現代数学の系譜11 ガロア理論を読む12

1 ：１３２人目の素数さん：2015/02/15(日) 08:46:03.29 ID:wOLNHI5U.net

旧スレが500KBオーバーに近づいたので、新スレ立てる
このスレはガロア原論文を読むためおよび関連する話題を楽しむスレです
（最近は、スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。ガロア関連のアーカイブの役も期待して。）
過去スレ
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む11
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1420001500/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む10
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1411454303/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む9
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1408235017/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む8
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1364681707/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む7
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1349469460/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む6
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1342356874/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む5
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1338016432/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む(4)
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1335598642/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む3
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1334319436/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む2
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1331903075/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1328016756/

（古いものは、そのままクリックで過去ログが読める。また、ネットで検索すると、無料の過去ログ倉庫やキャッシュがヒットして過去ログ結構読めます。）

650 ：１３２人目の素数さん：2015/03/22(日) 17:48:38.76 ID:1qc6c5xt.net

>>648

「わたしは、高校数学の問題を解いている予備校講師らしき研究者崩れの人間に、
　何度も何度も自分の証明を手取り足取り添削されてやっと正解に辿り着くことが出来ました」

と言っているようにしか見えないのだが、新しい自虐ネタのつもりかね？

お前の証明モドキを添削してたのは俺だが、高校数学の問題を解いているとはどういうことか？
俺は高校数学関連のスレには顔を出していない。

添削される筋合いなど無いというが、今まで散々間違えまくったザコのお前が言えたセリフではない。
一発で正しい解答が提示できていれば、他人の添削が入る隙など生じないのであり、
全てはお前の力不足が原因である(>>544で自覚しているようだが)。
お前自身、「自己査読していないことは自覚している(>>360)」とコメントしているように、
そのような いい加減な態度に甘んじていること自体が既にお話にならない。
他人の添削が入るのも当然の成り行きである。

数学で一番恐ろしいのは、自分の間違いにずっと気づかないことである。
俺が手取り足取りお前の証明モドキを添削しなければ、
お前は間違った証明をいつまでも正しい証明だと勘違いしたままだったことになる。
俺に感謝する必要は微塵も無いが、だからといって「添削される筋合いなど無い」なんて
クズもいいところだろう。今まで散々間違えまくったお前が言えたセリフではない。

やっと正解まで漕ぎ着けた>>512-514でさえ、なぜ上手くいったのか、
その正確な理由をお前は把握しておらず、正確な理由は俺が>>516で指摘したのである。
お前のレベルの低さがよく分かるだろう。

651 ：１３２人目の素数さん：2015/03/22(日) 17:51:56.91 ID:UuL3oCxD.net

お前は馬鹿くんと後藤おじさんってすごく仲良いよね

652 ：１３２人目の素数さん：2015/03/22(日) 18:04:35.04 ID:1qc6c5xt.net

>>648
さて、お前は>>545で
＞いや、オイラー数は確実に無理数ではあるよ。
と言っているが、そのオイラー数が

ttp://ja.wikipedia.org/wiki/オイラーの定数

のことを指しているのなら、それはまだ未解決問題だったはず。
もし本当に無理数であることが証明できているなら、さっさと論文にして
どこかの雑誌に投稿すべきである(もちろん、このスレに証明を書く必要はない)。

ま、どうせ「証明を間違えている」のがオチだろうがね。
いい機会だから、本気でその証明を検証してみたまえ。
どうせ間違いが見つかるよ。

653 ：１３２人目の素数さん：2015/03/23(月) 02:57:08.62 ID:B+4Lwrme.net

>>650
>お前の証明モドキを添削してたのは俺だが、高校数学の問題を解いているとはどういうことか？
>俺は高校数学関連のスレには顔を出していない。
おいおい、2015年3月12日に
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1423129012/
で

＞924 ：１３２人目の素数さん：2015/03/12(木) 13:16:42.03 ID:Mah1XYlY
＞>920(スレ利用者のため、ここはそう書く)
＞たとえば、ペアノの公理系はどのくらい「真理とはほど遠い」のかね。

とか(続き)

654 ：１３２人目の素数さん：2015/03/23(月) 03:10:14.67 ID:B+4Lwrme.net

>>650
(続き)

＞931 ：１３２人目の素数さん：2015/03/12(木) 15:49:35.35 ID:Mah1XYlY
＞>928(同様)
＞ユークリッド幾何学の何を証明するの？
＞「ユークリッド幾何学を証明する」では日本語になってないよ。
＞あと、それ以前の問題として、ペアノの公理系が
＞ユークリッド幾何学の何らかの対象を証明可能でなければならない理由は何？
＞
＞お前は「真理とはほど遠い」とほざいたんだぞ。それはすなわち、
＞
＞「とても真理とは呼べないシロモノが紛れ込んでいる」
＞
＞ってことだろ？
＞で、ペアノの公理系の場合は何が該当するの？
＞何が真理からほど遠いの？
＞俺はそれを聞いているわけだが、どうしてそこで
＞
＞「ユークリッド幾何学の何らかの対象を証明できなければならない」
＞
＞というトンチンカンな方向に行くわけ？
＞それとも、ユークリッド幾何学の何らかの対象を証明できなければ
＞真理とは呼べないわけ？だったら、なんでそこでユークリッド幾何学が中心に来てるの？
＞
＞そもそも、お前の言う真理って何？お前バカなの？

って書いてあるだろw
このスレの>>510-511のID:Mah1XYlYと見事に一致しているじゃないかw
違う人物が書いた可能性は低く、高校数学関連のスレに顔を出した可能性が高いぞ。

655 ：１３２人目の素数さん：2015/03/23(月) 03:36:52.28 ID:B+4Lwrme.net

>>652
己の能力不足を意識しており、投稿したその後のことが見えているので、
まだする気はない。或る程度、力が付いたと意識出来たらする。
他の定理も証明したりしているが、>>411を見たとき、もしかして
一瞬あの人かと思ったが>>477を見る限りでは必ずしもそのような即断は出来んな。

656 ：１３２人目の素数さん：2015/03/23(月) 03:58:46.51 ID:B+4Lwrme.net

>>650
あとさ、高校スレ見て見たが、
>＞ユークリッド幾何学の何を証明するの？
>＞「ユークリッド幾何学を証明する」では日本語になってないよ。
ってユークリッド幾何を知っているなら、
これ位「ユークリッド幾何学(の命題或いは定理)を証明する」って訂正して
>ユークリッド幾何学の命題或いは定理を証明するの間違いだろ。
とか書いて読めよw　これだと、場合によっては、
どこまで融通が利かないバカなんだと思われかねないぞ。
>>357で「センスなさすぎ。」とか「算数も出来てないじゃないか。」を
読む限りでは、外国行ったことあるのか否か少し疑わしいな。

657 ：１３２人目の素数さん：2015/03/23(月) 19:07:13.66 ID:yKyf3WgZ.net

>>653
それは確かに俺のレスである。
アホな書き込みにレスした記憶があるが、高校スレだったようだな。

高校スレに通うような習慣は本当に無いのだが、調べてみると、
922がageになっていて、その後に俺の924があることから、
高校スレが2chの先頭付近にあったときにたまたま見かけてレスしたのだろう。

>>655
なるほど、他人を勝手に
"高校数学の問題を解いている予備校講師らしき研究者崩れの人間"
という人物像にでっち上げておきながら、
当のお前は論文の1つや2つも書けないわけか。カスだな。

人物像といえば、このスレでは「後藤さん」とか「おっちゃん」といった
書き込みを目にするが、俺はお前のことを「おっちゃん」と呼んだことは一度もないし、
「後藤」という名前も意味が分からない。お前は数学板では有名人なのか？

>>656
＞>>357で「センスなさすぎ。」とか「算数も出来てないじゃないか。」を
＞読む限りでは、外国行ったことあるのか否か少し疑わしいな。
意味不明。それらのレスと「外国」に何の関係があるのか？
というか、外国に行ったことがある・ないという話そのものが意味不明。
外国に行けばお前のような低レベルの人間が出来上がるという自虐ネタかね？

658 ：１３２人目の素数さん：2015/03/24(火) 13:12:36.36 ID:1hB1LM4o.net

>>657
>＞>>357で「センスなさすぎ。」とか「算数も出来てないじゃないか。」を
>＞読む限りでは、外国行ったことあるのか否か少し疑わしいな。
>意味不明。それらのレスと「外国」に何の関係があるのか？
>というか、外国に行ったことがある・ないという話そのものが意味不明。
仮にお前さんが数学関係で外国に行ったことがあったとしよう。
外国だと、国によっては日本のように全員が全員高度な教育を受けている訳ではなくなる。
数学研究のレベルは高いが、九九が出来ない人が多いような国もある。
すると、同じ国に何ヶ月も滞在していれば、通常は滞在先の国の社会事情が分かる筈である。
国民全員が受ける教育は、その社会事情に長期的に影響して来る営みである。
また、最近のヨーロッパだと、多くの国の面積が狭く違う国の人が行きかうことが多い。
なので、外国の社会事情が分からないということは、何を意味するかというと、
お前さんは、少なくとも、数学研究のレベルが高く九九が出来ない人が多い国に
長期滞在したことはないということになる。このような国は、例えばアメリカ、ドイツなどがある。
また、同時にアメリカやドイツなど多くの外国の国民の教育事情を知らないことも意味している。
更に、最近ヨーロッパの国に長期滞在したこともないことを意味する。
お前さんは、アメリカやドイツに長期滞在したことはない筈である。
同時に、アメリカやドイツなど多くの外国の国民の教育事情を知らない筈である。
更に、最近ヨーロッパの国に長期滞在したこともない筈である。少なくとも、そのような憶測は出来る。
ちなみに、センスという言葉を嫌っているかのように見える偉大な数学者はいるぞ。

659 ：１３２人目の素数さん：2015/03/24(火) 13:55:25.90 ID:1hB1LM4o.net

>>657
＞>>655
＞なるほど、他人を勝手に
＞"高校数学の問題を解いている予備校講師らしき研究者崩れの人間"
＞という人物像にでっち上げておきながら、
＞当のお前は論文の1つや2つも書けないわけか。カスだな。
悪いが、私は、数学科を卒業した訳ではなく数学関係の院に行った訳でもない。
なので、学習から論文に至るまですべて自前(これが当然か)であり、最初はテキストか他人のマネするなりして
書き方などのお勉強が或る程度必要になる。また、書かんとする論文の内容の割には知識不足である。
私がその先やらんとすることの構想があるが、具体的な方法がまだ思い付かず、理論展開せんとする
ことの論理の概要も把握出来ないままである。そのために試行錯誤している段階である。
紙に鉛筆で日本語で書いた論文でいいなら、すぐ書いてあげよう。

分野にもよるが、ザコ論文を量産して沢山書いても仕方ないだろ。
分野にもよるが、こういう論文は、やがてはすぐど〜でもいい論文になることもある。

上から目線は、ご立派だね。

660 ：１３２人目の素数さん：2015/03/24(火) 14:13:30.59 ID:1hB1LM4o.net

>>657
いや、もしすぐ書いてほしいなら、個人的には
出来れば書き慣れている広告の裏の方がいいな。
レポート用紙も片面だけ使うことになって何気に高いしな。

661 ：１３２人目の素数さん：2015/03/24(火) 19:20:31.44 ID:cnH8MjjN.net

>>658
何言ってるんだコイツ。たとえば、ここが

「数学研究のレベルは高いが、九九が出来ない人が多いような国」

であったとしよう。その国においても、俺の書いたことはそのまま通用する。
九九すら出来ていない人間に対して、その本人に向かって
「算数も出来てないじゃないか」とコメントを入れることは、
それがどの国であろうと正しい主張である。もちろん、

「ああ、この人にはやむを得ない事情があって、九九が出来ないんだな」

などと気を利かせて、"言葉を選ばなければならない" ような場面は存在するであろう。
だがしかし、今回はそのような場面には　該　当　し　な　い　。
なぜなら、この話題はお前が持ち出したものだからだ。
お前が問題を出題し、お前が周回遅れで自分の証明を提出し、
しかもその証明は間違いだらけで、俺が手取り足取り添削していたのである。
そのような場面で「算数も出来てないじゃないか」とコメントを入れることは、
ここがたとえ外国であったとしても、何ら問題のある発言ではない。
単にお前が自縛しただけの話であり、お前の自業自得である。
しかも、ここは実際には外国ではなく、 日　本　なのだ。

見苦しい言い訳に労力を使うより、少しは数学の力量を上げることだな。

662 ：１３２人目の素数さん：2015/03/24(火) 19:26:17.14 ID:cnH8MjjN.net

>>659
俺がお前のことを「カス」と呼んだのは、お前が論文の1つや2つ書けないからではない。
他人を勝手にワケの分からない人物像に仕立て上げておきながら、
当のお前が論文の1つや2つ書けないというダブルスタンダードに陥っているからこそ、
「カス」と呼んだのである。つまり、お前の人間性が「カス」だからカスと呼んだのである。

＞分野にもよるが、ザコ論文を量産して沢山書いても仕方ないだろ。
＞分野にもよるが、こういう論文は、やがてはすぐど〜でもいい論文になることもある。

俺をそのような人物像に仕立て上げたところで、お前には何のメリットもなく、

「わたしは、ザコ論文を量産している人間に、
　何度も何度も自分の証明を手取り足取り添削されてやっと正解に辿り着くことが出来ました」

と言っていることになるのだが、自虐ネタのつもりかね？

>>660
新しい結果は安易に他人に見せるものではない。しかもここは2chである。
>>652でも書いたとおり、

＞どこかの雑誌に投稿すべきである(もちろん、このスレに証明を書く必要はない)。

が俺のスタンスである。
ただし、お前に限って言えば、お前が発見したことは「証明が間違っている」か、
もしくは「正しいけど自明すぎて下らない」かのどちらかであろう。
ま、好きにしたまえ。俺はお前に対して何も要求しない。お前が勝手に決めることである。

663 ：１３２人目の素数さん：2015/03/25(水) 08:26:38.63 ID:Wk7vQsS5.net

>>662
>俺がお前のことを「カス」と呼んだのは、お前が論文の1つや2つ書けないからではない。
>他人を勝手にワケの分からない人物像に仕立て上げておきながら、
>当のお前が論文の1つや2つ書けないというダブルスタンダードに陥っているからこそ、
>「カス」と呼んだのである。つまり、お前の人間性が「カス」だからカスと呼んだのである。
行動や考え方における一貫性の有無と、人間性が同じか？　といったら別だな。
両者は他人から見たときに感じる点や他人との関係から生じる点では共通しているが、
人間性を判断するときに考える点は、行動や考え方における一貫性の有無だけに限らないだろ。
人間性の判断には親切か否かとかも関係して来るぞ。批判するなら、
私の能力の低さや行動や考え方における一貫性の有無で批判するのが正しい批判になるのだ。
今回は私を「バカ」とか「行動や考え方に一貫性がない」と批判しないといけないのだ。
まあ、ダブルスタンダードに陥っていることは指摘しているが、人間性までは批判していけないのだ。

664 ：１３２人目の素数さん：2015/03/25(水) 08:49:27.12 ID:Wk7vQsS5.net

>>662
>＞分野にもよるが、ザコ論文を量産して沢山書いても仕方ないだろ。
>＞分野にもよるが、こういう論文は、やがてはすぐど〜でもいい論文になることもある。
>
>俺をそのような人物像に仕立て上げたところで、お前には何のメリットもなく、
>
>「わたしは、ザコ論文を量産している人間に、
>何度も何度も自分の証明を手取り足取り添削されてやっと正解に辿り着くことが出来ました」
>
>と言っていることになるのだが、自虐ネタのつもりかね？
私がやらんとしていることを正確に把握せず、そういうことを書くのは即断になる。
ところで無理数度って分かるよな？　代数的数の無理数度は2で
条件を満たしており、私が証明した定理の証明を見ると、今のところ
論理の飛躍はあったが間違いはないらしいのだ。まあ、お勉強と同時に、暫く精査するけどさ。
あと、アペリー数とかいうζ(3)の無理数度は5より大きく確実に超越数になる。
それでもいまだ、やらんとしていることの理論展開の論理の概要を把握出来ない。

665 ：１３２人目の素数さん：2015/03/25(水) 12:54:00.99 ID:Wk7vQsS5.net

>>662
まあ、今度から、お前さんの私に対する侮蔑とも読み取れる書き込みは無視することにするよ。
お前さんが誰だか知らんけど、毎回毎回相手して、場合によっては人間関係をもつれさせかねない
行為をしていても単なる時間のムダになって仕方ない。こんなこといつまでもしていても、意味がない。
お前さんが、私に対して「クズ」とか「カス」とか書いて、侮蔑したければ自由にしていい。
まあ、このスレではじめに現れたとも読み取れる>>236の時点から「ザコ」とか書いていましたけど。
前スレでも「消えろ」とか書いていた人かも知れませんけど。もう、ど〜でもいいと思えて来た。

666 ：１３２人目の素数さん：2015/03/25(水) 19:48:30.57 ID:TPK5GFGN.net

>>664
＞アペリー数とかいうζ(3)の無理数度は5より大きく確実に超越数になる。
を証明して下さい。無理ならソース提示でもいいです。

667 ：１３２人目の素数さん：2015/03/25(水) 23:00:10.08 ID:wofUfiHt.net

ホラ見ろ何も言い返せないし矛盾も突けない。ザマアｗ
俺が初っ端ユニーク特定の話をした理由が理解できたかな？
トリ？俺はいつでもできるよ？
お前は逃げるだけでできないだろｗ豚。

668 ：１３２人目の素数さん：2015/03/25(水) 23:05:58.10 ID:wofUfiHt.net

すべての反論を封じる（聞き耳を持たない）メタ書込みって便利だなｗ
前後の流れと何ら整合してなくても優位そうに見える

数論レスに貼ってみた　ｗ
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1423957563/667-

669 ：１３２人目の素数さん：2015/03/26(木) 19:28:45.47 ID:SnmuXk2f.net

>>667-668
ID:Wk7vQsS5とID:wofUfiHtで違うIDになっているが、同一人物なのか？

何を一人相撲とってるのか知らんが、昨日は俺は何も書き込んでいない。
なぜなら、お前は>>665で今回のやりとりを打ち切ったからだ。
俺の方から更に反論レスを書いても、くだらない火種が増えるだけで、
意味がないだろうと判断した。また、お前は

＞こんなこといつまでもしていても、意味がない。

このような発言もしている。これについては俺も同意で、
もはや数学とは関係のない下らない話題の応酬になりつつあって意味が無い。
そんなわけで、お前の>>665も踏まえつつ、昨日は俺は何も書き込んでいない。
当然、>>666は俺の書き込みではない。

俺のスタンスは既に書いたとおりであり、
お前の "結果" について、俺はお前に何も要求しない。
どこに公表するかはお前が決めることである。

670 ：１３２人目の素数さん：2015/03/27(金) 01:32:49.50 ID:ajil3vhY.net

専門板特有のネチっこいレスバトルやめようよ

671 ：１３２人目の素数さん：2015/03/27(金) 13:50:02.68 ID:hIe5JFek.net

私は>>665を書いた、2015/03/25(水)のID:Wk7vQsS5に当たる者だが、昨日は何も書いていない。
>>669が>>666を書いていないのなら、何故一々>>669の内容を書いたのか理解に苦しむ。
本当に喧嘩っ早いというか、無意味な火種のきっかけを引き起こす人だな。

672 ：１３２人目の素数さん：2015/03/27(金) 13:57:36.79 ID:hIe5JFek.net

2015/03/25(水)におけるID:Wk7vQsS5とID:wofUfiHtは違う人物な。
>>671の1行目の「昨日は何も書いていない。」は「3月25日の最後の書き込みは>>665である。」の間違い。

673 ：１３２人目の素数さん：2015/03/27(金) 14:38:56.26 ID:hIe5JFek.net

>>666
無理数度の定義から、ζ(3)の無理数度は5より大きいことから
|ζ(3)−q/p|＜1/p^5なる有理数q/p＞0(p、q≧1)は可算無限個存在する。
よって、リュービルの定理からζ(3)が代数的数なら、或るn≧6なる自然数nが存在して
ζ(3)＞0から、ζ(3)に対して或るc＞0が定まって任意の有理数q/p＞0(p、q≧1)に対して
|ζ(3)−q/p|＞c/p^nが成り立つことになる。しかし、素数は可算無限個存在するから
pが素数になるように既約な有理数q/p＞0(p、q≧1)を選んで考えると、矛盾が生じることが分かるんです。
これは、一応証明出来てはいます。あとは論文か何かにするだけです。
こういうことを英語で正確にまだ書けず、先の話になるでしょうけど。
日本語で書いた論文が通じればいいんですけどね。

674 ：１３２人目の素数さん：2015/03/27(金) 15:01:20.02 ID:5phJUuND.net

トンデモ

675 ：１３２人目の素数さん：2015/03/27(金) 15:18:16.06 ID:hIe5JFek.net

>>674
数学的に正確な証明をここに書く訳がないだろw
>>673は大筋を書いた啓蒙書に似た文章だよ。
勿論、肝心な部分は伏せて書いているけどね。

676 ：１３２人目の素数さん：2015/03/27(金) 18:36:15.38 ID:iBPn9q5A.net

>>675
禿藁

677 ：１３２人目の素数さん：2015/03/27(金) 18:43:35.30 ID:FWFLu9l6.net

その日本語で書いた論文（）が日本人にも通じないに全部

678 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/27(金) 22:31:16.46 ID:03I7UyLR.net

どうも。スレ主です。
お久しぶりですね
知らないうちに盛り上がっていますね
良いことですね

679 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/28(土) 06:11:13.69 ID:XpA6GK50.net

>>647
パーチクリン連呼くんかね？　最近声が小さいね
だれが見ても、一番分かっていないのは君だろう

>>517の問題は解けたか？　また、来週も君の泣き顔が見られそうだな（ >>584）だったが
解けたか（笑い）517の問題で１年くらい君を叩けそうだな（高笑）
一月で解けなければ、百年経っても解けまい（笑い）

517の問題再録
「ゼロを除く複素数の成す乗法群の集合は、連続濃度の”べきの濃度”を持つ」は正しいか否か
理由を付して述べよ

予備知識ほとんど不要。必要なのは数学的思考力のみ。証明は求めてはいない。君には無理だから
だが、何かを述べれば、君の数学レベルが丸わかりになるだろうな・・、低レベルが・・（高笑）

680 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/28(土) 06:16:26.98 ID:XpA6GK50.net

>>648
おっちゃん、どうも。スレ主です。
後藤おじさんと呼ばれているのかね？>>651

それはともかく、良い問題を出してくれたね。ありがとう
ちょっとひねったら、雑魚を叩くのに、良い問題が出来たよ>>679

681 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/28(土) 06:22:35.19 ID:XpA6GK50.net

>>641-645
この問題は面白いが、あまり長くやっても仕方ない
岡山大吉野雄二教授に登場願おう（下記）

http://www.math.okayama-u.ac.jp/~yoshino/JapaneseIndex.html
吉野雄二ホームページ 岡山大学理学部数学科

http://www.math.okayama-u.ac.jp/~yoshino/oldlectures.html
２０１１年度前期｢代数基礎A演習」
演習問題 http://www.math.okayama-u.ac.jp/~yoshino/pdffiles/alg2.pdf
演習問題・解答編（TAの青影一哉，飯間圭一郎の両君の作成による）　ただし現在は利用不可です。

が、なぜか（解答編）下記が検索ヒットし、抜粋する
http://www.math.okayama-u.ac.jp/~yoshino/pdffiles/answeralg2.pdf
第1章群の基礎（解答編）
1.6 準同型定理
「準同型定理の基本形」
・ f : G → G' が群の全射準同型写像であるとき、H = Ker(f) と置くと、H はG の正規部分群で、fは自然な同型写像f~ : G/H → G' を導く。
（任意の[x] ∈ G/H に対して、f~([x]) = f(x) と定義される。）

問題1.6.1 「準同型定理の基本形」を証明せよ。
(証明) (1) H が正規部分群であることを証明する.
任意のa, b ∈ H に対して, f(ab) = f(a)f(b) = e' によりab ∈ H を充たす. よってH はG の部分群である.
任意のx ∈ G とy ∈ H に対して, f(xyx^-1) = f(x)f(y)f(x)^-1 = f(x)e'f(x)^-1 = e' により, H はGの正規部分群である.
(2) f~ : G/H → G' がwell-defined な写像であることを証明する.
(以下略)

682 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/28(土) 06:58:50.68 ID:XpA6GK50.net

>>681 つづき
元の問題を再録しておく>>417 (1)
G,G' を群とし、f:G→G' を準同型写像とする。
f の核 Ker(f) が G の正規部分群であることを示せ。
なお f の核とは、G' の単位元を e' としたときの
集合 {g∈G | f(g)=e'} のことである。
(引用おわり)

これは、吉野雄二教授 ２０１１年度前期｢代数基礎A演習」
”問題1.6.1 「準同型定理の基本形」を証明せよ。 ”の前半と同じだ

そして、解答編（TAの青影一哉，飯間圭一郎の両君の作成による）の(証明) (1) は
私が書いた>>436-443とほぼ同じだ

解答編の「任意のx ∈ G とy ∈ H に対して」の部分は、>>452-456で書いた
だから、解答編の証明と同じことは、>>436-456で尽くされている

が、>>640"俺(>>417出題者)の見解"、”残る部分は逆の包含、すなわち「g・Ker(f)・g^(-1) ⊃ Ker(f)」の証明。 ”だと
ここは、吉野の解答編とはマッチしていない

が、それは是としよう。「”自明”とされることでも、きちんと証明すべき」が、大学の数学だから
（そこの疑問をつっこんでくるのは、レベルが高いと思うよ）
なので、>>641-642を示した

683 ：１３２人目の素数さん：2015/03/28(土) 09:52:00.73 ID:oUv7+bkp.net

>>680
私の出題した問題をよいといってくれたか。
それは、よかったよかった。

>>677
当たり前。肝心なところを伏せて、啓蒙書の雰囲気を出して書いたのだ。
まあ、「リュービルの定理からζ(3)が代数的数なら」は
「ζ(3)が代数的数なら、リュービルの定理から」と書くべきだろうけどな。

684 ：１３２人目の素数さん：2015/03/28(土) 10:54:06.56 ID:/kdxB2Uf.net

>>673
＞ζ(3)の無理数度は5より大きい
これを証明して下さい

685 ：１３２人目の素数さん：2015/03/28(土) 10:54:33.39 ID:lzbB148z.net

>>681-682
>>681で引用されている解答では、正規部分群の定義として「gNg^(-1) ⊂ N　(∀g∈G)」が使われている。
これは実は「gNg^(-1) = N　(∀g∈G)」と同値。（自明ではない）
この知識を前提とすれば>>681の解答で十分となる。
>>440もこれを前提としていると勘違いして一旦良しとしたが、そうではないようだったので取り下げた。
（ここら辺の話は終わってからするつもりだった。）
ちなみに、>>681の上から２番目のリンク先の「群の基礎」にも（証明なしで）書いてある。

そして、他の方が言ってくれている通り、>>641-642では逆の包含の証明になっていない。
g・Ker(f)・g^(-1) ⊃ Ker(f)　を証明するんだから、
「n ∈ Ker(f) とする」から始めて「gng^(-1) ∈ Ker(f)である」を得るだけでいいのにどうして別のことをするのか。

686 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/28(土) 10:58:56.92 ID:XpA6GK50.net

>>682 つづき
それで、>>641でしめしたのは、「逆の包含、すなわち「g・Ker(f)・g^(-1) ⊃ Ker(f)」の証明」をちょっと変形した

少し説明すると、集合N'= {gng^-1 | n∈Ker(f), g∈G } として
641の２と３で、card(N')=card(Ker(f))(∵ gn1g^-1≠gn2g^-1→n1≠n2が言える（なお、逆も同様）)を示した
これと、１のg・Ker(f)・g^(-1) ⊂ Ker(f) から「N=gNg^-1」が成り立つと
（有限群に限って分かり易く説明すれば、集合N'とKer(f)との要素の個数が同数で、g・Ker(f)・g^(-1) ⊂ Ker(f) だから「N=gNg^-1」だと）

逆の包含を使うより、共役の性質（一対一対応）を強く使う方が本質だろうと思ったからだ

もう少し丁寧に書けば
写像f^-1:N'→Ker(f) （gng^-1→n）が単射（∵ n1＝n2→gn1g^-1＝gn2g^-1）が容易に言える
（なお、gの逆元を使う共役変換を考え、写像f^-1:g^-1(gng^-1)g→n とすれば分かり易いだろう）

また、g^-1(gng^-1)g→nの形から、n=g^-1(gng^-1)g つまり、g'=g^-1と書けば、n=g'(g'^-1 n g')g'^-1と書けて
g・Ker(f)・g^(-1) ⊂ Ker(f) を示しているから、g'^-1ng'∈Ker(f)
従って、n=g'(g'^-1ng')g'^-1∈N'として、逆の包含も直接示せる。が、かえって回りくどくて本質が見えないだろうと思った

687 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/28(土) 11:20:22.29 ID:XpA6GK50.net

>>685
どうも。スレ主です。
>>417の出題者だね。なかなか面白かった
君はレベルが高いね

>正規部分群の定義として「gNg^(-1) ⊂ N　(∀g∈G)」が使われている。
>これは実は「gNg^(-1) = N　(∀g∈G)」と同値。（自明ではない）

うん、その話は、wikipediaにもある（下記）
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E8%A6%8F%E9%83%A8%E5%88%86%E7%BE%A4
正規部分群
群 G の部分群 N が正規部分群であるとは、共役変換（英語版）によって不変、すなわち N の任意の元 n と G の任意の元 g に対して、元 gng?1 が再び N に属するときにいう。
任意の部分群について、以下の条件はいずれも今上げた正規性の条件に同値である。このため、これらの条件のどれかを正規部分群の定義としてもよい。
・G の任意の元 g に対して gNg?1 ⊆ N が成り立つ。
・G の任意の元 g に対して gNg?1 = N が成り立つ。
・G における H を法とする左剰余類全体の成す集合と右剰余類全体の成す集合とが一致する。
・G の任意の元 g に対して gN = Ng が成立する。
・N は G の共役類の和集合である。
・G 上定義された群準同型で N をその核に持つものが存在する。

最後の条件は正規部分群の重要性の一端を示すもので、ある群の上で定義される準同型写像全体の内部的に分類する方法を与えている。
（引用おわり）

「（自明ではない）」が、>>686に書いたように共役変換の性質から従うのだろうね

688 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/28(土) 11:39:11.82 ID:XpA6GK50.net

>>685 つづき
>g・Ker(f)・g^(-1) ⊃ Ker(f)　を証明するんだから、
>「n ∈ Ker(f) とする」から始めて「gng^(-1) ∈ Ker(f)である」を得るだけでいいのにどうして別のことをするのか。

その理由は、>>686に書いた通りだ

"・G の任意の元 g に対して gNg-1 ⊆ N が成り立つ。
・G の任意の元 g に対して gNg-1 = N が成り立つ。"
の差ね。

さすがに、プロ（数学者）の卵だね。さすがに大学の数学だ（大学への数学ではなく）
実は、正規部分群ではなく、その下位の共役変換がいまいち深く理解できていなかったんだ

「gNg-1の形がなんだかなー」と。でも、今回の問題を解く過程で良く分かったよ
gNg-1だけ見ていても分からない。「(gag-1)*(gbg-1)＝g(a*b)g-1」と積の形を考えると、本質が見えてくる
gn1g^-1＝gn2g^-1→n1＝n2 も（またその逆。また不等号についても成り立つ）
なので、群の共役変換"gNg^(-1)"が、積の形を保存して、一対一対応（well defined 性）など、良い性質を持っている特別の形なんだーと

689 ：１３２人目の素数さん：2015/03/28(土) 11:56:12.88 ID:lzbB148z.net

>>685は間違えた。
「n ∈ Ker(f) とする」から始めて「n ∈ g・Ker(f)・g^(-1)である」を得る
だった。

>>686
集合A,Bに対して、「A⊂B かつ card(A)=card(B) ならば A=B」が成り立つのは有限集合の場合のみ。
前半の説明では、有限群に対する証明にしかなっていない。

＞写像f^-1:N'→Ker(f) （gng^-1→n）
ここは well-defined 性の問題がある。
g,n とは別の g'∈G, n'∈Ker(f) に対して gng^-1 = g'n'g'^-1 である場合、
n と n'は必ずしも一致しない。

690 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/28(土) 12:21:45.18 ID:XpA6GK50.net

>>688 つづき
>群の共役変換"gNg^(-1)"が、積の形を保存して、一対一対応（well defined 性）など、良い性質を持っている特別の形なんだーと

共役変換と内部自己同型（英語版）って話もあって、なかなか深いね
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E5%B7%B1%E5%90%8C%E5%9E%8B
自己同型群

群の自己同型は、群からそれ自身への群同型である。非公式に言うと、構造を変化させない群上の置換である。
すべての群 G に対して、像は内部自己同型（英語版）(inner automorphism)の群 Inn(G) となり、核が G の中心となるような、自然な作用をもつ準同型 G → Aut(G) が存在する。
従って、G が自明な中心を持つならば、G を G 自身の自己同型群に埋め込むことができる。[1]

内部自己同型と外部自己同型
ある種の圏、特に群、環、リー代数では、自己同型を「内部自己同型」と「外部自己同型」の 2種類に分けることができる。

群の場合、内部自己同型（英語版）(inner automorphism)は、その群の元による共役作用である。群 G の各元 a に対し、a による共役とは Φ_a (g) = a g a^-1 （もしくは、a-1ga 、使い道により異なる）により与えられる作用 φa : G → G のことである。
a による共役が群の自己同型であることは容易に分かる。内部自己同型全体は Aut(G) の正規部分群を成し、これを Inn(G) で表す。これをグルサの補題（英語版）(Goursat's lemma)という。

これ以外の自己同型を外部自己同型（英語版）(outer automorphism)と呼ぶ。商群 Aut(G) / Inn(G) を普通、Out(G) で表す。この群の非自明な元は、外部自己同型を含む剰余類である。

691 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/28(土) 12:28:51.76 ID:XpA6GK50.net

>>689
どうも。スレ主です。

>前半の説明では、有限群に対する証明にしかなっていない。

同意。だが、個人的にはまず有限群論で理解するのが先なので、とりあえずこれで。無限を扱うなら他の証明の筋を使うのが良いんだろうね

>ここは well-defined 性の問題がある。

ども。ちょっと考えてみるよ

692 ：１３２人目の素数さん：2015/03/28(土) 12:32:57.44 ID:/kdxB2Uf.net

結局不正解じゃんｗ

693 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/28(土) 12:36:44.58 ID:XpA6GK50.net

>>690 つづき
内部自己同型と外部自己同型（英語版）
http://en.wikipedia.org/wiki/Inner_automorphism
Inner_automorphism
In abstract algebra an inner automorphism is a function which, informally, involves a certain operation being applied, then another operation (shown as x below) being performed, and then the initial operation being reversed.
Sometimes the initial action and its subsequent reversal change the overall result ("raise umbrella, walk through rain, lower umbrella" has a different result from just "walk through rain"),
and sometimes they do not ("take off left glove, take off right glove, put on left glove" has the same effect as "take off right glove only").

http://en.wikipedia.org/wiki/Outer_automorphism_group
Outer automorphism group
In mathematics, the outer automorphism group of a group G is the quotient Aut(G) / Inn(G), where Aut(G) is the automorphism group of G and Inn(G) is the subgroup consisting of inner automorphisms.
The outer automorphism group is usually denoted Out(G). If Out(G) is trivial and G has a trivial center, then G is said to be complete.

Out(G) for some finite groups の表が面白い

694 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/28(土) 12:38:39.14 ID:XpA6GK50.net

>>692
どうも。スレ主です。
君はレベルが低いね
一番分かっていないのは君だろうよ（笑い）

695 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/28(土) 12:39:55.00 ID:XpA6GK50.net

人の尻馬にしか乗れない低レベル（笑い）
自分の頭からっぽ（笑い）

696 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/28(土) 12:41:20.02 ID:XpA6GK50.net

なんか数学レベルを示すものを書いてみな
笑ってやるから（笑い）

697 ：１３２人目の素数さん：2015/03/28(土) 12:41:37.13 ID:/kdxB2Uf.net

>>694
どうして不正解を不正解と言われるとキレるの？

698 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/28(土) 12:46:11.59 ID:XpA6GK50.net

>>692
そうそう、ID:/kdxB2Ufくんにも、>>517の問題を投げておくよ
>>679だ。君程度の雑魚レベルじゃ解けない問題だよ

699 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/28(土) 12:49:10.52 ID:XpA6GK50.net

>>697
>>686の最後を良く読んでみな
”逆の包含も直接示せる”と書いてあるだろ？

これの正否について述べよ
まあ、君には無理だろうが（笑い）

700 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/28(土) 13:00:46.17 ID:XpA6GK50.net

>>693 続き

外部自己同型
http://en.wikipedia.org/wiki/Outer_automorphism_group
Out(G) for some finite groups 表

Sn n ≠ 6 trivial 1
S6 Z2 (see below) 2
An n ≠ 6 Z2 2
A6 Z2 × Z2(see below) 4

The outer automorphisms of the symmetric and alternating groups
For more details on this topic, see Automorphisms of the symmetric and alternating groups.

The outer automorphism group of a finite simple group in some infinite family of finite simple groups can almost always be given by a uniform formula that works for all elements of the family.
There is just one exception to this:[1] the alternating group A6 has outer automorphism group of order 4, rather than 2 as do the other simple alternating groups (given by conjugation by an odd permutation).
Equivalently the symmetric group S6 is the only symmetric group with a non-trivial outer automorphism group.

n≠ 6: Out(S_n) = 1
n≧ 3, n≠ 6: Out(A_n) = C_2
Out(S_6) = C_2
Out(A_6) = C_2 ｘ C_2

Note that, in the case of G = A6 = PSL(2,9), the sequence 1 -> G -> Aut(G) -> Out(G) -> 1 does not split. A similar result holds for any PSL(2,q^2), q odd.

http://en.wikipedia.org/wiki/Automorphisms_of_the_symmetric_and_alternating_groups
Automorphisms of the symmetric and alternating groups

701 ：１３２人目の素数さん：2015/03/28(土) 13:09:14.43 ID:lzbB148z.net

>>685で偉そうなこと言って間違えた責任をとって（そろそろめんどくさいから）自分で終わらせることにする。
証明するべきことは「g・Ker(f)・g^(-1) ⊃ Ker(f)　∀g∈G」

n∈Ker(f) とする。
任意に g∈G をとると、 n=g(g^-1・n・g)g^-1 ∈ g・Ker(f)・g^(-1) である。
よって Ker(f) ⊂ g・Ker(f)・g^(-1) □

702 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/28(土) 13:22:03.10 ID:XpA6GK50.net

>>701
どうも。スレ主です。

なかなかあざやかですな
レベル高いね。ID:/kdxB2Ufくんとはレベルの差を感じる

まあ、同じようなことは、>>686の最後に書いた
”また、g^-1(gng^-1)g→nの形から、n=g^-1(gng^-1)g つまり、g'=g^-1と書けば、n=g'(g'^-1 n g')g'^-1と書けて
g・Ker(f)・g^(-1) ⊂ Ker(f) を示しているから、g'^-1ng'∈Ker(f)
従って、n=g'(g'^-1ng')g'^-1∈N'として、逆の包含も直接示せる。”だ

だけど、>>686で書いたように、これは結局共役の性質を暗に使っていると思うんだ
もっと、共役の性質から直接示せると思ったんだよね。というか、そういう理解に到達したいと

数学でね、証明の筋を追えば、例えば１０段階あって、各段ごとは追える
が、１０段階通して、分かったかというと、それは別問題みたいな

これも、共役の性質から、もっと自然な理解が可能だろうと・・
まあ、うまく纏まっていないが・・

703 ：１３２人目の素数さん：2015/03/28(土) 13:50:40.99 ID:/kdxB2Uf.net

>>702
n=g'(g'^-1 n g')g'^-1と書けると何故g・Ker(f)・g^(-1) ⊂ Ker(f) なのか？

704 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/28(土) 17:55:15.04 ID:XpA6GK50.net

群論電卓の話がヒットしたので、メモを貼ります

http://ci.nii.ac.jp/els/110002885150.pdf?id=ART0003207928&type=pdf&lang=jp&host=cinii&order_no=&ppv_type=0&lang_sw=&no=1427532680&cp=
拡張Prologによる群論電卓の作成 情報処理学会 全国大会講演論文集 第49回平成6年後期(1), 97-98, 1994-09-20

抄録
飯高茂は1980年代後半より、Prologの持つバックトラッキングとパターンマッチの機能を利用して、数学の世界を組み立てることを行ってきた。
その中で群論電卓の作成が大きなテーマとして取り上げられている。
群論計算システムとして、CAYLEなどの大規模なシステムがよく知られている。
飯高の群論電卓は、これらのシステムとは異なり、群論電卓の作成を通して、群論を理解することに力点がある。
このような小規模なシステムでも新しい定理を発見するための具体例の計算にも使えることができる。
数学では、「ある構造をもつ数学的対象の間に、その構造を保つ写像を考えつつ議論を進めるのが基本である」と言われている。
飯高の群論電卓では、同時に複数の群を扱うことが出来ないので、この基本に沿った計算を実行することが出来ない。
本報告では、Prologにオブジェクト指向風の拡張を施し、それを利用して複数の群を扱うことの出来る群論電卓の概要を報告する。

705 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/28(土) 17:59:28.47 ID:XpA6GK50.net

これは、以前紹介したかも知れないが
http://www.nasuinfo.or.jp/FreeSpace/kenji/sf/pysf/math/group/group.htm
python sf による群論：群電卓 抜粋

python sf は、普段のメモ書き数式そのままを計算させてたくて作りました。その python sf は 群論での数式にも使えます。

例えば対称群 Sn(4) における S4(3,0,2,1) 要素の共役類を下のように、エディタでメモ書きする数式に近い python sf 式で計算できます。

半群

まず半群についての python sf を使った具体的な検討・考察例を見ていきましょう。

半群であるとは推移律： (x y) z == x (y z) が成り立つことです。これは部分的に演算を定めると、それが別の演算まで定めてしまうことを意味します。演算規則の定まり方に粘着性があることを意味します。

python の辞書データ型を使えば、この半群の性質を記述できます。実際に推移律演算を実行させられます。以下では具体的に a b c d 四文字の集合の半群構造を python の辞書を使って記述・実行していきます。

706 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/28(土) 18:01:50.65 ID:XpA6GK50.net

これは、GAPくんの出番かも

http://math.shinshu-u.ac.jp/~hanaki/edu/symmetry/03.html
群論と対称性
第 2 回 GAP を使う - 電卓のように

Akihide Hanaki (Shinshu University)

707 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/28(土) 18:08:32.76 ID:XpA6GK50.net

これもヒットしたので、メモ

[PDF]数式処理の想い出 - Jssac
www.jssac.org/Editor/Suushiki/V07/No1/V7N1_102.pdf
数式処理J.JSSAC (1998)
Vol. 7, No. 1, pp. 2 - 5

一松信
Sin HITOTUMATU

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%80%E6%9D%BE%E4%BF%A1
一松 信（ひとつまつ しん、1926年3月6日 - ）は、日本の数学者。京都大学名誉教授。

人物

「すでに学生時代に多変数関数論の最高峰をきわめられた」[1]と紹介されるほどの俊才だったようで、その後も、多変数関数論の他、数値解析、計算機科学などでもリーダー的な研究者であった。

著作は多数に上り、良書とされるものが多い。また優れたエッセイ集もある。

著作は明解かつ詳細な記述が特徴で、構成が緻密であり、練習問題やその解答、索引や参考文献にも気が配ってあるものが多い。

708 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/28(土) 18:13:40.75 ID:XpA6GK50.net

これもメモしておく

http://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~s-yokoyama/files/PCAS2011.pdf
Sage for Number Theorists 横山俊一（九大数理）
概要
Pythonを基盤とする計算機システムSageの概説を主に数論研究者向けに行う.
本稿は2011年8月に開催された研究集会「計算機代数システムの進展」にて筆者が行った講演内容に従っている.
なお,本稿で使用されている幾つかのイラストはSage development teamより許可を得て使用させて頂いた.
使用許諾を快く与えて下さったWilliam Stein氏（Washington大学）およびMartin Albrecht氏（Universite Pierre et Marie
Curie）に感謝御礼申し上げたい.

1 Sageとは？
SageとはSystem for Algebra and Geometry Experimentationの略称であり「セージ」と発音する.
その名の通り,ハーブ類の一種の名称とのダブルミーニングである.
開発目的としてMagma,Maple, Mathematica, Matlabといった多種多様な有償計算機システムの代替となる「フリー」なソ
フトウェアを作成し,広く提供することが挙げられている.
以下略

709 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/28(土) 18:19:54.18 ID:XpA6GK50.net

これもメモ

http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~sakasai/MCG/MCG.html
このページは阿原一志と逆井卓也の共著『パズルゲームで楽しむ写像類群入門』 (日本評論社, 2013 年 9 月発刊) のサポートページです.

本の内容
目次と補足資料
第1章　パズルゲームてるあき
第2章「写像」・「類」・「群」
第3章　曲面と曲線
第4章　曲面の写像類群
第5章　デーン-リコリッシュの定理
命題 5.5 の証明については正誤表をご覧下さい.
第6章　1次元ホモロジー群
第7章　曲面の1次元ホモロジー群
第8章　トーラスの写像類群
第9章　リコリッシュの定理とその証明
9.8 節の内容については正誤表をご覧下さい.
補題 9.9, 9.10 について
第10章　リコリッシュの定理でてるあきを解く
第11章　リコリッシュの生成元と組み紐
第12章　シンプレクティック表現とトレリ群
第13章　基本群
第14章　デーン-ニールセンの定理
第15章　写像類群とトポロジー

710 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/28(土) 19:01:15.55 ID:XpA6GK50.net

>>703
まあ、自分で考えてみな
>>699に書いたように、「”逆の包含も直接示せる”と書いてあるだろ？これの正否について述べよ」と
ノーヒントでは無理だろうが、幸い出題者が>>701でヒントを与えてくれた

701と686を比べてみな
そうすれば、なにか感じるところがあるだろう

711 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/28(土) 19:11:43.69 ID:XpA6GK50.net

>>685 補足

>>681の解答をもう一度読んでみた
結論は、「任意のx ∈ G とy ∈ H に対して, f(xyx^-1) = f(x)f(y)f(x)^-1 = f(x)e'f(x)^-1 = e' 」ここまでが
H = Ker(f) を本質的に使った部分だ

正規部分群の定義として「gNg^(-1) ⊂ N　(∀g∈G)」か「gNg^(-1) = N　(∀g∈G)」かは、H = Ker(f) とは直接関係ない
どちらを使っても、ほとんど同じ（そこは、>>702に書いたように、共役の性質を使えば、どちらでも可だと）

だから、>>681ではこれで終わっているんだと
確かに、「gNg^(-1) = N　(∀g∈G)」を使えば、包含関係とか気になるんだろう
それはそれで悪くないし、こちらはあまり気付いていなかった部分だがね

712 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/28(土) 19:17:26.72 ID:XpA6GK50.net

>>689
>＞写像f^-1:N'→Ker(f) （gng^-1→n）
>ここは well-defined 性の問題がある。
>g,n とは別の g'∈G, n'∈Ker(f) に対して gng^-1 = g'n'g'^-1 である場合、
>n と n'は必ずしも一致しない。

ここに戻る。共役変換を押さえておこう
https://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~hiraki/
平木研究室 平木　彰 大阪教育大学／柏原キャンパス／教養学科／数理科学講座
https://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~hiraki/Box/box.htm
質問箱
https://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~hiraki/Box/A8.htm
（問題） 群 G の部分群 H,K と a ∈ G に対して、 次の命題が正しければ証明をし、正しくなければ反例をあげよ。
(1) H と aHa-1 は同型である。
(2) H と K が同型ならば K = bHb-1 となる b ∈ G が存在する。

（考察）
群の内部自己同型と外部自己同型を考えましょう。
群 G の元 x に対して、x による共役写像 fx を
fx : G → G 　 ( a → xax-1 )
と定義すれば G から G 自身への同型写像になります。 （確認）
このような自己同型写像を内部自己同型といいます。
それに対して、内部自己同型ではない自己同型写像を外部自己同型といいます。
(1) 部分群 H の共役部分群 aHa-1 とは まさに内部自己同型 fa による 像ですから、同型になります。
(2) の問題は、「同型な二つの部分群は内部自己同型であるか？」 ということです。 外部自己同型が存在する群を考えてみましょう。
例えば、可換群（アーベル群）を考えてみます。
可換群においては、内部自己同型は全て恒等写像になります。
一方、「アーベル群の基本定理」によれば、 「全てのアーベル群は巡回群の直積に同型であり、不変系がただ一つ定まる。」 ので、不変系が同じなら同型です。
したがって、同じ不変系の部分群を２つ以上含むような アーベル群 を考えれば反例が見つかります。

713 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/28(土) 19:19:20.20 ID:XpA6GK50.net

>>712 つづき

（解答例）
(1) a による内部自己同型　(a による共役写像)
fa : H → aHa-1 ( h → aha-1 )
は H から aHa-1 への同型写像ですから H と aHa-1 は同型です。（正しい）
(2) G = { (x,y) | x,y ∈ {1,-1} } を考えます。(演算は成分ごとの積）
これは、Z2 + Z2 と同型な 不変系 (2,2) の可換群です。 その部分群 H,K を
H = { (x,1) | x ∈ {1,-1} },　 K = { (1,y) | y ∈ {1,-1} }
とすれば、H,K はともに、位数２の巡回群なので同型です。
しかし、G は可換群なので bHb-1 = H ≠ K (∀b ∈ G ) です。 （正しくない） 不変系 (p,p) の可換群の中に全く同じ反例が見つけられますね。
ちなみに上の (2) においては g : G → G 　 ( (x,y) → (y,x) ) が H を K に移す外部自己同型です。
（引用おわり）

714 ：１３２人目の素数さん：2015/03/28(土) 19:32:33.25 ID:/kdxB2Uf.net

>>686
＞少し説明すると、集合N'= {gng^-1 | n∈Ker(f), g∈G } として
＞641の２と３で、card(N')=card(Ker(f))(∵ gn1g^-1≠gn2g^-1→n1≠n2が言える（なお、逆も同様）)を示した
gn1g^-1≠gn2g^-1→n1≠n2　だと何故　card(N')=card(Ker(f))　が言えるの？

＞これと、１のg・Ker(f)・g^(-1) ⊂ Ker(f) から「N=gNg^-1」が成り立つと
card(N')=card(Ker(f))　と　g・Ker(f)・g^(-1) ⊂ Ker(f)　から何故　N=gNg^-1　が言えるの？
（実際には　card(N')=card(Ker(f))　すら言えてないわけだが）

715 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/28(土) 19:44:17.98 ID:XpA6GK50.net

>>713

「H と aHa-1 は同型である」を使えば、良いと思うんだ
>>439>>443でKer(f) が 群を成すことは、先に証明しているから（>>681に同じ）

なので、同型から全単射の存在が言える
それは、gやg'毎に考えるべきで、そうすれば、全てのg毎に全単射の存在が言える（gとg'とを混在させるとまずいが）

それで今回の問題には十分だろう

716 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/28(土) 20:11:33.55 ID:XpA6GK50.net

>>714
ども
丁寧に書くと
集合N'= {gng^-1 | n∈Ker(f), g∈G } として 写像F：N'→Ker(f) （gng^-1→n）が単射を言いたい
（686では、Fをf^-1と書いたが、簡単化した）

で、単射
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E5%B0%84
定義
集合 A 上で定義され、集合 B を終域とする写像 f: A → B が条件
(∀ a_1, a_2 ∈ A)[a_1 ≠ a_2 → f(a_1) ≠ f(a_2)]
を満たすとき、 f を単射 (injection) とよぶ。あるいは f は（写像として）単射である (injective) という。
対偶をとれば、f が単射である条件は
(∀ a_1, a_2 ∈ A)[ f(a_1) ＝ f(a_2) → a_1 ＝ a_2 ]
とも述べられる。
（引用おわり）

から、 gn1g^-1≠gn2g^-1→n1≠n2を示す（その逆も）ことで、gng^-1とnとが一対一対応すると
もっと強く、>>712(平木研)にあるように、同型も言える
それは、gng^-1という共役変換という形から従う

だから、card(N')=card(Ker(f))が言える
なお、686では細かく証明を書くのではなく、あらすじだけを書いた（このスレではその方が良いと思ったからね）
それがかえって、数学科の人には分かり難いのかも知れないが・・

717 ：１３２人目の素数さん：2015/03/28(土) 20:13:43.48 ID:nK6CSiqo.net

何学科の人だとわかりやすいの？

718 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/28(土) 20:16:19.25 ID:XpA6GK50.net

>>714 つづき

>＞これと、１のg・Ker(f)・g^(-1) ⊂ Ker(f) から「N=gNg^-1」が成り立つと
>card(N')=card(Ker(f))　と　g・Ker(f)・g^(-1) ⊂ Ker(f)　から何故　N=gNg^-1　が言えるの？
>（実際には　card(N')=card(Ker(f))　すら言えてないわけだが）

ここは、出題者の解答>>701
"n∈Ker(f) とする。
任意に g∈G をとると、 n=g(g^-1・n・g)g^-1 ∈ g・Ker(f)・g^(-1) である。
よって Ker(f) ⊂ g・Ker(f)・g^(-1) □"と比べてごらん

719 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/28(土) 20:24:17.94 ID:XpA6GK50.net

>>717
何学科の人だとわかりやすいというのは、ないだろう
ただ、数学科の人は、上級になればなるほど、普段使っている記号になれているだろうから、この板みたくアスキーしか使えないところは、つらいだろうし
プロ同士の会話になれていると、このスレでの会話も合わないだろうとは思うよ

だから、あまり証明は書く気はない。（必要があれば別だが）
主に、ホームページやPDFの紹介を主にしようと思っている（その方が読みやすいだろうし）

720 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/28(土) 21:52:31.47 ID:XpA6GK50.net

これもメモしておく

http://www.uec.tottori-u.ac.jp/~thashi/
橋本隆司 鳥取大
http://www.uec.tottori-u.ac.jp/~thashi/dat/math_sym.html
対称性の数理 I
2014年度講義ノートはこちら(4/14/14) http://www.uec.tottori-u.ac.jp/~thashi/dat/LN_sym1_12.pdf

はじめに
この講義ノートは，鳥取大学大学院工学研究科情報エレクトロニクス専攻および機械宇
宙工学専攻の博士前期課程1 年生を対象に行われた講義「組合せ論」および「対称性の数
理I」の講義ノートを加筆・修正して作成された．
講義では対称群の表現論への入門的な解説を行うことを目標とし，第1 章では対称群の
構造について簡単におさらいした後，線形代数の復習を行い，多重線形代数，すなわち，
ベクトル空間のテンソル積，外積代数，対称代数について説明した．ついで第2 章におい
ては有限群の表現論および指標について解説した後，対称群の表現を組合せ論的に構成す
るSpecht 加群についての解説を行った．線形代数が縦横に駆使される様子を目の当たり
にすることができるかと思う．

721 ：１３２人目の素数さん：2015/03/28(土) 22:36:32.41 ID:lzbB148z.net

いや、>>702で気づいた。
>>701は論証が足りなかった、すまない。
これじゃ恥の上塗りだ・・・

n∈Ker(f) とする。
任意に g∈G をとると、 n=g(g^-1・n・g)g^-1
ここで、f(g^-1・n・g) = f(g)^-1・e'・f(g) = e' より g^-1・n・g ∈ Ker(f)　（すでに示されている g^-1・Ker(f)・g ⊂ Ker(f) を用いてもよい）
よって n=g(g^-1・n・g)g^-1 ∈ g・Ker(f)・g^(-1) である。
したがって Ker(f) ⊂ g・Ker(f)・g^(-1) □

722 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/28(土) 22:45:48.19 ID:XpA6GK50.net

>>721
どうもありがとう

ID:/kdxB2Ufくん（>>714）、分かったかな？

723 ：１３２人目の素数さん：2015/03/28(土) 22:48:54.08 ID:lzbB148z.net

さらに間違えた
>>702で気づいた。→>>703で気づいた。

724 ：１３２人目の素数さん：2015/03/28(土) 23:21:33.92 ID:lzbB148z.net

ということで、>>701を後ろ盾にした発言は取り下げてくれスレ主よ

725 ：１３２人目の素数さん：2015/03/28(土) 23:43:12.32 ID:/kdxB2Uf.net

では参考までに私の解答を載せておこう。

G,G' を群とし、f:G→G' を準同型写像とする。
f の核 Ker(f) が G の正規部分群であることを示せ。
なお f の核とは、G' の単位元を e' としたときの
集合 {g∈G | f(g)=e'} のことである。

まず ker(f) が G の部分群であることを示す。
ker(f)⊂G は明らかなので、G の 演算によって ker(f) が群の公理を満たすことを示せばよい。
g,h,i∈G、a,b,c∈ker(f) とする。
f(ab)=f(a)f(b)=e'e'=e' だから、ab∈ker(f)【演算が閉じている】
f(g)=f(ge)=f(g)f(e) だから、f(e)=e' よって、e∈ker(f)【単位元の存在】
e'=f(e)=f(gg^-1)=f(g)f(g^-1) だから f(g^-1)=f(g)^-1
f(a^-1)=f(a)^-1=e'^-1=e' だから、a^-1∈ker(f)【逆元の存在】
f(a)(f(b)f(c))=f(a)f(bc)=f(a(bc))=f((ab)c)=f(ab)f(c)=(f(a)f(b))f(c)【結合則】

さらに ker(f) の正規性を示す。
f(gag^-1)=f(g)f(a)f(g^-1)=f(g)e'f(g)^-1=f(g)f(g)^-1=e' だから、gag^-1∈ker(f) よって、g・ker(f)・g^-1⊂ker(f)
f(g^-1ag)=f(g^-1)f(a)f(g)=f(g)^-1e'f(g)=f(g)^-1f(g)=e' だから、g^-1ag∈ker(f) よって、a=g(g^-1ag)g^-1∈g・ker(f)・g^-1 よって、ker(f)⊂g・ker(f)・g^-1
ゆえに、ker(f)=g・ker(f)・g^-1■

726 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/29(日) 04:55:48.60 ID:VMbS5KbH.net

どうも。スレ主です。
>>724 了解

>>725 ID:/kdxB2Ufくん（>>714）に分かるように丁寧に書いてくれたんだね
最後のところは、下記にすれば２行省略できるね

　 　 記
さらに ker(f) の正規性を示す。(正規部分群の定義として「gNg^(-1) ⊂ N　(∀g∈G)」*)を使う>>685)
f(gag^-1)=f(g)f(a)f(g^-1)=f(g)e'f(g)^-1=f(g)f(g)^-1=e' だから、gag^-1∈ker(f) よって、g・ker(f)・g^-1⊂ker(f)■

*)正規部分群の定義として「gNg^(-1) ⊂ N　(∀g∈G)」と「gNg^(-1) = N　(∀g∈G)」とは同値。
自明ではないが、共役変換の性質 「群 G の部分群 H と a ∈ G に対して、H と aHa-1 は同型である。」（>>712 平木研）を知識として使えば、同値であることは容易に分かる。
つまり、gNg^(-1) とNとが同型だから、gNg^(-1) ⊂ N→gNg^(-1) = Nが成り立つ。逆は、当然。

追伸
出題と解答ありがとう
ぼんやりとしか理解できていなかった共役変換が、深く理解できました。（>>688に書いた通り）

727 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/29(日) 09:41:48.82 ID:VMbS5KbH.net

>>684
どうも。スレ主です。
証明は、おっちゃんにゆずるが、下記が参考になるだろう
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%9A%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
アペリーの定理（アペリーのていり、Apery's theorem）とは、リーマンゼータ関数 ζ の特殊値 ζ(3) が無理数である、という定理である。
http://en.wikipedia.org/wiki/Ap%C3%A9ry%27s_theorem 英語版 （和文は英語版の訳と思われるが、引用文献が和１４英１２と異なっている。英がリバイズされたか）

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E7%90%86%E6%95%B0
無理数度
有理数の無理数度は 1, ディリクレの定理およびロスの定理より代数的無理数の無理数度は 2, リウヴィル数の無理数度は ∞ である。ディリクレの定理より無理数の無理数度は全て 2 以上である。e の無理数度は 2 であることが知られている。
ルベーグ測度に関してほとんど全ての数の無理数度は 2 である。

728 ：１３２人目の素数さん：2015/03/29(日) 12:04:44.83 ID:G8tCtmBr.net

>>726
理解できたと言ってるところ申し訳ないが、まだ問題があるように見える。

＞gNg^(-1) ⊂ N→gNg^(-1) = Nが成り立つ
この→は「ならば」のことだろうか。だとすると、これでは証明になっていない。

例えば、整数全体の集合 Z と偶数全体の集合 2Z は、
和についての群として同型で 2Z⊂Z であるが、2Z=Z ではない。

729 ：１３２人目の素数さん：2015/03/29(日) 12:09:01.57 ID:5FNRcFzF.net

2Z⊂2Z で、当然ながら2Z=2Zだよ

730 ：１３２人目の素数さん：2015/03/29(日) 12:23:05.19 ID:G8tCtmBr.net

群 G の部分群 H,H' に対して、
「H⊂H' かつ H と H' が同型」ならば H=H'
は必ずしも成り立たない、ということが言いたかった。

包含写像 H→H' と同型写像 H→H' が一致するなら H=H' だけど、
スレ主の gNg^(-1) と N の場合はそれも成り立ってない。

731 ：１３２人目の素数さん：2015/03/29(日) 12:30:14.47 ID:Akp98M0a.net

未だ問題があると言うより根本的に駄目だね。
スレ主は逆の包含を示さずに不正解とされたことに不満を抱き、それでも正解と示そうとしたが
逆に無知を晒してしまった。

732 ：１３２人目の素数さん：2015/03/29(日) 12:49:26.97 ID:giyBvreh.net

>>684
>>727
おいおい、>>673の「ζ(3)の無理数度は5より大きい」という部分は
http://mathworld.wolfram.com/IrrationalityMeasure.html
を参考にして書いたんだよ。現時点でζ(3)の無理数度の値は「5.5…」となっている。
数学的には、ζ(3)の無理数度は2まで引き下げられるよ。そうでないと矛盾が生じる。
本来は、現時点での無理数度の値を見たら、任意の実数の無理数度は1か2か+∞になると予想するべきなのだ。
これは、eという無理数度2の超越数の具体例がある訳で、もっともらしい。

733 ：１３２人目の素数さん：2015/03/29(日) 12:55:46.36 ID:Akp98M0a.net

>>732
upper bound の意味を知らんのか？

734 ：１３２人目の素数さん：2015/03/29(日) 13:16:38.07 ID:giyBvreh.net

>>733
上界だが。

735 ：１３２人目の素数さん：2015/03/29(日) 13:29:36.55 ID:giyBvreh.net

>>733
あ〜、「upper bound 」は上に界がある値で意味は上限か。だが、
>任意の実数の無理数度は1か2か+∞
は正しいだろうな。実数αについて、
|α−q/p|＜1/p^5なる分数q/pが可算無限個あって
|α−q/p|＜1/p^4なる分数q/pが有限個なんていうことあり得ない。

736 ：１３２人目の素数さん：2015/03/29(日) 13:35:53.65 ID:giyBvreh.net

>>733
あ〜、
>任意の実数の無理数度は1か2か+∞
が間違いだったのか。実数αについて、
|α−q/p|＜1/p^5なる分数q/pが有限個あって
|α−q/p|＜1/p^4なる分数q/pが有限個あることはあり得る現象か。

737 ：１３２人目の素数さん：2015/03/29(日) 13:45:33.37 ID:giyBvreh.net

>>684
まあ、それでも、>>673の「ζ(3)の無理数度は5より大きい」という部分
は「ζ(3)の無理数度は1より大きい」を意味する訳で、
ζ(3)の場合、証明にはこれさえあればいいのだ。

738 ：１３２人目の素数さん：2015/03/29(日) 14:02:02.02 ID:giyBvreh.net

いや、本を改めて見直したら無理数度は下限として定義されていて、
>任意の実数の無理数度は1か2か+∞
は正しいように見える。下限として定義した以上、無理数度は引き下げられて行く値なのだ。
ということは、>>673では「ζ(3)の無理数度は6より小さい」と書くべきだったのか。

739 ：１３２人目の素数さん：2015/03/29(日) 15:38:53.85 ID:giyBvreh.net

upper boundの訳は上界だがinfimumは下限で無理数度の定義が下限だから、
>>732に挙げたサイトのデータの値は更新されている筈。
参考にしたのが2001年では少し古いだろう。
下限の上界の範囲が狭められて行くということか。

740 ：１３２人目の素数さん：2015/03/29(日) 23:32:26.10 ID:ul+L4Deq.net

スレ主は「無知睾丸」

741 ：１３２人目の素数さん：2015/03/30(月) 21:42:41.83 ID:oO1nmDC/.net

スレ主の言い訳予想
　私は有限群しか興味無いので有限群限定で考えた

⇒それなら問題(1)をマトモに解く気は無かったはずなのに、ID:/kdxB2Ufへの上から目線は一体何だったのか？ｗ

742 ：１３２人目の素数さん：2015/03/31(火) 01:48:13.88 ID:PYljh/Cs.net

確かに、有限群なら>>726は問題ないな。

　有限群で成り立つから一般の場合にも成り立つと思った
に一票

743 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/04/04(土) 13:02:12.63 ID:6oRaj5nX.net

>>728-731
どうも。スレ主です。

>>728が正解だな

説明しよう
１）自明だが、「g*h1=g*h2←→h1=h2」 & 「g*h1≠g*h2←→h1≠h2」
２）だからこれも自明だろう。「g*h1*g^(-1) =g*h2*g^(-1) ←→h1=h2」 & 「g*h1*g^(-1) ≠g*h2*g^(-1) ←→h1≠h2」
３）上記を念頭に、gNg^(-1) と Nとの対応を考えてみなさい。言いたいことは自明だろう。これが、共役変換の性質 「群 G の部分群 H と a ∈ G に対して、H と aHa-1 は同型である。」（>>712 平木研）>>726だ
４）ID:G8tCtmBrさんは、ここをもう一度考えてみたらどうかね。おっと、ID:G8tCtmBrさんもだよ
５）なお、「スレ主は逆の包含を示さずに不正解とされたことに不満を抱き」→「スレ主は逆の包含を示さずに不正解とされたことに違和感を抱き」だよ

744 ：１３２人目の素数さん：2015/04/04(土) 13:06:41.00 ID:QN/qEVY+.net

スレ主さんがガロア理論に惹かれる理由ってなんですか？

745 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/04/04(土) 13:08:19.31 ID:6oRaj5nX.net

>>743
訂正
>>728が正解だな
↓
>>729が正解だな

失礼しました。
なお、>>688をもう一度強調しておく

746 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/04/04(土) 13:12:03.36 ID:6oRaj5nX.net

>>744
正確には、原ガロア理論＝ガロア第一論文だ
それに惹かれる理由はいろいろあるが、
１）群論や体論がない時代に、手探りで代数方程式の可解性を解明したこと
２）その手作り感
３）それが、自分がなにか未知の問題（数学に限らず）に対面したときに、勇気を与えてくれる気がする

そんなところだ

747 ：１３２人目の素数さん：2015/04/04(土) 13:20:22.06 ID:+zD8feXr.net

これは低脳の基地外を惹きつける誘蛾灯の一つなり。
他に有名な誘蛾灯に角の三等分の作図法がある。

748 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/04/04(土) 13:24:17.89 ID:6oRaj5nX.net

自分のことを言っている・・

749 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/04/04(土) 13:27:08.72 ID:6oRaj5nX.net

昔ならフェルマーが解けた
今なら、フェルマーの初等証明かね。ポアンカレ３次元の別解。リーマンとか。ABCの強予想はどうよ？

750 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/04/04(土) 13:39:45.26 ID:6oRaj5nX.net

>>740-742
どうも。スレ主です。
確かに、似たことは>>691に既に書いたよ
が、それは、「集合A,Bに対して、「A⊂B かつ card(A)=card(B) ならば A=B」が成り立つのは有限集合の場合のみ。」>>689
に対してで、「A⊂B かつ card(A)=card(B) ならば A=B」の議論だ

が、>>726で書いたことは違う

君たちに聞きたい
>>687に戻る
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E8%A6%8F%E9%83%A8%E5%88%86%E7%BE%A4
正規部分群
群 G の部分群 N が正規部分群であるとは、共役変換（英語版）によって不変、すなわち N の任意の元 n と G の任意の元 g に対して、元 gng-1 が再び N に属するときにいう。
任意の部分群について、以下の条件はいずれも今上げた正規性の条件に同値である。
このため、これらの条件のどれかを正規部分群の定義としてもよい。
・G の任意の元 g に対して gNg-1 ⊆ N が成り立つ。
・G の任意の元 g に対して gNg-1 = N が成り立つ。
(引用おわり)

上記二つの正規部分群の定義が同値であること、つまり
・G の任意の元 g に対して gNg-1 ⊆ N が成り立つ。
　↓↑
・G の任意の元 g に対して gNg-1 = N が成り立つ。

を示すのに、>>743で述べた
共役変換の性質 「群 G の部分群 H と a ∈ G に対して、H と aHa-1 は同型である。」（>>712 平木研）>>726を使うと思うのだが、どうよ？
そして、これは、有限群のみならず無限群でも同じと思うのだが、どうよ？