現代数学の系譜11 ガロア理論を読む12

1 ：１３２人目の素数さん：2015/02/15(日) 08:46:03.29 ID:wOLNHI5U.net

旧スレが500KBオーバーに近づいたので、新スレ立てる
このスレはガロア原論文を読むためおよび関連する話題を楽しむスレです
（最近は、スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。ガロア関連のアーカイブの役も期待して。）
過去スレ
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む11
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1420001500/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む10
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1411454303/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む9
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1408235017/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む8
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1364681707/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む7
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1349469460/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む6
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1342356874/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む5
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1338016432/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む(4)
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1335598642/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む3
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1334319436/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む2
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1331903075/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1328016756/

（古いものは、そのままクリックで過去ログが読める。また、ネットで検索すると、無料の過去ログ倉庫やキャッシュがヒットして過去ログ結構読めます。）

399 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 15:28:34.96 ID:CATUi/5b.net

>>397
良いよ

400 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 15:33:56.57 ID:Pt6N2tUG.net

>>399
よし。しばしお待ちを

401 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 15:38:17.09 ID:CATUi/5b.net

>>390-394の代数的数関連部分

ここは、初心者も来ると思うので、世間の代数的数の定義を確認しておこう（下記。文字化けは修正せず）
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E7%9A%84%E6%95%B0 抜粋
数学、特に代数学における代数的数（だいすうてきすう、英: algebraic number）とは、ある有理数係数の 0 でない多項式の根となる複素数のことである。
代数学の標準的な記号 \ \mathbb{Q}[x]\ で有理数係数多項式全体を表し、代数的数全体の集合を、代数的数 algebraic number の頭文字を使って \ A\ と書けば、
A=\Big\{a \in \mathbb{C}\ \Big|\ \big(\exists p(x) \in \mathbb{Q}[x]\big)\big[p(x) \neq 0 \ \&\ p(a)=0\big]\Big\}
となる。

概要
複素数 α に対し、有理数を係数とする多項式
f(x) = x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0
が存在して、f(α) = 0 となるとき α を代数的数という。
α が有理数ならば
f(x) = x - α
は、α を根に持つので、有理数はすべて代数的数である。
無理数ではたとえば \sqrt{2} は
f(x) = x2 - 2
の根であるので代数的数であるし、複素数でも
f(x) = x2 + 1
の根である ±i は代数的数である。
しかしながら、全ての無理数が代数的数であるかというと、そうではないことが知られている。たとえば円周率 π や 自然対数の底（ネイピア数）e は、0 以外のいかなる有理数係数多項式に対しても、根になることはない。
このような数のことを超越数と呼ぶ。

402 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 15:42:13.26 ID:Kj5to7DQ.net

>>382
全く駄目。
当たり前だが、反例が一個でも存在すればその命題は偽である。
具体的内容が書かれていないので何とも言えないが、「任意の実数」がただ単に「任意の無理数」とかの間違いなのでは？

403 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 15:43:38.75 ID:CATUi/5b.net

>>401　追加

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E7%9A%84%E6%95%B0 抜粋追加
代数的性質
代数的数に対する加減乗除の結果は、やはり代数的数であるので、代数的数全体からなる集合は体をなし、\overline{\mathbb{Q}} と表す。

\overline{\mathbb{Q}} の性質
\overline{\mathbb{Q}} は、有理数体の無限次元の代数拡大体である。また、代数的数を係数とする 0 ではない多項式の根は代数的数であるので、\overline{\mathbb{Q}} は、代数的閉体である。
さらに、有理数体を含む任意の代数的閉体は、\overline{\mathbb{Q}} を含むので、有理数体の代数的閉包でもある。

集合論的性質
カントール (G. Cantor) は、1874 年に、\overline{\mathbb{Q}} が可算集合であることを証明した。その後、彼は複素数全体の集合が非可算集合であることを証明し、ほとんど全ての複素数は、代数的数ではない、つまり超越数であることが判明した。

しかしながら、代数的でない式によって与えられた数が代数的数であるか否かを判定することは大変難しく、オイラーの定数のように古くから知られていながら、代数的数かどうかどころか、有理数かどうかかすら分かっていない数もある。

404 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 15:49:58.14 ID:CATUi/5b.net

>>389　追加

ここは、初心者も来ると思うので、下記でもご参照（補足：これ読んでも整理されていないから、あまり時間を掛けないようにご注意）
http://eman.hobby-site.com/cgi-bin/emanbbs/browse.cgi/150111004b223ebd/res30
可分でも何故ベクトルが非可算無限　作れるのか？

405 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 15:53:55.16 ID:CATUi/5b.net

>>404　追加

これ、ハメル基底関連な
”１．「R の Q 上の基底はハメル基底と呼ばれ、非可算無限の濃度を持つ。スレ主はその理由はわかってるの？ 」：はい、分かりません ”

406 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 15:59:06.20 ID:Pt6N2tUG.net

正の実数全体のなす乗法群を R+ とする。
a,b を a < b なる正の実数とし、閉区間 [a,b] で生成される R+ の部分群を G とおく。

まず、任意の c∈[a,b] に対し c/a∈G である。
区間 [a,b] に属する数を a で割った数全体の集合は、区間 [1,b/a] に等しい。
したがって　[1,b/a]⊂G、特に 1∈G
なお、a < b より 1 < b/a である。

さて、r を 1 より大きい任意の実数とする。
　lim[n→∞] r^(1/n)=1
であり、数列 {r^(1/n)} は単調減少だから、十分大きなある n で
　1 < r^(1/n) < b/a
となる。これは
　r^(1/n)∈[1,b/a]⊂G
を意味し、したがって r=(r^(1/n))^n∈G

0<r<1 なる実数 r については、1/r > 1 より 1/r∈G
したがって r∈G

以上から G=R+ □

407 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 16:24:13.27 ID:Kj5to7DQ.net

＞r を 1 より大きい任意の実数とする。
に対して
＞　r^(1/n)∈[1,b/a]⊂G
が真なのは、nが十分大きいときだけだね

408 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 16:37:11.21 ID:Pt6N2tUG.net

「十分大きなある n で」以降は n をその値に固定してると思って読んでくれ

409 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 16:51:05.76 ID:xymY1OtG.net

>>377
＞というか、今まで条件を使わなくても矛盾が生じれば正しい議論になる
＞とばかり思っていた。

なに言ってるんだコイツ。矛盾が生じれば背理法が成立して万々歳。
その一方で、お前の議論は間違っていて矛盾が示せてない。それだけのこと。
俺が言っていることは

・証明 A が正しくて、なおかつ A の中で条件 P が実際には使われてないなら、
　その証明文 A の文中から条件 P を削除した新しい証明文 A’もまた正しい証明となる

ということに過ぎない。これをお前の証明に適用すると、A’に相当する証明が
明らかに反例を持っているので、もともとの A (＝お前の証明) も間違っている、というわけ。

＞一体、何にそういうことが書いてあるんだ？

たぶんお前は、俺の言っていることが理解できていない。
でなければ、そんな質問が出てくるわけが無い。

410 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 17:05:31.19 ID:Kj5to7DQ.net

>>408
了解。問題無いようだ。

411 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 17:06:04.47 ID:xymY1OtG.net

>>382
ややや。どこかで同じ内容の文章を見たことがあるぞ。

＞私は、或る条件をみたすような任意の有理数が超越数になる
＞という奇妙な現象を発見している(詳細は書かない)。
＞本来は、或る条件を満たすような任意の実数について成り立つ命題である。

だったら、その条件を満たすような有理数は存在しないんだろう。
その場合、「仮定が偽である命題は常に真である」ことを用いて、その命題は「真」となる。


具体例を挙げる。

「 有理数 x が x^2−2＝0 という条件を満たすならば、x は超越数である 」

という命題を考えると、この命題は「真」である。なぜなら、x^2−2＝0 を満たす
有理数 x は存在しないので、これは「仮定が偽の命題」となるからだ。
仮定が偽の命題は常に真であるから、この命題は真なのだ。

412 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 17:08:30.50 ID:Db4+HkFH.net

ガロア以前に松坂の「数学読本」でも読んだ方が良さげ

413 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 17:56:59.94 ID:CATUi/5b.net

>>406
どうも。スレ主です。
了解。細かい点は別にして、証明の筋は同じだ
r^(1/n)で、nを十分大きく取ると、１に近づく
一方、連続区間があれば、十分１に近い比が取れる
だから、任意の実数0<ｒがＧに含まれる

開区間でも同じことは成り立つ

414 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 18:01:20.22 ID:CATUi/5b.net

>>413
だから、連続区間を含むと、部分群は正の実数を全て含むようになる
正の実数の部分集合で、連続区間を含む場合、Ｇは正の実数全体と一致し、同じになる
ここの処理が、>>392の問題２の「連続濃度の”べきの濃度”を持つ」を示すときに悩ましい

415 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 18:02:16.82 ID:3fIdtYxU.net

天体現象に隠されたイエス・キリストの正体

zeitgeist／(時代精神) 日本語字幕版

https://www.youtube.com/watch?v=UMZYZM4tL6o#t=46
https://www.youtube.com/watch?v=demGXvUgT14
https://www.youtube.com/watch?v=BpiPmt_KO2I
https://www.youtube.com/watch?v=1LvSumf1fAE

416 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 18:05:52.39 ID:CATUi/5b.net

>>414 つづき

>>392の問題２で、複素数の場合も似た事情がある
但し、複素数場合は、連続区間でも面積的広がりを持つ場合は、ゼロを除く複素平面全体に群が広がる
偏角θが一定で、絶対値のみ連続の場合は、ちょっと違う挙動みたいだね
まあ、ここらをどう処理するかを考えている・・

417 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 18:08:59.15 ID:Pt6N2tUG.net

じゃあ問題

(1)
G,G' を群とし、f:G→G' を準同型写像とする。
f の核 Ker(f) が G の正規部分群であることを示せ。
なお f の核とは、G' の単位元を e' としたときの
集合 {g∈G | f(g)=e'} のことである。

(2)
G を群とする。
　C(G)={g∈G | gh=hg ∀h∈G}
とおき、これを G の中心と呼ぶ。
C(G) が G の正規部分群であることを示せ。

(3)
G を群とし、N を G の正規部分群とする。
剰余群 G/N における演算の定義を述べ、
それが well-defined であることを示せ。

(1)(2)は「正規」だけでなく部分群であることの証明もあればうれしい。
(3)は定義を知らなければスルーで。知識でなく理解を問いたいので。

418 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 19:08:04.60 ID:CATUi/5b.net

>>404-405　ハメル基底追加

１．ハメル基は、具体的な構成はできない　（英語のサイトもあったような。Smithさん”we have little use”と）
www.math.sci.hokudai.ac.jp/~ishikawa/topology/topology10.pdf 北大 石川剛郎 ２０００年
問．プリントの質問ですが，ハメル基とは具体的にはどんなものなのでしょうか？R をQ 上のベクトル空間としたときの基とはいったい何ですか？何けた続くかわからない無限に続く数をそんな１次結合で表される基底があるのでしょうか？
答．存在はしているが，具体的にはわからないもの，と考えるとよいと思います．あれば安心，保険のようなものでしょうか．

http://www.math.lsa.umich.edu/~kesmith/ Karen E. Smithさん女性で写真があった
http://www.math.lsa.umich.edu/~kesmith/teach.html
Math 513: Linear Algebra, University if Michigan, Winter 1999 Supplementary Write up: Bases for Infinite Dimensional Vector Spaces
http://www.math.lsa.umich.edu/~kesmith/infinite.pdf
BASES FOR INFINITE DIMENSIONAL VECTOR SPACES MATH 513 LINEAR ALGEBRA SUPPLEMENT Professor Karen E. Smith University of Michigan.
"There is no practical way to find a Hamel basis in general, which means we have little use for the concept of a basis for a general innite (especially uncountable) dimensional vector space."

２．線形な1変数関数がf(x)=axに限ることの反例を構成するのに使ったらしい（下記）
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1298332077
2012/12/7 線形な1変数関数がf(x)=axに限ることの証明です。
ベストアンサーに選ばれた回答
これに関してはハメル基（Hammel basis）という有名な反例がよく挙がります。このハメル基というものを構成するときに選択公理を用いるので、選択公理から出る"病的な"の一例としてもよく挙げられます。

３．Hamel基？
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1364772673 2011/6/18 Hamel基について質問があります！

419 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 19:08:56.13 ID:CATUi/5b.net

>>418 追加

４．Hamel bases and measurability ？ 濃度の話にはあまり役に立たないかも知れないが・・
https://www.imsc.res.in/~sunder/ SUNDER'S HOME-PAGE The Institute of Mathematical Sciences (インド？)
https://www.imsc.res.in/~sunder/mgnvss.pdf Hamel bases and measurability, with M.G. Nadkarni, Mathematics Newsletter, vol. 14, No. 3, (2004).

420 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 19:11:58.67 ID:Kj5to7DQ.net

>>417
さすがにそこまで基本的な問題なら間違えようがないだろう

421 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 19:14:31.76 ID:CATUi/5b.net

>>417
どうも。スレ主です。
あれ？　３問か

(1)は、基本問題だね。秒殺と行きたいが、無理。念のため本見るよ
(2)も、同じ。基本問題だね。
(3)も同じか。well-definedね

本みないでも、wikipedia程度で済みそうだが・・
(3)が一番簡単かな？　well-definedだけ確認かな・・

422 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 19:15:05.73 ID:CATUi/5b.net

>>420
同意ｗ

423 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 19:18:32.02 ID:CATUi/5b.net

>>421
一応これを押さえて・・
http://ja.wikipedia.org/wiki/Well-defined
well-defined は、ある概念が数学的あるいは論理学的に特定の条件を公理に用いて定義・導入されるとき、その定義（における公理の組）が自己矛盾をその中に含み持たぬ状態にあることを言い表す修飾語句である。
また、ある概念の定義をする場合、そう決めることによって、何も論理的な矛盾なく上手くいくということ（定義の整合性）が確認されているということを言い表す言葉である。
文脈により、「うまく定義されている」「矛盾なく定まった」「定義可能である」などと表現されることもある。

well-defined は「状態」を表す形容詞であるが、日本語の定訳はなく慣例的に形容詞と動詞の複合語に訳されるか、そのまま形容動詞的に「well-defined である」といった形で用いる。
名詞形 well-definedness などもあり、これを well-defined 性と記すことはできるが日本語訳としてこなれたものは特には存在しない（文脈によっては「定義可能性」などで代用可能である）。
概要

以下の二つが示せたとき、定義が well-defined であるという[1]。

(1) 定義で使われる方法が実際にうまくいく。
(2) 定義がもともとの対象から複数定まる対象を経由して行われる場合、結果がもともとの対象にのみ依存する。

一つの対象のある表示に対して定義が満たされるが、別のある表示については満たされない状況であるとか、
一つの対象の異なる表示を考えると定義の示す結果がそれぞれの表示に対して異なるといった状況であるならば、与えられた定義はその対象自体に対する定義として不適切 (ill-defined) である。

424 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 19:32:27.58 ID:I5d5jn+t.net

(1)ができないのに(3)が一番簡単って、さすが笑わせてくれる

425 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 19:44:05.45 ID:CATUi/5b.net

>>417
Q(3)
G を群とし、N を G の正規部分群とする。
剰余群 G/N における演算の定義を述べ、
それが well-defined であることを示せ。

Q(3)
g1,g2・・・∈G、積を*で表す。また、n1,n2・・∈Nとする
剰余群 G/Nの要素を、g1N,g2N・・・と表す。g1N＝{g1*n1,g1*n2,・・・}以下同様
但し、g1,g2・・・は、上記Nでの剰余類別の代表元とする

剰余群 G/Nの積を、giN*gjN＝gi*gjNで表す
∵giN*gjN＝gi*(N*gj)*N＝gi*(gj*N)*N＝gi*gjN
（正規部分群であるから、gjN＝Ngjなどが成り立つ）
単位元は、N自身とする。あるいは、eNと解する。実際、eN＝Nであるから

あと、逆元の存在を言って、well-defined の話か・・
まあ、メシ食って考えるわ

426 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 20:47:56.94 ID:Pt6N2tUG.net

いや本とかwikipediaとか見るなって

427 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 20:54:15.35 ID:Pt6N2tUG.net

>>425
定義は
＞剰余群 G/Nの積を、giN*gjN＝gi*gjNで表す
までで十分。
そのあとの
＞∵giN*gjN＝gi*(N*gj)*N＝gi*(gj*N)*N＝gi*gjN
これは集合としての計算だと思えば N*N=N は一般には成り立たないので×
剰余類としての計算だと思えば gi*(N*gj)*N などが出てくるはずがないのでやはり×

それから、単位元とか逆元とかは well-defined の証明の後にするべき。
そもそも演算になってるかどうかわからないのに単位元も何もない。

428 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 21:02:21.74 ID:Pt6N2tUG.net

あとそういえば
G/N は非可算無限集合かもしれないから、g1,g2,...という添え字付けは不適切

429 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 21:05:06.49 ID:CATUi/5b.net

>>425 つづき
メシ食って考えた

逆元の存在：
任意のgi（gi?N）に対して、逆元のgi^(-1)?Nが言える
∵逆元のgi^(-1)∈Nなら、Nは群なのでgi∈Nとなるので矛盾

よって、剰余群 G/Nの積の定義、単位元、逆元の存在は示した。あと、結合法則があるが、元の群の積を流用しているので成り立つ。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4_%28%E6%95%B0%E5%AD%A6%29
群 定義

well-defined：
１．>>423の「(1) 定義で使われる方法が実際にうまくいく。 」は、終わった
２．>>423の「(2) 定義がもともとの対象から複数定まる対象を経由して行われる場合、結果がもともとの対象にのみ依存する。」を示すには、>>425”g1,g2・・・は、上記Nでの剰余類別の代表元”が一意であることを示せばよい

430 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 21:17:53.95 ID:CATUi/5b.net

>>429 つづき

３．正規部分群の定義：「G における H を法とする左剰余類全体の成す集合と右剰余類全体の成す集合とが一致する。」を認めることとする
４．そうすると、左剰余類あるいは右剰余類が、それぞれ一意に定まることを言えば、剰余類は一意に定まる
５．そうすると、>>423のwell-definedの(2)がいえるので、well-definedのwikipediaによる定義を満たすことになる

「左剰余類あるいは右剰余類が、それぞれ一意に定まる」が、ちょっとね
ラグランジュの定理の証明などを使うと思ったが、ちょっと考えてみるよ
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4_%28%E6%95%B0%E5%AD%A6%29
剰余類・剰余群
部分群 H と G の元 g について、gH はある G の部分集合になる。2 つの g, g' について gH, g'H は全く一致するか交わらないかのいずれかである。従って、

G = \bigcup_{\lambda \in \Lambda} g_{\lambda} H

と直和に書き表せる。それぞれの gH を （H を法とする g の属する G の） 剰余類（または傍系）という。|gH| = |H| が成り立つので結局 |G| = |Λ||H| が成り立つ。
G が有限群ならばこれは H の位数が G の位数を割り切るということをいっている（ラグランジュの定理）。
特に素数位数の群は巡回群である。|Λ| を [G: H] とか (G: H) などと書いて H の（G に対する）指数という。

431 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 21:21:18.71 ID:Kj5to7DQ.net

おいおいスレ主さん大丈夫か？

432 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 21:30:12.21 ID:CATUi/5b.net

>>417 つづき (>>429は残して（その内なんか思いつくかも）)

これ行ってみようか？
Q(2)
G を群とする。
　C(G)={g∈G | gh=hg ∀h∈G}
とおき、これを G の中心と呼ぶ。
C(G) が G の正規部分群であることを示せ。

A(2)
よく見ると、簡単かな？
えーと、Q(3)みたく、単位元と逆元がC(G)が含まれることを言えれば、結合則は自明で良いでしょ

433 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 21:41:09.42 ID:Pt6N2tUG.net

>>417は
・群の定義
・準同型写像の定義
・正規部分群の定義
（・剰余群の定義）
のみを知っていれば、あとは考えればわかるように選んだ。
なので他の文献は参照しないでやってみてほしい。

>>432
部分群であるためには、あとは積について閉じている、すなわち
g1,g2∈C(G) ならば g1g2∈C(G)
も必要。

434 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 21:59:51.28 ID:CATUi/5b.net

>>432 つづき

単位元：
eh=he ∀h∈Gだから、e∈C(G)

逆元:
gh=hg ∀h∈Gから、g^(-1)∈C(G)を導く

gh=hgに、
g^(-1)を掛けて、g^(-1)gh=g^(-1)hg→h=g^(-1)hg
g^(-1)を逆から掛けて、同様に、h=ghg^(-1)が成り立つ

gh=hgに、g^(-2)=g^(-1)g^(-1)を掛けて
g^(-1)h=g^(-2)hg=g^(-2)(ghg^(-1))g=g^(-1)h=g^(-1)ghg^(-1)=hg^(-1)
つまり
g^(-1)h=hg^(-1)。よって、g^(-1)∈C(G)

ここで、結合則は群Gでの演算則を使った
C(G)でも、結合則は群Gと同様とする
よって、C(G)は群を成す
定義より、gh=hg ∀h∈Gであるから、C(G)は正規部分群

435 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 22:04:49.73 ID:CATUi/5b.net

>>433
どうも。スレ主です。

>なので他の文献は参照しないでやってみてほしい。

ああ、いまのところ、参照しているのは、群の定義の確認くらいだ
オリジナルで間に合っているよ
ところで、準同型写像の定義か・・、ああ、あれね。積とか保存される写像だったけね・・

436 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 22:50:57.76 ID:CATUi/5b.net

>>417
では、これ

Q(1)
G,G' を群とし、f:G→G' を準同型写像とする。
f の核 Ker(f) が G の正規部分群であることを示せ。
なお f の核とは、G' の単位元を e' としたときの
集合 {g∈G | f(g)=e'} のことである。

A(1)
１．準同型も、群環体といろいろだが、要は代数構造が保存されると
２．群準同型：f(xy)=f(x)f(y)と積の構造が保存されると
３．それで、証明の方針としては、
　保存則は自明として
　１） Ker(f) が群を成す。つまり、単位元と逆元の存在
　２）群が正規部分群であることを示す。この場合は、「N=gNg^-1」の形が使い易いだろう

437 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 22:53:35.88 ID:Fg5OOJTO.net

絶賛迷走中

438 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 23:01:12.04 ID:Pt6N2tUG.net

>>434
正規であることの証明が本当に理解できているのか怪しい感じだが、まあ間違ってはないか。
積について閉じていることの証明がまだだ。

well-defined を知らないんだったら(3)は無理にやらなくていいよ。
知識を問いたいわけじゃないから。
well-defined の意味を知らずに>>423だけ見て正しい証明を書くなんて、少なくとも俺にはできない。

439 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 23:21:09.78 ID:CATUi/5b.net

>>436 つづき

Ker(f) が群を成す。つまり、単位元と逆元の存在：
f(e)=e' でなければならない。（e∈G、e'∈G'）
∵f(e)=bとする。f(a)=a' とすると、f(a)=f(ea)=f(e)f(a)=ba'=a'。ゆえにb=e'。

次に、g∈Ker(f) からg^(-1)∈Ker(f) を導く
g∈Ker(f) からf(g)=e'。このときf(g^(-1))=bとする。f(e)=e' より
e'＝f(e)=f(gg^(-1))=f(g)f(g^(-1))=e'b=b。即ちb＝e'から、g^(-1)∈Ker(f) が言える

g1,g2∈Ker(f) ならば g1g2∈Ker(f) も必要？ まあ、大学の試験なら書いてないと減点だろうね
g1,g2∈Ker(f) から、f(g1)=e' ＆ f(g2)=e'で、f(g1g2)=f(g1)f(g2)=e'e'=e'。よって、g1g2∈Ker(f) が言える

440 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 23:40:21.42 ID:CATUi/5b.net

>>439 つづき

群が正規部分群であることを示す。「N=gNg^-1」の形を使う
n∈Ker(f) とする
f(g)=g' (g∈G、g'∈G')とする。このとき、f(g^-1)=g'^-1である
（∵e'=f(e)=f(gg^-1)=f(g)f(g^-1)=g'f(g^-1)であるから、g'^-1を左から掛けて、f(g^-1)=g'^-1を得る）
f(gng^-1)＝f(g)f(n)f(g^-1)=g'e'g'^-1=g'g'^-1=e'

つまり、gng^-1∈Ker(f) であるから、正規部分群の定義を満たす

441 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 23:41:36.77 ID:Kj5to7DQ.net

>>440
これは酷い

442 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 23:53:10.04 ID:Pt6N2tUG.net

>>439>>440
うん、いいんじゃないかな

>>441
逆の包含を言ってないってことか？
それは問題ない。が、スレ主が分かっててやってるかは知らないので説明はスレ主に譲る。

443 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 23:58:31.12 ID:CATUi/5b.net

>>438

>積について閉じていることの証明がまだだ。

そうだね。大学の定期試験なら減点だろう
g1,g2∈C(G) ならば g1g2∈C(G) >>433だね

g1,g2∈C(G) ならば 定義より、g1h=hg1 ＆ g2h=hg2
よって、g1g2h=g1(g2h)=g1(hg2)=(g1h)g2=(hg1)g2=hg1g2 が成り立つから、 g1g2∈C(G)が言える

444 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 23:59:22.77 ID:Kj5to7DQ.net

わかっていようがいまいが、それをきちんと示さなければ、定義を満たしていることを示したことにならない。

445 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/08(日) 00:03:00.51 ID:AXAfK1QO.net

>>428

>G/N は非可算無限集合かもしれないから、g1,g2,...という添え字付けは不適切

お言葉なれど、そうでもないと思う
ヒントは、選択公理
つまり、非可算無限集合から適当に選んだと解釈できる

446 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/08(日) 00:03:54.50 ID:AXAfK1QO.net

>>444
いやいや、お説ごもっともだ
おっしゃる通りだね

447 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/08(日) 00:15:28.80 ID:AXAfK1QO.net

>>438

>well-defined を知らないんだったら

全く知らないわけじゃないが、well-defined は、多義性があると思うんだ
人によって（というか本とか場面で）微妙にね

で、共通認識として、>>423を出した。この線でやってみようと
>>417(3)で、一般に剰余類が、右剰余類が１通り、左剰余類が１通り、計２通り。正規部分群なら、１通り。
それで、>>423の「(2) 定義がもともとの対象から複数定まる対象を経由して行われる場合、結果がもともとの対象にのみ依存する。」に合うだろうと

正規部分群の性質を強く使えば、１通りはすぐ言えそうだが
右剰余類が１通り・・辺りが、うまく言えない・・

448 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/08(日) 00:21:30.38 ID:AXAfK1QO.net

>>429

文字化けしとるね

（訂正）
任意のgi（gi?N）に対して、逆元のgi^(-1)?Nが言える
↓
任意のgi（gi not∈N）に対して、逆元のgi^(-1) not∈Nが言える

449 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/08(日) 00:24:35.14 ID:AXAfK1QO.net

>>441-442
逆の包含？ ちょっと意味が取れない

450 ：１３２人目の素数さん：2015/03/08(日) 00:27:24.55 ID:P7UvCxav.net

やっぱわかってないんかーい

スレ主は正規部分群の定義に「N=gNg^-1」を用いた。
しかし>>440の論証では N⊂gNg^(-1) しか言えていない。
逆はどうなのよ？って話。

451 ：１３２人目の素数さん：2015/03/08(日) 00:28:04.57 ID:VjCS44NK.net

>>449
二つの集合が等しいとは？

452 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/08(日) 00:33:28.88 ID:AXAfK1QO.net

>>427

>＞∵giN*gjN＝gi*(N*gj)*N＝gi*(gj*N)*N＝gi*gjN
>これは集合としての計算だと思えば N*N=N は一般には成り立たないので×
>剰余類としての計算だと思えば gi*(N*gj)*N などが出てくるはずがないのでやはり×

まあ、定義と表現の関係だから、>>425程度で良いと思うよ
N→∀n∈Nとして

∵giN*gjN＝gi*(N*gj)*N＝gi*(gj*N)*N＝gi*gjN
　↓
∵gi∀n*gj∀n＝gi*(∀n*gj)*∀n＝gi*(gj*∀n)*∀n＝gi*gj∀n

だと。２ちゃんねるで、TEXなみの表現を求められてもね
上付き下付の文字も使えないし

453 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/08(日) 00:35:46.46 ID:AXAfK1QO.net

>>450
なるほど
ご指摘ありがとう
考えてみるよ

454 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/08(日) 00:43:37.16 ID:AXAfK1QO.net

>>450

>スレ主は正規部分群の定義に「N=gNg^-1」を用いた。
>しかし>>440の論証では N⊂gNg^(-1) しか言えていない。
>逆はどうなのよ？って話。

>>440の「n∈Ker(f) とする」→「∀n∈Ker(f) とする」
でどう？

455 ：１３２人目の素数さん：2015/03/08(日) 01:00:52.80 ID:VjCS44NK.net

>>454
「n∈Ker(f) とする」と書けば普通「∀n∈Ker(f) とする」の意味だよ
逆に、ある特定の n∈Ker(f) でだけ gng^-1∈Ker(f) だとしたら、g・Ker(f)・g^-1⊂Ker(f) さえ言えていないことになる。

456 ：１３２人目の素数さん：2015/03/08(日) 01:09:56.12 ID:P7UvCxav.net

>>452
>>427ではっきりとは言わなかったがそもそもその議論は不要。
giN*gjN＝gi*gjN は定義であって、証明するものじゃない。

あと N*N=N は一般には成り立たないと書いたが間違いだった。すまない。
(環のイデアルについて似たようなことがあったので混同してた)

457 ：１３２人目の素数さん：2015/03/08(日) 01:11:12.44 ID:P7UvCxav.net

>>450の包含も逆じゃん・・・
今日はもう寝よう

458 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/08(日) 07:20:07.61 ID:AXAfK1QO.net

>>450>>454-457
どうも。スレ主です。

起きてきました
しかし、みなさんレベルが高いね
びっくりしました

”>>440の「n∈Ker(f) とする」→「∀n∈Ker(f) とする」”
ここね、実はちょっと気になっていたんだ。どう書くべきか。∀を付けるか、別の記号か。あるいは日本語で、”任意の”とするか
が、面倒なので１秒でスルーした

そこをすかさず突っ込みが入る

>スレ主は正規部分群の定義に「N=gNg^-1」を用いた。
>しかし>>440の論証では N⊂gNg^(-1) しか言えていない。
>逆はどうなのよ？って話。

そうそう。数学科だったら、そういうべきだよね
さすがです

459 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/08(日) 07:34:21.81 ID:AXAfK1QO.net

>>455
どうも。スレ主です。

>「n∈Ker(f) とする」と書けば普通「∀n∈Ker(f) とする」の意味だよ

もともと、そうですよ
当然ながら

が、>>458で書いたように、丁寧に書けば、３通りくらいの表現は浮かんだけど、「めんどう」と思ったのでスルーした
実際、∀なんて、いま記号一覧開いて入力しているし、他の文からコピペできるけど、手が止まるからね

が、そこに敏感に反応するのは、お二人ともレベルが高いです
「N=gNg^-1」→N⊂gNg^(-1) ＆ N⊃gNg^(-1) が瞬時に浮かんでいるわけね。さすが
こっちは、無意識に、頭に浮かんだKer(f) のイメージで流して書いているから、＝なら集合の包含を二つ（不等式なら＞と＜と）が浮かんでない。まだ甘いね
間違ってはいないが、＝使うならそう見られているという意識は、なかったね、正直

460 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/08(日) 07:44:57.17 ID:AXAfK1QO.net

>>456
>>>427ではっきりとは言わなかったがそもそもその議論は不要。
>giN*gjN＝gi*gjN は定義であって、証明するものじゃない。

そうそう。さすがです
定期試験とか、院試とか
ここらは見られるよね（余談だが、だいたいああいう試験は、「基本ができているか？」はしっかり見られるんだ）
専門の論文なら、省略の決まった流儀があるはず

適当に流した。”giN*gjN＝gi*gjN ”をきちんと集合の要素から、丁寧に説明する。群論入門なんかに普通に書いてあるように
が、つい丁寧にが、面倒になってね。手抜きしたら、結局おかしいよね。後から見ると。手抜きしちゃいかんね

461 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/08(日) 09:28:20.82 ID:AXAfK1QO.net

>>447
well-definedに戻る

>>423の「(2) 定義がもともとの対象から複数定まる対象を経由して行われる場合、結果がもともとの対象にのみ依存する。」を示すことにする

”複数定まる対象を経由して行われる場合”は無視して、”結果がもともとの対象にのみ依存する”、つまり一意になることを示そう

１．剰余類別 G/Nが一意になることを示す。
　>>438"well-defined を知らないんだったら(3)は無理にやらなくていいよ。"と許可があったので、エムポストニコフを参照する
http://www.amazon.co.jp/dp/B000JAFUOC ガロアの理論 (1964年) エム・ポストニコフ (著), 日野 寛三 (著)
（P25より）(ここでは、本に合わせて、群Gを部分群Hで類別することとする)
　１）g∈Hgで、かってなg'∈Hgを取る
　２）定義より、g'=h'g ここに、h'は部分群Hのある元
　３）元g'の剰余類Hg'を考える
　４）任意の元は、hg'、即ちhh'g, h∈Hと書ける
　５）hh'∈Hであるから、Hg'の任意の元はHgに属する
　６）即ちHg'⊂Hg
　７）一方、任意の元 hg∈Hgは、h(h')^-1h'g=h(h')^-1g'と書ける（(h')^-1は、h'の逆元を示す）
　８）h(h')^-1∈Hであるから、hg∈Hg'
　９）このようにして、Hg'⊃Hg

以上より、Hg'＝Hgが証明された。すなわち、剰余類Hgの任意の元g'の剰余類Hg'はHgと一致する
即ち、２つの剰余類が交われば、これらは一致する
また、剰余類Hgは、g∈Hのとき、そのときに限り部分群Hと一致する。（部分群Hは単位元eの剰余類と見なすことができる）

462 ：１３２人目の素数さん：2015/03/08(日) 09:46:21.19 ID:AXAfK1QO.net

>>461 つづき

前スレで、群Gを部分群Hで類別することの一意性はほぼ示されているが、だめ押し

整列可能定理（下記）を認めるとする
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E5%88%97%E9%9B%86%E5%90%88
（選択公理に同値な）整列可能定理は、任意の集合が整列順序付け可能であることを主張するものである。整列可能定理はまたツォルンの補題とも同値である。
（引用おわり）

群Gの要素を、整列可能定理により、g1,g2,g3,・・・と並べる
部分群Hによる類別を頭から行う
類別した要素は、取り除く
これを繰り返して、全ての群の要素を類別する
この類別は一意である（∵手順が一意であるから。なお、一意の証明（例えば一意でないとして矛盾を導く）は思いついていないが、考えればできるでしょう・・（＾＾ ）

２．群Gを部分群Hで類別することが証明されたので、剰余類別 G/Nも一意になる（右剰余類別、左剰余類別とも一意であり、正規部分群だから両者は一致する）
（証明おわり）

よって、”結果がもともとの対象にのみ依存する”が言えたので、>>423の意味でwell-definedである

463 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/08(日) 09:56:15.17 ID:AXAfK1QO.net

>>447 補足

>正規部分群の性質を強く使えば、１通りはすぐ言えそうだが

先に群Gを部分群Hで類別することの一意性から、１通りを言ったが
正規部分群の性質から、商群を成すを使うと、二通りの類別、例えばHg'≠Hg（g'≠g）のような要素が出てくると
例えば、群を成すから、逆元も異なるし、積も異なるしと、全体が異なってしまう・・

そういう筋で証明できると思うんだが・・
実際に実行するとなると、大変そうなのでやめた

464 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/08(日) 09:58:01.61 ID:AXAfK1QO.net

>>463 訂正

正規部分群の性質から、商群を成すを使うと、二通りの類別、例えばHg'≠Hg（g'≠g）のような要素が出てくると
　↓
正規部分群の性質から、商群を成すを使うと、二通りの類別、例えばNg'≠Ng（g'≠g）のような要素が出てくると

465 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/08(日) 10:01:08.53 ID:AXAfK1QO.net

>>461 補足

群Gを部分群Hで類別することについては、ラグランジュの定理の証明で、どの本にでも書いてあるが
エム・ポストニコフ は、きわめて簡素かつ簡明に記載しているので、個人的には気に入っているんだ

466 ：１３２人目の素数さん：2015/03/08(日) 10:03:00.93 ID:J8kzGD0a.net

スレ主の脳が極めて単純に出来ていることがよく分かった。

467 ：１３２人目の素数さん：2015/03/08(日) 10:25:38.63 ID:ndRfUVoG.net

>>411
>矛盾が生じれば背理法が成立して万々歳。
そうでないと証明出来ない命題があるから、そうだよな。
今まで、議論の中で条件を背理法の枠組みで使っていなかった訳か。
知らぬ間に、マヌケな幻惑をした。

>だったら、その条件を満たすような有理数は存在しないんだろう。
いや、実数論の有理数の稠密性が気になって、素数pは可算無限個あるから、
pを分母に持つ有理数q/p＞0を取ったら任意の有理数a＞0に幾らでも近似出来て、
あたかもディオファンタス近似の理論の反例になるとも見えるような、
不等式を使った実数(有理数や代数的無理数も含む)の奇妙な評価が評価が得られているんだよ。
そういう訳で、ディオファンタス近似の反例になるのではないかと思って、
いまいち気になっていた。有理数の稠密性は無理数の構成の前提になっているから、
数論のディオファンタス近似の理論は、本当に正しいだろうか？　と思ってさ。
ディオファンタス近似の理論は有理数の稠密性に矛盾していない訳か。

468 ：１３２人目の素数さん：2015/03/08(日) 10:27:38.94 ID:ndRfUVoG.net

スレ主よ、おはよう。

469 ：１３２人目の素数さん：2015/03/08(日) 10:32:17.59 ID:ndRfUVoG.net

>>411
>>467の「任意の有理数a＞0」は「或る条件を満たす任意の有理数a＞0」の間違い。

470 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/08(日) 10:32:32.83 ID:AXAfK1QO.net

>>419 ハメル基底追加

５．ハメル基底の説明が詳しい（が、Hの濃度が非加算無限まで言っていない。画竜点睛を欠くの感かな？ でも良いす）
http://www2.itc.kansai-u.ac.jp/~afujioka/class.html
藤岡敦のホームページ
http://www2.itc.kansai-u.ac.jp/~afujioka/2014/st1/st1.html
２０１４年度春学期「集合と位相１」
http://www2.itc.kansai-u.ac.jp/~afujioka/2014/st1/140626st1.pdf
§１１．選択公理　６月２６日分資料（６月２０日版）

(余談：googleではなぜか下記の古い方がヒットした)
http://www2.itc.kansai-u.ac.jp/~afujioka/2013/st1/st1.html
２０１３年度 　春学期　集合と位相１
http://www2.itc.kansai-u.ac.jp/~afujioka/2013/st1/130624st1.pdf
§１１．選択公理　６月２４日分資料（６月１８日版）

471 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/08(日) 10:33:27.84 ID:AXAfK1QO.net

>>468
どうも。スレ主です。
その声は、”おっちゃん”だね
おはようさん

472 ：１３２人目の素数さん：2015/03/08(日) 10:35:14.03 ID:w9eWIo7o.net

休むに似たりの思考

473 ：１３２人目の素数さん：2015/03/08(日) 10:38:07.83 ID:ndRfUVoG.net

>>411
いや、有理直線Qは体でQ^{×}は群だから、>>467は大きな間違いではないな。

474 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/08(日) 11:03:25.42 ID:AXAfK1QO.net

>>404-405>>418-419>>470

ここは初学者も来るので、ハメル基についてまとめておく

１．>>404の「可分でも何故ベクトルが非可算無限　作れるのか？ 」辺りを読むと、おまえら分かってないと。世の中分かってないやつが多い。それが、ハメル基
　（もちろん、おれも分かってないけどｗ）
２．Karen E. Smithさん女性（でも大学教授）下記（要は、あまり実用にならないよ？）
　　"There is no practical way to find a Hamel basis in general, which means we have little use for the concept of a basis for a general innite (especially uncountable) dimensional vector space."
３．もともとは、ハメルさんが、線形な1変数関数がf(x)=axに限ることの反例を構成するのに使ったらしい（正確には”関数方程式f(x+y)=f(x)+f(y)がf(x)=axに限ること”らしい）
４．藤岡敦（関大）などを見れば分かるが、
　　”H をRに対するHamel の基底という. Hamel の基底はベクトル空間に対する基底の概念の特別な場合である.”と
５．結局、Hの濃度が非加算無限は、実数Rが非加算無限であることから導かれると見た
６．つまりは、ハメル基の持つ性質を使って濃度が非加算無限を導くのではなく、Hの構成法から、Rを全て表すためにはHの濃度が非加算無限でなければならないという論理だろう
７．ならば、おっちゃんの出題>>26「複素平面Cの乗法群C^{×}＝C-{0}の正規部分群は非可算無限個存在することを示せ。」に、ハメル基を持ち込むことは本末転倒だろう
８．これは>>334-335への答えであり、>>332への補足だ

だれかが、”嵌める基を使う方が簡単に証明できるんだからあってるだろ ”というから
ちょっと突っ込み入れたら、逃げまくったあげく、ハメル基底も分かってないと（まあ上記１です）
Karen E. Smithさんが正しいと思うぞ

追伸
個人的所感だが、
１．ハメル基のおもしろさは、RがQ係数の有限個のハメル基のベクトル空間と見ることができるというところ
２．しかし、残念ながら、H自身は有限どころか、非加算無限
３．かつ、その具体的構成法は与えられていない・・
（以前書いた超越数の記事などを見ると、もし具体的でなくとももう少し使える構成法を与えたら、なにかの賞でも貰えそうかな・・）

475 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/08(日) 11:22:57.05 ID:AXAfK1QO.net

>>466
どうも。スレ主です。

ID:J8kzGD0aくんか。君にはまだ残っている下記を出題しておく

>>392の問題２
「ゼロを除く複素数の成す乗法群の集合は、連続濃度の”べきの濃度”を持つ」は正しいか否か
理由を付して述べよ

まあ、君には無理だろうがね（笑い）

>スレ主の脳が極めて単純に出来ていることがよく分かった。

お褒めを頂き光栄です。私も、若い頃は複雑なことを考えていた
だが、会社でね、偉くなる人はシンプルな考えをしていると気付いたんだ
「複雑なことを整理してシンプルに考える」。それが出来る人が本当に賢い人だと

君の頭は複雑なままのようだね。下記KISSの原則（法則とも）を、アドバイスしておくよ（笑い）
KISSの原則 http://ja.wikipedia.org/wiki/KISS%E3%81%AE%E5%8E%9F%E5%89%87
（KISS の原則 (KISS principle) とは、"Keep it simple, stupid" （シンプルにしておけ！この間抜け）、もしくは、"Keep it short and simple" （簡潔に単純にしておけ）という経験的な原則[1]の略語。
　その意味するところは、設計の単純性（簡潔性）は成功への鍵だということと、不必要な複雑性は避けるべきだということである。）

（参考）
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/237888.html
simple is best は和製英語ですか？ 2002/03/19

476 ：１３２人目の素数さん：2015/03/08(日) 13:59:35.95 ID:P7UvCxav.net

>>461-465
正直>>462以降は何が言いたいのかよくわからないが、
>>417の出題で意図された"well-defined"は証明できてないと思われる。

g,h∈G に対して、gN * hN = g*hN と定義したが、
別の g',h'∈G が gN=g'N, hN=h'N を満たすとき、
g'N と h'N の積 g'*h'N が元の g*hN と同じでなければならない。
こういうのが成り立つとき、演算が well-defined であるという。

つまり証明すべきことは
「g,g',h,h'∈G に対し、
　　　gN=g'N かつ hN=h'N ならば g*hN=g'*h'N」
という命題。

477 ：１３２人目の素数さん：2015/03/08(日) 19:49:52.16 ID:QjV3TEti.net

>>467
＞いや、実数論の有理数の稠密性が気になって、素数pは可算無限個あるから、
＞pを分母に持つ有理数q/p＞0を取ったら任意の有理数a＞0に幾らでも近似出来て、
＞あたかもディオファンタス近似の理論の反例になるとも見えるような、
＞不等式を使った実数(有理数や代数的無理数も含む)の奇妙な評価が評価が得られているんだよ。

いやいや、同じことだろ。
有理数や代数的無理数は、「実際にはその不等式を満たさない」。
もしくは、その評価自体が間違ってる。

どちらにせよ、詳細がぼかしてある以上は、これ以上は話しても無駄だな。

478 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/08(日) 20:15:14.02 ID:AXAfK1QO.net

>>476
どうも。スレ主です。

>>>417の出題で意図された"well-defined"は証明できてないと思われる。

こっちも、何が言いたいのかよくわからない
出題で意図された"well-defined"を、はっきりさせてくれるかい・・？

と・・、”つまり証明すべきことは
「g,g',h,h'∈G に対し、
　　　gN=g'N かつ hN=h'N ならば g*hN=g'*h'N」という命題。 ”か・・？

いや、そもそも、"well-defined"については、>>423と>>447で２回言及している
後のレスでは、「全く知らないわけじゃないが、well-defined は、多義性があると思うんだ
人によって（というか本とか場面で）微妙にね 」だと

そのときに、話を出して貰えれば早かったんだ
まあ、はっきり言わせて貰えば、あなたのいう"well-defined"は、特殊ケースであって（この問題限り）
一般の"well-defined"の概念自身は、個別の問題を離れた概念だと思っている。それが上で述べたことだよ

そして、あなたのいう"well-defined"なら十分終わっている
エム・ポストニコフでね
それを今から示そう

479 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/08(日) 20:21:51.87 ID:AXAfK1QO.net

>>478 つづき

”証明すべきことは
「g,g',h,h'∈G に対し、
　　　gN=g'N かつ hN=h'N ならば g*hN=g'*h'N」という命題。 ”

（証明のあらすじ）
１．実質は、>>461のエム・ポストニコフで終わっている
２．それに、Nが正規部分群であることを組み合わせる
　　この場合、下記の中の「G の任意の元 g に対して gN = Ng が成立する」が使い易いだろう
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E8%A6%8F%E9%83%A8%E5%88%86%E7%BE%A4 正規部分群

480 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/08(日) 20:54:00.09 ID:AXAfK1QO.net

>>479 つづき

”証明すべきことは
「g,g',h,h'∈G に対し、
　　　gN=g'N かつ hN=h'N ならば g*hN=g'*h'N」という命題。 ”

（証明）
１．まず、>>461のエム・ポストニコフより、必要な事項を引用する
２．gN=g'Nより、g'∈Ngで、g'=ng ここに、nは部分群Nのある元とすることができる
３．同様に、hN=h'Nより、h'∈Nhで、h'=n'h ここに、n'は部分群Nのある元とすることができる
４．これと、前述の正規部分群の定義「G の任意の元 g に対して gN = Ng が成立する」を使う
５．正規部分群の定義より、ng＝gn”、n'h＝hn'”となる元n”、n'”がNに含まれている。n”*n'”=n”'”としておく（n”'”はNの元である）。
６．g'*h'N=ng*n'h N=gn”*n'h N＝g(n”*n')h N＝g（n”'”）h N
７．ここで再び、（n”'”）h＝hn”'””となるNの元n”'””を取ることができる（∵Nは正規部分群だから）
８．よって、g（n”'”）h N＝ghn”'”” N＝ghN＝g*hN (ここで、n”'”” N＝Nを使った。また、gh＝g*hは積*の定義より)
９．従って、g'*h'N=g*hN が成り立つ
証明おわり

481 ：１３２人目の素数さん：2015/03/08(日) 21:16:52.96 ID:AJ6aUn3m.net

ていねい？とかしゅってん？とか間違い？とか訂正？とか言い訳はいいけど、
(1)-(3)の回答を1レスに納められないって、いろいろと能力を疑うな

482 ：１３２人目の素数さん：2015/03/08(日) 21:39:12.37 ID:Hjn71QWc.net

何事も基礎を固めるのが重要だよ
急がばまわれ
何年もアタフタするより、しっかり本を読めばアホでも長くても半年である程度物にできると言うのに……

483 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/08(日) 21:43:26.26 ID:AXAfK1QO.net

>>461
余談だが、エム・ポストニコフ の
”Hg'＝Hgが証明された。すなわち、剰余類Hgの任意の元g'の剰余類Hg'はHgと一致する
即ち、２つの剰余類が交われば、これらは一致する”

で、これを書いていて思ったのは、
>　３）元g'の剰余類Hg'を考える
>　４）任意の元は、hg'、即ちhh'g, h∈Hと書ける
>　５）hh'∈Hであるから、Hg'の任意の元はHgに属する
>　６）即ちHg'⊂Hg

あたりのからくりが、>>413のからくりに似ていると
つまり、GやHが群を成すから、一つの元g'からつぎつぎに、群の演算で関連事項が紡ぎ出されて、Hg'⊂Hgに到達するんだと
それと、>>413の「連続区間があれば、群演算で結局任意の実数0<ｒがＧに含まれる」という流れに類似性を感じた・・

484 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/08(日) 21:48:19.33 ID:AXAfK1QO.net

>>481-482
はいはい、口達者なものたちよ

君たちには、まだ残っている下記を出題しておく

>>392の問題２
「ゼロを除く複素数の成す乗法群の集合は、連続濃度の”べきの濃度”を持つ」は正しいか否か
理由を付して述べよ

どうせ、君たちには無理だろうがね（笑い）

485 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/08(日) 21:51:37.95 ID:AXAfK1QO.net

それと、スレを分けているのは、テクニックだ
どうせ、いままで１０００には到達していないんだし

スレの番号が上がる方が、勢いがあると思われるｗ
それに詰めて書くと、君たち短文しか読めない人にはつらいだろうと（笑い）

486 ：１３２人目の素数さん：2015/03/08(日) 21:52:46.78 ID:6EmqTtpH.net

>>484
はいはい、口すらまともに使えない人

>>392の問題２
「ゼロを除く複素数の成す乗法群の集合は、連続濃度の”べきの濃度”を持つ」は正しいか否か
理由を付して述べよ

君には、まだ残っている下記を出題しておく
どうせ、君には無理だろうがね（笑い）

487 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/08(日) 22:24:11.39 ID:AXAfK1QO.net

どうも。スレ主です。
>>417の出題者は、はっきりスレ主よりレベル上ですな

>>486のID:6EmqTtpHくんは、はっきり下（笑い）
答えを教えて欲しいと懇願しているのか？　教えてはやらんよ（笑い）

488 ：１３２人目の素数さん：2015/03/08(日) 22:29:22.42 ID:Qm87LPZ3.net

後藤さんよかったね、おめ☆

489 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/08(日) 22:31:50.47 ID:AXAfK1QO.net

>>417の出題は、一見基本問題だが、普通のテキストでは、おそらく自明ないし簡単に流している部分なんだろう
大学の授業でも先を急ぐから、さらっと流す

おそらく、出題者は、自分で少し考え込んだところを出題したと見た
あまり書物に書いていないが、数学的思考を必要する部分を

それが、さらっと問題として書けるところが、レベルが高いよね
面白い問題だった

ありがとう

490 ：１３２人目の素数さん：2015/03/08(日) 22:33:18.52 ID:8lu3Wqbx.net

はじめの一歩も進めないのに、急ぐとか？

491 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/08(日) 22:50:08.45 ID:AXAfK1QO.net

>>441の人もレベル高そうだね
例の”おっちゃん”の証明を添削している人かな

492 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/08(日) 22:55:08.52 ID:AXAfK1QO.net

>>481と>>482とは、レベル低そうだな
口だけ達者
どうせ、>>484には答えられないと見た
うかつに答えられないよねー
赤っ恥かく可能性があるからねー、君たちレベルなら（笑い）

493 ：１３２人目の素数さん：2015/03/08(日) 22:57:43.45 ID:khTNl2lG.net

>>489
あの問題、どの辺が面白かったの？

494 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/08(日) 23:02:04.58 ID:AXAfK1QO.net

>>490
レスする必要もないのかも知れないが
>>417の問題で書いた証明は、何年も前にどこかで見たことを自分なりにアウトプットしただけよ（つまりは、勉強は一通り終わっていると）
スレ主はガロアではない。自分で群論を考え出す力は無いよ。それは、あなたたちも同じはずだ。テキストを読んで、授業で学んで、宿題をして、試験勉強をして、問題が解ける

495 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/08(日) 23:06:10.97 ID:AXAfK1QO.net

>>493
どうも。スレ主です。

そうだね、やはり問題（３）で、well-defined（結果の一意性）を示すために、エムポストニコフを読み直したことかな、久しぶりに
エムポストニコフの証明は、なんど読んでも鮮やかで、感心するね

496 ：１３２人目の素数さん：2015/03/08(日) 23:08:35.88 ID:il0Z6Fow.net

>>495
(1)がヒントってのはわざとオミットしてたの？

497 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/08(日) 23:09:26.38 ID:AXAfK1QO.net

>>495　補足

(1)(2)は、落ち着いて問題を読んだら、解答はすぐ浮かんだけどね
まあ、この板では証明は書きにくい。逆元なんて手で書けば−１を肩に書けばしまいだが、アスキーで書くとなると一工夫必要だし・・

498 ：１３２人目の素数さん：2015/03/08(日) 23:11:49.27 ID:il0Z6Fow.net

そうなんだ、いろいろとたいへんだね