現代数学の系譜11 ガロア理論を読む12

1 ：１３２人目の素数さん：2015/02/15(日) 08:46:03.29 ID:wOLNHI5U.net

旧スレが500KBオーバーに近づいたので、新スレ立てる
このスレはガロア原論文を読むためおよび関連する話題を楽しむスレです
（最近は、スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。ガロア関連のアーカイブの役も期待して。）
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現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
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351 ：１３２人目の素数さん：2015/03/04(水) 15:57:52.44 ID:+ZGYKspj.net

>>279
(>>350のCase1の続き)
今、j∈Z＼{0}を任意に固定する。すると、j、n∈Z＼{0}からjn∈Z＼{0}だから、
jnに対して或るa_j∈Z＼{0}が存在して、e^{i(jnsπ)}＝e^{ia_j・((m/n)s-2k/n)π}
から、e^{i(jn^2・sπ)}＝e^{ia_j・(ms-2k)π}＝e^{i(a_j・msπ)}…�B。
ここで、x_j＝e^{i(jn^2・sπ)}、y_j＝e^{i(a_j・msπ)}
とおくと、�Bから、x_j＝y_j。従って、偏角の不定性に注意して
x_jとy_jに主値を取れば、或るb∈Zが存在して、
i(jn^2・sπ)＝i(a_j・msπ)+i(2bπ)、両辺を整理してまとめれば、(jn^2-a_j・m)s＝2b。
m∈Z＼{0}に注意すると、jn^2-a_j・m、2b∈Z⊂Qから、jn^2-a_j・m、2b∈Qだから、
jn^2-a_j・m＝0から、a_j・m＝jn^2。よって、m≠0からa_j＝jn^2/m。
Z＼{0}の点jは任意だから、jをZ＼{0}の上で走らせて考えると、
任意のj∈Z＼{0}に対して或るa_j∈Z＼{0}が定まって、a_j＝jn^2/m。

352 ：１３２人目の素数さん：2015/03/04(水) 15:59:37.56 ID:+ZGYKspj.net

>>279
(>>350-351のCase1の続き)
従って、n^2≡0(mod m)から、m|n^2。
単項イデアルについて、(n^2)＝(n)(n)⊂(n)だから、n≡0(mod m)。
従って、nに対して或るc∈Z＼{0}が存在して、n＝cm。
ns-mt≠0だから、cms-mt≠0から、cs-t≠0。
故にc∈Qに注意すると、cs、t∈R＼Q。ここで、T(cs)⊂T(s)＝T(t)
だから、csに対して或るj∈Z＼{0}が存在してe^{i(csπ)}＝e^{i(jtπ)}、
よって、偏角の不定性に注意して両辺に主値を取って考えれば、e^{i(cnsπ)}＝e^{i(jntπ)}。
一方偏角の不定性に注意して�@の両辺に主値を取って考えれば、e^{i(jms−jnt)π}＝1、
つまり、e^{i(jmsπ)}＝e^{i(jntπ)}。故に、e^{i(cnsπ)}＝e^{i(jmsπ)}。
よって、偏角の範囲を(-π,π]として両辺に主値を取れば、i(cn−jm)sπ＝0、
つまりcn−jm＝0から、cn＝jmであって、cmn＝jm^2。ここで、nにcmを代入すれば、
c^2m^2＝jm^2だから、j＝c^2≧1。また、cmをnで置換すれば、n^2＝jm^2。
従って、n^2≧m^2。一方、1∈Z＼{0}だから、1に対して或るa_1∈Z＼{0}が定まって、
a_1＝n^2/m。故に、n^2＝a_1・m≧m^2、つまり|a_1|・|m|≧|m|^2だから、
|m|＞0から|a_1|≧|m|。n^2≧m^2から、|n|^2≧|m|^2だから、|m|、|n|＞0から
|n|≧|m|。a_1＝n^2/mから、|n|^2＝|a_1|・|m|…�Cだから、|n|、|a_1|≧|m|から
|a_1|≧|n|≧|m|。ここで、�Cから|n|^2/(|a_1|・|m|)＝1。故に、
|a_1|＞|n|＞|m|　または　|a_1|＝|n|＝|m|。

353 ：１３２人目の素数さん：2015/03/04(水) 16:01:58.16 ID:+ZGYKspj.net

>>279
(>>350-352のCase1の続き)
Case1-1)：|a_1|＞|n|＞|m|のとき。n＝cmつまり|n|＝|c|・|m|だから、|n|＞|m|から|n|＜|c|。
また、n≡0(mod m)から、|n|≡0(mod |m|)。よって�Cつまり(|a_1|・|m|)/|n|^2＝1に注意すると、
|a_1|≡0(mod |n|)であって、|a_1|＝|c|・|m|となり、|a_1|＝|n|となって矛盾。
Case1-2)：|a_1|＝|n|＝|m|のとき。n＝cmつまり|n|＝|c|・|m|から|c|＝1。故にc＝±1。
Case1-2-1)：c＝1のとき。このときn＝mだから、�Aから、m(s−t)＝2kであって、
s−t＝2k/mからs＝t+2k/m。よって、群T(s)＝T(t+2k/m)について、T(t+2k/m)＝T(t)。
故に、任意のp∈Z＼{0}に対して或るd∈Z＼{0}が一意に存在して、
T(t)∋e^{i(dtπ)}＝e^{i(p(t+2k/m)π)}∈T(t+2k/m)。
逆に、任意のd∈Z＼{0}に対して或るp∈Z＼{0}が一意に存在して、
T(t)∋e^{i(ptπ)}＝e^{i(d(t+2k/m)π)}∈T(t+2k/m)。
従って、T(t+2k/m)からT(t)への全単射が存在する。即ち、T(s)からT(t)への全単射が存在する。
故に、偏角の範囲を(-π,π]として�@の両辺に主値を取れば、i(ms−nt)π＝0から、
ms−nt＝0。n＝mだから、s-t＝0からs＝tとなって、これはs＞tに反し矛盾。
Case1-2-2)：c＝-1のとき。このときn＝-mだから、�Aから、m(s+t)＝2kであって、
s+t＝2k/mからs＝-t+2k/m。よって、群T(s)＝T(-t+2k/m)について、T(-t+2k/m)＝T(t)。
故に、任意のp∈Z＼{0}に対して或るd∈Z＼{0}が一意に存在して、
T(t)∋e^{i(dtπ)}＝e^{i(p(-t+2k/m)π)}∈T(-t+2k/m)。
逆に、任意のd∈Z＼{0}に対して或るp∈Z＼{0}が一意に存在して、
T(t)∋e^{i(ptπ)}＝e^{i(d(-t+2k/m)π)}∈T(-t+2k/m)。
従って、T(-t+2k/m)からT(t)への全単射が存在する。即ち、T(s)からT(t)への全単射が存在する。
故に、Case1-2-1と同様にして�@の両辺に主値を取れば、i(ms-nt)π＝0から、
ms−nt＝0。n＝-mだから、s+t＝0であるが、これはs＞t＞0からs+t＞0であることに反し矛盾。
Case1-2-1、Case1-2-2から、|a_1|＝|n|＝|m|のとき矛盾。　　(Case1-2　終)
Case1-1、Case1-2から、ms-nt≠0のとき矛盾が生じる。　　　(Case1　終)

354 ：１３２人目の素数さん：2015/03/04(水) 16:07:26.93 ID:+ZGYKspj.net

>>279
(>>353の続きで、>>350参照)
Case2)：ms-nt＝0のとき。このとき、ms＝ntからs＝(n/m)tだから、T(s)＝T(t)からT(t)＝T((n/m)t)。
また、群T((m/n)t)は、＝{e^{im_1・(m/n)tπ}∈C|m_1∈Z}と表わされる。
よって、任意のj∈Z＼{0}に対して或るa_j∈Z＼{0}が存在して、
e^{i(jπ)}＝e^{ia_j・(m/n)tπ}。よって、偏角の不定性に注意して
両辺に主値を取れば、或るb∈Z＼{0}が存在して、i(jπ)＝ia_j・(m/n)tπ＋i(2bπ)から、
j＝a_j・(m/n)t＋2b、つまり、a_j・(m/n)t＝−2b＋j。
ここで、a_j・(m/n)、−2b＋j∈Qであって、t∈R＼Q。
従って、a_j・(m/n)＝0から、a_j＝0またはm＝0。
然るに、これはa_j≠0、m≠0であることに反し矛盾。　　　(Case2終)
Case1、Case2から、1＞s＞t＞0なるs、t∈R＼Qが存在して、T(s)＝T(t)であったとすると矛盾。

まあ、もう疲れて来たからちょっと寝る。

355 ：１３２人目の素数さん：2015/03/04(水) 16:39:24.97 ID:+ZGYKspj.net

>>279
>>353のCase1-1)は間違っていたから、後で訂正する。
今は疲れて出来ん。

356 ：１３２人目の素数さん：2015/03/04(水) 18:38:01.58 ID:Xbvtg9lr.net

後藤さん張り切ってるね

357 ：１３２人目の素数さん：2015/03/04(水) 20:12:02.00 ID:YdJRWdwI.net

>>350-354
難しく考えすぎ。そこまでT(s),T(t)を弄っていて正解に辿り着かないのはセンスなさすぎ。
Case1-1どころか、Case1の途中で既に間違ってる。実はCase2も間違ってる。まずはCase1から。

＞従って、n^2≡0(mod m)から、m|n^2。
＞単項イデアルについて、(n^2)＝(n)(n)⊂(n)だから、n≡0(mod m)。

n＝2, m＝4 と置くと、n^2≡0(mod m)は成り立つがn≡0(mod m)は成り立たない。
その他にも、成り立たない(n, m)の例はたくさんある。
なーにが単項イデアルだよ。算数も出来てないじゃないか。
あと、仮に n≡0(mod m) だったとしても、その後が間違ってて話にならない↓

＞つまり、e^{i(jmsπ)}＝e^{i(jntπ)}。故に、e^{i(cnsπ)}＝e^{i(jmsπ)}。
＞よって、偏角の範囲を(-π,π]として両辺に主値を取れば、i(cn−jm)sπ＝0、
＞つまりcn−jm＝0から、cn＝jmであって、cmn＝jm^2。ここで、nにcmを代入すれば、

ここが間違い。偏角の範囲を限定したところで、cn−jm＝0 は出てこない。
結局は cn−jm≡0(mod 2) までしか言えない。

整数a,bがe^{iaπ}＝e^{ibπ}を満たすとき、偏角の範囲を(-π,π]として両辺の主値を取ろうとしても、
偏角の範囲を限定したがゆえに、まずaπ, bπが(-π,π]の範囲に収まっていなければならない。
ただ1つの整数kに対して (a＋2k)π∈(-π,π] が成り立つようにできて、
ただ1つの整数Lに対して (b＋2L)π∈(-π,π] が成り立つようにできる。
これと e^{iaπ}＝e^{i(a＋2k)π}, e^{ibπ}＝e^{i(b＋2L)π} から、
e^{i(a＋2k)π}＝e^{i(b＋2L)π} となる。
ここまで来れば、偏角の範囲が(-π,π]に収まっているから、i(a＋2k)π＝i(b＋2L)πとなり、
よってa−b＝2(L−k) となる。従って、a−b＝0 なんて式は導出できなくて、
結局は a−b≡0(mod 2) までしか言えない。

358 ：１３２人目の素数さん：2015/03/04(水) 20:32:29.14 ID:YdJRWdwI.net

次はCase2について。

＞また、群T((m/n)t)は、＝{e^{im_1・(m/n)tπ}∈C|m_1∈Z}と表わされる。
＞よって、任意のj∈Z＼{0}に対して或るa_j∈Z＼{0}が存在して、
＞e^{i(jπ)}＝e^{ia_j・(m/n)tπ}。よって、偏角の不定性に注意して

e^{i(jπ)}って何だよ。s, t はどこに行ったんだよ。
文脈から察するに、e^{i(jtπ)} の間違いだろ。
で、e^{i(jtπ)}だとして計算を続けると、a_j＝0なんて出てこない。

最後にもう1つ。

＞Case1、Case2から、1＞s＞t＞0なるs、t∈R＼Qが存在して、T(s)＝T(t)であったとすると矛盾。

Case1, Case2 の議論では、s, t が 1＞s＞t＞0 を満たすという性質を使っていない。
唯一、Case1-2-1, Case1-2-2 では s＞t＞0 という性質が使われている。
しかし、1＞s＞t という性質はどこにも使われていないのだ。
従って、もし Case1, Case2 の議論が正しいなら、
「 s＞t＞0 なる任意の s, t∈R−Q に対して T(s)≠T(t) が成り立つ 」
ことが言えてしまうことになる。
だが、これには反例があるのだった(s＝√2＋2, t＝√2 など)。
というわけで、この考察だけでも、
「 Case1, Case2 はどこかの議論が間違っている」
ということが分かってしまう。

息をするように間違えまくる大バカ野郎。
1回や2回の間違いではない。
ここまで来るのに延々と間違いを繰り返しているのだ。
話にならん。

359 ：１３２人目の素数さん：2015/03/05(木) 00:18:11.22 ID:UP7LXXHW.net

もう少し自己査読してから出せばいいのに

360 ：１３２人目の素数さん：2015/03/05(木) 04:44:17.26 ID:fgPXpUAC.net

>>359
私(>>239-240の訂正をしている者)自身、自己査読していないことは自覚している。
間違いまくっているのも当然。間違いをリサイクルすることも重要
(例えば、>>353のCase1-1の考え方は、m、n∈Z＼{0}がm^2≡0 (mod n)を満たすとき
nに対して或るk∈N＼{0}が存在してn＝±k^2となることの証明に使える)。
まあ、よく自己査読してから書き込むことにする
(ただ、打ち間違いがあるかも知れないことは、前提)。

361 ：１３２人目の素数さん：2015/03/06(金) 07:57:19.72 ID:AVlvxq7S.net

>>360
＞(例えば、>>353のCase1-1の考え方は、m、n∈Z＼{0}がm^2≡0 (mod n)を満たすとき
＞nに対して或るk∈N＼{0}が存在してn＝±k^2となることの証明に使える)。

何を言ってるかよく分からないのだが、m、n∈Z＼{0}がm^2≡0 (mod n)を満たしていても、
n＝±k^2が成り立つとは必ずしも限らない。たとえば、nが素数の場合を考えればよい。
n＝3, m＝3 とか。このとき、m^2≡0 (mod n)が成り立つのに、n＝±k^2を満たすkは存在しない。
Case1-1の間違いはリサイクルすら不可能ってこと。

362 ：１３２人目の素数さん：2015/03/06(金) 10:49:46.23 ID:T1FPcLyt.net

>>279
今まで、本当に恥ずかしい位に肝心なことを見落としていたわ。>>239-240は次のように訂正。

[第5段]：任意の|s|＞|t|かつ-1＜s＜0＜t＜1なるs、t∈R＼Qに対してT(s)≠T(t)であることを示す。
確かに任意のθ∈R＼Qに対して群T(θ)は定まる。
矛盾に導くため、或る|s|＞|t|かつ-1＜s＜0＜t＜1なるs、t∈R＼Qが存在して、T(s)＝T(t)であったとする。
R＼Qの部分集合A、Bを、A＝{a∈R＼Q|a∈(-1,0)}、B＝{b∈R＼Q|b∈(0,1)}
と定義する。すると確かにAとBの各R＼Qにおける包含関係について、φ≠A、B⊂R＼Q　である。
ここで、任意の(a,b)∈A×Bに対して-1＜a＜0＜b＜1であるから、
任意のa∈Aに対してBの点b＝|a|は一意に定まる。また、同様に、
任意のb∈Bに対してAの点a＝-bは一意に定まる。よって、AからBへの全単射が存在する。
無理数s、tに対して2つの群T(s)、T(t)が定義される。T(s)のT(t)への左作用を
f：T(s)×T(t)→T(t)とする。g＝e^{isπ}とおく。すると、g∈T(s)であるから、
mをZの変数とすれば、定義から任意のe^{i(mt)π}∈T(t)に対して
f(g,e^{i(mt)π})＝(g,e^{i(mt)π})→g・e^{i(mt)π}∈T(t)　が一意に定まる。
つまり、f(g,T(t))：{g}×T(t)→T(t)は全単射である。よって、m＝1とすれば、
f(g,e^{itπ})＝(g,e^{itπ})→g・e^{itπ}∈T(t)　が一意に定まる。
ここで、-1＜s＜0＜t＜1であるから、複素平面Cの実軸に関する対称性から
g・e^{itπ}＝1。また、g＝e^{isπ}だったから、g・e^{itπ}を計算すると
g・e^{itπ}＝e^{i(t+s)π}。従って、e^{i(t+s)π}＝1であり、
偏角の範囲を(-π,π]として両辺に主値を取れば、i(t+s)π＝0となり、
i≠0＜πからt+s＝0であり、|s|＝|t|が得られるが、s、tが満たす条件|s|＞|t|に反する。

363 ：１３２人目の素数さん：2015/03/06(金) 10:56:55.10 ID:T1FPcLyt.net

>>279
(>>362の続き)
[第6段]：任意の1＞s＞t＞0なるs、t∈R＼Qに対してT(s)≠T(t)であることを示す。
矛盾に導くため、或る1＞s＞t＞0なるs、t∈R＼Qが存在してT(s)＝T(t)であったとする。
sについて、1＞s＞0から-1＜-s＜0であり、2つの群T(-s)、T(t)が定義される。
T(-s)のT(t)への左作用をf：T(-s)×T(t)→T(t)とする。g＝e^{i(-s)π}とおく。
すると、g∈T(-s)であるから、mをZの変数とすれば、定義から任意のe^{i(mt)π}∈T(t)に対して
f(g,e^{i(mt)π})＝(g,e^{i(mt)π})→g・e^{i(mt)π}∈T(t)　が一意に定まる。
つまり、f(g,T(t))：{g}×T(t)→T(t)は全単射である。よって、m＝1とすれば、
f(g,e^{itπ})＝(g,e^{itπ})→g・e^{itπ}∈T(t)　が一意に定まる。
ここで、1＞s＞t＞0から-1＜-s＜0＜t＜1であるから、複素平面Cの実軸に関する対称性から
g・e^{itπ}＝1。また、g＝e^{i(-s)π}だったから、g・e^{itπ}を計算すると
g・e^{itπ}＝e^{i(t-s)π}。従って、e^{i(t-s)π}＝1であり、
偏角の範囲を(-π,π]として両辺に主値を取れば、i(t-s)π＝0となり、
i≠0＜πからt-s＝0が得られ、s＝tはs、tが満たす条件s＞tに反する。
[第7段]；乗法群C^{×}の正規部分群は非可算個存在することを示す。
集合Aは非可算であるから、乗法群C^{×}の正規部分群は非可算個存在する。

364 ：１３２人目の素数さん：2015/03/06(金) 10:59:38.57 ID:AVlvxq7S.net

>>362
＞[第5段]：任意の|s|＞|t|かつ-1＜s＜0＜t＜1なるs、t∈R＼Qに対してT(s)≠T(t)であることを示す。

お話にならない。その[第5段]には何の価値も無い。
なぜなら、それが示せた「だけ」では、T(x) が非可算無限個あることは示せなからだ。
s＜0＜t のように、sとtの間に実数が挟まれていると価値が無くなってしまうのだ。
>>284にも書いたことだが、ここでもう一度書いておく。

次のように一般化して考えるとよく見えてくる。

問題：Y は集合とする。写像 F：(−1, 1)−Q → Y は、
|s|＞|t|かつ-1＜s＜0＜t＜1 なる s,t∈R−Q に対して常に F(s)≠F(t) が成り立つとする。
このとき、F(x) (x∈(-1,1)−Q) は非可算無限個あると言えるか？

解答：言えない。Y を2元以上の集合として、Y の異なる2元 a, b を1つずつ取る。
x∈(-1, 1)−Q に対して、 F(x)＝a (−1＜x≦0), b (0＜x＜1) と置けば、
このFは問題の仮定を満たすが、F(x) (x∈(-1, 1)−Q) はaとbの2種類しか無い。
非可算無限個どころか、「有限個」である。■

というわけで、上記の[第5段]には何の価値もなく、[第5段]だけでは全く不十分であり、
T(x) が非可算無限個あることは絶対に言えない。
なぜなら、それだけで非可算無限個あることが言えたなら、
その論法は上の問題にも適用できてしまって、F(x) が非可算無限個あることが
言えてしまうが、それは上の解答に矛盾するからだ。

365 ：１３２人目の素数さん：2015/03/06(金) 11:01:41.77 ID:AVlvxq7S.net

>>363
おっと、[第6段]が増設されたのか。
これは早とちりをしてしまった。申し訳ない。

366 ：１３２人目の素数さん：2015/03/06(金) 11:02:51.45 ID:T1FPcLyt.net

>>279
一体、私は何を考えてたんでしょ。
感じなことを忘れていたというか、見落としてた。

367 ：１３２人目の素数さん：2015/03/06(金) 11:08:40.99 ID:T1FPcLyt.net

>>279
>>363の[第7段]の「集合A」は「集合B」の間違い。

368 ：１３２人目の素数さん：2015/03/06(金) 11:10:20.90 ID:AVlvxq7S.net

>>362
＞f(g,e^{itπ})＝(g,e^{itπ})→g・e^{itπ}∈T(t)　が一意に定まる。
＞ここで、-1＜s＜0＜t＜1であるから、複素平面Cの実軸に関する対称性から
＞g・e^{itπ}＝1。また、g＝e^{isπ}だったから、g・e^{itπ}を計算すると
＞g・e^{itπ}＝e^{i(t+s)π}。従って、e^{i(t+s)π}＝1であり、

ここが意味不明。
f(g,e^{itπ})＝(g,e^{itπ})→g・e^{itπ}∈T(t)　が一意に定まることと、
g・e^{itπ}＝1 が成り立つこととは何の関係も無い。
Cの実軸に関する対称性が根拠になっているようだが、Cが実軸に関して対称だったからといって、
写像 f とは何の関係もない。f には、対称性に関する性質が何も設定されてないからだ。

>>363でも同様の論法を使っているので、そこもアウト。

どのみちダメじゃねーか。

369 ：１３２人目の素数さん：2015/03/06(金) 11:31:19.63 ID:Z69jlrDR.net

アイヤー

370 ：１３２人目の素数さん：2015/03/06(金) 11:40:13.46 ID:rYC8zJJ9.net

哀号
また駄目ニダか…

371 ：１３２人目の素数さん：2015/03/06(金) 14:44:24.43 ID:T1FPcLyt.net

>>279
単純に行く。>>239-240は次のように訂正。

[第5段]：任意の2＞s＞1＞t＞0なるs、t∈R＼Qに対してT(s)≠T(t)であることを示す。
確かに任意のθ∈R＼Qに対して群T(θ)は定まる。
矛盾に導くため、或る2＞s＞1＞t＞0なるs、t∈R＼Qが存在して、T(s)＝T(t)であったとする。
すると、T(s)、T(t)は両方共に複素平面Cの単位円周上の部分集合だから、
2＞s＞1＞t＞0から、或る(m,n)∈(N＼{0})^2が存在して、
e^{i(msπ)}＝e^{i(ntπ)}であり、e^{i(msπ−ntπ)}＝1。
よって、偏角の不定性に注意し両辺に主値を取ると、或るk∈Zが存在して、
i(msπ−ntπ)＝2kπiから、ms−nt-2k＝0。今2kをkで略記する。
すると、k∈Zであって、ms-nt-k＝0…�@が成り立つ。
ここで、n≠0だから�@から、(m/n)s−t−(k/n)＝0。
故に2つの無理数s、tの集合{s,t}は有理数体Q上線型従属であり、t＝(m/n)s−(k/n)。
T(s)＝T(t)だから、T(t)＝T((m/n)s−k/n)。
ここで、群T(s)は＝{e^{i(m_1・sπ)}∈C^{×}|m_1∈Z}と定義される。
また、群T(t)＝T((m/n)s−(k/n))は、
＝{e^{i(m_1・((m/n)s−(k/n))π)}∈C^{×}|m_1∈Z}と定義される。
e^{isπ}はm_1＝1としたときのT(s)の点、
e^{i((m/n)s−k/n)π}はm_1＝1としたときのT(t)の点であるから、
e^{isπ}＝e^{i((m/n)s−(k/n))π}…�A　または　e^{isπ}＝e^{-i((m/n)s−(k/n))π}…�B
のどちらか片方かつその一方に限り成り立つ。

372 ：１３２人目の素数さん：2015/03/06(金) 14:49:13.27 ID:T1FPcLyt.net

>>279
(>>371の続き)
Case1)：�Aが成り立つとき。�Aから、e^{i(((m/n)-1)s−k/n)π}＝1…�C。
ここで、s∈R＼Qだったからsは無理数で、任意の有理数aに対して、
{a,s}は有理数体Q上線型独立である。よって、偏角の範囲を(-π,π]として
�Cの両辺に主値を取れば、i(((m/n)-1)s−(k/n))π＝0であり、i≠0＜πから
((m/n)-1)s−k/n＝0、故に(m/n)-1＝0から、m＝n。
従って、群T(t)つまりT((m/n)s−(k/n))は、
T(t)＝{e^{i(m_1(s−(k/n))π)}∈C^{×}|m_1∈Z}と表わされる。
e^{isπ}はm_1＝1としたときのT(s)の点、e^{i(s−(k/n))π}はm_1＝1としたときのT(s)の点
だから、e^{i(sπ)}＝e^{i(s−(k/n))π}　または、e^{i(sπ)}＝e^{-i(s−(k/n))π)}
のどちらか片方かつその一方に限り成り立つ。つまり、
e^{i(−k/n)π)}＝1　または、e^{i(2s−k/n)π)}＝1のどちらか片方かつその一方に限り成り立つ。
然るに、任意の有理数aに対して{a,s}はQ上線型独立だから、e^{iθπ}＝1
を満たす実数θは有理数であることに注意すると、e^{i(2s−k/n)π)}≠1であって、
e^{i(−k/n)π)}＝1となる。よって、偏角の不定性に注意して両辺に主値を取ると、
kに対して或るj∈Zが存在してk＝2jπ。πは無理数、kは整数だから、
j＝0からk＝0。よって、�@からms−nt＝0、故にm＝nからs＝tが得られ、これはs＞tに反し矛盾。
Case2)：�Bが成り立つとき。�Bから、e^{i((1+(m/n))s+(k/n))π}＝1。
然るにsは無理数だから、任意の有理数aに対して{a,s}は体Q上線型独立である。
よって、e^{iθπ}＝1を満たす実数θは有理数であることに注意すると、e^{i(2s+k/n)π)}≠1であり矛盾。
Case1、2から、2＞s＞1＞t＞0なるs、t∈R＼Qが存在して、T(s)＝T(t)とすると、矛盾が生じる。

373 ：１３２人目の素数さん：2015/03/06(金) 14:51:42.40 ID:T1FPcLyt.net

>>279
(>>372の続き)
[第6段]:任意の|s|＞|t|かつ-1＜s＜0＜t＜1なるs、t∈R＼Qに対してT(s)≠T(t)であることを示す。
θを実変数とするとe^{iθπ}はmod2の周期関数であるから、第5段の結果から従う。

[第7段]：任意の1＞s＞t＞0なるs、t∈R＼Qに対してT(s)≠T(t)であることを示す。
複素平面Cは実軸について対称であるから、第6段の結果から従う。

[第8段]；乗法群C^{×}の正規部分群は非可算個存在することを示す。
開区間(0,1)は非可算であるから、乗法群C^{×}の正規部分群は非可算個存在する。

374 ：１３２人目の素数さん：2015/03/06(金) 18:30:30.86 ID:AVlvxq7S.net

>>371-373
大間違い。今までのミスと全く同じミスを繰り返している。

＞e^{isπ}はm_1＝1としたときのT(s)の点、
＞e^{i((m/n)s−k/n)π}はm_1＝1としたときのT(t)の点であるから、
＞e^{isπ}＝e^{i((m/n)s−(k/n))π}…�A　または　e^{isπ}＝e^{-i((m/n)s−(k/n))π}…�B
＞のどちらか片方かつその一方に限り成り立つ。

大間違い。支離滅裂。m_1＝1としたときの両者の点は
対応している必要が無いので、�Aとか�Bとかに限定できない。
このことは>>347でも指摘した。そのときと全く同じミスを繰り返している。

＞Case1)：�Aが成り立つとき。�Aから、e^{i(((m/n)-1)s−k/n)π}＝1…�C。
＞ここで、s∈R＼Qだったからsは無理数で、任意の有理数aに対して、
＞{a,s}は有理数体Q上線型独立である。よって、偏角の範囲を(-π,π]として
＞�Cの両辺に主値を取れば、i(((m/n)-1)s−(k/n))π＝0であり、i≠0＜πから

大間違い。偏角の範囲を(-π,π]に限定するなら、�Cの主値を取る前に、
(((m/n)-1)s−k/n)π が(-π,π]の範囲内に収まっていなければならない。
しかし、(((m/n)-1)s−k/n)π のままでは必ずしも範囲内に収まらないので、
一般的には>>357の後半で指摘したことと全く同じ状態になり、
結局は「 ある k∈Zに対して (m/n)-1)s−k/n＝2k 」までしか言えない。

＞e^{isπ}はm_1＝1としたときのT(s)の点、e^{i(s−(k/n))π}はm_1＝1としたときのT(s)の点
＞だから、e^{i(sπ)}＝e^{i(s−(k/n))π}　または、e^{i(sπ)}＝e^{-i(s−(k/n))π)}
＞のどちらか片方かつその一方に限り成り立つ。つまり、

大間違い。支離滅裂。既に指摘したとおり、
m_1＝1としたときの両者の点は対応している必要が無い。
このことは>>347でも指摘した。そのときと全く同じミスを繰り返している。

375 ：１３２人目の素数さん：2015/03/06(金) 18:47:06.11 ID:AVlvxq7S.net

間違いはさらに続く。

＞然るに、任意の有理数aに対して{a,s}はQ上線型独立だから、e^{iθπ}＝1
＞を満たす実数θは有理数であることに注意すると、e^{i(2s−k/n)π)}≠1であって、

ここの記述は間違っているわけではないが、θは有理数どころか
「偶数(負の偶数でもよい)」に限られるので、内容が冗長。

＞e^{i(−k/n)π)}＝1となる。よって、偏角の不定性に注意して両辺に主値を取ると、
＞kに対して或るj∈Zが存在してk＝2jπ。πは無理数、kは整数だから、

ここは完全に間違い。(−k/n) は「偶数(負の偶数でもよい)」となるので、
せいぜい (−k/n)＝2j という程度の等式までしか言えない。
そもそも、(−k/n)は「πの係数」なんだから、その係数に対して k＝2jπ などと
新しくπが出現するわけ無いだろ。おかしいと思わないのかよ。
いくら背理法を使っているからって、そんな支離滅裂な矛盾が出てきたら
自分の計算ミスを疑うのが普通だぞ。概念的に何も理解してない証拠じゃないか。

376 ：１３２人目の素数さん：2015/03/06(金) 19:14:54.25 ID:AVlvxq7S.net

さらに言うと、[第5段]では「 s,t∈R−Q, T(s)＝T(t), s＞t 」という条件しか使っていない。

＞すると、T(s)、T(t)は両方共に複素平面Cの単位円周上の部分集合だから、
＞2＞s＞1＞t＞0から、或る(m,n)∈(N＼{0})^2が存在して、
＞e^{i(msπ)}＝e^{i(ntπ)}であり、e^{i(msπ−ntπ)}＝1。

この部分では、あたかも 2＞s＞1＞t＞0 を使っているかのように見えるが、
実際には「 s,t∈R−Q, T(s)＝T(t) 」さえ成り立っていれば十分であり、それだけで
「 ある(m,n)∈(Z＼{0})^2 に対して e^{i(msπ)}＝e^{i(ntπ)} 」が言えてしまう。
従って、この部分では せいぜい「 s,t∈R−Q, T(s)＝T(t) 」しか使っていない。
そして、その後の議論で新しく使っている性質は s＞t だけなので、結局、
[第5段]全体を通しては「 s,t∈R−Q, T(s)＝T(t), s＞t 」しか使っていない。

となれば、「 s,t∈R−Q, T(s)＝T(t), s＞t ならば矛盾 」が言えたことになってしまい、
すなわち「 s,t∈R−Q, s＞t ならば T(s)≠T(t) 」が言えたことになってしまうが、
これには反例があるのだった(s＝√2＋2, t＝√2 など)。というわけで、この考察だけでも、
「 [第5段]の証明はどこかが間違っている」ということが分かってしまう。

証明中に安易に「 2＞s＞1＞t＞0 」という呪文を書き込んだだけでは、
その条件を使ったことにはならないのだ。その後の議論が、その条件を
使わなくても成り立つものであるならば、実際には その条件は使われていないのだ。

377 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 08:11:04.98 ID:/NeL5nxq.net

>>376
>その後の議論が、その条件を
>使わなくても成り立つものであるならば、実際には その条件は使われていないのだ。
これははじめて知った。場合分けが生じる背理法の議論の真偽の見分け方について、参考になった。
というか、今まで条件を使わなくても矛盾が生じれば正しい議論になる
とばかり思っていた。一体、何にそういうことが書いてあるんだ？

378 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 08:16:58.05 ID:/NeL5nxq.net

>>359
>>360の
>(例えば、>>353のCase1-1の考え方は、m、n∈Z＼{0}がm^2≡0 (mod n)を満たすとき
>nに対して或るk∈N＼{0}が存在してn＝±k^2となることの証明に使える)。
の部分は条件が必要にで、この部分は取り下げ。

379 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 14:08:42.74 ID:CATUi/5b.net

age

380 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 14:11:50.75 ID:CATUi/5b.net

どうも。スレ主です。
>>333から>>397まで、その間はご無沙汰です

381 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 14:16:22.41 ID:CATUi/5b.net

なんか、規制に引っかかって、書けなくなりました
そこで、「2ちゃんねるプレミアム Ronin」を購入して、Jane Styleを復活させました
コテ”現代数学の系譜11 ガロア理論を読む”も復活です。はい

382 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 14:21:18.78 ID:/NeL5nxq.net

>>376
1つ聞きたいことがある。
私は、或る条件をみたすような任意の有理数が超越数になる
という奇妙な現象を発見している(詳細は書かない)。
本来は、或る条件を満たすような任意の実数について成り立つ命題である。
単純に反例を挙げるだけでは済まなくなると思うが、この真偽については如何？

>>359
>>378の最後の行の「必要にで、」は「必要で、」の間違い。

383 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 14:22:22.17 ID:CATUi/5b.net

ID:/NeL5nxqさんは、”おっちゃん”だと思うけど
”おっちゃん”らしいね
まあ、頑張って下さい

ID:AVlvxq7Sさんは、いつもの方と思いますが
まあ、お呼びするとしたら、”導師”か”メンター”か
私より、だいぶレベルが上ですね
辛抱強く、”おっちゃん”のご指導で、頭が下がりますね
私ら、”おっちゃん”のカキコを読む気がしない・・

384 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 14:27:48.03 ID:/NeL5nxq.net

スレ主よ。
私の証明に対し反例を挙げて間違いを指摘している人間をどう思う？
意見を聞きたい。

385 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 14:29:19.89 ID:CATUi/5b.net

>>382
”おっちゃん”、どうも。スレ主です。
連投規制になるかなと思ったが、おかげでクリアーできそうだ

>私は、或る条件をみたすような任意の有理数が超越数になる
>という奇妙な現象を発見している(詳細は書かない)。

なるほど、私に聞いているのではないと思うが
y=f(x) で、xが任意の有理数、yが超越数になると
そういう関数fのことかな？

386 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 14:31:23.87 ID:CATUi/5b.net

>>384
”おっちゃん”の方が正しいと
心情的には言いたいが
私の数学的直感は逆だね
証明を細かく読んでないが

387 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 14:34:17.52 ID:/NeL5nxq.net

>>385
>なるほど、私に聞いているのではないと思うが
>y=f(x) で、xが任意の有理数、yが超越数になると
>そういう関数fのことかな？
数論の或る病的な現象になっているんだよ。
本当に数論は正しいのだろうか？　と思っているんだよ。

388 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 14:37:39.85 ID:/NeL5nxq.net

>>386
まあ、そのあたりはどうでもいいけどね。

389 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 14:46:25.91 ID:CATUi/5b.net

>>334-338
どうも。スレ主です。
まあ、口だけ達者だな

ID:/CImvwKh、D:d/R6BEmu、ID:W+oQWcvbくんたちか

１．「R の Q 上の基底はハメル基底と呼ばれ、非可算無限の濃度を持つ。スレ主はその理由はわかってるの？ 」：はい、分かりません
２．圏論は、最初から徹底コピペですよ。分かってないだろうというのは、正しい
３．「どんな大学でも無理でしょｗ 」も、多分正しい。入試は通るかも。卒業だけならできるかも
４．が、君たちとは同じあなのむ・・

で、君たちにも出題しておく。>>194の２問だ

問題１ は易しい。すぐ出来るはずだ
問題２ むずい。いまだに悩んでいる。なんとなく解らしいところに辿り着いたが、>>280のような簡単な証明が出来ないで悩んでいるんだ
君たち、賢いんだろ？　教えてくれよ（笑い）

390 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 14:52:59.22 ID:Kj5to7DQ.net

q∈Q とする。
定義により、ある n,m∈Z が存在して、q=n/m を満たす。
qは (m/n)x-1∈Q[x] の根であるから、定義によりqは代数的数である。

391 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 14:59:52.32 ID:CATUi/5b.net

>>389
訂正 >>280→>>290

で、>>290で一つ小さな間違いがある
だれも指摘しないが

>７．よって、集合U'は、1より大の実数と同じ濃度であり、連続の濃度を持つ
>８．U'⊂乗法群C^{×}だから、C^{×}は連続の濃度、即ち非可算無限の濃度を持つ。QED

ここ、C^{×}は連続の濃度→C^{×}は連続の濃度以上とすべきだった
U'⊂乗法群C^{×}の包含関係から言えるのは、”連続の濃度以上”だ
実際、個人的には、連続濃度の”べきの濃度”を持つと思っているので、なおさらそう書くべきだった

392 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 15:05:21.46 ID:CATUi/5b.net

どうも。スレ主です。
この問題は、>>22の”おっちゃん”が前スレで出題した問題から派生したもの（いま、これに拘っているんだ）
誰かが何か書くまで、私の答えは書かないことにする。その方が楽しそうだからね（＾＾

>>194から再録
どうも。スレ主です。
まあ、口先ではなんとでも言える典型だよ、君たちは

では、こうしよう。ID:farzQR3Nくんの無能を晒すために、一週間時間をおいた>>153
そろそろ解答を書こうと思ったが、君たちのために、あと２４時間置こうと思う

問題１
>>80
では、君に出題する

「閉区間（例えば[101〜102]）のすべての実数の集合から生成される乗法群は、すべての正の実数を含む」が成り立つ
（説明不要と思うが、閉区間[101〜102]のすべての実数を使って乗法群を作ると、それは全ての正の実数を含むように拡張できるってこと）
これ分かりますか？　分かる人、証明するか理由を述べよ >>69

これの正否
スレ主は、これは成り立つと思う
もし、不成立の証明ができれば、君たちはスレ主より上と認めよう

問題２
>>34
「ゼロを除く複素数の成す乗法群の集合は、連続濃度の”べきの濃度”を持つ」は正しいか否か
理由を付して述べよ

もちろん私は答えを得ている

393 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 15:10:01.41 ID:CATUi/5b.net

>>390
どうも。スレ主です。

定義によりqは代数的数である。
　↓
”定義によるが”、qは代数的数である。

かな？　ちゃちゃ入れて悪いが

394 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 15:12:31.32 ID:Kj5to7DQ.net

>>390 は間違いじゃないけど美しくなかったので修正

q∈Q は x-q∈Q[x] の根だから、定義により代数的数である。

395 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 15:17:24.37 ID:8nSsMcKh.net

ぱーちくりんスレ主が書き込みまくるから良くスレ伸びとるね
わかりやすく説明してるのにまだ理解できとらんとは
さすがぱーちくりんの中のぱーちくりん

396 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 15:19:23.52 ID:CATUi/5b.net

>>387
>数論の或る病的な現象になっているんだよ。
>本当に数論は正しいのだろうか？　と思っているんだよ。

いや、心情的にはよく理解できる
なぜなら、カントールやゲーデル、ノイマンなど、その時代の基礎論の天才たちが何人も、人生をかけて挑んだ難問だ
はっきり言って、２１世紀の現代数学も分かっていない部分が多いという
細かい部分に入って行くと、霧の中というか富士の樹海の中というか・・

例えば、超越数（下記）。”ただ足しただけの π + e すら超越数かどうか分かっていない”！
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E8%B6%8A%E6%95%B0
与えられた数が超越数であるかどうかを調べるのは難しい問題だとされている。例えば、ネイピア数と円周率がともに超越数であることがよく知られているにもかかわらず、それをただ足しただけの π + e すら超越数かどうか分かっていない。

1996年、ネステレンコにより、長い間懸案であった、πと、e^π（ゲルフォントの定数） の代数的独立性が証明された。

397 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 15:23:22.16 ID:Pt6N2tUG.net

横からだけど、俺が>>194の問題１を解いたら
俺がスレ主に正規部分群の問題出してもいいかな

398 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 15:27:37.36 ID:CATUi/5b.net

ID:8nSsMcKhくん登場か
君は微笑ましいね
ぱーちくりん連呼くんか・・
これから、君を”連呼くん”と呼ぼう

”連呼くん”には、>>392の問題１を出しておいた。易しい方の問題だ。>>80で2015/02/21(土) だったね
あれから、２週間以上経つ。まあ、君には無理と思ったが、当たっていたね
君の知能レベルは、スレ主以下と認定してあげるよ（＾＾

399 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 15:28:34.96 ID:CATUi/5b.net

>>397
良いよ

400 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 15:33:56.57 ID:Pt6N2tUG.net

>>399
よし。しばしお待ちを

401 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 15:38:17.09 ID:CATUi/5b.net

>>390-394の代数的数関連部分

ここは、初心者も来ると思うので、世間の代数的数の定義を確認しておこう（下記。文字化けは修正せず）
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E7%9A%84%E6%95%B0 抜粋
数学、特に代数学における代数的数（だいすうてきすう、英: algebraic number）とは、ある有理数係数の 0 でない多項式の根となる複素数のことである。
代数学の標準的な記号 \ \mathbb{Q}[x]\ で有理数係数多項式全体を表し、代数的数全体の集合を、代数的数 algebraic number の頭文字を使って \ A\ と書けば、
A=\Big\{a \in \mathbb{C}\ \Big|\ \big(\exists p(x) \in \mathbb{Q}[x]\big)\big[p(x) \neq 0 \ \&\ p(a)=0\big]\Big\}
となる。

概要
複素数 α に対し、有理数を係数とする多項式
f(x) = x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0
が存在して、f(α) = 0 となるとき α を代数的数という。
α が有理数ならば
f(x) = x - α
は、α を根に持つので、有理数はすべて代数的数である。
無理数ではたとえば \sqrt{2} は
f(x) = x2 - 2
の根であるので代数的数であるし、複素数でも
f(x) = x2 + 1
の根である ±i は代数的数である。
しかしながら、全ての無理数が代数的数であるかというと、そうではないことが知られている。たとえば円周率 π や 自然対数の底（ネイピア数）e は、0 以外のいかなる有理数係数多項式に対しても、根になることはない。
このような数のことを超越数と呼ぶ。

402 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 15:42:13.26 ID:Kj5to7DQ.net

>>382
全く駄目。
当たり前だが、反例が一個でも存在すればその命題は偽である。
具体的内容が書かれていないので何とも言えないが、「任意の実数」がただ単に「任意の無理数」とかの間違いなのでは？

403 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 15:43:38.75 ID:CATUi/5b.net

>>401　追加

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E7%9A%84%E6%95%B0 抜粋追加
代数的性質
代数的数に対する加減乗除の結果は、やはり代数的数であるので、代数的数全体からなる集合は体をなし、\overline{\mathbb{Q}} と表す。

\overline{\mathbb{Q}} の性質
\overline{\mathbb{Q}} は、有理数体の無限次元の代数拡大体である。また、代数的数を係数とする 0 ではない多項式の根は代数的数であるので、\overline{\mathbb{Q}} は、代数的閉体である。
さらに、有理数体を含む任意の代数的閉体は、\overline{\mathbb{Q}} を含むので、有理数体の代数的閉包でもある。

集合論的性質
カントール (G. Cantor) は、1874 年に、\overline{\mathbb{Q}} が可算集合であることを証明した。その後、彼は複素数全体の集合が非可算集合であることを証明し、ほとんど全ての複素数は、代数的数ではない、つまり超越数であることが判明した。

しかしながら、代数的でない式によって与えられた数が代数的数であるか否かを判定することは大変難しく、オイラーの定数のように古くから知られていながら、代数的数かどうかどころか、有理数かどうかかすら分かっていない数もある。

404 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 15:49:58.14 ID:CATUi/5b.net

>>389　追加

ここは、初心者も来ると思うので、下記でもご参照（補足：これ読んでも整理されていないから、あまり時間を掛けないようにご注意）
http://eman.hobby-site.com/cgi-bin/emanbbs/browse.cgi/150111004b223ebd/res30
可分でも何故ベクトルが非可算無限　作れるのか？

405 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 15:53:55.16 ID:CATUi/5b.net

>>404　追加

これ、ハメル基底関連な
”１．「R の Q 上の基底はハメル基底と呼ばれ、非可算無限の濃度を持つ。スレ主はその理由はわかってるの？ 」：はい、分かりません ”

406 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 15:59:06.20 ID:Pt6N2tUG.net

正の実数全体のなす乗法群を R+ とする。
a,b を a < b なる正の実数とし、閉区間 [a,b] で生成される R+ の部分群を G とおく。

まず、任意の c∈[a,b] に対し c/a∈G である。
区間 [a,b] に属する数を a で割った数全体の集合は、区間 [1,b/a] に等しい。
したがって　[1,b/a]⊂G、特に 1∈G
なお、a < b より 1 < b/a である。

さて、r を 1 より大きい任意の実数とする。
　lim[n→∞] r^(1/n)=1
であり、数列 {r^(1/n)} は単調減少だから、十分大きなある n で
　1 < r^(1/n) < b/a
となる。これは
　r^(1/n)∈[1,b/a]⊂G
を意味し、したがって r=(r^(1/n))^n∈G

0<r<1 なる実数 r については、1/r > 1 より 1/r∈G
したがって r∈G

以上から G=R+ □

407 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 16:24:13.27 ID:Kj5to7DQ.net

＞r を 1 より大きい任意の実数とする。
に対して
＞　r^(1/n)∈[1,b/a]⊂G
が真なのは、nが十分大きいときだけだね

408 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 16:37:11.21 ID:Pt6N2tUG.net

「十分大きなある n で」以降は n をその値に固定してると思って読んでくれ

409 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 16:51:05.76 ID:xymY1OtG.net

>>377
＞というか、今まで条件を使わなくても矛盾が生じれば正しい議論になる
＞とばかり思っていた。

なに言ってるんだコイツ。矛盾が生じれば背理法が成立して万々歳。
その一方で、お前の議論は間違っていて矛盾が示せてない。それだけのこと。
俺が言っていることは

・証明 A が正しくて、なおかつ A の中で条件 P が実際には使われてないなら、
　その証明文 A の文中から条件 P を削除した新しい証明文 A’もまた正しい証明となる

ということに過ぎない。これをお前の証明に適用すると、A’に相当する証明が
明らかに反例を持っているので、もともとの A (＝お前の証明) も間違っている、というわけ。

＞一体、何にそういうことが書いてあるんだ？

たぶんお前は、俺の言っていることが理解できていない。
でなければ、そんな質問が出てくるわけが無い。

410 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 17:05:31.19 ID:Kj5to7DQ.net

>>408
了解。問題無いようだ。

411 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 17:06:04.47 ID:xymY1OtG.net

>>382
ややや。どこかで同じ内容の文章を見たことがあるぞ。

＞私は、或る条件をみたすような任意の有理数が超越数になる
＞という奇妙な現象を発見している(詳細は書かない)。
＞本来は、或る条件を満たすような任意の実数について成り立つ命題である。

だったら、その条件を満たすような有理数は存在しないんだろう。
その場合、「仮定が偽である命題は常に真である」ことを用いて、その命題は「真」となる。


具体例を挙げる。

「 有理数 x が x^2−2＝0 という条件を満たすならば、x は超越数である 」

という命題を考えると、この命題は「真」である。なぜなら、x^2−2＝0 を満たす
有理数 x は存在しないので、これは「仮定が偽の命題」となるからだ。
仮定が偽の命題は常に真であるから、この命題は真なのだ。

412 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 17:08:30.50 ID:Db4+HkFH.net

ガロア以前に松坂の「数学読本」でも読んだ方が良さげ

413 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 17:56:59.94 ID:CATUi/5b.net

>>406
どうも。スレ主です。
了解。細かい点は別にして、証明の筋は同じだ
r^(1/n)で、nを十分大きく取ると、１に近づく
一方、連続区間があれば、十分１に近い比が取れる
だから、任意の実数0<ｒがＧに含まれる

開区間でも同じことは成り立つ

414 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 18:01:20.22 ID:CATUi/5b.net

>>413
だから、連続区間を含むと、部分群は正の実数を全て含むようになる
正の実数の部分集合で、連続区間を含む場合、Ｇは正の実数全体と一致し、同じになる
ここの処理が、>>392の問題２の「連続濃度の”べきの濃度”を持つ」を示すときに悩ましい

415 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 18:02:16.82 ID:3fIdtYxU.net

天体現象に隠されたイエス・キリストの正体

zeitgeist／(時代精神) 日本語字幕版

https://www.youtube.com/watch?v=UMZYZM4tL6o#t=46
https://www.youtube.com/watch?v=demGXvUgT14
https://www.youtube.com/watch?v=BpiPmt_KO2I
https://www.youtube.com/watch?v=1LvSumf1fAE

416 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 18:05:52.39 ID:CATUi/5b.net

>>414 つづき

>>392の問題２で、複素数の場合も似た事情がある
但し、複素数場合は、連続区間でも面積的広がりを持つ場合は、ゼロを除く複素平面全体に群が広がる
偏角θが一定で、絶対値のみ連続の場合は、ちょっと違う挙動みたいだね
まあ、ここらをどう処理するかを考えている・・

417 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 18:08:59.15 ID:Pt6N2tUG.net

じゃあ問題

(1)
G,G' を群とし、f:G→G' を準同型写像とする。
f の核 Ker(f) が G の正規部分群であることを示せ。
なお f の核とは、G' の単位元を e' としたときの
集合 {g∈G | f(g)=e'} のことである。

(2)
G を群とする。
　C(G)={g∈G | gh=hg ∀h∈G}
とおき、これを G の中心と呼ぶ。
C(G) が G の正規部分群であることを示せ。

(3)
G を群とし、N を G の正規部分群とする。
剰余群 G/N における演算の定義を述べ、
それが well-defined であることを示せ。

(1)(2)は「正規」だけでなく部分群であることの証明もあればうれしい。
(3)は定義を知らなければスルーで。知識でなく理解を問いたいので。

418 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 19:08:04.60 ID:CATUi/5b.net

>>404-405　ハメル基底追加

１．ハメル基は、具体的な構成はできない　（英語のサイトもあったような。Smithさん”we have little use”と）
www.math.sci.hokudai.ac.jp/~ishikawa/topology/topology10.pdf 北大 石川剛郎 ２０００年
問．プリントの質問ですが，ハメル基とは具体的にはどんなものなのでしょうか？R をQ 上のベクトル空間としたときの基とはいったい何ですか？何けた続くかわからない無限に続く数をそんな１次結合で表される基底があるのでしょうか？
答．存在はしているが，具体的にはわからないもの，と考えるとよいと思います．あれば安心，保険のようなものでしょうか．

http://www.math.lsa.umich.edu/~kesmith/ Karen E. Smithさん女性で写真があった
http://www.math.lsa.umich.edu/~kesmith/teach.html
Math 513: Linear Algebra, University if Michigan, Winter 1999 Supplementary Write up: Bases for Infinite Dimensional Vector Spaces
http://www.math.lsa.umich.edu/~kesmith/infinite.pdf
BASES FOR INFINITE DIMENSIONAL VECTOR SPACES MATH 513 LINEAR ALGEBRA SUPPLEMENT Professor Karen E. Smith University of Michigan.
"There is no practical way to find a Hamel basis in general, which means we have little use for the concept of a basis for a general innite (especially uncountable) dimensional vector space."

２．線形な1変数関数がf(x)=axに限ることの反例を構成するのに使ったらしい（下記）
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1298332077
2012/12/7 線形な1変数関数がf(x)=axに限ることの証明です。
ベストアンサーに選ばれた回答
これに関してはハメル基（Hammel basis）という有名な反例がよく挙がります。このハメル基というものを構成するときに選択公理を用いるので、選択公理から出る"病的な"の一例としてもよく挙げられます。

３．Hamel基？
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1364772673 2011/6/18 Hamel基について質問があります！

419 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 19:08:56.13 ID:CATUi/5b.net

>>418 追加

４．Hamel bases and measurability ？ 濃度の話にはあまり役に立たないかも知れないが・・
https://www.imsc.res.in/~sunder/ SUNDER'S HOME-PAGE The Institute of Mathematical Sciences (インド？)
https://www.imsc.res.in/~sunder/mgnvss.pdf Hamel bases and measurability, with M.G. Nadkarni, Mathematics Newsletter, vol. 14, No. 3, (2004).

420 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 19:11:58.67 ID:Kj5to7DQ.net

>>417
さすがにそこまで基本的な問題なら間違えようがないだろう

421 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 19:14:31.76 ID:CATUi/5b.net

>>417
どうも。スレ主です。
あれ？　３問か

(1)は、基本問題だね。秒殺と行きたいが、無理。念のため本見るよ
(2)も、同じ。基本問題だね。
(3)も同じか。well-definedね

本みないでも、wikipedia程度で済みそうだが・・
(3)が一番簡単かな？　well-definedだけ確認かな・・

422 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 19:15:05.73 ID:CATUi/5b.net

>>420
同意ｗ

423 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 19:18:32.02 ID:CATUi/5b.net

>>421
一応これを押さえて・・
http://ja.wikipedia.org/wiki/Well-defined
well-defined は、ある概念が数学的あるいは論理学的に特定の条件を公理に用いて定義・導入されるとき、その定義（における公理の組）が自己矛盾をその中に含み持たぬ状態にあることを言い表す修飾語句である。
また、ある概念の定義をする場合、そう決めることによって、何も論理的な矛盾なく上手くいくということ（定義の整合性）が確認されているということを言い表す言葉である。
文脈により、「うまく定義されている」「矛盾なく定まった」「定義可能である」などと表現されることもある。

well-defined は「状態」を表す形容詞であるが、日本語の定訳はなく慣例的に形容詞と動詞の複合語に訳されるか、そのまま形容動詞的に「well-defined である」といった形で用いる。
名詞形 well-definedness などもあり、これを well-defined 性と記すことはできるが日本語訳としてこなれたものは特には存在しない（文脈によっては「定義可能性」などで代用可能である）。
概要

以下の二つが示せたとき、定義が well-defined であるという[1]。

(1) 定義で使われる方法が実際にうまくいく。
(2) 定義がもともとの対象から複数定まる対象を経由して行われる場合、結果がもともとの対象にのみ依存する。

一つの対象のある表示に対して定義が満たされるが、別のある表示については満たされない状況であるとか、
一つの対象の異なる表示を考えると定義の示す結果がそれぞれの表示に対して異なるといった状況であるならば、与えられた定義はその対象自体に対する定義として不適切 (ill-defined) である。

424 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 19:32:27.58 ID:I5d5jn+t.net

(1)ができないのに(3)が一番簡単って、さすが笑わせてくれる

425 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 19:44:05.45 ID:CATUi/5b.net

>>417
Q(3)
G を群とし、N を G の正規部分群とする。
剰余群 G/N における演算の定義を述べ、
それが well-defined であることを示せ。

Q(3)
g1,g2・・・∈G、積を*で表す。また、n1,n2・・∈Nとする
剰余群 G/Nの要素を、g1N,g2N・・・と表す。g1N＝{g1*n1,g1*n2,・・・}以下同様
但し、g1,g2・・・は、上記Nでの剰余類別の代表元とする

剰余群 G/Nの積を、giN*gjN＝gi*gjNで表す
∵giN*gjN＝gi*(N*gj)*N＝gi*(gj*N)*N＝gi*gjN
（正規部分群であるから、gjN＝Ngjなどが成り立つ）
単位元は、N自身とする。あるいは、eNと解する。実際、eN＝Nであるから

あと、逆元の存在を言って、well-defined の話か・・
まあ、メシ食って考えるわ

426 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 20:47:56.94 ID:Pt6N2tUG.net

いや本とかwikipediaとか見るなって

427 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 20:54:15.35 ID:Pt6N2tUG.net

>>425
定義は
＞剰余群 G/Nの積を、giN*gjN＝gi*gjNで表す
までで十分。
そのあとの
＞∵giN*gjN＝gi*(N*gj)*N＝gi*(gj*N)*N＝gi*gjN
これは集合としての計算だと思えば N*N=N は一般には成り立たないので×
剰余類としての計算だと思えば gi*(N*gj)*N などが出てくるはずがないのでやはり×

それから、単位元とか逆元とかは well-defined の証明の後にするべき。
そもそも演算になってるかどうかわからないのに単位元も何もない。

428 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 21:02:21.74 ID:Pt6N2tUG.net

あとそういえば
G/N は非可算無限集合かもしれないから、g1,g2,...という添え字付けは不適切

429 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 21:05:06.49 ID:CATUi/5b.net

>>425 つづき
メシ食って考えた

逆元の存在：
任意のgi（gi?N）に対して、逆元のgi^(-1)?Nが言える
∵逆元のgi^(-1)∈Nなら、Nは群なのでgi∈Nとなるので矛盾

よって、剰余群 G/Nの積の定義、単位元、逆元の存在は示した。あと、結合法則があるが、元の群の積を流用しているので成り立つ。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4_%28%E6%95%B0%E5%AD%A6%29
群 定義

well-defined：
１．>>423の「(1) 定義で使われる方法が実際にうまくいく。 」は、終わった
２．>>423の「(2) 定義がもともとの対象から複数定まる対象を経由して行われる場合、結果がもともとの対象にのみ依存する。」を示すには、>>425”g1,g2・・・は、上記Nでの剰余類別の代表元”が一意であることを示せばよい

430 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 21:17:53.95 ID:CATUi/5b.net

>>429 つづき

３．正規部分群の定義：「G における H を法とする左剰余類全体の成す集合と右剰余類全体の成す集合とが一致する。」を認めることとする
４．そうすると、左剰余類あるいは右剰余類が、それぞれ一意に定まることを言えば、剰余類は一意に定まる
５．そうすると、>>423のwell-definedの(2)がいえるので、well-definedのwikipediaによる定義を満たすことになる

「左剰余類あるいは右剰余類が、それぞれ一意に定まる」が、ちょっとね
ラグランジュの定理の証明などを使うと思ったが、ちょっと考えてみるよ
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4_%28%E6%95%B0%E5%AD%A6%29
剰余類・剰余群
部分群 H と G の元 g について、gH はある G の部分集合になる。2 つの g, g' について gH, g'H は全く一致するか交わらないかのいずれかである。従って、

G = \bigcup_{\lambda \in \Lambda} g_{\lambda} H

と直和に書き表せる。それぞれの gH を （H を法とする g の属する G の） 剰余類（または傍系）という。|gH| = |H| が成り立つので結局 |G| = |Λ||H| が成り立つ。
G が有限群ならばこれは H の位数が G の位数を割り切るということをいっている（ラグランジュの定理）。
特に素数位数の群は巡回群である。|Λ| を [G: H] とか (G: H) などと書いて H の（G に対する）指数という。

431 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 21:21:18.71 ID:Kj5to7DQ.net

おいおいスレ主さん大丈夫か？

432 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 21:30:12.21 ID:CATUi/5b.net

>>417 つづき (>>429は残して（その内なんか思いつくかも）)

これ行ってみようか？
Q(2)
G を群とする。
　C(G)={g∈G | gh=hg ∀h∈G}
とおき、これを G の中心と呼ぶ。
C(G) が G の正規部分群であることを示せ。

A(2)
よく見ると、簡単かな？
えーと、Q(3)みたく、単位元と逆元がC(G)が含まれることを言えれば、結合則は自明で良いでしょ

433 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 21:41:09.42 ID:Pt6N2tUG.net

>>417は
・群の定義
・準同型写像の定義
・正規部分群の定義
（・剰余群の定義）
のみを知っていれば、あとは考えればわかるように選んだ。
なので他の文献は参照しないでやってみてほしい。

>>432
部分群であるためには、あとは積について閉じている、すなわち
g1,g2∈C(G) ならば g1g2∈C(G)
も必要。

434 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 21:59:51.28 ID:CATUi/5b.net

>>432 つづき

単位元：
eh=he ∀h∈Gだから、e∈C(G)

逆元:
gh=hg ∀h∈Gから、g^(-1)∈C(G)を導く

gh=hgに、
g^(-1)を掛けて、g^(-1)gh=g^(-1)hg→h=g^(-1)hg
g^(-1)を逆から掛けて、同様に、h=ghg^(-1)が成り立つ

gh=hgに、g^(-2)=g^(-1)g^(-1)を掛けて
g^(-1)h=g^(-2)hg=g^(-2)(ghg^(-1))g=g^(-1)h=g^(-1)ghg^(-1)=hg^(-1)
つまり
g^(-1)h=hg^(-1)。よって、g^(-1)∈C(G)

ここで、結合則は群Gでの演算則を使った
C(G)でも、結合則は群Gと同様とする
よって、C(G)は群を成す
定義より、gh=hg ∀h∈Gであるから、C(G)は正規部分群

435 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 22:04:49.73 ID:CATUi/5b.net

>>433
どうも。スレ主です。

>なので他の文献は参照しないでやってみてほしい。

ああ、いまのところ、参照しているのは、群の定義の確認くらいだ
オリジナルで間に合っているよ
ところで、準同型写像の定義か・・、ああ、あれね。積とか保存される写像だったけね・・

436 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 22:50:57.76 ID:CATUi/5b.net

>>417
では、これ

Q(1)
G,G' を群とし、f:G→G' を準同型写像とする。
f の核 Ker(f) が G の正規部分群であることを示せ。
なお f の核とは、G' の単位元を e' としたときの
集合 {g∈G | f(g)=e'} のことである。

A(1)
１．準同型も、群環体といろいろだが、要は代数構造が保存されると
２．群準同型：f(xy)=f(x)f(y)と積の構造が保存されると
３．それで、証明の方針としては、
　保存則は自明として
　１） Ker(f) が群を成す。つまり、単位元と逆元の存在
　２）群が正規部分群であることを示す。この場合は、「N=gNg^-1」の形が使い易いだろう

437 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 22:53:35.88 ID:Fg5OOJTO.net

絶賛迷走中

438 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 23:01:12.04 ID:Pt6N2tUG.net

>>434
正規であることの証明が本当に理解できているのか怪しい感じだが、まあ間違ってはないか。
積について閉じていることの証明がまだだ。

well-defined を知らないんだったら(3)は無理にやらなくていいよ。
知識を問いたいわけじゃないから。
well-defined の意味を知らずに>>423だけ見て正しい証明を書くなんて、少なくとも俺にはできない。

439 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 23:21:09.78 ID:CATUi/5b.net

>>436 つづき

Ker(f) が群を成す。つまり、単位元と逆元の存在：
f(e)=e' でなければならない。（e∈G、e'∈G'）
∵f(e)=bとする。f(a)=a' とすると、f(a)=f(ea)=f(e)f(a)=ba'=a'。ゆえにb=e'。

次に、g∈Ker(f) からg^(-1)∈Ker(f) を導く
g∈Ker(f) からf(g)=e'。このときf(g^(-1))=bとする。f(e)=e' より
e'＝f(e)=f(gg^(-1))=f(g)f(g^(-1))=e'b=b。即ちb＝e'から、g^(-1)∈Ker(f) が言える

g1,g2∈Ker(f) ならば g1g2∈Ker(f) も必要？ まあ、大学の試験なら書いてないと減点だろうね
g1,g2∈Ker(f) から、f(g1)=e' ＆ f(g2)=e'で、f(g1g2)=f(g1)f(g2)=e'e'=e'。よって、g1g2∈Ker(f) が言える

440 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 23:40:21.42 ID:CATUi/5b.net

>>439 つづき

群が正規部分群であることを示す。「N=gNg^-1」の形を使う
n∈Ker(f) とする
f(g)=g' (g∈G、g'∈G')とする。このとき、f(g^-1)=g'^-1である
（∵e'=f(e)=f(gg^-1)=f(g)f(g^-1)=g'f(g^-1)であるから、g'^-1を左から掛けて、f(g^-1)=g'^-1を得る）
f(gng^-1)＝f(g)f(n)f(g^-1)=g'e'g'^-1=g'g'^-1=e'

つまり、gng^-1∈Ker(f) であるから、正規部分群の定義を満たす

441 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 23:41:36.77 ID:Kj5to7DQ.net

>>440
これは酷い

442 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 23:53:10.04 ID:Pt6N2tUG.net

>>439>>440
うん、いいんじゃないかな

>>441
逆の包含を言ってないってことか？
それは問題ない。が、スレ主が分かっててやってるかは知らないので説明はスレ主に譲る。

443 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 23:58:31.12 ID:CATUi/5b.net

>>438

>積について閉じていることの証明がまだだ。

そうだね。大学の定期試験なら減点だろう
g1,g2∈C(G) ならば g1g2∈C(G) >>433だね

g1,g2∈C(G) ならば 定義より、g1h=hg1 ＆ g2h=hg2
よって、g1g2h=g1(g2h)=g1(hg2)=(g1h)g2=(hg1)g2=hg1g2 が成り立つから、 g1g2∈C(G)が言える

444 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 23:59:22.77 ID:Kj5to7DQ.net

わかっていようがいまいが、それをきちんと示さなければ、定義を満たしていることを示したことにならない。

445 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/08(日) 00:03:00.51 ID:AXAfK1QO.net

>>428

>G/N は非可算無限集合かもしれないから、g1,g2,...という添え字付けは不適切

お言葉なれど、そうでもないと思う
ヒントは、選択公理
つまり、非可算無限集合から適当に選んだと解釈できる

446 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/08(日) 00:03:54.50 ID:AXAfK1QO.net

>>444
いやいや、お説ごもっともだ
おっしゃる通りだね

447 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/08(日) 00:15:28.80 ID:AXAfK1QO.net

>>438

>well-defined を知らないんだったら

全く知らないわけじゃないが、well-defined は、多義性があると思うんだ
人によって（というか本とか場面で）微妙にね

で、共通認識として、>>423を出した。この線でやってみようと
>>417(3)で、一般に剰余類が、右剰余類が１通り、左剰余類が１通り、計２通り。正規部分群なら、１通り。
それで、>>423の「(2) 定義がもともとの対象から複数定まる対象を経由して行われる場合、結果がもともとの対象にのみ依存する。」に合うだろうと

正規部分群の性質を強く使えば、１通りはすぐ言えそうだが
右剰余類が１通り・・辺りが、うまく言えない・・

448 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/08(日) 00:21:30.38 ID:AXAfK1QO.net

>>429

文字化けしとるね

（訂正）
任意のgi（gi?N）に対して、逆元のgi^(-1)?Nが言える
↓
任意のgi（gi not∈N）に対して、逆元のgi^(-1) not∈Nが言える

449 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/08(日) 00:24:35.14 ID:AXAfK1QO.net

>>441-442
逆の包含？ ちょっと意味が取れない

450 ：１３２人目の素数さん：2015/03/08(日) 00:27:24.55 ID:P7UvCxav.net

やっぱわかってないんかーい

スレ主は正規部分群の定義に「N=gNg^-1」を用いた。
しかし>>440の論証では N⊂gNg^(-1) しか言えていない。
逆はどうなのよ？って話。

451 ：１３２人目の素数さん：2015/03/08(日) 00:28:04.57 ID:VjCS44NK.net

>>449
二つの集合が等しいとは？