現代数学の系譜11 ガロア理論を読む12

1 ：１３２人目の素数さん：2015/02/15(日) 08:46:03.29 ID:wOLNHI5U.net

旧スレが500KBオーバーに近づいたので、新スレ立てる
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現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
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512 ：１３２人目の素数さん：2015/03/13(金) 13:36:11.32 ID:hKmg+Ort.net

>>279
示すべき命題(予想とでもいうのか)が間違っていたようで、>>239-240は次のように訂正。
道理で幾度も間違いをしていた訳だ。完全な盲点になっていた。

[第5段]：任意の1＞s＞t＞0なるs、t∈R＼Qに対してT(s)≠T(t)であることを示す。
確かに任意のθ∈R＼Qに対して群T(θ)は定まる。
矛盾に導くため、或る1＞s＞t＞0なるs、t∈R＼Qが存在して、T(s)＝T(t)であったとする。
すると、T(s)、T(t)は両方共に複素平面Cの単位円周C’上の部分集合であるから、
任意の有理数aに対し、{a,s}、{a,t}は有理数体Q上線型独立であることに注意して、
m、nを整数変数とすると、任意のe^{i(ms)π}∈T(s)(或いは任意のe^{i(nt)π}∈T(t))に対して
或るe^{i(nt)π}∈T(t)(同じく続けて或るe^{i(ms)π}∈T(s))が一意に定まって、
e^{i(ms)π}＝e^{i(nt)π}。即ち、T(s)からT(t)への全単射が存在する。
よって、e^{isπ}∈T(s)に対して或るn∈Z＼{0}が一意に存在して、e^{isπ}＝e^{i(nt)π}…�@。
また、e^{itπ}∈T(t)に対して或るm∈Z＼{0}が一意に存在して、e^{itπ}＝e^{i(ms)π}…�A。
Case1)：mn≧2のとき。�@、�Aから、e^{isπ}＝e^{i(mn)sπ}、e^{itπ}＝e^{i(mn)tπ}。
よって、mn≧2から、T(s)、T(t)は両方共に位数mn-1の有限巡回群になって矛盾。
Case2)：mn≦-2のとき。�@、�Aから、e^{isπ}＝e^{i(-mn)sπ}、e^{itπ}＝e^{i(-mn)tπ}。
よって、-mn≧2から、T(s)、T(t)は両方共に位数|mn|-1＝-(mn+1)の有限巡回群になって矛盾。

513 ：１３２人目の素数さん：2015/03/13(金) 13:40:55.88 ID:hKmg+Ort.net

>>279
(>>512の続き)
Case3)：mn＝1のとき。このとき、m＝n＝1またはm＝n＝-1。
Case3-1)：m＝n＝1のとき。n＝1(m＝1)、�@(�A)から、e^{isπ}＝e^{itπ}。
故に、偏角の不定性から両辺に主値を取ると、或るk∈Zが存在して、s＝t+2k。
よって、s＞tから、t+2k＞tであり、k≧1。t＞0だから、
1＜t+2kを得るが、一方1＞s＝t+2kであり、1＜t+2kに反し矛盾。
Case3-2)：m＝n＝-1のとき。このとき、�@(�A)から、e^{i(s+t)π}＝1を得る。
故に、偏角の不定性から両辺に主値を取ると、或るk∈Zが存在して、s+t＝2k。
然るに1＞s＞0、1＞t＞0から2＞s+t＞0であり、2＞2k＞0から、
1＞k＞0なる整数kが存在することになって矛盾。
Case3-1、Case3-2から、mn＝1のとき矛盾。　　　(Case3終)
Case4)：mn＝-1のとき。このとき、m＝1、n＝-1　または　m＝-1、n＝1。
Case4-1)：m＝1、n＝-1のとき。このとき、n＝-1、�@から、
e^{isπ}＝e^{i(-t)π}であり、e^{i(s+t)π}＝1。故に、Case3-2と同様に考えると矛盾。
Case4-2)：m＝-1、n＝1のとき。このとき、m＝-1、�Aから、
e^{i(-s)π}＝e^{itπ}であり、e^{i(s+t)π}＝1。故に、Case3-2(Case4-1)と同様に矛盾。
Case4-1、Case4-2から、mn＝-1のとき矛盾。　　　(Case4終)
Case1〜Case4から、1＞s＞t＞0なるs、t∈R＼Qが存在して、T(s)＝T(t)であったとすると矛盾。

[第6段]：乗法群C^{×}の正規部分群は非可算個存在することを示す。
開区間(0,1)は非可算であるから、乗法群C^{×}の正規部分群は非可算個存在する。

514 ：１３２人目の素数さん：2015/03/13(金) 16:40:30.18 ID:hKmg+Ort.net

>>279
>>512のCase2は次のように訂正：
>Case2)：mn≦-2のとき。�@、�Aから、e^{isπ}＝e^{i(mn)sπ}、e^{itπ}＝e^{i(mn)tπ}
>であり、e^{i(-s)π}＝e^{i(-mn)sπ}、e^{i(-t)π}＝e^{i(-mn)tπ}。また、点1はT(s)、T(t)の単位元である。
>T(s)の点e^{i(-s)π}はe^{isπ}∈T(s)の逆元であり、T(t)の点e^{i(-t)π}はe^{itπ}∈T(t)の逆元である。
>T(s)、T(t)は単位円周C’上の群だから、-mn≧2から、T(s)、T(t)は両方共に
>位数(|mn|+2)-1＝|mn|+1＝-mn+1の有限巡回群になって矛盾。