現代数学の系譜11 ガロア理論を読む12

1 ：１３２人目の素数さん：2015/02/15(日) 08:46:03.29 ID:wOLNHI5U.net

旧スレが500KBオーバーに近づいたので、新スレ立てる
このスレはガロア原論文を読むためおよび関連する話題を楽しむスレです
（最近は、スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。ガロア関連のアーカイブの役も期待して。）
過去スレ
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む11
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1420001500/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む10
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現代数学の系譜11 ガロア理論を読む9
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現代数学の系譜11 ガロア理論を読む8
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現代数学の系譜11 ガロア理論を読む7
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現代数学の系譜11 ガロア理論を読む6
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現代数学の系譜11 ガロア理論を読む5
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現代数学の系譜11 ガロア理論を読む(4)
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1335598642/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む3
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1334319436/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む2
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1331903075/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1328016756/

（古いものは、そのままクリックで過去ログが読める。また、ネットで検索すると、無料の過去ログ倉庫やキャッシュがヒットして過去ログ結構読めます。）

754 ：１３２人目の素数さん：2015/04/04(土) 14:42:15.13 ID:u5J7qn/M.net

スレ主よ。おぼろげながら、やっと少しは夢の実現への方針がつかめた。
私の夢の実現には、ガロア理論だけでは足りないかも知れない。
やはり、関数解析とかが必要になる可能性はある。楽しい数学になり得る。
まあ、何するにしても、やっぱり群論は有効ですよ。
代数で、群論程威力発揮するモノはないんじゃないですかね。
しかし、可算無限と非可算の違いは大きいね。根本的にここを解決出来ればいいんだけどね。
うん、無限は難しい。単純には解決出来ない。

755 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/04/04(土) 14:51:40.36 ID:6oRaj5nX.net

>>751-753
雑魚がわいてきたか・・

雑魚にはこれだな
ID:+zD8feXrさん、ID:SzYxKgEAさん、ID:NuBVm7kqさんにも、>>517の問題を投げておくよ
>>679だ。君たち程度の雑魚レベルじゃ解けない問題だよ

756 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/04/04(土) 14:58:33.99 ID:6oRaj5nX.net

>>754
おっちゃん、どうも。スレ主です。

>スレ主よ。おぼろげながら、やっと少しは夢の実現への方針がつかめた。

ああ、それはよかったね

>しかし、可算無限と非可算の違いは大きいね。

ああ、そうだね
そして、連続濃度と連続濃度の”べきの濃度”との差も大きいよ
実際、>>679は雑魚レベルじゃ解けない問題になった
これ、１年くらい持ちそうだな
雑魚を叩くのに好都合の問題だ（笑い）

757 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/04/04(土) 15:07:17.30 ID:6oRaj5nX.net

>>755 つづき

そうだな・・、>>679は君たち雑魚には難しすぎるか・・
こうしよう！

正規部分群の定義>>750で
二つの正規部分群の定義が同値であること、つまり
・G の任意の元 g に対して gNg-1 ⊆ N が成り立つ。
　↓↑
・G の任意の元 g に対して gNg-1 = N が成り立つ。
を示せ

つまり、「G の任意の元 g に対して gNg-1 ⊆ N が成り立つ」→「G の任意の元 g に対して gNg-1 = N が成り立つ」を示せ
基本中の基本だろう。これなら、君たちレベルでも秒殺だろう・・（笑い）

758 ：１３２人目の素数さん：2015/04/04(土) 15:33:45.23 ID:NuBVm7kq.net

>>757
君は字が読めないのか？
君の糞理論を使うも使わないも君の自由だから、とっとと(1)を証明しなさい。

759 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/04/04(土) 15:56:12.57 ID:6oRaj5nX.net

>>758
教えて欲しいのか？
教えてはやらん（笑い）
自分で考えろ！（笑い）

760 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/04/04(土) 16:03:30.26 ID:6oRaj5nX.net

なお、逆の包含については、出題者の>>701より先に、私が>>686の最後に書いたよ（>>702）
これで証明は終わっている。それは、出題者が>>721に書いた通り（”すでに示されている g^-1・Ker(f)・g ⊂ Ker(f) を用いてもよい”）だ

761 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/04/04(土) 16:21:59.23 ID:6oRaj5nX.net

>>728,>>730のID:G8tCtmBrさんは、おそらく出題者だろう
確かに君は、レベルが高い

”例えば、整数全体の集合 Z と偶数全体の集合 2Z は、
和についての群として同型で 2Z⊂Z であるが、2Z=Z ではない。”は確かにそうだ

そして、”群 G の部分群 H,H' に対して、
「H⊂H' かつ H と H' が同型」ならば H=H'
は必ずしも成り立たない、ということが言いたかった。”も正しい

だが、>>743と>>750に書いたように、今回の共役変換（もっと言えば正規部分群）の場合には、当てはまらない
なぜか？
もう正解に気付いていると思うがね・・

だれが最初に正解を書くのかな？（笑い）
おっちゃんのいう>>754”うん、無限は難しい。単純には解決出来ない。”がヒントだ

762 ：１３２人目の素数さん：2015/04/04(土) 16:27:19.76 ID:6q6UTOKw.net

　　　　　　　　　⌒　　ヾ　　　　　　　　　　　　　　　　　､ミ川川川彡　　　
　　　　　r／￣￣￣￣ヽ､　ヽ　　　　　　　　　　　　　ミ　　　　　　　彡　　　
　　　　　/.　ﾉ(　　（ﾟｯ）/　￣￣~ヽ　ヾ　　　　　　　　三　　こ 　駄　三　　　　　
　　　　/　　⌒ 　　　 ト､.,..　　　　＼丶。　　　　　 　三　　ら 　め　三　　　　
　　　彳､＿　 　 　　｜　 ∴＼ 　　　ヽ　　　　　　　 三.　 え 　だ 　三　　　
　　 　| ) r‐　　　　 　/ 　ﾉ(　＼＼　　｜∴　　　　　三　　る 　　 　三　
　 　 　|　　　　 　　　 　 ⌒|⌒　ヽ ヽ　　|　｡ｏ　　　　三.　 ん 　ま　三　
　 　ﾉ(　　　　　　　　　　　/　　　 | |　 /　　　　　　　 三.　 だ 　だ　三,.
　　　　　.⌒　　　　　　／　　　　ヽ|／ﾞＵ　　　　　　　三　　 　　吐　三　
　　　　　　　　　　　／　　　　　u　　　　　　　　　　　 三.　 　　　く 　三　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　三 　 　　 な　三　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 彡　　　　　　ミ　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　彡川川川ミ.　　

763 ：１３２人目の素数さん：2015/04/04(土) 16:28:37.53 ID:NuBVm7kq.net

>>761
＞だが、>>743と>>750に書いたように、今回の共役変換（もっと言えば正規部分群）の場合には、当てはまらない
そんな付け足しが要るってことは、君の証明が証明になってないというなによりの証拠

764 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/04/04(土) 16:28:56.62 ID:6oRaj5nX.net

>>743
今見ると、さらに訂正だ

おっと、ID:G8tCtmBrさんもだよ
　↓
おっと、ID:Akp98M0aさんもだよ

765 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/04/04(土) 16:33:36.37 ID:6oRaj5nX.net

>>763
この付け足しは、不要だ
それは、>>681に示した吉野雄二 岡山大学理学部数学科 問題1.6.1の(証明)に有るとおりさ
この付け足しはあくまで君たちのためだよ

766 ：１３２人目の素数さん：2015/04/04(土) 16:41:10.75 ID:NuBVm7kq.net

付け足ししないなら、>>728の反例で終了

767 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/04/04(土) 16:58:04.18 ID:6oRaj5nX.net

>>766
それ（「2Z⊂Z であるが、2Z=Z ではない」>>728）は、確かに
”群 G の部分群 H,H' に対して、
「H⊂H' かつ H と H' が同型」ならば H=H'
は必ずしも成り立たない、ということが言いたかった。”については正しい>>761

だが、今回の共役変換（もっと言えば正規部分群）の場合には、当てはまらない>>761

768 ：１３２人目の素数さん：2015/04/04(土) 17:12:42.40 ID:NuBVm7kq.net

>>767
正規部分群であることを証明したいのに、正規部分群の場合に当てはまらない
から正しいと言われてもねえｗ

769 ：１３２人目の素数さん：2015/04/04(土) 18:32:48.10 ID:imPboNFR.net

（スレ主さん、証明とかの類いだの「付け足し」だのは諦めて、
　ひたすらネットの情報だけ挙げてればいいと思うんだが・・・）

770 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/04/04(土) 18:59:28.22 ID:6oRaj5nX.net

>>768
ID:NuBVm7kqさん・・か
本当にあなたは、数学的思考が弱いね
よくそれだけ、数学の本質を外した解釈ができるね（笑い）

771 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/04/04(土) 19:03:44.98 ID:6oRaj5nX.net

>>769
私もそれが本来なんだけど、出題者さんが問題を出して遊びたいというから
こっちも楽しんだんだよね
お陰で、出題者さんより深く共役変換（もっと言えば正規部分群）について理解できたみたい

その差が、>>761だよ
出題者さんは、もう気付いているだろうが・・

772 ：１３２人目の素数さん：2015/04/04(土) 19:10:22.46 ID:NuBVm7kq.net

>>771
これは笑える

773 ：１３２人目の素数さん：2015/04/04(土) 19:11:42.80 ID:EK3Fw0aZ.net

「ウリは偉い賢いニダ」

774 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/04/04(土) 19:49:15.95 ID:6oRaj5nX.net

>>772
おれも笑える
ID:NuBVm7kqさん、あんたに何が分かるんだね？

775 ：１３２人目の素数さん：2015/04/04(土) 20:51:10.19 ID:BEr55Sxn.net

出題者だけど
俺は最初から>>757の同値性もその証明方法も分かってる。
スレ主が分かってるかどうかを確認したいんだ。

って、言うだけじゃスレ主と同じなんだよな。
こういう「俺は分かってるから、お前が証明してみろよ」って互いに譲らないで
いつまでも話が進まないのはもう見飽きた。

スレ主が他人に説明を求めるなら俺が書くけど、
その場合、スレ主の挽回の機会は失われ、今後は俺から（おそらく他の皆からも）「結局最後まで(1)が解けなかったやつ」として扱われることになる。

776 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/04/04(土) 21:28:16.66 ID:6oRaj5nX.net

>>775
どうも。スレ主です。
出題者さま、まず、お礼を。深く共役変換（もっと言えば正規部分群）について理解できたことを

さて、確認だが、>>728,>>730のID:G8tCtmBrさんは、出題者さんだったんだよね
その確認をしておきたい

で、>>757の同値性もその証明方法も問題を解く前は、分かっていなかった
が、問題を解いた後、本質は>>726で尽くされていると思うよ

「例えば、整数全体の集合 Z と偶数全体の集合 2Z は、
和についての群として同型で 2Z⊂Z であるが、2Z=Z ではない。」>>728は、この場合の反例としては不適切だ

だから、私の挽回は不必要だ
その説明を求めるならば、説明をするよ

777 ：１３２人目の素数さん：2015/04/04(土) 21:45:28.28 ID:BEr55Sxn.net

>>728>>730は俺です。

じゃあとりあえずその「説明」をお願いします。

778 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/04/04(土) 21:53:50.38 ID:6oRaj5nX.net

>>777
どうも。スレ主です。

ありがとう。では説明します

ヒントは、数学的帰納法（自然数に関するペアノの公理）。といえば、出題者にはすぐに分かるだろう
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%9A%84%E5%B8%B0%E7%B4%8D%E6%B3%95
（抜粋）
数学的帰納法（すうがくてききのうほう、英: mathematical induction）は自然数に関する命題P(n) が全てのn に対して成り立っている事を証明するための、次のような証明手法である[1]。

自然数に関するペアノの公理の中に、ほぼ等価なものが含まれている。

超限帰納法

上記の形で自然数について定式化された数学的帰納法は、任意の整列集合に対して次のように一般化することができる。
この一般化を超限帰納法 (ちょうげんきのうほう、英: transfinite induction)という。
任意濃度の集合は選択公理と同値な整列可能定理により整列順序を持つとすることができるので、選択公理を含む公理系であれば超限帰納法は任意濃度の集合に対して成立すると主張できる。

779 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/04/04(土) 22:00:35.76 ID:6oRaj5nX.net

>>778 つづき
　 >>742の人も言っているが、有限群なら>>726は問題ない
　 つまりは、任意の位数Nの群について>>726は成り立つ
　 だから、数学的帰納法または自然数に関するペアノの公理と同じ理屈で、N→∞とすることができる
　
　 「例えば、整数全体の集合 Z と偶数全体の集合 2Z は、
　 和についての群として同型で 2Z⊂Z であるが、2Z=Z ではない。」は、上記とは本質的に異なる
　 どう異なるかは、出題者にはすぐ分かるはず

780 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/04/04(土) 22:07:06.01 ID:6oRaj5nX.net

>>779 つづき
　 「例えば、整数全体の集合 Z と偶数全体の集合 2Z は、
　 和についての群として同型で 2Z⊂Z であるが、2Z=Z ではない。」は、本質的に異なる

　 これは、>>726が任意の位数Nの群について成り立つことを主張しN→∞とすることができることを主張しているのに対し、
　 任意の位数Nの群については、成り立たない例だからだ
以上

781 ：１３２人目の素数さん：2015/04/04(土) 22:07:46.26 ID:BEr55Sxn.net

え、超限帰納法使うの！？
どうも俺とは大分違うことを考えているようだ。

ちょっとすぐには繋がりが分からないから詳しく説明してほしい。
ちなみに数学的帰納法や超限帰納法を使っても「有限の場合に全て成り立つから無限でも成り立つ」ってことにはならないからな。

782 ：１３２人目の素数さん：2015/04/04(土) 22:23:47.94 ID:BEr55Sxn.net

追記

実際、>>730に書いた
＞群 G の部分群 H,H' に対して、
＞「H⊂H' かつ H と H' が同型」ならば H=H'
という命題は |G|<∞ で成り立つが |G|=∞ では必ずしも成り立たない。

783 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/04/04(土) 22:52:39.02 ID:6oRaj5nX.net

>>781-782
そんな大風呂敷を考えるつもりは全くない
”「有限の場合に全て成り立つから無限でも成り立つ」ってことにはならないから”というのは知ったことでない
そんなことは、基礎論好きに任せておけ

共役変換（もっと言えば正規部分群）に限定して考えてくれ
この場合に、「任意の位数Nの群について>>726は成り立つ
　 だから、数学的帰納法または自然数に関するペアノの公理と同じ理屈で、N→∞とすることができる」に賛同するのか反対するのか？

反対するなら、はっきり理由を述べよ

784 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/04/04(土) 22:54:20.19 ID:6oRaj5nX.net

　 「例えば、整数全体の集合 Z と偶数全体の集合 2Z は、
　 和についての群として同型で 2Z⊂Z であるが、2Z=Z ではない。」は、本質的に異なる

なんなら、集合 Zの和についての群として、共役変換の反例を出してくれ

785 ：１３２人目の素数さん：2015/04/04(土) 23:12:23.63 ID:EK3Fw0aZ.net

位相が無くてもlimitが取れると考えるスレ主であったw

786 ：１３２人目の素数さん：2015/04/04(土) 23:19:08.96 ID:oohQJNWL.net

真面目に読んでないからよくわからんけど、lim取るだけなら別に位相いらくね？

787 ：１３２人目の素数さん：2015/04/04(土) 23:39:18.77 ID:BEr55Sxn.net

>>783
共役変換の場合、確かに任意の濃度で成り立つという結論は正しい。
が、「任意の位数Nの群について>>726は成り立つ 」というだけでは共役変換でない場合との違いが無いので根拠にならない。
共役変換に限定しろというのなら、共役変換の性質をどう使うのか説明してくれ。

そして、俺の考えてる>>757の証明では帰納法は特に使わない。
帰納法を使った証明もちょっと考えたが、スレ主の意向に沿うようなものは思いつかない。
そういう意味で、「反対」。

>>784
反例は無い。共役変換の場合は結論は正しいから。
>>778-780では「共役変換」なんて一言も言ってないじゃないか。
>>726でも「同型だから」以上の詳しい説明はなかった。
それで、一般の場合にも成り立つと勘違いしてるんじゃないかと思って>>728を書いた。
共役変換に限定しろというのなら、共役変換の性質をどう使うのか説明してくれ。

788 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/04/05(日) 05:31:23.67 ID:5o4dQmCs.net

どうも。スレ主です。

>>785-786 おれは、>>786に賛成

789 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/04/05(日) 05:33:35.82 ID:5o4dQmCs.net

>>787　難しく考えすぎだろ。

１．>>436で、「２）群が正規部分群であることを示す。この場合は、「N=gNg^-1」の形が使い易いだろう」と宣言してある
　 そして、その前提での>>442「逆の包含を言ってないってことか？」だった
　 それに対して、>>681 岡山大吉野雄二（正確には）の証明を示したところ、>>685「引用されている解答では、正規部分群の定義として「gNg^(-1) ⊂ N　(∀g∈G)」が使われている。」だった
　 最初から最後まで、「N=gNg^-1」 or 「gNg^(-1) ⊂ N　(∀g∈G)」の話だよ

２．そして、数学的帰納法は公理であって定理ではない。共役変換に限定されない
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%9A%84%E5%B8%B0%E7%B4%8D%E6%B3%95
数学的帰納法の形式的な取り扱い
ペアノ算術などの形式な体系では、数学的帰納法を証明に用いてよいことが公理として仮定されるのが普通である。
つまり、形式的には、自然数の性質から数学的帰納法の正しさが証明できるのではなく、逆に自然数の本質的な性質を与える推論規則として数学的帰納法が仮定される、ということになる。

３．数学的帰納法を公理として認めれば、「無限個ある自然数全てに対してP(n) が成り立つ」という数学的帰納法の結論が導かれる。それを単純に、共役変換の場合にも成り立つとすれば良い。
　 任意の位数Nの群について>>726は成り立つ。だから、「無限個ある自然数全てに対してP(n) が成り立つ」
　 （超限帰納法も、ことは単純で、公理系の問題だよ。選択公理と同値な整列可能定理により・・とすれば良いだけ）

４．帰納法を使わない証明：「gNg^(-1) ⊂ N　(∀g∈G)」→「N=gNg^-1」は、そりゃあるだろうよ
　 というか、その話は686の最後とか、出題者さんの725。あるいは、それを少し変形すればできるだろうよ（まだ考えてないが）

５．最後に、”ちなみに数学的帰納法や超限帰納法を使っても「有限の場合に全て成り立つから無限でも成り立つ」ってことにはならない”は、その通りだろう
　 が、それは数学的帰納法の公理から外れる例だろうさ。例えば、785の位相が必要だとか。例えばcard(N)みたく有限と無限で定義が異なるとか

790 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/04/05(日) 06:06:13.48 ID:5o4dQmCs.net

>>789 補足
帰納法を使わない証明：「gNg^(-1) ⊂ N　(∀g∈G)」→「N=gNg^-1」は、出題者さんの725。あるいは、それを少し変形すればできるだろうよ

>>725より引用
ker(f) の正規性を示す。
f(gag^-1)=f(g)f(a)f(g^-1)=f(g)e'f(g)^-1=f(g)f(g)^-1=e' だから、gag^-1∈ker(f) よって、g・ker(f)・g^-1⊂ker(f)
f(g^-1ag)=f(g^-1)f(a)f(g)=f(g)^-1e'f(g)=f(g)^-1f(g)=e' だから、g^-1ag∈ker(f) よって、a=g(g^-1ag)g^-1∈g・ker(f)・g^-1 よって、ker(f)⊂g・ker(f)・g^-1
ゆえに、ker(f)=g・ker(f)・g^-1
（引用おわり）
だったね

ここで、ker(f)→Nに置き換えれば、そのまま証明に使えるだろう
「gNg^(-1) ⊂ N　(∀g∈G)」を仮定し、a∈Nとする。仮定よりg^-1ag∈N
以下で” N⊂gNg^(-1) 　(∀g∈G)”を示す
a=g(g^-1ag)g^-1∈g・N・g^-1 よって、N⊂g・N・g^-1

ゆえに、N=g・N・g^-1 QED

わざわざ、「俺の考えてる>>757の証明では帰納法は特に使わない」というほどのこともない
(なお、繰り返すが>>686の最後に同じことは書いてある)
本質は、共役変換だよ

791 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/04/05(日) 06:34:05.67 ID:5o4dQmCs.net

いいかい
>>686、>>726、>>743が、共役変換の本質なんだ

「gNg^(-1) ⊂ N　(∀g∈G)」→「N=gNg^-1」は、有限群に限れば、ほぼ自明だ（∵gNg^(-1)はNと同型で、何より位数（=card(N))が等しいのだから）
そして、数学的帰納法を公理として認めれば、「無限個ある自然数全てに対してP(n) が成り立つ」という数学的帰納法の結論が導かれる。
だから、「gNg^(-1)はNと同型」を知識として知っていれば、>>681 の岡山大吉野雄二の証明のように、わざわざ逆の包含をいうほどのこともないということなのだろう

なお、試験問題なら、（∵gNg^(-1)はNと同型で、位数（=card(N))が等しいから、有限群に限ればN=gNg^-1が成り立つ。無限群の場合は、数学的帰納法による。）と書くか、>>790みたく ”∵a=g(g^-1ag)g^-1∈g・N・g^-1 よって、N⊂g・N・g^-1”か
時間があるなら、どちらかを書くべきだろう

しかし、数学の学習の理解としては、後者だけでなく前者も必要だよ

792 ：１３２人目の素数さん：2015/04/05(日) 06:53:33.15 ID:X55sT+uM.net

＞だから、数学的帰納法または自然数に関するペアノの公理と同じ理屈で、N→∞とすることができる」に賛同するのか反対するのか？
＞反対するなら、はっきり理由を述べよ
∞∈/Nだからダメ
数学的帰納法の主張は、「n∈Ｎ⇒P(n)は真」であって、「P(∞)は真」ではない。

スレ主は見識が狭い。wikiに書かれていることが全てと思ってる。
（wikiは誰でも編集できてしまうということをお忘れなく）
俺は数学的帰納法が定理として証明されることを知っている。
（その立場では、自然数の公理も不要。必要なのは実数の１７個の公理のみ。）
別に公理にしたければしても構わないが、俺は好かん。公理が少ない体系ほど美しいと思っているから。

793 ：１３２人目の素数さん：2015/04/05(日) 07:54:09.98 ID:X55sT+uM.net

>>778
スレ主さん、超限帰納法を理解できてて言ってる？
（その前に整列定理を理解できてるかも怪しいが）
もし理解できているなら実際に超限帰納法を使って証明してみて

コピペを貼ることと理解できてることは全く違うよ

794 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/04/05(日) 10:37:29.22 ID:5o4dQmCs.net

>>792-793
なかなか出題者さんは、レベルが高いね
あなたのレベルの高さには感心するよ
数学的には、あなたのお説の通りさ

だが、問題の証明レベルなら、>>790に書いたごとく既に>>686で逆の包含を直接示しているので終わっている
もっと言えば、>>681 の岡山大吉野雄二の証明レベルなら、>>440で終わっている（>>442「逆の包含を言ってないってことか？それは問題ない。」だったね）
ただ、そのときの共役に対する理解が浅かったから、>>789-791のような説明が出来なかっただけ（＾＾
「gNg^(-1) ⊂ N　(∀g∈G)」（N＝ker(f)）は440で示したから
後は、私>>686と貴方>>725が書いた”a=g(g^-1ag)g^-1∈g・N・g^-1 ”で終わりだ

この共役変換の１行が全て
この１行は、ker(f) について直接示すもよし、正規部分群Nの定義の同値として示すもよしだ
共役変換の本質は同じだ

だがね、前にも書いたように、”a=g(g^-1ag)g^-1∈g・N・g^-1 ”ですっと流すと、共役変換の本質が見えてないだろうと
共役変換の本質は、集合なら一対一対応であり、群であれば同型なんだよね
そして、その知識があれば、有限群に限れば、「gNg^(-1) ⊂ N　(∀g∈G)」を示した時点で、gNg^(-1) ＝ N　は自明なんだよね
さらに、共役変換の本質を理解していれば、無限群でもほとんど同じだ
それが、私の感性だ

795 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/04/05(日) 11:07:57.88 ID:5o4dQmCs.net

せっかくの出題>>417だったから、あとwell-definedについてまとめておこう
１）どなたかが書いてくれたが>>543「well-defined ほど重要な概念は無いと言っても過言ではない。」
　 「複雑な対象ほど、そのままでは扱えないので、何らかの同値類を取って簡略化した対象にしてから扱うことになる。」と
２）それが、商集合という概念
　 >>566酒井克郎 筑波大学 https://docs.google.com/viewer?a=v&pid=sites&srcid=ZGVmYXVsdGRvbWFpbnxrc2FrYWlpZHRvcG9sb2d5fGd4OjUxMzU4MWE1MDIxM2YxMmQ
　 「商集合の扱いになれ, well-definedness に対する認識を持てるようになることも大切」
　 「何かを定義をする場合, “その定義には矛盾がなく適切か”, 言い換えれば, “矛盾無く適切に定義できているか” が問題となることが多い.
“矛盾無く適切に定義できている” ということを“well-defined” であるという.」
　 「考えている集合が商集合の場合, ある概念を定義するとき, 商集合の元ではなく, その代表元を用いて定義することが少なくない.
　 　この場合の“well-defined” の問題は, “代表元の取り方に依存せずに定義できているかどうか” ということである.」
３）ご存知雪江明彦先生>>550 http://www.math.tohoku.ac.jp/~yukie/report4.pdf
　 「代数では『well-defined』ということがなかなかわかってもらえず苦労するが，この問題はまさに『well-defined』とはどういうことかということを問う問題.
　 　採点してみて，大部分の人がまだ『well-defined』という概念を理解していないことがわかった.」

796 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/04/05(日) 11:28:27.28 ID:5o4dQmCs.net

>>795 つづき
４）well-defined
　 http://ja.wikipedia.org/wiki/Well-defined >>423 抜粋
　 well-defined は、ある概念が数学的あるいは論理学的に特定の条件を公理に用いて定義・導入されるとき、その定義（における公理の組）が自己矛盾をその中に含み持たぬ状態にあることを言い表す修飾語句である。
　 以下の二つが示せたとき、定義が well-defined であるという[1]。
(1) 定義で使われる方法が実際にうまくいく。
(2) 定義がもともとの対象から複数定まる対象を経由して行われる場合、結果がもともとの対象にのみ依存する。
　 http://en.wikipedia.org/wiki/Well-defined
　 In mathematics, an expression is well-defined if it is unambiguous and its objects are independent of their representation. More simply, it means that a mathematical statement is sensible and definite.
　 In particular, a function is well-defined if it gives the same result when the form (the way in which it is presented) is changed but the value of an input is not changed.
５）あと、同値関係と商集合
　 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%90%8C%E5%80%A4%E9%96%A2%E4%BF%82
　 同値関係（どうちかんけい、英: equivalence relation）とは、2 つの対象が "ある意味で" 同じである、あるいは同一視できるという関係を一般化した概念である。
　 ある集合 S において、二項関係 〜 が次の性質を満たすとき、〜 は S の同値関係であるという。
反射律: a 〜 a
対称律: a 〜 b → b 〜 a
推移律: a 〜 b ∧ b 〜 c → a 〜 c
上の3項をまとめて同値律という。〜 が同値関係であるとき、a 〜 b であることを、a と b は同値であると言い表す。
（商集合の説明があるが、省略します。直接URLを開いてください）

797 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/04/05(日) 11:38:28.13 ID:5o4dQmCs.net

>>798 つづき

あと、商集合が定義されたあと、当然ながら演算を定義するんだよね
演算を定義しないと、おもしろくないから（笑い）

そのときに、演算に対してもwell-definedが問題になる
この話は、また機会があればやりたいね

ともかく、>>549
"（コメント）　初めて「Ｗｅｌｌ　Ｄｅｆｉｎｅｄ」に接したときは、「当たり前のことを、何でそんなに仰
　　　　　　々しく述べるの？」という感じだったが、その真意が分かるにつれ、重要性も理解
　　　　　　され当たり前のように「Ｗｅｌｌ　Ｄｅｆｉｎｅｄ」を確認している自分に気がつく。"

"「定義」を見たとき、その定義がwell-definedであるかどうかを気にできるようになったらかなりの上級者である。"
だそうだ（＾＾

798 ：１３２人目の素数さん：2015/04/05(日) 12:04:53.04 ID:jwP/UdlD.net

出題者です。
>>792>>793は出題者は別人です。

＞「gNg^(-1) ⊂ N　(∀g∈G)」を仮定し、a∈Nとする。仮定よりg^-1ag∈N
＞以下で” N⊂gNg^(-1) 　(∀g∈G)”を示す
＞a=g(g^-1ag)g^-1∈g・N・g^-1 よって、N⊂g・N・g^-1
＞
＞ゆえに、N=g・N・g^-1 QED

はい、よくできました。
>>686はなんかそれっぽいことが書いてあるなーと思ったけど
＞また、g^-1(gng^-1)g→nの形から
が意味不明だったし、もう面倒で>>721で終わらせるつもりだったからスルーした。すまない。

数学的説明をせずに本質がどうのうこうの言ってるだけじゃ何も伝わらない。
まずはきちんと数学的な説明を書いて納得させないと。
逆の立場だったらそうだろう？

799 ：１３２人目の素数さん：2015/04/05(日) 12:12:17.84 ID:jwP/UdlD.net

>>722>>723は別人だけど、意見は同じ。
帰納法を使っても無限群に対しては証明できない。
「無限個ある自然数全てに対してP(n) が成り立つ」と自分でも書いてるじゃないか。
∞は自然数でないので対象外。

そもそも帰納法ってのは、
・最小元で成り立つ
・ある元 a に対し、a より小さい全ての元で成り立つなら、a でも成り立つ。
という形の証明だけど、そんな行為一度だってしてない。
「難しく考えすぎ」ってスレ主が帰納法なんて関係ないことを書いたせいだろう。

ちなみに>>725も俺じゃない。ID見れば分かるけど、あなたが貶していたID:/kdxB2Ufさんだよ。

800 ：１３２人目の素数さん：2015/04/05(日) 12:14:51.69 ID:X55sT+uM.net

>>789
命題「群 G の部分群 N と ∀g∈G に対し、N⊂gNg^-1 なら N=gNg^-1」
を超限帰納法を使って証明して下さい。

「超限帰納法も、ことは単純で」と言ったのは君だから、当然できるはずだよね？

＞３．数学的帰納法を公理として認めれば、「無限個ある自然数全てに対してP(n) が成り立つ」という数学的帰納法の結論が導かれる。それを単純に、共役変換の場合にも成り立つとすれば良い。
＞　 任意の位数Nの群について>>726は成り立つ。だから、「無限個ある自然数全てに対してP(n) が成り立つ」
＞　 （超限帰納法も、ことは単純で、公理系の問題だよ。選択公理と同値な整列可能定理により・・とすれば良いだけ）

801 ：１３２人目の素数さん：2015/04/05(日) 13:14:18.60 ID:CBD9FLtF.net

>>800
自然数の場合の帰納法、整列性の概念すらちゃんと分かってないやつに出来るわけないだろw

802 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/04/05(日) 14:11:36.46 ID:5o4dQmCs.net

>>798-800
出題者さん、ども
次から新スレへ行きましょう

皆さん、ほんとレベルが高いね。感心するよ
論点整理をしよう
１．まず確認だが、>>794で有限群の場合は良いんだよね？
　 「gNg^(-1) ⊂ N　(∀g∈G)」→「N=gNg^-1」が、共役変換の本質：「集合なら一対一対応であり、群であれば同型」から従う
２．無限群についても、共役変換の本質から”a=g(g^-1ag)g^-1∈g・N・g^-1 ”で終わりだと。
３．共役変換の本質から”a=g(g^-1ag)g^-1∈g・N・g^-1 ”を使って、”ker(f) について直接示すもよし、正規部分群Nの定義の同値として示すもよし”だ
４．だから、>>417の問題(1) は、>>681 の岡山大吉野雄二の証明レベルで可だ。
５．それは>>440で終わっている（>>442「逆の包含を言ってないってことか？それは問題ない。」だったね）
６．但し、「N=gNg^-1」を使ったから、逆の包含についての説明か証明が必要だということになった。
　 それも既に>>686で逆の包含を直接示しているので終わっている
７．だから、数学的帰納法を持ち出して混乱させたが、>>417の問題(1) は既に終わっているし、共役変換の本質の理解と説明も間違っちゃいないだろ
８．但し、数学的帰納法と超限帰納法については、意見が一致していない

数学的帰納法と超限帰納法については、新スレ（下記）でやろう
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む13
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1428205549/

803 ：１３２人目の素数さん：2015/04/07(火) 12:29:50.69 ID:Z+g58olw.net

本格的にトンデモに育ってきたなw

804 ：１３２人目の素数さん：2015/04/07(火) 12:34:21.90 ID:Z+g58olw.net

本当のゼミで凹まされて育った数学科の猛者から見たら笑止千万すぎるもんな威張りながら教わろうとはｗ

805 ：１３２人目の素数さん：2015/04/07(火) 13:44:50.66 ID:NwxyNtnn.net

何を言う。
スレ主は王道を行っとる。
金払って威張り散らす腐れ教員に頭を下げるなど以ての外。
金払をもらったのならその分働け。
分かるように学生様に分かりやすく説明しろ。
教えたく無いなら、教える必要のない研究職につけ怠け教員。

806 ：１３２人目の素数さん：2015/04/09(木) 03:29:10.96 ID:nTN786wm.net

国公立の学生は国民納税者に学費を税金経由でたかって学問収めさせてもらってる乞食なのだから国民納税者にひざまずけ

807 ：１３２人目の素数さん：2015/04/09(木) 19:03:28.26 ID:K8KMCiFa.net

べき根で表せない解って具体的にどんな形をしてるの？
三角関数がうにょうにょした感じってイメージであってる？

808 ：１３２人目の素数さん：2015/04/09(木) 19:16:05.14 ID:sC/9Vs45.net

それは超越解では

809 ：１３２人目の素数さん：2015/04/09(木) 23:20:27.82 ID:+fXi7TzJ.net

テータ函数使えば，任意の代数方程式の解は書けるから
「三角関数がうにょうにょした感じ」でイメージはあってるなｗ

810 ：１３２人目の素数さん：2015/04/10(金) 06:30:24.58 ID:8XLHEbVF.net

>>804
数学科の猛者を自称する幼稚園のすうがく組？
「上から目線、上から目線。あいつやっつようぜ。よし、おまえ行け」

811 ：１３２人目の素数さん：2015/04/10(金) 08:43:13.70 ID:OjdOUtND.net

幼稚園にも上がれない大きな赤ん坊がスレを立ててるのを見るとなあw

812 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/04/10(金) 23:19:06.58 ID:PTxulp5P.net

どうも。スレ主です。

813 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/04/10(金) 23:22:27.04 ID:PTxulp5P.net

>>803-811
ご高説ありがとう
では、問題だ。>>517をお願いします。
本当のゼミで凹まされて育った数学科の猛者さまですか
さぞかし簡単でしょうね（笑い）

814 ：１３２人目の素数さん：2015/04/10(金) 23:39:35.28 ID:OjdOUtND.net

だいたい基礎論持ってくる事態がお門違いというか。トンデモって基礎論大好きだからな

815 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/04/11(土) 05:48:25.41 ID:pLE9DoNh.net

どうも。スレ主です。
別に証明しろとは言っていない
「どう思いますか？」と、君の数学的センスを聞いているんだよ（笑い）

816 ：１３２人目の素数さん：2015/04/11(土) 17:11:54.27 ID:osSnm/+q.net

基礎論厨の人の発言が「数学業界では環とか体なんていう超難解な概念が頻出するんだけど」

そしてこのスレ主である。基礎論はなんか真面目にやってても不真面目なのがやっててもアレだなあ。

817 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/04/12(日) 19:30:25.15 ID:IFDb2ZM+.net

どう思うと聞いているだけなんだけどね
だが、それに答えると、てめえの数学レベルがばれる

そういう仕掛け
ただそれだけだ

基礎論もくそも
無関係だよ

818 ：１３２人目の素数さん：2015/04/13(月) 03:16:04.52 ID:JBpqW1sO.net

低レベルが激おこかw
まあ、うんこ同士仲良くしろやwww