数学オリンピック事典を一日一問以上解くスレ

233 ：１３２人目の素数さん：2020/07/23(木) 15:56:37.95 ID:cdENLWJx.net

バルカンMOから

〔問題3.10〕
三角形ABCの外心をOとし、重心をGとする。
Rとrをそれぞれ三角形の外接円および内接円の半径とする。
このとき OG ≦ √{R(R-2r)} を証明せよ。
　バルカンMO-1996

〔問題3.28〕
ABCを鋭角三角形とし、L,M,N をABCの重心Gから
それぞれ辺BC, CA, AB へ下ろした垂線の足とする。
このとき次を証明せよ。
　4/27 < (LMN)/(ABC) < 1/4,
　バルカンMO-1999

〔問題3.51〕
a,b,c を正の実数とする。このとき次を証明せよ。
　aa + bb + cc ≧ ab + bc + ca ≧ √{3abc(a+b+c)}.
　バルカンMO-2001

〔問題3.58〕
正の実数 a,b,c に対して次を証明せよ。
　2/(b(a+b)) + 2/(c(b+c)) + 2/(a(c+a)) ≧ 9/(ab+bc+ca) ≧ 27/(a+b+c)^2.
　バルカンMO-2002

〔問題3.93〕
a,b,c を正の実数とする。このとき次を証明せよ。
　1/(a(b+1)) + 1/(b(c+1)) + 1/(c(a+1)) ≧ 3/(g(g+1)) ≧ 3/(1+abc),
　g = (abc)^(1/3).
　バルカンMO-2006,　Inequalitybot [77]

佐藤淳郎(訳) 「美しい不等式の世界」朝倉書店 (2013)
　p.127,　p.130　p.134　p.135　p.141