現代数学の系譜11 ガロア理論を読む12

1 ：１３２人目の素数さん：2015/02/15(日) 08:46:03.29 ID:wOLNHI5U.net

旧スレが500KBオーバーに近づいたので、新スレ立てる
このスレはガロア原論文を読むためおよび関連する話題を楽しむスレです
（最近は、スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。ガロア関連のアーカイブの役も期待して。）
過去スレ
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む11
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1420001500/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む10
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1411454303/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む9
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1408235017/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む8
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1364681707/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む7
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1349469460/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む6
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1342356874/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む5
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1338016432/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む(4)
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1335598642/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む3
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1334319436/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む2
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1331903075/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1328016756/

（古いものは、そのままクリックで過去ログが読める。また、ネットで検索すると、無料の過去ログ倉庫やキャッシュがヒットして過去ログ結構読めます。）

495 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/08(日) 23:06:10.97 ID:AXAfK1QO.net

>>493
どうも。スレ主です。

そうだね、やはり問題（３）で、well-defined（結果の一意性）を示すために、エムポストニコフを読み直したことかな、久しぶりに
エムポストニコフの証明は、なんど読んでも鮮やかで、感心するね

496 ：１３２人目の素数さん：2015/03/08(日) 23:08:35.88 ID:il0Z6Fow.net

>>495
(1)がヒントってのはわざとオミットしてたの？

497 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/08(日) 23:09:26.38 ID:AXAfK1QO.net

>>495　補足

(1)(2)は、落ち着いて問題を読んだら、解答はすぐ浮かんだけどね
まあ、この板では証明は書きにくい。逆元なんて手で書けば−１を肩に書けばしまいだが、アスキーで書くとなると一工夫必要だし・・

498 ：１３２人目の素数さん：2015/03/08(日) 23:11:49.27 ID:il0Z6Fow.net

そうなんだ、いろいろとたいへんだね

499 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/08(日) 23:12:24.83 ID:AXAfK1QO.net

>>496
? 誘導問？　気付かなかったね　（大学入試の大問の中の(1)(2)(3)みたいな配列かい？）
個人的には（３）が一番題意が取りやすかった

500 ：１３２人目の素数さん：2015/03/08(日) 23:15:25.67 ID:il0Z6Fow.net

そんなこと言うと、出題者さん泣いちゃうよ＞＜
せっかく親切にしてくれたのに

501 ：１３２人目の素数さん：2015/03/08(日) 23:17:20.31 ID:VjCS44NK.net

(1)の証明って終ったの？
でいろいろ指摘されてたけど

502 ：１３２人目の素数さん：2015/03/08(日) 23:38:34.38 ID:Hjn71QWc.net

キモい
せっかく親切心でレスしてやったのに再び見に来たら罵倒されてるし
数学なんてやめたら？
continueじゃなくて、restartするべきだよ

503 ：１３２人目の素数さん：2015/03/08(日) 23:39:49.64 ID:P7UvCxav.net

以前、「正規部分群の問題」とか言って出てきたのがちょっとアレだったので
もうちょっとマトモなものをと思って>>417を出した。


>>480
はい、よくできましたっと
(n"'"の置き方をミスってるような気がするが)

>>417の文脈で well-difined ときたら普通は>>476のように解釈すると思うんだが
俺が勉強不足なんだろうか。第三者の意見がないと何とも

>>499
題意取れてなかったじゃないですかー

504 ：１３２人目の素数さん：2015/03/09(月) 18:29:00.33 ID:xxNMxkkG.net

くだらん
あほか？

505 ：１３２人目の素数さん：2015/03/09(月) 20:50:34.73 ID:ar9H3cST.net

http://jbbs.shitaraba.net/sports/42269/

506 ：１３２人目の素数さん：2015/03/10(火) 10:26:58.77 ID:+DhpSksz.net

>>504
スレ主はぱーちくりん

507 ：１３２人目の素数さん：2015/03/12(木) 16:22:42.92 ID:KvT+3nBA.net

>>279
>>239-240は次のように訂正。

[第5段]：任意の2＞s＞1＞t＞0なるs、t∈R＼Qに対してT(s)≠T(t)であることを示す。
確かに任意のθ∈R＼Qに対して群T(θ)は定まる。
矛盾に導くため、或る2＞s＞1＞t＞0なるs、t∈R＼Qが存在して、T(s)＝T(t)であったとする。
すると、T(s)、T(t)は両方共に複素平面Cの単位円周C’上の部分集合であるから、
或る(m,n)∈(Z＼{0})^2が存在して、e^{i(msπ)}＝e^{i(ntπ)}…�@。
ここで、自然数a≧2を任意に取る。すると、2＞s＞1＞t＞0から、1＞s/a＞1/a＞t/a＞0
である。また、N∪{0}、Zは両方共に可算無限集合である。よって、
A(s/a)＝{e^{im_1・(s/a)π}|m_1∈Z}、B(t/a)＝{e^{im_1・(t/a)π}|a∈Z}
とおくと、A(s/a)、B(t/a)は両方共に可算無限群である。そして、m_1を整数変数とすると、
f(a,m_1)：B(t/a)∋e^{im_1・(t/a)π}→e^{im_1・(s/a)π}∈A(s/a)
はB(t/a)からA(s/a)への同型写像である。自然数a≧2は任意だから、
aを走らせて考えて、A(s/a)、B(t/a)、f(a,m_1)のa≧2についての各和集合
∪A(s/a)＝{e^{im_1・sπ}|m_1∈Q}、　∪B(t/a)＝{e^{im_1・tπ}|m_1∈Q}、
∪f(a,m_1)＝{f(a,m_1)：B(t/a)∋e^{im_1・(t/a)π}
　　　　　　　　　　　　　　　→e^{im_1・(s/a)π}∈A(s/a)|a∈N＼{0,1}、m_1∈Zは変数}
を、それぞれ、A＝∪A(s/a)、B＝∪B(t/a)、F＝∪f(a,m_1)
とおけば、A、Bは両方共にC’上における可算無限巡回群であり、
Fは自然数a≧2により定まるB(t/a)からA(s/a)への同型写像の可算無限集合である。

508 ：１３２人目の素数さん：2015/03/12(木) 16:26:22.60 ID:KvT+3nBA.net

>>279
(>>507の続き)
各a≧2に対して同型写像f(a,m_1)：B(t/a)→A(s/a)はaにより定まる
から、m_1を有理数変数として、BからAへの写像gを
g：B∋e^{im_1・tπ}→e^{im_1・sπ}∈A　で定義すると、
gはBからAへの準同型である。ここで、e^{i(msπ)}∈T(s)⊂Aであり、e^{i(ntπ)}∈T(t)⊂Bだから、
�@から、e^{i(msπ)}＝e^{i(ntπ)}∈A∩Bであり、よってg(e^{i(ntπ)})＝e^{i(nsπ)}
からg(e^{imsπ})＝e^{insπ}…�A。一方、e^{i(-m)sπ}∈T(s)⊂Aであり、
e^{i(-m)tπ}∈T(t)⊂Bだから、同様に�@に注意して考えると、
g(e^{i(-m)tπ})＝e^{i(-m)sπ}＝e^{i(-n)tπ}…�B。
よって、g：B→Aは準同型であることに注意すると、�A、�Bから、
g(e^{im(s-t)π})＝e^{in(s-t)π}が得られ、e^{im(s-t)π}∈B、e^{in(s-t)π}∈A。
故に、或るm_1、m_2∈Qが存在してm_1・s＝m(s-t)、m_2・t＝n(s-t)となる。
ここで、s＞t＞0からt、s-t≠0であり、m、n∈Z＼{0}だからm_1、m_2≠0。
従って、(m_1・s)/(m_2・t)＝m/nから、s＝((m・m_2)/(m_1・n))・tである。
x＝m・m_2、y＝m_1・nとおくと、x、y∈Z＼{0}であり、s＝(x/y)t
T(s)＝T(t)だったから、|x|≠|y|とはなり得ず、|x|＝|y|から、x＝±y。
Case1)：x＝yのとき。このとき、s＝tであり、s＞tに反し矛盾。
Case2)：x＝-yのとき。このとき、s＝-tからs+t＝0であるが、これはs+t＞0に反し矛盾。
Case1、2から、2＞s＞1＞t＞0なるs、t∈R＼Qが存在して、T(s)＝T(t)であったとすると矛盾。

[第6段]:任意の|s|＞|t|かつ-1＜s＜0＜t＜1なるs、t∈R＼Qに対してT(s)≠T(t)であることを示す。
θを実変数とするとe^{iθπ}はmod2の周期関数であるから、第5段の結果から従う。

[第7段]：任意の1＞s＞t＞0なるs、t∈R＼Qに対してT(s)≠T(t)であることを示す。
複素平面Cは実軸について対称であるから、第6段の結果から従う。

[第8段]；乗法群C^{×}の正規部分群は非可算個存在することを示す。
開区間(0,1)は非可算であるから、乗法群C^{×}の正規部分群は非可算個存在する。

509 ：１３２人目の素数さん：2015/03/12(木) 16:28:46.82 ID:KvT+3nBA.net

まあ、細かいことは後で。ちょっと寝る。

510 ：１３２人目の素数さん：2015/03/12(木) 17:06:26.57 ID:Mah1XYlY.net

>>507-508
今までと全く同じミスを繰り返している。その議論では
「 s,t∈R−Q, T(s)＝T(t), s＞t＞0 」という条件しか使っていないので、
「 s,t∈R−Q, T(s)＝T(t), s＞t＞0 ならば 矛盾」が証明できたことになり、
従って「 s,t∈R−Q, s＞t＞0 ならば T(s)≠T(t)」が証明できたことになるが、
これには反例があるのだった(s＝√2＋2, t＝√2 など)。
よって、今回の議論も自動的に間違っていることになる。

＞ここで、自然数a≧2を任意に取る。すると、2＞s＞1＞t＞0から、1＞s/a＞1/a＞t/a＞0

この部分では、あたかも 2＞s＞1＞t＞0 を使っているかのように見えるが、
そこから得られる「 1＞s/a＞1/a＞t/a＞0 」という不等式は その後の議論で
全く使われてないので、実際には「2＞s＞1＞t＞0」という条件は使われてないことになる。
そして、証明をよく読むと、実際に使われている条件は
「 s,t∈R−Q, T(s)＝T(t), s＞t＞0 」
のみである(よって、自動的に間違っている)。

511 ：１３２人目の素数さん：2015/03/12(木) 17:13:54.33 ID:Mah1XYlY.net

あと、いま気づいたことだが、>>507の[第5段]は、
そもそも命題自体が間違っている。
以下で[第5段]の反例を挙げる。

0＜α＜1なる無理数αを1つ取り、t＝α, s＝2−αと置くと、
s,t∈R−Q かつ 2＞s＞1＞t＞0 が成り立つことが分かる。
さらに、T(s)＝T(t) が成り立つことが確かめられる。
よって、[第5段]はそもそも命題自体が間違っている。


一応補足しておくと、[第7段] の命題は正しくて、
これさえ示せれば目標は達成される。
(ただし、今回のお前の論法では [第7段] は示せてないってこと。)

512 ：１３２人目の素数さん：2015/03/13(金) 13:36:11.32 ID:hKmg+Ort.net

>>279
示すべき命題(予想とでもいうのか)が間違っていたようで、>>239-240は次のように訂正。
道理で幾度も間違いをしていた訳だ。完全な盲点になっていた。

[第5段]：任意の1＞s＞t＞0なるs、t∈R＼Qに対してT(s)≠T(t)であることを示す。
確かに任意のθ∈R＼Qに対して群T(θ)は定まる。
矛盾に導くため、或る1＞s＞t＞0なるs、t∈R＼Qが存在して、T(s)＝T(t)であったとする。
すると、T(s)、T(t)は両方共に複素平面Cの単位円周C’上の部分集合であるから、
任意の有理数aに対し、{a,s}、{a,t}は有理数体Q上線型独立であることに注意して、
m、nを整数変数とすると、任意のe^{i(ms)π}∈T(s)(或いは任意のe^{i(nt)π}∈T(t))に対して
或るe^{i(nt)π}∈T(t)(同じく続けて或るe^{i(ms)π}∈T(s))が一意に定まって、
e^{i(ms)π}＝e^{i(nt)π}。即ち、T(s)からT(t)への全単射が存在する。
よって、e^{isπ}∈T(s)に対して或るn∈Z＼{0}が一意に存在して、e^{isπ}＝e^{i(nt)π}…�@。
また、e^{itπ}∈T(t)に対して或るm∈Z＼{0}が一意に存在して、e^{itπ}＝e^{i(ms)π}…�A。
Case1)：mn≧2のとき。�@、�Aから、e^{isπ}＝e^{i(mn)sπ}、e^{itπ}＝e^{i(mn)tπ}。
よって、mn≧2から、T(s)、T(t)は両方共に位数mn-1の有限巡回群になって矛盾。
Case2)：mn≦-2のとき。�@、�Aから、e^{isπ}＝e^{i(-mn)sπ}、e^{itπ}＝e^{i(-mn)tπ}。
よって、-mn≧2から、T(s)、T(t)は両方共に位数|mn|-1＝-(mn+1)の有限巡回群になって矛盾。

513 ：１３２人目の素数さん：2015/03/13(金) 13:40:55.88 ID:hKmg+Ort.net

>>279
(>>512の続き)
Case3)：mn＝1のとき。このとき、m＝n＝1またはm＝n＝-1。
Case3-1)：m＝n＝1のとき。n＝1(m＝1)、�@(�A)から、e^{isπ}＝e^{itπ}。
故に、偏角の不定性から両辺に主値を取ると、或るk∈Zが存在して、s＝t+2k。
よって、s＞tから、t+2k＞tであり、k≧1。t＞0だから、
1＜t+2kを得るが、一方1＞s＝t+2kであり、1＜t+2kに反し矛盾。
Case3-2)：m＝n＝-1のとき。このとき、�@(�A)から、e^{i(s+t)π}＝1を得る。
故に、偏角の不定性から両辺に主値を取ると、或るk∈Zが存在して、s+t＝2k。
然るに1＞s＞0、1＞t＞0から2＞s+t＞0であり、2＞2k＞0から、
1＞k＞0なる整数kが存在することになって矛盾。
Case3-1、Case3-2から、mn＝1のとき矛盾。　　　(Case3終)
Case4)：mn＝-1のとき。このとき、m＝1、n＝-1　または　m＝-1、n＝1。
Case4-1)：m＝1、n＝-1のとき。このとき、n＝-1、�@から、
e^{isπ}＝e^{i(-t)π}であり、e^{i(s+t)π}＝1。故に、Case3-2と同様に考えると矛盾。
Case4-2)：m＝-1、n＝1のとき。このとき、m＝-1、�Aから、
e^{i(-s)π}＝e^{itπ}であり、e^{i(s+t)π}＝1。故に、Case3-2(Case4-1)と同様に矛盾。
Case4-1、Case4-2から、mn＝-1のとき矛盾。　　　(Case4終)
Case1〜Case4から、1＞s＞t＞0なるs、t∈R＼Qが存在して、T(s)＝T(t)であったとすると矛盾。

[第6段]：乗法群C^{×}の正規部分群は非可算個存在することを示す。
開区間(0,1)は非可算であるから、乗法群C^{×}の正規部分群は非可算個存在する。

514 ：１３２人目の素数さん：2015/03/13(金) 16:40:30.18 ID:hKmg+Ort.net

>>279
>>512のCase2は次のように訂正：
>Case2)：mn≦-2のとき。�@、�Aから、e^{isπ}＝e^{i(mn)sπ}、e^{itπ}＝e^{i(mn)tπ}
>であり、e^{i(-s)π}＝e^{i(-mn)sπ}、e^{i(-t)π}＝e^{i(-mn)tπ}。また、点1はT(s)、T(t)の単位元である。
>T(s)の点e^{i(-s)π}はe^{isπ}∈T(s)の逆元であり、T(t)の点e^{i(-t)π}はe^{itπ}∈T(t)の逆元である。
>T(s)、T(t)は単位円周C’上の群だから、-mn≧2から、T(s)、T(t)は両方共に
>位数(|mn|+2)-1＝|mn|+1＝-mn+1の有限巡回群になって矛盾。

515 ：１３２人目の素数さん：2015/03/13(金) 16:44:20.68 ID:xRYOqgaS.net

>>512-513
正解。すばらしい。1＞s＞t＞0 という条件も本質的に全て使われている。
大切なのは、T(t)＝T(s)から導かれる

＞よって、e^{isπ}∈T(s)に対して或るn∈Z＼{0}が一意に存在して、e^{isπ}＝e^{i(nt)π}…�@。
＞また、e^{itπ}∈T(t)に対して或るm∈Z＼{0}が一意に存在して、e^{itπ}＝e^{i(ms)π}…�A。

この2行である。今までは、T(t)＝T(s)から

「 ある n,m∈Z−{0} が存在して e^{i(ms)π}＝e^{i(nt)π} 」… (*)

しか導いていなかったから上手く行かなかったのであり、
ここからさらに踏み込んで、より便利な �@,�A を導いたのが成功の鍵なのだ。

実際、T(t)＝T(s)が成り立つことと�@＆�A が成り立つことは同値となるので、
�@＆�A を使うことは「 T(t)＝T(s) 」を完全に使っていることを意味する。
一方で、T(t)＝T(s)と(*)は同値にならないので、(*)ばかり使っていた今までの議論では、
「 T(t)＝T(s) 」を完全には使っていなかったことになる。

516 ：１３２人目の素数さん：2015/03/13(金) 16:48:30.85 ID:xRYOqgaS.net

ちなみに、

＞示すべき命題(予想とでもいうのか)が間違っていたようで、>>239-240は次のように訂正。
＞道理で幾度も間違いをしていた訳だ。完全な盲点になっていた。

盲点もクソもなくて、俺は>>347の時点で最初から「これは正しくて、証明も簡単に済む」と
指摘していたのであり、実際お前は>>347以降の しばらくの間、今回と全く同じ命題について
直接的な証明を試みていたのだ。それが上手く行かなかったからといって、途中で勝手に
「2＞s＞1＞t＞0」という条件に差し替えて悪戦苦闘していたのが今までの流れである。
そして、今回は>>347の方針に逆戻りしたに過ぎないのだ。

で、今回と>>347の違いは上のレスで既に説明した。
単にお前が、(*)よりも強い�@＆�Aに気づいただけの話である。

517 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/13(金) 22:32:55.89 ID:09ioS4MW.net

>>506
ぱーちくりん連呼くんか・・
これから、君を”連呼くん”と呼ぼう>>398

”連呼くん”には、>>392の問題１を出しておいた。易しい方の問題だ。>>80で2015/02/21(土) だったね
>>406 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2015/03/07(土) 15:59:06.20 ID:Pt6N2tUG さんがあっさり解いたね

>>502 ID:Hjn71QWc くんか・・口達者なものよ、君には宿題を出しておいたが、できたか？　>>484だ

お二人には、再度問題を書いておく

>>392の問題２
「ゼロを除く複素数の成す乗法群の集合は、連続濃度の”べきの濃度”を持つ」は正しいか否か
理由を付して述べよ

どうせ、君たちには無理だろうがね（笑い） ふふ、”何事も基礎を固めるのが重要だよ 急がばまわれ”、”数学なんてやめたら？ continueじゃなくて、restartするべきだよ”か、上手いことを言うね、口先くん。君の数学の実力を見せてくれ
ハメル基でも何でも使えよ・・、使えるものならね（笑い）
「ゼロを除く複素数の成す乗法群」なんて、基礎の基礎。さぞかし簡単でしょう（笑い） おそら次の週も同じことが書けそうだな・・

518 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/14(土) 00:10:44.17 ID:1ktc1FSG.net

>>515-516
ID:xRYOqgaSは、メンターさんか・・

>>512-514
ID:hKmg+Ort は、”おっちゃん”か・・
”おっちゃん”の証明を見ると、かつてのコテKummerさんを思い出すよ・・

メンターさんが、”おっちゃん”の証明を追う忍耐は驚異的です
頭が下がります

519 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/14(土) 00:21:39.61 ID:1ktc1FSG.net

>>503
well-difined ね

”つまり証明すべきことは
「g,g',h,h'∈G に対し、
　　　gN=g'N かつ hN=h'N ならば g*hN=g'*h'N」という命題。 ”

>>423 http://ja.wikipedia.org/wiki/Well-defined の後があった・・「代入原理と呼ばれる条件」（下記だね）
例
例えば、写像あるいは（一価の）関数 f は代入原理と呼ばれる条件

a = b → f(a) = f(b)

を満たす対応（一意対応）でなければならないから、同値類に対する写像をその代表元を用いて定義しようとする場面などでは well-defined 性が問題になる。
典型的なものが、代数学において商代数系（商群や商環、商ベクトル空間など）の演算を導入する場面に現れる。

鎖複体の射からホモロジー（これは鎖複体から定まるある商加群である）の間の準同型が誘導されるが、このときも well-defined 性が問題になる。
上述の一意性に加え、写像の行き先が実際に終域に入っていることを確かめなくてはならない。
（引用おわり）

余談だが、英文では、３つに分けて説明しているね
http://en.wikipedia.org/wiki/Well-defined

Well-defined functions

Operations

Well-defined notation

520 ：１３２人目の素数さん：2015/03/14(土) 00:23:05.43 ID:EELCrdHf.net

数少ない支援者の後藤さんを応援してあげてよｗ

521 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/14(土) 05:53:01.88 ID:1ktc1FSG.net

>>520
どうも。スレ主です。
ID:EELCrdHfさんか

後藤さんとは、>>417を出題した人のことかな？
君は、>>488で「後藤さんよかったね、おめ☆ 」と書いていたね
が、>>356では「後藤さん張り切ってるね」で、後藤さん＝”おっちゃん”と読める
はて？　両者は別人だろう？

まあ、ともかく、>>417の出題者と、”おっちゃん”とが、支援者というのは納得です

522 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/14(土) 06:03:04.26 ID:1ktc1FSG.net

>>519
well-difined は、はっきりさせておきたい
ここは初学者も来るからね

wikipedia にあるように
「写像あるいは（一価の）関数 f は代入原理と呼ばれる条件 a = b → f(a) = f(b)
を満たす対応（一意対応）でなければならないから、同値類に対する写像をその代表元を用いて定義しようとする場面などでは well-defined 性が問題になる。
典型的なものが、代数学において商代数系（商群や商環、商ベクトル空間など）の演算を導入する場面に現れる。」と

つまりは、well-defined 性とは、代入原理と呼ばれる条件 a = b → f(a) = f(b)が成り立つかどうかと

英wikipedia では
Well-defined functions
All functions are well-defined binary relations: if there exist two ordered pairs in the function with the same first coordinate, then the two second coordinates must be equal.
More precisely, if (x,y) and (x,z) are elements the function f, then y=z.
Because the output assigned to x is unique in this sense, it is acceptable to use the notation f(x)=y (and/or f(x)=z) and to take advantage of the symmetric and transitive properties of equality.
Thus if f(x)=y and f(x)=z, then of course y=z.

An equivalent way of expressing the definition above is this: given two ordered pairs (a,b) and (c,d), the function f is well-defined iff whenever a=c it is the case that b=d.
The contrapositive of this statement, which is equivalent and sometimes easier to use, says that b≠d implies a≠c.
In other words, "different outputs must come from different inputs."

In group theory, the term well-defined is often used when dealing with cosets, where a function on a quotient group may be defined in terms of a coset representative.
Then the output of the function must be independent of which coset representative is chosen.

523 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/14(土) 06:39:39.82 ID:1ktc1FSG.net

>>522 つづき
英wikipedia の記述が難しく、意味がとれないところがあるが（英文だしね）（＾＾
日wikipedia の”（一価の）関数 f は代入原理と呼ばれる条件 a = b → f(a) = f(b) を満たす対応（一意対応）でなければならない”を正としよう

で、私がやったことは、まさにこれ（日wikipedia ）
>>461で、「(2) 定義がもともとの対象から複数定まる対象を経由して行われる場合、結果がもともとの対象にのみ依存する。」を示すことにする と

そして、「Hg'＝Hgが証明された。すなわち、剰余類Hgの任意の元g'の剰余類Hg'はHgと一致する
即ち、２つの剰余類が交われば、これらは一致する
また、剰余類Hgは、g∈Hのとき、そのときに限り部分群Hと一致する。（部分群Hは単位元eの剰余類と見なすことができる） 」を証明した

次に、>>462で、整列可能定理と剰余類別 G/Nも一意（正規部分群だから）を示した
この方針は、>>447に書いた、（部分群Hに対して）「一般に剰余類が、右剰余類が１通り、左剰余類が１通り、計２通り。正規部分群なら、１通り。」によった

で、”つまり証明すべきことは
「g,g',h,h'∈G に対し、
　　　gN=g'N かつ hN=h'N ならば g*hN=g'*h'N」という命題。 ”
　↓↑
”（一価の）関数 f は代入原理と呼ばれる条件 a = b → f(a) = f(b) を満たす対応（一意対応）でなければならない”
（同値）が言えるのかね？　

>>478で述べたように、私は（一意対応）を直接示したから、あなたのいう"well-defined"なら十分終わっている と（つまり一意対応から、「積も一意」はすぐ示せる）
が、問題は「g,g',h,h'∈G に対し、gN=g'N かつ hN=h'N ならば g*hN=g'*h'N」→（一意対応）が言えるのか？
gNの定義をしっかりしていれば言える？　でも、gNの定義の過程で代入原理 a = b → f(a) = f(b) （一意対応）を先に示してしまえば、そこで終わってる話と思うのだが・・

524 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/14(土) 07:02:02.51 ID:1ktc1FSG.net

>>474 ハメル基つづき
ちょっと考えたことがあるので、書いておく

１．ハメル基の話は、代数拡大で、ベクトル空間の基底の概念の特別な場合であると。つまり、体の話
２．それを、今の問題の”複素平面Cの乗法群C^{×}＝C-{0}”に持ち込んで、どう使うのか？　さっぱり筋が浮かばない（筋違い？）
３．さらに言えば、代数的数全体からなる集合Q~（下記）は、有理数体の無限次元の代数拡大体であり（ガロア理論を参照）、可算集合であるという

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E7%9A%84%E6%95%B0
数学、特に代数学における代数的数とは、ある有理数係数の 0 でない多項式の根となる複素数のことである。
代数的数に対する加減乗除の結果は、やはり代数的数であるので、代数的数全体からなる集合は体をなし、Q~（本当はQの上にバーがついているが、書けないのでこれで）と表す。

Q~の性質
Q~は、有理数体の無限次元の代数拡大体である。
また、代数的数を係数とする 0 ではない多項式の根は代数的数であるので、Q~ は、代数的閉体である。
さらに、有理数体を含む任意の代数的閉体は、Q~を含むので、有理数体の代数的閉包でもある。

集合論的性質
カントール (G. Cantor) は、1874 年に、Q~ が可算集合であることを証明した。
その後、彼は複素数全体の集合が非可算集合であることを証明し、ほとんど全ての複素数は、代数的数ではない、つまり超越数であることが判明した。

525 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/14(土) 08:01:27.18 ID:1ktc1FSG.net

>>524 つづき

１．繰り返すが、"代数的数全体からなる集合Q~（下記）は、有理数体の無限次元の代数拡大体であり（ガロア理論）、可算無限集合"だと
２．つまり、現代ガロア理論で言えば、Q~は無限次元のベクトル空間で、その次元は可算無限。だから、集合Q~の基底は可算無限
３．同様に、実数Rを有理数体Qの無限次元の拡大体と考えて、その基底がハメル基
４．が、その次元は連続無限。だから、その基底（ハメル基）も連続無限
５．当然、ハメル基を具体的に構成することは、２１世紀数学でもまだできない。
（∵（wikipedia 「代数的数」より）”代数的でない式によって与えられた数が代数的数であるか否かを判定することは大変難しく、
オイラーの定数のように古くから知られていながら、代数的数かどうかどころか、有理数かどうかかすら分かっていない数もある。”という現状だから）
６．ハメル基の存在は、>>470 藤岡敦に証明がある。（整列定理と超限帰納法を用いて）（但し、ｎは有限だが、ハメル基は連続無限あることへの言及がないのは残念だ）
７．まあ、要は代数的数全体からなる集合Q~の可算無限拡大の延長に、実数Rのハメル基なるものの存在があると。但し、”ｎは有限”に重みがあるように思うのだが

これが、私のハメル基の理解

下記mathoverflowを読むと、内容はあまり理解できないが、日本の（一般向け）掲示板とはちょっとレベルが違う気がする
http://mathoverflow.net/questions/46063/explicit-hamel-basis-of-real-numbers
Explicit Hamel basis of real numbers edited Nov 16 '10

526 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/14(土) 08:53:55.68 ID:1ktc1FSG.net

>>219-220 ここに戻る
対角線論法にはまっていた
むずかった

が「自己言及の論理と計算 - 京都大学 長谷川真人」が面白かった
www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~cs/cs2011_hasegawa.pdf
(抜粋)
良く知られているカントール（Cantor, G., 1845-1918）の対角線論法は，はじめに述べたラッセルのパラドックスと大変良く似た構造を持っている．
定理1 自分自身の巾集合を含むような集合は存在しない．より正確には，任意
の集合X について，その巾集合2X からX への単射は存在しない．

証明はラッセルのパラドックスに用いられたのとほとんど同じ論法による．X を
集合とし，m : 2X → X を単射としよう．ここで，X の部分集合R を，
R = {m(A) | A ⊆ X, m(A) not∈ A}
と定義しよう．問題は，m(R) がR に属するかどうかである．
（引用おわり）
ここが分からんかった

余談だが、自己言及というより、自己否定言及だと思うんだよね
「私のいうことはうそです」と・・。１）「」内が正しいと、「」内はうそで「」内が否定される。２）一方「」内が否定されると、「」は正しく「」内が肯定される。

「私はうそは申しません」は、自己言及だが、数学の証明には使えない・・
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B1%A0%E7%94%B0%E5%8B%87%E4%BA%BA
池田勇人
1960年11月20日の第29回総選挙に先立っては自ら自民党のテレビCMに登場して、本音しか言えない池田というイメージを逆手に取って「私はウソは申しません」と言い切った。

527 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/14(土) 09:04:47.23 ID:1ktc1FSG.net

つづき
>>220の渡辺 治 [PDF]計算複雑さ解析法＃2 対角線論法 - TOKYO TECH OCW が良い
P4 2 進数αを使った説明が良い

”この対角線論法は，無限長2 進列の無限集合A （ただし，要素を並べることができるもの）に対し，それに入らない無限長2 進列を作る方法である．
その議論でのポイントは，
(i) A の要素（無限長2 進列）を並べた表を作り，
(ii) その対角線の値（0 または1）を反転させた無限長の2 進列としてαを定義する，
の2 点である．
このようにすると，A に入らない2 進列α の構成が可能になるのである．”

これ、べき集合の>>526”定理1 自分自身の巾集合を含むような集合は存在しない．より正確には，任意の集合X について，その巾集合2X からX への単射は存在しない．”
の説明になっている

上で構成した、A に入らない2 進列αを使って、定理1の証明（自己否定言及）にもってゆくのかなーと

528 ：１３２人目の素数さん：2015/03/14(土) 09:14:27.21 ID:1ktc1FSG.net

>>527 つづき

下記のような理由があり、2 進数による証明は、べき集合に容易に拡張できる・・かな
http://homepage3.nifty.com/rikei-index01/syugou/syugou4.html
集合の基本４（べき集合、直積など）
(抜粋)
定義 （ べき集合 ）

Ｘ を集合とする。
Ｘ の部分集合全体を 『 Ｘ のべき集合 』 といい、２^Ｘ と表す。
すなわち、２^Ｘ＝｛ Ａ | Ａ⊂Ｘ ｝である。

べき集合の元の数は２のべき乗になる。
例えば、上の例では集合 Ｘ の元は３個で、２^Ｘ の元は ２^３＝８個 である。
なぜこのような関係が成り立つのだろうか？
いま、２^Ｘ に属する Ｘ の部分集合にどのようなものがあるかを考えてみよう。
これは Ｘ の各元が部分集合に 「 属する・属さない 」 の組み合わせを考えることと同じである。
だから、べき集合の元の数は２のべき乗になるのである。
べき集合を ２^Ｘ と表すのもこれが理由である。

Ｘ のべき集合を Ｐ（Ｘ） と表す流儀もある。
これは英語の power set （べき集合という意味）に由来する。

529 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/14(土) 10:15:10.87 ID:1ktc1FSG.net

>>526-528 まとめ

１．「自己言及の論理と計算 - 京都大学 長谷川真人」 京都大学数理解析研究所数学入門公開講座 （2002 年8 月5〜8 日）の予稿を改訂か
２．最初の定理１で躓いた私としては、渡辺 治の「2 進数説明」と、「べき集合の元の数は２のべき乗になる」を抜きに、分かるのかなー？と
　まあ、京都大学数理解析研のレベルなら、「常識」と仮定していいんだろうか？

３．面白いところ「対角線論法から不動点へ」、「不動点定理から具体例を見直す」（圏論）、「直観主義的抜け道について」、「停止性問題」、「計算可能性とラムダ計算」・・
４．具体的には
P3
「そして，このことから，自分自身を呼び出すようなプログラム（再帰プログラム）を，自己適用現象を用いて得られる不動点として構成することができるのである．
（似たことが直観主義論理の世界でも起こりうる：以下のコラムを参照．）」
「対角線論法というと，矛盾から否定的な結果を導くための道具，という印象を持っておられる方が少なくないであろうし，
また，（すでに見てきたように）実際そうなのであるが，少し広い視野に立って，一般化された対角線論法を考えると，
実は，有用な（肯定的な）結果を導く際にも対角線論法が現れていることがわかる．
ここで使われる数学は決して難解なものではないが，数学における具体例からの一般化，
また一般化された見方からの具体例の分析，さらに否定的な見方から肯定的な見方への変化などの面白さが，端的に現れているものだと思う．
そのあたりの楽しさを味わって頂ければ幸いである．」・・

P9
「ゲーデルの不完全性定理や停止性問題なども，この不動点定理の一例と考えることができる．」・・辺り

５．要は、計算科学の方が、２０世紀の素朴な数学基礎論を超えて、明確に進化したという感覚を持ちました。（細かい点はむずいので良く分からないところが多いが）

530 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/14(土) 10:32:50.92 ID:1ktc1FSG.net

>>529 補足

対角線論法をいろいろ調べたのは、べき集合の濃度やハメル基とかの関係
ハメル基って使えるの？　ハメル基って集合の濃度が示せるのか？　という素朴な疑問からだった

対角線論法が、いまこんなに広がりを持っているとは知らなかった・・
が、結論から言えば、べき集合の濃度、つまりは実数の連続濃度の証明は、対角線論法を使う以外にはないみたいってこと

「ハメル基の持つ性質を使って濃度が非加算無限を導くのではなく、Hの構成法から、Rを全て表すためにはHの濃度が非加算無限でなければならないという論理だろう 」>>474の裏付け
これで、べき集合の濃度の考え方がクリアーになったよ

531 ：１３２人目の素数さん：2015/03/14(土) 10:55:39.58 ID:Z5dsHth2.net

対角線論法は次の一点さえ理解できれば簡単

有理数に対して対角線論法を使った場合に、何故無理数の場合と同じことにならないのか？

532 ：１３２人目の素数さん：2015/03/14(土) 11:14:19.87 ID:FaEZeIo7.net

>>522>>523
>>417の(3)は G/N に演算を定める問題だが、
前提として G/N が集合として定義されてなければならない。

集合としての定義は厳密にはこう：
　g,g'∈G に対し、「g〜g'⇔g∈g'N」として関係 〜 を定めれば、〜 は同値関係。
　この同値関係による商集合を G/N と書く。

>>461はこの段階の話でしかない。

例えば G=Z (整数全体のなす加法群)、N=3Z とすると、
>>461>>462では集合として
　G/N={[0],[1],[2]}　（[a]はaを含む同値類）
であると言っているにすぎず、
例えば [0]+[2] と [6]+[8] は等しいか？ということについては触れられていない。

533 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/14(土) 11:24:05.22 ID:1ktc1FSG.net

>>531
どうも。スレ主です。

>対角線論法は次の一点さえ理解できれば簡単
>有理数に対して対角線論法を使った場合に、何故無理数の場合と同じことにならないのか？

いや、だから、それを一般の集合とべき集合に適用したときにどうなんだと

534 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/14(土) 11:37:52.13 ID:1ktc1FSG.net

>>532
どうも。スレ主です。

well-defined 性は、>>522-523に書いたように、個別問題を離れれば、
代入原理と呼ばれる条件 a = b → f(a) = f(b)だと

そして、おっしゃるように、>>461では商集合を G/N の類別の一意性（well-defined）を示した
積*の定義は、元の群の定義*を使う

で、>>417で誘導してもらったのかね？　f:G→G' の群準同型写像を考える
これは、>>436で書いたように、f(xy)=f(x)f(y)と積の構造が保存される

だから、代入原理 a = b → f(a) = f(b)が言えれば、あとはすぐ上との組み合わせで、直ちに”gN=g'N かつ hN=h'N ならば g*hN=g'*h'N”と言えないのかね？
直感だが、そういう気がする

そして、”gN=g'N かつ hN=h'N ならば g*hN=g'*h'N”の部分は、群環体その他対象に依存する部分だと

正直、well-definedはいろんなところで出てくるが、深く考えたことはない
が、いま考えるとそういうことではという気がする

535 ：１３２人目の素数さん：2015/03/14(土) 11:50:11.91 ID:Z5dsHth2.net

>だから、代入原理 a = b → f(a) = f(b)が言えれば、あとはすぐ上との組み合わせで、直ちに”gN=g'N かつ hN=h'N ならば g*hN=g'*h'N”と言えないのかね？
>直感だが、そういう気がする

何故自分の直感を他人に証明してもらおうとするのか？

536 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/14(土) 12:14:12.58 ID:1ktc1FSG.net

いや、ここでは証明をする気はないんだ
原則としてね。このアスキー制限の掛かった板は、数学の証明には向かないから

だから、私は他のホームページやブログからの紹介とコピペをベースにするんだ
今回は出題だったから、むりむり証明を行った

が、「(n"'"の置き方をミスってるような気がするが)」>>503とご指摘のようにそうかもしらん
mathoverflow流なら、もう少し表現を工夫するところだろう

well-definedの議論も、「べつにー」と
ただ、well-definedを自分なりに深く考える機会になったし、英wikiと日wikiで記載が異なるし、それぞれ読み比べてみれば面白かったと

537 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/14(土) 13:42:35.98 ID:1ktc1FSG.net

>>530
今後のために、またご参考まで、下記貼ります
http://ufcpp.net/study/set/cardinality.html#infinite
(集合論) "++C++; // 未確認飛行 C"
(抜粋)
無限濃度に関する性質
まず、可算濃度 ??0 よりも大きな無限濃度が存在することについて説明します。 （といっても、ところどころ証明は省き、概要説明だけになりますが。）
（有限・無限を問わず） ある集合 a に対して、 その冪集合 P (a) の濃度は 2^ |a| になります。
そして、証明は省きますが、 a と P (a) の間には全単写が存在しない （＝ 同値にはならない） ので、 |a| < 2^ |a| になります。

ここで、a の部分に自然数全体の集合 ω を入れると、 ??0 < 2^ ??0 となり、可算濃度よりも大きな濃度が存在することが分かります。
可算濃度よりも大きな濃度を持つ集合を 非可算集合（uncountable set）と呼びます。 また、この式から、無限濃度がいくらでも作れることが分かります。

証明は省略しますが、 無限濃度に関して、 α を無限濃度、 β を濃度として、 以下の定理が成り立ちます。

・β ≦ α ⇒ α + β = α
・0 < β ≦ α ⇒ αβ = α
・n を非0の自然数として、 α^n = α
・α < 2α
・2 ≦ β ≦ α ⇒ 2^α = β^α

まとめると、 2 ≦ β ≦ α であるような濃度 β に対し、
α + β = αβ = α < 2^α = 3^α = ? = β^α

となり、 見ての通り、 有限濃度（＝ 自然数）の場合と大きく異なります。

538 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/14(土) 13:51:01.32 ID:1ktc1FSG.net

>>534-536
まあ、うまく言えないが
”gN=g'N かつ hN=h'N ならば g*hN=g'*h'N”の部分は、体だったら、積に加えて”gN=g'N かつ hN=h'N ならば g+hN=g'+h'N”みたく、和についても言及する必要があるんじゃないか？
でも、それって、最初のgNやhNの定義のwell-defined 性（一意）がキモなんじゃないか？　代入原理 a = b → f(a) = f(b)（一意）みたいなことが言えれば、後は体の定義と演算から自然に導かれるみたいな・・（体の場合は代数拡大とか言うんだろうが・・）

539 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/14(土) 13:53:13.15 ID:1ktc1FSG.net

>>537 文字化けしている ??の部分がアレフ記号なんだ

540 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/14(土) 14:08:25.17 ID:1ktc1FSG.net

アレフ　? でるかな？

541 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/14(土) 14:10:00.55 ID:1ktc1FSG.net

アレフが書けないのか・・、困ったものだ

542 ：１３２人目の素数さん：2015/03/14(土) 14:18:51.17 ID:FaEZeIo7.net

>>538
そう思うのは自由だが
それはそれとして、演算の well-defined 性の証明はやっぱり必要。

群環体の場合はある程度しっかりした構造を持っているからうまくいくのであって、
より一般の代数構造ではうまくいかないこともある。

ちなみに、環や体の場合正規部分群に相当する概念は(両側)イデアルというもので、
環の場合は確かに和、積両方について言及が必要。
体の場合、イデアルは自明なもの({0}と全体集合)しかないので、似たようなことは話題にならない。
代数拡大は全然違う話。

543 ：１３２人目の素数さん：2015/03/14(土) 14:37:27.10 ID:FEJE1Jnz.net

well-defined ほど重要な概念は無いと言っても過言ではない。

複雑な対象ほど、そのままでは扱えないので、
何らかの同値類を取って簡略化した対象にしてから扱うことになる。

だがしかし、複雑な対象を簡略化したからと言って、その対象は本質的には全く簡単になっていない。
なぜなら、複雑だった部分は、同値類によってその内部に隠蔽されてしまっただけだからだ。
その隠蔽された複雑性は、どこかで「再出現」するのであり、再出現した段階で
真正面から相手にせざるを得ない。

では、その複雑性は、具体的にはどこで「再出現」するのか。
たとえば、その同値類を定義域とする何らかの写像 f を定義したとしよう。
すると、定義域が「同値類」であるがゆえ、f が well-defined であるかどうかが
大きな問題となる。

もう分かるだろう。隠蔽された複雑性は、well-defined 性を示す場面において
「再出現」するのである。

したがって、「 well-defined に興味を持たない 」とは、「対象の複雑性から逃げている」
ことを意味する。それはすなわち、対象そのものについて真正面から向き合っていないことを意味する。

それでは数学を勉強している意味が無い。
種々の写像について、それが well-defined であることは自力で証明して然るべきである。
また、それが示せたならば、対象の複雑性を克服できたということである(…というのは言い過ぎではあるが)。

544 ：１３２人目の素数さん：2015/03/14(土) 14:51:29.31 ID:gO6zAEmW.net

>>520
正確に(完全に)
>数少ない支援者
といえる訳ではない。机で数学をしていたのだが、ちょっとゴタゴタした面倒なことがあって、
少し時間を費やすことになり、スレ主とは暇潰しにじゃれあっているつもりである。

>>518
「メンターさん」と呼んでいる人は、高校数学の質問スレにもいるよ。
人物像は特定出来ないが、何らかのきっかけで高校数学に関係があるのだろう。
まあ、己が出した問題の解答を自力で出来なかったことは認める。情けない限りだ。
かつてのコテKummerは、確か代数的整数論スレで関数解析がらみの話をいていたんじゃなかったけ？

545 ：１３２人目の素数さん：2015/03/14(土) 15:03:47.14 ID:gO6zAEmW.net

>>525
いや、オイラー数は確実に無理数ではあるよ。
ただ、少し面倒な解析をすることにはなる。超越数かどうかまでは分からない。
あと、よく確認したら、確かに有理数の稠密性とディオファンタス近似は何ら矛盾していなかった。
詳細を書かなかったために生じたちょっとした勘違いだったな。

546 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/14(土) 19:23:28.57 ID:1ktc1FSG.net

>>544-545
どうも。スレ主です。
”おっちゃん”、ありがとう

>スレ主とは暇潰しにじゃれあっているつもりである。

それはありがとう。楽しんでいってくれ

>「メンターさん」と呼んでいる人は、高校数学の質問スレにもいるよ。
>人物像は特定出来ないが、何らかのきっかけで高校数学に関係があるのだろう。

それは正に「メンターさん」と呼ぶにふさわしいね

>かつてのコテKummerは、確か代数的整数論スレで関数解析がらみの話をいていたんじゃなかったけ？

そうそう、代数的整数論スレやってた人

>オイラー数は確実に無理数ではあるよ。

オイラー数違いかも（後で）

>よく確認したら、確かに有理数の稠密性とディオファンタス近似は何ら矛盾していなかった。

おっちゃん、いろんなことに興味持っているんだね

547 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/14(土) 19:32:05.21 ID:1ktc1FSG.net

>>546 つづき
オイラーの定数とオイラー数

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E6%95%B0
オイラーの定数 オイラーの定数は超越数であろうと予想されているが、無理数であるかどうかさえ分かっていない。
http://en.wikipedia.org/wiki/Euler%E2%80%93Mascheroni_constant
Euler?Mascheroni constant
Properties
The number \gamma has not been proved algebraic or transcendental. In fact, it is not even known whether \gamma is irrational.
Continued fraction analysis reveals that if \gamma is rational, its denominator must be greater than 10242080.[7]
The ubiquity of \gamma revealed by the large number of equations below makes the irrationality of \gamma a major open question in mathematics. Also see Sondow (2003a).

Lagarias, Jeffrey C. (October 2013). "Euler's constant: Euler's work and modern developments" (PDF). Bulletin of the American Mathematical Society 50 (4): 556. doi:10.1090/s0273-0979-2013-01423-x.
http://www.ams.org/journals/bull/2013-50-04/S0273-0979-2013-01423-X/S0273-0979-2013-01423-X.pdf

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E6%95%B0
オイラー数は、双曲線正割関数のテイラー展開における展開係数として定義される。
http://en.wikipedia.org/wiki/Euler_number
In number theory, the Euler numbers are a sequence En of integers (sequence A122045 in OEIS) defined by the following Taylor series expansion:

548 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/14(土) 19:43:08.69 ID:1ktc1FSG.net

>>542-543
どうも。スレ主です。

ID:FEJE1Jnzさんか、興味深い話をありがとう。
”well-defined ほど重要な概念は無いと言っても過言ではない。
複雑な対象ほど、そのままでは扱えないので、
何らかの同値類を取って簡略化した対象にしてから扱うことになる。”か

そういう視点は持っていなかったが、大事だね

ID:FaEZeIo7さんは、数学科で３年修了より上なんだろうね。レベル高いね
well-defined 性の話は単純なんだ。wikipedia（日および英）に書いてあることと違うと
で、思うに、wikipediaに書いてあることから、ID:FaEZeIo7さんの演算の確認は、できるんじゃないかと
そういう流れにならないと、自分の中でwikipediaとID:FaEZeIo7さんの話とが繋がってこない

まあ、この話はじっくりやりましょう
そもそも、well-defined は数学的定義じゃなく、哲学的定義だ
「うまく定義できました」と
でも、>>543の視点は重要だと思うよ

549 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/14(土) 19:56:07.65 ID:1ktc1FSG.net

>>548 つづき

省略したが、well-definedってどういう意味ですか？ のベストアンサーが、ID:FaEZeIo7さんにずばりだね
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/welldefined/welldefined.htm
Ｗｅｌｌ　Ｄｅｆｉｎｅｄ
　抜粋
　高校数学から大学数学へ進化していく過程で、「Ｗｅｌｌ　Ｄｅｆｉｎｅｄ」ということが、否応にも
意識され始める。私自身最初のころは、その本質を理解しないまま、見よう見まねでなんとなく使っていた覚えがある。

今回、次の書籍：土基善文　著　　ＸのＸ乗のはなし　（日本評論社）
を読んでいたら、「Ｗｅｌｌ　Ｄｅｆｉｎｅｄ」の話があって、改めてその奥の深さを認識させられた。

　「Ｗｅｌｌ　Ｄｅｆｉｎｅｄ」という言葉に初めて接するのは、おそらく「位相空間論」の講義におい
てだろう。または、「群論」の講義かもしれない。

（コメント）　初めて「Ｗｅｌｌ　Ｄｅｆｉｎｅｄ」に接したときは、「当たり前のことを、何でそんなに仰
　　　　　　々しく述べるの？」という感じだったが、その真意が分かるにつれ、重要性も理解
　　　　　　され当たり前のように「Ｗｅｌｌ　Ｄｅｆｉｎｅｄ」を確認している自分に気がつく。端から
　　　　　　は、きっと、私が当初感じたように見られているのでしょうね？

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1435043524
2010/1/814:21:44 well-definedってどういう意味ですか？
ベストアンサーに選ばれた回答watayans30さん2010/1/817:09:32
略

http://iky.no-ip.org/dictionary/2007/08/welldefined.html
役に立たない数学用語事典
「定義」を見たとき、その定義がwell-definedであるかどうかを気にできるようになったらかなりの上級者である。Posted at 2007年08月15日 00:26

550 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/14(土) 20:25:40.62 ID:1ktc1FSG.net

>>549 つづき

☆☆ぎゅるたん数学講座☆☆ 剰余群における演算のwell-defined性は、これもID:FaEZeIo7さんにずばりだね
大学では、そう教えているんだろうね。しかし、雪江明彦先生怒っているね

http://www.math.tohoku.ac.jp/~yukie/report4.pdf
代数概論A レポート問題(演習)4 について （雪江明彦）
# 1. 代数では『well-defined』ということがなかなかわかってもらえず苦労するが，この問題はまさに『well-defined』とはどういうことかということを問う問題.
採点してみて，大部分の人がまだ『well-defined』という概念を理解していないことがわかった.
また，論理に関しても必要条件と十分条件の区別がつかない人が大部分である.
授業で確かにn,m が非常に小さい場合に起こりうる不都合について述べたが，そのような不都合が起こらないからといって，定義がwell-defined であるという保証はない.
（略）

http://ameblo.jp/algebric-variety/entry-11166307952.html
☆☆ぎゅるたん数学講座☆☆
群論９　剰余群における演算のwell-defined性 2012-02-16 10:53:24
（抜粋）
※注意　今回の内容はwell-defined性といって、ちょっと難しいです。
かなり丁寧に書いたつもりですが、それでもわからないかもしれません。大学数学の難関の一つだと言われています。
それでも類書などに比べてかなり丁寧に解説したつもりではあるんですが、それでも上手く書けたかどうか・・・。
「私は意味にしか興味ない、厳密数学などに興味はない」という方はこの記事は飛ばして次の記事に飛んでいただくといいと思います。

[well-defined性とは？？]
　前回、部分群Nによる商集合G/Nで、特にNが正規部分群という性質のいい部分群のときは、商集合G/NにGの演算に適合した演算(aN)(bN)=(ab)Nを定義することができて、
しかもこの演算で群になり、この群G/Nを剰余群というのでした。

[演算の定義がwell-definedであることの証明]
略
いつもは特に詰まる箇所もなくすらすら書けていたのですが、今回の証明は詰まるところが何箇所かあって、結構長考してしまいました。

551 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/14(土) 20:52:49.90 ID:1ktc1FSG.net

>>546 補足

"有理数の稠密性とディオファンタス近似"で検索したら、下記がヒットした
（以前に紹介したかも知れないが・・）

http://www.ma.noda.tus.ac.jp/u/ha/SS2006/hokoku.html
2006年度整数論サマースクール報告集
http://www.ma.noda.tus.ac.jp/u/ha/SS2006/Data/Hokoku/hirata.pdf
平田典子（日本大学）
「対数一次形式の理論と応用:HermiteからBaker, Matveevまで」
「部分空間定理と単数方程式:SiegelからSchmidt, Faltingsまで」
「最近の新結果の紹介」
「ディオファントス問題における未解決問題」

552 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/14(土) 22:53:23.19 ID:1ktc1FSG.net

>>548-550 補足

well-definedね
ID:FaEZeIo7さん、
☆☆ぎゅるたん数学講座☆☆ 剰余群における演算のwell-defined性は、これID:FaEZeIo7さんにずばりなんだ
でもね、雪江明彦先生怒っているね

”代数では『well-defined』ということがなかなかわかってもらえず苦労するが，この問題はまさに『well-defined』とはどういうことかということを問う問題.
採点してみて，大部分の人がまだ『well-defined』という概念を理解していないことがわかった”と

”この場合、well-defined ということは、g ∈ G をg = x^i と表してg にy^i を対応させた場合，i の取りかたによらず定義が定まる.
ということである."と雪江明彦先生

どんな問題か分からないのだが、well-definedを雪江明彦先生レベルで捉えないと行けないと思うんだよね
☆☆ぎゅるたん数学講座☆☆ 剰余群における演算のwell-defined性は、これで良いとして（当然ID:FaEZeIo7さんも良いが）

”「定義」を見たとき、その定義がwell-definedであるかどうかを気にできるようになったらかなりの上級者である。”
”初めて「Ｗｅｌｌ　Ｄｅｆｉｎｅｄ」に接したときは、「当たり前のことを、何でそんなに仰々しく述べるの？」という感じだったが、
その真意が分かるにつれ、重要性も理解され当たり前のように「Ｗｅｌｌ　Ｄｅｆｉｎｅｄ」を確認している自分に気がつく。”

だから、well-defined は、ぎゅるたんで終わりじゃないと思うんだ
もう一つ上位があるんだろう。うまく言えてないけど、剰余群に限らないものが。だから、>>522-523を書いたつもりだ
ここは、うまく整理できていないが、また何かの機会に取り上げよう

553 ：１３２人目の素数さん：2015/03/14(土) 23:41:46.90 ID:FaEZeIo7.net

そりゃ剰余群の演算の well-defined 性が話題だったんだから、剰余群に話を限定しただけだ。

>>438で「well-defined を知らないんだったら」と書いたのは、
「一度でも well-defined の概念をちゃんと理解したことがあるなら、>>417の表現で伝わるはず、
それすら分からないのは知らないのと同じ」という意味合い。
解釈のズレを解決するのが面倒で適当な言い方をしてしまった。

雪江先生の問題はおそらく、
　　位数 n の巡回群を C_n と書く。演算は乗法的に書く。
　　正整数 m,n に対し巡回群 C_m, C_n を考え、それぞれの生成元の一つを x,y とする。
　　写像 f:C_m → C_n を f(x^i)=y^i (∀i∈Z)によって定めたとき、f が well-defined になるための
　　必要十分条件を m,n を用いて表せ。
というところだろう。

雪江先生レベルに理解してるなんてとても言えないが、
剰余群以外に well-defined の例を挙げろと言われれば挙げられる程度には知ってるぞ。

554 ：１３２人目の素数さん：2015/03/14(土) 23:50:32.14 ID:Z5dsHth2.net

結局スレ主さんは（１）、（３）不正解で、33点　⇒群論入門落第ってことか

555 ：１３２人目の素数さん：2015/03/15(日) 00:28:17.99 ID:q+GeWCat.net

解釈を正すのが面倒という判断は正解だったな。
結局ズルズルと話を広げさせてしまった。

あ、>>553の問題は当てずっぽうなんであしからず

556 ：１３２人目の素数さん：2015/03/15(日) 09:07:59.50 ID:N5rH2DRm.net

>>546
＞>オイラー数は確実に無理数ではあるよ。
＞オイラー数違いかも（後で）
あ〜、確かにオイラーの定数の間違いだったね。

＞>よく確認したら、確かに有理数の稠密性とディオファンタス近似は何ら矛盾していなかった。
＞おっちゃん、いろんなことに興味持っているんだね
いや、注意深く分析してよく考えるとリウビルの定理(同じ名称の定理は他にもある)
っていう超越数論の基本的な定理が得られる内容とかが書かれているような、
デデキント切断による実数論や有理数の稠密性に述べた
小平解析入門っていう微分積分の本はあるよ。今でも売られている。
いい微分積分の本だよ、うん。やっぱり基本は大事だよ。
幅広く関心を持つことは重要。この点では表現論が応用性があるな。

557 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/16(月) 00:30:34.32 ID:WV/RsgiY.net

>>553
どうも。スレ主です。
ああ、そりゃそうだろう

まあ、well-defined の話はまた次にやろう
あの雪江先生の解説で問題を推定できるのはさすがだね。レベルが高いね

>>554
ID:Z5dsHth2 くんか、君はレベル低そうだな？
出題者は、いちおう全問正解をくれたよ
33点　⇒群論入門落第は、君自身だよ（笑い）

君にも、>>517の問題をぶつけておくよ
どうせ、君には無理だろうがね（笑い）。来週も君たちの泣き顔が見られるとは楽しみだ

558 ：１３２人目の素数さん：2015/03/16(月) 00:35:05.89 ID:WV/RsgiY.net

>>555
どうもどうも
勉強になりました

well-definedね
深い話があるみたいだね・・

>>553の問題は、当たっている気がする

>>556
おっちゃん、どうも
勉強がんばってなー

559 ：１３２人目の素数さん：2015/03/16(月) 01:33:22.12 ID:e/FImr/y.net

勉強はもういいよ

560 ：１３２人目の素数さん：2015/03/16(月) 19:24:08.81 ID:D2P349Cb.net

おまんこ頑張らな子供できへんで

561 ：１３２人目の素数さん：2015/03/16(月) 21:42:31.45 ID:UUvM2zSj.net

>>557
これは群論の入門レベルの問題で、しかも君が大恥かいて必死に勉強し直した”正規部分群”に関する問題だ。
君の場合まず自分が馬鹿であると言う自覚を持つことから始めるようお勧めする。
>>429 >>430 >>447 >>449 ←この解答で自称満点とは、馬鹿にも程があるからね。

562 ：１３２人目の素数さん：2015/03/16(月) 22:08:14.93 ID:fjQeHHyh.net

出来ることと、好きなことは一致しないものだ

563 ：１３２人目の素数さん：2015/03/18(水) 13:44:48.03 ID:/eYL1Gmz.net

>>558
私が出した問題は、本当は単純に示せる問題だった。
過去スレ見たが、スレ主の方針と微妙に違うようなので、一応書いておく。
もしかしたらスレ主の方針と何ら変わらないのかも知れないが、判別不能。

開区間(1,+∞)は非可算集合である。乗法群C^{×}は可換群であるから、任意のs＞t＞1なるs、t∈Rに対して
G(s)＝{e^{ms}|m∈Z}、G(t)＝{e^{mt}|m∈Z}
と定義すると、G(s)(G(t))はC^{×}の部分群であり正規部分群である(ここまでの証略)。
実変数xの指数関数e^xは単調増加であるから、各s＞1に対して定まる
群G(s)の生成元e^sの全体からなるような集合{e^s∈G(s)|s＞1}は非可算である。
今、任意のs＞t＞1なるs、t∈Rに対してG(s)≠G(t)なることを示す。
矛盾に導くため、或るs＞t＞1なるs、t∈Rが存在してG(s)＝G(t)だったとすると、
或る(m,n)∈Z＼{0}に対してe^{ms}＝e^{nt}からms＝ntであり、s＝(n/m)t。
よって、s、tの大小関係及び1＞0からs＞t＞0であり、n＞m≧1またはn＜m≦-1。
即ち、n/mに対して或るa＞b≧1なる自然数a、bが存在してn/m＝a/bであり、s＝(a/b)t。
故に、G(s)＝G((a/b)t)＝G(t)となるが、a、bが互いに素であるか否かに関わらず、
G((a/b)t)、G(t)のどちらか片方、かつその一方にのみ属する点が必ず存在するから、
G((a/b)t)≠G(t)であることになって矛盾。

564 ：１３２人目の素数さん：2015/03/18(水) 15:58:59.98 ID:/eYL1Gmz.net

>>558
あっ、>>563では最後に
>故に群の集合族{G(s)⊂C^{×}|s＞1}は非可算である。
と書く必要があるか。まあ、開区間(1,+∞)は非可算集合であることは、開区間(1,2)が非可算であることを
開区間(0,1)が非可算の証明に使ったカントールの対角線論法で同様に示し、それから(1,2)⊂(1,+∞)なることをいって示せる。
証明は殆ど同様の形になる。>>290を読む限りでは違う方法のようだ。
>６．(1＜)x1＜x2 なる実数からなる二つの最小の乗法群 G1とG2を考える。
>x1∉ G2 だから、G1≠G2となる。（細かい点は分かるだろうから省略）
だと、必ずしも(s＝)log(x_1)＝(a/b)・log(x_2)(＝(a/b)t)になるとは限らない。

565 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/20(金) 23:16:03.13 ID:YqNEqI5d.net

>>561-562
どうも。スレ主です。

ID:UUvM2zSjくんか、君たちもレベルが低そうだな。口先ばかりで
で、君たちにも、>>517の問題をぶつけよう
そうだな、君たちはレベルが低そうだから、問題を解けとはいわん

何でも良いから、>>517の問題を見て、思うところを書いてみな（笑い）
それで、君たちの数学レベルが透けて見えるから・・（笑い）
こう書けば、君たちには何もかけまい。書けるはずがないよね（クククッ）

566 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/20(金) 23:39:07.95 ID:YqNEqI5d.net

>>558
>well-definedね

ここに戻る、酒井克郎 筑波大学下記より
https://sites.google.com/site/ksakaiidtopology/home/ri-ben-yunopeji/basic-topology
Homepage of Katsuro Sakai ; 酒井克郎のホームページ? > ?酒井克郎のホームページ? > ?
集合と位相の基礎知識
大学の 1, 2 年では、集合と写像について学ぶ。現代数学を学ぶ上で、集合と写像は数学の言語とも言える基礎概念である。
大学の 2, 3 年では位相空間と連続写像に関する基本的な事柄を学ぶ。
添付ファイルは何年か筑波大学で担当した講義の際にまとめた講義録であり、ご自由にダウンロードできます。
ご意見・ご感想など、gmail.com のアドレス k.sakai.top にお寄せ下さい。

https://docs.google.com/viewer?a=v&pid=sites&srcid=ZGVmYXVsdGRvbWFpbnxrc2FrYWlpZHRvcG9sb2d5fGd4OjUxMzU4MWE1MDIxM2YxMmQ
2012 年改訂版 集合入門 集合と写像の基礎概念 酒井克郎 筑波大学・数学系

はじめに
　集合や写像に関する命題の証明が書けるようになること, 商集合の扱いになれ, well-definedness に対する認識を持てるようになることも大切
な目標となっている.

P33「数学では, ある集合の上に様々な概念や事柄を定義して, それについて議論を進めていくが,
何かを定義をする場合, “その定義には矛盾がなく適切か”, 言い換えれば, “矛盾無く適切に定義できているか” が問題となることが多い.
“矛盾無く適切に定義できている” ということを“well-defined” であるという.
考えている集合が商集合の場合, ある概念を定義するとき, 商集合の元ではなく, その代表元を用いて定義することが少なくない.
この場合の“well-defined” の問題は, “代表元の取り方に依存せずに定義できているかどうか” ということである.」

567 ：１３２人目の素数さん：2015/03/20(金) 23:54:14.57 ID:WYbmvuv/.net

>>565
お前自分で解けないからってしつこく聞くなよみっともないｗ
群論の初歩問題でさえ赤っ恥解答のお前に解けるはずないもんなｗ

568 ：１３２人目の素数さん：2015/03/20(金) 23:59:15.48 ID:WYbmvuv/.net

>>566
やっと
＞429 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 21:05:06.49 ID:CATUi/5b
＞２．>>423の「(2) 定義がもともとの対象から複数定まる対象を経由して行われる場合、結果がもともとの対象にのみ依存する。」を示すには、>>425”g1,g2・・・は、上記Nでの剰余類別の代表元”が一意であることを示せばよい
が大馬鹿発言って気付いたのか？遅いぞ馬鹿

569 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/20(金) 23:59:43.35 ID:YqNEqI5d.net

>>566
酒井克郎 筑波大
・商集合の扱いになれ, well-definedness に対する認識を持てるようになる
・考えている集合が商集合の場合, ある概念を定義するとき, 商集合の元ではなく, その代表元を用いて定義することが少なくない.
・この場合の“well-defined” の問題は, “代表元の取り方に依存せずに定義できているかどうか” ということである.

さて
・「定義」を見たとき、その定義がwell-definedであるかどうかを気にできるようになったらかなりの上級者である。>>549
という
>>417の出題者 ID:Pt6N2tUG くんを、”well-defined”について、Ｘ級位者だとしてみよう

問題は、Ｘ級が初級なのか上級なのかだ
早めに言っておくが、明らかに出題者 ID:Pt6N2tUG くんは、私スレ主より上位者だ

だが、私が下位だから、愚直にwikipediaのwell-definedを調べた。>>423だ
そして、上記酒井克郎 筑波大とほぼ同じ結論に達した
「この場合の“well-defined” の問題は, “代表元の取り方に依存せずに定義できているかどうか” ということである.」と

そして、この方針に沿って証明を書いた
それが>>461だ（つまりは、商集合を使った積は群で定義された積を使っているので、“代表元の取り方に依存せずに定義できているかどうか”がポイントだと）

これに対して、出題者は>>476
「正直>>462以降は何が言いたいのかよくわからないが、>>417の出題で意図された"well-defined"は証明できてないと思われる。」
「つまり証明すべきことは「g,g',h,h'∈G に対し、gN=g'N かつ hN=h'N ならば g*hN=g'*h'N」という命題。」
だと

もう言いたいことはお分かりだろう

570 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/21(土) 00:03:28.34 ID:ooXUMShZ.net

>>567-568
面白いやつ
>>517の問題は解けたか（笑い）

もう一週間笑えそうだな（クククッ）

571 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/21(土) 00:07:08.53 ID:ooXUMShZ.net

>>517の問題を再録しておこうか？
「ゼロを除く複素数の成す乗法群の集合は、連続濃度の”べきの濃度”を持つ」は正しいか否か
理由を付して述べよ

「複素数の成す乗法群」なんて、高校生レベルだろうよ？　これが分からないようじゃ、大学数学は無理

572 ：１３２人目の素数さん：2015/03/21(土) 00:11:55.01 ID:eCYLhHIT.net

（´･∀･`）ﾍｰ

573 ：１３２人目の素数さん：2015/03/21(土) 00:15:47.04 ID:8RykR7UY.net

>>571
じゃあスレ主は大学数学無理だね

574 ：１３２人目の素数さん：2015/03/21(土) 00:17:06.27 ID:le0Wvqws.net

>>571
それ、マスゴミがよくやる手口だよね

575 ：１３２人目の素数さん：2015/03/21(土) 02:57:24.82 ID:o57Ps3qH.net

>>417です。

とりあえず>>417の問題について。
(1)は>>440での"逆の包含"が残ってるので未完。
そしてここの理解が不足してるなら、(2)の"正規であること"の証明も不十分と言わざるを得ないかな。
もし修正するなら、>>440のように正規部分群のどの条件を示すのかはっきり提示して、それを示すのがいい。

あんまりしつこく>>417を引っ張るのも申し訳ないんで、(1)(2)についてはスレ主の好きにしてくれ。


ちなみに誘導したつもりは特になかった

576 ：１３２人目の素数さん：2015/03/21(土) 03:02:09.74 ID:8RykR7UY.net

>>557
>出題者は、いちおう全問正解をくれたよ
↑
嘘つきは朝鮮人の始まり

577 ：１３２人目の素数さん：2015/03/21(土) 03:26:59.06 ID:o57Ps3qH.net

>>569
>>461は「類別がうまくいく」ことの証明になっている。
出題したのは「演算がうまくいく」こと、
つまり、代表元の取り方に依存せず「積が」定義できていることの証明。これは別の話。

現に、せっかく>>425で
＞剰余群 G/Nの積を、giN*gjN＝gi*gjNで表す
と定義したのに、>>461では全くこの積が現れない。

で、代表元の取り方に依存せず積が定義できている、というのがまさに
「g,g',h,h'∈G に対し、gN=g'N かつ hN=h'N ならば g*hN=g'*h'N」
ということなんだが、伝わってなかったんかな・・・

578 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/21(土) 06:26:50.79 ID:ooXUMShZ.net

>>575
どうも。スレ主です。

>(1)は>>440での"逆の包含"が残ってるので未完。

いや、終わっているよ。
>>440で、”群が正規部分群であることを示す。「N=gNg^-1」の形を使う”と書いた

"「N=gNg^-1」の形"とは、数学的に正確に述べれば、「G の任意の元 g に対して gNg?1 = N が成り立つ。」by wikipedia （下記URL 因みに群論のテキストなら書いて有るとおり）
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E8%A6%8F%E9%83%A8%E5%88%86%E7%BE%A4

そして、証明はもともとこの文脈で書いている
>>454で、「n∈Ker(f) とする」→「∀n∈Ker(f) とする」と書いてある
そして、文脈からgについても、∀g∈Gだよ

だからそもそも、>>442の「うん、いいんじゃないかな」、「逆の包含を言ってないってことか？
それは問題ない。が、スレ主が分かっててやってるかは知らないので説明はスレ主に譲る。」
ってことだった

つまり、出題者は、暫定OKを出した。そして、私は>>454の補足説明をしたし、∀g∈Gは「N=gNg^-1」の”形”の中に込めている
つまり、∀g∈G & ∀n∈Ker(f) について述べたから、逆の包含も終わっている
（なお、∀を省略しているのは、省略しても自明だからと∀を記号から呼び出すのが面倒>>458だからの二つの理由からだ）

579 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/21(土) 07:01:07.84 ID:ooXUMShZ.net

>>577
well-definednessについては、いまだ勉強中だけど、重要な概念だということは良く分かった。ありがとう
明らかに出題者 ID:Pt6N2tUG くんは、私スレ主より上位者だということは、再度強調しておく。で、

１．酒井克郎 筑波大”ある概念を定義するとき, 商集合の元ではなく, その代表元を用いて定義することが少なくない. この場合の“well-defined” の問題は, “代表元の取り方に依存せずに定義できているかどうか” ということである.”と
２．で、「>>417の文脈で well-difined ときたら普通は>>476のように解釈すると思うんだが 俺が勉強不足なんだろうか。第三者の意見がないと何とも」>>503だったよね
３．そして、”つまり証明すべきことは「g,g',h,h'∈G に対し、gN=g'N かつ hN=h'N ならば g*hN=g'*h'N」という命題。”>>476だった
４．さらに、”well-defined を知らないんだったら(3)は無理にやらなくていいよ。知識を問いたいわけじゃないから。well-defined の意味を知らずに>>423だけ見て正しい証明を書くなんて、少なくとも俺にはできない。 ”>>438だった

が、「>>423だけ見て正しい証明を書く」というのが上級者のような気がするんだよね
酒井克郎 筑波大”商集合の扱いになれ, well-definedness に対する認識を持てるようになる ”とか
雪江明彦”代数では『well-defined』ということがなかなかわかってもらえず苦労するが，この問題はまさに『well-defined』とはどういうことかということを問う問題.
採点してみて，大部分の人がまだ『well-defined』という概念を理解していないことがわかった. ”>>550
とかの先生がたの発言を読むと

確かに、”代表元の取り方に依存せず「積が」定義できていることの証明。これは別の話”だと。それは、正しい
が、私が考えたのは、まず”代表元の取り方に依存せず”を証明しようとしたんだ、well-definednessの初心者以前だから
そして、それさえ証明すれば、あと（「積が」定義できているこ）はほぼ自明だと

>>447に書いたように、”正規部分群の性質を強く使えば、１通りはすぐ言えそうだが ”とは思ったんだよね
まあ、それが、上記３（>>476）だったんだね、おそらく

580 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/21(土) 07:53:40.79 ID:ooXUMShZ.net

>>579 つづき

”つまり証明すべきことは「g,g',h,h'∈G に対し、gN=g'N かつ hN=h'N ならば g*hN=g'*h'N」という命題。”というのは、商群についてならば、これが最短かつ必要十分なんだろう

>>461のような、剰余類別の一意性は、すでに教科書の前の部分に示されているか、あるいは正規部分群の性質を強く使えば、”g*hN=g'*h'N”は簡単なのかも

>>417 "(3)
G を群とし、N を G の正規部分群とする。
剰余群 G/N における演算の定義を述べ、
それが well-defined であることを示せ。"

これ、まさに酒井克郎 筑波大「この場合の“well-defined” の問題は, “代表元の取り方に依存せずに定義できているかどうか” ということである」
そして、１）代表元の取り方に依存せず一意であることを示し、２）次に演算についても一意であることを示す
この二段階に分ける。これが、「well-defined の意味を知らずに>>423だけ見て正しい証明を書く」こと

つまりは、剰余類群という個別の定義を離れて、上位概念としてのwell-definednessの視点だと思うんだよね
で、さきに、１）は>>461-462で示した
２）は、ほぼ自明で、実質は１）で終わっていると思っていたが（>>479）
確かに問題として出題されれば、出題者のいうとおりだ

で、>>480を書いた。これは、出題者の誘導があってのことだが、”はい、よくできましたっと ”OKを出して貰った>>503

581 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/21(土) 08:12:32.01 ID:ooXUMShZ.net

>>580 つづき

well-definednessの概念は、当然ガロアの時代にはない
が、正規部分群と商群の概念はガロアの発明と思う

彌永「ガロアの時代 ガロアの数学」第1部時代篇
P249 で、G=H+HS+HS'+・・・とG=H+TH+T'H+・・・とが、一致する場合として、固有分解（一意という意味だろう）の概念を示している
オーギュスト・シュバリエへの遺言の中で

彌永「ガロアの時代 ガロアの数学」第2部数学篇
P241で、商群の概念を示している。ガロア第一論文の命題IVだ。命題IVによって、群の縮小つまり正規部分群による商群を実質的に示している
命題Vで、群の縮小の概念を使って、方程式の群の可解性の概念を示している

なかなか見事なものです

582 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/21(土) 09:30:41.53 ID:ooXUMShZ.net

>>566
酒井克郎 筑波大学 2012 年改訂版 集合入門 集合と写像の基礎概念
P60 定理6.7 カントールの対角線論法で
”hi(i) が奇数ならxi = 2, hi(i) が偶数ならxi = 1 とする. ”ってところが、「おっ！」って感じ。良いね
>>527の渡辺 治 [PDF]計算複雑さ解析法＃2 対角線論法 - TOKYO TECH OCW P4 2 進数αを使った説明に繋がる感じだね

583 ：１３２人目の素数さん：2015/03/21(土) 10:33:55.60 ID:8RykR7UY.net

>>578
スレ主はやっぱり正規部分群がわかってない
と言うより、数学の基礎がわかってないから正規部分群もわかってないと言う方がより正確か
とにかく馬鹿過ぎて群論どうこう以前のレベルだ

584 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/21(土) 12:03:49.51 ID:ooXUMShZ.net

>>583
どうも。スレ主です。
その声は、ぱーちくりん連呼くんか・・
だれが見ても、一番分かっていないのは君だろう

>>517の問題は解けたか？　また、来週も君の泣き顔が見られそうだな

”連呼くん”には、>>392の問題１を出しておいた。易しい方の問題だ。>>80で2015/02/21(土) だったね
これさえ、君には無理だったが
>>406 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2015/03/07(土) 15:59:06.20 ID:Pt6N2tUG さんがあっさり解いたね

君のレベルの低さは圧倒的だな（笑い）

585 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/21(土) 12:07:04.92 ID:ooXUMShZ.net

>>582
集合論の続き

次元の話
http://ncode.syosetu.com/n0050be/10/
Ｐ１１　【連続体仮説】の意外な結末
(抜粋)
カントールは数直線上の点と平面上の点が同じ個数だけある事を自（みずか）ら証明してしまいます。
果たしてカントールはいかにしてそれを証明したのか？

そこで数直線上の点に対応した１つの実数をａで表し，平面上の点を２つの実数の組（ｘ，ｙ）で表す事にします。
前回、どんな実数も無限小数で表せると言いました。実数ａを無限小数で表す事にします。例えば
　　ａ＝７２１．３８５９７１２７４６……
この時、平面上の点として
　　（７１．８９１７６……　，２．３５７２４……）
を対応させます。対応のさせ方は
　　ａ＝【７】２【１】．３【８】５【９】７【１】２【７】４【６】……
このように実数ａに現れる数字を先頭から１つとびでとって（ｘ，ｙ）のｘ座標へ。そしてその間に現れる数字をとって（ｘ，ｙ）のｙ座標へ対応させるのです。
この対応の仕方だと、数直線上のどんな点も平面上の点へ１対１で対応出来ます。

ちなみに上記の対応で１つの実数に対し２つとびや３つとびを考えると、直線上の点は空間上の点や４次元空間上の点への全単射も作る事が出来ます。
つまり直線上の点と空間上の点も同じ個数ある（同じ濃度である）んですね。
直線上にある点が、平面や空間にある点と同じだけある……
カントールは自分の証明を見て
　　【私にはそれが見える。だが、信じる事が出来ない】
という言葉を、友人のデデキントの手紙の中で語ったといいます。

http://oshiete.goo.ne.jp/qa/18806.html
Q 直線上の点の数と平面上の点の数は本当に等しいの？ 2000-12-14
質問者が選んだベストアンサー
ペアノ曲線。１本の連続曲線で正方形を埋め尽くすことができます。
従って、この曲線の長さにそった１次元の座標と、正方形上の２次元座標とが対応づけられます。 👀

586 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/21(土) 12:10:19.57 ID:ooXUMShZ.net

>>583

次元の話補足（下記に分かり易い図がある）
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/dimension/dimension.htm
次元の話題　

ペアノ曲線の構成は、ヒルベルトにより、次のように説明されている。

　このような曲線の出現により、次元の定義が見直され、現在、種々の定義が考案されてい
る。（フラクタル次元、相似性次元、ハウスドルフ次元、容量次元、情報量次元、・・・）
　
　フラクタル（Ｆｒａｃｔａｌ）という言葉は、１９７５年、マンデルブロ（Ｍａｎｄｅｌｂｒｏｔ）により作られた。
物が壊れて、小さな破片や大きな破片がたくさん集まったような状態を意味するらしい。

587 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/21(土) 12:35:03.21 ID:ooXUMShZ.net

>>586

補足（村田全先生2008年7月6日逝去か）
http://fomalhautpサクラ.ne.jp/Science/Murata/cantor-menge-utf.pdf 　サクラがNGがらしいので各自検索のこと
カントルの集合論形成のスケッチ
『数学と哲学との間』所収。カントルが集合論を作り上げるまでの簡明な解説
（抜粋）
この稿の原型は1989 年「数学若手の会」での講演を同会会誌に載せた文章だが，今回，基本線だけを保存
して，一般の読者にも読めるように全面的に書き直し，二三の専門用語には解説を付けた。説明のない術
語は読み飛ばされても全体の理解に差し支えはないと思う。

さてカントルはこのようにして集合に濃度を付与し，可算濃度と連続体濃度と
を分かつのですが，デデキント宛の書簡から見ると，カントルは当初，直線，平
面，立体的空間……，の順で濃度が上がって行くと考えていたようで，それが全
て連続体濃度に帰着するというのがこの論文の主要な結果です。彼はここで，古
典的な「次元」の概念はその意味を失ったと考え，大変興奮したことがデデキント
宛の書簡に残っています。ところがここで驚くのは，この手紙の数日後のデデキ
ントの返事です。彼はカントルに「貴君の証明は誤っていません。ただ，貴君が
直線と平面との間に用いた一対一対応は連続性が欠けています。それにしてもそ
れは驚くべき事実ですが，一対一両連続な対応（今日の位相変換）の下であれば，
次元の消滅は起こらないのではないでしょうか」という意味のことを書き送りま
す。デデキント自身同様のことを以前から考えてはいたらしいのですが，それに
してもこの洞察も驚くべきことです。カントルはこの論文に引き続いて，位相的
対応の下での次元の不変性の証明を試みますが(1879)，それは完全でなく，後に
ブロウエルがはじめてそれに成功します(1910)。

http://fomalhautpsサクラ.ne.jp/　サクラがNGがらしいので各自検索のこと
科学図書館 （2012/06/04 改 訂)

村田　全の部屋(2008年7月6日逝去)
――透徹した史観と幅広い視野を持つ数学 史家・村田全の著作を収めた部屋――
――ここに収録した著作は著作権者の許諾のもとに掲載したものです。私的利用は問題あ りませんが、商用目的に使用される場合は、ご連絡ください。

588 ：１３２人目の素数さん：2015/03/21(土) 12:38:04.50 ID:8RykR7UY.net

>>584
君がわかってないことを証明できるよ
(1)だけでいいからもう一度証明を書いてごらん
「〜は〜に書いた」とかじゃなく、１レス内で完結するように整理して書いてごらん
君はわかってないから書ないだろうけど

589 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/21(土) 13:06:07.01 ID:ooXUMShZ.net

>>586

つづき（サクラがNGがらしいので各自検索のこと）

『ブルバキ　数学史』を斜め読みしたが、ちょっと内容が古いか・・。いまどき、『ブルバキ　数学史』を読む人も少ないかも
が、『ブルバキ　数学史』観が、世界に与えた影響は大きいかもしれない・・
http://fomalhautpsa.サクラ.ne.jp/Science/Murata/bourbaki-utf.pdf
『ブルバキ　数学史』について
邦訳『ブルバキ　数学史』の「訳者覚えがき」を大幅に加筆訂正し、あら たに参考文献も付け加えた．ブルバキの数学史を批判的に紹介しながら、随所に著者の独自の数学史観を展開している．

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9D%91%E7%94%B0%E5%85%A8
抜粋
村田 全（むらた たもつ、1924年3月11日 - 2008年7月6日）は、日本の数学史学者・数理哲学者、立教大学名誉教授。

来歴
兵庫県出身。北海道帝国大学理学部卒。
「Problems of the mathematical infinity : on some aspects of the concept of anti-set-theoretical totality（数学的無限についての諸問題）」で慶應義塾大学文学博士[1]。
1971年、立教大学教授。1989年、定年退任、名誉教授、桃山学院大学文学部教授。1994年、退職。
1972年から1974年まで、フランス国立科学研究センター研究員。国際科学史アカデミー会員。

翻訳
G・カントル『超限集合論』功力金二郎共訳　共立出版、1979　現代数学の系譜

590 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/21(土) 13:07:24.03 ID:ooXUMShZ.net

>>588
具体的に指摘してみな（笑い）
>>517の問題は解けたか？（笑い）

591 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/21(土) 13:25:05.67 ID:ooXUMShZ.net

>>533

関連
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%AA%E9%9B%86%E5%90%88
（文字化けご容赦、修正しません）
冪集合（べきしゅうごう、英: power set）とは、数学において、与えられた集合から、その部分集合の全体として新たに作り出される集合のことである。べきは冪乗の冪（べき）と同じもので、冪集合と書くのが正確だが、一部分をとった略字としてしばしば巾集合とも書かれる。

集合と呼ぶべき対象を公理的に構成的に与える公理的集合論では、集合から作った冪集合が集合と呼ばれるべきもののうちにあることを公理の一つ（冪集合公理）としてしばしば提示する。

冪集合の濃度
の部分集合 A とその指示関数 \chi_A : S \to \{0,1\} すなわち

\chi_A(x) := \begin{cases} 1 & {\rm if}\ x \in A \\ 0 & {\rm if}\ x \notin A \end{cases}

を対応づけることにより、冪集合 2^S と {\rm MAP}(S,\{0,1\})=\{0,1\}^S が一対一に対応する。
これは、S の元 a が部分集合 A に属するとき 1、属さないとき 0 をラベル付けすることで部分集合 A が特定できるということに対応する。
したがって特に A の濃度 {\rm card}(A) が有限の値 n であるとき冪集合 2^A の濃度 {\rm card}(2^A) は 2^{{\rm card}(A)}=2^n に等しい。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E7%A4%BA%E9%96%A2%E6%95%B0
数学において指示関数（しじかんすう、indicator function）、集合の定義関数あるいは特性関数（とくせいかんすう、characteristic function）は、集合の元がその集合の特定の部分集合に属するかどうかを指定することによって定義される関数である。

確率論においては、分布関数のフーリエ変換を「分布の特性関数」と呼ぶため、区別のために「集合の特性関数」を「指示関数」、「分布の特性関数」を単に「特性関数」と読んで区別する傾向が強い。
また一般には、「集合の定義関数」を単に「定義関数」と呼ぶことが多いが、これも文脈上の意味が明らかな場合のことである。

592 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/21(土) 13:28:07.90 ID:ooXUMShZ.net

>>590
補足

>具体的に指摘してみな（笑い）

具体的に指摘は、できんよ
君には
君は、自分の数学能力の低さがばれるのを極度に恐れて、数学的なカキコはずっと避けてきた
それは感じている

君にはできない
断言しておく
すれば、命取りだもんね（笑い）

593 ：１３２人目の素数さん：2015/03/21(土) 13:54:57.19 ID:8RykR7UY.net

>>592
何を恐れている？たった一問証明を書くだけなのに何故逃げる？

＞君は、自分の数学能力の低さがばれるのを極度に恐れて、数学的なカキコはずっと避けてきた
誰と勘違いしてるんだ？

594 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/21(土) 14:07:23.47 ID:ooXUMShZ.net

>>593
その声は、ぱーちくりん連呼くんと思ったが・・？
ともかく、おれは、もう終わったんだ
文句があるなら、具体的に言ってくれ

595 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/21(土) 14:10:38.49 ID:ooXUMShZ.net

>>591
関連
http://en.wikipedia.org/wiki/Cantor%27s_first_uncountability_proof
（文字化けご容赦、修正しません）
Cantor's first uncountability proof

The proofs
To prove that the set of real algebraic numbers is countable,
Cantor starts by defining the height of a polynomial of degree n to be: n ? 1 + |a0| + |a1| + … + |an|, where a0, a1, …, an are the (integer) coefficients of the polynomial.
Then Cantor orders the polynomials by their height, and orders the real roots of polynomials of the same height by numeric order.
Since there are only a finite number of roots of polynomials of a given height, Cantor's orderings put the real algebraic numbers into a sequence.[11]

Next Cantor proves his second theorem: Given any sequence of real numbers x1, x2, x3, … and any interval [a, b], one can determine a number in [a, b] that is not contained in the given sequence.[12]