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面白い問題おしえて～な 二十四問目
- 1 ：１３２人目の素数さん：2017/08/07(月) 00:07:33.27 ID:y+VPlwP8.net
- 過去ログ
http://www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/
まとめwiki
http://www6.atwiki.jp/omoshiro2ch/
1 http://cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/970737952/
2 http://natto.2ch.net/test/read.cgi/math/1004839697/
3 http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1026218280/
4 http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1044116042/
5 http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1049561373/
6 http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1057551605/
7 http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/
8 http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1074751156/
9 http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1093676103/
10 http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1117474512/
11 http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1134352879/
12 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1157580000/
13 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1183680000/
14 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1209732803/
15 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1231110000/
16 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1254690000/
17 http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1284253640/
18 http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1307923546/
19 http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1320246777/
20 http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1356149858/
21 http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1432255115/
22 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/
23 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1497416499/
- 2 ：１３２人目の素数さん：2017/08/07(月) 00:08:17.09 ID:y+VPlwP8.net
- 積み残し
937 １３２人目の素数さん 2017/08/04(金) 14:40:03.29 ID:S6Ck6bY/
地球上の2地点A,B間を飛行機で移動する。このとき、飛行機がA,Bの両方より北側（高緯度側）を通るためのA,Bの位置関係を答えよ。
例えば東京とロンドンはこの位置関係にある（飛行機はロシア上空を通過する）。
地球は球と見なせるとし、飛行機は2地点間を最短距離で（大圏航路で）移動する。
また、球面上の2点を最短距離で結ぶ線は、球面をその中心を通る平面で切った円（大円）の弧になることが知られている。
- 3 ：１３２人目の素数さん：2017/08/07(月) 00:09:46.21 ID:y+VPlwP8.net
- 重複してもうた
本スレは↓
面白い問題教えて～な 24問目 [無断転載禁止]©2ch.net
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1502016223/
- 4 ：￥ ：2017/08/07(月) 00:34:34.25 ID:/rspiZFz.net
- ☆☆☆馬鹿板は数学徒の脳を腐らせる悪い板であり、そやし廃止してナシにすべき。☆☆☆
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- 5 ：１３２人目の素数さん：2017/08/15(火) 13:01:57.32 ID:CbWLpmUn.net
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- 9 ：１３２人目の素数さん：2017/08/19(土) 04:40:24.43 .net
- 複素係数の一般の多項式が1度でも因数分解できるかどうかを判定するアルゴリズムって存在する？
(一般の多項式の解を加減乗除や開根で求めるアルゴリズムは存在しないけど、因数分解であって因数定理じゃないからね。そこは注意)
- 10 ：１３２人目の素数さん：2017/08/19(土) 07:36:54.02 ID:Y656Avbw.net
- >>9
https://en.wikipedia.org/wiki/Factorization_of_polynomials
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- 46 ：１３２人目の素数さん：2017/08/31(木) 08:12:27.64 ID:0miVNrvU.net
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- 47 ：￥ ：2017/09/01(金) 10:54:22.79 ID:7A4+w7Rv.net
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- 48 ：１３２人目の素数さん：2017/09/02(土) 11:52:28.91 ID:3V8qFOPU.net
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- 49 ：￥ ：2017/09/02(土) 12:35:05.23 ID:z17/uuYO.net
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- 50 ：１３２人目の素数さん：2017/09/02(土) 12:41:46.72 ID:3V8qFOPU.net
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- 51 ：１３２人目の素数さん：2017/09/10(日) 04:00:33.43 ID:GGGugCiK.net
- >>9-10
複素数体上で因数分解できる（可約）ことは、代数学の基本定理（ガウスの学位論文）なりけり。
（大意）
しかし位相的な概念が未開拓の時代に、多項式の軌跡がある点のまわりを何周するか表示するのさえ一苦労だった。
それを現代的な表現形式に整合しないと言って批判するのは 2x2=4 と同じぐらい簡単なことだなあ。
今では解析的に「整関数」とか持ってきてリュービルの定理を使うのが早いかも。
- 52 ：１３２人目の素数さん：2017/09/10(日) 04:49:53.14 ID:zM8ePnYv.net
- >>51
君は黙ってた方がいい
- 53 ：１３２人目の素数さん：2017/09/10(日) 06:47:26.96 ID:tt7dT1ES.net
- 耳栓をしたら世界が変わってワロタ
- 54 ：１３２人目の素数さん：2017/09/10(日) 12:55:39.62 ID:GGGugCiK.net
- >>9-10
話が逸れてしまった。ｽﾏｿ
根を求めずに（2次以上の）因数を直接求めるアルゴリズムがあるかどうか、ですね。
- 55 ：１３２人目の素数さん：2017/09/10(日) 14:06:40.99 ID:TOByQI19.net
- 例えばx^2-y^3∈C[x,y]という多項式をどうやって因数分解するんですかね……
代数学の基本定理使っていいよ(どう使うのか知らんけど)
- 56 ：１３２人目の素数さん：2017/09/10(日) 20:33:30.53 ID:sZp16U24.net
- (x+y^(3/2))(x-y^(3/2))
- 57 ：１３２人目の素数さん：2017/09/10(日) 22:35:48.74 ID:TOByQI19.net
- 多項式環の中での分解じゃないんかーい
- 58 ：１３２人目の素数さん：2017/09/11(月) 08:32:53.48 ID:y9hmVKAY.net
- 耳栓をしたら世界が変わってワロタ
- 59 ：１３２人目の素数さん：2017/09/12(火) 19:15:53.73 ID:YsdDbYfo.net
- >>55 >>57
xの多項式の積に因数分解しますた。
- 60 ：１３２人目の素数さん：2017/09/12(火) 19:21:23.03 ID:sYsWMsP9.net
- それなら2次以上の全ての多項式は(適当に変数を固定した上で)代数閉包の中で因数分解出来出来るから、そもそもの「因数分解可能性判定のアルゴリズム」を考える意味がないな
- 61 ：１３２人目の素数さん：2017/09/12(火) 19:35:11.86 ID:kC7odTIm.net
- ↑
阿呆の典型
- 62 ：１３２人目の素数さん：2017/09/13(水) 08:14:30.03 ID:KCTM05Fh.net
- 多変数多項式環でそんなこと…
- 63 ：１３２人目の素数さん：2017/09/13(水) 12:11:04.39 ID:2L/JWqdx.net
- 代数閉包じゃなくて整閉整域の間違いだろ
- 64 ：１３２人目の素数さん：2017/09/13(水) 14:13:59.90 ID:HyiuMNX2.net
- 耳栓をしたら世界が変わってワロタ
- 65 ：１３２人目の素数さん：2017/09/13(水) 15:53:25.38 ID:c08G5Hbx.net
- 惨めな奴
- 66 ：１３２人目の素数さん：2017/09/15(金) 05:55:31.39 ID:F69fW4K/.net
- 耳栓をしたら世界が変わってワロタ
- 67 ：１３２人目の素数さん：2017/09/18(月) 15:53:37.04 ID:yPYGMzhj.net
- 1から9までの数を1つずつ成分に持つ3×3行列の行列式の最大値を求めよ
- 68 ：１３２人目の素数さん：2017/09/18(月) 16:28:44.10 ID:GxxGBFoM.net
- さっぱりわからないな
どこがどう面白いのか
- 69 ：１３２人目の素数さん：2017/09/19(火) 02:35:12.36 ID:j5C1c71V.net
- >>63
君は黙ってた方がいい
- 70 ：１３２人目の素数さん：2017/09/19(火) 13:09:26.44 ID:WFAZQDNC.net
- >>67
まず1^2～9^2の和285を求めて
3等分すると95
3つの2乗和が95に近い組み合わせは
(9,3,2)と(8,5,1)と(7,6,4)
なるべく垂直に近くなるように組み合わせて
|9,3,2|
|1,5,8|=98
|6,4,7|
- 71 ：１３２人目の素数さん：2017/09/19(火) 19:25:01.65 ID:2LE/gb8B.net
- 148
726
593
=412.
- 72 ：１３２人目の素数さん：2017/09/20(水) 13:07:13.46 ID:hBQz7Wq4.net
- どーやって出したの－？
- 73 ：１３２人目の素数さん：2017/09/20(水) 20:11:58.15 ID:kPd7qqoJ.net
- しらみ潰しにやっても9!=362880通りでしょ
- 74 ：１３２人目の素数さん：2017/09/21(木) 23:31:46.00 ID:BjBw5Tqa.net
- A_N={a^2+b^2 | a,b∈N}={1,2,5,8,10,13,…}
と
A_Z={a^2+b^2 | a,b∈Z}={0,1,2,4,5,8,9,10,13,16,…}が、それぞれ乗法に関して閉じていることを示せ。
すなわち、2平方数の和で表せる数どうしの積も2平方数の和で表せることを示せ。
- 75 ：１３２人目の素数さん：2017/09/22(金) 00:02:59.44 ID:sJRN4z1J.net
- 反例
(1^2+1^2)*(1^2+1^2)=4
- 76 ：１３２人目の素数さん：2017/09/22(金) 00:38:40.32 ID:QEpB9Ilp.net
- A_Nの方は無視して下さい。
- 77 ：１３２人目の素数さん：2017/09/22(金) 01:58:30.80 ID:Pj5LbyXe.net
- (a^2+b^2)(x^2+y^2)=(ax+by)^2+(ay-bx)^2
- 78 ：１３２人目の素数さん：2017/09/22(金) 05:18:57.27 ID:JQid37/t.net
- (1)tan(π/n)が有理数となるような自然数nは1,4のみであることを証明せよ
(2)格子点を結んで出来る正多角形は正方形のみであることを示せ
- 79 ：１３２人目の素数さん：2017/09/22(金) 11:41:00.79 ID:1BMCcREk.net
- >>77正解
【解説】
Brahmagupta–Fibonacci の恒等式（Brahmagupta の2平方恒等式、Diophantus の恒等式）
(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2 …★
x,yをn次元列ベクトルとすると
Lagrange の恒等式
|x・y|^2+|x×y|^2=|x|^2|y|^2
が成り立つ。
★はこの特別な場合（n=2でx=[±a,±b]T, y=[±c,±d]T（複号任意、Tは転置））である。
★は
Euler の4平方恒等式
Degen の8平方恒等式
Pfister の16平方恒等式
の特別な場合でもある。
★は
Brahmagupta の恒等式
(a^2+nb^2)(c^2+nd^2)=(ac+nbd)^2+n(ad-bc)^2=(ac-nbd)^2+n(ad+bc)^2
の特別な場合（n=1）でもある。
この恒等式は、あるnについてB_n={a^2+nb^2 | a,b∈Z}が乗法に関して閉じていることを示している（B_1=A_Z）。
- 80 ：１３２人目の素数さん：2017/09/22(金) 11:41:48.44 ID:1BMCcREk.net
- このせっかく書いた解説を貼りつけたかっただけなんだよね
- 81 ：１３２人目の素数さん：2017/09/30(土) 19:20:17.23 ID:xCMLiX5D.net
- ここが次スレになったの？
- 82 ：１３２人目の素数さん：2017/09/30(土) 20:08:43.26 ID:MLHXLYIv.net
- 誰も建てないから！
- 83 ：subo：2017/10/02(月) 20:55:55.49 ID:DNso6s4Z.net
- 部屋に４Ｘ４のマスの盤があります。
悪魔はＡ、Ｂを部屋の外に待機させ、この盤に碁石（黒石）をランダムに置いていきます
尚、各マスに置ける黒石は一つです
黒石を配置したあとＡを部屋の中に入れ１以上１６以下の整数のどれか一つを告げます
Ａは４Ｘ４のマスの盤の上に
①黒石が置いていないマスに一つだけ黒石を置く
②黒石が置いてあるマスから一つだけ黒石を取り除く
のいずれかの操作を一回だけ行います
その後Ｂを部屋の中に入れ、Ｂは盤の様子を見てＡに告げられた整数を当てます
Ａ，Ｂはどのような戦略を取ればよいでしょうか？
尚Ａ、Ｂは初めの配置を知りません
ルールを知った上で開始前に戦略を打ち合わせることができます
- 84 ：１３２人目の素数さん：2017/10/02(月) 22:38:21.72 ID:32ZOrIhi.net
- 確率の問題です。
2個並列の電池があります。
1個の電池が100時間で切れる確率は1%。
ただし1個が切れると、もう片方により負荷がかかるので、残った2個目の電池が100時間で切れる確率は2%に上がります。
さて、2個並列の電池が100時間のうちに①0個切れる②1個切れる③2個切れる確率をそれぞれ求めよ。
- 85 ：１３２人目の素数さん：2017/10/02(月) 22:49:11.60 ID:n0H9QlEZ.net
- マルチだらけだな
- 86 ：１３２人目の素数さん：2017/10/03(火) 00:00:42.09 ID:PmCavwN2.net
- >>83
マルチだから、こっちも見ているのだろうから書いておくと
悪魔の告げる数字が何を意味しているのかが書かれていなければA、Bに代わって戦略を立てる手だてがない。
マルチ先の追加の書き込みをみると、４×４のマスには１から１６の数字を当てているようだが、そんなことは最初の問題には書かれていない。
Aの操作と告げられた数の間との関係が不明なのでそこから先、何も言えない。
総じて、問題記述とは何か、についての教養が足りない、というところか。
- 87 ：subo：2017/10/03(火) 00:28:24.59 ID:izOJ84j7.net
- >>86
悪魔の告げる数字は１から１６までの整数でランダムです
Ａに告げた数字をＢに当ててもらうという意味です
１から１６の数字は便宜上割り振りました
Ａは数字を聞いた後一回だけ操作します
Ｂは悪魔が黒石を置いた盤面とＡに告げた数字、Ａがどこを操作したかわかりません
Ａ、Ｂは悪魔からルールをきいたあと２人で相談して、後にゲームをします
これでよろしいでしょうか
- 88 ：１３２人目の素数さん：2017/10/03(火) 00:34:14.49 ID:PmCavwN2.net
- 全然
- 89 ：１３２人目の素数さん：2017/10/03(火) 00:42:29.06 ID:PmCavwN2.net
- >>88
というだけでは不親切なので書き足しておくと
悪魔がAに告げた数とAの操作との関係（ルールのことだ）が示されていなければ、
>>87の、Bに関することは全く無意味な設定であり設問。
パズルにもなっていない。
- 90 ：１３２人目の素数さん：2017/10/03(火) 07:47:18.05 ID:o8kwb0ZL.net
- 数字はなんでもよくて、Aの操作からそれを当てろって問題でしょ
- 91 ：１３２人目の素数さん：2017/10/03(火) 08:10:01.04 ID:h+mIy0yD.net
- Ａ
○○１ ●○。
○○２ ○●。
○●１ ○○。
○●２ ●●。
●○１ ○○。
●○２ ●●。
●●１ ●○。
●●２ ○●。
Ｂ
○○ １。
○● ２。
●○ １。
●● ２。
- 92 ：１３２人目の素数さん：2017/10/03(火) 09:54:43.47 ID:TBTW+f/Z.net
- >>89
Ａ、Ｂは悪魔からルールの説明を聞いた後２人で相談し、Ａは悪魔が黒石を置いた
盤から一回だけ黒石を置く又は黒石を消去の操作で悪魔から告げられた整数
の数がＢにわかるようにする
尚一つのマスには黒石は一つしか置けません
インチキやとんちとかではなく数学的手法による理詰めもの問題です
- 93 ：１３２人目の素数さん：2017/10/03(火) 10:00:56.29 ID:TBTW+f/Z.net
- Ａは一回の操作でＢに１から１６までの数字が読みとれるように操作します
盤には数字など書いてませんが二人の相談であらかじめ数字を割り振るのは問題
ないです
Ａは４回操作できるなら簡単だち思いますが
- 94 ：１３２人目の素数さん：2017/10/03(火) 10:10:29.65 ID:TBTW+f/Z.net
- １→０００１ ９→１００１
２→００１０ １０→１０１０
３→００１１ １１→１０１１
４→０１００ １２→１１００
５→０１０１ １３→１１０１
６→０１１０ １４→１１１０
７→０１１１ １５→１１１１
８→１０００
- 95 ：１３２人目の素数さん：2017/10/03(火) 10:51:25.57 ID:/5TlxbPt.net
- >>89
>ID:PmCavwN2
問題の意図が理解できてないね
2^16のパターンを16通りに分類してどのパターンからも16通りの変更パターンが別々の分類になるようにせよって問題よ
- 96 ：１３２人目の素数さん：2017/10/03(火) 21:04:19.32 ID:TBTW+f/Z.net
- 0 1 2 3
4 5 6 7
8 9 10 11
12 13 14 15
００００→１ １０００→９
０００１→２ １００１→１０
００１０→３ １０１０→１１
００１１→４ １０１１→１２
０１００→５ １１００→１３
０１０１→６ １１０１→１４
０１１０→７ １１１０→１５
０１１１→８ １１１１→１６
- 97 ：１３２人目の素数さん：2017/10/03(火) 21:11:07.98 ID:TBTW+f/Z.net
- >>94
の表を元に
１、３、５，７、９、１１、１３、１５→１桁の１に対応
２、３、６、７、１０、１１、１４、１５→２桁の１に対応
４、５、６、７、１２、１３、１４、１５→３桁の１に対応
８、９、１０、１１、１２、１３、１４、１５→４桁の１に対応
- 98 ：１３２人目の素数さん：2017/10/03(火) 23:25:14.59 ID:TBTW+f/Z.net
- >>97
より
悪魔の設定した盤面から１桁に対応する数字に置いてある石の合計が偶数なら０
奇数なら１とします
以下同様に４桁まで計算し１０進法に換算した数字が初期設定の数字になります
- 99 ：１３２人目の素数さん：2017/10/04(水) 00:39:10.88 ID:7B5xw5D5.net
- >>98
分からん
- 100 ：１３２人目の素数さん：2017/10/04(水) 01:00:01.65 ID:ECkyD75U.net
- マスを００００～１１１１に対応させる。
数を００００～１１１１に対応させる。
Ａは石のあるマスと数の排他的論理和のマスを変える。
Ｂは石のあるマスの排他的論理和に対応する数を答える。
- 101 ：１３２人目の素数さん：2017/10/04(水) 01:15:27.75 ID:5LumzJji.net
- >>83
前提として、盤面の向きはどちらが正面かなどわかるものとして考える。
盤面のマスに0から16までの通し番号をつけておく。
悪魔が告げた数が16の時は0とみなす。
Aの行動：悪魔が黒石を置いたマスのすべての番号および悪魔が告げた数を
２進法4桁で表し、それらすべての数について桁毎に排他的論理和をとる。
得られた4桁の２進数に相当するマスに黒石があれば取り除き、なければそこに黒石を置く。
Bの行動：黒石の置いてあるマスのすべての番号を２進法4桁で表し、
それらすべてについて桁毎に排他的論理和をとる。
得られた4桁の２進数に相当する数が悪魔が告げた数。（0のときは16とみなす）
- 102 ：１３２人目の素数さん：2017/10/04(水) 01:16:06.37 ID:5LumzJji.net
- かぶったorz
- 103 ：１３２人目の素数さん：2017/10/04(水) 10:11:27.30 ID:e98YzzLb.net
- >>101
>前提として、盤面の向きはどちらが正面かなどわかるものとして考える
そうですね、ご指摘ありがとうございました
- 104 ：１３２人目の素数さん：2017/10/04(水) 11:15:52.81 ID:5LumzJji.net
- >>101
誤：0から16
正：0から15
- 105 ：１３２人目の素数さん：2017/10/04(水) 14:29:12.90 ID:DglZq4kI.net
- 2べきならok?
- 106 ：１３２人目の素数さん：2017/10/04(水) 15:32:09.52 ID:1jJ7Y6uu.net
- >>83
悪魔が配置した黒石の総数が、操作前に偶数なら、操作後の黒石の数は奇数。
操作前に奇数なら、操作後の黒石の数は偶数。
この偶奇は悪魔依存でプレイヤーは変更できない。
操作後の石の総数が偶数の場合、８マスずつに分けると、それぞれのマスの中の
黒石の数は、「偶数と偶数」か「奇数と奇数」になる。
操作後の石の総数が奇数の場合、８マスずつに分けると、それぞれのマスの中の
黒石の数は、「偶数と奇数」か「奇数と偶数」になる。
これらに注意し、盤面に次のように点数を与え、操作後の盤面値が、通告された
整数になるように、いずれか一カ所マスに操作を行う
１列目と２列目の合計８マスの黒石の数が奇数なら８
１列目と３列目の合計８マスの黒石の数が奇数なら４
１行目と２行目の合計８マスの黒石の数が奇数なら２
１行目と３行目の合計８マスの黒石の数が奇数なら１
（操作前の盤面値と、目標の盤面値から、操作すべき一マスが定まる）
- 107 ：１３２人目の素数さん：2017/10/04(水) 19:09:31.76 ID:e98YzzLb.net
- 悪魔の問題は２進数から１０進数に１０進数から２進数に変換できる方を対象にしています
排他的論理和については知っていれば演算に便利です
- 108 ：１３２人目の素数さん：2017/10/04(水) 19:12:55.40 ID:e98YzzLb.net
- ０、 １、 ２ 、３
４、 ５、 ６、 ７
８ 、９、 １０ １１
１２、１３、１４、１５
- 109 ：１３２人目の素数さん：2017/10/04(水) 19:15:06.29 ID:e98YzzLb.net
- >>97
より
１、３、５，７、９、１１、１３、１５→１桁の１に対応
２、３、６、７、１０、１１、１４、１５→２桁の１に対応
４、５、６、７、１２、１３、１４、１５→３桁の１に対応
８、９、１０、１１、１２、１３、１４、１５→４桁の１に対応
- 110 ：１３２人目の素数さん：2017/10/04(水) 19:22:26.23 ID:e98YzzLb.net
- ０から始まる盤面にそれぞれの桁の１に対応する数字を当てはめます
１桁の数字は１の縦列と３の縦列です
２桁の数字は２の縦列と３の縦列です
３桁の数字は４の行と１２の行です
４桁の数字は８の行と１２の行です
- 111 ：１３２人目の素数さん：2017/10/04(水) 19:25:38.64 ID:e98YzzLb.net
- それぞれの縦列と横行を組み合わせることによって１６通り数に一回の操作で
変換することができます
- 112 ：１３２人目の素数さん：2017/10/04(水) 19:29:11.30 ID:e98YzzLb.net
- １１１１を一回の操作で００００にするためには４桁の縦列、横行が重なる数字です
つまり１５のマスということになります
- 113 ：１３２人目の素数さん：2017/10/04(水) 19:32:49.88 ID:e98YzzLb.net
- 初期の２進数で得られた数字をそのまま変換したくないときは
１から４桁のそれぞれの縦、横が重ならない数字
つまり０のマスです
１１２のレスの４桁は１から４桁に変更します
- 114 ：１３２人目の素数さん：2017/10/04(水) 19:47:56.89 ID:e98YzzLb.net
- 悪魔が設定した盤面が２進数で１１０１（計算は９７、９８参照）、告げられた整数が
１１だとしたら、悪魔の告げた１１は１０進数（１～１６）なので２進数（０～１５）で計算
する場合ー１して１０、１０は２進数で１０１０です
排他的論理和の演算では
１１０１（＋を丸で囲う記号）１０１０＝０１１１、０１１１は７ですので７のマスを操作します
- 115 ：１３２人目の素数さん：2017/10/04(水) 19:56:10.62 ID:e98YzzLb.net
- ＢはＡが操作した後の盤面から９７，９８の要領で計算すると１０１０が求められます
１０進数にすると１０ですが２進数（０～１５）に基づいて計算した値なので１０進数（１～１６）
では１加えて１１になります
- 116 ：１３２人目の素数さん：2017/10/04(水) 20:04:08.62 ID:e98YzzLb.net
- 操作する０１１１（７）は１桁、２桁、３桁を同時に切り替えすることになります
１０９のレスにある桁に対応する数字を見ていただくと７は１桁、２桁、３桁にありますが
４桁にはありません
つまり１、２，３桁は変更して４桁は変更しないということです
- 117 ：１３２人目の素数さん：2017/10/04(水) 20:10:04.60 ID:e98YzzLb.net
- １０９のレスから初期設定で求められた２進数の各桁（各ビット）から
１と４のビットを変更したい場合には１と４のビットのみにある９のマスを操作することになります
- 118 ：１３２人目の素数さん：2017/10/04(水) 20:15:07.27 ID:e98YzzLb.net
- 尚、石が置いてあるマス、置いてないマスはー１又は＋１ですのでどちらも
偶数から奇数、奇数から偶数に変更できますので石が置いてあるマス、置いてないマス
に関わらず計算には影響を及ぼしません
- 119 ：１３２人目の素数さん：2017/10/04(水) 20:26:02.16 ID:e98YzzLb.net
- 計算する場合には１１０レスを４Ｘ４の盤面に投影して１ビットの縦列（２）、２ビットの縦列（２）
３ビットの横行（２）、４ビットの横行（２）をイメージして計算し、操作するマスは変更するビット
のみの重複する部分を探すようにすれば脳内計算が楽になるかも
- 120 ：１３２人目の素数さん：2017/10/04(水) 20:31:42.94 ID:e98YzzLb.net
- とりあえず悪魔の問題の説明は終わらせていただきます
不明な点があれば遠慮なくどうぞ（次の問題が出せないし
- 121 ：１３２人目の素数さん：2017/10/04(水) 20:48:47.39 ID:XgFrbgQj.net
- 誰も相手にしてくれませんでしたね
- 122 ：１３２人目の素数さん：2017/10/04(水) 21:06:25.99 ID:e98YzzLb.net
- >>121
数学版は数学やパズルが嫌いな奴の集まりなのか？
パズル版は過疎ってるしな、囲碁や将棋版のほうがいいかもな
特にプロ棋士は考えるのが好きだしな、藤井４段に出してみるか
- 123 ：１３２人目の素数さん：2017/10/05(木) 00:37:15.58 ID:UpBq7URN.net
- >>100,110
が出ているのに、何をゴチャゴチャ
- 124 ：１３２人目の素数さん：2017/10/05(木) 00:38:27.19 ID:UpBq7URN.net
- 間違えた。
>>100,101
- 125 ：１３２人目の素数さん：2017/10/05(木) 00:58:31.42 ID:UYhgoWZA.net
- >>106
2マスで1～2もできたけど
2ベキなら同じようにできるの？
それとも2の2ベキ（2，4，16，256…）でないと駄目？
- 126 ：１３２人目の素数さん：2017/10/05(木) 00:59:56.77 ID:UYhgoWZA.net
- >>122
一般化して見てよ
- 127 ：１３２人目の素数さん：2017/10/05(木) 01:11:01.47 ID:wKzID2dg.net
- >>89みたいなアホに絡まれてるときは気の毒だと思ったが、
いざ解答が書き込まれても無視してゴチャゴチャと
自分の見解を書くだけの人間だと分かったので
同情の余地なしだわな
- 128 ：１３２人目の素数さん：2017/10/05(木) 01:59:28.00 ID:yUeXuwQW.net
- >>125
106の回答者です。出題者ではありません。問題を見て考え、一定の方法に至り、
回答を作成しアップしましたが、実質的に同じ内容の回答がアップされていて、一番でなかった
のは少々残念でした。排他的論理和という言葉を使えば、すっきりですね。
ただ「４×４の盤」や「碁石」という設定にに即した回答を作り、あのようにしました。
>>それとも2の2ベキ（2，4，16，256…）でないと駄目？
出題者と勘違いされてのご指定だったのかもしれませんが、せっかくなので、私の考えをば。
マスの数は16。このマスのどれかを変更するので、加えられる情報は4ビット。
16マスを8マス－8マスに二分するという二分探索を4回できることに対応します。
この二分探索を適切に行うことを前提にすれば、2のべきのマスなら、可能といえるでしょう。
では、2のべきでない場合、どうでしょうか？
nマスからなる盤面(？)あり、悪魔からは、0～n-1の整数が指定されるとします。
任意の盤面状態から、一マスの状態を変更することで、「盤面値」を0～n-1のどれかに変更
できなければなりません。盤面の状態数は2^n通りあります。盤面値はn通りあるので、
ある盤面値に対し盤面の数は、2^n/nとなります。これは、nが2のべきでないと割り切れません。
つまり、盤面値によって、それに対応する盤面数が異なることがあることを意味します。
対称的でないと成立しなさそうな問題なので、無理なのでは？ というのが私の考えです。
- 129 ：１３２人目の素数さん：2017/10/05(木) 12:14:19.98 ID:XL413ZpQ.net
- ０、 ①、２、 ③ 初期設定
４ 、⑤、６、 ７
８、 ⑨、⑩、 ⑪
⑫，１３、⑭、１５
- 130 ：１３２人目の素数さん：2017/10/05(木) 12:20:11.93 ID:XL413ZpQ.net
- 出題者です、８Ｘ８マスで告げられる整数が１から６４の場合は１１１１１１は６３ですので
解答可能ですね
意味不明、パズルとして成立しない、不備だらけなどは嫌がらせとして無視します
- 131 ：１３２人目の素数さん：2017/10/05(木) 12:34:08.64 ID:XL413ZpQ.net
- サイコロがあります、一般に売られている普通のサイコロです
ＡとＢにサイコロを使ったゲームをしてもらいます
まずじゃんけんなどにより、先手、後手を決めてもらい、先手はまずサイコロの目を
表示します、サイコロの一番上の目ですね
次に後手は４つある横の面のどれかに傾けます
例えば先手が１の目を出したら次に後手が出せる目は２、３、４、５のどれかになります
このようにしてサイコロの合計が３１を越えたら負けになるというゲームです
先手必勝か後手必勝か、先手必勝なら最初に出す目は？
- 132 ：１３２人目の素数さん：2017/10/05(木) 12:40:08.49 ID:XL413ZpQ.net
- 先手が最初にだす目はランダムですけど、目を表示した瞬間に先手必勝か後手必勝か
が決定します
二人零和有限確定完全情報ゲームになりますので必勝法が存在します
- 133 ：１３２人目の素数さん：2017/10/05(木) 12:42:34.31 ID:XL413ZpQ.net
- >>131
サイコロの合計→サイコロの目の合計
- 134 ：１３２人目の素数さん：2017/10/05(木) 12:57:24.47 ID:DWW9UCvZ.net
- コマ大かな？
- 135 ：１３２人目の素数さん：2017/10/05(木) 14:07:43.65 ID:nY7mqHtK.net
- 母線1の円錐の体積の最大値は？
- 136 ：１３２人目の素数さん：2017/10/05(木) 14:46:10.23 ID:YNcEijUt.net
- 最小値=最大値=0 とかいう引っ掛け問題？
- 137 ：１３２人目の素数さん：2017/10/05(木) 15:08:02.25 ID:nY7mqHtK.net
- 普通の問題
- 138 ：１３２人目の素数さん：2017/10/05(木) 17:45:40.51 ID:yUeXuwQW.net
- >>131
合計数が、
3+9kで手番が回ってくると、どのような出目であっても、必敗
1,2,5,6+9kで手番が回ってくると、どのような出目であっても、必勝
0,4,8+9kで手番が回ってくると、出目が、3,4の場合は必敗、その他の場合は必勝
7+9kで手番が回ってくると、出目が2,5の場合は必敗、その他の場合は必勝
従って、先手が必勝になるのは、最初のサイ振りで、3または4を出したとき。
その他の場合は後手必勝
>>135
高さをhとすると半径は√(1-h^2)
体積をVとすると、
(V/π)^2=(h(1-h^2)/3)^2=(1/9) h^2 (1-h^2)^2=(4/9) h^2 ((1-h^2)/2)^2
≦(4/9) [(h^2 + (1-h^2)/2 + (1-h^2)/2)/3]^3 = (4/9) (1/27)
従って体積の最大値は2π/(9√3) この値は、h^2=(1-h^2)/2 つまり 高さが1/√3 のとき
普通にやると、微分して極値を求める問題になるけど、
V^2で考えると、平易な相加相乗平均の問題にすることができるのが、このスレで出された理由かな
- 139 ：１３２人目の素数さん：2017/10/05(木) 17:52:02.86 ID:yUeXuwQW.net
- >>138
補足
ゴールに近い場合は、特殊処理が必要で、あの一般式は当てはまりらないことがあります。
- 140 ：１３２人目の素数さん：2017/10/05(木) 20:30:02.92 ID:XL413ZpQ.net
- コマ大、、、、コマネチ大ですね
- 141 ：１３２人目の素数さん：2017/10/05(木) 20:34:09.34 ID:XL413ZpQ.net
- >>138
最初の目が３の場合には後手は１の目が出せるので合計４になり後手は先手で
４の目を出したことと同じになりますが
- 142 ：１３２人目の素数さん：2017/10/05(木) 21:09:12.34 ID:yUeXuwQW.net
- 合計が４で同じでも、出目の状態が４なのか、１なのかが異なるので、同じ状態ではありません。
先手が３を出し、後手が１を出してきた場合は、先手は４を出し、
「合計８、出目４」の状態で手を渡します
これに対し、後手版は、１２で渡せれば必勝パターンに持ち込めるのですが、現在の出目が４なので、
１２にすることはできません。
あれ！、あなた、出題者さんですよね。
- 143 ：１３２人目の素数さん：2017/10/05(木) 21:30:01.51 ID:T12hOafX.net
- 先手３後手１先手４後手５。
先手３後手５。
- 144 ：１３２人目の素数さん：2017/10/05(木) 21:41:16.30 ID:XL413ZpQ.net
- >>142
とある理由で勘違いしてました、どうもすいません
先手が３を出し、後手が１を出し、先手が４を出してきた場合には
後手は５の目をだします
合計１３でのこり３１ー１３＝１８になります
- 145 ：１３２人目の素数さん：2017/10/05(木) 21:42:41.47 ID:yUeXuwQW.net
- >>先手３後手１先手４後手５。
「合計13、出目5」ですね。この状態を [13(5)] と表すことにします。この状態に対する手は４です
[13(5)]→4[17(4)]
>>先手３後手５。
[8(5)]→4[12(4)]
- 146 ：１３２人目の素数さん：2017/10/05(木) 21:42:54.35 ID:UYhgoWZA.net
- >>130
何で正方形にこだわるの？
- 147 ：１３２人目の素数さん：2017/10/05(木) 21:44:53.85 ID:XL413ZpQ.net
- >>143
>先手３後手１先手４後手５。
先手３の次後手は６の目をだします
- 148 ：１３２人目の素数さん：2017/10/05(木) 21:47:41.96 ID:yUeXuwQW.net
- あ、ちょっと待ってください。
>>このようにしてサイコロの合計が３１を越えたら負けになるというゲームです
合計31はセーフなのですか？
31以上がアウトとして解きました。32以上がアウトなら、一つづつずれます。
- 149 ：１３２人目の素数さん：2017/10/05(木) 21:50:27.61 ID:XL413ZpQ.net
- >>145
先手３後手１先手４後手５先手４ですか
この場合後手は５を出します
５の目で次先手、合計２２、３１ー２２＝残り９になります
- 150 ：１３２人目の素数さん：2017/10/05(木) 21:51:25.51 ID:XL413ZpQ.net
- ３１超がアウトなので３２になったら負けです
- 151 ：１３２人目の素数さん：2017/10/05(木) 22:01:38.64 ID:yUeXuwQW.net
- 31以上が負けとして>>138は回答を作りました。
32以上が負けなら、一つずつずれます。勘違いしました。改めてアップします。
合計数が、
4+9kで手番が回ってくると、どのような出目であっても、必敗
2,3,6,7+9kで手番が回ってくると、どのような出目であっても、必勝
0,1,5+9kで手番が回ってくると、出目が、3,4の場合は必敗、その他の場合は必勝
8+9kで手番が回ってくると、出目が2,5の場合は必敗、その他の場合は必勝
従って、先手が必勝になるのは、最初のサイ振りで、4または5を出したとき。
その他の場合は後手必勝。
ただし、ゴール近くでは、上の一般式が当てはまらないことがあります。
先手3は必敗手順になります。
- 152 ：１３２人目の素数さん：2017/10/05(木) 22:12:38.57 ID:XL413ZpQ.net
- >>151
９Ｋというのは９の倍数という意味でしょうか
先手が５を出した場合には後手は４を出します
- 153 ：１３２人目の素数さん：2017/10/05(木) 22:22:59.91 ID:XL413ZpQ.net
- 悪魔の問題で正方形じゃない場合はということだったんですね
正方形でない場合は考えてませんでした
- 154 ：１３２人目の素数さん：2017/10/05(木) 22:31:55.36 ID:yUeXuwQW.net
- >>151
先手必勝状態は、一つずらしただけでは通用しませんでした。
修正します。３２以上になったら負けという条件では先手必勝は４の時のみです。
- 155 ：１３２人目の素数さん：2017/10/05(木) 22:35:49.35 ID:yUeXuwQW.net
- >>152
kを整数として、4+9k という形で表せる整数の時という意味です。
つまり、4+9kというのは、4,13,22,31,40,...の値の時という意味です。
>>2,3,6,7+9kで手番が回ってくると、
こちらは、2+9k、または、3+9k、または、6+9k、または、7+9k という意味で書いています。
- 156 ：１３２人目の素数さん：2017/10/05(木) 22:43:46.75 ID:XL413ZpQ.net
- >>154
先手４で後手１の場合、先手は
- 157 ：１３２人目の素数さん：2017/10/05(木) 22:57:03.13 ID:yUeXuwQW.net
- >>156
4[4(4)]→1[5(1)]→4[9(4)] 以後分岐
→1[10(1)]→3[13(3)]または4[14(4)]
→2[11(2)]→2[13(2)]または3[14(3)]
→5[14(5)]→4[18(4)]
→6[15(6)]→2[17(2)]または3[18(3)]または4[19(4)]
- 158 ：１３２人目の素数さん：2017/10/05(木) 23:08:58.28 ID:yUeXuwQW.net
- >>157
に補足します。>>151を読めば、どのような手を取るか判るはずです。
必勝パターンに入っている場合ですが、次の手を指します。（複数実現できる場合はどれでも可）
・合計を4+9kにする
・3または4を出して、合計を0,1,5+9kにする
・2または5を出して、合計を8+9kにする
- 159 ：１３２人目の素数さん：2017/10/05(木) 23:20:36.49 ID:XL413ZpQ.net
- >>157
先手４、後手１、先手４、後手１、先手３又は４、、、
先手４、後手１、先手４、後手２、先手２又は３、、、、（後手２、先手２？
- 160 ：１３２人目の素数さん：2017/10/05(木) 23:31:52.08 ID:XL413ZpQ.net
- >>158
>・3または4を出して、合計を0,1,5+9kにする
・2または5を出して、合計を8+9kにする
先手が３又は４を出して合計９Ｋ、１＋９Ｋ、５＋９Ｋ
先手が２又は５を出して合計８＋９Ｋ にして後手に手を渡せば先手必勝という意味ですか
- 161 ：１３２人目の素数さん：2017/10/06(金) 00:15:26.19 ID:yM7HZvxZ.net
- >>160
ここで言う、「先手」、「後手」というのは、ゲームスタート時どちらが先に手を打ったかという
意味だと思いますが、この観点は、あの説明には、関係ありません。
先手必勝パターンでスタートし、ずっと必勝パターンを保っていれば先手側への「虎の巻」だし、
先手必勝パターンでスタートしたものの、ミスをして、後手側に勝ち筋がやってきたら、後手側への
「虎の巻」になります。
後手必勝パターンからスタートし、ミスがなければ、後手側への「虎の巻」だし、
ミスをして、先手側に勝ち筋を渡してしまうと、先手側への「虎の巻」になります。
手番が自分に回ってきて、その直後の状態（＝操作を行うまえの状態）か、操作を行った後の状態かに注目します。
・操作を行う前の状態が、これこれの場合は、必勝パターンである／必敗パターンである
・操作を行った直後の状態が、これこれの場合は、必勝パターンである／必敗パターンである
等といろいろな言及の仕方がありますが、>>158で私が行った説明は、
操作直後の状態をこれこれにすれば（自分が）必勝パターンにある、あるいは、これこれにすることが出来るようならば、
必勝パターンにあり、出来ないならば、必敗パターンにあるというような形式での言及です。
自分の手番になって、操作を行い、相手に手番を渡す。
手番を渡す時のサイコロの目の合計を、4+9kにするか、0,1,5+9kにするか（出目は3か4限定）、
8+9kにする(出目は2or5限定) この状態で手番を渡すことが出来れば、（自分の）勝ちパターンだし、
逆に、そのような操作がいずれも出来ないのならば、手番を受け取ったときにすでに負けパターンに陥っていたと言うことです。
- 162 ：１３２人目の素数さん：2017/10/06(金) 00:28:27.51 ID:yM7HZvxZ.net
- さらに補足
>>158は、操作「後」の状態を、これこれに「すれ」ば勝ちパターンという という形で、
勝ちパターンの場合についてのみ説明を与えています。
>>151は、操作「前」の状態を「見て」、これこれの場合は勝ちパターン、これこれの場合は負けパターンと
分類しています。
勝ちパターンを維持するためには、具体的にどのようにすればよいかを、直接的には書かれていませんが、
きちんと読み取れば判ります。
つまり、操作後の状態をここで分類している必敗パターンにすれば、いいのです。
そうすれば、相手は、必敗パターンで手番を受け取ることになるからです。
- 163 ：１３２人目の素数さん：2017/10/06(金) 00:38:51.96 ID:BYQIr94n.net
- >>131
> まずじゃんけんなどにより、先手、後手を決めてもらい、先手はまずサイコロの目を
> 表示します、サイコロの一番上の目ですね
この表示って何？
「先手になった人間がサイコロを振る」という意味でいいの？
で、「一番上の目」というのは「普通にサイコロを振って出た目」のこと？
> 次に後手は４つある横の面のどれかに傾けます
「サイコロを傾ける」って何？
『その「ある横の面のどれか」が上になるように転がす』ということ？
> 例えば先手が１の目を出したら次に後手が出せる目は２、３、４、５のどれかになります
>
> このようにしてサイコロの合計が３１を越えたら負けになるというゲームです
で「合計」の対象は、「上になった面の目」の合計で
「次々に足し込んでいく」という計算でいいのかい？
> 先手必勝か後手必勝か、先手必勝なら最初に出す目は？
「最初に出す目」って『最初に「振って出てほしい目」』のことでいいんだろ？
なんか意味の取りずらい表現の連続だなあ
- 164 ：１３２人目の素数さん：2017/10/06(金) 07:50:26.19 ID:Qm7dXfuX.net
- 置くんじゃねえの？
問題の内容からして振る場面は一度もないんじゃないかと理解した
しかし「置く」と書くだけではっきりするのにとも思った
サイコロの通常の使用方法とは違うということをはっきりさせないとわかりにくい
- 165 ：１３２人目の素数さん：2017/10/06(金) 09:01:30.97 ID:BYQIr94n.net
- 単に置くということだと、先手は勝つという意図をもって置くことになるのだろうから
>>132 にある「先手が最初にだす目はランダム」とはどういう意味なんだろ
- 166 ：135：2017/10/06(金) 15:38:20.25 ID:IgHVmcgc.net
- >>138
((2√3)/27)π正解
- 167 ：１３２人目の素数さん：2017/10/06(金) 19:09:16.80 ID:MIIg7pOT.net
- サイコロ３１の出題者です
分かりづらい点があるということですね
サイコロは最初に目を指定して置くと考えてください
数える目はサイコロの一番上の目です、一番上の目の合計ですね
- 168 ：１３２人目の素数さん：2017/10/06(金) 19:23:08.31 ID:MIIg7pOT.net
- >>161
相手に手番を渡す場合に
出目に関わらず ４＋９Ｋ
出目が３又は４で０、１、５＋９Ｋ
出目が２又は５で８＋９Ｋ
で相手に手番を渡せば必勝という意味ですね
- 169 ：１３２人目の素数さん：2017/10/06(金) 19:33:56.21 ID:MIIg7pOT.net
- 出目に関わらず ４＋９Ｋ の場合には相手は４の目を出します
出目が３又は４で１＋９Ｋの場合には相手は１の目を出します
出目が３又は４で５＋９Ｋの場合には相手は５の目を出します
出目が２又は５で８＋９Ｋの場合には相手は４の目をだします
- 170 ：１３２人目の素数さん：2017/10/06(金) 20:38:37.38 ID:yM7HZvxZ.net
- >>168
はい、その通りです。
>>169
下図左側は>>151の内容を見やすく表示し直したものです。
手番が来たときの合計数と、出目の状態から、必勝パターンか、必敗パターンかを判断できるものです。
そして、その右側には、それぞれの場合の対応手を添えました。
合計:＿出目状態＿:対応手
----:１２３４５６:
8+9k:○×○○×○:5
7+9k:○○○○○○:3,6
6+9k:○○○○○○:2,3,4
5+9k:○○××○○:4
4+9k:××××××:無し
3+9k:○○○○○○:1,5
2+9k:○○○○○○:2,3
1+9k:○○××○○:3,4
0+9k:○○××○○:4
>>169への対応手は、上から順に、8+9kなので5を出し4+9k型へ、2+9kなので2を出し4+9k型か3を出して5+9kの出目3型へ、
1+9kなので3を出して4+9k型か4を出して5+9kの出目4型へ、3+9kなので1を出して4+9k型か5を出して8+9kの出目5型へ
- 171 ：１３２人目の素数さん：2017/10/06(金) 21:07:13.58 ID:z0eHqgXi.net
- 自然数nを選び、2nを元に3倍して2を足す操作を繰り返すと
nに関わらず、いつかは2の累乗になる？
- 172 ：１３２人目の素数さん：2017/10/06(金) 21:23:25.08 ID:yM7HZvxZ.net
- >>170に補足します。
これまでにも何度か書きましたが、一般式での判定はゴール近くでは少々変化します。
それに伴い、また、ゴールを越える手は負けになってしまうため、必勝手も変化します。
ゴール近辺での判定表と、対応手をアップします。
＿＿：----:１２３４５６:
３１：4+9k:××××××:無し
３０：3+9k:×○○○○×:1
２９：2+9k:○○○○○○:1,2
２８：1+9k:○○××○○:3
２７：0+9k:○○××○○:4
２６：8+9k:○×○○×○:5
２５：7+9k:○○○○○○:3,6
２４：6+9k:○○○○○○:2,3,4,6
２３：5+9k:○○××○○:4
- 173 ：１３２人目の素数さん：2017/10/06(金) 22:52:27.44 ID:MIIg7pOT.net
- >>172
残り０～８までの対応手ですね
見たところ間違いはありませんでした
- 174 ：１３２人目の素数さん：2017/10/06(金) 23:09:06.55 ID:MIIg7pOT.net
- >.170
意味がよくわかりません
３１を分解すると４＋９Ｋ（９の倍数）・・・・・・になると思いますが
１＋９Ｋで１を出したら、出目１、０＋９Ｋになりますが
５＋９Ｋで５を出したら、出目５、０＋９Ｋになりますが
８＋９Ｋで４を出したら、出目４、４＋９Ｋになりますが
- 175 ：１３２人目の素数さん：2017/10/07(土) 01:32:08.22 ID:bTqUs8/j.net
- >>174
>>３１を分解すると４＋９Ｋ（９の倍数）・・・・・・になると思いますが
分解という言葉はよく分かりませんが、31は4+9k(型)に分類されます。
>>１＋９Ｋで１を出したら、出目１、０＋９Ｋになりますが
なりません。(1+9k)+1=2+9k です
>>５＋９Ｋで５を出したら、出目５、０＋９Ｋになりますが
なりません。(5+9k)+5=10+9k=1+9(k+1)=1+9k’ です
>>８＋９Ｋで４を出したら、出目４、４＋９Ｋになりますが
なりません。(8+9k)+4=12+9k=3+9(k+1)=3+9k' です
4+9kなどは、残りの数を表す値では無く、合計値です。
- 176 ：１３２人目の素数さん：2017/10/07(土) 02:00:11.43 ID:bTqUs8/j.net
- インスタント虎の巻を作るとしたら、
・残りのサイの目の合計が９の倍数になるようにして手番を渡す。
・それが出来ないときは４を出して手番を渡す。
これだけでいけますね。
そして、これだけを知っていて、出題したのなら、私の回答には困惑するでしょう。
今そんな状態なんじゃ無いですか？ >>出題者さん
- 177 ：１３２人目の素数さん：2017/10/07(土) 07:20:00.88 ID:epr99XwW.net
- 先手４後手１先手４後手２。
先手４後手２先手４後手６。
- 178 ：１３２人目の素数さん：2017/10/07(土) 07:34:35.28 ID:bTqUs8/j.net
- >>177
なるほど、>>176は終盤状態で使える>>172だけをみていけそうと思ったけど、
ダメなようですね。>>176は撤回します。
やはり、>>170、および、>>172 に書かれている対応手を虎の巻とします。
- 179 ：１３２人目の素数さん：2017/10/07(土) 11:34:15.11 ID:r/RzeQ5b7
- サイコロ３１の出題者です
３１は４＋９の倍数に分解できます
出目に関わらず９の倍数で相手に手を渡せば必勝です
故に先手必勝で４の目を出します、他の目を出したら後手必勝になります
しかし自分の手番で必ず９の倍数で相手に手を渡せるとは限りません
又相手は９の倍数で手番が回らないようにします
そこで先手は４の目を出したあと自分に９の倍数で手番が来ないように
する必要があります
例えば出目？のとき？＋９の倍数でで相手に手を渡すとか
残り目で必勝にならないなら、残り目＋９の倍数でも必勝になりません
- 180 ：１３２人目の素数さん：2017/10/07(土) 11:44:13.80 ID:r/RzeQ5b7
- >>177
先手４後手１先手４後手２。 先手は３又は４で先手必勝継続ですね
先手４後手２先手４後手６ 先手は３で先手必勝継続ですね
- 181 ：１３２人目の素数さん：2017/10/07(土) 11:48:33.38 ID:r/RzeQ5b7
- 残り目は９の倍数の余り目です（１～８
- 182 ：１３２人目の素数さん：2017/10/07(土) 15:16:57.06 ID:r/RzeQ5b7
- >>180
＞先手４後手１先手４後手２ 追加で１も
出目１で１＋９Ｋ
- 183 ：１３２人目の素数さん：2017/10/07(土) 16:20:58.57 ID:r/RzeQ5b7
- 勘違いしてました
出目１で１＋９Ｋというのは最後の残り２の場合でした
- 184 ：１３２人目の素数さん：2017/10/07(土) 18:39:29.98 ID:nOn1Thvs.net
- >>171
a_{k+1｝= 3 a_k + 2,
a_{k+1｝+ 1 = 3(a_k + 1）= … =（3^k)(a_1 + 1) =（3^k)(2n+1),
いつかは2ベキになる？
- 185 ：１３２人目の素数さん：2017/10/07(土) 19:35:42.03 ID:XV9KgwKd.net
- 全ての内角が等しく、辺の長さが{1,2^2,3^2,...,12^2}の並び替えであるような凸12角形は存在するか
- 186 ：１３２人目の素数さん：2017/10/07(土) 21:29:56.83 ID:NGXdrdFG.net
- 存在しない
- 187 ：１３２人目の素数さん：2017/10/07(土) 22:03:10.17 ID:OR9egiY4.net
- >>186
じゃあ証明して
- 188 ：１３２人目の素数さん：2017/10/07(土) 22:16:26.35 ID:ouwOZ2Xu.net
- どっかで、もっと大きい場合の類題見たな
- 189 ：１３２人目の素数さん：2017/10/07(土) 22:17:34.61 ID:ouwOZ2Xu.net
- 西暦-gonで{1^2,2^2,3^2,…,西暦^2}
- 190 ：１３２人目の素数さん：2017/10/08(日) 00:51:08.57 ID:/bgtrAhl.net
- >>185
辺長を順に、a[0],a[1],a[2],...,a[11]とすると、
Σ[i=0,11]a[i]*sin(i*π/6)=Σ[i=0,11]a[i]*cos(i*π/6)=0
が必要。√3の無理性を使って整理すると、i=0,1,2,3,...に対し
a[i]^2+a[i+2]^2=a[i+6]^2+a[i+8]^2
これを満たす、{1,2^2,3^2,...,12^2}は、特定のiについて成立するものでさえ5組。
異なるiについて同時に成立するものもせいぜい二組しかなく
{1,2^2,3^2,...,12^2}と{a[0],a[1],...,a[11]}が一致するものは見つからない。
- 191 ：１３２人目の素数さん：2017/10/08(日) 04:27:21.71 ID:MpaBQY8Y.net
- >>190
i=0,1,2,…,5 に対して
a[i］ + a[i+2］= a[i+6]］ + a[i+8],
特定のiについて成立するもの：
｛1,4,7,8｝
｛1,8,9,12｝
｛2,5,10,11｝
｛2,6,7,9｝
｛3,7,9,11｝
の5組
｛1,5,5,7｝は省いた。
- 192 ：１３２人目の素数さん：2017/10/08(日) 07:50:56.81 ID:fFtBdowM.net
- A、B、Cを、同じ文字は連続しないように一列にｎ個並べるとき、Aがｋ個含まれる並べ方の個数A(n、k)を求めよ。
- 193 ：１３２人目の素数さん：2017/10/09(月) 03:56:03.44 ID:AAcQM4kG.net
- >>192
A(n，k）のうち、末尾がAのものを f(n，k)，末尾がA以外のものを g(n,k）とする。
A(n，k) = f(n，k) + g(n，k)
漸化式
f(n+1，k）= g(n，k-1),
g(n+1，k）= 2f(n，k）+ g(n，k),
初期値
f(n，0）= 0，
f(n，1）= g(n，0) = 2，
f(n，2）= g(n-1，1）= 4n-10,
Σ[n=2k-1，∞］f(n,k) z^n =｛(1+z)/2z}{2zz/(1-z)}^k,
Σ[k=1，∞］Σ[n=2k-1，∞］f(n,k) z^n t^k =（1+z)zt/(1-z-2tzz),
Σ[n=2k，∞］g(n,k）z^n =｛(1+z)/(1-z)}{2zz/(1-z)}^k,
Σ[k=0，∞］Σ[n=2k，∞］g(n,k) z^n t^k =（1+z)/(1-z-2tzz),
Σ[n=2k-1，∞］A(n,k）z^n =｛(1+z)(1+tz)/(1-z)}{2zz/(1-z)}^k,
Σ[k=0，∞］Σ[n=2k-1，∞］A(n,k) z^n t^k =（1+z)(1+tz)/(1-z-2tzz),
むむむ、解けぬ。。。
- 194 ：１３２人目の素数さん：2017/10/09(月) 08:31:44.21 ID:TpfOSZ45.net
- >>192
A(n,k)の文字列において、B,CをXに置き換えた文字列をA~(n,k)とし、これを考える
これは、先頭がAかXか、最後がAかXかにより、四つに分類できる
AA型(n≧3,k≧2)
k個のAとk-1個のXが交互に並ぶ文字列 AXAX...XA のXのあるところに、n-(2k-1)個のXを挿入すると、A~(n,k)になる
これは、H[k-1,n-2k+1]=C[n-k-1,k-2] 通りあり、k-1カ所ある各Xの先頭をAかBに戻すとA(n,k)に戻るので、
2^(k-1)*C[n-k-1,k-2]
XA型およびAX型(n≧2,k≧1)
k個のAとk個のXが交互に並ぶ文字列 のXのあるところに、n-2k個のXを挿入すると、A~(n,k)になる
これは、H[k,n-2k]=C[n-k-1,k-1] 通りあり、kカ所ある各Xの先頭をAかBに戻すとA(n,k)に戻るので、
2^k*C[n-k-1,k-1]
XX型(n≧1,k≧0)
k個のAとk+1個のXが交互に並ぶ文字列 のXのあるところに、n-2k-1個のXを挿入すると、A~(n,k)になる
これは、H[k+1,n-2k-1]=C[n-k-1,k] 通りあり、k+1カ所ある各Xの先頭をAかBに戻すとA(n,k)に戻るので、
2^(k+1)*C[n-k-1,k]
これら四つの合計がA(n,k)で、2^(k-1) {1+ 4(n-k)(n-2k+1)/(k(k-1))} C[n-k-1,k-2] 通り？
- 195 ：１３２人目の素数さん：2017/10/09(月) 13:22:17.02 ID:ngMZhx3y.net
- >>185
数学オリンピックの過去問に似た問題あったな
- 196 ：１３２人目の素数さん：2017/10/10(火) 00:40:30.91 ID:7jpvSrE2.net
- >>194
正解ナリ。考え方も同じでおじゃる。
並べることができるのは n≧2k-1 のときで、
(1) A～A
(2) A～X or X～A
(3) X～X
の場合を考える際に、(1)しかない場合とか、(1)(2)しかない場合があるので、
k=0 (n≧1)
k=1 (n=1, n=2, n≧3)
k=2 (n=3, n=4, n≧5)
k≧3 (n=2k-1, n=2k, n≧2k+1)
に分けて計算して、最終的に、
A(1,1) = 1、
(n, k)≠(1,1)のとき、{4n^2 - 3(3k-1)n + 9k^2 - 5k}*2^(k-1)*(n-k-1)!/{(k!)(n-2k+1)!}
とまとめられるでおじゃる。
- 197 ：１３２人目の素数さん：2017/10/10(火) 00:56:29.30 ID:7jpvSrE2.net
- 何かの確率の本に載っていた問題。
n 頭の動物の群れから m 頭を捕らえ、目印をつけて逃がす。
(1) 目印のついた r 頭を得るために k 頭捕らえる必要がある確率 Q(k, r) を求めよ。
(2) 目印のついた r 頭を得るために捕らえた動物の期待数 E(r) を求めよ。
- 198 ：１３２人目の素数さん：2017/10/10(火) 03:35:59.50 ID:h4u4sSCs.net
- >>171 >>184
参考スレ
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1350178359/
- 199 ：１３２人目の素数さん：2017/10/10(火) 12:13:41.95 ID:tLRvewGK.net
- とりあえず答えだけ（以下、nＣr=C(n,r)と表す）
(1) Q(k,r) = C(k-1,r-1)*C(n-k,m-r)/C(n,m)
(2) E(r) = r(n+1)/(m+1)
- 200 ：１３２人目の素数さん：2017/10/10(火) 22:45:39.46 ID:tLRvewGK.net
- >>199 >>197
n頭の動物のうちどのm頭に目印をつけるかということと、
n頭の動物をどういう順番で捕まえるかということは
独立にランダムであると考えると、
目印をつけてから捕まえる順序を決めても、捕まえる順番を決めてから目印をつけても
確率や期待値には影響しないので、後者で考える。
(1) 捕らえる順番のうち、k-1頭目までのうちr-1頭に目印がつき、
ちょうどk頭目にも目印がつき、
残るn-k頭のうちm-r頭にも目印がつく状況を考えるので、
目印をつけるm頭の選び方C(n,m)のうち、
上記条件をみたすm頭の選び方がC(k-1,r-1)*C(n-k,m-r)で、
確率は Q(k,r) = C(k-1,r-1)*C(n-k,m-r)/C(n,m)
(2) 捕らえる順番に並べたn頭の動物を、目印をつけるm頭を間仕切りとみなして
目印をつけないn-m頭をm+1のブロックに分割したものとみなすと、目印をつける
m頭の選び方は、和がn-mとなるm+1個の非負整数の列
(a(1),a(2),…,a(m+1)), a(1)+a(2)+a(3)+…+a(m+1)=n-m
と1対1に対応する。
a(i)の期待値はいずれも(n-m)/(m+1)
r頭目の目印のついた動物より前に捕まえる目印のついていない動物の数は
a(1)+a(2)+…+a(r)なので、その期待値はr(n-m)/(m+1)
よって、r頭目の目印のついた動物が捕まえる順番の何番目であるかの期待値は
E(r) = r+r(n-m)/(m+1) = r(n+1)/(m+1)
- 201 ：１３２人目の素数さん：2017/10/10(火) 23:00:39.20 ID:IqN7kRQU.net
- >>197
問題文は相当に変な文章だからやる気起きない
- 202 ：１３２人目の素数さん：2017/10/10(火) 23:46:33.89 ID:8/ypr4W6N
- おーぬーしーはぁ
たーだーものかー
- 203 ：１３２人目の素数さん：2017/10/10(火) 23:50:45.49 ID:8/ypr4W6N
- そしたらさ
ちょうさー
こどばなににししょかなじゃなくてさ
出てこないな『なんだろうな けいかくせいぜろじゃなくて
むてっぽうじゃんくて
ずさん むてっぽうじゃなくて
ざつすぎるよ かちぐみだよだって ありえないよ いっぱいつつかれてきただろうし かねもってめだつってれば
- 204 ：１３２人目の素数さん：2017/10/10(火) 23:37:54.60 ID:7jpvSrE2.net
- >>200
正解です！
- 205 ：ル．ヌー：2017/10/12(木) 20:20:43.30 ID:Hbkmuqaq.net
- f(z)=z/sinz,z∈Cにおいて,
(1) z=0はf(z)の除去可能特異点であることを示せ。
(2) f(z)の極をすべて求めよ、また、極での留数を求めよ。
(3) z=0まで定義域を拡大したf(z)のz=0におけるマクローリン展開の2次の項までを求め よ。
(1).(2).(3)の解答をお願い致します。 👀 👀
Rock54: Caution(BBR-MD5:ae2afb6cd11f3e92f5cd12f037b4c3ac)
- 206 ：１３２人目の素数さん：2017/10/13(金) 20:37:05.28 ID:ZKLVGo1x.net
- フィボナッチ時計
http://www.itmedia.co.jp/news/spv/1505/12/news088.html
問：フィボナッチ時計において、どの時刻でもどこかに赤が現れるようにできるか？
- 207 ：１３２人目の素数さん：2017/10/13(金) 21:02:27.33 ID:duOhusPr.net
- そのネタは数スレ前に出た
- 208 ：１３２人目の素数さん：2017/10/13(金) 21:06:26.30 ID:duOhusPr.net
- http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1442617810/136-138
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1432255115/522-524
- 209 ：１３２人目の素数さん：2017/10/15(日) 04:18:26.78 ID:1IDsr2si.net
- 別の板から転載
137 （ ･∀･）つ〃∩ﾍｪｰﾍｪｰﾍｪｰ sage 2017/10/15(日) 01:45:06.10
打ち切りラノベにあったクイズが面白かったので
あなたはお祭りの屋台で行われている一回三千円のゲームに参加しています。
正解すれば九千円が貰え、失敗すれば何も貰えません。
ゲームの内容は、三つの箱の中から、中身のある一つの箱を見つけるというものです。
あなたは、三つの箱の中から一つの箱を選びました。すると、店主はある提案をしてきました。
「残りの二つのうち、ハズレのものを一つだけ取り除く。その上で、あなたはもう一度選び直すことができる」
さて、あなたは選ぶ箱を変えるべきでしょうか？ それとも、そのままにすべきでしょうか？
- 210 ：１３２人目の素数さん：2017/10/15(日) 07:38:13.05 ID:z/2f4/lr.net
- モンティホールのように一連の処理として書かれてないから意味ない
つまり、今オレは散財したい気分なので変えるのが正解
てかこれ普通にこなしても期待値高すぎひん
- 211 ：１３２人目の素数さん：2017/10/15(日) 11:32:20.31 ID:sXTS1Zqc.net
- >>209
かならず選び直しができるという前提があったなら変えたほうが期待値は６０００円
になるだろ
- 212 ：１３２人目の素数さん：2017/10/15(日) 11:41:33.01 ID:sXTS1Zqc.net
- サイコロ３１？ですが
３１を４＋９＋９＋９に分解します
先手必勝で４の目です、９の倍数は後手必勝になります
３、４出目で・・・（３，４、７，８）＋９の倍数叉は３、４、７，８
２、５出目で・・・・５＋９の倍数叉は５
- 213 ：１３２人目の素数さん：2017/10/15(日) 11:53:29.33 ID:sXTS1Zqc.net
- 赤 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩
青 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩
黄 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩
交互に数字を消していきます、１から３まで連番で数字を消すことができます
例えば③、④、⑤とか③、④、⑧は連番でないので消せません
待ったは出来ません、必ず一つは消していきます
最後の数字を消したほうが負けです
先手必勝か後手必勝か、どのように消していったらよいでしょうか？
- 214 ：１３２人目の素数さん：2017/10/15(日) 11:57:11.37 ID:sXTS1Zqc.net
- >>213
同じ色の数字のみ連番で消せます、一度に違う色をまたがっては消せません
- 215 ：１３２人目の素数さん：2017/10/15(日) 13:10:20.86 ID:S8/uhkYq.net
- 3、4、5が連番じゃないの？
- 216 ：１３２人目の素数さん：2017/10/15(日) 17:23:45.98 ID:v3csOi23.net
- 訳が不適切？
- 217 ：１３２人目の素数さん：2017/10/15(日) 17:59:10.24 ID:sXTS1Zqc.net
- >>215
どうもすいませんでした。
③、④、⑤は連番で消せます
- 218 ：１３２人目の素数さん：2017/10/15(日) 18:01:54.41 ID:sXTS1Zqc.net
- 先手が赤の③を消したら後手は赤の①、②、④とは消せません
①、②は消せますが
- 219 ：１３２人目の素数さん：2017/10/15(日) 18:02:29.94 ID:1CsCN52B.net
- >>205
f(z)=x/(x-x^3/3!+x^5/5!+…)=1/(1-x^2/3!+x^4/5!+…)=1+x^2/3!+((1/3!)^2-1/5!)x^4+…
sinz=(e^iz-e^-iz)/2i=0
e^2iz=1
z=nπ
f(z+nπ)=(z+nπ)/sin(z+nπ)=(z+nπ)/(-1)^nsinz=(-1)^n(1+nπ/z)f(z)
Res(nπ,f(z))=(-1)^nnπ
- 220 ：１３２人目の素数さん：2017/10/15(日) 18:16:16.20 ID:1CsCN52B.net
- >>210
モンティホールよ
期待値は3000円
- 221 ：１３２人目の素数さん：2017/10/15(日) 19:13:58.49 ID:A+H1wM81.net
- >>213
先手必勝
先手は初手、例えば黄色の５６を消す
赤と青への着手に対しては、相手と同じように消し、赤と青で同じ形を保つようにして消す。
黄色は四つの塊が二つある状態に手をつけることになるが（これを(4,4)と表す）、これは必敗形。
この状態から手をつけると、最初に手をつけた方が最後の一つを消すことになり、負ける。
他にも、(1,2,3)、(2,2)、(1,1,1)も必敗形なので、これらの形にして手番を渡せばよい。
- 222 ：１３２人目の素数さん：2017/10/15(日) 19:26:44.32 ID:A+H1wM81.net
- >>209
この文面のままでは、店主の提案が、
１．当たりを引いていた時に限定して行われているもの
２．常に行われるもの
３．気まぐれに行われるもの
のどれなのか不明。
- 223 ：１３２人目の素数さん：2017/10/15(日) 19:47:09.23 ID:1CsCN52B.net
- >>222
提案をしてきたんだから確定
- 224 ：１３２人目の素数さん：2017/10/15(日) 19:49:16.92 ID:1CsCN52B.net
- >>223
ああそうか
店主がこの時点で解を知っているかどうかか
- 225 ：１３２人目の素数さん：2017/10/15(日) 23:34:38.30 ID:/BqPaXSt.net
- ドヤ顔でモンティーホール問題を持ち出した奴は間違い
選ぶ箱を変えないのが正解
自分が選んでから店主が提案してきたのは、
店主が当たりの箱を知っていて、コッチが当たりの箱を選んでしまったので変えさせようと思っているから
中途半端にモンティーホール問題を知っていると、まんまと罠に嵌まる
- 226 ：１３２人目の素数さん：2017/10/15(日) 23:40:05.18 ID:sXTS1Zqc.net
- >>221
はい、正解です。
偶数は偶数個、奇数（１）は偶数個
１０１０ ０１００→４
１０１０ ０１００→４
１０１０ １０１０→１０
ーーーー １０１０→１０
１０１０ －－－－
００００にして手渡す
- 227 ：１３２人目の素数さん：2017/10/15(日) 23:40:26.16 ID:+Pi/YMoh.net
- 当たりを選んでいようがそうでなかろうが提案してくるんじゃないのかこれ
- 228 ：１３２人目の素数さん：2017/10/15(日) 23:47:33.03 ID:sXTS1Zqc.net
- 店主が当たり外れの箱を事前に知っていて残りの箱から必ず外れを見せるという
前提でなければ確率の問題にならないよな
- 229 ：１３２人目の素数さん：2017/10/16(月) 01:55:35.23 ID:o4Cyk4in.net
- だからモンティの亜種にさえなってないというか、設問になってないし意味がないっての
引用にあるように"クイズ"なんだろうし、少なくともこの板このスレではいいだろもう
- 230 ：１３２人目の素数さん：2017/10/16(月) 05:36:18.12 ID:6H1A+T2J.net
- おっ、負け惜しみか？
- 231 ：１３２人目の素数さん：2017/10/17(火) 00:38:27.72 ID:Hxe2yrOS.net
- おっぱい
- 232 ：１３２人目の素数さん：2017/10/17(火) 08:31:50.47 ID:dtu522yI.net
- ちんこじゃよ！
ふぉふぉ！
- 233 ：１３２人目の素数さん：2017/10/19(木) 12:01:00.65 ID:2lzXiq1o.net
- 引き算（差）の問題です。
例
③ ② ３と２の差は１です
①
では
○ ○ ○ １から６までの数字を入れてください
○ ○
○
- 234 ：１３２人目の素数さん：2017/10/19(木) 13:44:17.84 ID:VfTCenk4.net
- 1～6を一度だけ入れる
左上-右上の場合は解なし
|左上-右上|の場合は
1,6,4 -> 5,2 -> 3
2,6,5 -> 4,1 -> 3
4,1,6 -> 3,5 -> 2
4,6,1 -> 2,5 -> 3
5,2,6 -> 3,4 -> 1
5,6,2 -> 1,4 -> 3
6,1,4 -> 5,3 -> 2
6,2,5 -> 4,3 -> 1
の8通り
- 235 ：１３２人目の素数さん：2017/10/19(木) 16:59:28.65 ID:2lzXiq1o.net
- >>234
はい、正解です、次は１から１０です
〇 〇 〇 〇
〇 〇 〇
〇 〇
〇
１から１０まで一度だけ○に入れてください
- 236 ：１３２人目の素数さん：2017/10/19(木) 20:08:32.55 ID:E5+K8vHr.net
- 1辺の長さ1の正方形の頂点からの距離が全て有理数となる平面上の点は存在するか？
- 237 ：１３２人目の素数さん：2017/10/19(木) 21:08:16.67 ID:8edKBDzG.net
- 有名な未解決問題ですね
- 238 ：１３２人目の素数さん：2017/10/20(金) 05:06:15.59 ID:daEDnYrh.net
- 四角錐の体積が2次元方程式の自然解であれば成立する
- 239 ：１３２人目の素数さん：2017/10/20(金) 08:48:35.25 ID:auvGi4HJ.net
- 〔問題１〕
1辺の長さが１の正三角形ABCがある。
AP=a，BP=b，CP=c がすべて有理数である点Pを全有理距離点とよぶ。
（初級問題） 正三角形の辺上および外接円の周上に
全有理距離点が無限個あることを証明してください。
（上級問題） 正三角形の内部にある全有理距離点
（3個の距離）を挙げてください。
（数セミ，2009年5月/8月）
［エレ解スレVol6.440-442］
［エレ解２スレ（2016.11).636］
- 240 ：１３２人目の素数さん：2017/10/20(金) 08:54:00.56 ID:auvGi4HJ.net
- >>239
リマソン（2a-b=1）上に無限個ある。
(M先生のメモ）
a =（n^4 +10n^2 +9)/L,
b =（n^4 -4n^3 +10n^2 +12n+9)/L,
c =（8n^3 +24n)/L
L = n^4 +4n^3 +10n^2 -12n+9,
ただし，nは自然数で n≧5 とする。
[エレ解スレVol6．449-450]
[エレ解２スレ（2016.11).637］
http://www.geocities.jp/elegantnakama/mizutani.html
- 241 ：１３２人目の素数さん：2017/10/21(土) 16:17:16.09 ID:NqQS+cuf.net
- Q.異なるn個の点を通る次数が(n-1)以下の多項式は存在するのだろうか？もし存在するならばどんな形で書けるか？
という問いについて問題を作ってみました！
以下α_1,…,α_nを相違なる実数とし、β_1,…,β_nは任意の実数とします。
⑴g(x)=(x-α_1)(x-α_2)…(x-α_n) とする。g'(α_k)≠0(k=1,…,n)で成り立つ事を示せ。
⑵f(x)を(n-1)次以下の多項式とする。
f(x)/g(x)= A_1/(x-α_1)+…+ A_n/(x-α_n) と書ける事を示せ。
⑶⑵の両辺に(x-α_k)をかけ、極限をとる事により A_k=f(α_k)/g'(α_k) (k=1,…,n)を示せ。
⑷f(α_k)=β_k (k=1,…,n) を満たす(n-1)次以下の多項式が存在する事を示し、g(x),β_1,…,β_n などを用いて表せ。
ラングジュの補完公式...物足りないな笑
これを拡張した問題なんか作れませんかね笑
- 242 ：１３２人目の素数さん：2017/10/21(土) 16:28:06.97 ID:L6B9RyEm.net
- ポエムはポエムスレでどうぞ
- 243 ：１３２人目の素数さん：2017/10/21(土) 18:59:39.18 ID:P1IDIQpT.net
- ２２８の答えです
⑧ ⑩ ③ ⑨
- 244 ：１３２人目の素数さん：2017/10/21(土) 19:05:16.23 ID:P1IDIQpT.net
- A町からB町まで車で平均時速６０キロでしたが帰りの平均時速は４０キロでした
では往復の平均時速は何キロでしょうか？
- 245 ：１３２人目の素数さん：2017/10/21(土) 19:19:25.25 ID:NTquPUNO.net
- ラングジュって誰やねん
(2x)/((x/60)+(x/40))=48 km/h
- 246 ：１３２人目の素数さん：2017/10/21(土) 19:20:05.74 ID:NTquPUNO.net
- >>243
これだけ？
- 247 ：１３２人目の素数さん：2017/10/21(土) 19:26:17.38 ID:rGTNska6.net
- あなた…怠惰ですね？
- 248 ：１３２人目の素数さん：2017/10/21(土) 19:37:19.09 ID:NqQS+cuf.net
- あら、間違えてたorz
ラングジュって誰なんでしょうね笑
面白い問題スレなので幾何の自作問題出しときますね♪
(1)或る9つの異なる点において,次の条件を満たすとき,9つのうち8つが同一円周上に存在することを示せ.
条件:どの5点に於いても,そのうち4点が同一円周上に存在する.
(2)三角形ABCに於いて,∠A内の傍心をI_Aとおく.辺BC,AB,AC上にそれぞれ点D,P,Qが在って,AP=CD,AQ=BDを満たしている.
また,三角形PBDと三角形QCD其々の外接円は2点で交わるとする.
この2つの交点のうち点Dでないものを点Eとおく.このとき,点I_A,D,Eは同一直線上に在ることを示せ.
- 249 ：１３２人目の素数さん：2017/10/21(土) 19:43:12.79 ID:lnVE/SbO.net
- >>246
横から失礼。独立なのは４種類(左右反転をいれると８種類)あったよ。
>>235の拡張
三角形を五段にして、使う数字を1から15までにしたものは何通り可能か？
さらに拡張
三角形を６段にして、使う数字を1から21までにしたものは不可能だが、
使う数字を1から22までにするると一通り可能となる。使わない数字は何か？
- 250 ：１３２人目の素数さん：2017/10/21(土) 19:53:01.19 ID:eJYoKJ3T.net
- J国とC国が海を隔てて存在している。
海上に国境を引いて、国境上のどの地点から見ても
両国の領土までの距離が等しくなるようにしたい。
そのように国境を引くことは可能か？
- 251 ：１３２人目の素数さん：2017/10/21(土) 20:05:39.01 ID:P1IDIQpT.net
- ⑧ ⑩ ③ ⑨
② ⑦ ⑥
⑤ ①
④
１から１０まで一つ入れました
- 252 ：１３２人目の素数さん：2017/10/21(土) 20:11:05.28 ID:P1IDIQpT.net
- >>250
J 国とC国は形、面積が同じなんだろ（丸とか
- 253 ：１３２人目の素数さん：2017/10/21(土) 23:04:14.01 ID:gIa8pLhZ.net
- >>250
まあ、可能でしょうなあ。
d=(J国からの距離)-(C国からの距離)というのを、海上の座標を定義域とする
関数とすると、明らかに連続で、C国の海岸線ではプラス、J国の海岸線ではマイナスに
なっているので、その値が0になるところを辿ればいいのだから。
- 254 ：１３２人目の素数さん：2017/10/22(日) 01:58:23.93 ID:k/cRaXCA.net
- 入り江がある場合も？
http://o.8ch.net/zkfb.png
- 255 ：名無しさん＠そうだ選挙に行こう！ Go to vote!：2017/10/22(日) 08:47:25.88 ID:92V5orwH.net
- >>254
たぶん大丈夫
- 256 ：名無しさん＠そうだ選挙に行こう！ Go to vote!：2017/10/22(日) 15:00:25.25 ID:FBhS88Mi.net
- >>248
此の幾何問題むずくね？
特に後者...
- 257 ：１３２人目の素数さん：2017/10/22(日) 20:00:02.18 ID:kD3swxA5.net
- 61415313.
6202232113.
- 258 ：１３２人目の素数さん：2017/10/23(月) 00:53:36.54 ID:2CO3D21b.net
- 問題を6問出しておこう
①a,bを実数とする.方程式ax^2-2ax-b=0が0≦x≦3に実数解をもつような点(a,b)の範囲をab平面上に図示せよ.
②袋の中に1の数字が書かれたカードが1枚,2の数字が書かれたカードが2枚,3の数字が書かれたカードが3枚ある.
袋の中から1枚のカードを取り出し,カードに書かれた数字を確認し袋に戻すという操作を繰り返す.
n回操作を繰り返した後,取り出したカードに書かれた数字の総和が3の倍数となる確率を求めよ.
③点Oを中心とする半径rの球面Sがある.平面Fは球面Sと共有点をもち,その共有点全体は円Cをなす.Fが動くとき,円Cを底面,点Oを頂点とする塩水の体積の最大値を求めよ.
④pを素数,sをpの倍数でない整数とする.
(1)st-1がpの倍数となる整数tが存在することを示せ.
(2)s^2-1がpの倍数となるための必要十分条件は,sをpで割った余りが1またはp-1となることを示せ.
(3)(p-1)!+1はpの倍数であることを示せ.
⑤xy平面上に2点O(0,0),A(2,1)がある.点Pが曲線y=e^2上を動くとき,線分の長さの和OP+PAの最小値を求めよ.
⑥数列{a_n}をa_n=∫[0,1]x^n*e^xdx(n=0,1,2,...)で定める.
(1)n=0,1,2,...に対し,a_(n+1)をa_nで表せ.
(2)無限級数Σ[n=0,∞]1/n!の和を求めよ.
- 259 ：１３２人目の素数さん：2017/10/23(月) 01:24:55.10 ID:RuudF8So.net
- 学校の宿題レベルが面白いとは、呆れるのを通り越して哀れみを感じる
- 260 ：１３２人目の素数さん：2017/10/23(月) 11:32:14.55 ID:I0vxc0sG.net
- >>248
(1)
或る5点を選ぶと、その4点は円周C上に存在する。（題意）
1点を別の点で置き換えても、その4点は円周D上に存在する。（題意）
∴ C，Dは異なる3個以上の点を共有する。
∴ C=D、「同一円周」はじつは同一の円周である。
5点をどう選んでも、そのうちの4点はC上に存在する。
∴ C上に存在しない点は高々１個しかない。
- 261 ：１３２人目の素数さん：2017/10/23(月) 13:38:10.27 ID:I0vxc0sG.net
- >>258
奇数番目
（１） a≠0 のとき x = 1±√(1+ b/a)，
-1 ≦ b/a ≦ 3,
a=0 のときは b=0,
（３） 点Oと平面Fの距離を h とすると、円Cの半径は √(rr-hh）
V(h）=（π/3)(rr-hh)h
=（2π/3)(r/√3)^3 -（π/3){(r/√3)^3 +（r/√3)^3 + h^3 - rrh}
≦（2π/3)(r/√3)^3, （← AM-GM)
最大は h = r/√3 のとき。
（５）直線 y=ee ？
A '(2，2ee-1）とおく。
OP + PA = OP + PA '≧ OA '= √{4 + (2ee-1)^2｝
- 262 ：１３２人目の素数さん：2017/10/23(月) 13:40:04.55 ID:ld+Bd+yO.net
- >>260
ＡＢＣＤＥ，ＡＢＣＤＦ，ＡＢＣＤＧ，ＡＢＣＤＨ，ＡＢＣＤＩのそれぞれの５点のうち４点が同一円周上にあってもＡＢＣＤが同一円周上にあればいいのでＥＦＧＨＩがその円周上にあるとは言えない。
- 263 ：１３２人目の素数さん：2017/10/23(月) 14:00:01.54 ID:ld+Bd+yO.net
- >>260
三つの円の二円ずつの交点の六点をとると
六点のうちどの五点をとってもそのうち四点が同一円周上にあるけど
六点のうち五点が同一円周上にあるとはいえないので
証明には九点というのを使う必要がある。
- 264 ：１３２人目の素数さん：2017/10/23(月) 14:27:14.27 ID:2CO3D21b.net
- >>261
(1)
a＝0のとき
-b＝0よりb＝0
したがってa＝0のとき、b＝0となり、このときは任意のxが解であるためこの点(原点)は条件を満たす
a≠0のとき
ax^2-2ax-b＝0
これは二次方程式であるためこれが0≦x≦3を満たす解を持つことを考える。
関数f(x)＝(左辺)を考えると
f(x)＝a(x-1)^2-a-b
これが0≦x≦3にx軸と交点を持つための条件は
(i)a＞0のとき
-a-b≦0かつf(3)≧0
(ii)a＜0のとき
-a-b≧0かつf(3)≦0
では？
偶数番は難しくてとっつけないな...
- 265 ：１３２人目の素数さん：2017/10/23(月) 14:57:46.04 ID:aT1WkN5V.net
- >>258
②
f(x)＝ ( (x^1＋2x^2＋3x^3) / 6 )^n
と置く。f(x)＝Σ[k＝0～∞] a_k x^k と展開するとき、r＝0,1,2 に対して
f_r(x)＝Σ[0≦k, k≡r (mod 3)] a_k x^k
と置けば、f(x)＝f_0(x)＋f_1(x)＋f_2(x) となる。また、求める確率は f_0(1) である。
ω＝e^{2πi/3} と置けば、l＝0,1,2 に対して f(ω^l)＝f_0(ω^l)＋f_1(ω^l)＋f_2(ω^l) となる。
簡単な考察により、r＝1,2 に対して Σ[l＝0～2] f_r(ω^l) ＝ 0 となることが分かる。
また、f_0(ω^l)＝f_0(1) (l＝0,1,2) である。よって、Σ[l＝0～2] f(ω^l)＝3f_0(1) となるので、
f_0(1)＝(1/3)Σ[l＝0～2] f(ω^l)＝(途中計算省略)＝ ( 1＋((√3)/6)^n * 2cos(πn/6) ) / 3
となる。よって、( 1＋((√3)/6)^n * 2cos(πn/6) ) / 3 が求める確率である。
- 266 ：１３２人目の素数さん：2017/10/23(月) 21:58:37.35 ID:I0vxc0sG.net
- >>248 (1)
>>262
X,Y等は｛E,F,G,H,I｝のどれかを表わすとする。
5点｛A,B,C,X,Y｝に於いて、XもYもABCの外接円上に存在しない。
・4点｛A,B,X,Y｝が同一円周上に存在する．
・4点｛B,C,X,Y｝が同一円周上に存在する．
・4点｛C,A,X,Y｝が同一円周上に存在する．
のいずれか１つだけが成り立つ。（２つ以上 成り立てば矛盾）
5点｛A,B,D,X,Y｝
5点｛A,C,D,X,Y}
5点｛B,C,D,X,Y｝
に於いても同様だから、
・4点｛A,B,X,Y｝｛C,D,X,Y｝が同一円周上に存在する．
・4点｛B,C,X,Y｝｛A,D,X,Y｝が同一円周上に存在する．
・4点｛C,A,X,Y｝｛B,D,X,Y｝が同一円周上に存在する．
の１つだけが成り立つ。（2つ以上 成り立てば矛盾）
｛X,Y｝の組は Ｃ[5,2］= 10 とおりある。
それらは上記の３種のいずれかに属するから、いずれか１種に4組以上が属する。（鳩ノ巣原理）
その4組の｛X,Y｝の中に、文字の重複が3回以上ある。
第１種の場合については
（1）4文字循環の場合
｛A,B,X,Y,Z,W｝｛C,D,X,Y,Z,W｝が同一円周上に存在する。
∴ 8点｛A,B,C,D,X,Y,Z,W｝が同一円周上に存在する。
（2）それ以外の場合
9点が同一円周上に存在する。
- 267 ：１３２人目の素数さん：2017/10/23(月) 22:11:32.20 ID:vRWWbVD4.net
- >>266
4と6いけます？
- 268 ：１３２人目の素数さん：2017/10/23(月) 23:43:28.58 ID:2CO3D21b.net
- 私には解けないのでここで1問(謎)
asinθ+bcosθが最大値をとる時のtanθの値を求めよ。ただし、a,b,sinθ,cosθは実数とし、b≠0である。
- 269 ：１３２人目の素数さん：2017/10/23(月) 23:44:11.32 ID:2CO3D21b.net
- b≠0である。
- 270 ：１３２人目の素数さん：2017/10/23(月) 23:59:47.73 ID:0nYxYDlE.net
- >>268
asin+bcos≦√(a^2+b^2)√(sin^2+cos^2)=√(a^2+b^2)
等号はacos=bsinのとき
よってtan=a/b
- 271 ：１３２人目の素数さん：2017/10/24(火) 00:02:40.23 ID:Qx6baGkh.net
- 半径1の円周を直径を折り目として、直角に折ったものをMとする
このとき、Mを境界に持つ曲面の面積の最小値を求めよ
- 272 ：１３２人目の素数さん：2017/10/24(火) 09:07:03.86 ID:jdGUs1kc.net
- >>266 訂正
最後の辺り
（1）文字循環がある場合(3文字 or 4文字）
（2）文字循環がない場合
- 273 ：１３２人目の素数さん：2017/10/24(火) 23:18:19.68 ID:jdGUs1kc.net
- >>271
プラトー問題ですな。
数セミ増刊「数学100の問題」日本評論社（1984/Sep)
p.188-189
- 274 ：１３２人目の素数さん：2017/10/25(水) 01:52:51.99 ID:iCDqTvAW.net
- >>248
(2)
簡単に概略、特殊な場合を除いた解答
直線CI_AとQCDの外接円の交点でC以外の方をC'、直線BI_AとPCDの外接円の交点でB以外の交点をB'とする
一致した場合は別で解ける
角の二等分線からC'D=C'Qで∠DC'Q=∠BCA、B'D=B'Pで∠PB'D=∠ABC
△C'QA≡△C'DB、△B'PA≡△B'DCから∠AC'B=∠ACB、∠AB'C=∠ABC
よってAB'BCC'の5点は同一円周上
よってBI_A×B'I_A=CI_A×C'I_A
直線DI_AとQCDの外接円の交点、PCDの外接円の交点でDと異なる方をそれぞれE'、E"とすれば
E'I_A×DI_A=C'I_A×CI_A=B'I_A×BI_A=E"I_A×DI_A
なのでE'I_A=E"I_Aから、E'とE"は一致
点の取り方から、E'(=E")は二つの外接円の交点でDと異なる方であり、これはEと一致する
したがって、E, D, I_Aは同一直線上にある
- 275 ：１３２人目の素数さん：2017/10/25(水) 05:15:06.39 ID:q+PBe4Rp.net
- a,bを自然数として、
k=(aab+a+b)/(abb+b+7)とする。
kが自然数になるときを考える。
(1) b=1のとき、aを求めよ。
(2) b=2のとき、aを求めよ。
(3) b≧3のときを考える。
(i) k<(a/b+1/b)を示せ。
(ii) b≧3のとき(b-7/b)>0になることを利用して、(a/b-1/b)<kを示せ。
(iii) aをkとbで表せ。
(iv) bをkで表せ。
- 276 ：１３２人目の素数さん：2017/10/25(水) 11:18:24.81 ID:pcVh66sW.net
- 必ず4点のみだと5点が同一円上にあるケースが必ずあって条件満たさないんじゃ(￣▽￣;)
- 277 ：１３２人目の素数さん：2017/10/25(水) 17:46:09.04 ID:pcVh66sW.net
- https://i.imgur.com/4YFzx0B.jpg
こう解きましたが、省かれる1点が確実に5点に含まれるならそうなんだけど、「どの5点も」だからEを抜いた場合も成立しなきゃ十分とはならないんだよね...
- 278 ：１３２人目の素数さん：2017/10/25(水) 17:49:24.72 ID:3pQ+8OFe.net
- >>277
汚くて読みづらい字だが、味わい深くもある
- 279 ：１３２人目の素数さん：2017/10/25(水) 18:11:20.62 ID:pcVh66sW.net
- Eを抜いた場合を考えると問題が成立しなくなるので、止むを得ずEを含めた場合のみで考えたのですが...
上半分で、
ある一点だけが円周上にない⇔条件が成り立つ ことを言いたかったのですが不十分ですかね？
- 280 ：１３２人目の素数さん：2017/10/25(水) 19:48:07.35 ID:z2FhQXb7.net
- >>277
特定した
- 281 ：１３２人目の素数さん：2017/10/25(水) 19:49:55.94 ID:pcVh66sW.net
- >>280
??
問題って成立します？
- 282 ：１３２人目の素数さん：2017/10/25(水) 19:49:59.11 ID:z2FhQXb7.net
- 5の内4が何々とは5の内4だけが何々ではない
数学の言い回し
- 283 ：１３２人目の素数さん：2017/10/25(水) 21:13:14.00 ID:uK36bSi/.net
- >>258 (6)
>>267
(1）部分積分により
a[n+1] = e -（n+1)a[n],
(2) (1)と
a[1] = 1,
よりa[n］を求めると、
（-1)^n･a[n]/n！=｛Σ[k=0,n］(-1)^k /k!}e - 1
ところで、n→∞ のとき
0 < a[n］≦ e∫[0,1] x^n dx = e/(n+1）→ 0
だから、
｛Σ[k=0,∞] (-1)^k /k!}e = 1 …(A)
一方、
｛Σ[k=0,∞] (-1)^k /k!}{Σ[n=0,∞］1/n!}
=Σ[m=0,∞］Σ[k=0,m］(-1)^k /{k!(m-k)!}
=Σ[m=0,∞] (1/m!)Σ[k=0,n］Ｃ[m,k］(-1)^k
=Σ[m=0,∞］(1/m!)(1-1)^m
=Σ[m=0,∞］(1/m!)δ_{m,0}
= 1 …(B)
辺々比較して
Σ[n=0,∞］1/n！= e,
［分かスレ４３５．723］の解答。
無理やりぢゃないよね。
- 284 ：１３２人目の素数さん：2017/10/26(木) 12:50:39.05 ID:1czx1ktV.net
- 高校レベルで平面ベクトルの奇問難問面白問出してください
- 285 ：１３２人目の素数さん：2017/10/26(木) 13:13:35.48 ID:K9dc9LGC.net
- 高校レベルのベクトルなんてぶっちゃけ初等幾何と大差ないよ
受験生なら初等幾何の問題や公式をあえてベクトルを使って解いてみたら
いい力試しになるんじゃないか
- 286 ：１３２人目の素数さん：2017/10/26(木) 13:19:26.62 ID:AxPSvumO.net
- >>283 補足
δ_{i,j｝= 1 （i=jのとき)
= 0 （i≠jのとき)
「クロネッカーのδ」
- 287 ：１３２人目の素数さん：2017/10/26(木) 15:17:17.91 ID:jkYw2AAu.net
- >>248
>>(1)或る9つの異なる点において,次の条件を満たすとき,9つのうち8つが同一円周上に存在することを示せ.
>>条件:どの5点に於いても,そのうち4点が同一円周上に存在する.
という問題、および、この出題者と思われる >>263 には
>>証明には九点というのを使う必要がある。
という書き込みがありましたが、この問題、実は、9点じゃなくて、7点、あるいは、8点でも成立するのでは？
「ある6点」は、三つの円の交点とすれば、「条件」が可能なことは、>>263に書かれている通りですが、
「ある7点」は、七つの「特殊な閉曲線」を用いれば可能なことは確認しましたが、「円」で作図可能かどうかは
非常に疑わしく思います。
「ある8点」で「条件」を満たす非自明な配置は、「特殊な閉曲線」でも無理のようです。
この問題文に「或る9つの異なる点」とあるのは、用意している証明方法では、9点が必要だったということに
由来しているのではありませんか？
なお、「特殊な閉曲線」とは、「特殊な閉曲線同士の交点は最大二個」という性質を持つ閉曲線を指し、
この性質さえ持てば、形状を問わないものを表します。
- 288 ：１３２人目の素数さん：2017/10/26(木) 15:37:54.56 ID:1czx1ktV.net
- >>287
256は出題者(私)では無いです.
既に私の想定解は前スレで出ているのですが,貴方の主張の通り或る9点でしか想定しておりません。
然し,或る7或いは8点に置換しても示せる旨の記述について,詳しく示してください.
興味があります.
- 289 ：１３２人目の素数さん：2017/10/26(木) 20:10:48.28 ID:1czx1ktV.net
- 私の想定解はこちら
点12345より条件を満たす円Oを作る。
このとき円に乗っている点を1234とする。
この円O外に2点以上の点があると仮定すると(56とする)、
12356を考えたとき円Oは3点123より一意に定まるが、56が円O外となり条件に矛盾する。
∴背理法より円O外には1点以下しか外れない。
以上から、円Oには少なくとも(n-1)個の点が乗る。
- 290 ：１３２人目の素数さん：2017/10/26(木) 22:04:04.88 ID:jkYw2AAu.net
- >>288
>>263 は出題者さんのコメントでは無かったのですね。失礼しました。
7点の場合ですが、次の7文字からなる、七つの数字列を見てください。
(0001111),(0110011),(0111100),(1010101),(1011010),(1100110),(1101001)
各数字列はそれぞれ「円」に対応し、第一の数字から第７の数字は、第一の点から第７の点に対応し、
円が、その点をを通る場合は1、通らない場合は0が書かれています。第1の円は、(0001111)と書かれているので、
第一、第二、第三の点は無く、第４から第７の四つの点が乗っていることを示しています。
この七つの数字列が示すように七つの円と点が取れば、条件
>>条件:どの5点に於いても,そのうち4点が同一円周上に存在する.
を満たしていても、「7つの点の内、六つが同一円周上にはない」ようなものが存在できるというものです。
実際、上の数字列でチェックしてみてください。どの５点を選んでも、1を四つ含む円が必ずあることが確かめられます。
しかし、組み合わせ上可能でも、実際にこのような「円を描く」事が可能なのか？
に疑問がわいて、「9点じゃなくて、7点、あるいは、8点でも成立するのでは？」と書きました。
7点の場合は、このように「円」という形状に起因し、不可能では？と考えました。
そこで、「特殊な閉曲線」を持ち出し、そのようなものなら可能としました。
一方、8点の場合は、上のような数字列を見つけ出すことが出来ませんでした。
（プログラムを組んで探したので、プログラムミスで見逃した可能性は否定できません）
- 291 ：１３２人目の素数さん：2017/10/26(木) 22:49:59.60 ID:jkYw2AAu.net
- >>289
>>この円O外に2点以上の点があると仮定すると(56とする)、
>>12356を考えたとき円Oは3点123より一意に定まるが、56が円O外となり条件に矛盾する。
1256か1356か2356が、別の円の上に乗っていればいいだけなのでは？
何か勘違いしてる？
- 292 ：１３２人目の素数さん：2017/10/26(木) 23:19:58.97 ID:1czx1ktV.net
- >>291
ああ、たしかに別の円に乗せられば行けるので不充分っぽい
- 293 ：１３２人目の素数さん：2017/10/27(金) 00:29:42.72 ID:Jpqp4p7D.net
- △ABCがある。BC=10, sinB=3/5, sinC=4/5となるとき、△ABCの面積を求めよ。(かなり汚い数字になりますがご勘弁を)
- 294 ：１３２人目の素数さん：2017/10/27(金) 00:44:14.90 ID:IOyAuxgL.net
- 似た問題を某所に応募してみたけど採用されなかったので、ここで供養
10個の変数 x_ij (1≦i<j≦5) についての0でない多項式fであって、次を満たすものを１つ求めよ：
５つの平面ベクトル v_i (i=1,2,3,4,5) をどう定めても、f に x_ij=v_i･v_j を代入した値は必ず0になる。
- 295 ：１３２人目の素数さん：2017/10/27(金) 00:57:19.63 ID:IOyAuxgL.net
- >>294の誘導問題（群論知ってたらわりとすぐだけど一応）
コルクボードに５つの画ビョウa,b,c,d,eが、この順に正五角形の頂点をなすように刺さっている。
ab,bc,cd,de,eaの５つの組を、それぞれ紐で結ぶ。（つまり、紐は正五角形の辺をなす）
この状態から、『２つの画ビョウの位置を紐をつけたまま入れ替える』という操作を奇数回行うことで、再び紐が正五角形の辺をなすようにすることは可能か。
- 296 ：１３２人目の素数さん：2017/10/27(金) 01:02:07.76 ID:XGdnrbSu.net
- >>294
ボツ問題より、どこで募集しているかを知りたい。
- 297 ：１３２人目の素数さん：2017/10/27(金) 02:50:08.54 ID:1iLpsAin.net
- >>293
（cosC)^2 =（sinB)^2,
（cosB)^2 =（sinC)^2,
より
±cosC = sinB = 3/5,
cosB = sinC = 4/5,
(1） A = B+C= 90°（直角⊿）のとき
sin(A）= 1,
正弦定理より
BC：CA：AB = sin(A）：sin(B）：sin(C）= 5：3：4
面積：24
(2） C - B = 90°（鈍角⊿）のとき
sin(A）= 7/25，
正弦定理より
BC：CA：AB = sin(A）：sin(B）：sin(C）= 7：15：20
面積： 1200/7
- 298 ：１３２人目の素数さん：2017/10/27(金) 11:02:26.31 ID:Kn04ELyx.net
- >>296
Mathpowerっていう数学のイベントが去年から毎年数日間にわたって開催されてるんだけど、
今年はその中の小イベント『数学の決闘』で出題するための問題を公募してたんだよ
もうイベントも公募も終了してるけどね
- 299 ：１３２人目の素数さん：2017/10/27(金) 11:17:43.85 ID:Jpqp4p7D.net
- 鈍角の時は600/7になると思う
計算式は(1/2)(BC)(sinB)(sinC)/(sin(B+C))
これで計算すれば、
B鈍角時は解無し(負の数で解が出る)
C鈍角時は600/7
B,C鋭角時は24
ってなった
- 300 ：１３２人目の素数さん：2017/10/27(金) 15:36:57.65 ID:3CZEhSpS.net
- Mathpowerって５ちゃんねると同じく公安のスパイであるニコ生の催しか
- 301 ：１３２人目の素数さん：2017/10/27(金) 19:33:08.76 ID:Jpqp4p7D.net
- 気を取り直して
3つドアがあって、景品1つとハズレが2つドアの向こうにります。
あなたはドアを1つ選びます。
このあと、ハズレのドアが1つ開きます。
その後あなたはドアを変えることも出来るし、そのまま選択することもできます。
あなたはドアを変えるべきでしょうか？
答えと理由もお願いします。
- 302 ：１３２人目の素数さん：2017/10/28(土) 15:59:05.66 ID:4DKtP3Rk.net
- 次の不等式の表す領域を図示せよ。
・y≧-x^2+6|x|-8
・4y≧-5x^2+10|x|+21
・0≧x^2+y^2-6y-16
・0≧x^2-(8√2)|x|+y^2-2(3+4√2)y+64+24√2
- 303 ：１３２人目の素数さん：2017/10/28(土) 18:41:37.80 ID:4DKtP3Rk.net
- ちなみに上はミッキーマウス描けまーす...
反応ない...
ちょっとした頭の体操？というか意地悪な問題です笑
「有理数全体の集合をQとする。
この時、Qの２つの要素a/b,c/d に対して
和a/b+c/d をa/b+c/d=(ad+bc)/bd と定義する。」
この時、この定義はまだ数学的に不充分です。どこが不充分でしょうか？？
- 304 ：１３２人目の素数さん：2017/10/28(土) 18:43:18.63 ID:4DKtP3Rk.net
- あ、当然b≠0かつd≠0です！笑
- 305 ：１３２人目の素数さん：2017/10/28(土) 18:51:09.66 ID:jWurCcgF.net
- キモ・・・
- 306 ：１３２人目の素数さん：2017/10/28(土) 18:52:57.46 ID:4DKtP3Rk.net
- 計算してまとめただけなら定義じゃないねorz
私達は有理数の足し算は上の定義式のような計算で与えられることを知っています。では、その足し算というものを改めて定義しようとした時上の定義ではそもそも定義として危うい点が残っています。それは何でしょう？って事です( ﾉД`)ｼｸｼｸ…
- 307 ：１３２人目の素数さん：2017/10/28(土) 20:07:51.86 ID:HxNBMRQu.net
- どうせwell-definedかどうかなんだろうけど、ちょっと代数習いたて感が半端ないっす
- 308 ：１３２人目の素数さん：2017/10/28(土) 20:35:04.15 ID:4DKtP3Rk.net
- ですね笑
最近やっと代数を楽しいと思えてきました
- 309 ：１３２人目の素数さん：2017/10/28(土) 20:39:55.70 ID:4DKtP3Rk.net
- これって定理に入らないか？
いえいえ！
和や積などに代表される二項演算とは、一種の写像として定義されます。具体的には集合S上の二項演算とはf:S×S→S という写像fの事です。
なのでQの要素２つ定めれば、それに対する演算の結果は必ず一意に定まらないとダメです。
なので今回の場合は⑴そもそもの演算の結果が有理数になる。
⑵その計算結果は有理数の表示の仕方に依らず、一意に定まる。
という2点が確かめられて初めて定義可能と言えます。
- 310 ：１３２人目の素数さん：2017/10/28(土) 22:15:19.41 ID:XSy63dyw.net
- >>301
幾度となく出てる
- 311 ：１３２人目の素数さん：2017/10/29(日) 01:30:42.66 ID:5TeRc4Dg.net
- >>294の答え（の例）
Σ sgn(σ)x_σ(1)σ(2)x_σ(2)σ(3)x_σ(3)σ(4)x_σ(4)σ(5)x_σ(5)σ(1)
σ∈S_5(=5次対称群)
（ただし、x_ijとx_jiは同じ文字と見なす）
(証明)上で定めたfは 10x_12x_23x_34x_45x_ 51 の項を持つので0でない。
x_ij=v_i･v_j をfの式に代入した時の値をg(v_1,…,v_5)とおくと、gはv_i,v_j(i≠j)の入れ替えにより符号が反転することが確かめられるので、v_iのうち一次従属な二つ組が存在すればg=0とならなければならない。
v_iのうちどの二つ組も一次独立であると仮定する。各i=3,4,5に対して、v_1+t_iv_2とv_iが一次従属になるような実数t_iが存在するので、
tについての二次以下の式 h(t)=g(v_1+tv_2, v_2, v_3, v_4, v_5) は零点を３つ以上持つ。したがって、hは恒等的に0。ゆえに、g(v_1,…,v_5)も0。
- 312 ：￥ ：2017/10/29(日) 18:19:01.94 ID:w8MLdeK9.net
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- 321 ：￥ ：2017/10/29(日) 18:21:40.64 ID:w8MLdeK9.net
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- 322 ：１３２人目の素数さん：2017/11/08(水) 12:43:13.76 ID:X+T0MJpc.net
- 面白くないかもしれんが、lim[x→+0] {e - (1+x)^(1/x)}/x を求めよ。
- 323 ：１３２人目の素数さん：2017/11/08(水) 22:22:45.97 ID:mblwdtt/.net
- >>322
0 < x << 1 のとき
（1+x)^(1/x + 1/2) ～ e,
∴（1+x)^(1/x）～ e/√(1+x）～ e/(1+x/2）～ e(1-x/2),
∴（与式）= lim［x→+0］(ex/2)/x = e/2,
～は差がO(xx）であることを表わす。
- 324 ：１３２人目の素数さん：2017/11/09(木) 14:12:21.30 ID:3X7VVSFu.net
- 面白くないかもしれんが、lim［x→+0］｛e -（1+x)^(1/x + 1/2)｝/xx を求めよ。
- 325 ：１３２人目の素数さん：2017/11/10(金) 00:52:52.85 ID:zIX+6Ycy.net
- >>324
0 < x << 1 のとき
（1+x)^(1/x + 1/2 - x/12 + xx/24 - …）= e
- 326 ：１３２人目の素数さん：2017/11/11(土) 15:28:23.29 ID:ch5TTVlt.net
- >>325
1/(1+x）= 1 -x +xx -x^3 + …,
log(1+x）= x -xx/2 +（x^3)/3 -（x^4)/4 + …,
(1/x +1/2 -x/12 +xx/24 -…)log(1+x）= 1,
(1+x)^(1/x +1/2 -x/12 +xx/24 -…）= e,
- 327 ：１３２人目の素数さん：2017/11/12(日) 10:48:32.40 ID:Ol3q012R.net
- https://i.imgur.com/b8KxwvA.png
- 328 ：１３２人目の素数さん：2017/11/12(日) 11:44:42.83 ID:+jphTJpC.net
- >>327
対角線方向の和は等しい（全体の1/2）
32+16= 28+x,
x=20.
- 329 ：１３２人目の素数さん：2017/11/12(日) 17:20:16.27 ID:ppo0TGHI.net
- >>328
> 対角線方向の和は等しい（全体の1/2）
なぜ？
- 330 ：１３２人目の素数さん：2017/11/12(日) 18:11:44.33 ID:bcdob+HV.net
- >>329
正方形の頂点からも補助線を引けば
底辺は皆同じ長さだし
高さが同じ三角形が確変状に2つずつできるからだよ
- 331 ：１３２人目の素数さん：2017/11/12(日) 18:44:27.24 ID:ppo0TGHI.net
- ありがとう
- 332 ：１３２人目の素数さん：2017/11/12(日) 19:00:05.18 ID:+jphTJpC.net
- >>329
凸四角形ABCDの内部に点Pをとる。
4辺AB，BC，CD，DA の中点を K，L，M，N とおくと、
△APK = △BPK = k,
△BPL = △CPL = l,
△CPM = △DPM = m,
△DPN = △APN = n,
となる。 >>330
S_A = n + k,
S_B = k + l,
S_C = l + m,
S_D = m + n,
S_A + S_C = S_B + S_D,
- 333 ：￥ ：2017/11/12(日) 19:10:32.10 ID:AbMINYSr.net
- ￥
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- ￥
- 343 ：１３２人目の素数さん：2017/11/12(日) 19:32:20.75 ID:+jphTJpC.net
- >>332
では、本題に入ります。
PK，PL，PM，PN で4片に切り分け K，L，Mを鳩目で留めて、各片を動かします。
ABCDを1点Qに集めると、新しい凸４角形 K'L'M'N' が出来ます。
（鳩目がえし）
〔問題〕
点P が KM と LN の交点にあったとき、◇K'L'M'N' は平行4辺形になることを示せ。
- 344 ：１３２人目の素数さん：2017/11/13(月) 00:09:15.66 ID:JLzkThPB.net
- >>330 >>332
ほう、そっちに補助線が多数派か
おれは少数派
- 345 ：１３２人目の素数さん：2017/11/13(月) 00:50:51.00 ID:Yii0a2oy.net
- なんかそんな感じの図で変な名前の定理があったなと思った
british flag's theorem だった
- 346 ：１３２人目の素数さん：2017/11/13(月) 01:30:25.03 ID:JZdVlCPR.net
- なにが「本題に入ります」だコラ
てめえは画像貼ってねえだろ
- 347 ：１３２人目の素数さん：2017/11/13(月) 01:35:51.81 ID:8sAckRBe.net
- 前スレ
面白い問題おしえて～な 二十三問目 [無断転載禁止]©2ch.net
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1497416499/
187 １３２人目の素数さん 2017/06/25(日) 01:21:36.25 ID:8SgueX3P
Microsoftが就職面接で出したとかいう問題
長方形ABCDに対して点PがAP=11,BP=13,CP=7を満たすとき、DPは？
216 １３２人目の素数さん 2017/06/25(日) 22:50:39.89 ID:LvX/aL4D
>>194,211
正解
AP^2+CP^2=BP^2+DP^2はBritish flag theoremというらしい
https://youtu.be/bhMyvC7o97Y
マイクロソフトはこの問題を口頭で解かせた…？
- 348 ：１３２人目の素数さん：2017/11/13(月) 01:55:12.51 ID:Yii0a2oy.net
- ああsつかないんだ
- 349 ：￥ ：2017/11/13(月) 02:49:28.58 ID:tP2A7oah.net
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- 359 ：１３２人目の素数さん：2017/11/13(月) 18:30:50.24 ID:ZO46PDyG.net
- ┌┏━━━┳━━━┓
│┃ 3㎝^2┃5㎝^2 ┃
4┣━━━╋━━━┻━┓
㎝┃ ?㎝^2┃ 7㎝^2 ┃
└┗━━━┻━━━━━┛
└─── 5㎝────┘
- 360 ：１３２人目の素数さん：2017/11/13(月) 18:35:14.93 ID:s1bK+9vv.net
- >>359
ずれすぎ。絵を書いて貼ったほうがいい
- 361 ：￥ ：2017/11/13(月) 20:06:14.92 ID:tP2A7oah.net
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- 371 ：１３２人目の素数さん：2017/11/14(火) 03:33:26.70 ID:Tiu/gc0k.net
- >>359
等幅フォントならずれてないという罠
- 372 ：１３２人目の素数さん：2017/11/14(火) 03:42:14.27 ID:Tiu/gc0k.net
- ┌ Ａ━━━Ｂ━━━Ｃ‥Ｄ
│ ┃ 3㎝^2┃5㎝^2 ┃ ：
4 Ｅ━━━Ｆ━━━Ｇ━Ｈ
㎝ ┃ ?㎝^2┃ 7㎝^2 ┃
└ Ｉ━━━Ｊ━━━Ｋ━Ｌ
. └─── 5㎝────┘
解けないけどとりあえず点に命名
- 373 ：￥ ：2017/11/14(火) 04:43:21.57 ID:DKMYn3HH.net
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- 383 ：１３２人目の素数さん：2017/11/14(火) 07:54:34.80 ID:QSiwpYdW.net
- 答え出すだけなら当てずっぽうの3で計算あっちゃうからなあ
文字を置いて比と合計で方程式立てればいいんだろうけど小学生はどうやるんだろう？
中学受験とかの問題だよね？
- 384 ：１３２人目の素数さん：2017/11/14(火) 08:25:21.04 ID:BWV4+ALo.net
- 東大数学科卒のおれが
少し考えてしまった
- 385 ：１３２人目の素数さん：2017/11/14(火) 08:27:48.30 ID:BWV4+ALo.net
- >>383
×
- 386 ：１３２人目の素数さん：2017/11/14(火) 09:15:51.06 ID:ZesshMJ4.net
- >>372
5cmはIL間の距離だろうな、問題の意図からして
- 387 ：１３２人目の素数さん：2017/11/14(火) 10:17:13.68 ID:DHFhf7rh.net
- 問題文
長方形AILDがある。
辺AI上に点E、辺DL上に点Hを、AE=DHとなるようにとる。
辺AD上に点B、辺IL上に点Jを、AB=IJとなるようにとる。
EHとBJの交点をFとする。
線分BD上に点C、線分FH上に点G、線分JL上に点Kを、BC=FG=JKとなるようにとる。
AI=DL=4、AD=IL=5、□AEFB=3、□BFGC=5、□FJLH=7であるとき、□EIJFを求めよ。
- 388 ：１３２人目の素数さん：2017/11/14(火) 11:59:24.39 ID:B4AZ+w8T.net
- 点C,G,Kってただの糞エアロパーツ？
- 389 ：￥ ：2017/11/14(火) 13:05:50.88 ID:DKMYn3HH.net
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- 399 ：１３２人目の素数さん：2017/11/14(火) 17:46:50.52 ID:Tiu/gc0k.net
- >>386
3以外の別解がないことが証明できた
- 400 ：１３２人目の素数さん：2017/11/14(火) 17:54:52.45 ID:Tiu/gc0k.net
- AE=p,AB=q とするとき
┌pq=3
┤(4-p)(5-q)=7
└3(5-q)＞5
を解くと
(p,q)=(2,3/2)のみになりこのとき(4-p)q=3
なお(p,q)=(6/5,2)は上2式だけみたすが3(5-q)=25/12＜5 なので不適
- 401 ：１３２人目の素数さん：2017/11/14(火) 18:39:53.24 ID:GD1DjxVU.net
- >>384
なら当てずっぽうは立派な回答だと知ってように
- 402 ：１３２人目の素数さん：2017/11/14(火) 19:47:46.43 ID:6BrELZtY.net
- 3 ^2とかと表示されて意味不明だった。
3 10-x
x 7
x(10-x)=21
x=3,7
- 403 ：￥ ：2017/11/14(火) 20:36:32.61 ID:DKMYn3HH.net
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- 413 ：380：2017/11/14(火) 22:13:32.27 ID:A0rgzxpS.net
- 解答例
AE=xとおく。
□AEFB=3よりAB=3/x
AI=4よりEI=FJ=4-x
□FJLH=7よりBD=FH=7/(4-x)
AB+BD=5より3/x+7/(4-x)=5⇔5xx-16x+12=0⇔x=6/5,2
x=6/5のときAC=(3+5)/x=20/3>5=ADより矛盾（□BFGC=5はここで使う）。
x=2のときEI=AE=2より□EIJF=□AEFB=3
- 414 ：380：2017/11/14(火) 22:15:44.36 ID:A0rgzxpS.net
- これを小学校の算数の知識（面積比）で解くのが主旨なのでは
- 415 ：393：2017/11/14(火) 23:34:48.28 ID:Tiu/gc0k.net
- >>400を訂正
正:「なお(p,q)=(6/5,5/2)は上2式だけみたすが3(5-q)=3＜5 なので不適」
3(5-q)が意図するのは□BFGCではなく□BFHDの面積なので気をつけてほしい
右上の欠けを足したものは5cm^2より真に大きかろう、の意
- 416 ：１３２人目の素数さん：2017/11/14(火) 23:48:51.76 ID:Tiu/gc0k.net
- 解がいくつもありそうに思いきや、
Aを中心に積が3の双曲線(片割れのみ)
Lを中心に積が7の双曲線(片割れのみ)
を書いて考えただけでも、
交点は2個以下だから、解が2個以下であることまでわかる
てのは中学知識以上か
- 417 ：￥ ：2017/11/15(水) 00:54:28.91 ID:WZuPK5Ir.net
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- 427 ：１３２人目の素数さん：2017/11/15(水) 07:51:33.18 ID:leq/t8zY.net
- >>372
Dまでの全体の大きな四角形は20cm^2
大きな四角形を十字で分けて左上と右下を足して10cm^2なので左下と右上を足しても10cm^2
こうなるためにはBがADの中点であるかEがAIの中点であるか少なくともどちらかが必要※
従って求める左下の四角形の面積は3cm^2か7cm^2だが7だと右上が5より小さい3となってしまい不適
※は辺の長さを文字で置けば簡単だが、図形でやろうとするとちょっと面倒な方法しか思いつかない
BもEも中点でないとすると大きな四角形の中心について点対称に移動した十字を書き加えたとき中央に小さな四角形が必ずできる
この四角形の面積のぶん、左上と右下の和、左下と右上の和に差が出る
- 428 ：１３２人目の素数さん：2017/11/15(水) 08:27:56.05 ID:yoSEZHQY.net
- 一方が中点じゃない時にもう一方が必ず中点になる事をいえばいいだけじゃね
- 429 ：１３２人目の素数さん：2017/11/15(水) 08:40:23.80 ID:leq/t8zY.net
- >>428
それを簡単に言う方法が思いつかないってことだよ
小学生でもすんなり理解できるくらいの証明方法があったら教えてくれ
- 430 ：１３２人目の素数さん：2017/11/15(水) 12:35:25.28 ID:YjleuV3m.net
- ことによると、もっとでかい図形の一部として考えでもするのかな
悪名高きラングレーの凧はそのたぐい
- 431 ：￥ ：2017/11/15(水) 20:26:03.02 ID:WZuPK5Ir.net
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- 441 ：１３２人目の素数さん：2017/11/16(木) 04:10:16.86 ID:+0/ZGG+j.net
- >>430
「ラングレーの問題」とか「フランクリンの蛸」とか
- 442 ：￥ ：2017/11/16(木) 05:57:40.12 ID:6ldUKvsQ.net
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- 452 ：１３２人目の素数さん：2017/11/16(木) 14:34:01.79 ID:xSbgXfSQ.net
- 1辺の長さ1の正三角形の面積を二等分する曲線の長さの最小値を求めよ
- 453 ：１３２人目の素数さん：2017/11/16(木) 14:34:50.15 ID:xSbgXfSQ.net
- 高さ1、底円の半径1の円錐の体積を二等分する曲面の面積の最小値を求めよ
- 454 ：１３２人目の素数さん：2017/11/16(木) 14:37:39.09 ID:j2ynrfH6.net
- >>452
頂点中心の円弧
- 455 ：１３２人目の素数さん：2017/11/16(木) 14:38:54.77 ID:xSbgXfSQ.net
- >>454
はやい正解
ちなみに証明は？
- 456 ：１３２人目の素数さん：2017/11/16(木) 14:39:09.94 ID:j2ynrfH6.net
- >>453
頂点中心の球面錐
- 457 ：１３２人目の素数さん：2017/11/16(木) 14:40:43.15 ID:j2ynrfH6.net
- >>455
変分法で
- 458 ：１３２人目の素数さん：2017/11/16(木) 14:42:41.47 ID:w3VzNcGK.net
- 正三角形の内部（周を含む）と曲線の共通部分がチョン切れてもいいの？
- 459 ：１３２人目の素数さん：2017/11/16(木) 14:55:42.27 ID:OJKu5fNY.net
- >>458
それでも構いません
閉曲線じゃなくてもいいです
- 460 ：￥ ：2017/11/16(木) 15:47:02.80 ID:dwsFtXIf.net
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- 470 ：１３２人目の素数さん：2017/11/16(木) 17:33:11.94 ID:41JgcOJC.net
- >>452
問題の意味がわからん
直線で2等分するのが最短だと思うんだが
- 471 ：１３２人目の素数さん：2017/11/16(木) 18:37:02.51 ID:uFb11v3p.net
- >>470
直線の場合と>>454の場合で計算して比較してみな
- 472 ：１３２人目の素数さん：2017/11/16(木) 20:15:38.73 ID:KgFiXVl/.net
- >>470の本音↓
「自分で計算するのメンドクセーから他の人にやってもらお♪」
- 473 ：￥ ：2017/11/16(木) 20:52:15.86 ID:dwsFtXIf.net
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- 483 ：１３２人目の素数さん：2017/11/16(木) 23:54:45.63 ID:41JgcOJC.net
- 正三角形を6個並べる
同じ面積で周が最小なのは円
こんな感じ？
- 484 ：１３２人目の素数さん：2017/11/17(金) 01:07:53.30 ID:5tznSTq6.net
- Wolfram先生を頼らずに、次式を手計算で因数分解するには、どう考えたらいいかな？
(abc)^2 + (bcd)^2 + (cda)^2 + (dab)^2 + abcd(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)
- 485 ：１３２人目の素数さん：2017/11/17(金) 01:53:53.18 ID:VLF4tQu0.net
- >>484
どの文字も3次以下。
1次以下の3つの因数？
（ab+cd）（ac+bd）（ad+bc）
- 486 ：１３２人目の素数さん：2017/11/17(金) 01:58:30.79 ID:VLF4tQu0.net
- >>453
底円の面積は πゆえ
円錐の体積 V = π/3,
高さが（1/2)^(1/3）倍になるように、底面に平行な平面で切る。
その断面積は S =（1/2)^(2/3)π = 0.630π,
軸と母線のなす角αは
α = arctan{(底円の半径)/(高さ)｝= arctan(1）= π/4,
cosα = 1/√2,
球面錐の半径をｒとすると
体積 V ' =（2π/3)(1-cosα)r^3
これが V = π/3 の半分だから
r = 1/{4(1-cosα)}^(1/3）= 0.9486
断面積 S ' = 2π(1-cosα)r^2 = 0.5271π
- 487 ：１３２人目の素数さん：2017/11/17(金) 02:16:25.75 ID:VLF4tQu0.net
- >>452
１辺が１の正△の高さ（√3)/2、面積はS =（√3)/4
高さが√（1/2）倍になるように、底面に平行な平面で切る。
その長さは L =√（1/2）= 0.7071
半径ｒ、中心角60°の扇形の面積は S ' = πrr/6,
これが S =（√3)/4 の半分だから
r =（1/2）√{(3√3)/π｝= 0.643
L ' = πr/3 = 0.6734
- 488 ：￥ ：2017/11/17(金) 03:12:17.10 ID:Y8c01QBt.net
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- 498 ：１３２人目の素数さん：2017/11/17(金) 07:11:02.84 ID:eHjnVrvG.net
- >>452
こういう問題って円弧、直線以外も解になり得るの？
- 499 ：１３２人目の素数さん：2017/11/17(金) 07:39:59.09 ID:N4iBa0j5.net
- 最小値は求まるけど図示は可能なんだろうか？
等積問題と同じようなもん？
- 500 ：￥ ：2017/11/17(金) 14:48:02.83 ID:Y8c01QBt.net
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- 501 ：￥ ：2017/11/17(金) 14:48:21.41 ID:Y8c01QBt.net
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- 510 ：１３２人目の素数さん：2017/11/19(日) 20:32:58.40 ID:iFjU+4Gu.net
- 半径１の円に内接する四角形ABCDが、
AC⊥BD かつ 2OA↑+3OB↑+4OC↑=0↑（矢印はベクトル）をみたすとき、
四角形ABCDの面積を求めよ。
- 511 ：￥ ：2017/11/19(日) 20:44:12.14 ID:1TUhKzn4.net
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- 517 ：￥ ：2017/11/19(日) 20:45:53.49 ID:1TUhKzn4.net
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- 518 ：￥ ：2017/11/19(日) 20:46:10.61 ID:1TUhKzn4.net
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- 519 ：￥ ：2017/11/19(日) 20:46:28.14 ID:1TUhKzn4.net
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- 520 ：￥ ：2017/11/19(日) 20:46:45.59 ID:1TUhKzn4.net
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- 521 ：１３２人目の素数さん：2017/11/20(月) 14:01:33.33 ID:hzCSYxc+.net
- (1)
2直線y=ax, y=bxが、y=xについて対称の位置にあるための、a,bの必要十分条件を求めよ。
(2)
xy≠0, kは定数として、
(y/x)+(x/y)=k (|k|>2)
はどのようなグラフになるか？
(y/x)-(x/y)=k
はどのようなグラフになるか？
- 522 ：１３２人目の素数さん：2017/11/20(月) 21:43:11.87 ID:MPXap2oe.net
- >>521
(1,a)//y=ax
(1,b)//y=bx
(1,a)/√(1+a^2)+(1,b)/√(1+b^2)//y=x
1/√(1+a^2)+1/√(1+b^2)=a/√(1+a^2)+b/√(1+b^2)
- 523 ：１３２人目の素数さん：2017/11/20(月) 21:48:31.58 ID:MPXap2oe.net
- √(1+a^2)+√(1+b^2)=b√(1+a^2)+a√(1+b^2)
(1-b)√(1+a^2)=(a-1)√(1+b^2)
(1-2b+b^2)(1+a^2)=(a^2-2a+1)(1+b^2)
b(1+a^2)=a(1+b^2)
a(ab-1)=b(ab-1)
(a-b)(ab-1)=0
a=b,ab=1
- 524 ：１３２人目の素数さん：2017/11/20(月) 21:49:43.27 ID:MPXap2oe.net
- a=b=±1 -> ab-1=0
a=b≠1 -> NG
ab=1
- 525 ：￥ ：2017/11/20(月) 22:48:07.76 ID:yjl62pX+.net
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- 526 ：￥ ：2017/11/20(月) 22:48:24.88 ID:yjl62pX+.net
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- 534 ：￥ ：2017/11/20(月) 22:50:46.80 ID:yjl62pX+.net
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- 535 ：１３２人目の素数さん：2017/11/20(月) 23:13:45.09 ID:fb9CDJs2.net
- >>522-524
(1)正解
(1,a)/√(1+a^2)+(1,b)/√(1+b^2)=(c,c)からab=1まで同値性を保持している
- 536 ：￥ ：2017/11/21(火) 06:11:05.72 ID:XVyRctJ0.net
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- 546 ：１３２人目の素数さん：2017/11/21(火) 06:51:26.51 ID:H9m/I1ar.net
- (1)の補足
(y=x対称)⇒ab=1
a=tan(π/4+α), b=tan(π/4-α)とおいて計算するとab=1
ab=1⇒(y=x対称)
ab=1, ab≠0でa=tanθ, b=tan(π/2-θ)とおけば、θ=π/4+αと変換してπ/2-θ=π/4-αでy=x対称なのを示せる
が…
＞a=tanθ, b=tan(π/2-θ)とおけば、
のところが循環論法かもしれない
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- 557 ：１３２人目の素数さん：2017/11/21(火) 14:21:46.90 ID:Heuk6zpo.net
- y=ax<->x=ay
y=bx
∀x=abx
ab=1
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- 566 ：￥ ：2017/11/21(火) 17:54:14.02 ID:XVyRctJ0.net
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- 568 ：刈谷駅：2017/11/22(水) 01:05:27.67 ID:cgOoms97y
- あーあー2ちゃんねるに頼っていては駄目ですってやろうとしとって安城とかで電車で死亡事故があったー！閉鎖なんだー！さっきの怪しいのはなんだ殺すぞー！近くに来れとるな！安部マリーオ！
- 569 ：刈谷駅：2017/11/22(水) 01:10:28.70 ID:cgOoms97y
- 助けて風評被害に合わしてきたこじきたちがしつこい！僕なんか自由の女神に祈ろー！家の近くまで見に来れんくていいやー人生無いからってー！なー！
- 570 ：１３２人目の素数さん：2017/11/24(金) 01:28:03.71 ID:3FWBc0BM.net
- >>521(2)の解答
x≠0∧y≠0, k^2-4>0を考慮して
(y/x)+(x/y)=k
⇔y^2-kxy+x^2=0
⇔y=(kx±√((k^2)(x^2)-4(x^2)))/2
⇔y=(kx±|x|√(k^2-4))/2
⇔y=((k±√(k^2-4))/2)x
((k+√(k^2-4))/2)((k-√(k^2-4))/2)=1より、
これはy=xに対称な（原点を除く）2直線を表している
x≠0∧y≠0を考慮して
(y/x)-(x/y)=k
⇔y^2-kxy-x^2=0
⇔y=(kx±√((k^2)(x^2)+4(x^2)))/2
⇔y=(kx±|x|√(k^2+4))/2
⇔y=((k±√(k^2+4))/2)x
((k+√(k^2+4))/2)((k-√(k^2+4))/2)=-1より、
これは直交する（原点を除く）2直線を表している
- 571 ：￥ ：2017/11/24(金) 01:45:53.40 ID:7RwNGOaZ.net
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- 572 ：￥ ：2017/11/24(金) 01:46:09.34 ID:7RwNGOaZ.net
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- 574 ：￥ ：2017/11/24(金) 01:46:42.31 ID:7RwNGOaZ.net
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- 579 ：￥ ：2017/11/24(金) 01:48:02.51 ID:7RwNGOaZ.net
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- 580 ：￥ ：2017/11/24(金) 01:48:18.26 ID:7RwNGOaZ.net
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- 581 ：ゲルシュゴリンの定理：2017/11/26(日) 01:48:41.01 ID:D95U6Y/2.net
- 4次行列
[100 , 0 , 0 , 1]
[0.5 , 100 , 0 , 0.5]
[-1 , 0 , 100 , 0]
[1/2 , 1/3 , 1/6 , 100]
の固有値の絶対値はいくつくらい？
暗算で
- 582 ：１３２人目の素数さん：2017/11/26(日) 22:21:43.16 ID:b02GGEMo.net
- >>581
（x-100)^4 -（2/3)(x-100)^2 = 0,
∴ x = 100， 100±√(2/3).
- 583 ：１３２人目の素数さん：2017/11/26(日) 22:38:30.18 ID:b02GGEMo.net
- >>248 (1)
最も多数の点をとおる円の１つをΓとする。
Γはn個の点を通るとする。
題意より、n≧4
Γが通る点をA，B，C，… とする。
n<8 のとき、Γを通らない2点X，Yがある。
- 584 ：１３２人目の素数さん：2017/11/26(日) 22:40:06.20 ID:b02GGEMo.net
- >>248 (1)
・5≦n<8 のとき
5点｛A，B，C，X，Y｝に於いて、そのうち4点が同一円周上に存在する。
このとき、A，B，C のうちの１つが欠ける。
∵ もし XまたはY が欠けて A，B，C が残るならばその円はΓに一致し、XまたはY がΓ上に存在することになる。(矛盾）
たとえば、4点｛A，B，X，Y｝が同一円周上に存在する、とする。
A，B の片方を共有する｛A，C，X，Y｝や｛B，D，X，Y｝は同一円周上に存在しない。（C，D は A，B 以外の任意の点）
∵ もし存在するなら｛A，B，C，X，Y｝や｛A，B，D，X，Y｝が同一円周上に存在するが、それらはΓに一致し、X，Y がΓ上にあることになる。(矛盾）
次に、5点｛C，D，E，X，Y｝に於いて、そのうち4点が同一円周上に存在する。
たとえば、4点｛C，D，X，Y｝が同一円周上に存在する、とする。
更に、5点｛A，C，E，X，Y｝に於いて、そのうちの4点が同一円周上に存在する。
A，C，E のうちの１つが欠けるが、上記の2円のいずれかと3点を共有するので、結局Γと一致する。（矛盾）
以上により、5≦n<8 となることはない。
- 585 ：１３２人目の素数さん：2017/11/26(日) 22:44:17.48 ID:b02GGEMo.net
- >>248 (1)
・n=4 のとき
上と同様にして、１組の｛X，Y｝について
4点｛A，B，X，Y｝と｛C，D，X，Y｝が同一円周上にある。
4点｛A，C，X，Y｝と｛B，D，X，Y｝が同一円周上にある。
4点｛A，D，X，Y｝と｛B，C，X，Y｝が同一円周上にある。
の3条件のうち、1つだけが成立つ。
（∵ 2つ以上が成立てば、3点を共有する2円が一致し、結局Γと一致する。矛盾）
ところで、5点から｛X，Y｝の組合せを選ぶ方法はＣ[5，2］= 10 通りある。
上記3条件の１つは、4通り以上の組合せについて成り立つ。
その4通りの中に｛X，Y｝の片方を共有するものもある。
たとえば、｛A，B，X，Y｝と｛A，B，Y，Z｝が同一円周上に存在するなら、
3点を共有するので2円は一致し、5点｛A，B，X，Y，Z｝が同一円周上に有る（n≧5）。
これは n=4 と矛盾するから、n=4 となることはない。
・まとめ
以上により、n≧8 と結論される。
- 586 ：ゲルシュゴリンの定理：2017/11/27(月) 01:25:06.22 ID:/O2mcbZv.net
- >>582
まあ確かにそうなんだけど
(100-λ)^4-(1/6)(100-λ)^2-(1/2)(100-λ)^2+(1/6)(100-λ)-(1/6)(100-λ)=0
を考えるよりはもっと楽な方法が
- 587 ：１３２人目の素数さん：2017/11/28(火) 20:30:25.36 ID:8oBcz/rm.net
- …ない。
- 588 ：１３２人目の素数さん：2017/11/28(火) 20:42:42.09 ID:nK0w+JqJ.net
- nを2以上の自然数とするとき、
1+√2+...+√nは無理数であることを証明せよ
- 589 ：１３２人目の素数さん：2017/11/28(火) 22:42:00.31 ID:pYbSrd6a.net
- >>581の想定解
Gershgorin circle theoremより、固有値は4つとも、中心100,半径1の円盤に乗っている
固有値の絶対値は約100
- 590 ：１３２人目の素数さん：2017/11/29(水) 15:20:35.31 ID:yyAEt0PP.net
- >>588
無理っすう
http://integers.hatenablog.com/entry/2016/12/17/000000
- 591 ：１３２人目の素数さん：2017/11/29(水) 17:26:32.70 ID:VCsmhCGN.net
- xの多項式H_nを次の漸化式で定義する。
H_0 = 1
H_1 = 2x
H_(n+1) = 2x*H_n - 2n*H_(n-1)
m≠nのとき
∫[-∞,+∞] (H_n)(H_m)(e^(-xx)) dx
についてどんなことが言えそうか？
- 592 ：１３２人目の素数さん：2017/11/29(水) 23:50:09.14 ID:uL+p74UV.net
- >>589
100Eっぽい行列の固有値は
だいたい100っぽい。
そんだけの話。
- 593 ：１３２人目の素数さん：2017/11/29(水) 23:53:52.79 ID:Rmm8KPOh.net
- >>591
直交？
- 594 ：１３２人目の素数さん：2017/11/30(木) 01:02:10.77 ID:YBzixp/L.net
- >>591
エルミート多項式
(√π）2^n・n! δ_{n,m}
- 595 ：１３２人目の素数さん：2017/12/12(火) 05:01:41.50 ID:emj/pgNO.net
- Σkが平方数→無限にある(1,36,1225,…)
Σkkが平方数→1,4900のみ
Σkkkが平方数→全て
ところでaをある整数として
(Σk)+aが平方数になるのは有限個か？
Σ(k+a)=(Σk)+akが平方数になるのは有限個か？
a=1,-1について考えよ
- 596 ：１３２人目の素数さん：2017/12/13(水) 00:19:59.30 ID:IInGjIF+.net
- R = 1/(1+1/(1+2/(1+3/(1+4/(…))))）=（√e）∫[1,∞］ｅ^（-xx/2）dx = √(eπ/2）・erfc（1/√2）= 0.6556795424188
S = Σ[k=1,∞］１/(2k-1）!! =（√e）∫[0,1］ｅ^（-xx/2）dx = √(eπ/2）・erf（1/√2）= 1.4106861346424
辺々たすと
R + S =（√e）∫[0,∞］ｅ^（-xx/2）dx = √(eπ/2）= 2.0663656770612
- 597 ：１３２人目の素数さん：2017/12/13(水) 11:32:46.57 ID:IInGjIF+.net
- >>596
部分積分を繰り返して、
∫ｅ^（-xx/2）dx = Σ[k=1，n］｛1/(2k-1)!!｝x^(2k-1）ｅ^(-xx/2）dx + ｛1/(2n-1)!!｝∫x^(2n）ｅ^(-xx/2）dx,
S =（√ｅ）∫[0，1］ｅ^(-xx/2）dx = Σ[k=1，∞］1/(2k-1)!!,
- 598 ：１３２人目の素数さん：2017/12/14(木) 01:26:30.70 ID:BG0HQM59.net
- >>588
無理っすう
http://www.geocities.co.jp/Technopolis-Mars/7124/irratio.html
http://www.geocities.co.jp/Technopolis-Mars/7124/alg_int.html
- 599 ：１３２人目の素数さん：2017/12/14(木) 16:17:42.55 ID:t9T3shyE.net
- 三角形ABCにおいて,∠A内の傍心をI_Aとおく.辺BC,AB,AC上にそれぞれ点D,P,Qがあって,AP=CD,AQ=BDを満たしている.
また,三角形PBDと三角形QCDそれぞれの外接円は２点で交わるとする.
この2つの交点のうち点Dでないものを点Eとおく.このとき,点I_A,D,Eは同一直線上にあることを示せ.
- 600 ：１３２人目の素数さん：2017/12/14(木) 19:04:34.54 ID:t9T3shyE.net
- 此処って問題解ける人どれくらいいるんでしょう...
簡単な問題をもう1問(数3の範囲で解けます)
f,gを定義域が開区間I=(a,b)である連続な実数値関数とする
此の時、任意のα,β∈Iに対し、∫(x:α→β) f(x)dx=∫(x:α→β) g(x)dxを満たすならば、f=gである事を示せ
- 601 ：１３２人目の素数さん：2017/12/14(木) 19:13:44.97 ID:AzNCv8pt.net
- 「面白い」問題なら解くけど
- 602 ：１３２人目の素数さん：2017/12/14(木) 19:18:02.09 ID:Ofj4vZmo.net
- 手垢の付いた問題は解かないけど
- 603 ：１３２人目の素数さん：2017/12/15(金) 01:40:24.29 ID:YbKpkeYJ.net
- >>600
(略証）
c∈I とする。（a<c<b）
題意により、h（x）= f（x）- g（x）もIで連続。
ε> 0 を任意の正数とする。
h（x）は x=c で連続ゆえ、
｜x-c| < δ ⇒ ｜h(x）- h(c)| < ε
なる δ>0 がある。
［c-δ，c+δ］∩ Ｉ = J とおくと、
x ∈ J ⇒ h(c）-ε < h(x）< h(c）+ε,
一方、題意により、
∫_J h（x）dx = 0,
∴ h(c）-ε < 0 < h(c）+ε,
∴ ｜h(c)｜< ε
ε>0 は任意に小さくできるから、
h（c）= 0,
f（c）- g（c）= 0,
- 604 ：１３２人目の素数さん：2017/12/15(金) 02:01:20.23 ID:YbKpkeYJ.net
- >>600
数3だと
∫[c，c+t］ h（x）dx = 0,
をtで微分してt→0 かなぁ（微分積分学の基本定理というらしい。）
- 605 ：１３２人目の素数さん：2017/12/15(金) 08:47:36.88 ID:G5v7erv5.net
- 確かに微積分学の基本定理は受験でも使うし使えば簡単だが一応無くても高校範囲で解くことは可能
- 606 ：１３２人目の素数さん：2017/12/15(金) 08:47:59.47 ID:G5v7erv5.net
- (選択公理に目を瞑れば)
- 607 ：数３：2017/12/15(金) 11:56:54.59 ID:uqXDpGhA.net
- f=g+z
->
∫zdx=0
if z !=0 , then there exists z != 0 in [a,b].
take m = min[z,[a,b]]
∫zdx >= m(a-b) !=0
- 608 ：１３２人目の素数さん：2017/12/15(金) 14:24:12.18 ID:IuA5e40o.net
- F(x) = ∫_α^x f(t) dt, G(x) = ∫_α^x g(t) dt とおく。
条件よりF(x) = G(x)を満たすのでF'(x) = G'(x)、即ちf(x) = g(x)が成り立つ。
当ってる？ 平面図形の問題は分からん。
- 609 ：１３２人目の素数さん：2017/12/15(金) 16:07:29.46 ID:y5bzFKnT.net
- >>608
良いだろうね
もう一問
悪魔は8×8のチェス盤にランダムにポーン（0～64個）を置き、どこかのマスを指定する。
幼女Aはそれを見てどこか1マスに対し「ポーンを置く」「取り除く」のいずれかの行動を1回のみ行う。その後、幼女Bはチェス盤の様子を見て悪魔がどのマスを指定したのか答えねばならない。どうすればいい？
- 610 ：１３２人目の素数さん：2017/12/15(金) 23:00:11.32 ID:kGUdHQtO.net
- >>609
８×８のチェス盤６４マスに、０～６３の番号を割り振る。
ポーンのおかれている番号をリストアップし、さらに指定されたマスの番号をリストに加え、
これら全ての排他的論理和を求める。
その排他的論理の値に当たるマスに「操作」を加える。これが幼女Aの行動。
幼女Bは、ポーンのおかれている番号をリストアップしこれら全ての排他的論理和を求め、
その値に当たるマス目を指定すればよい。同様の問題がちょっと前にも出されている。
- 611 ：１３２人目の素数さん：2017/12/16(土) 02:38:51.80 ID:IUgCYmg5.net
- >>595
Σk^4 が平方数 → なし？
Σk^5 が平方数 → 1001^2（k=1～13）のみ？
Σk^m (m>5）が平方数 → なし？
- 612 ：１３２人目の素数さん：2017/12/16(土) 05:10:51.04 ID:IUgCYmg5.net
- >>595
Σ[k=1，n］k = n(n+1)/2 = mm,
m=n=1 は自然数解。
｛m，n｝が自然数解ならば｛3m+2n+1，4m+3n+1｝も自然数解。
∴自然数解は無限にある。
一般解
m_k =｛(√2 +1)^(2k）-（√2 -1)^(2k)}/(4√2),
n_k =｛(√2 +1)^(2k）+（√2 -1)^(2k）-2}/4,
kは自然数。
- 613 ：１３２人目の素数さん：2017/12/16(土) 13:31:38.53 ID:IUgCYmg5.net
- >>612
m_{k+1｝= 3m_k +2n_k +1,
n_{k+1｝= 4m_k +3n_k +1,
∴漸化式
m_{k+1｝= 6･m_k - m_{k-1},
n_{k+1｝= 6･n_k - n_{k-1｝+2,
- 614 ：１３２人目の素数さん：2017/12/16(土) 14:47:31.83 ID:1gDMckgM.net
- >>612
一般解ってことは
他にないのね？なぜ？
- 615 ：１３２人目の素数さん：2017/12/16(土) 17:33:02.86 ID:YLFrUwwC.net
- 空間内の
AA_1=AA_2=AA_3=√3
A_1A_2=A_2A_3=A_1=√6
を満たす四面体AA_1A_2A_3をHとする.△A_1A_2A_3の内心をI,内接円をCとする.円Cの中心が直線AI上にあるように,円CをAI方向に平行移動するとき,円Cが描く図形をFとする.四面体Hの表面および内部と,Fの表面および内部の共通部分Kの体積を求めよ.
- 616 ：１３２人目の素数さん：2017/12/16(土) 17:34:42.77 ID:YLFrUwwC.net
- 訂正
空間内の
AA_1=AA_2=AA_3=√3
A_1A_2=A_2A_3=A_3A_1=√6
を満たす四面体AA_1A_2A_3をHとする.△A_1A_2A_3の内心をI,内接円をCとする.円Cの中心が直線AI上にあるように,円CをAI方向に平行移動するとき,円Cが描く図形をFとする.四面体Hの表面および内部と,Fの表面および内部の共通部分Kの体積を求めよ.
- 617 ：１３２人目の素数さん：2017/12/16(土) 19:38:31.32 ID:YKyBeAy6.net
- 任意の実数 x, y に対して、f(f(x)+y) = 2x + f(f(f(y)-x)) をみたす関数 f を求めよ。
- 618 ：１３２人目の素数さん：2017/12/17(日) 00:19:49.14 ID:YgXxzpBe.net
- >>617
y=0
ffx=2x+ff(f0-x)
x=f0/2
ff(f0/2)=f0+ff(f0/2)
f0=0
ffx=2x+ff(-x)
x=0
fy=fffy
x=fy
f(ffy-y)=2fy
0=f(fffy-fy)=2ffy
f(fx+y)=2x
x=0
fy=0
0=2x
NG
- 619 ：１３２人目の素数さん：2017/12/17(日) 01:18:03.96 ID:rRk/M3Id.net
- >>614
2m = M，2n+1 = N とおけば
NN - 2MM = 1
という「ペル方程式」になります。
ペル方程式の全ての解は、最小解（M_1，N_1）≠（0，1）のべき乗になることが知られています。
N_k + M_k(√2）=｛N_1 + M_1(√2)}^k
- 620 ：１３２人目の素数さん：2017/12/17(日) 01:18:47.10 ID:4vXjwLo4.net
- >>618
ヴォイニッチ手稿かよ！ 何を書いているのか理解できんわ！
- 621 ：１３２人目の素数さん：2017/12/17(日) 01:39:12.64 ID:YgXxzpBe.net
- >>620
問題として成立してない
- 622 ：１３２人目の素数さん：2017/12/17(日) 01:40:03.13 ID:YgXxzpBe.net
- >>619
へーそうなんだ
面白いね
- 623 ：１３２人目の素数さん：2017/12/17(日) 01:58:30.57 ID:4vXjwLo4.net
- >>617
検索したら出てきた。面白スレ20問目912
----------------------------------------------------------
912 ：１３２人目の素数さん：2015/05/09(土) 05:43:03.75 ID:2Ji3jztR
f : R→R
∀x, ∀y ∈R , f(f(x)+y) = 2x + f(f(f(y))-x)
914 ：１３２人目の素数さん：2015/05/09(土) 14:24:47.79 ID:thUnZu1m
解の１つがf(x)=xなのはわかった
915 ：１３２人目の素数さん：2015/05/09(土) 18:33:22.73 ID:2Ji3jztR
こういう関数方程式の問題のお決まりの解法ってなんだろうな
916 ：１３２人目の素数さん：2015/05/10(日) 16:02:40.40 ID:CIiswLGB
>>912
2003 春合宿なら
f(f(x)+y) = 2x + f(f(y)-x)
だけど、それとは別の問題？
917 ：１３２人目の素数さん：2015/05/10(日) 16:31:57.91 ID:3rqDb3p4
>>916
別。
918 ：１３２人目の素数さん：2015/05/10(日) 18:48:38.37 ID:CIiswLGB
>>912
与式においてy=-f(x)として
f(0)=2x+f(f(f(-f(x)))-x)
この左辺は定数で, xは実数全体を動くのでfは全射.
a,b∈R, f(a)=f(b)とする. 与式においてy=a, bとして
f(f(x)+a)=f(f(x)+b)
fは全射よりf(x)は任意の実数値をとりうるのでfは周期b-aをもつ.
また, 与式においてx=a, bとして
2a+f(f(f(y))-a)=2b+f(f(f(y))-b)
f(f(y))-a-{f(f(y))-b)}=b-aとfの周期性よりf(f(f(y))-a)=f(f(f(y))-b)なので
a=b よってfは単射.
与式においてx=y=0として
f(f(0))=f(f(f(0))) fは単射なのでf(0)=0
∀c∈R, 与式においてx=-c, y=0として
f(f(-c))=-2c+f(c)・・・①
また, 与式においてx=0, y=-cとして
f(-c)=f(f(f(-c)))
fは単射なので-c=f(f(-c))・・・②
①, ②より-2c+f(c)=-c
よってf(c)=c
逆にf(x)=xは与式を満たす. □
----------------------------------------------------------
918の下から7行目が間違っているような…。
正しくは f(f(-c))=-2c+f(f(-c))・・・① だから、それ以降が使えんな。
- 624 ：１３２人目の素数さん：2017/12/17(日) 02:00:00.00 ID:KSMqeXY0.net
- n^2(n+1)^2(2n^2+2n-1)/12.
n=1,13,133,1321,13081,....
- 625 ：１３２人目の素数さん：2017/12/17(日) 03:42:58.65 ID:MW4shBkj.net
- >>617
f(s)をsの整式に限定した場合の解はf(s)＝±s
∵f(s)をsのn次式とおくと与式左辺はyのn次式、右辺はyの(n^3)次式なので、任意のyで等式が成立するnは0または1
そこでf(s)＝as＋bとおく。
左辺＝a(ax＋b＋y)＋b＝aax＋ay＋(ab＋b)
右辺＝2x＋a(a(ay＋b－x)＋b)＋b＝(2－aa)x＋aaay＋(aab＋ab＋b)
aa＝(2－aa)よりa＝±1。これはa＝aaaも満たす。
ab＋b＝aab＋ab＋bよりaab＝0
aa＝1なのでb＝0 □
整式以外のときはどうすればよいでしょうね
- 626 ：１３２人目の素数さん：2017/12/17(日) 05:17:08.31 ID:4vXjwLo4.net
- >>617
分かっていることは、これくらいでござるな。
(1) ｆ は全単射
(2) f(0) = 0
(3) f(f(x)) = x
(4) f(-x) = -f(x)
(5) f(2x) = 2f(x)
(6) 与式は f(f(x)+y) = f(y)+x と書き直せる
- 627 ：１３２人目の素数さん：2017/12/17(日) 07:30:39.15 ID:MW4shBkj.net
- >>623
918の修正版
与式においてy=-f(x)として
f(0)=2x+f(f(f(-f(x))-x))
この左辺は定数で, xは実数全体を動くのでfは全射.
a,b∈R, f(a)=f(b)とする. 与式においてy=a, bとして
f(f(x)+a)=f(f(x)+b)
fは全射よりf(x)は任意の実数値をとりうるのでfは周期b-aをもつ.
また, 与式においてx=a, bとして
2a+f(f(f(y))-a)=2b+f(f(f(y))-b)
f(f(y))-a-{f(f(y))-b)}=b-aとfの周期性よりf(f(f(y))-a)=f(f(f(y))-b)なので
a=b よってfは単射.
与式においてx=y=0として
f(f(0))=f(f(f(0))) fは単射なのでf(0)=0
～～以下修正～～
∀c∈R, 与式においてx=0, y=cとして
f(c)=f(f(f(c)))
fは単射なのでc=f(f(c))…①
①と与式より、
f(f(x)+y)=2x+(f(y)-x)=x+f(y)
この式においてx=f(a),y=bとして
f(f(f(a))+b)=f(a)+f(b)
①よりf(a+b)=f(a)+f(b):fは加法的…②
逆に①と②が成立すれば、与式について
右辺=f(f(x)+y)=f(f(x))+f(y)=x+f(y)
左辺=2x+f(f(f(y)))-f(f(x))=x+f(y)
なので、①かつ②が与式の成立に必要十分 □
ここまでですね
- 628 ：１３２人目の素数さん：2017/12/17(日) 08:00:01.42 ID:KSMqeXY0.net
- >>623
問題が違う。
- 629 ：１３２人目の素数さん：2017/12/17(日) 08:20:32.41 ID:YgXxzpBe.net
- >>618
間違えた
> >>617
> y=0
> ffx=2x+ff(f0-x)
> x=f0/2
> ff(f0/2)=f0+ff(f0/2)
> f0=0
> ffx=2x+ff(-x)
これは不要
x=0
fy=fffy
y=-fx
f(fx-fx)=0=2x+ff(f(-fx)-x)
f epi
x=fy
x=ffx
f iso
f(fx+y)=2x+fy-x=x+fy
f(z+y)= fz+fy
f Q-homo & ff=Id
example
f1=e
fe=1
fx=x for other generators
f(p+qe+Σr_sx_s)=pe+q+Σr_sx_s
- 630 ：１３２人目の素数さん：2017/12/17(日) 08:29:11.39 ID:YgXxzpBe.net
- >>629
> f Q-homo & ff=Id
f Q- iso & ff=Id
- 631 ：１３２人目の素数さん：2017/12/17(日) 09:00:01.25 ID:KSMqeXY0.net
- x=a+b,f(a)=a,f(b)=-b.
f(x)=a-b.
a=(x+f(x))/2,b=(x-f(x))/2.
x=a+b,f(a)=a,f(b)=-b.
a+b=c+d,f(a)=a,f(b)=-b,f(c)=c,f(d)=-d.
a-b=c-d.
a=c,b=d.
- 632 ：１３２人目の素数さん：2017/12/17(日) 12:04:47.22 ID:4vXjwLo4.net
- >>629 と >>631
数式だけの羅列だと、何を言いたいのか、何をやっているのかサッパリ理解できないんだが？
単に俺がアホなだけなんだろうけど。
- 633 ：１３２人目の素数さん：2017/12/17(日) 12:56:48.68 ID:rRk/M3Id.net
- >>624
｛n(n+1)/2}^2 は明らかに平方数ゆえ、
（2nｎ+2n-1)/3 が平方数 mm ならばよい。
(2n+1)/3 = N とおくと、
3NN - 2mm = 1,
（m，N）が自然数解 → （5m+6N，4m+5N）も自然数解。
m_{k+1｝= 5 m_k + 6 N_k,
N_{k+1｝= 4 m_k + 5 N_k,
漸化式
m_{k+1｝= 10 m_k - m_{k-1},
N_{k+1｝= 10 N_k - N_{k-1},
一般式
m_k =｛（√3 +√2)^(2k+1）-（√3 -√2)^(2k+1）｝/（2√2),
N_k =｛（√3 +√2)^(2k+1）+（√3 -√2)^(2k+1）｝/（2√3),
- 634 ：１３２人目の素数さん：2017/12/17(日) 18:06:01.29 ID:YgXxzpBe.net
- >>627
fx=x
fx=-x
以外に
具体的に書けるfはある？
RのQ-mod baseって選択公理から存在が出るだけで
具体的には無理ぽ
- 635 ：１３２人目の素数さん：2017/12/17(日) 18:29:36.84 ID:fnZuYwJ/.net
- たしか選択公理までは必要なくRが整列できればよかったと思う
どちらにせよ具体的にはならないけど
- 636 ：１３２人目の素数さん：2017/12/17(日) 19:17:06.01 ID:MW4shBkj.net
- >>634
ハメル基底U={Ui}(Q-mode baseはこの意味？)を使って任意の実数xを有理ベクトル(q1,…,qn)に１対１に対応させてx=Σqi・Uiが成立するようにできるから、
基底ごとに係数ai=1またはai=ｰ1を選んでf(x)=Σai・qi・Uiとすれば条件は満たされるのではと。
- 637 ：１３２人目の素数さん：2017/12/17(日) 19:38:11.15 ID:MW4shBkj.net
- >>635
ハメル基底の存在を示すとき選択公理が出てくる
選択公理からはハメル基底が「ある」ということは言えるが、ハメル基底の実例を具体的に示すことはできない
ハメル基底の実例が示せないから、実数を有理ベクトルに分解する方法も具体的には示せない
ってところかな
- 638 ：１３２人目の素数さん：2017/12/17(日) 19:44:10.58 ID:YgXxzpBe.net
- >>636
Q-mod baseと書いたのはそれのこと
そしてそれが具体的に与えられないから
fを具体的に書けそうもないってこと
具体的に書けたら基底の交換とか反転(-1倍)とか
固有値±1の行列的なのが色々と
- 639 ：１３２人目の素数さん：2017/12/18(月) 00:33:44.65 ID:UbK7WUxq.net
- >>595
Σ[k=1,n］k^5 =｛n(n+1)/2}^2（2nn+2n-1)/3,
が平方数になるような n をさがす。
>>633 に沿って考えると、結果は >>624 になるらしい。
- 640 ：１３２人目の素数さん：2017/12/18(月) 10:22:50.68 ID:GtvOXPBa.net
- 黒板に何個かの相異なる自然数が書かれている。此れから2人で,以下の様な操作を交互に行うゲームをする.
(操作)「プレーヤーは自分の手番※のとき,黒板に書かれている数から1つの数aを選び,aを其れから1を引いた数a-1に書き直す.
此のとき,a-1=0であるか,a-1が既に黒板に書かれている他の或る数と等しければ,今書いたばかりのa-1を1つ黒板から消す.」
自分の手番のとき,黒板に書かれている最後の数を消してしまったプレーヤーが負けになる.
此のゲームに於いて,両者が最善を尽くした場合に先手が勝つ場合は先手必勝であると言い,後手が勝つ場合は後手必勝であると言う.
例えば,黒板に1,2が書かれている場合は,先手が2を選ぶと,2-1=1は黒板に書かれているから其れは消されて1が1つだけ黒板に残る.
其のとき,後手は1を選ぶしか無いが,1-1=0なので0は消されて,黒板から全ての数が消えてしまい,後手が負けとなる.
故に黒板に1,2が書かれている状態は,先手必勝である.
問.此のゲームについて最初に黒板に書かれている数が全て偶数の場合は,先手必勝であることを証明せよ.
※「手番」とは,先手と後手の2人で交互に操作を行うゲームにおいて,操作を行う順番が回ってきた状態を言う.
- 641 ：１３２人目の素数さん：2017/12/18(月) 10:54:34.54 ID:vwATuN9O.net
- 濁点が１コずつしかないのが気になる
ゲームの結果消されたのかな
- 642 ：１３２人目の素数さん：2017/12/18(月) 11:20:26.47 ID:eRhrRXUs.net
- 今年は素数みたいな粋な注意書がありそう
- 643 ：１３２人目の素数さん：2017/12/18(月) 12:13:56.89 ID:vwATuN9O.net
- 先手は以下の戦略をとることで必ず勝利できる。
① 盤面が全て偶数ならば最大の数を減ずる
② 盤面に奇数が２つだけあるとき、小さい方の奇数を減ずる
(証明)初期盤面が全て偶数であるとき、上記の戦略をとると先手の着手後の盤面は必ず「最大の数は奇数」かつ「最大でない数は全て偶然」の状態(条件Ａ)にできる。
この条件Ａを満たす盤面は奇数が少なくとも１つ残っており、先手は負けることはない。このことを以下に示す。
先手の初手は①に従う。盤面は全て偶数である、および初期盤面に同一の数が存在しないことから、最大数は他のどの数よりも２以上大きい。
よって、最大数を１減じて奇数にしても他の数より大きいため盤面に奇数が残り、その奇数は盤面の最大数である。
最大数は奇数、かつそれ以外の数は偶数となり条件Ａを満たす。
次に条件Ａを満たす盤面での後手の着手を考える。後手の次の手は最大数である奇数か、それ以外の偶数を減ずることになる。
最大数の奇数が１である場合、それが最大数であることから他に数はなく、後手は唯一残った１を消す必要があるので先手は勝利する。
最大数の奇数が３以上のとき、後手が奇数を１減じて偶数とすると、その偶数を消す必要があるときもないときも、盤面に残った数はすべて偶数となる。
元の盤面はすべて異なる数であり、減じた結果の数が他の数と一致すればその数は消されるため、盤面はすべて異なる偶数となる。
そのため、初手と同じく次に先手が①のとおり着手すれば条件Ａを満たす盤面にできる。
最大数の奇数が３以上のとき、後手がいずれかの偶数を選び、１減じて奇数とした場合、元の盤面の唯一の奇数は最大数であることから、これとは一致しない。よってこの着手では奇数が２つだけ残る。
先手は②の戦略をとることで、後手が今しがた減じた奇数を１減じて偶数とする。
この着手で最大数の奇数は盤面に残り、減じた偶数を消す必要があるときもないときも、最大数以外の数はすべて偶数となる。この場合も条件Ａを満たす。
後手の着手は他にない。後手がいずれの着手をしても、先手は常に次に条件Ａの盤面にすることができ、先手は負けることがない。
最後に、全ての着手で盤面の数の総和は単調減少であり、このゲームは必ず決着する(引き分けはない)
よって、このゲームにおいて、偶数のみの盤面では先手必勝である。□
- 644 ：１３２人目の素数さん：2017/12/18(月) 12:49:42.46 ID:GtvOXPBa.net
- 即答か...流石
2つの壁と床が互いに直交している部屋の隅に半径1の円盤を立てかけて静止させる.
但し円盤は其の2つの壁と床の其々に唯1点点ずつで接触しているものとし,厚さは無視する.又部屋は十分広くて円盤が他の壁に接触することは無い.
部屋の隅を原点Oとし,壁と床を座標面,全ての座標が正である領域を室内とする座標系を定める.
円盤に垂直なベクトルを円盤の法線ベクトルということにする.又単純化のため,全ての成分が正となる法線ベクトルを持つ円盤だけを考える.
此のとき円盤の中心 (α, β, γ) の存在範囲を求めて図示せよ.
- 645 ：１３２人目の素数さん：2017/12/18(月) 13:10:04.21 ID:nqvhCgK9.net
- 2015近大数コンB-1
- 646 ：１３２人目の素数さん：2017/12/20(水) 23:08:11.57 ID:5IhznqoQ.net
- xy平面上において、放物線y=x^2と円Oは異なる4点A,B,C,Dで交わっており、Aのx座標をaとする。
C,Dが線分ABの垂直二等分線上にあり、直線ABの傾きが正であるとき、C,Dのx座標をaで表せ。
- 647 ：１３２人目の素数さん：2017/12/21(木) 01:31:33.08 ID:de+NyBf2.net
- >>646
A（a，aa)
B（b，bb)
C（c，cc)
D（d，dd)
とおく。
(ABの傾き）= a+b,
(CDの傾き）= c+d,
AB ⊥ CD より（a+b)(c+d）= -1
題意より、CDは円Oの直径。
円Oの中心O'は CD の中点O'（(c+d)/2，(cc+dd)/2)
円Oの半径は CD/2 =｜c-d｜√{1+(c+d)^2}/2
∴c，d は次式の根。
xx + x/(a+b) -（aa+bb+1)/2 = 0,
- 648 ：１３２人目の素数さん：2017/12/21(木) 01:45:11.00 ID:de+NyBf2.net
- これにより c，d は a+b，aa+bb で表わされる。
またA，Bは円O上にある。
∴a，b は次式の根。
｛x-(c+d)/2}^2 +｛xx -（cc+dd)/2}^2 =（CD/2)^2
これらより a+b，aa+bb は a で表わせる。
- 649 ：１３２人目の素数さん：2017/12/21(木) 14:03:31.20 ID:de+NyBf2.net
- (続き）
放物線y=xx と円Oの交点はすべて次式の根。 >>648
｛x-（c+d)/2}^2 +｛xx -（cc+dd)/2}^2 =（CD/2)^2,
∴｛(x+c)(x+d）+1}(x-c)(x-d）= 0,
∴（x-a)(x-b）=（x+c)(x+d）+ 1,
∴ a+b = -(c+d),
ところで直交性（a+b)(c+d）= -1，（ABの傾き）= a+b >0 >>647
により
a+b = 1，c+d = -1,
∴ c，d は次式の根。
xx + x -(aa-a+1）= 0,
- 650 ：１３２人目の素数さん：2017/12/21(木) 14:42:34.69 ID:wwmE25ut.net
- y²＝x²＋x＋kを満たす0以上の整数(x,y)の組が2個となるような正の整数kを全て求めよ
- 651 ：１３２人目の素数さん：2017/12/21(木) 20:51:11.79 ID:wwmE25ut.net
- >>646
円Oの方程式を(x-p)^2+(y-q)^2=r^2とおいて
y=x^2を代入して整理すると
x^4+(1-2q)x^2-2px+p^2+q^2-r^2=0
A,B,C,Dのx座標をa,b,c,dとすると
解と係数の関係によりa+b+c+d=0
このとき直線ABの傾きは(b^2-a^2)/(b-a)=a+b、
同様に直線CDの傾きはc+dなので、2直線の傾きの和は0
直線ABの傾きは正で直線ABと直線CDは直交するので
直線ABの傾きは1、直線CDの傾きは-1
A(a,a^2)から直線ABの式はy=x+a^2-a
y=x^2を代入して整理するとx^2-x-a^2+a=0
解と係数の関係からa+b=1なのでb=1-a
つまりB(1-a,(1-a)^2)
ABの中点は(1/2,a^2-a+1/2)なので
直線CDの式はy=-x+a^2-a+1
これとy=x^2との交点のx座標を求めると
x={-1±√(4a^2-4a+5)}/2 … (答)
- 652 ：１３２人目の素数さん：2017/12/21(木) 21:57:28.27 ID:gjhKD82f.net
- >>649,651
正解！
- 653 ：１３２人目の素数さん：2017/12/23(土) 00:38:20.81 ID:hi/zE5Ka.net
- 三角数1,3,6,10,...,n(n+1)/2,...がある。このとき、mが三角数であることが、(a_i・m)+b_iが三角数であるための必要十分条件であるようなa_i,b_iの組が無限に存在することを示せ。
- 654 ：１３２人目の素数さん：2017/12/23(土) 03:13:58.87 ID:gDyMI1rU.net
- >>650
k≠平方数のとき
（x，y）=（k-1，k）だけ、１個（不適）
k=平方数のとき
（x，y）=（0，√k）もある。
他に解が無ければ２個
k = L^2，
L = 2，3，6，9，15，21，…
- 655 ：１３２人目の素数さん：2017/12/23(土) 04:12:50.91 ID:vWsab/FY.net
- >>653
a>0
a+b=1
3a+b=3
a=1
b=0
- 656 ：１３２人目の素数さん：2017/12/23(土) 10:52:03.63 ID:hi/zE5Ka.net
- 2017年もそろそろ終わるということで。
x_0,x_1,x_2,...,x_63が{1,2,...,2017} の異なる要素であり、
かつ
(x_0)+(x_1)+2(x_2)+3(x_3)+...+63(x_63)
が2017で割り切れるような64個の順序組(x_0,x_1,x_2,...,x_63)を求めよ。
- 657 ：１３２人目の素数さん：2017/12/23(土) 11:02:53.30 ID:YapE+IwD.net
- >>656
x_0=630
x_i=i (1≦i≦63)
とか
x_0=694
x_i=i+1(1≦i≦63)
とか
想定解は
x_0=2016
x_i=i^2(1≦i≦63)
だと思うが
- 658 ：１３２人目の素数さん：2017/12/23(土) 11:08:09.35 ID:hi/zE5Ka.net
- ええと...答案書ける？
- 659 ：１３２人目の素数さん：2017/12/23(土) 11:30:53.05 ID:pEu9Op4q.net
- まぁ実際にはi^2の形は2016を超えるのでmod 2017で考えるのだが
2017が素数なのでi≧1でかぶらないことは明らかで
229^2+1が2017の倍数なのは簡単な計算で求められるから
2016も出てこないだろうことが言えるのかな
- 660 ：１３２人目の素数さん：2017/12/23(土) 13:16:12.92 ID:VAwmH06/.net
- >>653
a= s^2, b=(s^2-1)/8 とすれば簡単に確認できる
一般に自然数Nが△であることと,8N+1が□であることは同値であること
および 0以上の値を取る整数列が1より小さいなら0を取るしかないことを使えば
すべて求めることも可能
- 661 ：１３２人目の素数さん：2017/12/23(土) 13:20:10.40 ID:UW3Uffha.net
- 別解が多数あるような問題だと面白味に欠けるね
- 662 ：１３２人目の素数さん：2017/12/23(土) 14:00:07.94 ID:8Lg2YKjF.net
- 9m+1=3.
m=2/9.
- 663 ：１３２人目の素数さん：2017/12/23(土) 14:06:53.67 ID:hfP9wJYE.net
- 別解がないような問題って、気付いたらおしまいな一発芸クイズ問題のことか？
- 664 ：１３２人目の素数さん：2017/12/23(土) 14:08:33.89 ID:hi/zE5Ka.net
- つまらないのか...
年末だし自作問題だしまくろうというヤケ糞精神で挑みますよ...
f(x),f’(x),f’’(x),f’’’(x)が任意のxに対して正であるような実関数fを取る。
また、この関数fは連続な3次導関数である。
任意のxに対してf’’’(x)≦f(x)が従うとき、
任意のxに対して
f’(x)<2f(x)が従うことを示せ。
- 665 ：１３２人目の素数さん：2017/12/23(土) 14:30:48.11 ID:GaEzdGdo.net
- 学校の課題で問題が出されたのですが、全くわかりません。
問題は、
問１ 平均値μ=2、および標準偏差σ=2の正規分布に従う確率変数を考える。このとき、この確率変数が次の区間に含ま
れる確率を小数第4位まで計算しなさい。
1 (4, ∞)
2 (-∞, 2.7)
3 (0.88, 5.6)
4 (1.46, 3.24)
問２ ある検問所で記録された車のスピードのデータによると、そこを通過する車は平均時速61.6km、標準偏差7.0kmで、だいたい正規分布に従っている。このとき、次の割合を100分率(パーセント)で小数第1位まで計算しなさい。
1 時速70kmをこえている車は全体の○％である
2 時速49kmよりも遅い車は全体の○％である
3 時速56kmから時速63kmまでの車は全体の ○％である
皆様方どうかお手を差し伸べていただけませんか、、、
- 666 ：１３２人目の素数さん：2017/12/23(土) 15:00:01.28 ID:8Lg2YKjF.net
- 3^2=1^2+1+7.
7^2=6^2+6+7.
- 667 ：１３２人目の素数さん：2017/12/23(土) 15:49:07.42 ID:gGCV2aUH.net
- >>662
9m+1=6
m=5/9
- 668 ：１３２人目の素数さん：2017/12/23(土) 16:04:18.47 ID:hi/zE5Ka.net
- 詰まってるようなのでさらに投下
n≧3である整数nに対し、θ=2π/nが従っている。
ここで、Iをn×n単位行列、A={a_(jk)}は任意のj,kに対して
要素a_(jk)=cos(jθ+kθ)を持つとする。
このとき、n×n行列l+Aの行列式を求めよ。
- 669 ：１３２人目の素数さん：2017/12/23(土) 17:02:25.06 ID:VAwmH06/.net
- 整数環Z[√2] において, x^3+y^3=z^3 を満たすx,y,zをすべて求めよ
- 670 ：１３２人目の素数さん：2017/12/23(土) 21:37:14.73 ID:TqYw9/fC.net
- ｆ ∈ C^2 かつ f(0)≠0 で、
任意のx、y∈R に対して f(x+y) + f(x-y) = f(x)f(y)
をみたすとき、f を求めよ。
- 671 ：１３２人目の素数さん：2017/12/23(土) 22:52:19.21 ID:gGCV2aUH.net
- >>668
日本語が変すぎ
- 672 ：１３２人目の素数さん：2017/12/23(土) 23:14:31.72 ID:gGCV2aUH.net
- >>670
f0+f0=f0f0
f0=2
fy+f-y=f0fy=2fy
f-y=fy
f2x+f0=fxfx
2f'2x=2fxf'x
うーん
- 673 ：１３２人目の素数さん：2017/12/23(土) 23:18:56.51 ID:gDyMI1rU.net
- >>668
D_n（θ）=｜I + A｜
=｜δ_(j,k）+ a_(j,k）｜
=｜δ_(j,k）+ cos((j+k)θ）｜
= -（nn-n-4)/4 + Σ[m=1,n］（(n+2-m)/2）cos(2mθ),
D_n（2π/n）= -（n+2)(n-2)/4,
どうでもいいけど、
D_n（θ）は周期πで、θ=0，±π，±2π，… にピークをもち、nが大きいほど鋭い。
D_n（0）= n+1,
- 674 ：１３２人目の素数さん：2017/12/23(土) 23:29:53.90 ID:gDyMI1rU.net
- >>670
f（x）= 2cos（kx),
f（x）= 2cosh（kx）= e^(kx）+ e^(-kx),
他にもあるか…
う～ん
- 675 ：１３２人目の素数さん：2017/12/23(土) 23:42:05.13 ID:VAwmH06/.net
- 1-4n が Z/mZ で平方数となるような自然数nをすべて求めよ(但し, m=n! とする)
- 676 ：１３２人目の素数さん：2017/12/24(日) 00:16:32.86 ID:cmcygqx4.net
- >>673
ついでに…
D_n（±π/2）= -（n+2)(n-2)/4 （n：偶数）
-（n+1)(n-1)/4 （n：奇数）
θがピーク（mπ）から離れた所にあるときは、これ位の値。。。
- 677 ：１３２人目の素数さん：2017/12/24(日) 08:51:22.74 ID:XxuOjX7e.net
- >>670
f(x)=a^x+a^-x (a∈ℝ)
- 678 ：１３２人目の素数さん：2017/12/24(日) 11:42:20.65 ID:Xnr2/YA4.net
- またぞろ選択公理絡みの異常解が出てくる問題かな
- 679 ：１３２人目の素数さん：2017/12/24(日) 11:52:31.08 ID:cmcygqx4.net
- >>677
それはそうだが、最後に「う－ん」がない。
- 680 ：１３２人目の素数さん：2017/12/24(日) 12:22:02.44 ID:4I+VyOLh.net
- >>670
ｆ∈C^2 を使ってみよう。
f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y) の両辺を y で微分した後
2y で割って y→0 の極限をとると、
f''(x)=f(x){lim f'(y)/(2y)}。
左辺が収束することから、右辺の{ }内も収束する。
f''(x)=f(x)C (Cは定数) と置いて
微分方程式を解いて原式へ代入すると、
誰かが上に書いた解が得られる。
- 681 ：１３２人目の素数さん：2017/12/24(日) 13:29:15.73 ID:XxuOjX7e.net
- x=y=0とせよ
2f(0)=f(0)^2
f(0)≠0より f(0)=2
x=0とせよ
f(y)+f(-y)=2f(y)
f(-y)=f(y)
∴fは偶関数.
y=xとせよ
f(2x)+2=f(x)^2
両辺をxで微分して両辺を2で割ると
f'(2x)=f'(x)f(x)
x=0を代入するとf'(0)=0.
与式の両辺をxについて微分せよ
f'(x+y)+f'(x-y)=f'(x)f(y)
更に微分せよ
f''(x+y)+f'(x-y)=f''(x)f(y)
此処でx=0とせよ
f''(y)+f''(-y)=f''(0)f(y)
偶関数を微分すると奇関数になり、奇関数を微分すると偶関数になるからf''は偶関数であって
2f''(y)=f''(0)f(y)
此の二階の微分方程式の解を求めよ
f''(0)=Kと置く
2f''(y)=Kf(y)
2f''(y)-Kf(y)=0
特性方程式2t^2-K=0を解き、t=±√(K/2)
則ち一般解はf(y)=Ae^{√(K/2)y}+Be^{-√(K/2)y}
√(K/2)=Cとせよ
f(y)=Ae^(Cy)+Be^(-Cy)
f(0)=2よりA+B=2
f'(0)=2よりf'(0)=AC-BC=0
AC=BC
C=0のときf(y)=A+B=2
此れはf(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)を満たす
C≠0のときA=B,則ちA=B=1
此のときf(y)=e^(Cy)+e^(-Cy)
此れはC=0としても成立する.
∴求める関数は f(x)=e^(Cx)+e^(-Cx) (Cは定数)
因みに>>664を解けたやつおるか？
- 682 ：１３２人目の素数さん：2017/12/24(日) 14:43:40.28 ID:89LOn+Gp.net
- 微分可能って仮定はどこからでたの？
- 683 ：１３２人目の素数さん：2017/12/24(日) 15:24:42.41 ID:4I+VyOLh.net
- ｆ∈C^2
- 684 ：１３２人目の素数さん：2017/12/24(日) 15:25:35.11 ID:4L8q796c.net
- >>682
f∈C²という表記がfがC²級(2回微分可能で微分係数が連続)ということを指しているのでは？
- 685 ：１３２人目の素数さん：2017/12/24(日) 17:34:40.63 ID:l/9hxEv0.net
- おお。
- 686 ：１３２人目の素数さん：2017/12/24(日) 18:21:16.77 ID:Xnr2/YA4.net
- f:C→C の意味かな、それだったらf∈C^Cって書き方が正しいよねとか思ってた
- 687 ：１３２人目の素数さん：2017/12/25(月) 02:47:59.87 ID:HAz1LRxT.net
- >>673 (補足)
D_n(θ）= -(n+2)(n-2)/4 +｛n/4 + Σ[m=1，n］((n+2-m)/2）cos(2mθ)},
θ = 2π/n のときは m ⇔ n-m としても cos(2mθ）は不変だから平均して
｛ ｝=（(n+4)/4）Σ[m=1，n］cos(2mθ）
=（(n+4)/4）Σ[m=1,n］｛sin((2m+1)θ）- sin(2m-1)θ)}/(2sinθ)
= 0,
・漸化式は
D_{n+1}(θ）-2 cos(2θ）D_n(θ）+ D_{n-1}(θ）= -((nn-2)/2){1 - cos(2θ)}
- 688 ：１３２人目の素数さん：2017/12/25(月) 07:11:24.62 ID:e0+X2iMy.net
- >>686
お前は高校数学止まりなのか？常識だと思うが。お大事に。
- 689 ：１３２人目の素数さん：2017/12/25(月) 08:18:01.17 ID:nZWVudFS.net
- いや、あれは>>670が悪い。
「級」を付けて書かなければ、
値が複素２次ベクトルかな？
くらいに思うほうが普通。
- 690 ：１３２人目の素数さん：2017/12/25(月) 09:06:09.40 ID:48ocxvwa.net
- 思わん思わん
- 691 ：１３２人目の素数さん：2017/12/25(月) 09:23:30.09 ID:lE0+sr8Z.net
- どんな数学書を読んだらそんな勘違いするのか
- 692 ：１３２人目の素数さん：2017/12/25(月) 09:23:43.63 ID:yDO/OeKP.net
- 数学科の常識は非常識だからな
ときどきそういうことが起こる
- 693 ：１３２人目の素数さん：2017/12/25(月) 09:42:35.29 ID:Ll0quYmf.net
- テキストだけの世界で端折った書き方する方が悪い
数学書は表記について意味を定義した上で省略が許される
- 694 ：１３２人目の素数さん：2017/12/25(月) 11:52:04.26 ID:e0+X2iMy.net
- 基本中の基本である定義を知らないのがおかしいんじゃないのかな？
- 695 ：１３２人目の素数さん：2017/12/27(水) 19:46:24.68 ID:HxzH42Hz.net
- 〔問題21〕
凸4辺形ABCDにおいて、∠ABC = β，∠BCD = γ とします。
β/2 + γ = 120ﾟ,
∠ABD ：∠DBC = 1：3,
∠ACD = 30ﾟ,
と角度が指定されています。
このとき、∠ADB は何度でしょうか。
・参考
E.M.Lanley："A problem"，The Math. Gazette（1922/Oct）（1923/May)
Franklin の凧
数セミ増刊「数学の問題 第2集」日本評論社（1978）問題21
- 696 ：１３２人目の素数さん：2017/12/27(水) 19:57:27.87 ID:HxzH42Hz.net
- >>695
訂正ｽﾏｿ
E.M.Lanｇley："A problem"，The Math. Gazette（1922/Oct）（1923/May)
- 697 ：１３２人目の素数さん：2017/12/27(水) 20:51:55.98 ID:ShDF2mQ5.net
- >>695
∠ABCの二等分線と直線CDの交点をEとすれば
１つ目の条件より∠BEC=60°
∠ACD=30°よりACとBEは垂直で、内角の二等分線であることからAB=AC, ∠ABE=∠CBE
これと2つ目の条件から∠ABD=∠EBD
また、対称性から∠AEB=∠CEB=60°であり∠AED=60°
よって直線EDは∠AEBの外角の二等分線であり
点Dは△ABEの傍心の１つ
よって∠ADB=1/2 ∠AEB=30°
でどうでしょうか
- 698 ：１３２人目の素数さん：2017/12/28(木) 04:14:38.43 ID:bxSLS3DP.net
- ん
- 699 ：１３２人目の素数さん：2017/12/29(金) 03:20:02.58 ID:Fcad1R4A.net
- >>697
正解！おみごとです。
だだし AB=BC ですが…
最後の定理（？）
点Dが△ABEの傍心のとき、∠ADB =（1/2)∠AEB
も簡単ですね。
∠ADB = 180°- ∠BAD - ∠ABD
= 180°-（90°+ ∠BAE/2）-（1/2)∠ABE
=（180°-∠BAE -∠ABE)/2
=（1/2)∠AEB,
- 700 ：１３２人目の素数さん：2017/12/29(金) 04:12:00.74 ID:Fcad1R4A.net
- >>695
(別解)
DC上に∠ABF=60°となる点Fをとって BF と共に AF を結ぶ。
∠BFC = 180°-（β-60ﾟ）- γ = γ となるから BF = BC.
また、∠BAC = 180°- β -（γ-30ﾟ）=（γ-30ﾟ）= ∠BCA だから BA = BC.
したがって、頂角∠ABF = 60°の2等辺△ABF は正三角形となり、AF= BF で ∠AFD = β/2 となる。
ところが、∠FBD = 60°- β/4 = ∠FDB だから、FD = FB で、結局△FAD は2等辺三角形となる。
その頂角が∠AFD = β/2 だから、その底角として
∠ADC = 90°- β/4,
∠ADB = 30°
前掲書「数学の問題 第2集」問題21，解V（改）
- 701 ：１３２人目の素数さん：2017/12/29(金) 19:47:09.47 ID:tFbo94hj.net
- (1) (2^n-1)/n が整数となるような自然数nを全て求めよ。
(2) (2^n+1)/(n^2) が整数となるような自然数nを全て求めよ。
- 702 ：１３２人目の素数さん：2017/12/29(金) 19:56:20.67 ID:tFbo94hj.net
- (3) (2^n+1)/n が整数となるような素数nを全て求めよ。
- 703 ：１３２人目の素数さん：2017/12/29(金) 21:52:01.80 ID:E4ItVfjT.net
- (3)
2^n+1は明らかに奇数なので、nは奇素数であることがわかる。また、nが奇数であれば2^n+1は3の倍数であるので、結局のところn=3のみが求めるnである。
- 704 ：１３２人目の素数さん：2017/12/29(金) 23:50:31.73 ID:FZBCcLtg.net
- (2)
n∈ℕ=ℤ>0とする
(2ⁿ+1)/n²∈ℕは則ちn²|(2ⁿ+1)であり、従ってn|2ⁿ+1である
2ⁿ+1は奇数より、n²も奇数であり、則ちnは奇数である
n=1とすれば、1²|2¹+1は明らか
nが素数であればFermatの小定理より、
n|2ⁿ⁻¹-1
∴n|2ⁿ-2=2ⁿ+1-3
前提より、或るα∈ℕが存在し、2ⁿ+1=αn
∴n|αn-3、則ちn|3
nは素数より、n=3が必要である
逆に2³+1=9=3²=3²×1より、1∈ℤも加味し、
nが合成数の時、n|2ⁿ+1と仮定する
或る素数pとβ∈ℕが存在し、n=pβと表せる
∴p|2ⁿ+1
Fermatの小定理より、p|2ᵖ⁻¹-1
∴p|2ᵖ-2
∴p|2ᵖᵝ-2ᵝ=2ⁿ+1-2ᵝ-1
前提より、或るγ∈ℕが存在し、2ⁿ+1=γn
∴p|γn-2ᵝ-1、則ちp|2ᵝ+1
∴p|2ᵖ-2も加味し、p|2ᵖ+2ᵝ-1
∴p|2²ᵖ+2ᵖᵝ-1=4ᵖ+2ⁿ+1-2=4ᵖ-2+γn
此処で、Fermatの小定理より、p|4ᵖ⁻¹-1
従ってp|4ᵖ-4
- 705 ：１３２人目の素数さん：2017/12/30(土) 00:28:53.78 ID:OjZCutAG.net
- >>701
(2）は IMO-1990（北京）A3.
いわゆる「マスターデーモン」
>>702
(3）n=3^m のとき、3で割りきれ、9で割りきれない。（n≠素数 ですが）
m=0,1 のとき 3，m=2 のとき 57，m=3 のとき ≡-24（mod 729）、m≧4 のとき ≡462（mod 729）
- 706 ：１３２人目の素数さん：2017/12/30(土) 00:37:38.44 ID:OjZCutAG.net
- >>697-699
〔補題〕
凸４辺形ABEDにおいて、
BD は ∠ABE を2等分し、
ED は ∠AEE’を2等分する（E’はBEの延長線上の点）
とします。このとき
AD は ∠EAA ’を2等分する。（A ’はBAの延長線上の点）
(略証）
点D が△ABEの傍心となることを使えば明らかだが、あえて使わない。
デカルト座標をとる。
Bを原点、BE方向をx軸とし、BE=1 とする。
p = tan（∠ABE/2),
q = tan（∠BEA/2),
とおく。
sin（∠AEB）= 2q/(1+qq）,
sin（∠ABE）= 2p/(1+pp），cos（∠ABE）=（1-pp)/(1+pp）,
sin（∠BAE）= sin（∠AEB+∠ABE）= 2(p+q)(1-pq)/｛(1+pp)(1+qq)},
正弦定理より
AB = sin（∠AEB）/sin（∠BAE）= sin（∠AEB）/sin（∠AEB+∠ABE）=（1+pp)q/{(p+q)(1-pq)},
A（ABcos(∠ABE)，ABsin(∠ABE)）=（(1-pp)q/{(p+q)(1-pq)}，2pq/{(p+q)(1-pq)}）
B（0，0）
D（1/(1-pq)，p/(1-pq)）
E（1，0）
↑AD =（{p/(p+q)(1-pq)}(1+pq)，{p/(p+q)(1-pq)}(p-q)）
DAの傾き =（p-q)/(1+pq）= tan((∠ABE-∠BEA)/2）=（∠EAA’の2等分線の傾き）
∴ AD は ∠EAA’を2等分する。
- 707 ：１３２人目の素数さん：2017/12/30(土) 07:08:50.93 ID:HJRnpCjN.net
- マスターデーモンって、あれか？
女の子に教えてもらったメアドにメール出したら、知らない外人から返事が来るってヤツ。
- 708 ：１３２人目の素数さん：2017/12/30(土) 12:17:21.04 ID:HJRnpCjN.net
- >>701
(1)はどうやるの？
- 709 ：１３２人目の素数さん：2017/12/30(土) 13:03:03.03 ID:Swdov7O+.net
- >>708
(2^n-1)/n∈ℤのとき明らかにn∈ℕ
n≧2と仮定すれば、nの素因数のうち最小であるpが取れる
此のとき2^n-1≡0(modp)より2^n≡1(modp)
一方nは奇数より、則ちpも奇数
∴Fermatの小定理から2^(p-1)≡1(modp)
∴2^(gcd(n, p-1))≡1(modp)
pはnの最小の素因数より、p-1の素因数とnの素因数が共通することは無い
∴gcd(n, p-1)＝1
∴2^1≡1(modp)⇔2≡1(modp)
∴p=1
此れはpが素数であることに矛盾する
∴n<2
n∈ℕよりn=1が必要である
n=1のとき(2^n-1)/n=1∈ℤ
∴n＝1
- 710 ：１３２人目の素数さん：2017/12/30(土) 13:14:44.23 ID:HJRnpCjN.net
- ありがとう。この手の問題は好きだけど苦手。解けたことがない。
- 711 ：１３２人目の素数さん：2017/12/30(土) 13:33:09.27 ID:Swdov7O+.net
- 自分が一重瞼なのか二重瞼なのかわからない人がn人いて、n人は毎朝を顔を合わせる。
すると天の声が聞こえてきて、二重瞼の人の人数に関する自明でない何かを言う。
n人は自分の瞼の状態がわかると40秒後に心臓麻痺で死ぬ仕組みになっている。
n人は天の声を最も自然な形で信じ込む。
実はn人は遅かれ早かれ全員死ぬ（驚くべきことに天の声が明らかな嘘のときも成り立つ）ことが証明できるが、難しいのでn=3の場合を証明せよ。
例えばn=2として2人とも一重瞼とする。天の声が「2人とも二重瞼である」といったとき、A君は天の声が嘘だとわかり、もし自分が二重瞼なら40秒後にB君が死ぬはずであると結論する。
しかしB君は死なないので自分が一重瞼であることがわかり、40秒後にA君は死ぬ。同じことがB君にも言えるので2人の心臓は同時に麻痺を起こす。
・「毎朝」という条件は特に意味がない。
・「自明でない何か」とは、例えば「少なくとも～人は一重瞼である」のように、「情報量としてゼロではない断定的なセリフ」を指す。
- 712 ：１３２人目の素数さん：2017/12/30(土) 15:35:39.77 ID:/h12TCYZ.net
- つ鏡
- 713 ：１３２人目の素数さん：2017/12/30(土) 15:59:44.59 ID:X9Qp65Rk.net
- >>711
n変数論理関数の真理値表をつくるときは n行を使うから 2^n通り
よって, n変数論理関数の個数は2^(2^n)であり,有限である.
つまり,2^(2^n)日以内に全滅する.
>>669
誰か解かないのかな スルーされている
- 714 ：704：2017/12/30(土) 16:12:22.19 ID:X9Qp65Rk.net
- >>713
(誤)n変数論理関数の真理値表をつくるときは n行を使うから 2^n通り
(正)n変数論理関数の真理値表をつくるときは 2^n行を使う
- 715 ：１３２人目の素数さん：2017/12/30(土) 17:58:10.82 ID:Swdov7O+.net
- >>713
回答ありがとうございます。
「論理関数」ということばを初めて聞いたので私には難しいのかもしれません。
40n 秒以内に全滅すると考えています。
n=3 のときは状況を列挙すればいいわけですがやはりそれ以外の方法は期待したいところです。
- 716 ：１３２人目の素数さん：2017/12/30(土) 18:33:07.29 ID:dI2X0ZTp.net
- A一,B一,C一
「少なくとも2人は一重である」→40秒後に誰も死なない→全員自分が一重だと悟る→40秒後に全滅
計80秒
A一,B一,C二
「少なくとも1人は二重である」→40秒後にCが死ぬ→A,Bが自分が一重だと悟る→40秒後に全滅
計80秒
- 717 ：sage：2017/12/30(土) 19:59:24.94 ID:X9Qp65Rk.net
- >>715
与えた上界2^(2^n)はもちろん最良からかけ離れていることは承知
このバカでかい上界の意味するところは全滅するまでというよりは
2^(2^n)回目以降の天の声は内容の重複が生じてしまうという意味
この場合の重複というのは内容を個々にみていった場合の重複であって,
いくつかの内容から ある内容が自明になってしまう場合は重複とみなしていない.
たとえば, n=2として 3つの内容を 「Aくんは一重」, 「AかBは一重」 「Bくんは一重」
この3つは重複しているとみなしていないが 本題のほうは
さきの2つの内容から3つ目の内容が自明化してしまうので
このようなことは起こらないという立場だとおもわれる
なので本題では 2^(2^n)より前にすでに内容が重複しているだろう
(いずれにしろ「いつか必ず全滅」を示したことにはなるが)
そういう意味で自明な上界だが, その一方で上限を求めるということならまだ考えてない.
論理関数とは {0,1}^n から {0,1}への写像
n人に番号をふり, i番目(1≦i≦n)の人が一重という命題が真なら A_i = 1, 偽なら A_i=0
A_1 から A_n に 0か1をすべて割り当てて, それ全体に対して, 0か1を割り当てる
これで論理関数がつくられた
天の声は必ず論理関数として表現されるとみなす(これは数学の問題としての形式化)
たとえば, n=3 として, 少なくとも一人が一重というのを論理関数Fで表現すると,
F(0,0,0) = 0, F(A_1,A_2,A_3)=1 (A_1=A_2=A_2=0 でないとき)
もっと複雑なものとしては「1番の人が二重であるか,あるは,2,3番の人のどちらかは一重」
F(0,A_2,A_3)=1, F(1,0,0)=0, F(1,A_2, A_3)=1 (A_2=A_3=0 でないとき)
こんな感じです
- 718 ：１３２人目の素数さん：2017/12/30(土) 20:03:44.37 ID:X9Qp65Rk.net
- (誤) 「Aくんは一重」, 「AかBは一重」 「Bくんは一重」
(正) 「Aくんは一重」, 「AかBの片方だけが一重」 「Bくんは二重」
- 719 ：１３２人目の素数さん：2017/12/30(土) 20:43:42.49 ID:Swdov7O+.net
- >>717
少し考えます
ある直方体のなかに、その直方体より縦と横と高さの長さの和が大きい直方体を入れることはできるでしょうか？
- 720 ：１３２人目の素数さん：2017/12/31(日) 01:05:58.85 ID:95lUPHAf.net
- うーむ
- 721 ：１３２人目の素数さん：2017/12/31(日) 01:39:11.71 ID:luAx8+8l.net
- >>697
3 circumcenter method（3外心法？）というのがあるようですね。
斉藤 浩：「初等幾何で整角四角形を完全制覇」, 現代数学, ４９巻, 590号, pp.66-73 (2016/Feb)
http://www.gensu.co.jp/saito/challenge/3circumcenter_en.html
成書（2009年）では難しかった問題も解けるらしい。
- 722 ：１３２人目の素数さん：2017/12/31(日) 02:15:09.09 ID:1wo8CHXV.net
- >>719
>ある直方体のなかに、その直方体より縦と横と高さの長さの和が大きい直方体を入れることはできるでしょうか？
これちょっと前に直方体のr近傍の体積の比較による見事な証明見たよ
- 723 ：１３２人目の素数さん：2017/12/31(日) 02:47:55.63 ID:luAx8+8l.net
- >>669 >>713
a=18-17√2，b=18+17√2，n∈Z として
（x，y，z）=（a･n，b･n，42n）
- 724 ：１３２人目の素数さん：2017/12/31(日) 03:03:42.60 ID:luAx8+8l.net
- >>669
a’= 9√2 -17，b’= 9√2+17，c’= 21√2， として
（x，y，z）=（a’n，b’n，c’n）も
- 725 ：１３２人目の素数さん：2017/12/31(日) 12:41:22.77 ID:ky9WzhjK.net
- >>722
リンクある？
- 726 ：１３２人目の素数さん：2017/12/31(日) 13:56:06.09 ID:iKYWVkCy.net
- >>695は
凸四角形ABCDにおいて、
∠ABD=t, ∠DBC=3t, ∠BCA=90-2t, ∠ACD=30 （ただし、0<t<45，角度は全て度数法）
のとき、∠BDA=30となる
という話なので、 http://www.gensu.co.jp/saito/langley/ の最初のFlashの系列1-13の
120<x<165の範囲に相当するが、
別の系列で
∠ABD=2t, ∠DBC=90-3t, ∠BCA=60-t, ∠ACD=3t（ただし、0<t<30）のとき、∠BDAを求めよ
という問題もできる。（系列1-5の120<x<150）
いわゆるラングレーの（最初の）問題を含む系列が２つあるという話。
（で、こういう系列に属してる問題の証明に外心３つ法 http://www.gensu.co.jp/saito/challenge/3circumcenter_jp.html
を持ち出すのは、少々「砂場でブルドーザー」感はある）
- 727 ：１３２人目の素数さん：2017/12/31(日) 15:00:03.94 ID:qskzjnqt.net
- >>725
>>3
- 728 ：１３２人目の素数さん：2017/12/31(日) 15:26:48.87 ID:ky9WzhjK.net
- >>727
レス番いくつ？
- 729 ：１３２人目の素数さん：2017/12/31(日) 17:38:23.26 ID:luAx8+8l.net
- >>726
∠B =∠C の場合は三角法を使えば解けますね。（初等的でない？）
∠ABC = ∠BCD = β
∠DBC = β’
∠ACB = γ’
とおくと
∠ADB = β’- arctan[{(tanβ)^2（tanβ’- tanγ')}/{(tanβ)^2 -tanβ’tanγ'}],
http://www.youtube.com/watch?v=O2J4Nvy9cKo
- 730 ：１３２人目の素数さん：2018/01/01(月) 04:23:48.24 ID:YGqriAdp.net
- ∧＿∧
（ ´Д｀ ） 新年あけまして
/ ヽ
し、__X__,ノJ
/´⌒⌒ヽ
ｌ⌒ ⌒ｌ おめでとうございます
⊂ （ ） ⊃
V￣V
- 731 ：１３２人目の素数さん：2018/01/01(月) 16:26:22.37 ID:nefJIOeh8
- ファイルを4冊まで置くことができる机で、A-Fの6冊のファイルを使って仕事をする。
机上に5冊のファイルを置きたいときは、机上の4冊のうち、
最後に使用したファイルを引き出しにしまうことにする。
これについて次の問いに答えなさい。
(1) ファイルをABCDECBDFBの順に机上に置いて使用するときに、
最後にしまう引き出しはどれですか？
(2) 仕事をする際に、ファイルを４回切り変えました。
最後に使用したファイルがAのときに、ファイルを使用した
順番で考えられる場合の数は何通りあるか？
(3) 仕事をする際に、ファイルを5回切り変えました。
最後に使用したファイルがAのときに、ファイルを使用した
順番で考えられる場合の数は何通りあるか？
- 732 ：１３２人目の素数さん：2018/01/01(月) 21:14:03.96 ID:C5IEESt5.net
- 双曲線y^2 - xy -x^2 =1があり、
(x,y)はこの式の非負整数解である。
ある平方数nに対し、x+y=nが成り立っているとき、なりうるnの和を求めよ
- 733 ：１３２人目の素数さん：2018/01/02(火) 04:16:56.08 ID:KflQvt+M.net
- >>669
n∈ Z［√2］として
（x，y，z）=（0，n，n）（n，0，n)（n，-n，0）
>>723-724
n∈ Z［√2］
- 734 ：１３２人目の素数さん：2018/01/02(火) 04:57:07.19 ID:KflQvt+M.net
- >>732
題意より、
（x，y）=（0，1）（1，2）（3，5）（8，13） … （F_{2m}，F_{2m+1}） …
ここに m≧0、F はフィボナッチ数。
n = x+y = Ｆ_{2m+2｝が平方数となるのは
F_2 = 1 と F_12 = 144
1 + 144 = 145
- 735 ：１３２人目の素数さん：2018/01/02(火) 10:50:22.33 ID:okX91MtS.net
- >>734
これどこからフィボナッチ出てくるの？
- 736 ：１３２人目の素数さん：2018/01/02(火) 13:13:10.36 ID:0lWf9w73.net
- >>735
面白い双曲線なのよ
- 737 ：１３２人目の素数さん：2018/01/02(火) 14:10:18.69 ID:KflQvt+M.net
- >>735
（0，1）は一つの解。
（x，y）が解ならば（x’，y’）=（x+y，y+x’）も解になる。
そこで｛f_m｜m≧0｝= 0，1，…，x，y，x’，y’，…
とおくと、
ｆ_1 = ｆ_2 = 1,
ｆ_{m+1｝= ｆ_m + ｆ_{m-1},
∴f_m はフィボナッチ数。
- 738 ：１３２人目の素数さん：2018/01/02(火) 14:33:09.55 ID:okX91MtS.net
- >>737
>（x，y）が解ならば（x’，y’）=（x+y，y+x’）も解になる。
へぇｰ確かにそうなるけど
この
(x',y')=(x+y,x+2y)
という変換はアドホックに得られたものかな？
- 739 ：１３２人目の素数さん：2018/01/02(火) 16:38:41.88 ID:okX91MtS.net
- 2次曲線で(x',y')=(x+y,+2y)という変換で不変なものは
x^2+xy-y^2=c
に限るのね
アフィン変換一般についても2次曲線と関連づけられそうね
- 740 ：１３２人目の素数さん：2018/01/03(水) 04:35:57.68 ID:M3D961pO.net
- 〔問題717〕
凸4辺形ABCDにおいて、∠ABC = β，∠BCD = γ とします。
β + γ/2 = 120°（60ﾟ<β<90ﾟ，60ﾟ<γ<120ﾟ)
∠ABD ：∠ACD = 2：3,
∠BAC - ∠ABD = 30ﾟ
と角度が指定されています。
このとき、∠ADB は何度でしょうか。
∠DBC + ∠ACD = 90ﾟ
∠BCA + ∠BDC = 90ﾟ
- 741 ：１３２人目の素数さん：2018/01/04(木) 00:14:10.93 ID:Hj9rtC2t.net
- >>719
中の直方体の1つの頂点を直交座標で原点と置き、隣り合う頂点の1つを(a,b,c)と置け。
此の直方体を、座標軸に辺が平行な直方体で囲むことを考えよ。
此の辺を長さ1長くすると、囲むのに必要な直方体を得るには
x軸方向にa/√(aa+bb+cc)
y軸方向にb/√(aa+bb+cc)
z軸方向にc/√(aa+bb+cc)
の長さを付け足す必要が生まれる
更に考察を踏み込むと、
隣り合う3つの頂点を(ak,bk,ck)と置くと
囲むのに必要な直方体のx軸方向の長さは
Σak/√(akak+bkbk+ckck)
などと表せ、此れで目的の不等式を示せる
中の直方体の辺も座標軸に平行な時のみ等号成立
- 742 ：１３２人目の素数さん：2018/01/04(木) 22:08:31.55 ID:q45yvd8D.net
- >>740
∠ADB = 30°
- 743 ：１３２人目の素数さん：2018/01/05(金) 23:49:47.51 ID:7ZNncoy1.net
- >>669
整数環Zに値する最小値が無いため解は0
- 744 ：１３２人目の素数さん：2018/01/06(土) 07:44:38.44 ID:jKWU7LXK.net
- 大学受験レベルの問題を作ってみた。工夫すれば計算はそれ程。
問
xy平面上に原点O、A(0,1)、B(1,2)、C(3,0)をとる。
直線OB,ACの交点をPとして、O,Cを焦点とし、Pを通る楕円をC1、
A,Bを焦点とし、Pを通る楕円をC2とする。
C1,C2の周及び内部の領域をそれぞれD1、D2とするとき、和集合D1∪D2の領域の面積を求めよ。
- 745 ：１３２人目の素数さん：2018/01/06(土) 15:03:56.51 ID:UX59u7iL.net
- >>709
３行目の
> 此のとき2^n-1≡0(modp)
は何故？ ここは明らかに言えるの？
- 746 ：１３２人目の素数さん：2018/01/06(土) 17:54:39.25 ID:q194DY3+.net
- 一辺4の正三角形、長さ30の針金、半径2の円盤がある。
(i)
針金の先に円盤を取り付け、
正三角形の点Cに針金の一端を固定して針金が辺BCに接した図の状態から時計回りに円盤を動かす。
(ii)
針金は正三角形の角で折り曲げる。
(iii)
円盤が正三角形にぶつかったら終了とする。
円盤の通る軌跡の面積を求めよ。
ただし、針金の太さは無視できるものとする。
一応用意してる解答では、3パーツに分けてます
どなたか要領の良い解答を待ってます
- 747 ：１３２人目の素数さん：2018/01/06(土) 18:35:30.41 ID:ioRU9Isi.net
- >>745
2^n-1がnの倍数かつnがpの倍数なんだから明らかでしょうに
- 748 ：１３２人目の素数さん：2018/01/06(土) 19:03:11.59 ID:q194DY3+.net
- 図を忘れてた
https://i.imgur.com/iz3KDYZ.jpg
- 749 ：１３２人目の素数さん：2018/01/06(土) 19:05:42.86 ID:ioRU9Isi.net
- >>746
ところどころ条件が不明瞭なんだけど、以下でいい？
・針金の初期状態は直線の一部つまり線分であり、線分の一方の端点が正三角形の頂点Ｃ、かつ線分が頂点Ｂを含む
・円盤は針金の頂点Ｃとは異なる側の端点に円盤の中心が重なるように取り付ける
・針金および円盤は正三角形と同一の平面上を動く
・針金は正三角形に巻き付けるように折り曲げてゆく。このとき、針金の正三角形に接していない部分は線分の状態を維持する
- 750 ：１３２人目の素数さん：2018/01/06(土) 19:19:13.40 ID:ioRU9Isi.net
- >>748
図があったのか
これ、円盤の周までの針金の長さが30なの？
- 751 ：１３２人目の素数さん：2018/01/06(土) 19:55:04.34 ID:q194DY3+.net
- 針金の長さが30ですが...
- 752 ：１３２人目の素数さん：2018/01/06(土) 21:25:17.61 ID:KArfBxjX.net
- 今話題の阪大の過去問の改題ですが、暇な方は是非チャレンジしてみて下さい！
実数ℝからℝへの関数fは次の２つの条件を満たすとする。
(a)任意の実数x,yに対しf(x+y)=f(x)+f(y)
(b)fは連続である。つまりlim(n→∞)a_n=αならばlim(n→∞)f(a_n)=f(α)
この２つの仮定からfの微分可能性を導こう。
⑴f(1)=aとおく。任意の整数nに対しf(n)=anとなる事を示せ。
⑵任意の有理数rに対しf(r)=ar を示せ。
⑶一般に、任意の実数は必ずある有理数列の極限で表せる事が知られている。
この事を用いて任意の実数xに対しf(x)=ax を示せ。
⑷f(x)は任意の実数xに於いて微分可能である事を定義に基づいて示せ
- 753 ：１３２人目の素数さん：2018/01/06(土) 21:30:47.92 ID:KArfBxjX.net
- 因みに原題はこちら。
挑戦枠だけあってかなり骨があります(というか有理数の稠密性知らないと無理な気すらする…)
https://i.imgur.com/aLYMX7n.jpg
- 754 ：１３２人目の素数さん：2018/01/07(日) 09:22:09.32 ID:9R15ZkXF.net
- >>753
fq=q
ux={q|x<q}
lx= {q|x>q}
fux={fq|x<q}={q|x<q}
flx={fq|x>q}={q|x>q}
flx<fx<fux
fx=x
- 755 ：１３２人目の素数さん：2018/01/07(日) 09:23:35.43 ID:9R15ZkXF.net
- flx<fx<fux
fx=x
- 756 ：１３２人目の素数さん：2018/01/07(日) 15:21:07.41 ID:MXKMTdfE.net
- >>753
何年度の問題ですか？
- 757 ：１３２人目の素数さん：2018/01/07(日) 15:46:50.05 ID:pGpwp6A2.net
- 誰か734
- 758 ：１３２人目の素数さん：2018/01/07(日) 18:19:56.83 ID:VVbpgw0b.net
- >>753
線形性とf(xy)=f(x)f(y)から有理数についてf(x)=xで、稠密性から1発
これ前他の大学も出してたね
- 759 ：１３２人目の素数さん：2018/01/07(日) 22:25:30.99 ID:9jmbCXAa.net
- >>757
どこらへんが面白いの？
- 760 ：１３２人目の素数さん：2018/01/08(月) 00:23:28.18 ID:27YyLP77.net
- 面白くないよ
- 761 ：１３２人目の素数さん：2018/01/08(月) 01:04:46.73 ID:syCUhg30.net
- とりあえず答えてみたら
- 762 ：１３２人目の素数さん：2018/01/08(月) 05:02:49.08 ID:o2HjFYS0.net
- >>709
アホな質問かもしれないけど、教えてください。
３行目と５行目から６行目が出てくるのが分かりませぬ…。
抜き出すと、次の部分です。
2^n≡1 (mod p) かつ 2^(p-1)≡1 (mod p) ならば、2^(gcd(n, p-1))≡1 (mod p)
- 763 ：１３２人目の素数さん：2018/01/08(月) 07:28:19.49 ID:wDeXD3tv.net
- >>759
工夫すれば計算はそれほど必要なく５分程で解ける
- 764 ：１３２人目の素数さん：2018/01/08(月) 08:00:02.08 ID:xaiDjCmX.net
- ユークリッドの互除法。
ａ，ｂに対してｘ，ｙが存在して
ｇｃｄ（ａ，ｂ）＝ａｘ＋ｂｙ。
２＾ｇｃｄ（ａ，ｂ）＝（２＾ａ）＾ｘ（２＾ｂ）＾ｙ。
- 765 ：１３２人目の素数さん：2018/01/08(月) 22:27:26.32 ID:6yE9/RTC.net
- >>744 >>757 >>763
交点P（3/7，6/7）
OP =（3/7)√5,
AP =（1/7)√10,
BP =（4/7)√5,
CP =（6/7)√10,
より
OP：AP = 3：√2,
CP：BP = 3：√2,
また
OC：AB = 3：√2,
∠OPC = ∠APB
よって
△OPC ∽ △APB
また
C1 ∽ C2
D1 ∽ D2
面積比は 9：2
楕円 C1，C2 は点Pで接するから、D1∩D2 =｛P｝
（点Pにおける共通接線はOCとABの2等分線の方向で、それらと 22.5°の角をなす。）
楕円C1について
a =（CP+OP)/2，b =√(aa - 9/4)，e =（3/2a),
楕円C2について
a' =（AP+BP)/2 =（√2)/3 a，b' =（√2)/3 b，e' = 1/(a'√2）= e,
S = S(D1）+ S(D2）= πab + πa'b' = πab +（2/9)πab =（11/9)πab,
- 766 ：１３２人目の素数さん：2018/01/08(月) 22:32:17.07 ID:6yE9/RTC.net
- >>765 の続き
数値を入れると、
a =（3/14)(2√10 + √5）= 1.83441928
b =（3/7)√(5√2 -1）= 1.05598015
e =（2√10 - √5)/5 = 0.81769747
a' = 0.86475354
b' = 0.49779382
e' = e
S = 2.36757932π
- 767 ：１３２人目の素数さん：2018/01/09(火) 01:18:49.79 ID:LGZC+Dl2.net
- 肝心な2つの楕円が接することの説明がないじゃん
- 768 ：１３２人目の素数さん：2018/01/09(火) 11:21:56.60 ID:dgOIUcU6.net
- >>767
D1∩D2 =｛P｝の証明
D1とD2が点Qを共有したとする。
Q∈D1 より OQ + CQ ≦ OP + CP = 2a,
Q∈D2 より AQ + BQ ≦ AP + BP = 2a’
辺々たすと
OQ + AQ + BQ + CQ ≦（OP + BP）+（AP + CP）= OB + AC … (1)
一方、△不等式から、
OQ + BQ ≧ OB,
AQ + CQ ≧ AC,
辺々たすと
OQ + AQ + BQ + CQ ≧ OB + AC … (2)
等号成立はQ ∈（OB∩AC）=｛P｝のとき。
(1)(2）より等号が成立する。
∴ Q = P.
- 769 ：１３２人目の素数さん：2018/01/09(火) 12:15:48.79 ID:LGZC+Dl2.net
- >>768
正解！
楕円が相似形になること・楕円同士が接することに気付くのがこの問題のポイントでした。
- 770 ：１３２人目の素数さん：2018/01/09(火) 13:15:45.95 ID:KWEYIsTZ.net
- >>764
ありがとうございます
- 771 ：１３２人目の素数さん：2018/01/09(火) 19:21:05.59 ID:szzDHmE7.net
- どっちかの封筒に2倍の金が入ってるってやつで
もし10000だったら1/2で5000、1/2で20000になるから
期待値的に絶対交換した方がいいってやつさ
面白い問題教えてーな激しくガイシュツのやつでみたんだけど
あれの解説が納得できない
普通に1/2で低い方、1/2で高い方選ぶんだから、片方の金額をx、もう片方を2xってすると、低い方とる確率が1/2、高い方とる確率も1/2なんだから、期待値は
(1/2)x+(1/2)2x=(3/2)x
だから、もし低い方だったら期待値とくらべて自分の手持ちが3倍、高かったら手持ちが3/4倍になるんだから1/2(1/2)x(3)+1/2(2x)(3/4)=(3/2)x
だから交換してもしなくても期待値は変わらないっていう説明じゃだめなん？
- 772 ：１３２人目の素数さん：2018/01/09(火) 20:49:50.68 ID:aBLuETRh.net
- >>769
わざとらしい厚化粧を剥がすことのみがポイントってこと？
- 773 ：１３２人目の素数さん：2018/01/10(水) 13:38:16.66 ID:yyayDtEj.net
- >>771
一万円を入れた封筒と、二万円を入れた封筒を用意し、この二つの封筒を、大きな封筒に入れる。これをＡとする。
一万円を入れた封筒と、五千円を入れた封筒を用意し、この二つの封筒を、大きな封筒に入れる。これをＢとする。
ＡとＢは外見では区別がつかない。
問題１：Ａを５０、Ｂを５０、合計１００用意し、箱に入れて、よくかき混ぜる。
箱からランダムに一つ大きな封筒を取りだし、その大きな封筒の中から一つ封筒を取りだし、中身を確認すると
一万円が入っていた。その大きな封筒に入っている、もう一方の封筒の中身が二万円である確率は？
問題２：Ａを１０、Ｂを９０、合計１００用意し、箱に入れて、よくかき混ぜる。箱から．．．≪以下同文≫
問題３：Ａをｎ、Ｂを１００－ｎ、合計１００用意し、箱に入れて、よくかき混ぜる。箱から．．．≪以下同文≫
問題４：ＡとＢを併せて１００用意し、箱に入れて、よくかき混ぜる。箱から．．．≪以下同文≫
問題５：ＡとＢを併せて一つ用意し、箱に入れた。つまり、ＡかＢを用意して箱に入れた。箱から封筒を取りだし、．．．≪以下同文≫
- 774 ：１３２人目の素数さん：2018/01/10(水) 13:38:55.46 ID:yyayDtEj.net
- つづき
761の問題は、問題５に相当するものだが、761さんは無条件にＡ・Ｂが用意されている確率は共に1/2として議論している。
果たしてそれは妥当か？ それが正しいというのならば、「Ａ・Ｂが用意されている確率は共に1/2」に相当する内容が問題文
で確認できなければならない。確認できるのは、大きな封筒に入っている二つの封筒の内、どちらを選ぶかが1/2というだけ。
Ａが用意されていて、二つの封筒から一つを選ぶとき、一万円を選ぶ確率は1/2で、二万円を選ぶ確率も1/2だが、
この確率事象は終了し、すでに一万円を選んでいる。ここで交換したら、他方の封筒には確率1で二万円が入っている。
同様に、Ｂが用意されていて、一万を選び、ここで、封筒を交換したら確率1で五千円が入っている。
Ａが用意されている確率、Ｂが用意されている確率を、どうして、「大きな封筒の中の二つの封筒から一方を選ぶ」
のと同じように 1/2 と、判断できるのか？
Ａが用意されている確率、Ｂが用意されている確率が、「大きな封筒の中の二つの封筒から一方を選ぶ」のと同じように、
1/2 づつだ と、巧みに思わされているだけ。
上の問題では、問う内容が「もう一方の封筒の中身が二万円の確率は」となっているが、
「交換したときの期待値は」としてもよい。そして、問題１から３では、きちんと期待値が計算できるが、
問題４，５では出来ない。理由は、必要な情報が問題に無いから。
同様に、761の問題でも期待値は計算でない。
この問題に、（勝手な想定を置かずに）期待値を持ち出して議論しても本質にはたどり着かない。
二つの封筒問題には、「数学的見地から、あるいは、期待値という観点から、交換すべきかどうかの判断は出来ない」
というのが妥当で正当な結論。
- 775 ：１３２人目の素数さん：2018/01/10(水) 21:59:39.97 ID:w1qVs6Aq.net
- 金額で期待値測るからだめなんだろ
金額とは別に金額から決まる嬉しさを表す数値（経済学の効用関数）を導入する
最初にあけた封筒の中身a円と
一般の金額x円に対して
嬉しさの関数が log_2 (x/a) の人にとっては何も悩むことはない
- 776 ：１３２人目の素数さん：2018/01/10(水) 22:30:57.84 ID:yyayDtEj.net
- >>775
1/2教信者が矛盾を避けるために導入したアイデア。オッカムの剃刀で棄てられる。
- 777 ：１３２人目の素数さん：2018/01/11(木) 10:02:14.31 ID:RLBorN9o.net
- logだと赤字のとき虚しさが漂うんですが
- 778 ：１３２人目の素数さん：2018/01/11(木) 15:00:59.48 ID:gGnDAYFj.net
- >>773
ちなみにこれの問題3を解くとどうなります？
- 779 ：１３２人目の素数さん：2018/01/12(金) 01:55:04.09 ID:Or3GsGEd.net
- 正の数aが a + 1/a = [a] +[1/a] + 1 をみたすとき、aは無理数であることを示せ。ここで[a]はガウス記号。
- 780 ：１３２人目の素数さん：2018/01/12(金) 05:28:29.23 ID:aNi1PHCw.net
- >>777
±πｉずれる。
>>779
x -［x］=｛x｝とおくと
0 ≦｛x｝< 1
｛a｝+｛1/a｝= 1,
a または 1/a が整数のとき
｛a｝= 0 または｛1/a｝= 0 ゆえ、和は1より小さい。
a が分数のとき
a = p/q（p，q≧2 は自然数、互いに素）
｛a｝= m/q，｛1/a｝= n/p，
p，qは互いに素だから、和は１にならない。
- 781 ：１３２人目の素数さん：2018/01/12(金) 07:38:08.51 ID:D//7CCq/.net
- >>779
(a^2+1)/a=n
a^2-na+1=0
a=(n±√(n^2-4))/2
aが有理数→√(n^2-4)=p/q
n^2-4=p^2/q^2
q=1
n^2-p^2=(n-p)(n+p)=4
n=±2,p=0,a=±1
a+1/a=±2≠[a]+[1/a]+1=1±2
NG
aは無理数
a=(3+√5)/2
1/a=(3-√5)/2
[a]=2
[1/a]=0
a+1/a=3=[a]+[1/a]+1
aは存在
- 782 ：１３２人目の素数さん：2018/01/12(金) 12:06:24.79 ID:ECD3lcV6.net
- >>774
1/2じゃないの？
例えば金額をxと置き換えて10000となるのは
x=5000、2x=10000の時と
x=10000、2x=20000の時
この２つになる確率は同じはず
xの上限が無限になると確率が分からなくなるって事？
それは数学的におかしくね？
- 783 ：１３２人目の素数さん：2018/01/12(金) 13:50:19.98 ID:C3nTSBqQ.net
- >>782
> この２つになる確率は同じはず
そういう設定かどうかが問題では不明なので
現実の問題として考えると
5,000円と10,000円の2つが用意してあったが選ぶ人には「どちらかがどちらかの2倍」としか言わなかった
引いた人は袋を替えることが出来るが替えた方が得か？
という問題だと考えることも出来るというかむしろ妥当
こうなると替えた方が得かどうかは不明としか言いようがなく確率で考える問題ではなくなっている
- 784 ：１３２人目の素数さん：2018/01/12(金) 14:08:19.79 ID:mFtDwv+X.net
- 二封筒問題は、必ず議論が紛糾するネタであり、
雑多な問題を扱うこのスレには向かないので
別のところでやっていただいたほうがよいと思われます。
- 785 ：１３２人目の素数さん：2018/01/12(金) 14:19:58.85 ID:ECD3lcV6.net
- >>783
なるほど
つまり問題文として不備があるってことね
>>784
そうなんだ
あまり数学板に来た事がなくて
すまなんだ
- 786 ：１３２人目の素数さん：2018/01/12(金) 15:40:02.86 ID:aNi1PHCw.net
- >>772
うん
- 787 ：１３２人目の素数さん：2018/01/12(金) 17:41:00.08 ID:jxiFg+zg.net
- >>774
ベイジアン的にはどっちも同等だから1／2でしょうよ
- 788 ：１３２人目の素数さん：2018/01/12(金) 17:48:50.65 ID:jxiFg+zg.net
- >>771
交換しなければ期待値は１万円確定
交換したら期待値は5000p+20000(1-p)=20000-15000p
p=1/2が妥当な推測として12500円
- 789 ：１３２人目の素数さん：2018/01/12(金) 19:10:46.08 ID:f4N6ck+k.net
- p=1/2が妥当な推測になるような数学的根拠がまったくわからない
ってのが指摘されていることなんじゃないのかね
- 790 ：１３２人目の素数さん：2018/01/13(土) 02:50:24.02 ID:8oWXJ1ub.net
- そう。
>>773 の問題２と４を解けば終わる話。
- 791 ：１３２人目の素数さん：2018/01/13(土) 13:53:16.51 ID:vxAtUgvr.net
- >>781
n は3以上の自然数とする。
n-1 <（n+√(nn-4))/2 < n,
（n-√(nn-4))/2 = 2/(n+√(nn-4)）< 1,
∴［a］+［1/a］= n-1,
∴ a + 1/a =［a］+［1/a］+ 1,
- 792 ：１３２人目の素数さん：2018/01/13(土) 13:53:42.05 ID:BrLzT1uQ.net
- 正整数Nの全ての約数dに対して1/(d^2+N)の総和が1/Nに等しくなるような、正整数Nを全て求めよ
- 793 ：１３２人目の素数さん：2018/01/13(土) 15:21:19.07 ID:cdvpZheR.net
- 子供のテスト問題。
https://i.imgur.com/Dhfjjr8.jpg
- 794 ：１３２人目の素数さん：2018/01/13(土) 16:04:51.85 ID:qu21oNoK.net
- 数学の問題じゃないな
- 795 ：１３２人目の素数さん：2018/01/13(土) 18:02:49.68 ID:l5cQ8XEN.net
- >>793
自分の目を塞げってやつだろ、このスレに出す問題じゃないな。
- 796 ：１３２人目の素数さん：2018/01/13(土) 18:11:43.15 ID:p9jSzu0M.net
- >>789
>p=1/2が妥当な推測になるような数学的根拠がまったくわからない
ベイジアンでは
推測できないときには同等と考えます
- 797 ：１３２人目の素数さん：2018/01/13(土) 19:14:36.93 ID:Bhnz9Zau.net
- >>796
そしてその推測が誤りだったから実はどうなるかを推測し直していく問題なのか
- 798 ：１３２人目の素数さん：2018/01/13(土) 19:47:02.49 ID:IcEcp/Nx.net
- >> ベイジアンでは
>> 推測できないときには同等と考えます
違います。考えていません。ただ単にそれを採用しているだけ。
データ更新こそがベイズ流の本質。ベイジアンは初期データにこだわりはない。
初期データは最終的に寄与が小さくなるためどのようなものでも大差が無いと考えている。
ただ、何の情報が無い場合でも、何らかの初期データは無理矢理にでも設定しなければならない。
それが無ければデータ更新も何も出来ないから。
初期データは、最終的には寄与が小さくなるため、全て同じでも、好みによって差をつけてもかまわない。
経験を駆使して、最終結果に近いであろうデータを用いるのが効率的であろうし、収束が早い。
ここに実行者の経験や能力が現れる。
≪ しかし、そのような技術の関与が無いことの方が望ましいと考える場合や、 ≫
≪ 主観が入っていないことを明確にしたいような場合には、水平データを使うのが無難といえる。 ≫
その例が多くあるというだけ。その単なる『配慮』を以て、
「水平データから始めることこそ、ベイジアン流だ」等と勘違いしている1/2信奉者が、ベイジアンを語っているだけ。
- 799 ：１３２人目の素数さん：2018/01/13(土) 21:18:54.94 ID:p9jSzu0M.net
- >>798
こだわりがないときは1/2とします
- 800 ：１３２人目の素数さん：2018/01/13(土) 21:23:01.93 ID:p9jSzu0M.net
- この問題に関してはp=1/2で確定です
なぜかと言えば金額は不明で倍額ということだけ指定されていて
たまたま1万円が見えたと言うだけ
1万と5000あるいは1万と2万荷限定されるわけではなく
xと2xの封筒がどんな比率でも構わず無数にある中から
1組選ばれているというだけのことだからですよ
その中でx=10000か2x=10000かは等確率つまりp=1/2で確定ですね
- 801 ：１３２人目の素数さん：2018/01/13(土) 21:30:54.11 ID:W7ucPUwR.net
- >>799
それは貴方個人のこだわりでしかない
「ベイジアンでは推測できないときには同等と考えます」は誤り
というのが趣旨でしょう
- 802 ：１３２人目の素数さん：2018/01/13(土) 22:02:11.13 ID:Bhnz9Zau.net
- これを1/2と思い込んでしまいがちだから面白い問題になるってことなんだろうな
- 803 ：１３２人目の素数さん：2018/01/13(土) 22:10:32.40 ID:qu21oNoK.net
- いや面白くはない
出題者の意地が悪いだけ
- 804 ：１３２人目の素数さん：2018/01/13(土) 23:14:32.89 ID:j2acKMxk.net
- ベイズ統計学は、ベイズ改訂という改訂の連鎖に価値があるのであって、
改訂前の単なる初期値には何の価値も無い。
ベイズにおける 1/2 という値は改訂前の単なる初期値に過ぎないのだから、
この 1/2 という数値を「妥当」だと言い張ったところで何の価値も無い。
「ベイジアンでは推測できないときには同等と考えます」と言い張ったところで、
それは主観確率の初期設定をどうしたいかというマインドコントロールでしかなく、
数学的根拠になり得ない。
常識的に考えても、改訂前の単なる決めつけである「 1/2 」という値から
期待値を計算したところで、その期待値も単なる決めつけでしかなく、何の価値も無い。
そこで確率の改訂を繰り返すことで、主観確率なのに客観性が上がっていくことが
期待されるところに、ベイズ統計学の価値がある。
そして、この違いを分からないバカがベイズ統計学をやる価値も無い。
- 805 ：１３２人目の素数さん：2018/01/13(土) 23:32:21.00 ID:n+R0iV0s.net
- 要は一様分布と仮定するか否かってだけでしょ
どっちも間違ってないと思うけどな
- 806 ：１３２人目の素数さん：2018/01/13(土) 23:38:35.16 ID:Bhnz9Zau.net
- 一様分布に設定することが不可能なんだから
- 807 ：１３２人目の素数さん：2018/01/13(土) 23:42:48.49 ID:W7ucPUwR.net
- ＞要は一様分布と仮定するか否かってだけでしょ
問題の在り処を取り違えている
（今の状況で）一様分布を仮定することがベイズ統計では自動的に承認されるのか、それとも特記すべき事項なのかが争点
- 808 ：１３２人目の素数さん：2018/01/14(日) 00:09:28.63 ID:yNhhPVL1.net
- いろいろあるねえ
- 809 ：１３２人目の素数さん：2018/01/14(日) 00:34:31.02 ID:7iI/H+u5.net
- この問題は金額の分布が問題にされているのではなく
2つのうちどちらを選んで10000円が出たかというところだけが考慮すべき事柄です
金額の分布を云々している人はアホとしか言いようがありませんね
もう一方が5000円であるか20000円であるかは等確率すなわちp=1/2ですので
選択を変更する場合に得られる期待値は12500円
すなわち選択は必ず変更するべきと言うことです
- 810 ：１３２人目の素数さん：2018/01/14(日) 00:37:58.91 ID:ZEpbJsii.net
- 数学の問題じゃないので適当に決めちゃいました
- 811 ：１３２人目の素数さん：2018/01/14(日) 00:53:01.53 ID:+CLRWeXb.net
- >>784
- 812 ：１３２人目の素数さん：2018/01/14(日) 01:08:42.58 ID:9RpZhmpe.net
- いっそ二封筒問題のスレを立てればいいんでないかな
- 813 ：１３２人目の素数さん：2018/01/14(日) 01:33:12.41 ID:QZS2nyEG.net
- いずれにしても二封筒問題はこのスレで扱う問題とは違うと
- 814 ：１３２人目の素数さん：2018/01/15(月) 14:41:10.85 ID:Nr3Tqe6F.net
- 2整数の最大公約数を(a,b)で表す。(a,b)=cの時ax+by =cは必ず整数解を持つというベズーの等式を少し高級な視点から証明してみましょう！
ℤを整数全体の集合とする。ℤの部分集合Iでa,b∈I⇒a-b∈I,a∈I,n∈ℤ⇒na∈ℤ の2条件を満たす様なものをイデアル(Ideal)と呼ぶ。例えば2ℤ={2n|n∈ℤ}はイデアルである。
⑴m∈ℤ⇒mℤはイデアルとなる事を示せ
⑵I⊂ℤがイデアルならばある整数mを用いてI=mℤとなる事を示せ(Iの中で最も絶対値の小さい0でない整数をmと置こう)
- 815 ：１３２人目の素数さん：2018/01/15(月) 14:41:31.11 ID:Nr3Tqe6F.net
- ⑶２つのイデアルの和、つまりmℤ+nℤ={mk+nl | k,l∈ℤ}はイデアルである事を示せ
⑷ベズーの等式が成り立つ事を示せ
- 816 ：１３２人目の素数さん：2018/01/15(月) 18:49:29.36 ID:DUXDgO4Y.net
- ⑴a,b∈mℤ⇒a=mk,b=ml (k,l∈ℤ)と置け、
a-b=m(k-l)∈mℤ,
n∈ℤ⇒na=m(nk)∈mℤ
よりてmℤはイデアル
⑵I={0}の時、I=0ℤより成立
I≠{0}の時、Iの要素で絶対値の最も小さな0でない元をmと置きてI=mℤを示す
イデアルの定義よりmℤ⊂Iであり、
a∈I⇒a=mq+r (0≦r<|m|)と表せり、
r=a-mqは仮定よりイデアルIの元
r≠0の時に此れはmの最小性に反するので
r=0故にI⊂mℤとなりI=mℤ
⑶⑴と同様
⑷⑶よりaℤ+bℤはイデアルである
故にある整数dを用いてaℤ+bℤ=dℤとなる
示すべきはd=cである
a∈dℤ,b∈dℤよりdはa,bの公約数
又、d'をa,bの任意の公約数とした時に或る整数x,yが存在しax+by=dとなるのでd'はdの約数
以上よりd=cとなり、ベズーの等式は示された □
- 817 ：１３２人目の素数さん：2018/01/15(月) 18:52:06.13 ID:DUXDgO4Y.net
- 簡単すぎw
- 818 ：１３２人目の素数さん：2018/01/16(火) 08:17:17.98 ID:PWgP6/+/.net
- 面白い問題教えテーな
- 819 ：１３２人目の素数さん：2018/01/17(水) 03:49:10.39 ID:PWBeFkV2.net
- a<cで(a,a+3,c)というピタゴラス数の組は存在するか？（類題：近大数コン2014）
- 820 ：１３２人目の素数さん：2018/01/17(水) 03:50:03.08 ID:PWBeFkV2.net
- (a+3)<cね
- 821 ：１３２人目の素数さん：2018/01/17(水) 07:16:24.17 ID:leMdf1QC.net
- 自然数nに対して、n乗積分
∫_(R^n) 1/(1+||x||^(2n))dx
を求めよ
(||・||はユークリッドノルム)
- 822 ：１３２人目の素数さん：2018/01/17(水) 10:16:43.95 ID:YoDVUQg0.net
- >>819
３で割ったあまりを調べるとないことがわかる。
- 823 ：１３２人目の素数さん：2018/01/17(水) 10:42:39.57 ID:1S3G2BEK.net
- >>822
素であると条件がついてないから(9,12,15)で良いんじゃない？
- 824 ：１３２人目の素数さん：2018/01/17(水) 11:11:08.99 ID:EO7VHN63.net
- >>823
(12,16,20)だな
- 825 ：１３２人目の素数さん：2018/01/17(水) 13:09:12.30 ID:c5xzziUo.net
- 私はあなたに面白い問題を教えてくれるでしょう！
私は日本語を話せませんので、英語で問題を書きます。
多分、私は日本語で答えを読むことができるので、あなたは日本語でそれを書くことができます。
できれば、私の問題を日本語に翻訳してください。
Consider the 2^1013 numbers ±1±2±...±1013.
How many of these numbers are 2017 in modulo 2027?
Express your answer in modulo 1000.
ありがとう！
- 826 ：１３２人目の素数さん：2018/01/17(水) 13:19:19.15 ID:9qRKZbfk.net
- スパムメールっぽい日本語だな
☆☆☆ あなたがアマゾンにアカウントはロック！至急パスワードに変更！！ ☆☆☆
みたいなの
- 827 ：１３２人目の素数さん：2018/01/17(水) 13:20:42.98 ID:7PcoNND/.net
- 「大好きが虫はタダシくんの」 を思い出した
- 828 ：１３２人目の素数さん：2018/01/17(水) 14:11:20.04 ID:1S3G2BEK.net
- >>825
例えば1＋…＋384－385＋386＋…＋1013≡2017(mod 2027)である
2027は奇数であるので、この問題は以下と同値である
「1から1013までの整数の集合の部分集合のうち、総和が385＋2027k(kは整数)となる部分集合の個数の下３桁を求めよ｣
- 829 ：１３２人目の素数さん：2018/01/17(水) 14:15:53.19 ID:YoDVUQg0.net
- 元の問題って和訳すると？
- 830 ：１３２人目の素数さん：2018/01/17(水) 14:20:04.78 ID:3jdYKGvc.net
- 859.
- 831 ：１３２人目の素数さん：2018/01/17(水) 14:56:22.18 ID:1S3G2BEK.net
- 答え出ちゃったね
>>829
【訳】
±1±2±...±1013の形の2^1013個の数を考えよ
2027を法として2017に合同な数は幾つあるか？
1000で割った余りを解答せよ
- 832 ：１３２人目の素数さん：2018/01/17(水) 16:12:08.13 ID:YoDVUQg0.net
- どう求めたの？
- 833 ：１３２人目の素数さん：2018/01/17(水) 19:31:56.47 ID:9BtkzFPq.net
- うほうほ
- 834 ：１３２人目の素数さん：2018/01/17(水) 21:44:13.29 ID:EO7VHN63.net
- >>832
コンピュータ
- 835 ：１３２人目の素数さん：2018/01/17(水) 21:51:44.14 ID:ugLbTJqW.net
- >>825
1を加算する操作をsとし、整数による加算をs^k、kによる減算をs^-kのように表現するとき、
±1±2±...±1013の形の式のうち解が整数nとなる式の個数は
Π(k=1→1013)(s^k+s^-k)…①を展開したときのs^nの係数に現れる。
2027を法とする演算を考えればよいので、s^2027=s^0とし、
このときのs^2017の係数を考えればそれが2017と合同な式の個数となる。これを求めればよい。
Π(m=0→1012)(s^(2^m)+s^-(2^m))…②の形の式を考える。
s^(2^m),s^-(2^m) (0≦m≦1012) の各々に、s^k,s^-k (1≦k≦1013) のいずれかと同一のものが
ちょうど1つずつ存在する（1対1に対応する）ことから、②は①の項を並び替えたものであり、①に等しい。
②を展開するとs^-(2^1013-1)+s^-(2^1013-3)+...+s^-3+s^-1+s^1+s^3+...+s^(2^1013-1)…②'となる。
②'の項の総数は2^1013個であり、各項の指数が2ずつの等間隔に存在すること、2027が奇数であること、
2^1013+1が2027の倍数であることから、1≦k≦2026 の各々について s^k に等しい項は(2^1013+1)/2027個ある。
すなわちs^2017に等しい項の数は(2^1013+1)/2027個あり、これが求める係数である。
（なお、s^0=s^(2^1013+1)に等しい項の個数は他のs^kより1つ少ない）
(2^1013+1)/2027を10進数で表現すると300桁を超えるが、
1000の余りを求めればよいので2027×1000を法とする演算で2^1013+1を求め、
2027で割る方法をとれば計算量を減らすことができる。
計算は省略する。解は859。
※巡回群に詳しい方、補足がありましたらお願いします。
- 836 ：１３２人目の素数さん：2018/01/17(水) 21:55:00.34 ID:ugLbTJqW.net
- >>835
１行目ミスった
整数kによる加算をs^k、整数kによる減算をs^-kのように表現する
- 837 ：１３２人目の素数さん：2018/01/17(水) 22:03:36.43 ID:qFKXYmDa.net
- コンピューターおばあちゃん コンピューターおばあちゃん
イェーイイェーイ ぼーくら大好きさー
- 838 ：１３２人目の素数さん：2018/01/17(水) 22:30:44.76 ID:mZCIBayH.net
- お尻ペンペンコンピューターの方が好きだわ俺。
- 839 ：１３２人目の素数さん：2018/01/17(水) 23:22:58.51 ID:EO7VHN63.net
- >>835
お見事
2027は素数
x^2027=1で
Σx^(±1±2±...±1013)=(Σx^±1)(Σx^±2)...(Σx^±1013)=(x+x^2026)(x^2+x^2025)...(x^1013+x^1014)
ということね
そして上記の式のxのベキは2027の0以外の2026個で原始根のベキで表せるわけだけど
F_2027において2が原始根なのは確かにそうだとは確認したけど簡単に分かるの？
まあ2でなくても原始根ならいいけど原始根は探すの結構めんどくさい
- 840 ：１３２人目の素数さん：2018/01/17(水) 23:35:03.42 ID:EO7VHN63.net
- >>839
>2でなくても原始根ならいいけど
2じゃないと駄目か
±だから展開したとき2進法で考えるから-(2^1013-1)から2^1013-1まで2飛ばしで出てくるってことになる
3とかだと3進法ではそうもならないな
- 841 ：１３２人目の素数さん：2018/01/17(水) 23:59:13.48 ID:ugLbTJqW.net
- そう。2が原始根であることが言えればいい
位数が2027-1の約数であり、2027-1の素因数は2と1013なので、
2 と 2^2 と 2^1013 について 2027 を法として 1 と合同でないことを確認すればよい
- 842 ：１３２人目の素数さん：2018/01/18(木) 00:15:10.12 ID:8rC65/QE.net
- Oh wow guys Congratulations!!
It seems you got a right answer.
So I’ll show you my solutions.
Let p=2027 and observe that this is prime.
Let a_i for 0≦i≦p-1 be the number of the 2^2013 numbers which are i in modulo p.
Then,
N=Π[(p-1)/2, i=1]((ε^k)+(ε^(-k)))
=a_0+...+a_(p-1)ε^(p-1)
where ε=exp((2π/p)i).
Now, observe that
Π[p-1,i=1]((ε^k)+(ε^(-k)))
=NΠ[p-1,i=(p+1)/2]((ε^k)+(ε^(-k)))
=NΠ[p-1,i=(p+1)/2]((ε^(k-p))+(ε^(p-k)))
=NΠ[(p-1)/2,i=1]((ε^k)+(ε^(-k)))
=N^2
But,
Π[p-1,i=1]((ε^k)+(ε^(-k)))
=Π[p-1,i=1](ε^(2k)+1)=Π[p-1,i=1](1+ε^k)=1
where we use the fact that k→2k is bijective in ℤ/pℤ and 1+x+...+x^(p-1)
=Π_(1≦k≦p-1)(x-ε^k).
So N^2=1⇒N=±1.
So,
a_0+...+a_(p-1)ε^(p-1)=±1
⇒a_0±1=a_1=...=a_(p-1)=q
for some integer q.Then,
pq=a_0+...+a_(p-1)±1=2^((p-1)/2)±1.
Since q must be an integer
and 2^((p-1)/2)≡(2/p),
q=(2^1013-(2/2027))/2027
=((2^1013)+1)/2027≡859 (mod 1000).
- 843 ：１３２人目の素数さん：2018/01/18(木) 01:22:37.18 ID:I6nQhhU/.net
- >>841
なーるほどー
位数は1か2か1013か2026かしかないってことか
2＾1013はキツそうだけど2＾11=2048=21とか使うのかしらね
- 844 ：１３２人目の素数さん：2018/01/18(木) 02:12:14.89 ID:BqMeO5gJ.net
- >>843
2^1013の計算は多少手間だけど、工夫すれば短くできそう
例えばこう
2^1013≡2^(1008+5)≡2^(7･2･2･2･2･3･3+5)
≡((((((2^7)^2)^2)^2)^2)^3)^3･2^5
≡(((((128^2)^2)^2)^2)^3)^3･32
≡((((168^2)^2)^2)^3)^3･32
≡((((-154)^2)^2)^3)^3･32
≡(((-608)^2)^3)^3･32
≡(750^3)^3･32
≡(750^2･750)^3･32
≡(1021･750)^3･32
≡(-456)^3･32
≡(-456)^2･(-456･32)
≡(-845)･(-403)
≡-1 (mod 2027)
- 845 ：１３２人目の素数さん：2018/01/18(木) 02:47:01.58 ID:3VMTZnuL.net
- >>819-820
a=3A, c=3C とおくと、
AA +（A+1)^2 = CC,
(2A+1)^2 + 1 = 2CC … ペル方程式
(A，C）=（0，1)
(A，C）が自然数解なら（A'，C'）=（3A+2C+1，4A+3C+2）も自然数解。
A_n =｛(√2 +1)^(2n+1）-（√2 -1)^(2n+1）-2}/4,
C_n =｛(√2 +1)^(2n+1）+（√2 -1)^(2n+1)}/(2√2),
- 846 ：１３２人目の素数さん：2018/01/18(木) 04:13:54.25 ID:3VMTZnuL.net
- >>845
（A_n, C_n)
n=0 (0, 1)
n=1 (3, 5)
n=2 (20, 29)
n=3 (119, 169)
n=4 (696, 985)
n=5 (4059, 5741)
n=6 (23660, 33461)
n=7 (137903, 195025)
n=8 (803760, 1136689)
n=9 (4684659, 6625109)
n=10 (27304196, 38613965)
- 847 ：１３２人目の素数さん：2018/01/18(木) 15:27:22.81 ID:FEilI+AF.net
- 全ての実数で定義されている実数関数 f に対し
B={x | limsup_y→x |f(y)-f(x)|/|y-x|<∞}と置く
R-Bが高々可算個の疎な閉集合で被覆されるならば
ある開区間で f はリプシッツ連続となることを示せ
ただし選択公理によるベールの被覆定理を仮定する
- 848 ：１３２人目の素数さん：2018/01/19(金) 17:10:25.90 ID:K29Y+eUT.net
- 誰もわからないようだから解答置いとく
https://www.axfc.net/u/3870548?key=Lipschitz
- 849 ：１３２人目の素数さん：2018/01/20(土) 12:43:59.72 ID:urj88i9i.net
- ５×５の碁盤目状の道路があり、５件の家
A(0,1)、B(1,4)、C(2,0)、D(3,3)、E(4,2) がある。
図 https://i.imgur.com/pzdRfIv.jpg
この街に直線道路を１本引きたい。
５件からのマンハッタン距離の平方和が最小となる直線を求めよ。
- 850 ：１３２人目の素数さん：2018/01/20(土) 12:46:16.88 ID:urj88i9i.net
- 言い方がマズかったかな。
Aから直線道路までのマンハッタン距離の２乗
＋ Bから直線道路までのマンハッタン距離の２乗
＋ Cから直線道路までのマンハッタン距離の２乗
＋ Dから直線道路までのマンハッタン距離の２乗
＋ Eから直線道路までのマンハッタン距離の２乗
が最小となるような直線です。
- 851 ：１３２人目の素数さん：2018/01/20(土) 13:28:39.53 ID:urj88i9i.net
- ごめん、もう一度訂正。
Aから直線道路までのx軸方向の移動距離の２乗＋y軸方向の移動距離の２乗
＋ Bから直線道路までのx軸方向の移動距離の２乗＋y軸方向の移動距離の２乗
＋ Cから直線道路までのx軸方向の移動距離の２乗＋y軸方向の移動距離の２乗
＋ Dから直線道路までのx軸方向の移動距離の２乗＋y軸方向の移動距離の２乗
＋ Eから直線道路までのx軸方向の移動距離の２乗＋y軸方向の移動距離の２乗
- 852 ：１３２人目の素数さん：2018/01/20(土) 22:03:01.41 ID:kH6iNY66.net
- マンハッタンじゃないじゃないか。
- 853 ：１３２人目の素数さん：2018/01/21(日) 04:26:29.48 ID:SUkk+U6n.net
- >>849
点（x_a，y_a）から直線 y = mx+n までのM距離は、
x軸方向の移動距離 と y軸方向の移動距離 のうち小さい方、つまり
min｛｜y_a -m x_a -n｜，｜（y_a -m x_a -n)/m｜｝
｜m｜≦ 1 のとき ｜y_a -m x_a -n｜,
｜m｜≧ 1 のとき ｜（y_a -m x_a -n)/m｜,
y =（x+18)/10 または y=10x-18 のとき 距離の平方和 = 99/10
- 854 ：￥ ：2018/01/22(月) 00:17:07.65 ID:vBTdEgh5.net
- ￥
- 855 ：￥ ：2018/01/22(月) 00:17:25.91 ID:vBTdEgh5.net
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- 856 ：￥ ：2018/01/22(月) 00:17:43.88 ID:vBTdEgh5.net
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- 857 ：￥ ：2018/01/22(月) 00:18:00.02 ID:vBTdEgh5.net
- ￥
- 858 ：￥ ：2018/01/22(月) 00:18:15.29 ID:vBTdEgh5.net
- ￥
- 859 ：￥ ：2018/01/22(月) 00:18:31.27 ID:vBTdEgh5.net
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- 860 ：￥ ：2018/01/22(月) 00:18:48.82 ID:vBTdEgh5.net
- ￥
- 861 ：￥ ：2018/01/22(月) 00:19:05.96 ID:vBTdEgh5.net
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- 862 ：￥ ：2018/01/22(月) 00:19:23.27 ID:vBTdEgh5.net
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- 863 ：￥ ：2018/01/22(月) 00:19:46.95 ID:vBTdEgh5.net
- ￥
- 864 ：１３２人目の素数さん：2018/01/22(月) 17:38:25.78 ID:EFMpeTLH.net
- >>853
M距離の和を最小にするなら、、
y =（1/4)x + 1 のとき M距離の和 = 11/2
- 865 ：１３２人目の素数さん：2018/01/24(水) 04:13:19.14 ID:9ooAixL8.net
- >>845 >>846 補足
a ≡ a+3 ≡ ±1 （mod 3)
とすると、
aa +（a+3)^2 ≡ 1 + 1 ≡ 2 （mod 3)
一方、
cc ≡ 0，1 （mod 3)
となるので不成立。
a ≡ a+3 ≡ c ≡ 0 (mod 3）に限る。
- 866 ：１３２人目の素数さん：2018/01/26(金) 12:03:24.53 ID:8Tf4BNki.net
- 作用素Hについて、固有値E_k（E_0<E_1<E_2<…）と対応する固有関数ψ_kが存在するとする
であるとする
ここで、固有値Eをもつ関数Ψが存在するとき、NE≧E_0となることを示せ。
ただしN=√(1/(∫|Ψ|^2 dx))
- 867 ：１３２人目の素数さん：2018/01/26(金) 12:06:35.17 ID:8Tf4BNki.net
- ↑訂正
作用素Hについて、固有値E_k（E_0<E_1<E_2<…）と対応する固有関数ψ_k（∫|ψ|^2 dx=1）が存在するとする
ここで固有値Eをもつ関数Ψが存在するとき、NE≧E_0となることを示せ。
ただしN=√(1/(∫|Ψ|^2 dx))
- 868 ：１３２人目の素数さん：2018/01/27(土) 13:45:49.81 ID:51dP2oKU.net
- 中学生でも解ける問題を一つ
半径rの円が３つあり、残り二つの円と互いに外接している。
それぞれの円の周上にP,Q,Rを取る時、三角形PQRの重心Gの動きうる範囲の面積を求めよ。
- 869 ：１３２人目の素数さん：2018/01/27(土) 15:06:08.09 ID:MA43eYRM.net
- >>867
HP0=E0P0
P=2P0
N=1/4
E=E0
1/4E0≧E0
？？
- 870 ：１３２人目の素数さん：2018/01/27(土) 15:07:06.83 ID:MA43eYRM.net
- N=1/2
- 871 ：１３２人目の素数さん：2018/01/27(土) 18:09:12.75 ID:me3DxH9X.net
- P=2(p_0)だと固有値Eは2(E_0)
NE=(1/2)2(E_0)=(E_0)
- 872 ：１３２人目の素数さん：2018/01/27(土) 21:36:02.22 ID:Mtp4B3bf.net
- >>871
>P=2(p_0)だと固有値Eは2(E_0)
なんで？
- 873 ：１３２人目の素数さん：2018/01/27(土) 21:41:45.04 ID:me3DxH9X.net
- H(2(p_0))=2H(p_0)=2(E_0)(p_0)
- 874 ：１３２人目の素数さん：2018/01/27(土) 21:43:11.21 ID:me3DxH9X.net
- ちょっと問題文のほうに問題があったね
撤回
- 875 ：１３２人目の素数さん：2018/01/27(土) 21:47:10.38 ID:me3DxH9X.net
- E≧E_0となることを示せ
- 876 ：１３２人目の素数さん：2018/01/27(土) 21:59:09.92 ID:me3DxH9X.net
- あとHはエルミート
- 877 ：１３２人目の素数さん：2018/01/27(土) 22:07:23.69 ID:WDfOMKEo.net
- 2の倍数または3の倍数または5の倍数でない自然数について
50番目の数字は何？
- 878 ：１３２人目の素数さん：2018/01/27(土) 22:21:48.51 ID:ExPNLsIw.net
- 1-100
100-(50+33+20-16-6-10+3)=100-74=26
1-200
200-(100+66+40-33-13-20+6)=200-146=54
187,191,193,197,199
187？
- 879 ：１３２人目の素数さん：2018/01/27(土) 22:25:35.16 ID:WDfOMKEo.net
- >>878
正解
- 880 ：１３２人目の素数さん：2018/01/27(土) 22:31:46.23 ID:gbbm6MqT.net
- >>868
どうやって解いたものかと思ったが
点Ｐ、Ｑ、Ｒの属する円の中心をそれぞれ点Ａ、Ｂ、Ｃとする。
三角形ＡＢＣの重心をＦとする
ベクトルＦ→Ａ、Ｆ→Ｂ、Ｆ→Ｃの和は
1/3(Ｆ→Ａ+Ｆ→Ｂ+Ｆ→Ｃ)=Ｆ→Ｆとなるので零ベクトル。
一方、ベクトルＦ→Ｇを考えると
Ｆ→Ｇ=1/3(Ｆ→Ｐ+Ｆ→Ｑ+Ｆ→Ｒ)
=1/3((Ｆ→Ａ+Ａ→Ｐ)+(Ｆ→Ｂ+Ｂ→Ｑ)+(Ｆ→Ｃ+Ｃ→Ｒ))
=1/3(Ａ→Ｐ+Ｂ→Ｑ+Ｃ→Ｒ)
ベクトルＡ→Ｐ、Ｂ→Ｑ、Ｃ→ＲとＦ→Ｐ'、Ｆ→Ｑ'、Ｆ→Ｒ'がそれぞれ等しくなるように点Ｐ'、Ｑ'、Ｒ'をとると、
それらは点Ｆを中心とする半径ｒの円(以下円Ｆとする)の周にある。
Ｆ→Ｇ=1/3(Ｆ→Ｐ'+Ｆ→Ｑ'+Ｆ→Ｒ')なので、点Ｇは円Ｆに内接する三角形Ｐ'Ｑ'Ｒ'の重心であり、円Ｆの内部または周にある。(周にあるのは点Ｐ'、Ｑ'、Ｒ'が一致するとき)
次に、
円Ｆの内部に任意の点Ｈをとるとき、線分ＦＨのＨ側の延長と円Ｆの交点に点Ｐ'をとり、
Ｈ'→Ｈ＝1/2(Ｈ→Ｐ')となるような点Ｈ'をとると、点Ｈ'は円Ｆの内部にあるので点Ｈ'における直線ＦＨとの垂線は円Ｆと２箇所で交わり、
各々の交点に点Ｑ'、Ｒ'をとると、三角形Ｐ'Ｑ'Ｒ'の重心である点Ｇは
Ｆ→Ｇ=1/3(Ｆ→Ｐ'+Ｆ→Ｑ'+Ｆ→Ｒ')=1/3(2(Ｆ→Ｈ')+Ｆ→Ｒ')=1/3((Ｆ→Ｈ+Ｈ→Ｐ')+2(Ｆ→Ｈ-Ｈ'→Ｈ))=Ｆ→Ｈとなるため
点Ｈと点Ｇが一致するように点Ｐ、Ｑ、Ｒを取ることができることがわかる。
同様に円Ｆの周に点Ｇをとるには、ベクトルＡ→Ｐ、Ｂ→Ｑ、Ｃ→ＲのすべてがＦ→Ｇと等しくなるように点Ｐ、Ｑ、Ｒをとればよい。これらの点は各円の周にある。
以上のことから、点Ｇの存在範囲は円Ｆ、すなわち三角形ＡＢＣの重心を中心とする半径ｒの円の周および内部の全域と一致する。
面積はπｒ^2
- 881 ：１３２人目の素数さん：2018/01/27(土) 23:28:57.71 ID:io9lIhrc.net
- >>877
という数列の一般項を求めるような問題が昔数検にあったかな
- 882 ：１３２人目の素数さん：2018/01/28(日) 01:55:15.75 ID:ru4HDAPy.net
- >>881
kは非負整数とする。
a_{8k｝= 30k -1,
a_{8k+1｝= 30k + 1,
a_{8k+2｝= 30k + 7,
a_{8k+3｝= 30k + 11,
a_{8k+4｝= 30k + 13.
a_{8k+5｝= 30k + 17,
a_{8k+6｝= 30k + 19,
a_{8k+7｝= 30k + 23,
- 883 ：１３２人目の素数さん：2018/01/28(日) 02:25:15.18 ID:QQEABl6G.net
- 周期30(8個)
1,7,11,13,17,19,23,29
- 884 ：１３２人目の素数さん：2018/01/28(日) 10:41:35.47 ID:MjDW5aU2.net
- >>875
なら当たり前じゃんｗ
固有値の中でE0が最小って
最初に書いてる
- 885 ：１３２人目の素数さん：2018/01/29(月) 15:15:53.94 ID:Nr3Pwzrb.net
- 正三角形ABCの中に点Dをとる
三辺の長さがAD,BD,CDである三角形を作ったとき、その3つの角度はどうなるか？
元のA,B,C,Dで表せ
- 886 ：１３２人目の素数さん：2018/01/30(火) 06:28:00.94 ID:xcx/0UYn.net
- 2円が2点で交わっているとき、2円に引いた接線の長さが等しいような点の軌跡を求めよ。（1行問題）
- 887 ：１３２人目の素数さん：2018/01/30(火) 18:33:19.75 ID:fE9anC+i.net
- 直線 2ax+2by=a^2+b^2+r^2-R^2
- 888 ：１３２人目の素数さん：2018/01/30(火) 22:47:20.84 ID:kRiBvn5X.net
- 田舎だから、ろくな高校なくて県内トップの高校だが高校偏差値60、俺の数学の偏差値は進研模試70、駿台模試68な俺。数学に割と自信あって来てみたらレベル高すぎて挫折。みんなは大数とか解いてるのかな( ´･ω･` )
- 889 ：１３２人目の素数さん：2018/01/31(水) 01:58:00.18 ID:UkP0goc8.net
- >>886
中心o、半径rの円と、中心O、半径Rの円があり、2点 A，B で交わるとする。
中心間の距離oO = d とおく。
oOとABは点Cで直交する。
oC =（dd+rr-RR)/2d,
OC =（dd+RR-rr)/2d,
AB = 4⊿(r,R,d）/d,
直線AB上の点Pから
円oへの接線の長さは
√(Po^2 - r^2）= √(PC^2 + Co^2 - r^2）= √{PC^2 -（AB/2)^2},
円Oへの接線の長さは
√(PO^2 - R^2）= √(PC^2 + CO^2 - R^2）= √{PC^2 -（AB/2)^2},
ゆえ一致する。
答え 直線ABのうち、線分ABを除く部分。
- 890 ：１３２人目の素数さん：2018/01/31(水) 08:11:27.71 ID:EIHOrY2u.net
- 差がnになるような立方数と平方数
みたいな問題に一般解ある？
- 891 ：１３２人目の素数さん：2018/02/01(木) 01:20:12.16 ID:9NvJxwVa.net
- >>890
yy =（重根をもたない3～4次多項式）
楕円曲線と云うらしい。（楕円ではない。）
数論の中心的課題の一つ。
有理数解についての構造定理（モーデルの定理）がある。
整数解は有限個しか存在しない。
- 892 ：１３２人目の素数さん：2018/02/01(木) 01:22:06.92 ID:9NvJxwVa.net
- >>890 訂正
yy = f(x） （ｆは重根をもたない3～4次多項式）
- 893 ：１３２人目の素数さん：2018/02/01(木) 02:44:13.73 ID:Igkrh3Kq.net
- nを3以上の自然数とする
円に内接するn角形で、面積が最大となるものは正n角形であることを示せ.
- 894 ：１３２人目の素数さん：2018/02/01(木) 04:12:29.84 ID:ozAVSfgN.net
- >>893
面積最大となる内接ｎ角形が、大きさの異なる中心角(=外接円の中心における辺の両端のなす角度)を隣り合わせに持つと仮定すると、
それらに挟まれる頂点を「中心角の和の二等分線と円との交点」に置き換えた内接ｎ角形は元の内接ｎ角形より面積が大きいため、仮定と矛盾する
よって面積最大の内接ｎ角形はすべての中心角の大きさが等しい
そのようなｎ角形は正ｎ角形である
- 895 ：１３２人目の素数さん：2018/02/01(木) 04:36:04.06 ID:YQK7w38I.net
- >>894
なるほど
イェンゼンの不等式を使う解法を想定してたけどこんなにシンプルに解けるのか
- 896 ：１３２人目の素数さん：2018/02/01(木) 05:09:27.60 ID:WltzC0iH.net
- >>895
続けたまえ
- 897 ：１３２人目の素数さん：2018/02/01(木) 05:20:20.13 ID:YQK7w38I.net
- >>896
n角形の中心角をθ_1,...,θ_nとすれば、
Σ(i=1,n)θ_i=2πで、
0≦x≦πのとき、f(x)=sinxは上に凸
したがってイェンゼンの不等式から
n角形の面積=(1/2)Σ(i=1,n)sin(θ_i)
=(n/2)*(1/n)Σ(i=1,n)sin(θ_i)
≦(n/2)sin((1/n)Σ(i=1,n)θ_i)
=(n/2)sin(2π/n)
で等号成立はθ_1=...=θ_nのとき
みたいなのを想定してました
- 898 ：１３２人目の素数さん：2018/02/01(木) 10:30:28.47 ID:ozAVSfgN.net
- >>897
その方法もありかな
ただθiの取りうる範囲が０＜θi＜２πで、sinθiが上に凸でない区間を含むのでイェンゼンの不等式を使う前にもうひと工夫要る
- 899 ：１３２人目の素数さん：2018/02/01(木) 10:52:13.85 ID:4D0Z8f3F.net
- >>898
中心角がθ_i＞πとすると辺が反対側になるからθ_i＜πとしても問題無いと思う
- 900 ：１３２人目の素数さん：2018/02/03(土) 06:00:26.28 ID:ZbURmVBy.net
- >>894
この方法で言えることは、
「正n角形でないn角形は面積最大になり得ない」
ということに過ぎなくて、正n角形が面積最大なのかは、この方法からは分からない。
つまり、正n角形が他のn角形と比較して必ず大きくなっているのかは、
この方法からは分からない。
ただし、面積最大の多角形が「存在する」ことが別途証明してあるなら、
この方法と合わせることで、正n角形が面積最大だと分かる。
- 901 ：１３２人目の素数さん：2018/02/03(土) 08:00:05.58 ID:SRNC+iev.net
- >>900
円周の1点P0と、点P0と中心角2πk/nをなす円周上の点Pk(1≦k＜n)を順に結んでできるn角形は円に内接する正n角形となる(存在性)
円に内接するn角形で、正n角形より面積の大きいものが存在すると仮定する。そのようなn角形は>>894の主張により正n角形でなければならない
円に内接するn角形は、円の中心から頂点までの距離が円の半径に等しい
円の中心と内接正n角形の各辺の両端を頂点とする三角形は中心角2π/nとそれを挟む辺が等しいため互いに合同である
この三角形の面積をS1とすると、同一の円に内接する正n角形はいずれも等しい面積nS1をもつこととなる。この性質は元の正n角形についても成立する
同一円に内接する正n角形の面積が互いに等しい事実は元の仮定と矛盾する(背理法)
円に内接する正n角形は存在し、正n角形より面積の大きいn角形は存在しない。よって正n角形は条件を満たす最大のn角形である
- 902 ：１３２人目の素数さん：2018/02/03(土) 09:12:03.68 ID:ZbURmVBy.net
- >>901
間違っている。
(1) 円に内接するn角形で、正n角形より面積の大きいものが存在すると仮定する。
(2) そのようなn角形は>>894の主張により正n角形でなければならない
この2行について、(1)から(2)への推論の仕方が間違っている。
(1)では、正n角形より面積の大きいn角形(面積最大とは限らないn角形)を
仮定しているだけなので、そのn角形に対しては >>894 は適用できない。
>>894 を使って(2)を推論するためには、もともとの(1)を
(1)' 円に内接する面積最大のn角形は正n角形でないと仮定する。
としなければならない。しかし、これでは面積が最大のn角形の「存在性」を
最初に仮定してしまっているので意味が無い。
- 903 ：１３２人目の素数さん：2018/02/03(土) 09:18:00.24 ID:ZbURmVBy.net
- 面積最大のn角形が「存在する」ことを証明するには、たとえば >>897 を拝借して、
A ＝ { (θ_1,...,θ_n)｜θ_i≧0, Σ(i=1,n)θ_i=2π }
S：A → R
S(θ_1,...,θ_n) ＝ (1/2)Σ(i=1,n)sin(θ_i)
として関数 S を定義すればよい。このとき、S は A 上の連続関数であり、
かつ A はコンパクトなので、S は最大値を持つことが分かる。
すなわち、面積最大のn角形は「存在する」ことが分かる。
……というように、面積最大のn角形の「存在性」を言うには、
それなりの抽象論が必要になって、なかなか初等的にはいかない。
初等的に済むのは、>>897 のように、ある種の不等式を使って、
直接的に「正n角形が面積最大」を示すことである。
そういう方法ではない、>>894 のような方針を使う場合には、
面積最大のn角形の「存在性」を示す必要があって、
そうすると上記のように それなりの抽象論が必要になる。
- 904 ：１３２人目の素数さん：2018/02/03(土) 09:27:16.78 ID:SRNC+iev.net
- >>902
＞としなければならない。しかし、これでは面積が最大のn角形の「存在性」を
＞最初に仮定してしまっている
していませんよ
- 905 ：１３２人目の素数さん：2018/02/03(土) 09:31:23.85 ID:ZbURmVBy.net
- >>904
もともとの(1)では仮定していないが、その(1)では(2)が推論できずに失敗するので、
(2)を推論したければ (1)' に修正しなければならない。しかし、(1)' では
面積が最大のn角形の「存在性」を仮定してしまっているので、これでは意味が無い。
結局、>>901のやり方はいずれにしても失敗する、ということ。
- 906 ：１３２人目の素数さん：2018/02/03(土) 09:45:17.33 ID:SRNC+iev.net
- それじゃ>>894を引用せずにやりますかの
円周の1点P0と、点P0と中心角2πk/nをなす円周上の点Pk(1≦k＜n)を順に結んでできるn角形は円に内接する正n角形となる(存在性)
円に内接するn角形で、正n角形より面積の大きいものが存在すると仮定する。そのようなn角形は辺ごとに中心角が異なっていてはならないため正n角形でなければならない
円に内接するn角形は、円の中心から頂点までの距離が円の半径に等しい
円の中心と内接正n角形の各辺の両端を頂点とする三角形は中心角2π/nとそれを挟む辺が等しいため互いに合同である
この三角形の面積をS1とすると、同一の円に内接する正n角形はいずれも等しい面積nS1をもつこととなる。この性質は元の正n角形についても成立する
同一円に内接する正n角形の面積が互いに等しい事実は元の仮定と矛盾する(背理法)
円に内接する正n角形は存在し、正n角形より面積の大きいn角形は存在しない。よって正n角形は条件を満たす最大のn角形である
- 907 ：１３２人目の素数さん：2018/02/03(土) 09:49:46.47 ID:ZbURmVBy.net
- >>906
(1) 円に内接するn角形で、正n角形より面積の大きいものが存在すると仮定する。
(2) そのようなn角形は辺ごとに中心角が異なっていてはならないため正n角形でなければならない
(1)から(2)への推論が間違っている。(1)に>>894と同じことをしても、(2)は出て来ない。
- 908 ：１３２人目の素数さん：2018/02/03(土) 09:51:36.31 ID:qEUwhi6H.net
- ＞円に内接するn角形で、正n角形より面積の大きいものが存在すると仮定する。そのようなn角形は辺ごとに中心角が異なっていてはならないため
そうはならないね。中心角が異なるn角形よりさらに大きなn角形が存在することしかいえない
- 909 ：１３２人目の素数さん：2018/02/03(土) 10:02:10.08 ID:SRNC+iev.net
- わかりました
結局は>>894の論法を拝借しても証明できないということですね。残念
- 910 ：１３２人目の素数さん：2018/02/03(土) 10:21:37.36 ID:NEmce2OD.net
- >>903
n角形の面積が頂点の位置の連続関数かつ有界
ってことが言えれば>>894のやり方でも良いの？
- 911 ：１３２人目の素数さん：2018/02/03(土) 10:33:56.24 ID:ZbURmVBy.net
- >>910
面積最大のn角形が「存在する」ことが別途証明できているなら、>>894のやり方でよい。
で、面積最大のn角形が「存在する」ことの証明法の1つが>>903。
＞ n角形の面積が頂点の位置の連続関数かつ有界
「連続かつ有界な関数」は最大値を持つとは限らないので、その条件ではダメ。
「コンパクト集合上の連続関数」は最大値を持つので、チェックすべきはこっち。
>>903 の設定だと、A はコンパクトで S：A → R は連続なので、S は最大値を持ち、
よって面積最大のn角形が存在することになる。
- 912 ：865：2018/02/03(土) 13:22:15.84 ID:bx+/cqz+.net
- >>884
リッツの変分原理を回りくどく出題したんだよね…
- 913 ：１３２人目の素数さん：2018/02/03(土) 20:34:33.26 ID:vz2cYDpM.net
- >>885の答え
新しい三角形の3つの角は
∠ADB-60°
∠BDC-60°
∠CDA-60°
元の正三角形を2つくっつけると容易に導ける
https://youtu.be/dF67AJH9mjM
- 914 ：１３２人目の素数さん：2018/02/04(日) 01:13:03.83 ID:1AYVpyrY.net
- >>912
新旧リッツの変分は、ルヴァンに忠実に含まれている。
- 915 ：１３２人目の素数さん：2018/02/05(月) 04:29:09.80 ID:tjkCYLNc.net
- >>898-899
θ_i > πの辺があるとき
・n=3 のとき
その辺の長さ ＜2，高さ ＜1 面積 ＜１
一方、正△の面積は（3/2)sin(2π/3）=（3√3)/4 ＞ 1
・n≧4 のとき
n角形は半円の内部に収まるから、面積 < π/2
一方、正n角形の面積は（n/2)sin(2π/n）≧ 2 （←（sinθ)/θ ≧ 2/π）
いずれの場合も面積最大ではない。
>>913
△ABCを頂点Aのまわりに60°回す。
B→C，C→E，D→F
△ADFは正△
- 916 ：１３２人目の素数さん：2018/02/06(火) 02:54:03.11 ID:7rgGAmy4.net
- (12371^56 + 34)^28 を 243 で割った余りを求めよ。
- 917 ：１３２人目の素数さん：2018/02/06(火) 06:10:07.43 ID:7rgGAmy4.net
- 自然数nの各位の数字の和をS(n)とおくとき、S(n^2) = S(n)-7をみたすnの最小値を求めよ。
- 918 ：１３２人目の素数さん：2018/02/06(火) 16:49:32.36 ID:Yc2MOlIU.net
- 番外編第2問 完全なるネタ問です。暇な時にでもどうぞ。
[2'］（オリジナル）
x，yを自然数とする。
x^2 - y^2 =（x+y)(x-y)
を、「xy」を出現させずに示せ。
>>916
12371 ≡ -22 （mod 243)
(-22)^56 ≡ -83 （mod 243)
(-83+34)^28 ≡ (-49)^28 ≡ 130 （mod 243)
（twitter.com/perfectly08641086/）
- 919 ：１３２人目の素数さん：2018/02/06(火) 17:11:52.86 ID:Yc2MOlIU.net
- >>917
n=149， S(149）= 14， S(22201）= 7
- 920 ：１３２人目の素数さん：2018/02/06(火) 17:24:47.10 ID:tIuHS797.net
- >>918
x=(x+y)-y
- 921 ：１３２人目の素数さん：2018/02/06(火) 22:22:11.96 ID:5Qv839bR.net
- >>889
遅くなったが○（必要性(AB上の点だけである)を言ってないが）
2交点を通る直線の、円の外部にある部分（1行解答）
- 922 ：１３２人目の素数さん：2018/02/07(水) 05:11:06.72 ID:hJs29j8F.net
- [5]
n，k を自然数とする。
次の条件を満たす k の値をすべて求めよ。
「n，n+k がともに平方数となるような n がただ一つに定まる。」
（日本ジュニア数学オリンピック2014年、予選 第6問 他 ｱﾚﾝｼﾞ）
（http://twitter.com/perfect08641086/）
- 923 ：１３２人目の素数さん：2018/02/07(水) 07:11:10.59 ID:N1eeF5xg.net
- >>922
以下、自然数とは正整数のこととする。
n=NN,n+k=MMである自然数N,Mが存在する場合、k=(n+k)-n=MM-NN=(M+N)(M-N)となる
よって、kに対してkがM+NとM-Nの積となるような自然数の組(M,N)が１通りに定まる場合を求める
M+NとM-Nはともに異なる奇数であるか、ともに異なる偶数である
1)M+NとM-Nがともに異なる奇数である場合
kは奇数である。
kが3以上の異なる奇数K,L(K＞L＞1)の積KLである場合、
(M,N)=((KL+1)/2,(KL-1)/2),((K+L)/2,(K-L)/2)の少なくとも2通りの解がある
k=1の場合、M+N=M-N=1のため題意を満たさない
これらを除くとkが奇素数または奇素数の平方である場合のみ、単一解(M,N)=((k+1)/2,(k-1)/2)をもつ
2)M+NとM-Nがともに異なる偶数である場合
kは4の倍数である。
kが4以上の異なる偶数2K,2L(K＞L＞1)の積4KLである場合、
(M,N)=(KL+1,KL-1),(K+L,K-L)の少なくとも2通りの解がある
k=4の場合、M+N=M-N=2のため題意を満たさない
これらを除くとk/4が素数または素数の平方である場合のみ、単一解(M,N)=(k/4+1,k/4-1)をもつ
上記より、kは奇素数、奇素数の平方、素数の4倍、素数の平方の4倍のいずれかである。
- 924 ：268：2018/02/07(水) 09:46:09.13 ID:ToZYT75j.net
- >>275の解答
(1)
k=(aa+a+1)/(a+8)=a-7+57/(a+8)
57/(a+8)が整数になる自然数aはa=11,49
(2)
kが自然数ならば2kも自然数
2k=2(2aa+a+2)/(4a+9)=a-1+(-3a+13)/(4a+9)
a≧1で-1<(-3a+13)/(4a+9)<1かつaが整数のとき(-3a+13)/(4a+9)≠0だから、
aが自然数のとき2kが自然数になることはない。
よってkが自然数になることはない。
(3)
(i) b(aab+a+b)=aabb+ab+bb≦aabb+ab+abb<aabb+ab+7a+abb+b+7=(a+1)(abb+b+7)
∴(aab+a+b)/(abb+b+7)<(a+1)/b
(ii)
(a-1)(abb+b+7)/b=aab+a+7a/b-ab-1-7/b=aab+a-a(b-7/b)-1-7/b<aab+a-1-7/b<
=aab+a+b
∴(a-1)/b<(aab+a+b)/(abb+b+7)
(iii)
(a/b-1/b)<k<(a/b+1/b)より(a-1)<bk<(a+1)
a-1,a+1,bkはいずれも整数だからbk=a
(iv)
元の式よりk=(bbbkk+bk+b)/(bbbk+b+7)
∴bbbkk+bk+7k=bbbkk+bk+b⇔b=7k
確かに(a,b)=(11,1),(49,1),(7kk,7k)のときkは自然数である。
出典：IMO1998-4
誘導は勝手につけた
- 925 ：268：2018/02/07(水) 09:56:38.30 ID:ToZYT75j.net
- で、本題なんだが、前スレで268を出題するつもりが、ミスにより
(a^2+a+b)/(ab^2+b+7)が自然数となるような自然数の組を求めよ
という問題文になってしまった（分子の第1項が違う）。
仕方なく解いてみたのだが、色々やってもa,bを上から抑えられずうまくいかなかった。
誰か挑戦してみてください。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【途中経過】
あるbを与えられたとき、aは次のように求められる。
kを自然数として
(a^2+a+b)/((b^2)a+b+7)=k
⇔a^2+(1-(b^2)k)a+b-bk-7k=0 …★
aが自然数解を持つための必要条件は判別式が平方数だから、mを非負整数として
(1-(b^2)k)^2-4(b-bk-7k)=m^2
⇔…
⇔((b^4)k-b^2+2b+14+m)((b^4)k-b^2+2b+14-m)=4(b^5-b^3-6b^2+14b+49)
例えばb=1のとき、右辺は228
素因数分解して左辺の候補を絞ると(k,m)=(7,16),(43,56)
★にkを代入すると
k=7のときa=11,-5
k=43のときa=49,-7
よって(a,b)=(11,1),(49,1)を得る。
これらは確かに与式を満たす。
この方法でb=10まで確認したところ、(a,b)=(11,1),(49,1),(17,2),(27,3)を得た。
- 926 ：１３２人目の素数さん：2018/02/07(水) 11:24:10.23 ID:RLIi/erX.net
- >>925
(1-(b^2)k)^2-4(b-bk-7k)=m^2
⇔…
⇔((b^4)k-b^2+2b+14+m)((b^4)k-b^2+2b+14-m)=4(b^5-b^3-6b^2+14b+49)
のところがわからない
(1-(b^2)k)^2-4(b-bk-7k)≡((b^4)k-b^2+2b+14)^2-4(b^5-b^3-6b^2+14b+49)
と言ってるように見えるけどそうなの？
- 927 ：268：2018/02/07(水) 11:32:06.68 ID:/xZxX6e1.net
- 展開してみると一致するのがわかる
- 928 ：268：2018/02/07(水) 11:53:29.64 ID:/xZxX6e1.net
- いや
最初に両辺にb^4かけてM=(b^2)mで置き換えてた
すまんな
(b^4)((1-(b^2)k)^2-4(b-bk-7k))=M^2=((b^4)k-b^2+2b+14)^2-4(b^5-b^3-6b^2+14b+49)
- 929 ：１３２人目の素数さん：2018/02/07(水) 14:31:49.31 ID:RLIi/erX.net
- >>928
わかりました
(1-(b^2)k)^2-4(b-bk-7k)=m^2 を k の2次方程式と見たときの判別式が
4(b^5-b^3-6b^2+14b+49)+((b^2)m)^2
ですが、これが平方数であって、
((b^4)k-b^2+2b+14)^2に等しいという言い方もできるわけですね
- 930 ：１３２人目の素数さん：2018/02/07(水) 16:18:34.01 ID:RLIi/erX.net
- >>925
a,bを自然数として、k=f(a,b)=(a^2+a+b)/(ab^2+b+7)とする
1) bが一定のとき、a≧bの範囲でf(a,b)はaについて単調増加であることを示せ
2) b≧4、n≧1のとき、f(nb^2-1,b)＜nを示せ
3) b≧4、n≧1のとき、f(nb^2,b)＞nを示せ
4) a≧1、b≧4の自然数について、f(a,b)は自然数とならないことを示せ
こんな感じですかね
- 931 ：１３２人目の素数さん：2018/02/08(木) 02:02:08.73 ID:B/BL4khY.net
- >>923
正解です！
- 932 ：１３２人目の素数さん：2018/02/08(木) 10:16:48.21 ID:FamPdXrc.net
- 球面上でランダムに選んだ4点からなる四面体が球面の中心を含む確率を求めよ。
厳密でなくてよい。エレガントな解答がある。
- 933 ：１３２人目の素数さん：2018/02/08(木) 10:35:32.87 ID:KjVcfdlC.net
- なんとなく15/16？
- 934 ：１３２人目の素数さん：2018/02/08(木) 11:19:12.25 ID:DJohvmqw.net
- >>932
１/８かな
四面体のどの２頂点を選んでも、その２頂点を通る大円で分けられたそれぞれの半球面に残りの２頂点が１つずつ含まれることが、四面体が中心を含むための必要充分条件となる
３つの頂点をランダムに選んだとき、４つ目の頂点はそれら３つの頂点から２つを選んでできる３通りの大円について、１/２の確率で頂点のない半球に置かれる
点の選び方がランダムなので、大円の取り方は互いに独立と考えてよく、結果、四面体が円の中心を含む確率は(１/２)^３=１/８となる
- 935 ：１３２人目の素数さん：2018/02/08(木) 11:45:16.91 ID:Jvsagswg.net
- ベルトランの逆説と同じような事態にはならんのか？
- 936 ：１３２人目の素数さん：2018/02/08(木) 12:03:21.48 ID:kp9W/haN.net
- 当然球面上の一様分布で考えようから
ならんよ
- 937 ：１３２人目の素数さん：2018/02/08(木) 16:31:09.97 ID:O4Qrpcje.net
- >>934
>> 四面体のどの２頂点を選んでも、その２頂点を通る大円で分けられたそれぞれの半球面に残りの２頂点が
>> １つずつ含まれることが、四面体が中心を含むための必要充分条件となる
必要条件だけど、十分条件ではないよ
- 938 ：１３２人目の素数さん：2018/02/08(木) 18:04:27.66 ID:YTD6ywQx.net
- 円と三角形の場合でまず考えたら？
- 939 ：１３２人目の素数さん：2018/02/08(木) 21:47:07.53 ID:oi+h1F3T.net
- >>934
1/8正解
前半の必要十分条件については、特に反例は思い付かない
3本の直径と1個の点Pをランダムに選ぶ
それぞれの直径の端点を1つずつ選ぶ方法は2^3=8通りあるが、出来上がった四面体が球面の中心を含むのは1つのみ（選ばれなかった端点からなる球面三角形上にPがあるとき）
よって1/8
パトナム競争の問題
https://mks.mff.cuni.cz/kalva/putnam/psoln/psol926.html
この動画でも解説されている（円と三角形の場合から始めている）
https://youtu.be/OkmNXy7er84
- 940 ：１３２人目の素数さん：2018/02/09(金) 07:37:01.95 ID:17ymJrhU.net
- 互いに素なa、b∈Zと、任意のn∈Zに対して、ax+bとnが互いに素であるようなx∈Zが存在することを示せ。
- 941 ：１３２人目の素数さん：2018/02/09(金) 10:13:24.55 ID:a7Eou/Nb.net
- >>940
任意のn∈Zというが、n=0は除く必要がある
- 942 ：１３２人目の素数さん：2018/02/09(金) 23:13:52.78 ID:17ymJrhU.net
- オイラーのφ関数について、gcd(a,b) = d >1 ならば、φ(ab)φ(g) = φ(a)φ(b)・d を示せ。
- 943 ：１３２人目の素数さん：2018/02/10(土) 00:37:34.68 ID:JLwIa9Z8.net
- >>942
gcd(a,b）= d > 1 というが、a，bの一方だけを割り切るような素数がある場合は除く必要がある
- 944 ：１３２人目の素数さん：2018/02/10(土) 01:56:05.67 ID:p8fUG64o.net
- >>943
なぜ？
- 945 ：１３２人目の素数さん：2018/02/10(土) 07:33:02.12 ID:MY7c6GmE.net
- >>942
g=dと考えていい？
正整数a,bについてgcd(a,b)=dのときφ(ab)φ(d)=φ(a)φ(b)・dを示す。
正整数nについて、その素因数を{Pm}とするとき、φ(n)=n・Π{Pm}(1-1/Pm)
bと素である最大のaの約数をa1とする。
aと素である最大のbの約数をb1とする。
a1の素因数を{Ax}、b1の素因数を{By}、dの素因数を{Dz}とすると、
aの素因数は{Ax}∪{Dz}、bの素因数は{By}∪{Dz}である。
a1,b1はそれぞれdと素である。つまり、{Ax}∩{Dz},{By}∩{Dz}はいずれも要素を持たない。
a1とb1は素である。つまり、{Ax}∩{By}は要素を持たない。
a2=a/a1、b2=b/b1となる整数a2,b2があり、それぞれはdの倍数であるから、
a3=a2/d、b3=b2/dとなる整数a3,b3がある。
a=a1・a3・d、b=b1・b3・dとなる。
以上のことから、n=d,a,b,abについてφ(n)は以下となる。
φ(d)=dΠ{Dz}(1-1/Dz)
φ(a)=φ(a1・a3・d)=a1・a3・d・Π{Ax}(1-1/Ax)Π{Dz}(1-1/Dz)=a1・a3・φ(d)・Π{Ax}(1-1/Ax)
φ(b)=φ(b1・b3・d)=b1・b3・d・Π{By}(1-1/By)Π{Dz}(1-1/Dz)=b1・b3・φ(d)・Π{By}(1-1/By)
φ(ab)=φ(a1・a3・d・b1・b3・d)=a1・a3・d・b1・b3・d・Π{Ax}(1-1/Ax)Π{By}(1-1/By)Π{Dz}(1-1/Dz)
=(φ(a)/φ(d))(φ(b)/φ(d))φ(d)・d=(φ(a)φ(b)・d)/φ(d)
よって、φ(ab)φ(d)=φ(a)φ(b)・d
- 946 ：DJ学術 ：2018/02/10(土) 08:37:19.43 ID:63PiesU1.net
- わからんのか。フィーリングで速読してみろ。
- 947 ：１３２人目の素数さん：2018/02/10(土) 12:00:09.69 ID:R1D7D1fh.net
- lim[n→+∞] (1+(1/n))^n ≡ e (★)
lim[n→-∞] (1+(1/n))^n = e
lim[n→+0] (1+(1/n))^n = 1
lim[n→-0] (1+(1/n))^n = 1
lim[n→+∞] (1-(1/n))^n = 1/e
lim[n→-∞] (1-(1/n))^n = 1/e
lim[n→+0] (1-(1/n))^n = 1
lim[n→-0] (1-(1/n))^n = 1
lim[n→+∞] (1+n)^(1/n) =1
lim[n→+0] (1+n)^(1/n) = e
lim[n→-0] (1+n)^(1/n) = e
lim[n→-∞] (1-n)^(1/n) =1
lim[n→+0] (1-n)^(1/n) = 1/e
lim[n→-0] (1-n)^(1/n) = 1/e
★を定義として残りの式を示せ
- 948 ：１３２人目の素数さん：2018/02/10(土) 13:49:42.01 ID:eO8qQVZO.net
- 面白いのか？
- 949 ：１３２人目の素数さん：2018/02/10(土) 14:39:29.12 ID:JLwIa9Z8.net
- オイラーのφ関数は乗法的だから、素数pごとに分けて考えてよい。
（ab/d)・d = a・b
より
φ(ab/d)・φ(d) = φ(a)・φ(b)
φ(n) = n・Π{p_m｜n} (1-1/p_m) を使う。
>>947
lim [n→+∞] (1 + 1/n)^(n + 1/2) ≡ e (☆)
の方がカコイイ
- 950 ：１３２人目の素数さん：2018/02/10(土) 14:58:04.94 ID:SG8Nnt8l.net
- >>949
乗法的？
φ(2)=φ(3)=1
φ(6)=2≠φ(2)φ(3)
- 951 ：１３２人目の素数さん：2018/02/10(土) 15:03:18.71 ID:VcDtRhPJ.net
- >>950
>φ(3)=1
- 952 ：１３２人目の素数さん：2018/02/10(土) 15:04:45.15 ID:SG8Nnt8l.net
- >>950
間違えた
φ(2)=1
φ(4)=2≠φ(2)φ(2)
- 953 ：１３２人目の素数さん：2018/02/10(土) 15:07:41.85 ID:SG8Nnt8l.net
- >>951
φ(3)=2ね
φ(9)=6≠φ(3)φ(3)
- 954 ：１３２人目の素数さん：2018/02/10(土) 15:28:50.93 ID:VcDtRhPJ.net
- >>952
数論的関数の乗法性の定義を知らないのか
- 955 ：１３２人目の素数さん：2018/02/10(土) 19:13:51.53 ID:p8fUG64o.net
- >>952
実に実に実に実に実にぃ～怠惰デスネ！ 一から、いえゼロから勉強し直してくるのです！
- 956 ：１３２人目の素数さん：2018/02/11(日) 01:47:44.56 ID:jr8eNYeJ.net
- 思いついた問題はあるんだけど
出題するタイミングが分かんないんだよね
ここ2,3日に出た問題にレスが付かなそうだったら投下する
- 957 ：１３２人目の素数さん：2018/02/11(日) 01:58:52.82 ID:oyQM1khy.net
- >>942
d｜(ab/d）
つまり、ab/d は d の素因数をすべて含んでいる。
φ(ab/d）= φ(ab）/d,
>>949 にこれを使えば出るらしいよ。
- 958 ：１３２人目の素数さん：2018/02/11(日) 12:51:57.50 ID:zE0RtHGg.net
- 暇なときにでもどうぞ
例えば8だと転置しても基本変形後の行列が変わらない事、及びσが置換全体を走る時σ^(-1)が置換全体を走る事使えば良いんですかね？
13は固有値使うと早いのかな？
17は基本変形を施す行列が正則であることから示せるね
...のような感じで答えてくださって構わないです
https://i.imgur.com/mMPwhK0.jpg
- 959 ：１３２人目の素数さん：2018/02/11(日) 13:12:04.08 ID:T9JK+LpN.net
- >>958
書名は？
- 960 ：１３２人目の素数さん：2018/02/11(日) 14:46:04.95 ID:14fB0Cxv.net
- signature by the auther
- 961 ：１３２人目の素数さん：2018/02/11(日) 14:48:26.10 ID:lsbQUPFq.net
- >>942
φ(a)=a(1-1/p1)...(1-1/pi)(1-1/q1)...(1-1/qj)
φ(b)=b(1-1/p1)...(1-1/pi)(1-1/r1)...(1-1/rk)
φ(d)=d(1-1/p1)...(1-1/pi)
φ(ab)=ab(1-1/p1)...(1-1/pi)(1-1/q1)...(1-1/qj)(1-1/r1)...(1-1/rk)
φ(ab)φ(d)/φ(a)φ(b)=d
- 962 ：１３２人目の素数さん：2018/02/11(日) 15:51:15.08 ID:lsbQUPFq.net
- >>949
> （ab/d)・d = a・b
>より
> φ(ab/d)・φ(d) = φ(a)・φ(b)
これってdがaやbとどういう関係の時に成り立つの？
- 963 ：１３２人目の素数さん：2018/02/11(日) 16:24:21.30 ID:oyQM1khy.net
- >>962
gcd(a，b) = d のとき
- 964 ：１３２人目の素数さん：2018/02/11(日) 17:21:31.53 ID:T9JK+LpN.net
- 問題文読めとしか言えんな。
- 965 ：１３２人目の素数さん：2018/02/11(日) 18:09:51.25 ID:lsbQUPFq.net
- >>963
d=gcd(a,b)のときだけじゃなく
d=aやd=bのときもだけど？
- 966 ：１３２人目の素数さん：2018/02/11(日) 18:12:20.27 ID:lsbQUPFq.net
- >>963
それとその等式が
d=gcd(a,b)
のときに成り立つことの証明は
結局の所それを使わず
φ(ab)φ(d)=φ(a)φ(b)d
を証明するのと同じじゃないの？
- 967 ：１３２人目の素数さん：2018/02/13(火) 04:44:01.92 ID:nn3laMHF.net
- 【懸賞問題】
ab平面上の図形Aに対して、xy平面上の点の集合Bを
B={(x,y) | ∀(a,b)∈A, |ax+by|≦1}
と定義する。
Aが単位円のとき、Bはどのような図形になるか？(Aの面積)*(Bの面積)はいくつか？これより大きくなる例を見つけた場合1億円差し上げます。
Aが{(a,b) | |x|≦1, |y|≦1}の正方形のとき、Bはどのような図形になるか？(Aの面積)*(Bの面積)はいくつか？これより小さくなる例を見つけた場合1億円差し上げます。
- 968 ：１３２人目の素数さん：2018/02/13(火) 05:17:38.32 ID:nn3laMHF.net
- 訂正
下の設問はA={(a,b) | |a|≦1, |b|≦1}
- 969 ：１３２人目の素数さん：2018/02/13(火) 05:22:30.15 ID:nn3laMHF.net
- 【懸賞問題その2】
abc空間上の図形Aに対して、xyz空間上の点の集合Bを
B={(x,y,z) | ∀(a,b,c)∈A, |ax+by+cz|≦1}
と定義する。
Aが単位球のとき、Bはどのような図形になるか？(Aの体積)*(Bの体積)はいくつか？これより大きくなる例を見つけた場合1億円差し上げます。
Aが{(a,b,c) | |a|≦1, |b|≦1, |c|≦1}の立方体のとき、Bはどのような図形になるか？(Aの体積)*(Bの体積)はいくつか？これより小さくなる例を見つけた場合は教えてください。
- 970 ：１３２人目の素数さん：2018/02/13(火) 08:16:24.16 ID:BwPDiADw.net
- >>967
A={(1,0),(0,1)}
(Aの面積)*(Bの面積)=0
- 971 ：１３２人目の素数さん：2018/02/13(火) 16:29:32.11 ID:MRRgZbNg.net
- それは面積を持たないし、平面図形じゃないですね。
Aは中身のつまった面積のある図形です。
- 972 ：１３２人目の素数さん：2018/02/13(火) 17:22:04.99 ID:BwPDiADw.net
- 頭の悪い奴だな
そんな条件はないし面積０を持ってる
面積０とかが嫌なら少し膨らませて長方形とかにすればいい
- 973 ：１３２人目の素数さん：2018/02/13(火) 17:25:27.30 ID:NuFkq5VM.net
- 一億円ホントに持ってんだろうな？
- 974 ：１３２人目の素数さん：2018/02/13(火) 17:28:26.39 ID:gxVfB1/i.net
- >>972
試しにその少し膨らませた長方形で計算してみてください。
- 975 ：１３２人目の素数さん：2018/02/13(火) 17:50:37.35 ID:BwPDiADw.net
- A={(a,b)|1≦a+b≦1+t,-1≦a-b≦1}
B⊂{(x,y)||1x+0y|≦1,|0x+1y|≦1}={(x,y)||x|≦1,|y|≦1}
Aの面積=t
Bの面積≦4
(Aの面積)*(Bの面積)≦4t
- 976 ：１３２人目の素数さん：2018/02/13(火) 17:57:58.05 ID:gxVfB1/i.net
- >>975
Bのほうは誤りですね
- 977 ：１３２人目の素数さん：2018/02/13(火) 18:09:17.70 ID:BwPDiADw.net
- >>976
どれが間違い
(1) B⊂{(x,y)||1x+0y|≦1,|0x+1y|≦1}
(2) {(x,y)||1x+0y|≦1,|0x+1y|≦1}={(x,y)||x|≦1,|y|≦1}
(3) {(x,y)||x|≦1,|y|≦1}の面積は4
(4) Bの面積≦4
- 978 ：１３２人目の素数さん：2018/02/13(火) 18:38:24.47 ID:gxVfB1/i.net
- (1)です。
- 979 ：１３２人目の素数さん：2018/02/13(火) 19:53:14.08 ID:6niM5lNE.net
- やはりこのスレのレベルでは手に終えないようですね。
有効な回答が出ないようなので、懸賞問題は締切とさせていただきます。
次回にご期待ください。
- 980 ：１３２人目の素数さん：2018/02/14(水) 01:32:03.09 ID:ZgrnGGF4.net
- gcd(a,b)=1 をみたす a、b∈Z と、任意の n∈Z (n≠0) に対して、gcd(ax+b,n)=1 をみたす x∈Z が存在することを示せ。
- 981 ：１３２人目の素数さん：2018/02/15(木) 04:49:41.27 ID:tNBf7zgk.net
- >>980
n≠0 の約数のうち、bと素な最大の約数をｘとする。(*)
gcd(ax+b，x）=gcd（b，x）= 1 … (1)
また、題意より
gcd（a，b）= 1,
gcd(ax+b，b）= gcd(ax，b）= 1,
n/x の素因数はすべてbの素因数だから ←(*)
gcd(ax+b，n/x）= 1 … (2)
(1)(2)より、
gcd(ax+b，n）= 1.
- 982 ：１３２人目の素数さん：2018/02/15(木) 10:50:44.52 ID:BNcyv0HF.net
- 検算において、九去法よりも11去法の方が誤りの検出力が強いのは何故か？
- 983 ：１３２人目の素数さん：2018/02/15(木) 12:22:29.92 ID:9GXVdFDs.net
- 九去法は数字の入れ換えを検出できない
- 984 ：１３２人目の素数さん：2018/02/16(金) 04:00:17.83 ID:XBulL9Eh.net
- 簡単に解ける幾何の問題を一つ作ってみた
問．点Oを中心とする半径1の円と、点Aがあり、OA=2とする。
円周上に点P,Q,Rをとり、Oから直線APへの距離は1/2とする。
また、AP上P側に点XをAX=5となるように取り、
さらに、AQ上、AR上それぞれQ,R側に点Y,Zを取ると、
四角形PQYX,及び四角形QRZYはそれぞれ円に内接するという。
∠XYZ=120°の時、XZの長さを求めよ。
- 985 ：１３２人目の素数さん：2018/02/18(日) 05:13:40.49 ID:3SEy6oaf.net
- (1) 0<θ<πで、2-2cosθと(sinθ)^2の大小を比較せよ。
(2) πを下から抑えるとき、円に内接する正多角形の周長と面積のどちらを用いるのがよいか。
(3) πを上から抑えるとき、円に外接する正多角形の周長と面積のどちらを用いるのがよいか。
（参考）
一般の平面図形で、与えられた周長で面積が最大となるものは円である（等周問題）。
従って、ある平面図形の周長が2πより短いとき、(周長の半分の数値)>(面積の数値)である。
- 986 ：１３２人目の素数さん：2018/02/18(日) 06:31:15.01 ID:3BoN6Yxt.net
- >>985
(1)
(2-2cosθ)-(sinθ)^2＝(1-cosθ)^2
0<θ<πで、cosθ＜1なので2-2cosθ＞(sinθ)^2
- 987 ：１３２人目の素数さん：2018/02/18(日) 07:36:49.45 ID:ThRmH7UL.net
- >>984は面白くない？
- 988 ：１３２人目の素数さん：2018/02/18(日) 07:52:11.70 ID:cwS1ZbkW.net
- レスがつかなかったということは？
- 989 ：DJ学術 ：2018/02/18(日) 08:32:28.36 ID:qgnnmKYh.net
- あほなもんだなあ。数学は。我ながら。
- 990 ：１３２人目の素数さん：2018/02/18(日) 10:36:49.37 ID:qShdtbzi.net
- 平面上にn個の異なる点を配置する。何の2点間の距離も、必ず或る2つの実数値の何方かを取るようにn個の点を配置することを考える。n=3の時は、二等辺三角形をなす様に配置する例がある。
1) n=4の時、点の配置を全て求めよ。
2) n=5の時、点の配置は正五角形に限ると言えるか。
3) n=6の時、条件を満たす点は位置は存在しないことを示せ。
- 991 ：１３２人目の素数さん：2018/02/18(日) 13:49:43.04 ID:e4NqLH6n.net
- >>990
１）
・正3角形＋その中心 （√3）
・正方形 （√2）
・正5角形－1頂点 （√5 -1)
・60°の菱形：合同な2つの正3角形を辺で張り合わせた形 （√3）
- 992 ：１３２人目の素数さん：2018/02/18(日) 14:34:58.79 ID:3BoN6Yxt.net
- >>991
正三角形の頂点３つと、その１つから対向する辺へ垂線を下ろしたとき、その垂線の延長線上に４つ目の点の候補があと２つある
- 993 ：１３２人目の素数さん：2018/02/18(日) 15:06:38.42 ID:3BoN6Yxt.net
- >>992
こう言い変えてみる
平面上の円に対して
・中心角30度をなして等間隔に並ぶ円周上の3点および円の中心
・中心角60度をなして等間隔に並ぶ円周上の3点および円の中心(>>990の4番目の解)
・中心角72度をなして等間隔に並ぶ円周上の4点(>>990の3番目の解)
・中心角90度をなして等間隔に並ぶ円周上の4点(>>990の2番目の解)
・中心角120度をなして等間隔に並ぶ円周上の3点および円の中心(>>990の1番目の解)
・中心角165度をなして等間隔に並ぶ円周上の3点および円の中心
- 994 ：１３２人目の素数さん：2018/02/18(日) 15:08:45.21 ID:3BoN6Yxt.net
- >>993
アンカー間違えた>>991宛ね
- 995 ：１３２人目の素数さん：2018/02/18(日) 15:35:21.76 ID:e4NqLH6n.net
- >>992
１）
・正三角形（辺長=L）と、１頂点から対辺の方向に±Lだけずれた点。（(√3 干1)/√2 = 2sin（45ﾟ干30ﾟ）
- 996 ：１３２人目の素数さん：2018/02/18(日) 15:40:09.07 ID:qShdtbzi.net
- 我ながら素敵な問題なので皆さん頑張って下さい
エレガントな解を待っています
- 997 ：１３２人目の素数さん：2018/02/18(日) 16:28:14.33 ID:3BoN6Yxt.net
- ３次元でやるとどうなるかってのが興味深い
ところで次スレたてられる人いますか？
- 998 ：１３２人目の素数さん：2018/02/18(日) 21:24:15.16 ID:i8Ar5mh5.net
- 974
そんな難しいかね。簡単にとける思うんだけど。
- 999 ：１３２人目の素数さん：2018/02/18(日) 23:04:15.61 ID:gINNEtP1.net
- このスレで解かれずに残ってる問題一覧：
- 1000 ：１３２人目の素数さん：2018/02/19(月) 00:15:11.67 ID:uzLAXv/z.net
- 各自で次スレに転載すればよし
- 1001 ：１３２人目の素数さん：2018/02/19(月) 00:22:02.99 ID:uzLAXv/z.net
- このスレは実質25スレ目だから
次スレ
面白い問題おしえて～な 26問目
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1518967270/
- 1002 ：１３２人目の素数さん：2018/02/19(月) 01:08:01.47 ID:/8jC6j7+.net
- >>990
（２）
5点のうちの1点を取り去れば、（１）のどれかになるはず。 >>993
>>1001
スレ立て乙
- 1003 ：１３２人目の素数さん：2018/02/19(月) 15:24:25.97 ID:sUgpud4p.net
- >>997
三次元で点４つの場合
・四面すべてが合同な二等辺三角形である四面体の各頂点
・少なくとも２枚の面が正三角形である四面体の各頂点
・正三角形を底面に持ち、残りの頂点から底面に下ろした垂線の足が底面の重心と一致する四面体の各頂点
・正三角形を底面に持ち、少なくとも１つの斜辺の長さが正三角形の一辺に等しく、かつその斜辺を含む底面との垂面で面対称となる四面体の各頂点
・斜辺a底辺bの二等辺三角形と斜辺b底辺aの二等辺三角形を２枚ずつ組み合わせてできる四面体の各頂点
- 1004 ：１３２人目の素数さん：2018/02/20(火) 02:53:56.44 ID:sbEXHfX1.net
- >>1003
最初のは、正方形柱の、1つおきの4頂点…
正4面体はすべてに含まれそう。
- 1005 ：１３２人目の素数さん：2018/02/22(木) 00:27:10.81 ID:/AvHZMpx.net
- >>925
aを定数とすると、与式が自然数ならば
b+a^2+a≧ab^2+b+7
⇔ab^2-a^2-a+7≦0
⇔-√(a+1-7/a)≦b≦√(a+1-7/a) (∵a>0)
bは自然数だから
1≦b≦√(a+1-7/a)
特にa≦10000のときb≦100<100.0…
# Python 3
for a in range(1,10001):
for b in range(1,101):
k=(b+a*a+a)/(a*b*b+b+7)
if k==int(k):
print(a,b,k)
print('done')
数秒で次の出力を得た
11 1 7.0
17 2 4.0
27 3 3.0
49 1 43.0
done
これ以外に解はないと考えられる
- 1006 ：１３２人目の素数さん：2018/02/22(木) 00:34:36.18 ID:qyfrsyyj.net
- >>1005
>>930
- 1007 ：１３２人目の素数さん：2018/02/22(木) 22:15:53.35 ID:8IEdD/eb.net
- とっとと埋めない？
- 1008 ：１３２人目の素数さん：2018/02/22(木) 22:31:24.00 ID:6Ip2UVFo.net
- 埋めない
- 1009 ：１３２人目の素数さん：2018/02/23(金) 00:12:21.16 ID:+0EFqQk0.net
- 余白が足りない
- 1010 ：１３２人目の素数さん：2018/02/23(金) 00:15:24.31 ID:jpZcZ0GN.net
- 驚くべき証明を発見した
- 1011 ：2ch.net投稿限界：Over 1000 Thread
- 2ch.netからのレス数が1000に到達しました。
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