現代数学の系譜11 ガロア理論を読む12

353 ：１３２人目の素数さん：2015/03/04(水) 16:01:58.16 ID:+ZGYKspj.net

>>279
(>>350-352のCase1の続き)
Case1-1)：|a_1|＞|n|＞|m|のとき。n＝cmつまり|n|＝|c|・|m|だから、|n|＞|m|から|n|＜|c|。
また、n≡0(mod m)から、|n|≡0(mod |m|)。よって�Cつまり(|a_1|・|m|)/|n|^2＝1に注意すると、
|a_1|≡0(mod |n|)であって、|a_1|＝|c|・|m|となり、|a_1|＝|n|となって矛盾。
Case1-2)：|a_1|＝|n|＝|m|のとき。n＝cmつまり|n|＝|c|・|m|から|c|＝1。故にc＝±1。
Case1-2-1)：c＝1のとき。このときn＝mだから、�Aから、m(s−t)＝2kであって、
s−t＝2k/mからs＝t+2k/m。よって、群T(s)＝T(t+2k/m)について、T(t+2k/m)＝T(t)。
故に、任意のp∈Z＼{0}に対して或るd∈Z＼{0}が一意に存在して、
T(t)∋e^{i(dtπ)}＝e^{i(p(t+2k/m)π)}∈T(t+2k/m)。
逆に、任意のd∈Z＼{0}に対して或るp∈Z＼{0}が一意に存在して、
T(t)∋e^{i(ptπ)}＝e^{i(d(t+2k/m)π)}∈T(t+2k/m)。
従って、T(t+2k/m)からT(t)への全単射が存在する。即ち、T(s)からT(t)への全単射が存在する。
故に、偏角の範囲を(-π,π]として�@の両辺に主値を取れば、i(ms−nt)π＝0から、
ms−nt＝0。n＝mだから、s-t＝0からs＝tとなって、これはs＞tに反し矛盾。
Case1-2-2)：c＝-1のとき。このときn＝-mだから、�Aから、m(s+t)＝2kであって、
s+t＝2k/mからs＝-t+2k/m。よって、群T(s)＝T(-t+2k/m)について、T(-t+2k/m)＝T(t)。
故に、任意のp∈Z＼{0}に対して或るd∈Z＼{0}が一意に存在して、
T(t)∋e^{i(dtπ)}＝e^{i(p(-t+2k/m)π)}∈T(-t+2k/m)。
逆に、任意のd∈Z＼{0}に対して或るp∈Z＼{0}が一意に存在して、
T(t)∋e^{i(ptπ)}＝e^{i(d(-t+2k/m)π)}∈T(-t+2k/m)。
従って、T(-t+2k/m)からT(t)への全単射が存在する。即ち、T(s)からT(t)への全単射が存在する。
故に、Case1-2-1と同様にして�@の両辺に主値を取れば、i(ms-nt)π＝0から、
ms−nt＝0。n＝-mだから、s+t＝0であるが、これはs＞t＞0からs+t＞0であることに反し矛盾。
Case1-2-1、Case1-2-2から、|a_1|＝|n|＝|m|のとき矛盾。　　(Case1-2　終)
Case1-1、Case1-2から、ms-nt≠0のとき矛盾が生じる。　　　(Case1　終)