線形代　基底であることの証明

1 ：１３２人目の素数さん：2015/05/24(日) 21:49:07.67 ID:lv4gL4P2.net

a=(3,1,-2),b=(1,-1,1),c=(2,9,1)∈R^3である。集合Φ=(a,b,c)はR^3の基底であることを示せ。

この問題の解き方を教えてください。
線形独立であることを示せばいいんでしょうか。

2 ：１３２人目の素数さん：2015/05/24(日) 21:53:58.31 ID:S+9sGcDj.net

別に洗剤＆ステンたわしでゴシゴシでも問題ないぞ

3 ：１３２人目の素数さん：2015/05/24(日) 21:54:12.46 ID:79E1ADVn.net

Φを行列とみなしたとき、行列式が ≠0 であることを示せばいいよ。

4 ：１３２人目の素数さん：2015/05/24(日) 22:08:26.87 ID:znhqMNNd.net

それでいいことの証明は？

基底の定義に則して示せ
って問題に聞こえるけど。

5 ：１３２人目の素数さん：2015/05/25(月) 03:19:27.77 ID:DRdKI0Zk.net

そのくらい自分でやれよ。

6 ：１３２人目の素数さん：2015/05/25(月) 03:29:54.21 ID:DRdKI0Zk.net

って言いたいけど、一応示しておくか。

R^3 の標準基底を　e_1, e_2, e_3 とする。
行列 Φ をR^3 から R^3 への線型写像とみなしたとき、
Φは e_1 を a に、e_2 を b に、e_3 を c に移す写像である。


よって、もし detΦ ≠ 0 ならば、Φの逆行列 B が存在する。
B も R^3 から R^3 への線型写像とみなすことができて、
a を e_1 に, b を e_2 に, c を e_3 に移す写像である。

今、R^3 の任意のベクトル x を取る.
y = Bx = (y_1, y_2, y_3)= y_1e_1 + y_2e_2 + y_3e_3 とおくと、
x = ΦBx = y_1a + y_2 b + y_3c
よって、(a, b, c) は R^3 の 生成系である

一方、x = z_1a + z_2b + z_3c とおくと、
y= Bx = (z_1, z_2, z_3) = (y_1, y_2, y_3)
となり、

x の表示 y_1a + y_2 b + y_3c は一意である。
よって、(a, b, c) は R^3 の基底である。

7 ：１３２人目の素数さん：2015/05/25(月) 17:14:49.49 ID:MJCzznoS.net

御代は見てのお帰りで

8 ：１３２人目の素数さん：2015/05/25(月) 21:00:15.24 ID:SYhE3Re5.net

>>6
えさやるなよ、お前の自己満足だろ

9 ：１３２人目の素数さん：2015/05/26(火) 17:16:07.53 ID:kENIg+4s.net

自己満足けっこう

10 ：１３２人目の素数さん：2015/05/29(金) 19:10:22.78 ID:ivvs6Jkp.net

2chは自己満足で出来ている

11 ：１３２人目の素数さん：2015/05/29(金) 22:15:10.55 ID:Z+6YxUx2.net

五体不満足でできているのかと思ってたよ。

12 ：１３２人目の素数さん：2015/05/29(金) 22:18:24.68 ID:43um1Y0t.net

切断

13 ：１３２人目の素数さん：2015/05/30(土) 00:35:14.95 ID:cjrKKsVK.net

なんでこんな問題ができないのか理解に苦しむけど
とりあえず行列の階数を求めるのが普遍的だと思うよ

14 ：１３２人目の素数さん：2015/05/30(土) 10:29:54.93 ID:+wDLgdaO.net

男性体・・・おれのいちもつは天に反る！！！！

15 ：１３２人目の素数さん：2015/05/30(土) 19:22:49.16 ID:/qeVcDSI.net

男性体の切断

16 ：１３２人目の素数さん：2015/05/30(土) 20:55:44.96 ID:U7qV4Ge6.net

お前のは弾性体か？
俺のは剛体だ。

17 ：１３２人目の素数さん：2015/06/07(日) 05:36:55.40 ID:7alJ0FXO.net

>>6
こんな無駄の多い証明初めて見た

18 ：１３２人目の素数さん：2015/06/07(日) 16:51:44.82 ID:OAuTUEJW.net

このスレそのものが無駄。

19 ：１３２人目の素数さん：2015/06/10(水) 20:29:54.83 ID:lXqQZQ0S.net

　
お世話になります。
私、責任者の加茂と申します。以後、宜しくお願い致します。
http://www.apamanshop.com/membersite/27009206/images/kamo.jpg
浪速建設様の見解と致しましては、メールによる対応に関しましては
受付しないということで、当初より返信を行っていないようで、今後につい
てもメールや書面での対応は致しかねるというお答えでした。
http://www.o-naniwa.com/index.html　事務員 南野 東条
http://www.o-naniwa.com/company/　岡田常路
このように現在まで６通のメールを送られたとのことですが、結果一度も
返信がないとう状況になっています。
http://www.apamanshop-hd.co.jp/　加茂正樹 舟橋大介
http://s-at-e.net/scurl/nibn-apaman.html　大村浩次
私どものほうでも現在までのメール履歴は随時削除を致しております
ので実際に１１通のメールを頂戴しているか不明なところであります。
　
・friends もののけ島のナキ
　http://s-at-e.net/scurl/NakionMonsterIsland.html

・妖怪ウォッチ
　http://s-at-e.net/scurl/Youkai-Watch.html
　
・崖の上のポニョ
　http://s-at-e.net/scurl/Ponyo.html
　
　・A　http://s-at-e.net/scurl/ia-A.html
　■http://s-at-e.net/scurl/ia-Pos.html
　
大阪府八尾市上之島町南 ４-１１ クリスタル通り２番館203
に入居の引きこもりニートから長期にわたる執拗な嫌がらせを受けています。
この入居者かその家族、親類などについてご存知の方はお知らせ下さい。
hnps203@gmail.com

20 ：１３２人目の素数さん：2015/06/11(木) 08:08:16.06 ID:N/GzzKvt.net

今回についていえば

a,b,cがR^3の基底
⇔a,b,cが線形独立
⇔a,b,cがR^3を生成する
⇔det(a,b,c)≠0
⇔rank(a,b,c)＝3

21 ：１３２人目の素数さん：2015/06/11(木) 12:32:06.51 ID:3g8h58dx.net

その言い方は、初心者に
基底の定義を誤解させる。

22 ：１３２人目の素数さん：2015/06/11(木) 13:01:26.87 ID:yGwx+C3j.net

もし誤解させてしまったら申し訳ない

基底の定義は各自調べてください

23 ：１３２人目の素数さん：2015/06/11(木) 13:03:22.15 ID:yGwx+C3j.net

今回は次元と考えるベクトルの本数が等しいので
>>20が成立します

24 ：１３２人目の素数さん：2015/06/11(木) 13:19:46.42 ID:rnRfh8RN.net

問題の趣旨からいって、そのことにも証明を要求されそうな。

25 ：１３２人目の素数さん：2015/06/12(金) 08:09:15.73 ID:2oTX7MPM.net

{a,b,c}がR^3の基底である
⇔R^3の任意の元がa,b,cの一次結合で一意的に書ける
⇔任意の(x,y,z)∈R^3に関して、連立一次方程式(x,y,z)=ra+sb+tcがr,s,tについて解を一つだけ持つ
⇔線形写像(r,s,t)→ra+sb+tc=Φ(r,s,t)が全単射
⇔detΦ≠0

26 ：１３２人目の素数さん：2016/12/13(火) 22:16:14.73 ID:W1pnHVmq.net

良スレ

27 ：１３２人目の素数さん：2016/12/14(水) 14:15:45.30 ID:GdpNvdBL.net

>>4 を良く読んだ方がいいんじゃねーか

28 ：￥ ◆2VB8wsVUoo ：2016/12/15(木) 10:21:15.73 ID:RKp+jZjD.net

￥

29 ：￥ ◆2VB8wsVUoo ：2016/12/15(木) 10:21:31.31 ID:RKp+jZjD.net

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35 ：￥ ◆2VB8wsVUoo ：2016/12/15(木) 10:23:13.65 ID:RKp+jZjD.net

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36 ：￥ ◆2VB8wsVUoo ：2016/12/15(木) 10:23:30.84 ID:RKp+jZjD.net

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37 ：￥ ◆2VB8wsVUoo ：2016/12/15(木) 10:23:48.91 ID:RKp+jZjD.net

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38 ：１３２人目の素数さん：2016/12/15(木) 13:12:20.41 ID:dMXX+oEn.net

荒らしが必死

39 ：￥ ◆2VB8wsVUoo ：2016/12/15(木) 14:05:17.00 ID:RKp+jZjD.net

￥

40 ：１３２人目の素数さん：2016/12/16(金) 12:56:25.61 ID:buQVI+hD.net

悲惨な荒らしが必死

41 ：￥ ◆2VB8wsVUoo ：2016/12/16(金) 13:48:18.64 ID:XSHCKxgO.net

￥

42 ：１３２人目の素数さん：2016/12/17(土) 12:50:52.15 ID:DxJZ/5J9.net

荒らしが悲惨

43 ：￥ ◆2VB8wsVUoo ：2016/12/17(土) 16:14:32.12 ID:LhaePwX1.net

￥

44 ：１３２人目の素数さん：2016/12/18(日) 03:59:06.33 ID:DDIPLw4L.net

( 10a+19b +c)/51 = (1,0,0)
( -a -7b+5c)/51 = (0,1,0)
(-11a+25b+4c)/51 = (0,0,1)

あるいは、

a = (3,1,-2)、
b = (1,-1,1)、
d = (-13a+28b+14c)/17 = (1,5,4)
が直交系をなす。

45 ：１３２人目の素数さん：2017/02/09(木) 16:15:54.15 ID:8w5nXYYM.net

X = (a, b)
　　(c, d)

Y = (a', b')
　　(c', d')
とする。

(1)
Xの固有値は tr(X)=a+d と det(X)=ad-bc で決まることを示せ。

(2)
Xの固有ベクトルは (a-d)：b：c の比で決まることを示せ。

(3)
XとYが交換可能（XY=YX）ならば、
　(a-d)：b：c = (a'-d')：b'：c'
となることを示せ。

(4)
交換可能な行列は、固有ベクトルが一致することを示せ。

(5)
交換可能な行列は、同じ直交行列Tにより対角化できることを示せ。