/24

58 ：１３２人目の素数さん：2018/12/03(月) 01:52:31.30 ID:2qcCYLB4.net

>>55
オイラー乗積表示
　sinh(ｘ) = zΠ[k=1，∞] {1 + (x/kπ)^2},
の対数微分より
　coth(x) = Σ[k=-∞，∞] x/{(kπ)^2 + xx},

59 ：１３２人目の素数さん：2018/12/03(月) 16:41:16.11 ID:2qcCYLB4.net

>>57

1/(x + 1) = Σ[m=1,∞] (-1)^{m-1} (1/x)^m,

Σ[k=1,∞] (2k-1)･r^{2k-1} = (1/2){r/(1+r)^2 + r/(1-r)^2},

(左辺) = Σ[k=1,∞] (2k-1) Σ[m=1,∞] (-1)^{m-1} (e^{-(2k-1)π})^m
　= Σ[m=1,∞] (-1)^{m-1} Σ[k=1,∞] (2k-1) (e^{-mπ})^{2k-1}
　= Σ[m=1,∞] (-1)^{m-1} (1/2)cosh(mπ)/(sinh(mπ)^2)
　= Σ[m=1,∞] (-1)^{m-1} (1/2)cosh(mπ)/(cosh(mπ)^2 - 1)
　= Σ[m=1,∞] (-1)^{m-1} (1/4){1/(cosh(mπ)+1) + 1/(cosh(mπ)-1)}
　= 1/24,

60 ：１３２人目の素数さん：2018/12/04(火) 00:53:21.94 ID:ZnXuorTA.net

πが円由来なのではなくて、本質は円とは関係ない説を推したい

61 ：１３２人目の素数さん：2018/12/04(火) 12:30:46.46 ID:Nz4Bd+Sk.net

>>54
「163の不思議」の近似式の精度を高くしてみた

(e^(2π√163)+744)/(12+27*(41074+((2/3)*(103971293867397+2306706115√(163/3)))^(1/3)+((2/3)*(103971293867397-2306706115√(163/3)))^(1/3))^2)^3
= 1 - 4.14*10^(-64)

根号が付くが一致する桁数はおよそ倍（30桁から64桁）になります

さらにe^(2π√N)という形で根号を許す場合は"163"よりも"190"のほうが上で

(e^(2π√190)+744)/(12+108*(1+√2)^12*(154+210√2+144√5+41√10)^2)^3
= 1 - 1.16*10^(-70)

で、その先はN=193,232,253と続くようです

62 ：１３２人目の素数さん：2018/12/05(水) 01:43:50.99 ID:+58iGyym.net

>>57
一般化すると k=1, 5, 9, 13, 17, … (≡1 mod 4) に関して
Σ[n=0,∞] (2n+1)^k / (e^(π(2n+1)) + 1)
= ∫[0,∞] (2x)^k / (e^(2πx) + 1) dx
= (2^k - 1) k! ζ(k+1) / (2π)^(k+1)
が成り立つ (ζ(s)はリーマンゼータ関数)

63 ：１３２人目の素数さん：2018/12/06(木) 03:48:53.99 ID:9xq/7gl/.net

P = ln(640320^3 + 744)/√163
はπと30桁一致するが、πとは異なる超越数である。

[x] はxを超えない整数とすると
N = Σ(n=1,∞) [ n･e^{(π√163)/3} ] / 5^n
は 10^9 桁以上の精度で整数 200100 と一致するが、整数ではない。


M >>1 とすると、
Q = ln(10)･((1/M)Σ(n=-∞,∞) 10^{-(n/M)^2})^2
はπと(πM/ln(10))^2 桁一致するが、πとは異なる。

「円周率について語り合おう【π】」- 017

64 ：１３２人目の素数さん：2018/12/08(土) 03:41:25.79 ID:kzFR8YXJ.net

>>53

>>53
[eとπの微妙な関係]

e^{10π/3} /(2927+1323√5) = 6 - 3.37940×10^{-11}

(e^{10π/3} + 248/[6(2927+1323√5)]^2 ) /(2927+1323√5) = 6 - 3.9344×10^{-22}

(e^{10π/3} + 248･e^{-20π/3}) /(2927+1323√5) = 6 - 1.27627×10^{-23}

円周率について語り合おう - 244

65 ：１３２人目の素数さん：2018/12/08(土) 05:10:54.95 ID:kzFR8YXJ.net

>>61
　なるほど。

(e^{2π√190} + 744) / (12 + 108(1+√2)^12*[154+210√2+144√5+41√10]^2)^3
　= 1 - 1.168664×10^{-70}

(e^{(2π√190)/3} + 248 e^{-2(2π√190)/3}) / (12 + 108(1+√2)^12*[154+210√2+144√5+41√10]^2)
　= 1 - 2.447924×10^{-72}

66 ：１３２人目の素数さん：2018/12/08(土) 05:47:04.39 ID:kzFR8YXJ.net

>>54

　e^{(π√163)/3) - 248/(640320^2) = 640320 - 1.1810534×10^{-24},

　e^{(π√163)/3} - 248 e^{-2(π√163)/3} = 640320 - 3.83118675×10^{-26},

67 ：１３２人目の素数さん：2018/12/08(土) 15:07:45.95 ID:AidR8gU3.net

>>63
>P = ln(640320^3 + 744)/√163
それを手持ちの関数電卓(fx-JP900)で計算したら"π"って表示された。。。

68 ：１３２人目の素数さん：2018/12/09(日) 14:22:43.02 ID:ujqHMvBG.net

なぜ円周率を半径ではなく直径との比にしたのか？

69 ：１３２人目の素数さん：2018/12/09(日) 14:26:39.31 ID:8K9QBuOK.net

オイラーの公式がちょっと汚くなるから

70 ：１３２人目の素数さん：2018/12/09(日) 14:51:25.64 ID:ujqHMvBG.net

exp(iπ)=1
のほうがキレイじゃないですか？

71 ：１３２人目の素数さん：2018/12/10(月) 02:03:38.84 ID:QvsWLbO3.net

半円と半径の比で良い

72 ：１３２人目の素数さん：2018/12/10(月) 05:38:12.30 ID:IsN+FPDR.net

>>53 >>64

(e^{10π/3} + 248･e^{-20π/3}) / (2927+1323√5) = 6 - 1.2762708×10^{-23},

(e^{20π/3} + 248･e^{-40π/3}) / (2+9[1201+537√5 + 5^{1/4}･(1607+719√5)/2]^2)
　= 6 - 6.5828772×10^{-51},

>>56
(e^{40π/3} + 248･e^{-80π/3})･4･(√5 -2)^13 / (869800084+703067697√2+430478740√5+265027941√10+5^(1/4)･(42730416+583140762√2+528899760√5+126712674√10))
　= 6 - 1.7513042421×10^{-105},


>>54
　e^{(√163)π/3} -248･e^{-2(√163)π/3} = 640320 - 3.8311867×10^{-26},

>>61
(e^{(2√190)π/3} +248･e^{-2(2√190)π/3}) / (12+108(1+√2)^12･[154+210√2+144√5+41√10]^2 )
　= 1 - 1.168664×10^{-70},

>>56
(e^{(4√58)π/3} +248･e^{-2(4√58)π/3}) / (2+9(1+√2)^3･(5+√29)^7･[-47+340√2+98√29]^2 /128)
　= 6 - 1.850222×10^{-79},

(e^{(√1435)π/3} -248･e^{-2(√1435)π/3}) / (-2 +18(2+√5)^10･[79(121+28√5)+5*(263+85√5)√41]^2 )
　= 6 - 1.0580687×10^{-99},

73 ：１３２人目の素数さん：2018/12/11(火) 05:31:14.37 ID:gGtYeNxO.net

>>72
まちがえた。
(e^{(2π√190)/3} + 248･e^{-2(2π√190)/3}) / (12 + 108(1+√2)^12･[154+210√2+144√5+41√10]^2)
　= 1 - 2.447924×10^{-72}

74 ：１３２人目の素数さん：2018/12/13(木) 00:48:43.17 ID:8xb6jpsD.net

10!/((10!)!)^(1/10!) = 2.7182754...
((10!)!*2^(10!))^4/(10!*((2*10!)!)^2) = 3.141592870...

75 ：１３２人目の素数さん：2018/12/14(金) 12:07:17.48 ID:bon3cT93.net

関数列f_nを次のように定める
f_1(x)=x^x
f_(n+1)=(x^x)^f_n(x))
このとき極限lim[n→∞]f_n(x)はe^(-1/e)<x<1の範囲で収束する。
また、
lim[n→∞]∫[1,0]f_n (x)dx=π^2/12
が成立する

76 ：１３２人目の素数さん：2018/12/15(土) 03:42:22.55 ID:STbkeLJ6.net

>>75
a>0とするとき「a^a^a^a^…が収束 ⇔ e^(-e)≦a≦e^(1/e)」が成り立つ(L.Euler)
収束するときの収束値はW(-ln a)/(-ln a)ここでW(z)はLambertのW関数

0<x<1のとき1/e<x^x<1でありf_n(x)はW(-ln(x^x))/(-ln(x^x))に収束し
lim[n→∞]∫[0,1] f_n(x) dx
= ∫[0,1] W(-ln(x^x))/(-ln(x^x)) dx
= ∫[0,∞] W(te^(-t))/t dt
= ∫[0,∞]Σ[n=1,∞] ((-n)^(n-1)/n!)(te^(-t))^n/t dt
= Σ[n=1,∞] ((-n)^(n-1)/n!)∫[0,∞] t^(n-1)e^(-nt) dt
= Σ[n=1,∞] ((-n)^(n-1)/n!)Γ(n)/n^n
= Σ[n=1,∞] (-1)^(n-1)/n^2
= (1-2/2^2)ζ(2)
= (π^2)/12

77 ：１３２人目の素数さん：2018/12/15(土) 10:06:19.02 ID:G/Zv1nOc.net

π+eとπ-eの少なくとも一つは超越数である

78 ：１３２人目の素数さん：2018/12/22(土) 08:31:22.77 ID:NJVGeWbg.net

1+1/(3+1/(5+1/(7+1/(9+…)))) = (e^2+1)/(e^2-1)
1+1^2/(3+2^2/(5+3^2/(7+4^2/(9+…)))) = 4/π

79 ：１３２人目の素数さん：2019/01/01(火) 00:19:03.45 ID:YSG5zgjs.net

>>70
e^iπ+1=0

この形式が最も美しい

今の円周率の決め方で良かったわ

80 ：１３２人目の素数さん：2019/01/02(水) 12:56:24.14 ID:nWa9TZGa.net

ほんと汚い式だな
単位元とかゼロ元とか、後付けもいいとこ

81 ：１３２人目の素数さん：2019/01/02(水) 19:46:03.94 ID:8snOOIeo.net

>>79
おれもこの式が美しいと思う

何が美しいかは主観なので争ってもしかたないが

82 ：１３２人目の素数さん：2019/01/02(水) 20:03:30.17 ID:wALONkQI.net

なにこのとってつけたような＋１は･･･
というのが大抵の反応
美しくもなんともない

83 ：１３２人目の素数さん：2019/01/02(水) 20:13:06.83 ID:8snOOIeo.net

演算的にも和・積・累乗と揃う
数学で5つの最も重要な数が揃う

まあ数学を知ってる人ほど>>79の表し方が美しいと感じるんじゃないかな

84 ：１３２人目の素数さん：2019/01/03(木) 01:23:58.82 ID:Okcq+dXC.net

憐れなヤツ

85 ：１３２人目の素数さん：2019/01/04(金) 08:08:22.26 ID:MI5EF/Qj.net

＞なぜeやπは・・・

γを忘れないでｗ

86 ：１３２人目の素数さん：2019/01/04(金) 09:58:59.97 ID:TmNXRDeL.net

e,πに比べると極端に出てくる場面が少ないから仕方ない

87 ：１３２人目の素数さん：2019/01/05(土) 17:15:37.61 ID:EPNdp7l3.net

>>79
それが最高だよな

〜の方がきれいなら理解できるが、汚いとか美しくもなんともないとか、どういう感性をしているんだ？

88 ：１３２人目の素数さん：2019/01/08(火) 18:51:15.76 ID:TgaOuoxB.net

∫(-∞,∞) log(x^2) e^(-x^2/4) dx = -2γ√π
∫(-∞,∞) log^2(x^2) e^(-x^2/4) dx = (2γ^2+π^2)√π

89 ：１３２人目の素数さん：2019/01/15(火) 00:45:46.29 ID:uJxU5NAt.net

〔問題202〕
次の□の中に ＋, -, ×, ÷, ＾ のどれかを入れて完成させよ。
(1)　ｅ□π□π = 9.001････
(2)　ｅ□π□π = 19.9990999････
(3)　ｅ□π□π□ｅ = 29.0005････
(4)　ｅ□ｅ□π□ｅ = 13.998････
　(あと４, ５問あった)

円周率について語り合おう【π】
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1326599636/202, 218, 235

90 ：１３２人目の素数さん：2019/01/20(日) 18:35:37.87 ID:4ue1ntLR.net

>>89
e□e□e□e□e = 6.9994…
e□π□e□π□e = 48.9996…
e□e□γ□γ = 13.9998…
e□π□e□γ = 20.9996…
e□e□e□π□γ = 15.0003…
e□e□e□π□γ = 28.00004…
e□π□π□π□e□γ = 71.999996…
π□π□γ□π□γ□e = 9.000001…

91 ：１３２人目の素数さん：2019/01/20(日) 23:57:35.51 ID:1tjRiPMm.net

>>89
過去スレ
円周率について語り合おう【π】
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1326599636/
πって本当に無理数なの？
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1331723086/
πは何でも知っているって本当？
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1310565460/
e＋π
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1150202298/
πって永遠に続く無理数なんだろ?
http://science3.2h.net/test/read.cgi/math/1088351567/
TAN（3π/11）＋４SIN（2π/11）＝？
http://science3.2h.net/test/read.cgi/math/1002903143/

92 ：１３２人目の素数さん：2019/01/21(月) 05:28:43.03 ID:5XDj55BD.net

>>90
e^π + e^π + e = 48.999667094

93 ：１３２人目の素数さん：2019/01/21(月) 10:52:10.14 ID:3XZ3QBB5.net

>>87
センスの無い直径マン自演しすぎ

94 ：１３２人目の素数さん：2019/03/17(日) 15:49:30.40 ID:o0ZHlLEf.net

>>46
日本人女性が、πを31兆桁まで計算？
【祝】Google社員の日本人女性、岩尾エマはるかさんが円周率計算で世界新記録達成！
http://hayabusa9.2ch.net/test/read.cgi/news/1552576769/

95 ：１３２人目の素数さん：2019/04/17(水) 05:14:49.52 ID:3JNUZ/Z3.net

>>61
高橋秀俊：「”163”の不思議」
　数学セミナー，Vol.14，No.10、日本評論社（1975/Oct)
　数セミ増刊「数の世界」日本評論社，p.157-161 （1982/Sep)

96 ：１３２人目の素数さん：2019/04/17(水) 06:55:00.44 ID:3JNUZ/Z3.net

>>91
TAN(3π/11) + 4SIN(2π/11) = ?

sin(2θ) = sinθ U_1(cosθ) = sinθ{2cosθ},
sin(3θ) = sinθ U_2(cosθ) = sinθ{1+2cos(2θ)},
cos(3θ) = T_3(cosθ) = cosθ{2cos(2θ)-1},

I = tan(3θ) + 4sin(2θ)
　= {sin(3θ) + 4sin(2θ)cos(3θ)}/cos(3θ)
　= (sinθ){8cos(2θ)^2 +6cos(2θ) -3}/cos(3θ),

(I^2 - 11){cos(3θ)}^2 = (sinθ)^2･{8cos(2θ)^2 +6cos(2θ) -3}^2 - 11{cos(3θ)}^2
= (1/2){1-cos(2θ)}{8cos(2θ)^2 +6cos(2θ) -3}^2 - (11/2){1+cos(2θ)}{2cos(2θ) -1}^2
　= - U_10(cosθ)
　= - sin(11θ)/sinθ,

http://science3.5ch.net/test/read.cgi/math/1002903143/

97 ：１３２人目の素数さん：2019/04/28(日) 15:24:57.30 ID:qJgRhXwK.net

>>8 >>9
　π中間子の電荷がｅであることを主張するのが例のオイラーの公式。

98 ：１３２人目の素数さん：2019/04/28(日) 16:30:40.74 ID:qJgRhXwK.net

まとめ

ｅの性質
￣￣￣￣
　種　類　　　　　　レプトン
　スピン　　　　　　　1/2 （フェルミオン)
　電　荷 -e　　　　-1.602176621×10^(-19) [C]
　質　量 m　　　　　9.10938356×10^(-31) [kg] = 510998.946 [eV]
　寿　命　　　　　　　∞　(安定)
　磁気モーメント　　-9.28476462×10^(-24) [J/T] = -1.0011596521809 μB (自由電子)
　ｇ因子　　　　 　-2.0023193043618　　　　　　　　　　　　　　　　　　(自由電子)
　ESR周波数　　　　 2.802495164×10^10 [Hz/T]　　　　　　　　　　　　　(自由電子)

(参考)
　ボーア磁子　μB = eh/(4πm) = 9.2740100×10^(-24) [J/T]


πの性質
￣￣￣￣
　種　類　　　　　ゲージボゾン(強い相互作用)
　　　　　　　　　　　π±　　　　　　　　　πﾟ
　---------------------------------------------------------------
　電　荷　　　　　　　±e　　　　　　　　　　　0
　クォーク組成　　π+ = ud~, π- = u~d,　　πﾟ = (uu~-dd~)/√2,
　質　量　　　　　139.5700×10^6 [eV]　　　134.9764×10^6 [eV]
　寿　命　　　　　2.603×10^(-8) [s]　　　　8.4×10^(-17) [s]
　スピン　　　　　　　0　　　　　　　　　　　　　0　　　　　　　(ボゾン)
　アイソスピン　　　　1　　　　　　　　　　　　　1

99 ：１３２人目の素数さん：2019/04/29(月) 19:51:09.35 ID:3qGFFixv.net

>>89
(1)　e＋π＋π 　＝　9.0014671356386
(2)　e^π−π　　＝ 19.9990999791895
(3)　e^π＋π＋e ＝ 29.0005671148281　＝ (1)＋(2)
(4)　e^e−π/e 　＝ 13.9985348916883

*　円周率について語り合おう【π】−202,218,235

>>90
(5)　e^e−e−e−e ＝ 6.9994167561021
(6)　e^π＋e^π＋e ＝ 48.9996670940176 >>92

なお、　e^π = 23.140692632779269… をゲルフォントの定数とか云うらしい。

100 ：１３２人目の素数さん：2019/04/29(月) 20:59:26.00 ID:3qGFFixv.net

x^x -3x -7 = 0　の根 e' = 2.71830318548264 はたぶん超越数････

101 ：１３２人目の素数さん：2019/04/30(火) 01:22:53.19 ID:0j0YMZY+.net

e^x -x -20 = 0 の正根 π' = -W_(-1/(e^20)) -20 = 3.1416333028････　もたぶん超越数････

W_( ) はLambertのW関数の(-)分枝

102 ：１３２人目の素数さん：2019/04/30(火) 04:04:52.95 ID:0j0YMZY+.net

>>90
(5)　e^e - e - e - e = 6.9994167561021
(6)　e^π + e^π + e = 48.9996670940176 >>92
(7)　e^e - γ - γ = 13.99983091167620
(8)　e^π - e + γ = 20.99962646922175
(9)　e^e - e + π - γ = 15.00035740170848
(10)　e + e + e^π - γ = 28.00004062479582
(11)
(12)
(13)　π/γ - γ - e/π = 4.00019535973255

103 ：１３２人目の素数さん：2019/05/01(水) 03:23:41.13 ID:bWsqQfPq.net

>>90
>>90
(11)　e/π + π * (π^e) + γ = 71.999996538151361
(12)　π + (π^γ) * π - (γ^e) = 9.00000187503
　　　π * (π^γ) + π - (γ^e) = 9.00000187503

・追加
(13)　π/γ - γ - e/π = 4.00019535973255
(14)　π - (π^γ) + (π/γ) * e = 16.000039835677
(15)　π * (π^π) * (γ^e) - e = 23.000001617056
　　　(π^π) * π * (γ^e) - e = 23.000001617056

104 ：１３２人目の素数さん：2019/05/01(水) 03:41:24.76 ID:bWsqQfPq.net

e ≒ 19/7,　π ≒ 22/7,　γ ≒ 4/7
らしいです。　　　　　　>>19

∴　１次の関係式
　e + π + π = 9.0014671356　　= (1)
　3e - 2γ = 7.000414156
　3π + γ = 10.00199363
　π - e + γ = 1.00052649

105 ：１３２人目の素数さん：2019/05/03(金) 02:56:42.66 ID:XNmdY9R0.net

e + e + e - π/e = 6.999118135586　　= (4) - (5)
3e^e - 15e + 2π/e = 7.000013997　　= 5･(5) - 2･(4)
3γγ = 0.999533771

106 ：１３２人目の素数さん：2019/05/04(土) 06:50:37.88 ID:QKBukbpD.net

>>104
　e + π + π = 9.0014671356　　　= (1)
　3e -γ -γ = 7.00041415557407　= 2･(7) - 2･(9) + (1)
　3π + γ = 10.001993625671　　= (9) - (7) + (1)
　π - e + γ = 1.00052649　　　　= (9) - (7)

107 ：１３２人目の素数さん：2019/05/05(日) 06:24:53.70 ID:J4HBIo2Q.net

>>100

9{exp(1/e) - (1/e)exp(-ee)} = 12.999964673

9{exp(1/x) - (1/x)exp(-xx)} = 13　の正根は e" = 2.718261616

108 ：１３２人目の素数さん：2019/05/05(日) 16:28:50.82 ID:J4HBIo2Q.net

>>104 >>106

・応用例

平面グラフの頂点の数をγ、辺の数をe、面の数をπとすると、
　γ - e + π = 1　　　　　(Euler)

109 ：１３２人目の素数さん：2019/05/05(日) 17:54:59.55 ID:J4HBIo2Q.net

>>104 >>106
　-π + 4e - 3γ = 5.999887665542　　　= 3[(7)-(9)] + (1)
　-3π + 15e - 11γ = 25.0000771522　　= 11[(7)-(9)] + 4･(1)
　-4π + 19e - 14γ = 30.9999648177　　= 14[(7)-(9)] + 5･(1)

110 ：１３２人目の素数さん：2019/05/06(月) 09:51:10.17 ID:NFa7uh6I.net

1/α

= ππ{(π+e)/(π-e) + (π-e)/(π+e)} - 1/{(π+e)(π-e)} + 1/(ππ)

= ππ{2(ππ+ee)/(ππ-ee)} - 1/(ππ-ee) + 1/(ππ)

= 137.0356848322791

アティヤ
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1537516085/134

111 ：１３２人目の素数さん：2019/05/09(木) 03:10:32.49 ID:7Q6cd3gq.net

>>98
πは（芳香族）有機化合物中の電子軌道です。

・C-2p軌道(2p_z)が重なって生じる。

・原子同士の場合、σ結合の60%ぐらいしか安定化しない。（エチレン）
　　∵　電子雲が平行なのでσ結合よりも重なりＳが小さい。

・Cの数が多いときは平面状に広がって非局在化する。このため（超高圧でない場合）エネルギー的に有利。
　　例：グラフェン、グラファイト

・面対称性により、σ軌道や内殻軌道と直交している。
　クーロン積分・交換積分など低次の積分は０である。
　また、内殻軌道（1s,2s）とのエネルギー差もかなり大きい。
　このため孤立しており、π電子だけを考慮する近似が可能。（ヒュッケル法）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1331723086/181

112 ：１３２人目の素数さん：2019/05/17(金) 19:08:56.01 ID:WRg508Xy.net

>>104
e ≒ 193/71,　π ≒ 223/71，γ ≒ 41/71
らしいです。

113 ：１３２人目の素数さん：2019/05/17(金) 19:36:18.52 ID:WRg508Xy.net

>>110
α = (10 - ππ - 1/ππ)/4 = 0.0072686

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1331723086/177

114 ：１３２人目の素数さん：2019/05/22(水) 09:56:08.41 ID:7SUOfge7.net

π/3 - 1 + 4/π ≒ 1/tanh(1) = (ee+1)/(ee-1),

不等式スレ１０　109-112

115 ：１３２人目の素数さん：2019/05/24(金) 00:20:43.21 ID:B7NEISpA.net

>>98
電子スピンのｇ因子
　-2.0023193043618 ≒ -π/(eγ)

116 ：１３２人目の素数さん：2019/06/20(木) 09:21:46.66 ID:WxweZeE5.net

>>98
質量比
　m(e-) / m(π±) = 0.007322475 ≒ α + (1/2)α^2 + ････ = exp(α) - 1,
　m(e-) / m(πﾟ) = 0.007407049 ≒ α + 2α^2 + ････ = {exp(4α) -1}/4,

117 ：１３２人目の素数さん：2019/06/20(木) 09:25:08.33 ID:WxweZeE5.net

>>98
質量比
　2m(e-) / m(π±) = 0.007322475 ≒ α + (1/2)α^2 + ････ = exp(α) - 1,
　2m(e-) / m(πﾟ) = 0.007407049 ≒ α + 2α^2 + ････ = {exp(4α) -1}/4,

118 ：１３２人目の素数さん：2019/06/22(土) 06:55:51.56 ID:mnSGZhQY.net

π - e = 69/163

　円周率スレ【π】 - 326

119 ：１３２人目の素数さん：2019/07/01(月) 15:55:04.94 ID:D9jDmPO6.net

eは有理数だってば
http://twitter.com/kamere112/status/1117796154408783872
(deleted an unsolicited ad)

120 ：１３２人目の素数さん：2019/08/15(木) 12:23:39.55 ID:mKA/Ia9q.net

exp(i*pi) +1 = 0
eとπと虚数単位と実数全てが入った式かつ見た目がシンプルだから
人はそれを美しいと感じていると思われるが、同時に、で？っていう
思いも生まれるのもまた事実

121 ：１３２人目の素数さん：2020/03/11(水) 23:32:25 ID:zi4olkqu.net

>>104
　e = 19/7,　　π = 22/7
とすると
　π+e = 41/7,　π-e = 3/7,

>>112
　e = 193/71,　　π = 223/71
とすると
　π+e = 416/71　π-e = 30/71,　ππ = 701/71,
　
>>118
　ｅ = 443/163,　　π = 512/163
とすると
　π+e = 955/163,　π-e = 69/163,　ππ = 1609/163,

122 ：１３２人目の素数さん：2020/04/03(金) 11:45:18 ID:mgebV0rK.net

オイラの公式　(e')^(iπ’) = -1,
和の公式　　e' + π' + π' = 3・3,
ここに
　e' = 2.71940175612508383454746･･･
　π' = 3.14029912193745808272627･･･

123 ：１３２人目の素数さん：2020/04/03(金) 11:49:48 ID:mgebV0rK.net

e < e' < 3 < π' < π,

(e')^(π’) = e^π = 20 + π' + 0.000393510841810923

(π')^e < π^e < (π')^(e'）< π^(e') < e^(π'）<（e')^(π'）= e^π < (e')^π,

124 ：１３２人目の素数さん：2020/05/24(日) 11:42:32 ID:ra0ZpDC7.net

>>99
(4)　e^e−π/e = 4(150)^(1/4),

>>102
(7)　e^e - γ - γ = （3803000/99)^(1/4)

125 ：１３２人目の素数さん：2020/06/28(日) 15:30:35.58 ID:DrzpFm0+.net

黄金比 φ = √(π/1.2) = 1.6180215938
φ + 1/φ = 2.23606031703
　富士山麓オウムは災難さ

126 ：１３２人目の素数さん：2020/07/12(日) 21:37:30.31 ID:6807U8q+.net

　e = Σ[k=0,10] 1/k!
　　= 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + 1/5! + ････
　　= 1 + 1 + 1/2 + 1/5 + 1/60 + 1/6! + ････
　　= 1 + 1 + 1/2 + 1/5 + 1/55 - 1/(11･6!) + 1/7! + ････
　　= 1 + 1 + 1/2 + 1/5 + 1/55 + 4/(11･7!) + 1/8! + ････
　　= 1 + 1 + 1/2 + 1/5 + 1/55 + 43/(11･8!) + 1/9! + 1/10!
　　= 1 + 1 + 1/2 + 1/5 + 1/55 + 398/(11･9!) + 1/10!
　　= 1 + 1 + 1/2 + 1/5 + 1/55 + 3991/11!　　　(11!=39916800)
　　≒ 1 + 1 + 1/2 + 1/5 + 1/55 + 3991/39906009
　　= 1 + 1 + 1/2 + 1/5 + 1/55 + 1/9999
エジプト分数表示

127 ：１３２人目の素数さん：2020/07/12(日) 21:43:59.36 ID:6807U8q+.net

　e = Σ[k=0,11] 1/k!
　　= 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + ････
　　= ･････
　　= 1 + 1 + 1/2 + 1/5 + 1/55 + 398/(11･9!) + 1/10! + 1/11!
　　= 1 + 1 + 1/2 + 1/5 + 1/55 + (3980+11+1)/11!
　　= 1 + 1 + 1/2 + 1/5 + 1/55 + 3992/11!　　　(11!=39916800)
　　≒ 1 + 1 + 1/2 + 1/5 + 1/55 + 3992/39916008
　　= 1 + 1 + 1/2 + 1/5 + 1/55 + 1/9999
エジプト分数表示

128 ：１３２人目の素数さん：2020/07/13(月) 02:29:58 ID:nRP7fpY9.net

　e = Σ[k=0,12] 1/k!
　　= 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + 1/5! + …… + 1/12!
　　= 1 + 1 + 1/2 + 1/5 + 1/60 + 1/6! + …… + 1/12!
　　= 1 + 1 + 1/2 + 1/5 + 1/55 + ?,

　? = -1/660 + 1/6! + 1/7! + …… + 1/12!
　　= -1/(11･6!) + 1/7! + 1/8! + …… + 1/12!
　　= 4/(11･7!) + 1/8! + 1/9! + …… + 1/12!
　　= 43/(11･8!) + 1/9! + 1/10! + 1/11! + 1/12!
　　= 398/(11･9!) + 1/10! + 1/11! + 1/12!
　　= 3991/11! + 1/11! + 1/12!
　　= 3992/11! + 1/12!
　　= 47905/12!　　　　　(12!=479001600)
　　≒ 47905/479002095
　　= 1/9999
エジプト分数表示

129 ：１３２人目の素数さん：2020/09/09(水) 23:09:18.42 ID:IR7822fG.net

すごい

130 ：１３２人目の素数さん：2020/09/18(金) 13:51:50.31 ID:i4UGN0LC.net

>>62
kwsk
行間埋められないorz

131 ：１３２人目の素数さん：2020/09/18(金) 18:53:05.04 ID:h4DN+aTO.net

>>11
濃度という概念を導入すると分かる

132 ：１３２人目の素数さん：2020/09/18(金) 18:56:23.89 ID:sSB3QbM0.net

>>57
　x = e^{-π}　とおくと

(左辺) = x/(1+x) + 3(x^3)/(1+x^3) + 5(x^5)/(1+x^5) + ･････
　= x {1/(1+x) + (3x^2)/(1+x^3) + (5x^4)/(1+x^5) + ･････ }
　= x (d/dx) log[(1+x)(1+x^3)(1+x^5)････]
　= x (d/dx){ log[(1+x)(1-x^2)(1+x^3)(1-x^4)(1+x^5)････]
　　- log[(1-x^2)(1-x^4)(1-x^6)････] }
　= x (d/dx){ -log(G(-x)) + log(G(x^2)) },

ここに
　G(x) = Σ[n=0,∞] p(n)･x^n,
は分割数p(n)の生成関数。
　1/G(x) = (1-x)(1-x^2)(1-x^3)･･･
　　= Σ[m=-∞,∞] (-1)^m x^{m(3m-1)/2},

133 ：１３２人目の素数さん：2020/09/18(金) 19:52:59.41 ID:sSB3QbM0.net

>>17, 89(2), 99(2)
　e^π - π = 19.99909997919
　e^π - π + e/π^7 = 19.999999985
　e^π - π + e/π^7 + 1/(eπ^7)^2 = 19.999999999960

134 ：１３２人目の素数さん：2020/09/18(金) 20:14:13.70 ID:mjgc5zdj.net

誰か>>62の一個目の等式解説おながいします

135 ：１３２人目の素数さん：2020/09/19(土) 01:23:13.82 ID:Y80rfxhB.net

>>62
やっとわかった
コレめっちゃおもろい

136 ：１３２人目の素数さん：2020/10/02(金) 14:21:35.42 ID:7SeDt20X.net

|r|<1 とする。
k = 1, 5, 9 について

Σ[n=0,∞] (2n+1)･r^{2n+1} = r(1+r^2)/(1-rr)^2,

Σ[n=0,∞] (2n+1)^5･r^{2n+1} = r{(1+r^10) + 237(r^2+r^8) + 1682(r^4+r^6)}/(1-rr)^10,

Σ[n=0,∞] (2n+1)^9･r^{2n+1} = r{(1+r^18) + 19673(r^2+r^16) + 1756340(r^4+r^14) + 21707972(r^6+r^12) + 69413294(r^8+r^10)}/(1-rr)^18,

137 ：１３２人目の素数さん：2020/10/02(金) 14:34:23.19 ID:7SeDt20X.net

x>0 のとき
　x^{1/x} ≦ e^{1/e},
　log(x) / x ≦ 1/e,
　等号成立は x=e,

　e' = π / log(π) = 2.74439646630
　e" = (8/3) e / e' = 2.641291676176
とおくと
　e" < 8/3 < e < e',
　
(e")^{1/e"} = 13/9 = 1.444444…

138 ：１３２人目の素数さん：2020/10/02(金) 14:39:16.64 ID:7SeDt20X.net

訂正…

Σ[n=0,∞] (2n+1)^5･r^{2n+1} = r{(1+r^10) + 237(r^2+r^8) + 1682(r^4+r^6)}/(1-rr)^６,

Σ[n=0,∞] (2n+1)^9･r^{2n+1} = r{(1+r^18) + 19673(r^2+r^16) + 1756340(r^4+r^14) + 21707972(r^6+r^12) + 69413294(r^8+r^10)}/(1-rr)^１０,

139 ：１３２人目の素数さん：2020/11/19(木) 03:18:43.76 ID:Clp5hM1J.net

π = 10.1010020200 0211112002 0101120001 0102020001 0210111200 0101200011 0011111020 1000001101 111 (e進法)
e = 2.2021201002 1111220011 0120100020 1002021112 0111211200 0101222201 0210212200 2220012010 203 (π進法)
　　小数点下 83, 89, 95, 104, 143, 162, … 桁目に「3」

140 ：１３２人目の素数さん：2020/11/30(月) 20:02:49.96 ID:SxiIwOrd.net

[eとπの微妙な関係どこまでも]

(e^(10π)+744)/(2927+1323√5)^3
= 216 - 2.1*10^(-20)

(e^(20π)+744)/(2+9*(1201+537√5+5^(1/4)*(1607+719√5)/2)^2)^3
= 216 - 1.1*10^(-47)

(e^(40π)+744)/(2+(9/(4√2))*((1+√5)/2)^38*(7485+762√2+1479√5+3072√10+5^(1/4)*(178+2221√2+3148√5+1289√10))^2)^3
= 216 - 3.0*10^(-102)

(e^(80π)+744)/(2+(9/8)*2^(1/4)*(1+√2)^41*(530935136+314649157√2+190007592√5+174256156√10+2^(1/4)*(325653723+350011313√2+198603775√5+119076491√10)+5^(1/4)*(299448042+249740557√2+165588382√5+89292490√10)+10^(1/4)*(218798503+233344905√2+120016115√5+88680967√10))^2)^3
= 216 - 2.1*10^(-211)

…

141 ：１３２人目の素数さん：2020/12/02(水) 18:21:42.51 ID:fvRXUj15.net

>>140 の続き(j-invariantの値)をもう少し計算してみた

(e^(π√6307)-744)/(-12+27*(4+√17)^16*(1272659166+396488754√17+175423977√53+54313779√901+(564772430+112064468√17+79752371√53+14865745√901)√((27+4√53)/7))^2)^3
= 1 - 3.85*10^(-212)

(e^(8π√253)+744)/(12+(27/7744)*(1+√23)*(24+5√23)^15*(6+√(18+4√23))*(2613958503994042+1847473729040467√2+837790178036772√11+598717160351847√22+576161649364756√23+407590062365343√46+163366108645406√253+114201548059645√506+(434941809989079+320542233994301√2+130489158670679√11+97268953915700√22+93179143624603√23+63178599498586√46+28230255730793√253+18919403141609√506)√(18+4√23))^2)^3
= 1 - 1.16*10^(-342)

(e^(π√16555)-744)/(-12+(27/4)*((1+√5)/2)^118*((9+√77)/2)^2*(320894813655339+61569131404011√5+35639907052399√77+17940001062501√301+7432116783367√385+14837611163117√473+3797467132539√1505+2793899176811√2365+(11140446493226+12450127844626√5+1468410957272√77+685802367263√301+1329900128960√385+563707277735√473+698080174717√1505+549439850645√2365)√(69+4√301))^2)^3
= 1 - 1.56*10^(-346)

最後の2式の分母は16次方程式の解なのですが、
予想ではガロア理論の壁を乗り越えてこの先ずっと計算できると思われる

142 ：１３２人目の素数さん：2020/12/03(木) 15:32:30.20 ID:tTVLBP6E.net

πに他の無理数が濃縮されてるから。
オイラーの公式と
一般相対性理論の測地線式を
ジッと見比べると
空間を表す部分は対数の加法。
時間を表す部分は対数を取って
-1がふと思い浮かぶ。
幾ら頑張って時間空間を一点に縮めようとしても
考えてる点がπなら
時空間に無限小の広がりを持つ。
時空間が何次元持つかは知らんけど
π^？が現れるだろう。
私は素人なのでこの手の話は色々面白く本を読ませてもらってる。
玄人は苦労して貰って
ナンボな世界の住人。
気張ってくださいね。

143 ：１３２人目の素数さん：2020/12/10(木) 04:41:22.31 ID:bno7XJkA.net

なぜ0や1や2やマイナス1は様々な性質を持つのか？他にも整数はたくさんあるのに

と言ってるのと同じ。くだらない

144 ：１３２人目の素数さん：2020/12/15(火) 19:22:26.00 ID:cHVlFppc.net

>>134
>>62 の割と初等的な導出：
f(z) = (2z)^k πtan(πz)tanh(πz),
C1:(1+i)N→(-1+i)N, C2:(-1+i)N→(-1-i)N, C3:(-1-i)N→(1-i)N, C4:(1-i)N→(1+i)N
と置くと、留数定理より
(1/(2πi))∫[C1+C2+C3+C4]f(z)dz = -4Σ[n=1,N](2n-1)^k tanh((2n-1)π/2)
そしてf(z)の対称性から
k≡1(mod 4)のとき ∫[C1]f(z)dz=∫[C2]f(z)dz=∫[C3]f(z)dz=∫[C4]f(z)dz
が成り立ち
(1/(2πi))∫[C1]f(z)dz = -Σ[n=1,N](2n-1)^k tanh((2n-1)π/2) --------(1)

g(z) = -(2z)^k πi tanh(πz),
C2':(-1+i)N→-N, C3':-N→N, C4':N→(1+i)N
と置くと、留数定理より
(1/(2πi))∫[C1+C2'+C3'+C4']g(z)dz = Σ[n=1,N](2n-1)^k --------(2)

(1)+(2)より
(1/(2πi))∫[C1](f(z)+g(z))dz + (1/(2πi))∫[C2'+C3'+C4']g(z)dz
= 2Σ[n=1,N](2n-1)^k/(e^((2n-1)π)+1)
この積分は
∫[C1]|f(z)+g(z)| |dz| = O(N^(k+1) e^(-2πN))→0 (N→∞),
∫[C2'+C4']g(z)dz = π∫[0,N]((2N+2iy)^k-(2N-2iy)^k)dy + O(N^(k+1) e^(-2πN)),
∫[C3']g(z)dz = -2πi∫[0,N](2x)^k dx + 4πi∫[0,N](2x)^k/(e^(2πx)+1)dx
特に
k≡1(mod 4)のとき ∫[0,1]((1+iy)^k-(1-iy)^k)dy = 2i∫[0,1]x^k dx
であることを考慮すると
∫[0,∞](2x)^k/(e^(2πx)+1)dx = Σ[n=1,∞](2n-1)^k/(e^((2n-1)π)+1)

145 ：１３２人目の素数さん：2020/12/15(火) 19:31:10.97 ID:cHVlFppc.net

k=1,5,9,13…≡1(mod 4)における類似の関係式
Σ[n=1,∞]n^k/(e^(2nπ)-1)
=∫[0,∞]x^k/(e^(2πx)-1)dx + R_k
=k!ζ(k+1)/(2π)^(k+1) + R_k
ただしR_kは原点の留数補正でR_1=-1/(8π), R_5=R_9=R_13=…=0

この式の導出も>>144 で
f(z) = z^k πcot(πz)coth(πz), g(z) = z^k πi coth(πz)
と置きなおせば同様にして得られる。

146 ：１３２人目の素数さん：2021/02/24(水) 03:54:56.55 ID:L9PmkNI0.net

[eとπの微妙な関係？]

e^(10π/3)･(5^(1/4) - 1)^8 = 2^7 + 2.32560749396411×10^(-11)

(e^(10π) - 24)･(5^(1/4) - 1)^24 = 2^21 - 2.9854645192226×10^(-19)

147 ：１３２人目の素数さん：2021/02/24(水) 08:36:11.36 ID:L9PmkNI0.net

{5^(1/4) - 1} * 2^(1/8) * e^(5π/12) * {1/[1 + e^(-10π)] - e^(-20π)} = 2 - 1.415538508…×10^(-109)

148 ：１３２人目の素数さん：2021/03/10(水) 20:53:15.23 ID:CedLahew.net

[eとπの微妙な関係 - η関数系補完リスト]

(e^(2π)-24)^(1/9) = 2 - 2.2073*10^(-4)

e^(2π/9) (1/(1+e^(-2π)) - e^(-4π))^(8/3) = 2 - 7.8882*10^(-22)

(e^(3π)+24)^(1/6) (2-√3)^(2/3) = 2 - 5.9834*10^(-7)

(2-√3)^(1/6) 2^(3/4) e^(π/8) (1/(1-e^(-3π)) - e^(-6π)) = 2 - 3.5974*10^(-33)

(e^(4π)-24)^(2/3) (√2-1)^4 = 2^7 - 2.8644*10^(-7)

(√2-1)^(1/4) 2^(9/16) e^(π/6) (1/(1+e^(-4π)) - e^(-8π)) = 2 - 4.3750*10^(-44)

(e^(5π)+24)^(1/6) (√5-1)^4 = 2^5 - 3.3430*10^(-11)

(√5-1) 2^(3/4) e^(5π/24) (1/(1-e^(-5π)) - e^(-10π)) = 4 - 1.0641*10^(-54)

(e^(6π)-24)^(1/8) (108^(1/4)-√3-1) 2^(5/8) = 8 - 1.1705*10^(-14)

(e^(7π)+24)^(1/6) (1+√7-28^(1/4))^4 = 2^7 - 4.6633*10^(-16)

(1+√7-28^(1/4)) 2^(1/4) e^(7π/24) (1/(1-e^(-7π)) - e^(-14π)) = 4 - 1.5739*10^(-76)

(e^(10π)-24)^(1/3) (5^(1/4)-1)^8 = 2^7 - 6.0739*10^(-24)

(5^(1/4)-1) 2^(1/8) e^(5π/12) (1/(1+e^(-10π)) - e^(-20π)) = 2 - 1.4155*10^(-109)

(e^(15π)+24)^(1/8) ((38-22√3-17√5+10√15)√2 - 15^(1/4)√3(16-9√3-7√5+4√15)) 2^(1/4) = 4 - 1.6165*10^(-39)

(e^(20π)-24) √2 (1+5^(1/4))^12 (2+√5)^6 ((2+√5)√2-3-2*5^(1/4))^6 = 2^17 - 9.6242*10^(-48)

√(1+5^(1/4)) ((2+√5)((2+√5)√2-3-2*5^(1/4)))^(1/4) 2^(5/16) e^(5π/6) (1/(1+e^(-20π)) - e^(-40π)) = 2 - 1.0018*10^(-218)

149 ：１３２人目の素数さん：2021/03/12(金) 18:16:09.50 ID:XC09ty0Q.net

Δxとか幅を持った数も忘れないでね
パイもネイピア数も0や1と同じで幅は無い

極限が繋ぐ異次元お世界
そこに現れるえ

150 ：１３２人目の素数さん：2021/03/12(金) 18:18:31.04 ID:XC09ty0Q.net

虚数や四元数も不思議だよ

151 ：１３２人目の素数さん：2021/10/23(土) 20:09:31.87 ID:LOgGDCao.net

　e^π = π + 20 - ((√3)/10)^4,
　π^e = π + 20 - (10/11)^4,
ここで
　(√3)/10 = 0.1732 < 0.9091 = 10/11,
∴　e^π > π^e.

152 ：１３２人目の素数さん：2021/10/25(月) 04:15:14.60 ID:4tizcZlG.net

e^π と π^e　どっちがでかい？
http://www.youtube.com/watch?v=LuPHrYPGrIs 06:31,
　鈴木貫太郎

e^π と π^e　どっちが大きい!? (筑波大)　(数�V微分)
http://www.youtube.com/watch?v=XEjm4stW7uI 04:58,
　3浪阪大生たぴおか【数学解説ch】

e^(e^π) < π^(π^e)　を示せ。
http://www.youtube.com/watch?v=vUHFtKVp9b0 19:07,
　式変形チャンネル

153 ：１３２人目の素数さん：2021/10/25(月) 04:20:34.89 ID:4tizcZlG.net

e^π > 22　を示せ。

(略解)
e > 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + 1/120 = 163/60,
　e^3 > (163/60)^3 > 4320000/(60^3) = 20,

　e^0.14 > 1 + 0.14 + (1/2)0.14^2 + (1/6)0.14^3 > 1.15 = 23/20,
辺々掛けて
　e^π > e^3.14 = e^3･e^0.14 > 20･(23/20) = 23,


http://www.youtube.com/watch?v=5CXdQihmKxw 09:28,
　鈴木貫太郎

154 ：１３２人目の素数さん：2021/10/25(月) 06:27:25.49 ID:4tizcZlG.net

>>152

　e^(x/e - 1) ≧ 1 + (x/e - 1) = x/e,
eを掛けて
　 e^(x/e) ≧ x,
e乗して
　e^x ≧ x^e,

155 ：１３２人目の素数さん：2021/11/28(日) 12:35:11.80 ID:MWTbmNPN.net

πとeが無理数であること
数セミ増刊「数の世界」日本評論社 (1982)　p.80-82

πとeが超越数であること
数セミ増刊「数学100の定理」日本評論社 (1983)　p.85-86

156 ：１３２人目の素数さん：2022/11/17(木) 04:05:57.10 ID:f3wDsO1g.net

おっπ！

157 ：１３２人目の素数さん：2022/12/22(木) 00:27:35.49 ID:zwQNq/Yd.net

https://i.imgur.com/u9AyBeM.jpg
https://i.imgur.com/J0qfvO1.jpg
https://i.imgur.com/r3MlZLM.jpg
https://i.imgur.com/F6EeAXP.jpg
https://i.imgur.com/ATNwI8n.jpg
https://i.imgur.com/Ph24GGC.jpg
https://i.imgur.com/K0YG4p5.jpg
https://i.imgur.com/olAZekF.jpg
https://i.imgur.com/Cx5sL9n.jpg
https://i.imgur.com/p9bbC6l.jpg
https://i.imgur.com/wcvNdaG.jpg
https://i.imgur.com/irvbIoR.jpg

158 ：１３２人目の素数さん：2022/12/24(土) 04:44:47.27 ID:/P8Bw71J.net

複素関数論は、絶対値｜ｚ｜とか絶対値の2乗｜ｚ｜＾2は、
複素変数ｚの複素関数ではないわけだが、それにもかかわらず、
絶対値をもしも一切遣わないで、そうして実部と虚部に分けて
議論することを禁じて、必ず複素変数ｚとしてだけ数式を書き、
議論も証明もするというように制約を設けたときに、はたして
理論が滞りなく構築できるものだろうか？
たとえば複素数の局表示ｚ＝ｒexp(i θ)も、ｒやθがｚの複素
関数にはならないから、認めないとしたら？？？
つまり純粋に複素関数（解析関数）であるものしか使わずに
理論を組み立てろということができるだろうかというもの。

159 ：１３２人目の素数さん：2022/12/24(土) 08:52:18.95 ID:6P5AjeCt.net

>>158
で？

160 ：１３２人目の素数さん：2023/01/02(月) 01:53:41.51 ID:Tjm8RrUz.net

指数関数は微分作用素の固有関数だから微分が係わる数学のあちこちに出没する。
そうして、指数関数の引数を適当にスケール変換してやればexp(x) すなわち
e^x が現れるというわけさ。

161 ：１３２人目の素数さん：2023/01/02(月) 09:36:08.69 ID:d1wOOdT6.net

教育上は標準的な関数から順序良く展開しなければならないので
最も基本的な関数であるe^xは
べき級数によって導入するのがよいだろう

162 ：１３２人目の素数さん：2023/01/14(土) 15:53:26.97 ID:YEqFWaqq.net

巾級数は局所的な話になるから、それよりは微分方程式 ｙ ＝ ｙ’ の解を
もとにした方が、大域的な性質（一種の解析接続性）も備えているので良いと思う。

163 ：１３２人目の素数さん：2023/04/23(日) 03:13:29.70 ID:N6qCdYl8.net

eとかπはなぜいろいろなところに出てくるのだろうか、という疑問は

いろいろなところに出てくる有名な数だから特別の記号を割り当てて
名前をつけているからだとしたら自明な話になってしまうのではなかろうか？
実数にはいまだかつて人類が一度も値を書いたことのないもの、将来においても
書かれないで居続けるものが幾らでも存在するのである。そういう無名の誰にも
認められない実数も存在していて実数の世界を支えている。
何しろその実数が実数の集合から欠けたなら、実数の連続性が成り立たなくなって
しまうのだ。

164 ：１３２人目の素数さん：2023/04/25(火) 20:07:50.36 ID:1eek0fcW.net

人間が分かりやすい数だけがちやほさやされるだけ
義務教育で　二次方程式の解の公式　までを習う人が多いから
三次方程式や四次方程式までは解の公式があると言っても
「だから何？」　とか言われて興味など持たれないし
それこそ人によっては「二次方程式もイラネ」　とかなる
それこそひねくれた人から
「じゃあ五次方程式の解の公式出せよ」と言われるまである

このひねくれたタイプの人間は、何をどう答えてもいちゃもんを付けるので

たとえば「五次方程式に解の公式はねぇよ」　とかいうと
「楕円積分とか使えば求められるだろ。解析的に解が求められないだけで
手順がないわけじゃねぇだろ、この無能」　と返され
逆にバカ正直にそのやり方を先に示そうとすれば
「あー、はいはい、わかったわかった（笑）、で？ｗ」　と返してくる

それこそ、そういう人間に対する対応の仕方＝解のほうがねーよｗｗｗ　って具合である

eやπを特別扱いすることについても、
その話題について興味がある云々よりも、それを語る人間への親和性のほうが
現実問題として重要である
気に食わない人間が持ち出すテーマには何にでもケチをつけ、
仲のいい人間が持ち出すテーマなら、何より優先してでもそっちを贔屓する
数学も人間が使う以上、嫌われたら相手にされない。
AIも、助けたい人を助ける為に使われる場合と
気に食わない奴を追い出すために使われる場合に分かれるだろう

eやπを使いだした人がもし周囲に嫌われていたら、今でも使われてなかったかもしれない
あるいは、最初に使った人間はおまえらみたいな奴だったかもな。
でも、お前らみたいなやつを相手したくない連中が多いから、長い事無視されてきたとかな。

165 ：１３２人目の素数さん：2023/04/30(日) 04:05:17.43 ID:f+cV0hc3.net

整数ですら、いまだかつて誰もその値を具体的に書いたことがないものが
幾らでも存在する。比較的小さな整数あるいは自然数は著作権が
設定されていることがあるけれども。たとえば任意の俳句をUTF8のコードで
表せば、それは実質的に0と1が並んだ自然数に対応付けられる。
任意の長編冒険小説をUTF8のコードで表せたとすれば、それは実質的に0と1が
並んだ長い桁数の自然数と同一視できる。音楽CDや映画のDVDなども
所詮は0と1のビットの有限長の列であるからそれは自然数を定める。
デジタルの画像なども同様である。DNAの並びも4種類の塩基を
それぞれ00，01，10，11に対応付けてやれば、ギガバイト程度の
2進データに対応が付く。

　だから自然数には著作権が設定されているものがいろいろあるが、
それでもこれでもうすべて使われていておしまいですということに
はならないのである。世の中うまくできている。

166 ：１３２人目の素数さん：2023/05/18(木) 17:41:15.24 ID:bcG2xbPN.net

ｅやπに較べるとオイラー定数γの出番が少ない気がする。