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現代数学の系譜11 ガロア理論を読む12

309 ：１３２人目の素数さん：2015/03/01(日) 19:46:19.60 ID:TS3FUA1w.net: では君には名誉称号　正規部分群君　を授けよう
これからも大いに住人を笑わせてくれ賜え
310 ：１３２人目の素数さん：2015/03/01(日) 20:09:42.95 ID:NplpTsbd.net: >>309
はいはい、「ハメル基底」くんの敗北宣言ですね
良く分かりました。逝ってよし！

追伸
笑いを取るのは、「ハメル基底」くんの方が上だね
スレ主も顔負けだよ
311 ：１３２人目の素数さん：2015/03/01(日) 20:43:54.05 ID:TS3FUA1w.net: ではいきますか
312 ：１３２人目の素数さん：2015/03/01(日) 20:44:20.00 ID:TS3FUA1w.net: 259 ：１３２人目の素数さん：2014/10/19(日) 09:35:59.87
>>258
どうも
スレ主です。

>>255と同一人物と見たので、コメントしておく（ここではIDが出ないので不便だ）

>Ｈが正規部分群でなくても、σ-1・Ｈ・σはＨと同型である。
>念のため書いとくとＨからσ-1・Ｈ・σへの同型写像はh→σ-1・h・σで与えられる。

ここ、なんか勘違いしてないか？　σには、何の制約も付かないのか？
大本の群をG、Ｈ⊂G, σ∈G として
σには、何の制約も付かないとしたら、「σ-1・Ｈ・σはＨと同型」ってまさに正規部分群でしょ？
自分で気付くまで放置しようと思ったが、うるさいので一言

★★★　勘違い野郎はお前だよｗ　気付かなきゃいけないのもお前ｗ　★★★
313 ：１３２人目の素数さん：2015/03/01(日) 20:44:47.75 ID:TS3FUA1w.net: 269 ：１３２人目の素数さん：2014/10/19(日) 11:12:12.88
>>265
どうも
スレ主です。

>＞σには、何の制約も付かないとしたら、「σ-1・Ｈ・σはＨと同型」ってまさに正規部分群でしょ？

何の制約も付かないを、∀σという意味で使っている>>259
だから、大本の群をG、Ｈ⊂G, ∀σ∈G として
σには、何の制約も付かない（∀σ∈G）としたら、「σ-1・Ｈ・σはＨと同型」ってまさに正規部分群でしょ？

★★★　違うがｗ　★★★

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E8%A6%8F%E9%83%A8%E5%88%86%E7%BE%A4
正規部分群（せいきぶぶんぐん、英: normal subgroup）は、群の任意の元による内部自己同型のもとで不変な部分群である。
正規部分群の重要性は、エヴァリスト・ガロアによって最初に明らかにされた。
314 ：１３２人目の素数さん：2015/03/01(日) 20:45:20.16 ID:TS3FUA1w.net: 283 ：１３２人目の素数さん：2014/10/19(日) 11:55:59.33
>>269-272
どうも
スレ主です。

なんか、勘違いしてない？

★★★　だから勘違い野郎はお前だってｗ　腹いてええええｗ　★★★

１．「Ｈが正規部分群でなくても、σ-1・Ｈ・σはＨと同型である。」>>255 という陳述が、成り立つ条件を教えてくれ
　（無条件で成り立つ場合が、正規部分群だと思うが）
２．ああ、辿ると>>247か
　”さっきも書いたように任意のＨ、σに対してσ-1・Ｈ・σはＨと同型なので、
ここから正規部分群の概念に気づく方がおかしい。 ”？
　これ>>244 "○Ｇの部分群ＨがＧの正規部分群であるとは、任意のＧの元σに対しσ-1・Ｈ・σがＧの部分集合としてもＨと同じであるということである。"
　からの継続だったので、Ｈは正規部分群という前提で考えていた。違うのか？

あと、正規部分群は大本の群Gとの関係があることも注意しておく
>>260"群Ｇの異なる部分群ＨとＫが同型になることはあり得る。
というか、ＨがＧの正規部分群でなければ必ずそのようなＨとＫの組は存在する。
例えば、S5の、1→2→3→4→5→1という置換から生成される部分群と、1→3→2→4→5→1という置換から生成される部分群は、
同型ではあるが(どちらも5次巡回群)、S5の部分群としては異なる。"で

言いたいことが不明だが、群ＧがS5のとき、位数５の巡回群は正規部分群ではない
が、>>166-167の線形置換から成る位数２０の群Gでは、正規部分群になるよ
315 ：１３２人目の素数さん：2015/03/01(日) 20:45:55.43 ID:TS3FUA1w.net: 284 ：１３２人目の素数さん：2014/10/19(日) 11:58:15.71
>>283
どうも
スレ主です。

これだけ言って分からないようなら、以降無視（スルー）だな

★★★　これだけ言ってもわかんないのはお前だよｗ　オ・マ・エｗ　★★★
★★★　馬鹿のくせに「以降無視（スルー）だな」ｗ　腹が攀じれるｗかんべんしてえええｗ　★★★
316 ：１３２人目の素数さん：2015/03/01(日) 20:47:58.23 ID:TS3FUA1w.net: 　　　　　　　＿＿＿_
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　　　　|　　　　　|r┬-|　　　　|　　これだけ言って分からないようなら、以降無視（スルー）だな
　　　　＼　　　　 `ー'´　　／
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　ヽ　　　 -一''''''"~~｀`'ー--､　　　-一'''''''ー-､.
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　ﾐ　ﾐ　ﾐ　　oﾟ(（●）) (（●）)ﾟo　　　　　　ﾐ　ﾐ　ﾐ　　　だっておｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ
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　|　　　　|　　 l||l　从人 l||l 　　　　 l||l 从人 l||l
　ヽ　　　 -一''''''"~~｀`'ー--､　　　-一'''''''ー-､
　　ヽ＿＿＿＿(⌒)(⌒)⌒)　)　　(⌒＿(⌒)⌒)⌒))
317 ：１３２人目の素数さん：2015/03/01(日) 20:50:46.89 ID:TS3FUA1w.net: 正規部分群君には大いに笑わせてもらった。感謝感謝。
318 ：１３２人目の素数さん：2015/03/01(日) 21:09:45.26 ID:TS3FUA1w.net: 引き続き「二項演算の定式化」の巻をお楽しみください
319 ：１３２人目の素数さん：2015/03/01(日) 21:10:18.81 ID:TS3FUA1w.net: 668 ：１３２人目の素数さん：2014/12/07(日) 14:21:33.41
ご苦労。スレ主である

>>665
特別のニュアンスまだ～？？
さすがに、ネコには理解できないよな
特別のニュアンスが理解できるようになるには、「入る」という言葉がよく使われている科目
例えば、位相（topology）>>632、微分トポロジー>>615、望月理論>>601、複素構造>>606 を勉強すれば自然に分かる

素養のない君には無理だよ。2ｃｈのネコAAがお似合いの君にはね

>>663
>要素が60個の集合 A 上の演算 f:A×A→A を、A5の群表で定義すればよいだけ
>だね

その通りだ。が、圏論ではないけれども、アブストラクトナンセンスの典型だな
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%96%E3%82%B9%E3%83%88%E3%83%A9%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%BB%E3%83%8A%E3%83%B3%E3%82%BB%E3%83%B3%E3%82%B9

★★★　おいおいｗオマエは　★★★　
★★★　＞圏論は、前から興味があってね、過去なんども取り上げているが、ほんの一部しかわからん（それもあやしいかも） ★★★　
★★★　じゃねーのかよｗ　ハッタリかましてたのバレバレだよ君ｗ　これは恥ずかしいｗ　★★★　

なお、単なる積に、”×”を使うな。初学者まるだしだぜ

★★★　は？単なる積？何それ？　集合×集合　と書けば直積に決まってんだろ　★★★
★★★　初学者まるだしはどう見てもお前だよｗ　オ・マ・エｗ　★★★

大学から上では、”×”は直積あるいはクロス積(外積)用にとっておくんだよ
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B4%E7%A9%8D%E9%9B%86%E5%90%88 直積
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AD%E3%82%B9%E7%A9%8D クロス積(外積)
320 ：１３２人目の素数さん：2015/03/01(日) 21:11:06.11 ID:TS3FUA1w.net: 685 ：１３２人目の素数さん：2014/12/07(日) 21:31:34.78
>>669-682
ご苦労。スレ主である
バカが、一人で何役も書き分けているんだろうな。こんなに何人もバカがいたら、日本も終わりだろう

★★★　バカはお前だよｗ　オ・マ・エｗ　★★★

さすがに、普通の人は気付くよね、よほどでない限り・・

★★★　可哀相に、あまりにフルボッコされ過ぎて被害妄想炸裂させてるｗ　★★★

で、本題は
>>673
>これは恥ずかしい。
>「f:A×A→A」のA×Aはまさに集合の直積なんだが

・へーえ、「要素が60個の集合 A 上の演算 f:A×A→A を・・定義すれば」って書いてたでしょ？　その方が正解に近かったのにね
・言い訳で、さらに墓穴かよ、おい！
・A×Aを、集合の直積としましょうか。じゃ、直積A×Aの要素はいくつになるんだ、ぼうや？　小学校のかけ算から勉強し直しだな
・で、直積A×Aの増えた要素の集合からAへの写像か？　全射になるが、どうやってA5の群表で定義する？　具体的に構成できるのか、おまえに？
・もともとの陳述は、”あなたが言ってることは「要素が60個の集合には5次交代群と同型の群構造が入る」というトリビアルな話である。 ”だった
・それと、直積A×Aの集合からAへの写像とどういう関係があるのか述べよ。趣旨が変わっているだろうよ。誤魔化すなよおい。墓穴だよ

まさか・・、直積A×Aの要素が60と勘違いしてんじゃないだろうな？
言い訳を、書けば書くほど、墓穴かな。おまえ　一句できた！

★★★　もう笑いが止まらねええｗ　勘弁してえええええｗ　★★★
321 ：１３２人目の素数さん：2015/03/01(日) 21:11:43.42 ID:TS3FUA1w.net: 　　　　　　　＿＿＿_
　　　　　　／＼　　／＼　ｷﾘｯ
.　　　　　／　（ー）　（ー）＼
　　　　／　　 ⌒（__人__）⌒ ＼　　まさか・・、直積A×Aの要素が60と勘違いしてんじゃないだろうな？
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　ﾐ　ﾐ　ﾐ　　oﾟ(（●）) (（●）)ﾟo　　　　　　ﾐ　ﾐ　ﾐ　　　だっておｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ
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322 ：１３２人目の素数さん：2015/03/01(日) 21:13:20.21 ID:TS3FUA1w.net: 以上、正規部分群君の爆笑劇場でした
お楽しみいただけたでしょうか？
323 ：１３２人目の素数さん：2015/03/01(日) 21:20:30.08 ID:TS3FUA1w.net: 正規部分群の特徴
・普通に数学勉強した人なら当たり前のことが全然わかってない
・間違いを指摘されると、まず自分ではなく相手を疑う
・わかりやすく説明しても聞く耳持たず、あくまで自分が正しいとの迷路から抜け出せない
・間違い指摘者を敵と看做し罵倒する、そして上から目線はぶれない
324 ：１３２人目の素数さん：2015/03/01(日) 21:25:36.70 ID:TS3FUA1w.net: このような人種は、例のコピペ癖と併せ、数学には最も不向きである
よって三年間も費やしても、上記のような爆笑劇場を繰り広げる始末
普通の人なら恥ずかしくて二度と戻ってこれないが、それでも彼の上から目線はぶれることは無い
何故なら上から目線こそが彼が数学をやる唯一絶対の目的だからだ
325 ：１３２人目の素数さん：2015/03/01(日) 21:32:26.97 ID:TS3FUA1w.net: 正規部分群君ごめんね
皆に笑いをと思って
これに懲りずにまた住人を楽しませてね
まあ懲りずに上から目線は変わらないだろうけどさｗｗｗ
326 ：１３２人目の素数さん：2015/03/01(日) 22:49:13.00 ID:zCI/9+YQ.net: ＞2014/10/19(日)

2年10ヶ月、自分より分かってそうなレスには「君の来るところではない」
と追い返し、分かってなそうなレスには、コピペの山でうんざりさせ、
ごまかしてきたスレ主の地位が崩壊した記念日だったなｗ

スレ主には才能がある、、、詐欺師のなｗｗ
327 ：１３２人目の素数さん：2015/03/01(日) 23:03:31.72 ID:NplpTsbd.net: >>312-325
どうも。スレ主です。
ID:TS3FUA1wくんか、連投ありがとう

よほど悔しかったんだね。君の悔しさが表れていて、微笑ましいよ
上から目線は君だったんだね。見下していたスレ主に完敗宣言ね。それしか言えないと。数学で完敗しましたと

はいはい、「ハメル基底」なんて、自分が理解していないことを持ち出したのが敗因ですね
実数の乗法群の構造も、分かっていなかったんだ。G={ x^n｜x>1, x∈R, ∀n∈Z } の単位元は何？ >>292ってね
328 ：１３２人目の素数さん：2015/03/01(日) 23:26:36.08 ID:TS3FUA1w.net: >>327
あの赤っ恥爆笑劇場をサラっと他人事のようにスルーする君は、>>326で指摘されてる通り、
詐欺師の才能があるね、普通の感覚を持った人なら決して立ち直れないと思うよ
329 ：１３２人目の素数さん：2015/03/01(日) 23:34:08.70 ID:qh9gVd7G.net: >>328
正規部分群の定義の分からないスレ主が、代数専攻で卒業出来た数学科のある大学ってww
どこだろ？
330 ：１３２人目の素数さん：2015/03/01(日) 23:35:51.39 ID:TS3FUA1w.net: ただ知らないとか間違えたとかなら普通だよ、人間は最初は何も知らないわけだし
間違いもよく犯す。
だけど君の場合は、正しく指摘してる人を罵倒し、ガンとして譲らない頑固さを持っている。
それでいて、間違いと気付いた後でも上から目線を貫くタフなメンタリティも併せ持っている。
これ以上滑稽は人物にはなかなかお目にかかれないからね。
331 ：１３２人目の素数さん：2015/03/01(日) 23:39:52.77 ID:qh9gVd7G.net: リアルのスレ主はザビエル禿のジジイなんだろうな
332 ：１３２人目の素数さん：2015/03/01(日) 23:44:36.23 ID:NplpTsbd.net: >>327
どうも。スレ主です。

もう少し、数学的解説をしておくと
１．「R の Q 上の基底はハメル基底と呼ばれ、非可算無限の濃度を持つ。」（下記URL）を認めたとして、しかし、”非可算無限の濃度を持つ”のところは、対角線論法を使っているはず

http://fascinationworld.web.fc2.com/bekutorukukan.htm
ＦａｓｃｉｎａｔｉｏｎＮ－Ｄ－Ｆｉｌｅ　ベクトル空間
（抜粋）
様々なベクトル空間
一般に体の拡大 L/K が与えられたとき、拡大体 L はその加法と部分体 K の元の（L における）積をスカラー乗法として K 上のベクトル空間になる。
たとえば R は部分体として有理数体 Q を含むから、Q 上のベクトル空間である。
R の Q 上の基底はハメル基底と呼ばれ、非可算無限の濃度を持つ。

２．だったら、そもそも対角線論法を認めて、「R が非可算無限の濃度を持つ」というカントールの定理を認めてもほとんど同じだろうよ

３．もし、違いがあるとすれば、解くべき問題の構造から、「R が非可算無限の濃度を持つ」より「Q 上のハメル基底は、非可算無限の濃度を持つ」の方が使い易いとき

４．ならば、今回の解くべき問題の構造がどうなっているのか？複素数あるいは実数の成す乗法群の集合の構造を考察することなくして、どちらが使い易いということが決まるべき

５．”嵌める基を使う方が簡単に証明できるんだからあってるだろ ”>>286だったね

６．で、ちょっと突っ込み入れたら、逃げまくったあげく、ハメル基底も分かってないし、乗法群も分かってないことがばれたと・・

「ハメル基底」くんのおおぼけかましの芸は、一流だよ
が、腹いせにアラシは、人間としてどうなんかね？　正直こどもだね・・。早くおとなになりなさいよ
333 ：１３２人目の素数さん：2015/03/01(日) 23:48:31.10 ID:NplpTsbd.net: >>332
訂正

複素数あるいは実数の成す乗法群の集合の構造を考察することなくして、どちらが使い易いということが決まるべき
　↓
複素数あるいは実数の成す乗法群の集合の構造を考察して、どちらが使い易いということが決まるべき

（まあ、基本中の基本だろう）
334 ：１３２人目の素数さん：2015/03/02(月) 00:17:34.03 ID:/CImvwKh.net: ＞R の Q 上の基底はハメル基底と呼ばれ、非可算無限の濃度を持つ。
スレ主はその理由はわかってるの？
またいつものようにわかってないのにコピペだけしてるの？
335 ：１３２人目の素数さん：2015/03/02(月) 00:27:55.67 ID:d/R6BEmu.net: >>334
スレ主に理由が分かるわけないだろw
知ったかの材料を仕入れただけ
理解できる、証明できるフリをして威張るね
336 ：１３２人目の素数さん：2015/03/02(月) 00:42:35.07 ID:/CImvwKh.net: そうだね
圏論一つ取っても、さも分かってる風な言い方してたのに、レベルがバレそうになった途端慌てて
＞圏論は、前から興味があってね、過去なんども取り上げているが、ほんの一部しかわからん（それもあやしいかも）
と予防線張っちゃったし
337 ：１３２人目の素数さん：2015/03/02(月) 19:22:16.36 ID:W+oQWcvb.net: >>329
代数専攻云々はコピペだよ
338 ：１３２人目の素数さん：2015/03/02(月) 22:28:21.38 ID:/CImvwKh.net: さすがにあそこまで酷いとどんな大学でも無理でしょｗ
339 ：１３２人目の素数さん：2015/03/03(火) 08:01:29.59 ID:SDV97v2D.net: >>279
>>239-240の訂正のまとめ。
(1)、[第5段]：任意の「1＞s＞t＞0なるs、t∈R＼Q」に対してT(s)≠T(t)であることを示す。
(2)、>矛盾に導くため、或る異なるs、t∈R＼Qが存在して、T(s)＝T(t)であったとする。
　　の部分の「或る異なるs、t∈R＼Qが存在して」は「或る1＞s＞t＞0なるs、t∈R＼Qが存在して」の間違い。
(3)、Case2の「e^{i(2s+k/n)π)}≠1であって矛盾。」は、
　　「e^{i((1+m/n)s+k/n)π)}≠1であって矛盾。」の間違い(>>243と同じ)。
(4)、>Case1、2から、異なるs、t∈R＼Qが存在して、T(s)＝T(t)とすると、矛盾が生じる。
　　の部分の「異なるs、t∈R＼Qが存在して」は「1＞s＞t＞0なるs、t∈R＼Qが存在して」の間違い。
以上、(1)～(4)のように訂正。
340 ：１３２人目の素数さん：2015/03/03(火) 08:04:55.57 ID:ecIpM61Y.net: この程度の問題解くのに、一体何回訂正してるんだ…
341 ：１３２人目の素数さん：2015/03/03(火) 08:13:39.95 ID:SDV97v2D.net: >>340
まあ、これで例の通り、ハメル基底を使わずに示せたろう。
342 ：１３２人目の素数さん：2015/03/03(火) 08:26:12.00 ID:SDV97v2D.net: 昨日訂正内容を書こうとしても書けなかったんだが、一体何だったんだろ？
まあ、何か単純に考えてよかったみたい。変なこと考えてた。
343 ：１３２人目の素数さん：2015/03/03(火) 08:37:25.23 ID:SDV97v2D.net: >>340
>239-240の手法は、少し訂正すると本当は
(1)、任意の「1＞s＞t＞0なるs、t∈R＼Q」に対してT(s)∩T(t)＝φであること、
(2)、任意の「2＞s＞1＞t＞0なるs、t∈R＼Q」に対してT(s)∩T(t)＝φであること、
とかも同様に示せるようになっている。
344 ：１３２人目の素数さん：2015/03/03(火) 08:45:32.78 ID:SDV97v2D.net: コピペしたら付いちゃったwが、>343で「」はいらなかったな。
まあ、いいや。
345 ：１３２人目の素数さん：2015/03/03(火) 08:51:13.68 ID:SDV97v2D.net: >>343ではT(s)∩T(t)＝{1}だった。
346 ：１３２人目の素数さん：2015/03/03(火) 09:13:19.41 ID:SDV97v2D.net: >>340
間違えて悪い。>>239-240の手法は、>>343つまり、
>(1)、任意の「1＞s＞t＞0なるs、t∈R＼Q」に対してT(s)∩T(t)＝{1}であること、
>(2)、任意の「2＞s＞1＞t＞0なるs、t∈R＼Q」に対してT(s)∩T(t)＝{1}であること、
とかまでは通用しなかった。少し他の条件が必要になって来る。
ということで、>343は取り下げ。
347 ：１３２人目の素数さん：2015/03/03(火) 09:46:55.17 ID:igu3dVOk.net: >>346
＞[第5段]：任意の「1＞s＞t＞0なるs、t∈R＼Q」に対してT(s)≠T(t)
は正しくて、証明も簡単に済むのだが、
お前の>>239-240のやり方では証明にならない(読み替えても)。
具体的には

＞e^{i(sπ)はm_1＝1のときのT(s)の点、e^{i(((m/n)s－k/n)π)}はm_1＝1のときのT(t)の点
＞であるから、e^{i(sπ)＝e^{i(((m/n)s－k/n)π)}…③　または　e^{i(sπ)＝e^{-i(((m/n)s－k/n)π)}…④
＞のどちらか片方かつその一方に限り成り立つ。

この手の議論が完全に間違っている。T(s)における m_1＝1 のときの元と、
T(t)における m_1＝1 のときの元は対応している必要が無いので、③とか④とかに限定できない。
お前がこの議論でやっているのは、

「 2つの集合 A＝{ 2*m_1｜m_1∈Z ] と B＝{ 2*m_1＋20｜m_1∈Z } について、
　 m_1＝1のときの A の元は 2 であり、Bの元は 22 だから、一致しておらず、A≠B である」

といった感じの、支離滅裂な議論なのだ(実際には A＝B である)。これじゃ証明にならない。
348 ：１３２人目の素数さん：2015/03/03(火) 14:30:43.23 ID:xqVFfdmW.net: 頭が悪いってのはどうしようも無いなぁ
もう諦めろとしか
349 ：１３２人目の素数さん：2015/03/03(火) 22:00:10.90 ID:iO539jnI.net: >>348
大学の講義って、聞いてほんと有り難いと思ったのは4年間で5つくらい
しかないんだが、このスレ見ると「大学に行って、ちゃんと勉強する」と
いうのは意味があるんだな、と実感するなｗ

ネットで検索して独学ってのは、たいてい無理なんだろう
350 ：１３２人目の素数さん：2015/03/04(水) 15:54:17.29 ID:+ZGYKspj.net: >>279
>347の通り、よく見たら間違っていた(細かくは確認していなかったw)w
と、いう訳で、>>239-240は次のように訂正。

[第5段]：任意の1＞s＞t＞0なるs、t∈R＼Qに対してT(s)≠T(t)であることを示す。
確かに任意のθ∈R＼Qに対して群T(θ)は定まる。
矛盾に導くため、或る1＞s＞t＞0なるs、t∈R＼Qが存在して、T(s)＝T(t)であったとする。
すると、T(s)、T(t)は両方共に複素平面Cの単位円周上の部分集合だから、
或る(m,n)∈(Z＼{0})^2が存在して、e^{i(msπ)}＝e^{i(ntπ)}であり、
e^{i(ms－nt)π}＝1…①。よって、偏角の不定性に注意して
両辺に主値を取れば、ms－nt≡0(mod2)。
Case1)：ms-nt≠0のとき。このとき、或るk∈Z＼{0}が存在して、
ms－nt＝2k…②であって、n∈Z＼{0}からn≠0だから、t＝(m/n)s-2k/n。
よって、T(s)＝T(t)から、T(s)＝T((m/n)s-2k/n)。
ここで、s∈R＼Qから、任意のr∈Qについて、{r,s}は体Q上線型独立である。
また、群T(s)＝T((m/n)s-2k/n)は、＝{e^{im_1・((m/n)s-2k/n)π}∈C|m_1∈Z}と表わされる。
351 ：１３２人目の素数さん：2015/03/04(水) 15:57:52.44 ID:+ZGYKspj.net: >>279
(>>350のCase1の続き)
今、j∈Z＼{0}を任意に固定する。すると、j、n∈Z＼{0}からjn∈Z＼{0}だから、
jnに対して或るa_j∈Z＼{0}が存在して、e^{i(jnsπ)}＝e^{ia_j・((m/n)s-2k/n)π}
から、e^{i(jn^2・sπ)}＝e^{ia_j・(ms-2k)π}＝e^{i(a_j・msπ)}…③。
ここで、x_j＝e^{i(jn^2・sπ)}、y_j＝e^{i(a_j・msπ)}
とおくと、③から、x_j＝y_j。従って、偏角の不定性に注意して
x_jとy_jに主値を取れば、或るb∈Zが存在して、
i(jn^2・sπ)＝i(a_j・msπ)+i(2bπ)、両辺を整理してまとめれば、(jn^2-a_j・m)s＝2b。
m∈Z＼{0}に注意すると、jn^2-a_j・m、2b∈Z⊂Qから、jn^2-a_j・m、2b∈Qだから、
jn^2-a_j・m＝0から、a_j・m＝jn^2。よって、m≠0からa_j＝jn^2/m。
Z＼{0}の点jは任意だから、jをZ＼{0}の上で走らせて考えると、
任意のj∈Z＼{0}に対して或るa_j∈Z＼{0}が定まって、a_j＝jn^2/m。
352 ：１３２人目の素数さん：2015/03/04(水) 15:59:37.56 ID:+ZGYKspj.net: >>279
(>>350-351のCase1の続き)
従って、n^2≡0(mod m)から、m|n^2。
単項イデアルについて、(n^2)＝(n)(n)⊂(n)だから、n≡0(mod m)。
従って、nに対して或るc∈Z＼{0}が存在して、n＝cm。
ns-mt≠0だから、cms-mt≠0から、cs-t≠0。
故にc∈Qに注意すると、cs、t∈R＼Q。ここで、T(cs)⊂T(s)＝T(t)
だから、csに対して或るj∈Z＼{0}が存在してe^{i(csπ)}＝e^{i(jtπ)}、
よって、偏角の不定性に注意して両辺に主値を取って考えれば、e^{i(cnsπ)}＝e^{i(jntπ)}。
一方偏角の不定性に注意して①の両辺に主値を取って考えれば、e^{i(jms－jnt)π}＝1、
つまり、e^{i(jmsπ)}＝e^{i(jntπ)}。故に、e^{i(cnsπ)}＝e^{i(jmsπ)}。
よって、偏角の範囲を(-π,π]として両辺に主値を取れば、i(cn－jm)sπ＝0、
つまりcn－jm＝0から、cn＝jmであって、cmn＝jm^2。ここで、nにcmを代入すれば、
c^2m^2＝jm^2だから、j＝c^2≧1。また、cmをnで置換すれば、n^2＝jm^2。
従って、n^2≧m^2。一方、1∈Z＼{0}だから、1に対して或るa_1∈Z＼{0}が定まって、
a_1＝n^2/m。故に、n^2＝a_1・m≧m^2、つまり|a_1|・|m|≧|m|^2だから、
|m|＞0から|a_1|≧|m|。n^2≧m^2から、|n|^2≧|m|^2だから、|m|、|n|＞0から
|n|≧|m|。a_1＝n^2/mから、|n|^2＝|a_1|・|m|…④だから、|n|、|a_1|≧|m|から
|a_1|≧|n|≧|m|。ここで、④から|n|^2/(|a_1|・|m|)＝1。故に、
|a_1|＞|n|＞|m|　または　|a_1|＝|n|＝|m|。
353 ：１３２人目の素数さん：2015/03/04(水) 16:01:58.16 ID:+ZGYKspj.net: >>279
(>>350-352のCase1の続き)
Case1-1)：|a_1|＞|n|＞|m|のとき。n＝cmつまり|n|＝|c|・|m|だから、|n|＞|m|から|n|＜|c|。
また、n≡0(mod m)から、|n|≡0(mod |m|)。よって④つまり(|a_1|・|m|)/|n|^2＝1に注意すると、
|a_1|≡0(mod |n|)であって、|a_1|＝|c|・|m|となり、|a_1|＝|n|となって矛盾。
Case1-2)：|a_1|＝|n|＝|m|のとき。n＝cmつまり|n|＝|c|・|m|から|c|＝1。故にc＝±1。
Case1-2-1)：c＝1のとき。このときn＝mだから、②から、m(s－t)＝2kであって、
s－t＝2k/mからs＝t+2k/m。よって、群T(s)＝T(t+2k/m)について、T(t+2k/m)＝T(t)。
故に、任意のp∈Z＼{0}に対して或るd∈Z＼{0}が一意に存在して、
T(t)∋e^{i(dtπ)}＝e^{i(p(t+2k/m)π)}∈T(t+2k/m)。
逆に、任意のd∈Z＼{0}に対して或るp∈Z＼{0}が一意に存在して、
T(t)∋e^{i(ptπ)}＝e^{i(d(t+2k/m)π)}∈T(t+2k/m)。
従って、T(t+2k/m)からT(t)への全単射が存在する。即ち、T(s)からT(t)への全単射が存在する。
故に、偏角の範囲を(-π,π]として①の両辺に主値を取れば、i(ms－nt)π＝0から、
ms－nt＝0。n＝mだから、s-t＝0からs＝tとなって、これはs＞tに反し矛盾。
Case1-2-2)：c＝-1のとき。このときn＝-mだから、②から、m(s+t)＝2kであって、
s+t＝2k/mからs＝-t+2k/m。よって、群T(s)＝T(-t+2k/m)について、T(-t+2k/m)＝T(t)。
故に、任意のp∈Z＼{0}に対して或るd∈Z＼{0}が一意に存在して、
T(t)∋e^{i(dtπ)}＝e^{i(p(-t+2k/m)π)}∈T(-t+2k/m)。
逆に、任意のd∈Z＼{0}に対して或るp∈Z＼{0}が一意に存在して、
T(t)∋e^{i(ptπ)}＝e^{i(d(-t+2k/m)π)}∈T(-t+2k/m)。
従って、T(-t+2k/m)からT(t)への全単射が存在する。即ち、T(s)からT(t)への全単射が存在する。
故に、Case1-2-1と同様にして①の両辺に主値を取れば、i(ms-nt)π＝0から、
ms－nt＝0。n＝-mだから、s+t＝0であるが、これはs＞t＞0からs+t＞0であることに反し矛盾。
Case1-2-1、Case1-2-2から、|a_1|＝|n|＝|m|のとき矛盾。　　(Case1-2　終)
Case1-1、Case1-2から、ms-nt≠0のとき矛盾が生じる。　　　(Case1　終)
354 ：１３２人目の素数さん：2015/03/04(水) 16:07:26.93 ID:+ZGYKspj.net: >>279
(>>353の続きで、>>350参照)
Case2)：ms-nt＝0のとき。このとき、ms＝ntからs＝(n/m)tだから、T(s)＝T(t)からT(t)＝T((n/m)t)。
また、群T((m/n)t)は、＝{e^{im_1・(m/n)tπ}∈C|m_1∈Z}と表わされる。
よって、任意のj∈Z＼{0}に対して或るa_j∈Z＼{0}が存在して、
e^{i(jπ)}＝e^{ia_j・(m/n)tπ}。よって、偏角の不定性に注意して
両辺に主値を取れば、或るb∈Z＼{0}が存在して、i(jπ)＝ia_j・(m/n)tπ＋i(2bπ)から、
j＝a_j・(m/n)t＋2b、つまり、a_j・(m/n)t＝－2b＋j。
ここで、a_j・(m/n)、－2b＋j∈Qであって、t∈R＼Q。
従って、a_j・(m/n)＝0から、a_j＝0またはm＝0。
然るに、これはa_j≠0、m≠0であることに反し矛盾。　　　(Case2終)
Case1、Case2から、1＞s＞t＞0なるs、t∈R＼Qが存在して、T(s)＝T(t)であったとすると矛盾。

まあ、もう疲れて来たからちょっと寝る。
355 ：１３２人目の素数さん：2015/03/04(水) 16:39:24.97 ID:+ZGYKspj.net: >>279
>>353のCase1-1)は間違っていたから、後で訂正する。
今は疲れて出来ん。
356 ：１３２人目の素数さん：2015/03/04(水) 18:38:01.58 ID:Xbvtg9lr.net: 後藤さん張り切ってるね
357 ：１３２人目の素数さん：2015/03/04(水) 20:12:02.00 ID:YdJRWdwI.net: >>350-354
難しく考えすぎ。そこまでT(s),T(t)を弄っていて正解に辿り着かないのはセンスなさすぎ。
Case1-1どころか、Case1の途中で既に間違ってる。実はCase2も間違ってる。まずはCase1から。

＞従って、n^2≡0(mod m)から、m|n^2。
＞単項イデアルについて、(n^2)＝(n)(n)⊂(n)だから、n≡0(mod m)。

n＝2, m＝4 と置くと、n^2≡0(mod m)は成り立つがn≡0(mod m)は成り立たない。
その他にも、成り立たない(n, m)の例はたくさんある。
なーにが単項イデアルだよ。算数も出来てないじゃないか。
あと、仮に n≡0(mod m) だったとしても、その後が間違ってて話にならない↓

＞つまり、e^{i(jmsπ)}＝e^{i(jntπ)}。故に、e^{i(cnsπ)}＝e^{i(jmsπ)}。
＞よって、偏角の範囲を(-π,π]として両辺に主値を取れば、i(cn－jm)sπ＝0、
＞つまりcn－jm＝0から、cn＝jmであって、cmn＝jm^2。ここで、nにcmを代入すれば、

ここが間違い。偏角の範囲を限定したところで、cn－jm＝0 は出てこない。
結局は cn－jm≡0(mod 2) までしか言えない。

整数a,bがe^{iaπ}＝e^{ibπ}を満たすとき、偏角の範囲を(-π,π]として両辺の主値を取ろうとしても、
偏角の範囲を限定したがゆえに、まずaπ, bπが(-π,π]の範囲に収まっていなければならない。
ただ1つの整数kに対して (a＋2k)π∈(-π,π] が成り立つようにできて、
ただ1つの整数Lに対して (b＋2L)π∈(-π,π] が成り立つようにできる。
これと e^{iaπ}＝e^{i(a＋2k)π}, e^{ibπ}＝e^{i(b＋2L)π} から、
e^{i(a＋2k)π}＝e^{i(b＋2L)π} となる。
ここまで来れば、偏角の範囲が(-π,π]に収まっているから、i(a＋2k)π＝i(b＋2L)πとなり、
よってa－b＝2(L－k) となる。従って、a－b＝0 なんて式は導出できなくて、
結局は a－b≡0(mod 2) までしか言えない。
358 ：１３２人目の素数さん：2015/03/04(水) 20:32:29.14 ID:YdJRWdwI.net: 次はCase2について。

＞また、群T((m/n)t)は、＝{e^{im_1・(m/n)tπ}∈C|m_1∈Z}と表わされる。
＞よって、任意のj∈Z＼{0}に対して或るa_j∈Z＼{0}が存在して、
＞e^{i(jπ)}＝e^{ia_j・(m/n)tπ}。よって、偏角の不定性に注意して

e^{i(jπ)}って何だよ。s, t はどこに行ったんだよ。
文脈から察するに、e^{i(jtπ)} の間違いだろ。
で、e^{i(jtπ)}だとして計算を続けると、a_j＝0なんて出てこない。

最後にもう1つ。

＞Case1、Case2から、1＞s＞t＞0なるs、t∈R＼Qが存在して、T(s)＝T(t)であったとすると矛盾。

Case1, Case2 の議論では、s, t が 1＞s＞t＞0 を満たすという性質を使っていない。
唯一、Case1-2-1, Case1-2-2 では s＞t＞0 という性質が使われている。
しかし、1＞s＞t という性質はどこにも使われていないのだ。
従って、もし Case1, Case2 の議論が正しいなら、
「 s＞t＞0 なる任意の s, t∈R－Q に対して T(s)≠T(t) が成り立つ」
ことが言えてしまうことになる。
だが、これには反例があるのだった(s＝√2＋2, t＝√2 など)。
というわけで、この考察だけでも、
「 Case1, Case2 はどこかの議論が間違っている」
ということが分かってしまう。

息をするように間違えまくる大バカ野郎。
1回や2回の間違いではない。
ここまで来るのに延々と間違いを繰り返しているのだ。
話にならん。
359 ：１３２人目の素数さん：2015/03/05(木) 00:18:11.22 ID:UP7LXXHW.net: もう少し自己査読してから出せばいいのに
360 ：１３２人目の素数さん：2015/03/05(木) 04:44:17.26 ID:fgPXpUAC.net: >>359
私(>>239-240の訂正をしている者)自身、自己査読していないことは自覚している。
間違いまくっているのも当然。間違いをリサイクルすることも重要
(例えば、>>353のCase1-1の考え方は、m、n∈Z＼{0}がm^2≡0 (mod n)を満たすとき
nに対して或るk∈N＼{0}が存在してn＝±k^2となることの証明に使える)。
まあ、よく自己査読してから書き込むことにする
(ただ、打ち間違いがあるかも知れないことは、前提)。
361 ：１３２人目の素数さん：2015/03/06(金) 07:57:19.72 ID:AVlvxq7S.net: >>360
＞(例えば、>>353のCase1-1の考え方は、m、n∈Z＼{0}がm^2≡0 (mod n)を満たすとき
＞nに対して或るk∈N＼{0}が存在してn＝±k^2となることの証明に使える)。

何を言ってるかよく分からないのだが、m、n∈Z＼{0}がm^2≡0 (mod n)を満たしていても、
n＝±k^2が成り立つとは必ずしも限らない。たとえば、nが素数の場合を考えればよい。
n＝3, m＝3 とか。このとき、m^2≡0 (mod n)が成り立つのに、n＝±k^2を満たすkは存在しない。
Case1-1の間違いはリサイクルすら不可能ってこと。
362 ：１３２人目の素数さん：2015/03/06(金) 10:49:46.23 ID:T1FPcLyt.net: >>279
今まで、本当に恥ずかしい位に肝心なことを見落としていたわ。>>239-240は次のように訂正。

[第5段]：任意の|s|＞|t|かつ-1＜s＜0＜t＜1なるs、t∈R＼Qに対してT(s)≠T(t)であることを示す。
確かに任意のθ∈R＼Qに対して群T(θ)は定まる。
矛盾に導くため、或る|s|＞|t|かつ-1＜s＜0＜t＜1なるs、t∈R＼Qが存在して、T(s)＝T(t)であったとする。
R＼Qの部分集合A、Bを、A＝{a∈R＼Q|a∈(-1,0)}、B＝{b∈R＼Q|b∈(0,1)}
と定義する。すると確かにAとBの各R＼Qにおける包含関係について、φ≠A、B⊂R＼Q　である。
ここで、任意の(a,b)∈A×Bに対して-1＜a＜0＜b＜1であるから、
任意のa∈Aに対してBの点b＝|a|は一意に定まる。また、同様に、
任意のb∈Bに対してAの点a＝-bは一意に定まる。よって、AからBへの全単射が存在する。
無理数s、tに対して2つの群T(s)、T(t)が定義される。T(s)のT(t)への左作用を
f：T(s)×T(t)→T(t)とする。g＝e^{isπ}とおく。すると、g∈T(s)であるから、
mをZの変数とすれば、定義から任意のe^{i(mt)π}∈T(t)に対して
f(g,e^{i(mt)π})＝(g,e^{i(mt)π})→g・e^{i(mt)π}∈T(t)　が一意に定まる。
つまり、f(g,T(t))：{g}×T(t)→T(t)は全単射である。よって、m＝1とすれば、
f(g,e^{itπ})＝(g,e^{itπ})→g・e^{itπ}∈T(t)　が一意に定まる。
ここで、-1＜s＜0＜t＜1であるから、複素平面Cの実軸に関する対称性から
g・e^{itπ}＝1。また、g＝e^{isπ}だったから、g・e^{itπ}を計算すると
g・e^{itπ}＝e^{i(t+s)π}。従って、e^{i(t+s)π}＝1であり、
偏角の範囲を(-π,π]として両辺に主値を取れば、i(t+s)π＝0となり、
i≠0＜πからt+s＝0であり、|s|＝|t|が得られるが、s、tが満たす条件|s|＞|t|に反する。
363 ：１３２人目の素数さん：2015/03/06(金) 10:56:55.10 ID:T1FPcLyt.net: >>279
(>>362の続き)
[第6段]：任意の1＞s＞t＞0なるs、t∈R＼Qに対してT(s)≠T(t)であることを示す。
矛盾に導くため、或る1＞s＞t＞0なるs、t∈R＼Qが存在してT(s)＝T(t)であったとする。
sについて、1＞s＞0から-1＜-s＜0であり、2つの群T(-s)、T(t)が定義される。
T(-s)のT(t)への左作用をf：T(-s)×T(t)→T(t)とする。g＝e^{i(-s)π}とおく。
すると、g∈T(-s)であるから、mをZの変数とすれば、定義から任意のe^{i(mt)π}∈T(t)に対して
f(g,e^{i(mt)π})＝(g,e^{i(mt)π})→g・e^{i(mt)π}∈T(t)　が一意に定まる。
つまり、f(g,T(t))：{g}×T(t)→T(t)は全単射である。よって、m＝1とすれば、
f(g,e^{itπ})＝(g,e^{itπ})→g・e^{itπ}∈T(t)　が一意に定まる。
ここで、1＞s＞t＞0から-1＜-s＜0＜t＜1であるから、複素平面Cの実軸に関する対称性から
g・e^{itπ}＝1。また、g＝e^{i(-s)π}だったから、g・e^{itπ}を計算すると
g・e^{itπ}＝e^{i(t-s)π}。従って、e^{i(t-s)π}＝1であり、
偏角の範囲を(-π,π]として両辺に主値を取れば、i(t-s)π＝0となり、
i≠0＜πからt-s＝0が得られ、s＝tはs、tが満たす条件s＞tに反する。
[第7段]；乗法群C^{×}の正規部分群は非可算個存在することを示す。
集合Aは非可算であるから、乗法群C^{×}の正規部分群は非可算個存在する。
364 ：１３２人目の素数さん：2015/03/06(金) 10:59:38.57 ID:AVlvxq7S.net: >>362
＞[第5段]：任意の|s|＞|t|かつ-1＜s＜0＜t＜1なるs、t∈R＼Qに対してT(s)≠T(t)であることを示す。

お話にならない。その[第5段]には何の価値も無い。
なぜなら、それが示せた「だけ」では、T(x) が非可算無限個あることは示せなからだ。
s＜0＜t のように、sとtの間に実数が挟まれていると価値が無くなってしまうのだ。
>>284にも書いたことだが、ここでもう一度書いておく。

次のように一般化して考えるとよく見えてくる。

問題：Y は集合とする。写像 F：(－1, 1)－Q → Y は、
|s|＞|t|かつ-1＜s＜0＜t＜1 なる s,t∈R－Q に対して常に F(s)≠F(t) が成り立つとする。
このとき、F(x) (x∈(-1,1)－Q) は非可算無限個あると言えるか？

解答：言えない。Y を2元以上の集合として、Y の異なる2元 a, b を1つずつ取る。
x∈(-1, 1)－Q に対して、 F(x)＝a (－1＜x≦0), b (0＜x＜1) と置けば、
このFは問題の仮定を満たすが、F(x) (x∈(-1, 1)－Q) はaとbの2種類しか無い。
非可算無限個どころか、「有限個」である。■

というわけで、上記の[第5段]には何の価値もなく、[第5段]だけでは全く不十分であり、
T(x) が非可算無限個あることは絶対に言えない。
なぜなら、それだけで非可算無限個あることが言えたなら、
その論法は上の問題にも適用できてしまって、F(x) が非可算無限個あることが
言えてしまうが、それは上の解答に矛盾するからだ。
365 ：１３２人目の素数さん：2015/03/06(金) 11:01:41.77 ID:AVlvxq7S.net: >>363
おっと、[第6段]が増設されたのか。
これは早とちりをしてしまった。申し訳ない。
366 ：１３２人目の素数さん：2015/03/06(金) 11:02:51.45 ID:T1FPcLyt.net: >>279
一体、私は何を考えてたんでしょ。
感じなことを忘れていたというか、見落としてた。
367 ：１３２人目の素数さん：2015/03/06(金) 11:08:40.99 ID:T1FPcLyt.net: >>279
>>363の[第7段]の「集合A」は「集合B」の間違い。
368 ：１３２人目の素数さん：2015/03/06(金) 11:10:20.90 ID:AVlvxq7S.net: >>362
＞f(g,e^{itπ})＝(g,e^{itπ})→g・e^{itπ}∈T(t)　が一意に定まる。
＞ここで、-1＜s＜0＜t＜1であるから、複素平面Cの実軸に関する対称性から
＞g・e^{itπ}＝1。また、g＝e^{isπ}だったから、g・e^{itπ}を計算すると
＞g・e^{itπ}＝e^{i(t+s)π}。従って、e^{i(t+s)π}＝1であり、

ここが意味不明。
f(g,e^{itπ})＝(g,e^{itπ})→g・e^{itπ}∈T(t)　が一意に定まることと、
g・e^{itπ}＝1 が成り立つこととは何の関係も無い。
Cの実軸に関する対称性が根拠になっているようだが、Cが実軸に関して対称だったからといって、
写像 f とは何の関係もない。f には、対称性に関する性質が何も設定されてないからだ。

>>363でも同様の論法を使っているので、そこもアウト。

どのみちダメじゃねーか。
369 ：１３２人目の素数さん：2015/03/06(金) 11:31:19.63 ID:Z69jlrDR.net: アイヤー
370 ：１３２人目の素数さん：2015/03/06(金) 11:40:13.46 ID:rYC8zJJ9.net: 哀号
また駄目ニダか…
371 ：１３２人目の素数さん：2015/03/06(金) 14:44:24.43 ID:T1FPcLyt.net: >>279
単純に行く。>>239-240は次のように訂正。

[第5段]：任意の2＞s＞1＞t＞0なるs、t∈R＼Qに対してT(s)≠T(t)であることを示す。
確かに任意のθ∈R＼Qに対して群T(θ)は定まる。
矛盾に導くため、或る2＞s＞1＞t＞0なるs、t∈R＼Qが存在して、T(s)＝T(t)であったとする。
すると、T(s)、T(t)は両方共に複素平面Cの単位円周上の部分集合だから、
2＞s＞1＞t＞0から、或る(m,n)∈(N＼{0})^2が存在して、
e^{i(msπ)}＝e^{i(ntπ)}であり、e^{i(msπ－ntπ)}＝1。
よって、偏角の不定性に注意し両辺に主値を取ると、或るk∈Zが存在して、
i(msπ－ntπ)＝2kπiから、ms－nt-2k＝0。今2kをkで略記する。
すると、k∈Zであって、ms-nt-k＝0…①が成り立つ。
ここで、n≠0だから①から、(m/n)s－t－(k/n)＝0。
故に2つの無理数s、tの集合{s,t}は有理数体Q上線型従属であり、t＝(m/n)s－(k/n)。
T(s)＝T(t)だから、T(t)＝T((m/n)s－k/n)。
ここで、群T(s)は＝{e^{i(m_1・sπ)}∈C^{×}|m_1∈Z}と定義される。
また、群T(t)＝T((m/n)s－(k/n))は、
＝{e^{i(m_1・((m/n)s－(k/n))π)}∈C^{×}|m_1∈Z}と定義される。
e^{isπ}はm_1＝1としたときのT(s)の点、
e^{i((m/n)s－k/n)π}はm_1＝1としたときのT(t)の点であるから、
e^{isπ}＝e^{i((m/n)s－(k/n))π}…②　または　e^{isπ}＝e^{-i((m/n)s－(k/n))π}…③
のどちらか片方かつその一方に限り成り立つ。
372 ：１３２人目の素数さん：2015/03/06(金) 14:49:13.27 ID:T1FPcLyt.net: >>279
(>>371の続き)
Case1)：②が成り立つとき。②から、e^{i(((m/n)-1)s－k/n)π}＝1…④。
ここで、s∈R＼Qだったからsは無理数で、任意の有理数aに対して、
{a,s}は有理数体Q上線型独立である。よって、偏角の範囲を(-π,π]として
④の両辺に主値を取れば、i(((m/n)-1)s－(k/n))π＝0であり、i≠0＜πから
((m/n)-1)s－k/n＝0、故に(m/n)-1＝0から、m＝n。
従って、群T(t)つまりT((m/n)s－(k/n))は、
T(t)＝{e^{i(m_1(s－(k/n))π)}∈C^{×}|m_1∈Z}と表わされる。
e^{isπ}はm_1＝1としたときのT(s)の点、e^{i(s－(k/n))π}はm_1＝1としたときのT(s)の点
だから、e^{i(sπ)}＝e^{i(s－(k/n))π}　または、e^{i(sπ)}＝e^{-i(s－(k/n))π)}
のどちらか片方かつその一方に限り成り立つ。つまり、
e^{i(－k/n)π)}＝1　または、e^{i(2s－k/n)π)}＝1のどちらか片方かつその一方に限り成り立つ。
然るに、任意の有理数aに対して{a,s}はQ上線型独立だから、e^{iθπ}＝1
を満たす実数θは有理数であることに注意すると、e^{i(2s－k/n)π)}≠1であって、
e^{i(－k/n)π)}＝1となる。よって、偏角の不定性に注意して両辺に主値を取ると、
kに対して或るj∈Zが存在してk＝2jπ。πは無理数、kは整数だから、
j＝0からk＝0。よって、①からms－nt＝0、故にm＝nからs＝tが得られ、これはs＞tに反し矛盾。
Case2)：③が成り立つとき。③から、e^{i((1+(m/n))s+(k/n))π}＝1。
然るにsは無理数だから、任意の有理数aに対して{a,s}は体Q上線型独立である。
よって、e^{iθπ}＝1を満たす実数θは有理数であることに注意すると、e^{i(2s+k/n)π)}≠1であり矛盾。
Case1、2から、2＞s＞1＞t＞0なるs、t∈R＼Qが存在して、T(s)＝T(t)とすると、矛盾が生じる。
373 ：１３２人目の素数さん：2015/03/06(金) 14:51:42.40 ID:T1FPcLyt.net: >>279
(>>372の続き)
[第6段]:任意の|s|＞|t|かつ-1＜s＜0＜t＜1なるs、t∈R＼Qに対してT(s)≠T(t)であることを示す。
θを実変数とするとe^{iθπ}はmod2の周期関数であるから、第5段の結果から従う。

[第7段]：任意の1＞s＞t＞0なるs、t∈R＼Qに対してT(s)≠T(t)であることを示す。
複素平面Cは実軸について対称であるから、第6段の結果から従う。

[第8段]；乗法群C^{×}の正規部分群は非可算個存在することを示す。
開区間(0,1)は非可算であるから、乗法群C^{×}の正規部分群は非可算個存在する。
374 ：１３２人目の素数さん：2015/03/06(金) 18:30:30.86 ID:AVlvxq7S.net: >>371-373
大間違い。今までのミスと全く同じミスを繰り返している。

＞e^{isπ}はm_1＝1としたときのT(s)の点、
＞e^{i((m/n)s－k/n)π}はm_1＝1としたときのT(t)の点であるから、
＞e^{isπ}＝e^{i((m/n)s－(k/n))π}…②　または　e^{isπ}＝e^{-i((m/n)s－(k/n))π}…③
＞のどちらか片方かつその一方に限り成り立つ。

大間違い。支離滅裂。m_1＝1としたときの両者の点は
対応している必要が無いので、②とか③とかに限定できない。
このことは>>347でも指摘した。そのときと全く同じミスを繰り返している。

＞Case1)：②が成り立つとき。②から、e^{i(((m/n)-1)s－k/n)π}＝1…④。
＞ここで、s∈R＼Qだったからsは無理数で、任意の有理数aに対して、
＞{a,s}は有理数体Q上線型独立である。よって、偏角の範囲を(-π,π]として
＞④の両辺に主値を取れば、i(((m/n)-1)s－(k/n))π＝0であり、i≠0＜πから

大間違い。偏角の範囲を(-π,π]に限定するなら、④の主値を取る前に、
(((m/n)-1)s－k/n)π が(-π,π]の範囲内に収まっていなければならない。
しかし、(((m/n)-1)s－k/n)π のままでは必ずしも範囲内に収まらないので、
一般的には>>357の後半で指摘したことと全く同じ状態になり、
結局は「ある k∈Zに対して (m/n)-1)s－k/n＝2k 」までしか言えない。

＞e^{isπ}はm_1＝1としたときのT(s)の点、e^{i(s－(k/n))π}はm_1＝1としたときのT(s)の点
＞だから、e^{i(sπ)}＝e^{i(s－(k/n))π}　または、e^{i(sπ)}＝e^{-i(s－(k/n))π)}
＞のどちらか片方かつその一方に限り成り立つ。つまり、

大間違い。支離滅裂。既に指摘したとおり、
m_1＝1としたときの両者の点は対応している必要が無い。
このことは>>347でも指摘した。そのときと全く同じミスを繰り返している。
375 ：１３２人目の素数さん：2015/03/06(金) 18:47:06.11 ID:AVlvxq7S.net: 間違いはさらに続く。

＞然るに、任意の有理数aに対して{a,s}はQ上線型独立だから、e^{iθπ}＝1
＞を満たす実数θは有理数であることに注意すると、e^{i(2s－k/n)π)}≠1であって、

ここの記述は間違っているわけではないが、θは有理数どころか
「偶数(負の偶数でもよい)」に限られるので、内容が冗長。

＞e^{i(－k/n)π)}＝1となる。よって、偏角の不定性に注意して両辺に主値を取ると、
＞kに対して或るj∈Zが存在してk＝2jπ。πは無理数、kは整数だから、

ここは完全に間違い。(－k/n) は「偶数(負の偶数でもよい)」となるので、
せいぜい (－k/n)＝2j という程度の等式までしか言えない。
そもそも、(－k/n)は「πの係数」なんだから、その係数に対して k＝2jπ などと
新しくπが出現するわけ無いだろ。おかしいと思わないのかよ。
いくら背理法を使っているからって、そんな支離滅裂な矛盾が出てきたら
自分の計算ミスを疑うのが普通だぞ。概念的に何も理解してない証拠じゃないか。
376 ：１３２人目の素数さん：2015/03/06(金) 19:14:54.25 ID:AVlvxq7S.net: さらに言うと、[第5段]では「 s,t∈R－Q, T(s)＝T(t), s＞t 」という条件しか使っていない。

＞すると、T(s)、T(t)は両方共に複素平面Cの単位円周上の部分集合だから、
＞2＞s＞1＞t＞0から、或る(m,n)∈(N＼{0})^2が存在して、
＞e^{i(msπ)}＝e^{i(ntπ)}であり、e^{i(msπ－ntπ)}＝1。

この部分では、あたかも 2＞s＞1＞t＞0 を使っているかのように見えるが、
実際には「 s,t∈R－Q, T(s)＝T(t) 」さえ成り立っていれば十分であり、それだけで
「ある(m,n)∈(Z＼{0})^2 に対して e^{i(msπ)}＝e^{i(ntπ)} 」が言えてしまう。
従って、この部分ではせいぜい「 s,t∈R－Q, T(s)＝T(t) 」しか使っていない。
そして、その後の議論で新しく使っている性質は s＞t だけなので、結局、
[第5段]全体を通しては「 s,t∈R－Q, T(s)＝T(t), s＞t 」しか使っていない。

となれば、「 s,t∈R－Q, T(s)＝T(t), s＞t ならば矛盾」が言えたことになってしまい、
すなわち「 s,t∈R－Q, s＞t ならば T(s)≠T(t) 」が言えたことになってしまうが、
これには反例があるのだった(s＝√2＋2, t＝√2 など)。というわけで、この考察だけでも、
「 [第5段]の証明はどこかが間違っている」ということが分かってしまう。

証明中に安易に「 2＞s＞1＞t＞0 」という呪文を書き込んだだけでは、
その条件を使ったことにはならないのだ。その後の議論が、その条件を
使わなくても成り立つものであるならば、実際にはその条件は使われていないのだ。
377 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 08:11:04.98 ID:/NeL5nxq.net: >>376
>その後の議論が、その条件を
>使わなくても成り立つものであるならば、実際にはその条件は使われていないのだ。
これははじめて知った。場合分けが生じる背理法の議論の真偽の見分け方について、参考になった。
というか、今まで条件を使わなくても矛盾が生じれば正しい議論になる
とばかり思っていた。一体、何にそういうことが書いてあるんだ？
378 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 08:16:58.05 ID:/NeL5nxq.net: >>359
>>360の
>(例えば、>>353のCase1-1の考え方は、m、n∈Z＼{0}がm^2≡0 (mod n)を満たすとき
>nに対して或るk∈N＼{0}が存在してn＝±k^2となることの証明に使える)。
の部分は条件が必要にで、この部分は取り下げ。
379 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 14:08:42.74 ID:CATUi/5b.net: age
380 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 14:11:50.75 ID:CATUi/5b.net: どうも。スレ主です。
>>333から>>397まで、その間はご無沙汰です
381 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 14:16:22.41 ID:CATUi/5b.net: なんか、規制に引っかかって、書けなくなりました
そこで、「2ちゃんねるプレミアム Ronin」を購入して、Jane Styleを復活させました
コテ”現代数学の系譜11 ガロア理論を読む”も復活です。はい
382 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 14:21:18.78 ID:/NeL5nxq.net: >>376
1つ聞きたいことがある。
私は、或る条件をみたすような任意の有理数が超越数になる
という奇妙な現象を発見している(詳細は書かない)。
本来は、或る条件を満たすような任意の実数について成り立つ命題である。
単純に反例を挙げるだけでは済まなくなると思うが、この真偽については如何？

>>359
>>378の最後の行の「必要にで、」は「必要で、」の間違い。
383 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 14:22:22.17 ID:CATUi/5b.net: ID:/NeL5nxqさんは、”おっちゃん”だと思うけど
”おっちゃん”らしいね
まあ、頑張って下さい

ID:AVlvxq7Sさんは、いつもの方と思いますが
まあ、お呼びするとしたら、”導師”か”メンター”か
私より、だいぶレベルが上ですね
辛抱強く、”おっちゃん”のご指導で、頭が下がりますね
私ら、”おっちゃん”のカキコを読む気がしない・・
384 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 14:27:48.03 ID:/NeL5nxq.net: スレ主よ。
私の証明に対し反例を挙げて間違いを指摘している人間をどう思う？
意見を聞きたい。
385 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 14:29:19.89 ID:CATUi/5b.net: >>382
”おっちゃん”、どうも。スレ主です。
連投規制になるかなと思ったが、おかげでクリアーできそうだ

>私は、或る条件をみたすような任意の有理数が超越数になる
>という奇妙な現象を発見している(詳細は書かない)。

なるほど、私に聞いているのではないと思うが
y=f(x) で、xが任意の有理数、yが超越数になると
そういう関数fのことかな？
386 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 14:31:23.87 ID:CATUi/5b.net: >>384
”おっちゃん”の方が正しいと
心情的には言いたいが
私の数学的直感は逆だね
証明を細かく読んでないが
387 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 14:34:17.52 ID:/NeL5nxq.net: >>385
>なるほど、私に聞いているのではないと思うが
>y=f(x) で、xが任意の有理数、yが超越数になると
>そういう関数fのことかな？
数論の或る病的な現象になっているんだよ。
本当に数論は正しいのだろうか？　と思っているんだよ。
388 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 14:37:39.85 ID:/NeL5nxq.net: >>386
まあ、そのあたりはどうでもいいけどね。
389 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 14:46:25.91 ID:CATUi/5b.net: >>334-338
どうも。スレ主です。
まあ、口だけ達者だな

ID:/CImvwKh、D:d/R6BEmu、ID:W+oQWcvbくんたちか

１．「R の Q 上の基底はハメル基底と呼ばれ、非可算無限の濃度を持つ。スレ主はその理由はわかってるの？」：はい、分かりません
２．圏論は、最初から徹底コピペですよ。分かってないだろうというのは、正しい
３．「どんな大学でも無理でしょｗ」も、多分正しい。入試は通るかも。卒業だけならできるかも
４．が、君たちとは同じあなのむ・・

で、君たちにも出題しておく。>>194の２問だ

問題１は易しい。すぐ出来るはずだ
問題２むずい。いまだに悩んでいる。なんとなく解らしいところに辿り着いたが、>>280のような簡単な証明が出来ないで悩んでいるんだ
君たち、賢いんだろ？　教えてくれよ（笑い）
390 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 14:52:59.22 ID:Kj5to7DQ.net: q∈Q とする。
定義により、ある n,m∈Z が存在して、q=n/m を満たす。
qは (m/n)x-1∈Q[x] の根であるから、定義によりqは代数的数である。
391 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 14:59:52.32 ID:CATUi/5b.net: >>389
訂正 >>280→>>290

で、>>290で一つ小さな間違いがある
だれも指摘しないが

>７．よって、集合U'は、1より大の実数と同じ濃度であり、連続の濃度を持つ
>８．U'⊂乗法群C^{×}だから、C^{×}は連続の濃度、即ち非可算無限の濃度を持つ。QED

ここ、C^{×}は連続の濃度→C^{×}は連続の濃度以上とすべきだった
U'⊂乗法群C^{×}の包含関係から言えるのは、”連続の濃度以上”だ
実際、個人的には、連続濃度の”べきの濃度”を持つと思っているので、なおさらそう書くべきだった
392 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 15:05:21.46 ID:CATUi/5b.net: どうも。スレ主です。
この問題は、>>22の”おっちゃん”が前スレで出題した問題から派生したもの（いま、これに拘っているんだ）
誰かが何か書くまで、私の答えは書かないことにする。その方が楽しそうだからね（＾＾

>>194から再録
どうも。スレ主です。
まあ、口先ではなんとでも言える典型だよ、君たちは

では、こうしよう。ID:farzQR3Nくんの無能を晒すために、一週間時間をおいた>>153
そろそろ解答を書こうと思ったが、君たちのために、あと２４時間置こうと思う

問題１
>>80
では、君に出題する

「閉区間（例えば[101～102]）のすべての実数の集合から生成される乗法群は、すべての正の実数を含む」が成り立つ
（説明不要と思うが、閉区間[101～102]のすべての実数を使って乗法群を作ると、それは全ての正の実数を含むように拡張できるってこと）
これ分かりますか？　分かる人、証明するか理由を述べよ >>69

これの正否
スレ主は、これは成り立つと思う
もし、不成立の証明ができれば、君たちはスレ主より上と認めよう

問題２
>>34
「ゼロを除く複素数の成す乗法群の集合は、連続濃度の”べきの濃度”を持つ」は正しいか否か
理由を付して述べよ

もちろん私は答えを得ている
393 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 15:10:01.41 ID:CATUi/5b.net: >>390
どうも。スレ主です。

定義によりqは代数的数である。
　↓
”定義によるが”、qは代数的数である。

かな？　ちゃちゃ入れて悪いが
394 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 15:12:31.32 ID:Kj5to7DQ.net: >>390 は間違いじゃないけど美しくなかったので修正

q∈Q は x-q∈Q[x] の根だから、定義により代数的数である。
395 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 15:17:24.37 ID:8nSsMcKh.net: ぱーちくりんスレ主が書き込みまくるから良くスレ伸びとるね
わかりやすく説明してるのにまだ理解できとらんとは
さすがぱーちくりんの中のぱーちくりん
396 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 15:19:23.52 ID:CATUi/5b.net: >>387
>数論の或る病的な現象になっているんだよ。
>本当に数論は正しいのだろうか？　と思っているんだよ。

いや、心情的にはよく理解できる
なぜなら、カントールやゲーデル、ノイマンなど、その時代の基礎論の天才たちが何人も、人生をかけて挑んだ難問だ
はっきり言って、２１世紀の現代数学も分かっていない部分が多いという
細かい部分に入って行くと、霧の中というか富士の樹海の中というか・・

例えば、超越数（下記）。”ただ足しただけの π + e すら超越数かどうか分かっていない”！
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E8%B6%8A%E6%95%B0
与えられた数が超越数であるかどうかを調べるのは難しい問題だとされている。例えば、ネイピア数と円周率がともに超越数であることがよく知られているにもかかわらず、それをただ足しただけの π + e すら超越数かどうか分かっていない。

1996年、ネステレンコにより、長い間懸案であった、πと、e^π（ゲルフォントの定数）の代数的独立性が証明された。
397 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 15:23:22.16 ID:Pt6N2tUG.net: 横からだけど、俺が>>194の問題１を解いたら
俺がスレ主に正規部分群の問題出してもいいかな
398 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 15:27:37.36 ID:CATUi/5b.net: ID:8nSsMcKhくん登場か
君は微笑ましいね
ぱーちくりん連呼くんか・・
これから、君を”連呼くん”と呼ぼう

”連呼くん”には、>>392の問題１を出しておいた。易しい方の問題だ。>>80で2015/02/21(土) だったね
あれから、２週間以上経つ。まあ、君には無理と思ったが、当たっていたね
君の知能レベルは、スレ主以下と認定してあげるよ（＾＾
399 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 15:28:34.96 ID:CATUi/5b.net: >>397
良いよ
400 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 15:33:56.57 ID:Pt6N2tUG.net: >>399
よし。しばしお待ちを
401 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 15:38:17.09 ID:CATUi/5b.net: >>390-394の代数的数関連部分

ここは、初心者も来ると思うので、世間の代数的数の定義を確認しておこう（下記。文字化けは修正せず）
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E7%9A%84%E6%95%B0 抜粋
数学、特に代数学における代数的数（だいすうてきすう、英: algebraic number）とは、ある有理数係数の 0 でない多項式の根となる複素数のことである。
代数学の標準的な記号 \ \mathbb{Q}[x]\ で有理数係数多項式全体を表し、代数的数全体の集合を、代数的数 algebraic number の頭文字を使って \ A\ と書けば、
A=\Big\{a \in \mathbb{C}\ \Big|\ \big(\exists p(x) \in \mathbb{Q}[x]\big)\big[p(x) \neq 0 \ \&\ p(a)=0\big]\Big\}
となる。

概要
複素数 α に対し、有理数を係数とする多項式
f(x) = x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0
が存在して、f(α) = 0 となるとき α を代数的数という。
α が有理数ならば
f(x) = x - α
は、α を根に持つので、有理数はすべて代数的数である。
無理数ではたとえば \sqrt{2} は
f(x) = x2 - 2
の根であるので代数的数であるし、複素数でも
f(x) = x2 + 1
の根である ±i は代数的数である。
しかしながら、全ての無理数が代数的数であるかというと、そうではないことが知られている。たとえば円周率 π や自然対数の底（ネイピア数）e は、0 以外のいかなる有理数係数多項式に対しても、根になることはない。
このような数のことを超越数と呼ぶ。
402 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 15:42:13.26 ID:Kj5to7DQ.net: >>382
全く駄目。
当たり前だが、反例が一個でも存在すればその命題は偽である。
具体的内容が書かれていないので何とも言えないが、「任意の実数」がただ単に「任意の無理数」とかの間違いなのでは？
403 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 15:43:38.75 ID:CATUi/5b.net: >>401　追加

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E7%9A%84%E6%95%B0 抜粋追加
代数的性質
代数的数に対する加減乗除の結果は、やはり代数的数であるので、代数的数全体からなる集合は体をなし、\overline{\mathbb{Q}} と表す。

\overline{\mathbb{Q}} の性質
\overline{\mathbb{Q}} は、有理数体の無限次元の代数拡大体である。また、代数的数を係数とする 0 ではない多項式の根は代数的数であるので、\overline{\mathbb{Q}} は、代数的閉体である。
さらに、有理数体を含む任意の代数的閉体は、\overline{\mathbb{Q}} を含むので、有理数体の代数的閉包でもある。

集合論的性質
カントール (G. Cantor) は、1874 年に、\overline{\mathbb{Q}} が可算集合であることを証明した。その後、彼は複素数全体の集合が非可算集合であることを証明し、ほとんど全ての複素数は、代数的数ではない、つまり超越数であることが判明した。

しかしながら、代数的でない式によって与えられた数が代数的数であるか否かを判定することは大変難しく、オイラーの定数のように古くから知られていながら、代数的数かどうかどころか、有理数かどうかかすら分かっていない数もある。
404 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 15:49:58.14 ID:CATUi/5b.net: >>389　追加

ここは、初心者も来ると思うので、下記でもご参照（補足：これ読んでも整理されていないから、あまり時間を掛けないようにご注意）
http://eman.hobby-site.com/cgi-bin/emanbbs/browse.cgi/150111004b223ebd/res30
可分でも何故ベクトルが非可算無限　作れるのか？
405 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 15:53:55.16 ID:CATUi/5b.net: >>404　追加

これ、ハメル基底関連な
”１．「R の Q 上の基底はハメル基底と呼ばれ、非可算無限の濃度を持つ。スレ主はその理由はわかってるの？」：はい、分かりません ”
406 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 15:59:06.20 ID:Pt6N2tUG.net: 正の実数全体のなす乗法群を R+ とする。
a,b を a < b なる正の実数とし、閉区間 [a,b] で生成される R+ の部分群を G とおく。

まず、任意の c∈[a,b] に対し c/a∈G である。
区間 [a,b] に属する数を a で割った数全体の集合は、区間 [1,b/a] に等しい。
したがって　[1,b/a]⊂G、特に 1∈G
なお、a < b より 1 < b/a である。

さて、r を 1 より大きい任意の実数とする。
　lim[n→∞] r^(1/n)=1
であり、数列 {r^(1/n)} は単調減少だから、十分大きなある n で
　1 < r^(1/n) < b/a
となる。これは
　r^(1/n)∈[1,b/a]⊂G
を意味し、したがって r=(r^(1/n))^n∈G

0<r<1 なる実数 r については、1/r > 1 より 1/r∈G
したがって r∈G

以上から G=R+ □
407 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 16:24:13.27 ID:Kj5to7DQ.net: ＞r を 1 より大きい任意の実数とする。
に対して
＞　r^(1/n)∈[1,b/a]⊂G
が真なのは、nが十分大きいときだけだね
408 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 16:37:11.21 ID:Pt6N2tUG.net: 「十分大きなある n で」以降は n をその値に固定してると思って読んでくれ
409 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 16:51:05.76 ID:xymY1OtG.net: >>377
＞というか、今まで条件を使わなくても矛盾が生じれば正しい議論になる
＞とばかり思っていた。

なに言ってるんだコイツ。矛盾が生じれば背理法が成立して万々歳。
その一方で、お前の議論は間違っていて矛盾が示せてない。それだけのこと。
俺が言っていることは

・証明 A が正しくて、なおかつ A の中で条件 P が実際には使われてないなら、
　その証明文 A の文中から条件 P を削除した新しい証明文 A’もまた正しい証明となる

ということに過ぎない。これをお前の証明に適用すると、A’に相当する証明が
明らかに反例を持っているので、もともとの A (＝お前の証明) も間違っている、というわけ。

＞一体、何にそういうことが書いてあるんだ？

たぶんお前は、俺の言っていることが理解できていない。
でなければ、そんな質問が出てくるわけが無い。
410 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 17:05:31.19 ID:Kj5to7DQ.net: >>408
了解。問題無いようだ。
411 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 17:06:04.47 ID:xymY1OtG.net: >>382
ややや。どこかで同じ内容の文章を見たことがあるぞ。

＞私は、或る条件をみたすような任意の有理数が超越数になる
＞という奇妙な現象を発見している(詳細は書かない)。
＞本来は、或る条件を満たすような任意の実数について成り立つ命題である。

だったら、その条件を満たすような有理数は存在しないんだろう。
その場合、「仮定が偽である命題は常に真である」ことを用いて、その命題は「真」となる。

具体例を挙げる。

「有理数 x が x^2－2＝0 という条件を満たすならば、x は超越数である」

という命題を考えると、この命題は「真」である。なぜなら、x^2－2＝0 を満たす
有理数 x は存在しないので、これは「仮定が偽の命題」となるからだ。
仮定が偽の命題は常に真であるから、この命題は真なのだ。
412 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 17:08:30.50 ID:Db4+HkFH.net: ガロア以前に松坂の「数学読本」でも読んだ方が良さげ
413 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 17:56:59.94 ID:CATUi/5b.net: >>406
どうも。スレ主です。
了解。細かい点は別にして、証明の筋は同じだ
r^(1/n)で、nを十分大きく取ると、１に近づく
一方、連続区間があれば、十分１に近い比が取れる
だから、任意の実数0<ｒがＧに含まれる

開区間でも同じことは成り立つ
414 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 18:01:20.22 ID:CATUi/5b.net: >>413
だから、連続区間を含むと、部分群は正の実数を全て含むようになる
正の実数の部分集合で、連続区間を含む場合、Ｇは正の実数全体と一致し、同じになる
ここの処理が、>>392の問題２の「連続濃度の”べきの濃度”を持つ」を示すときに悩ましい
415 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 18:02:16.82 ID:3fIdtYxU.net: 天体現象に隠されたイエス・キリストの正体

zeitgeist／(時代精神) 日本語字幕版

https://www.youtube.com/watch?v=UMZYZM4tL6o#t=46
https://www.youtube.com/watch?v=demGXvUgT14
https://www.youtube.com/watch?v=BpiPmt_KO2I
https://www.youtube.com/watch?v=1LvSumf1fAE
416 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 18:05:52.39 ID:CATUi/5b.net: >>414 つづき

>>392の問題２で、複素数の場合も似た事情がある
但し、複素数場合は、連続区間でも面積的広がりを持つ場合は、ゼロを除く複素平面全体に群が広がる
偏角θが一定で、絶対値のみ連続の場合は、ちょっと違う挙動みたいだね
まあ、ここらをどう処理するかを考えている・・
417 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 18:08:59.15 ID:Pt6N2tUG.net: じゃあ問題

(1)
G,G' を群とし、f:G→G' を準同型写像とする。
f の核 Ker(f) が G の正規部分群であることを示せ。
なお f の核とは、G' の単位元を e' としたときの
集合 {g∈G | f(g)=e'} のことである。

(2)
G を群とする。
　C(G)={g∈G | gh=hg ∀h∈G}
とおき、これを G の中心と呼ぶ。
C(G) が G の正規部分群であることを示せ。

(3)
G を群とし、N を G の正規部分群とする。
剰余群 G/N における演算の定義を述べ、
それが well-defined であることを示せ。

(1)(2)は「正規」だけでなく部分群であることの証明もあればうれしい。
(3)は定義を知らなければスルーで。知識でなく理解を問いたいので。
418 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 19:08:04.60 ID:CATUi/5b.net: >>404-405　ハメル基底追加

１．ハメル基は、具体的な構成はできない　（英語のサイトもあったような。Smithさん”we have little use”と）
www.math.sci.hokudai.ac.jp/~ishikawa/topology/topology10.pdf 北大石川剛郎２０００年
問．プリントの質問ですが，ハメル基とは具体的にはどんなものなのでしょうか？R をQ 上のベクトル空間としたときの基とはいったい何ですか？何けた続くかわからない無限に続く数をそんな１次結合で表される基底があるのでしょうか？
答．存在はしているが，具体的にはわからないもの，と考えるとよいと思います．あれば安心，保険のようなものでしょうか．

http://www.math.lsa.umich.edu/~kesmith/ Karen E. Smithさん女性で写真があった
http://www.math.lsa.umich.edu/~kesmith/teach.html
Math 513: Linear Algebra, University if Michigan, Winter 1999 Supplementary Write up: Bases for Infinite Dimensional Vector Spaces
http://www.math.lsa.umich.edu/~kesmith/infinite.pdf
BASES FOR INFINITE DIMENSIONAL VECTOR SPACES MATH 513 LINEAR ALGEBRA SUPPLEMENT Professor Karen E. Smith University of Michigan.
"There is no practical way to find a Hamel basis in general, which means we have little use for the concept of a basis for a general innite (especially uncountable) dimensional vector space."

２．線形な1変数関数がf(x)=axに限ることの反例を構成するのに使ったらしい（下記）
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1298332077
2012/12/7 線形な1変数関数がf(x)=axに限ることの証明です。
ベストアンサーに選ばれた回答
これに関してはハメル基（Hammel basis）という有名な反例がよく挙がります。このハメル基というものを構成するときに選択公理を用いるので、選択公理から出る"病的な"の一例としてもよく挙げられます。

３．Hamel基？
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1364772673 2011/6/18 Hamel基について質問があります！
419 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 19:08:56.13 ID:CATUi/5b.net: >>418 追加

４．Hamel bases and measurability ？濃度の話にはあまり役に立たないかも知れないが・・
https://www.imsc.res.in/~sunder/ SUNDER'S HOME-PAGE The Institute of Mathematical Sciences (インド？)
https://www.imsc.res.in/~sunder/mgnvss.pdf Hamel bases and measurability, with M.G. Nadkarni, Mathematics Newsletter, vol. 14, No. 3, (2004).
420 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 19:11:58.67 ID:Kj5to7DQ.net: >>417
さすがにそこまで基本的な問題なら間違えようがないだろう
421 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 19:14:31.76 ID:CATUi/5b.net: >>417
どうも。スレ主です。
あれ？　３問か

(1)は、基本問題だね。秒殺と行きたいが、無理。念のため本見るよ
(2)も、同じ。基本問題だね。
(3)も同じか。well-definedね

本みないでも、wikipedia程度で済みそうだが・・
(3)が一番簡単かな？　well-definedだけ確認かな・・
422 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 19:15:05.73 ID:CATUi/5b.net: >>420
同意ｗ
423 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 19:18:32.02 ID:CATUi/5b.net: >>421
一応これを押さえて・・
http://ja.wikipedia.org/wiki/Well-defined
well-defined は、ある概念が数学的あるいは論理学的に特定の条件を公理に用いて定義・導入されるとき、その定義（における公理の組）が自己矛盾をその中に含み持たぬ状態にあることを言い表す修飾語句である。
また、ある概念の定義をする場合、そう決めることによって、何も論理的な矛盾なく上手くいくということ（定義の整合性）が確認されているということを言い表す言葉である。
文脈により、「うまく定義されている」「矛盾なく定まった」「定義可能である」などと表現されることもある。

well-defined は「状態」を表す形容詞であるが、日本語の定訳はなく慣例的に形容詞と動詞の複合語に訳されるか、そのまま形容動詞的に「well-defined である」といった形で用いる。
名詞形 well-definedness などもあり、これを well-defined 性と記すことはできるが日本語訳としてこなれたものは特には存在しない（文脈によっては「定義可能性」などで代用可能である）。
概要

以下の二つが示せたとき、定義が well-defined であるという[1]。

(1) 定義で使われる方法が実際にうまくいく。
(2) 定義がもともとの対象から複数定まる対象を経由して行われる場合、結果がもともとの対象にのみ依存する。

一つの対象のある表示に対して定義が満たされるが、別のある表示については満たされない状況であるとか、
一つの対象の異なる表示を考えると定義の示す結果がそれぞれの表示に対して異なるといった状況であるならば、与えられた定義はその対象自体に対する定義として不適切 (ill-defined) である。
424 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 19:32:27.58 ID:I5d5jn+t.net: (1)ができないのに(3)が一番簡単って、さすが笑わせてくれる
425 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 19:44:05.45 ID:CATUi/5b.net: >>417
Q(3)
G を群とし、N を G の正規部分群とする。
剰余群 G/N における演算の定義を述べ、
それが well-defined であることを示せ。

Q(3)
g1,g2・・・∈G、積を*で表す。また、n1,n2・・∈Nとする
剰余群 G/Nの要素を、g1N,g2N・・・と表す。g1N＝{g1*n1,g1*n2,・・・}以下同様
但し、g1,g2・・・は、上記Nでの剰余類別の代表元とする

剰余群 G/Nの積を、giN*gjN＝gi*gjNで表す
∵giN*gjN＝gi*(N*gj)*N＝gi*(gj*N)*N＝gi*gjN
（正規部分群であるから、gjN＝Ngjなどが成り立つ）
単位元は、N自身とする。あるいは、eNと解する。実際、eN＝Nであるから

あと、逆元の存在を言って、well-defined の話か・・
まあ、メシ食って考えるわ
426 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 20:47:56.94 ID:Pt6N2tUG.net: いや本とかwikipediaとか見るなって
427 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 20:54:15.35 ID:Pt6N2tUG.net: >>425
定義は
＞剰余群 G/Nの積を、giN*gjN＝gi*gjNで表す
までで十分。
そのあとの
＞∵giN*gjN＝gi*(N*gj)*N＝gi*(gj*N)*N＝gi*gjN
これは集合としての計算だと思えば N*N=N は一般には成り立たないので×
剰余類としての計算だと思えば gi*(N*gj)*N などが出てくるはずがないのでやはり×

それから、単位元とか逆元とかは well-defined の証明の後にするべき。
そもそも演算になってるかどうかわからないのに単位元も何もない。
428 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 21:02:21.74 ID:Pt6N2tUG.net: あとそういえば
G/N は非可算無限集合かもしれないから、g1,g2,...という添え字付けは不適切
429 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 21:05:06.49 ID:CATUi/5b.net: >>425 つづき
メシ食って考えた

逆元の存在：
任意のgi（gi?N）に対して、逆元のgi^(-1)?Nが言える
∵逆元のgi^(-1)∈Nなら、Nは群なのでgi∈Nとなるので矛盾

よって、剰余群 G/Nの積の定義、単位元、逆元の存在は示した。あと、結合法則があるが、元の群の積を流用しているので成り立つ。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4_%28%E6%95%B0%E5%AD%A6%29
群定義

well-defined：
１．>>423の「(1) 定義で使われる方法が実際にうまくいく。」は、終わった
２．>>423の「(2) 定義がもともとの対象から複数定まる対象を経由して行われる場合、結果がもともとの対象にのみ依存する。」を示すには、>>425”g1,g2・・・は、上記Nでの剰余類別の代表元”が一意であることを示せばよい
430 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 21:17:53.95 ID:CATUi/5b.net: >>429 つづき

３．正規部分群の定義：「G における H を法とする左剰余類全体の成す集合と右剰余類全体の成す集合とが一致する。」を認めることとする
４．そうすると、左剰余類あるいは右剰余類が、それぞれ一意に定まることを言えば、剰余類は一意に定まる
５．そうすると、>>423のwell-definedの(2)がいえるので、well-definedのwikipediaによる定義を満たすことになる

「左剰余類あるいは右剰余類が、それぞれ一意に定まる」が、ちょっとね
ラグランジュの定理の証明などを使うと思ったが、ちょっと考えてみるよ
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4_%28%E6%95%B0%E5%AD%A6%29
剰余類・剰余群
部分群 H と G の元 g について、gH はある G の部分集合になる。2 つの g, g' について gH, g'H は全く一致するか交わらないかのいずれかである。従って、

G = \bigcup_{\lambda \in \Lambda} g_{\lambda} H

と直和に書き表せる。それぞれの gH を（H を法とする g の属する G の）剰余類（または傍系）という。|gH| = |H| が成り立つので結局 |G| = |Λ||H| が成り立つ。
G が有限群ならばこれは H の位数が G の位数を割り切るということをいっている（ラグランジュの定理）。
特に素数位数の群は巡回群である。|Λ| を [G: H] とか (G: H) などと書いて H の（G に対する）指数という。
431 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 21:21:18.71 ID:Kj5to7DQ.net: おいおいスレ主さん大丈夫か？
432 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 21:30:12.21 ID:CATUi/5b.net: >>417 つづき (>>429は残して（その内なんか思いつくかも）)

これ行ってみようか？
Q(2)
G を群とする。
　C(G)={g∈G | gh=hg ∀h∈G}
とおき、これを G の中心と呼ぶ。
C(G) が G の正規部分群であることを示せ。

A(2)
よく見ると、簡単かな？
えーと、Q(3)みたく、単位元と逆元がC(G)が含まれることを言えれば、結合則は自明で良いでしょ
433 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 21:41:09.42 ID:Pt6N2tUG.net: >>417は
・群の定義
・準同型写像の定義
・正規部分群の定義
（・剰余群の定義）
のみを知っていれば、あとは考えればわかるように選んだ。
なので他の文献は参照しないでやってみてほしい。

>>432
部分群であるためには、あとは積について閉じている、すなわち
g1,g2∈C(G) ならば g1g2∈C(G)
も必要。
434 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 21:59:51.28 ID:CATUi/5b.net: >>432 つづき

単位元：
eh=he ∀h∈Gだから、e∈C(G)

逆元:
gh=hg ∀h∈Gから、g^(-1)∈C(G)を導く

gh=hgに、
g^(-1)を掛けて、g^(-1)gh=g^(-1)hg→h=g^(-1)hg
g^(-1)を逆から掛けて、同様に、h=ghg^(-1)が成り立つ

gh=hgに、g^(-2)=g^(-1)g^(-1)を掛けて
g^(-1)h=g^(-2)hg=g^(-2)(ghg^(-1))g=g^(-1)h=g^(-1)ghg^(-1)=hg^(-1)
つまり
g^(-1)h=hg^(-1)。よって、g^(-1)∈C(G)

ここで、結合則は群Gでの演算則を使った
C(G)でも、結合則は群Gと同様とする
よって、C(G)は群を成す
定義より、gh=hg ∀h∈Gであるから、C(G)は正規部分群
435 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 22:04:49.73 ID:CATUi/5b.net: >>433
どうも。スレ主です。

>なので他の文献は参照しないでやってみてほしい。

ああ、いまのところ、参照しているのは、群の定義の確認くらいだ
オリジナルで間に合っているよ
ところで、準同型写像の定義か・・、ああ、あれね。積とか保存される写像だったけね・・
436 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 22:50:57.76 ID:CATUi/5b.net: >>417
では、これ

Q(1)
G,G' を群とし、f:G→G' を準同型写像とする。
f の核 Ker(f) が G の正規部分群であることを示せ。
なお f の核とは、G' の単位元を e' としたときの
集合 {g∈G | f(g)=e'} のことである。

A(1)
１．準同型も、群環体といろいろだが、要は代数構造が保存されると
２．群準同型：f(xy)=f(x)f(y)と積の構造が保存されると
３．それで、証明の方針としては、
　保存則は自明として
　１） Ker(f) が群を成す。つまり、単位元と逆元の存在
　２）群が正規部分群であることを示す。この場合は、「N=gNg^-1」の形が使い易いだろう
437 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 22:53:35.88 ID:Fg5OOJTO.net: 絶賛迷走中
438 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 23:01:12.04 ID:Pt6N2tUG.net: >>434
正規であることの証明が本当に理解できているのか怪しい感じだが、まあ間違ってはないか。
積について閉じていることの証明がまだだ。

well-defined を知らないんだったら(3)は無理にやらなくていいよ。
知識を問いたいわけじゃないから。
well-defined の意味を知らずに>>423だけ見て正しい証明を書くなんて、少なくとも俺にはできない。
439 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 23:21:09.78 ID:CATUi/5b.net: >>436 つづき

Ker(f) が群を成す。つまり、単位元と逆元の存在：
f(e)=e' でなければならない。（e∈G、e'∈G'）
∵f(e)=bとする。f(a)=a' とすると、f(a)=f(ea)=f(e)f(a)=ba'=a'。ゆえにb=e'。

次に、g∈Ker(f) からg^(-1)∈Ker(f) を導く
g∈Ker(f) からf(g)=e'。このときf(g^(-1))=bとする。f(e)=e' より
e'＝f(e)=f(gg^(-1))=f(g)f(g^(-1))=e'b=b。即ちb＝e'から、g^(-1)∈Ker(f) が言える

g1,g2∈Ker(f) ならば g1g2∈Ker(f) も必要？まあ、大学の試験なら書いてないと減点だろうね
g1,g2∈Ker(f) から、f(g1)=e' ＆ f(g2)=e'で、f(g1g2)=f(g1)f(g2)=e'e'=e'。よって、g1g2∈Ker(f) が言える
440 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 23:40:21.42 ID:CATUi/5b.net: >>439 つづき

群が正規部分群であることを示す。「N=gNg^-1」の形を使う
n∈Ker(f) とする
f(g)=g' (g∈G、g'∈G')とする。このとき、f(g^-1)=g'^-1である
（∵e'=f(e)=f(gg^-1)=f(g)f(g^-1)=g'f(g^-1)であるから、g'^-1を左から掛けて、f(g^-1)=g'^-1を得る）
f(gng^-1)＝f(g)f(n)f(g^-1)=g'e'g'^-1=g'g'^-1=e'

つまり、gng^-1∈Ker(f) であるから、正規部分群の定義を満たす
441 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 23:41:36.77 ID:Kj5to7DQ.net: >>440
これは酷い
442 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 23:53:10.04 ID:Pt6N2tUG.net: >>439 >>440
うん、いいんじゃないかな

>>441
逆の包含を言ってないってことか？
それは問題ない。が、スレ主が分かっててやってるかは知らないので説明はスレ主に譲る。
443 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 23:58:31.12 ID:CATUi/5b.net: >>438

>積について閉じていることの証明がまだだ。

そうだね。大学の定期試験なら減点だろう
g1,g2∈C(G) ならば g1g2∈C(G) >>433だね

g1,g2∈C(G) ならば定義より、g1h=hg1 ＆ g2h=hg2
よって、g1g2h=g1(g2h)=g1(hg2)=(g1h)g2=(hg1)g2=hg1g2 が成り立つから、 g1g2∈C(G)が言える
444 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 23:59:22.77 ID:Kj5to7DQ.net: わかっていようがいまいが、それをきちんと示さなければ、定義を満たしていることを示したことにならない。
445 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/08(日) 00:03:00.51 ID:AXAfK1QO.net: >>428

>G/N は非可算無限集合かもしれないから、g1,g2,...という添え字付けは不適切

お言葉なれど、そうでもないと思う
ヒントは、選択公理
つまり、非可算無限集合から適当に選んだと解釈できる
446 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/08(日) 00:03:54.50 ID:AXAfK1QO.net: >>444
いやいや、お説ごもっともだ
おっしゃる通りだね
447 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/08(日) 00:15:28.80 ID:AXAfK1QO.net: >>438

>well-defined を知らないんだったら

全く知らないわけじゃないが、well-defined は、多義性があると思うんだ
人によって（というか本とか場面で）微妙にね

で、共通認識として、>>423を出した。この線でやってみようと
>>417(3)で、一般に剰余類が、右剰余類が１通り、左剰余類が１通り、計２通り。正規部分群なら、１通り。
それで、>>423の「(2) 定義がもともとの対象から複数定まる対象を経由して行われる場合、結果がもともとの対象にのみ依存する。」に合うだろうと

正規部分群の性質を強く使えば、１通りはすぐ言えそうだが
右剰余類が１通り・・辺りが、うまく言えない・・
448 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/08(日) 00:21:30.38 ID:AXAfK1QO.net: >>429

文字化けしとるね

（訂正）
任意のgi（gi?N）に対して、逆元のgi^(-1)?Nが言える
↓
任意のgi（gi not∈N）に対して、逆元のgi^(-1) not∈Nが言える
449 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/08(日) 00:24:35.14 ID:AXAfK1QO.net: >>441-442
逆の包含？ちょっと意味が取れない
450 ：１３２人目の素数さん：2015/03/08(日) 00:27:24.55 ID:P7UvCxav.net: やっぱわかってないんかーい

スレ主は正規部分群の定義に「N=gNg^-1」を用いた。
しかし>>440の論証では N⊂gNg^(-1) しか言えていない。
逆はどうなのよ？って話。
451 ：１３２人目の素数さん：2015/03/08(日) 00:28:04.57 ID:VjCS44NK.net: >>449
二つの集合が等しいとは？
452 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/08(日) 00:33:28.88 ID:AXAfK1QO.net: >>427

>＞∵giN*gjN＝gi*(N*gj)*N＝gi*(gj*N)*N＝gi*gjN
>これは集合としての計算だと思えば N*N=N は一般には成り立たないので×
>剰余類としての計算だと思えば gi*(N*gj)*N などが出てくるはずがないのでやはり×

まあ、定義と表現の関係だから、>>425程度で良いと思うよ
N→∀n∈Nとして

∵giN*gjN＝gi*(N*gj)*N＝gi*(gj*N)*N＝gi*gjN
　↓
∵gi∀n*gj∀n＝gi*(∀n*gj)*∀n＝gi*(gj*∀n)*∀n＝gi*gj∀n

だと。２ちゃんねるで、TEXなみの表現を求められてもね
上付き下付の文字も使えないし
453 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/08(日) 00:35:46.46 ID:AXAfK1QO.net: >>450
なるほど
ご指摘ありがとう
考えてみるよ
454 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/08(日) 00:43:37.16 ID:AXAfK1QO.net: >>450

>スレ主は正規部分群の定義に「N=gNg^-1」を用いた。
>しかし>>440の論証では N⊂gNg^(-1) しか言えていない。
>逆はどうなのよ？って話。

>>440の「n∈Ker(f) とする」→「∀n∈Ker(f) とする」
でどう？
455 ：１３２人目の素数さん：2015/03/08(日) 01:00:52.80 ID:VjCS44NK.net: >>454
「n∈Ker(f) とする」と書けば普通「∀n∈Ker(f) とする」の意味だよ
逆に、ある特定の n∈Ker(f) でだけ gng^-1∈Ker(f) だとしたら、g・Ker(f)・g^-1⊂Ker(f) さえ言えていないことになる。
456 ：１３２人目の素数さん：2015/03/08(日) 01:09:56.12 ID:P7UvCxav.net: >>452
>>427ではっきりとは言わなかったがそもそもその議論は不要。
giN*gjN＝gi*gjN は定義であって、証明するものじゃない。

あと N*N=N は一般には成り立たないと書いたが間違いだった。すまない。
(環のイデアルについて似たようなことがあったので混同してた)
457 ：１３２人目の素数さん：2015/03/08(日) 01:11:12.44 ID:P7UvCxav.net: >>450の包含も逆じゃん・・・
今日はもう寝よう
458 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/08(日) 07:20:07.61 ID:AXAfK1QO.net: >>450 >>454-457
どうも。スレ主です。

起きてきました
しかし、みなさんレベルが高いね
びっくりしました

”>>440の「n∈Ker(f) とする」→「∀n∈Ker(f) とする」”
ここね、実はちょっと気になっていたんだ。どう書くべきか。∀を付けるか、別の記号か。あるいは日本語で、”任意の”とするか
が、面倒なので１秒でスルーした

そこをすかさず突っ込みが入る

>スレ主は正規部分群の定義に「N=gNg^-1」を用いた。
>しかし>>440の論証では N⊂gNg^(-1) しか言えていない。
>逆はどうなのよ？って話。

そうそう。数学科だったら、そういうべきだよね
さすがです
459 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/08(日) 07:34:21.81 ID:AXAfK1QO.net: >>455
どうも。スレ主です。

>「n∈Ker(f) とする」と書けば普通「∀n∈Ker(f) とする」の意味だよ

もともと、そうですよ
当然ながら

が、>>458で書いたように、丁寧に書けば、３通りくらいの表現は浮かんだけど、「めんどう」と思ったのでスルーした
実際、∀なんて、いま記号一覧開いて入力しているし、他の文からコピペできるけど、手が止まるからね

が、そこに敏感に反応するのは、お二人ともレベルが高いです
「N=gNg^-1」→N⊂gNg^(-1) ＆ N⊃gNg^(-1) が瞬時に浮かんでいるわけね。さすが
こっちは、無意識に、頭に浮かんだKer(f) のイメージで流して書いているから、＝なら集合の包含を二つ（不等式なら＞と＜と）が浮かんでない。まだ甘いね
間違ってはいないが、＝使うならそう見られているという意識は、なかったね、正直
460 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/08(日) 07:44:57.17 ID:AXAfK1QO.net: >>456
>>>427ではっきりとは言わなかったがそもそもその議論は不要。
>giN*gjN＝gi*gjN は定義であって、証明するものじゃない。

そうそう。さすがです
定期試験とか、院試とか
ここらは見られるよね（余談だが、だいたいああいう試験は、「基本ができているか？」はしっかり見られるんだ）
専門の論文なら、省略の決まった流儀があるはず

適当に流した。”giN*gjN＝gi*gjN ”をきちんと集合の要素から、丁寧に説明する。群論入門なんかに普通に書いてあるように
が、つい丁寧にが、面倒になってね。手抜きしたら、結局おかしいよね。後から見ると。手抜きしちゃいかんね
461 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/08(日) 09:28:20.82 ID:AXAfK1QO.net: >>447
well-definedに戻る

>>423の「(2) 定義がもともとの対象から複数定まる対象を経由して行われる場合、結果がもともとの対象にのみ依存する。」を示すことにする

”複数定まる対象を経由して行われる場合”は無視して、”結果がもともとの対象にのみ依存する”、つまり一意になることを示そう

１．剰余類別 G/Nが一意になることを示す。
　>>438"well-defined を知らないんだったら(3)は無理にやらなくていいよ。"と許可があったので、エムポストニコフを参照する
http://www.amazon.co.jp/dp/B000JAFUOC ガロアの理論 (1964年) エム・ポストニコフ (著), 日野寛三 (著)
（P25より）(ここでは、本に合わせて、群Gを部分群Hで類別することとする)
　１）g∈Hgで、かってなg'∈Hgを取る
　２）定義より、g'=h'g ここに、h'は部分群Hのある元
　３）元g'の剰余類Hg'を考える
　４）任意の元は、hg'、即ちhh'g, h∈Hと書ける
　５）hh'∈Hであるから、Hg'の任意の元はHgに属する
　６）即ちHg'⊂Hg
　７）一方、任意の元 hg∈Hgは、h(h')^-1h'g=h(h')^-1g'と書ける（(h')^-1は、h'の逆元を示す）
　８）h(h')^-1∈Hであるから、hg∈Hg'
　９）このようにして、Hg'⊃Hg

以上より、Hg'＝Hgが証明された。すなわち、剰余類Hgの任意の元g'の剰余類Hg'はHgと一致する
即ち、２つの剰余類が交われば、これらは一致する
また、剰余類Hgは、g∈Hのとき、そのときに限り部分群Hと一致する。（部分群Hは単位元eの剰余類と見なすことができる）
462 ：１３２人目の素数さん：2015/03/08(日) 09:46:21.19 ID:AXAfK1QO.net: >>461 つづき

前スレで、群Gを部分群Hで類別することの一意性はほぼ示されているが、だめ押し

整列可能定理（下記）を認めるとする
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E5%88%97%E9%9B%86%E5%90%88
（選択公理に同値な）整列可能定理は、任意の集合が整列順序付け可能であることを主張するものである。整列可能定理はまたツォルンの補題とも同値である。
（引用おわり）

群Gの要素を、整列可能定理により、g1,g2,g3,・・・と並べる
部分群Hによる類別を頭から行う
類別した要素は、取り除く
これを繰り返して、全ての群の要素を類別する
この類別は一意である（∵手順が一意であるから。なお、一意の証明（例えば一意でないとして矛盾を導く）は思いついていないが、考えればできるでしょう・・（＾＾）

２．群Gを部分群Hで類別することが証明されたので、剰余類別 G/Nも一意になる（右剰余類別、左剰余類別とも一意であり、正規部分群だから両者は一致する）
（証明おわり）

よって、”結果がもともとの対象にのみ依存する”が言えたので、>>423の意味でwell-definedである
463 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/08(日) 09:56:15.17 ID:AXAfK1QO.net: >>447 補足

>正規部分群の性質を強く使えば、１通りはすぐ言えそうだが

先に群Gを部分群Hで類別することの一意性から、１通りを言ったが
正規部分群の性質から、商群を成すを使うと、二通りの類別、例えばHg'≠Hg（g'≠g）のような要素が出てくると
例えば、群を成すから、逆元も異なるし、積も異なるしと、全体が異なってしまう・・

そういう筋で証明できると思うんだが・・
実際に実行するとなると、大変そうなのでやめた
464 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/08(日) 09:58:01.61 ID:AXAfK1QO.net: >>463 訂正

正規部分群の性質から、商群を成すを使うと、二通りの類別、例えばHg'≠Hg（g'≠g）のような要素が出てくると
　↓
正規部分群の性質から、商群を成すを使うと、二通りの類別、例えばNg'≠Ng（g'≠g）のような要素が出てくると
465 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/08(日) 10:01:08.53 ID:AXAfK1QO.net: >>461 補足

群Gを部分群Hで類別することについては、ラグランジュの定理の証明で、どの本にでも書いてあるが
エム・ポストニコフは、きわめて簡素かつ簡明に記載しているので、個人的には気に入っているんだ
466 ：１３２人目の素数さん：2015/03/08(日) 10:03:00.93 ID:J8kzGD0a.net: スレ主の脳が極めて単純に出来ていることがよく分かった。
467 ：１３２人目の素数さん：2015/03/08(日) 10:25:38.63 ID:ndRfUVoG.net: >>411
>矛盾が生じれば背理法が成立して万々歳。
そうでないと証明出来ない命題があるから、そうだよな。
今まで、議論の中で条件を背理法の枠組みで使っていなかった訳か。
知らぬ間に、マヌケな幻惑をした。

>だったら、その条件を満たすような有理数は存在しないんだろう。
いや、実数論の有理数の稠密性が気になって、素数pは可算無限個あるから、
pを分母に持つ有理数q/p＞0を取ったら任意の有理数a＞0に幾らでも近似出来て、
あたかもディオファンタス近似の理論の反例になるとも見えるような、
不等式を使った実数(有理数や代数的無理数も含む)の奇妙な評価が評価が得られているんだよ。
そういう訳で、ディオファンタス近似の反例になるのではないかと思って、
いまいち気になっていた。有理数の稠密性は無理数の構成の前提になっているから、
数論のディオファンタス近似の理論は、本当に正しいだろうか？　と思ってさ。
ディオファンタス近似の理論は有理数の稠密性に矛盾していない訳か。
468 ：１３２人目の素数さん：2015/03/08(日) 10:27:38.94 ID:ndRfUVoG.net: スレ主よ、おはよう。
469 ：１３２人目の素数さん：2015/03/08(日) 10:32:17.59 ID:ndRfUVoG.net: >>411
>>467の「任意の有理数a＞0」は「或る条件を満たす任意の有理数a＞0」の間違い。
470 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/08(日) 10:32:32.83 ID:AXAfK1QO.net: >>419 ハメル基底追加

５．ハメル基底の説明が詳しい（が、Hの濃度が非加算無限まで言っていない。画竜点睛を欠くの感かな？でも良いす）
http://www2.itc.kansai-u.ac.jp/~afujioka/class.html
藤岡敦のホームページ
http://www2.itc.kansai-u.ac.jp/~afujioka/2014/st1/st1.html
２０１４年度春学期「集合と位相１」
http://www2.itc.kansai-u.ac.jp/~afujioka/2014/st1/140626st1.pdf
§１１．選択公理　６月２６日分資料（６月２０日版）

(余談：googleではなぜか下記の古い方がヒットした)
http://www2.itc.kansai-u.ac.jp/~afujioka/2013/st1/st1.html
２０１３年度　春学期　集合と位相１
http://www2.itc.kansai-u.ac.jp/~afujioka/2013/st1/130624st1.pdf
§１１．選択公理　６月２４日分資料（６月１８日版）
471 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/08(日) 10:33:27.84 ID:AXAfK1QO.net: >>468
どうも。スレ主です。
その声は、”おっちゃん”だね
おはようさん
472 ：１３２人目の素数さん：2015/03/08(日) 10:35:14.03 ID:w9eWIo7o.net: 休むに似たりの思考
473 ：１３２人目の素数さん：2015/03/08(日) 10:38:07.83 ID:ndRfUVoG.net: >>411
いや、有理直線Qは体でQ^{×}は群だから、>>467は大きな間違いではないな。
474 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/08(日) 11:03:25.42 ID:AXAfK1QO.net: >>404-405 >>418-419 >>470

ここは初学者も来るので、ハメル基についてまとめておく

１．>>404の「可分でも何故ベクトルが非可算無限　作れるのか？」辺りを読むと、おまえら分かってないと。世の中分かってないやつが多い。それが、ハメル基
　（もちろん、おれも分かってないけどｗ）
２．Karen E. Smithさん女性（でも大学教授）下記（要は、あまり実用にならないよ？）
　　"There is no practical way to find a Hamel basis in general, which means we have little use for the concept of a basis for a general innite (especially uncountable) dimensional vector space."
３．もともとは、ハメルさんが、線形な1変数関数がf(x)=axに限ることの反例を構成するのに使ったらしい（正確には”関数方程式f(x+y)=f(x)+f(y)がf(x)=axに限ること”らしい）
４．藤岡敦（関大）などを見れば分かるが、
　　”H をRに対するHamel の基底という. Hamel の基底はベクトル空間に対する基底の概念の特別な場合である.”と
５．結局、Hの濃度が非加算無限は、実数Rが非加算無限であることから導かれると見た
６．つまりは、ハメル基の持つ性質を使って濃度が非加算無限を導くのではなく、Hの構成法から、Rを全て表すためにはHの濃度が非加算無限でなければならないという論理だろう
７．ならば、おっちゃんの出題>>26「複素平面Cの乗法群C^{×}＝C-{0}の正規部分群は非可算無限個存在することを示せ。」に、ハメル基を持ち込むことは本末転倒だろう
８．これは>>334-335への答えであり、>>332への補足だ

だれかが、”嵌める基を使う方が簡単に証明できるんだからあってるだろ ”というから
ちょっと突っ込み入れたら、逃げまくったあげく、ハメル基底も分かってないと（まあ上記１です）
Karen E. Smithさんが正しいと思うぞ

追伸
個人的所感だが、
１．ハメル基のおもしろさは、RがQ係数の有限個のハメル基のベクトル空間と見ることができるというところ
２．しかし、残念ながら、H自身は有限どころか、非加算無限
３．かつ、その具体的構成法は与えられていない・・
（以前書いた超越数の記事などを見ると、もし具体的でなくとももう少し使える構成法を与えたら、なにかの賞でも貰えそうかな・・）
475 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/08(日) 11:22:57.05 ID:AXAfK1QO.net: >>466
どうも。スレ主です。

ID:J8kzGD0aくんか。君にはまだ残っている下記を出題しておく

>>392の問題２
「ゼロを除く複素数の成す乗法群の集合は、連続濃度の”べきの濃度”を持つ」は正しいか否か
理由を付して述べよ

まあ、君には無理だろうがね（笑い）

>スレ主の脳が極めて単純に出来ていることがよく分かった。

お褒めを頂き光栄です。私も、若い頃は複雑なことを考えていた
だが、会社でね、偉くなる人はシンプルな考えをしていると気付いたんだ
「複雑なことを整理してシンプルに考える」。それが出来る人が本当に賢い人だと

君の頭は複雑なままのようだね。下記KISSの原則（法則とも）を、アドバイスしておくよ（笑い）
KISSの原則 http://ja.wikipedia.org/wiki/KISS%E3%81%AE%E5%8E%9F%E5%89%87
（KISS の原則 (KISS principle) とは、"Keep it simple, stupid" （シンプルにしておけ！この間抜け）、もしくは、"Keep it short and simple" （簡潔に単純にしておけ）という経験的な原則[1]の略語。
　その意味するところは、設計の単純性（簡潔性）は成功への鍵だということと、不必要な複雑性は避けるべきだということである。）

（参考）
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/237888.html
simple is best は和製英語ですか？ 2002/03/19
476 ：１３２人目の素数さん：2015/03/08(日) 13:59:35.95 ID:P7UvCxav.net: >>461-465
正直>>462以降は何が言いたいのかよくわからないが、
>>417の出題で意図された"well-defined"は証明できてないと思われる。

g,h∈G に対して、gN * hN = g*hN と定義したが、
別の g',h'∈G が gN=g'N, hN=h'N を満たすとき、
g'N と h'N の積 g'*h'N が元の g*hN と同じでなければならない。
こういうのが成り立つとき、演算が well-defined であるという。

つまり証明すべきことは
「g,g',h,h'∈G に対し、
　　　gN=g'N かつ hN=h'N ならば g*hN=g'*h'N」
という命題。
477 ：１３２人目の素数さん：2015/03/08(日) 19:49:52.16 ID:QjV3TEti.net: >>467
＞いや、実数論の有理数の稠密性が気になって、素数pは可算無限個あるから、
＞pを分母に持つ有理数q/p＞0を取ったら任意の有理数a＞0に幾らでも近似出来て、
＞あたかもディオファンタス近似の理論の反例になるとも見えるような、
＞不等式を使った実数(有理数や代数的無理数も含む)の奇妙な評価が評価が得られているんだよ。

いやいや、同じことだろ。
有理数や代数的無理数は、「実際にはその不等式を満たさない」。
もしくは、その評価自体が間違ってる。

どちらにせよ、詳細がぼかしてある以上は、これ以上は話しても無駄だな。
478 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/08(日) 20:15:14.02 ID:AXAfK1QO.net: >>476
どうも。スレ主です。

>>>417の出題で意図された"well-defined"は証明できてないと思われる。

こっちも、何が言いたいのかよくわからない
出題で意図された"well-defined"を、はっきりさせてくれるかい・・？

と・・、”つまり証明すべきことは
「g,g',h,h'∈G に対し、
　　　gN=g'N かつ hN=h'N ならば g*hN=g'*h'N」という命題。 ”か・・？

いや、そもそも、"well-defined"については、>>423と>>447で２回言及している
後のレスでは、「全く知らないわけじゃないが、well-defined は、多義性があると思うんだ
人によって（というか本とか場面で）微妙にね」だと

そのときに、話を出して貰えれば早かったんだ
まあ、はっきり言わせて貰えば、あなたのいう"well-defined"は、特殊ケースであって（この問題限り）
一般の"well-defined"の概念自身は、個別の問題を離れた概念だと思っている。それが上で述べたことだよ

そして、あなたのいう"well-defined"なら十分終わっている
エム・ポストニコフでね
それを今から示そう
479 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/08(日) 20:21:51.87 ID:AXAfK1QO.net: >>478 つづき

”証明すべきことは
「g,g',h,h'∈G に対し、
　　　gN=g'N かつ hN=h'N ならば g*hN=g'*h'N」という命題。 ”

（証明のあらすじ）
１．実質は、>>461のエム・ポストニコフで終わっている
２．それに、Nが正規部分群であることを組み合わせる
　　この場合、下記の中の「G の任意の元 g に対して gN = Ng が成立する」が使い易いだろう
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E8%A6%8F%E9%83%A8%E5%88%86%E7%BE%A4 正規部分群
480 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/08(日) 20:54:00.09 ID:AXAfK1QO.net: >>479 つづき

”証明すべきことは
「g,g',h,h'∈G に対し、
　　　gN=g'N かつ hN=h'N ならば g*hN=g'*h'N」という命題。 ”

（証明）
１．まず、>>461のエム・ポストニコフより、必要な事項を引用する
２．gN=g'Nより、g'∈Ngで、g'=ng ここに、nは部分群Nのある元とすることができる
３．同様に、hN=h'Nより、h'∈Nhで、h'=n'h ここに、n'は部分群Nのある元とすることができる
４．これと、前述の正規部分群の定義「G の任意の元 g に対して gN = Ng が成立する」を使う
５．正規部分群の定義より、ng＝gn”、n'h＝hn'”となる元n”、n'”がNに含まれている。n”*n'”=n”'”としておく（n”'”はNの元である）。
６．g'*h'N=ng*n'h N=gn”*n'h N＝g(n”*n')h N＝g（n”'”）h N
７．ここで再び、（n”'”）h＝hn”'””となるNの元n”'””を取ることができる（∵Nは正規部分群だから）
８．よって、g（n”'”）h N＝ghn”'”” N＝ghN＝g*hN (ここで、n”'”” N＝Nを使った。また、gh＝g*hは積*の定義より)
９．従って、g'*h'N=g*hN が成り立つ
証明おわり
481 ：１３２人目の素数さん：2015/03/08(日) 21:16:52.96 ID:AJ6aUn3m.net: ていねい？とかしゅってん？とか間違い？とか訂正？とか言い訳はいいけど、
(1)-(3)の回答を1レスに納められないって、いろいろと能力を疑うな
482 ：１３２人目の素数さん：2015/03/08(日) 21:39:12.37 ID:Hjn71QWc.net: 何事も基礎を固めるのが重要だよ
急がばまわれ
何年もアタフタするより、しっかり本を読めばアホでも長くても半年である程度物にできると言うのに……
483 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/08(日) 21:43:26.26 ID:AXAfK1QO.net: >>461
余談だが、エム・ポストニコフの
”Hg'＝Hgが証明された。すなわち、剰余類Hgの任意の元g'の剰余類Hg'はHgと一致する
即ち、２つの剰余類が交われば、これらは一致する”

で、これを書いていて思ったのは、
>　３）元g'の剰余類Hg'を考える
>　４）任意の元は、hg'、即ちhh'g, h∈Hと書ける
>　５）hh'∈Hであるから、Hg'の任意の元はHgに属する
>　６）即ちHg'⊂Hg

あたりのからくりが、>>413のからくりに似ていると
つまり、GやHが群を成すから、一つの元g'からつぎつぎに、群の演算で関連事項が紡ぎ出されて、Hg'⊂Hgに到達するんだと
それと、>>413の「連続区間があれば、群演算で結局任意の実数0<ｒがＧに含まれる」という流れに類似性を感じた・・
484 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/08(日) 21:48:19.33 ID:AXAfK1QO.net: >>481-482
はいはい、口達者なものたちよ

君たちには、まだ残っている下記を出題しておく

>>392の問題２
「ゼロを除く複素数の成す乗法群の集合は、連続濃度の”べきの濃度”を持つ」は正しいか否か
理由を付して述べよ

どうせ、君たちには無理だろうがね（笑い）
485 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/08(日) 21:51:37.95 ID:AXAfK1QO.net: それと、スレを分けているのは、テクニックだ
どうせ、いままで１０００には到達していないんだし

スレの番号が上がる方が、勢いがあると思われるｗ
それに詰めて書くと、君たち短文しか読めない人にはつらいだろうと（笑い）
486 ：１３２人目の素数さん：2015/03/08(日) 21:52:46.78 ID:6EmqTtpH.net: >>484
はいはい、口すらまともに使えない人

>>392の問題２
「ゼロを除く複素数の成す乗法群の集合は、連続濃度の”べきの濃度”を持つ」は正しいか否か
理由を付して述べよ

君には、まだ残っている下記を出題しておく
どうせ、君には無理だろうがね（笑い）
487 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/08(日) 22:24:11.39 ID:AXAfK1QO.net: どうも。スレ主です。
>>417の出題者は、はっきりスレ主よりレベル上ですな

>>486のID:6EmqTtpHくんは、はっきり下（笑い）
答えを教えて欲しいと懇願しているのか？　教えてはやらんよ（笑い）
488 ：１３２人目の素数さん：2015/03/08(日) 22:29:22.42 ID:Qm87LPZ3.net: 後藤さんよかったね、おめ☆
489 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/08(日) 22:31:50.47 ID:AXAfK1QO.net: >>417の出題は、一見基本問題だが、普通のテキストでは、おそらく自明ないし簡単に流している部分なんだろう
大学の授業でも先を急ぐから、さらっと流す

おそらく、出題者は、自分で少し考え込んだところを出題したと見た
あまり書物に書いていないが、数学的思考を必要する部分を

それが、さらっと問題として書けるところが、レベルが高いよね
面白い問題だった

ありがとう
490 ：１３２人目の素数さん：2015/03/08(日) 22:33:18.52 ID:8lu3Wqbx.net: はじめの一歩も進めないのに、急ぐとか？
491 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/08(日) 22:50:08.45 ID:AXAfK1QO.net: >>441の人もレベル高そうだね
例の”おっちゃん”の証明を添削している人かな
492 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/08(日) 22:55:08.52 ID:AXAfK1QO.net: >>481と>>482とは、レベル低そうだな
口だけ達者
どうせ、>>484には答えられないと見た
うかつに答えられないよねー
赤っ恥かく可能性があるからねー、君たちレベルなら（笑い）
493 ：１３２人目の素数さん：2015/03/08(日) 22:57:43.45 ID:khTNl2lG.net: >>489
あの問題、どの辺が面白かったの？
494 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/08(日) 23:02:04.58 ID:AXAfK1QO.net: >>490
レスする必要もないのかも知れないが
>>417の問題で書いた証明は、何年も前にどこかで見たことを自分なりにアウトプットしただけよ（つまりは、勉強は一通り終わっていると）
スレ主はガロアではない。自分で群論を考え出す力は無いよ。それは、あなたたちも同じはずだ。テキストを読んで、授業で学んで、宿題をして、試験勉強をして、問題が解ける
495 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/08(日) 23:06:10.97 ID:AXAfK1QO.net: >>493
どうも。スレ主です。

そうだね、やはり問題（３）で、well-defined（結果の一意性）を示すために、エムポストニコフを読み直したことかな、久しぶりに
エムポストニコフの証明は、なんど読んでも鮮やかで、感心するね
496 ：１３２人目の素数さん：2015/03/08(日) 23:08:35.88 ID:il0Z6Fow.net: >>495
(1)がヒントってのはわざとオミットしてたの？
497 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/08(日) 23:09:26.38 ID:AXAfK1QO.net: >>495　補足

(1)(2)は、落ち着いて問題を読んだら、解答はすぐ浮かんだけどね
まあ、この板では証明は書きにくい。逆元なんて手で書けば－１を肩に書けばしまいだが、アスキーで書くとなると一工夫必要だし・・
498 ：１３２人目の素数さん：2015/03/08(日) 23:11:49.27 ID:il0Z6Fow.net: そうなんだ、いろいろとたいへんだね
499 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/08(日) 23:12:24.83 ID:AXAfK1QO.net: >>496
? 誘導問？　気付かなかったね　（大学入試の大問の中の(1)(2)(3)みたいな配列かい？）
個人的には（３）が一番題意が取りやすかった
500 ：１３２人目の素数さん：2015/03/08(日) 23:15:25.67 ID:il0Z6Fow.net: そんなこと言うと、出題者さん泣いちゃうよ＞＜
せっかく親切にしてくれたのに
501 ：１３２人目の素数さん：2015/03/08(日) 23:17:20.31 ID:VjCS44NK.net: (1)の証明って終ったの？
でいろいろ指摘されてたけど
502 ：１３２人目の素数さん：2015/03/08(日) 23:38:34.38 ID:Hjn71QWc.net: キモい
せっかく親切心でレスしてやったのに再び見に来たら罵倒されてるし
数学なんてやめたら？
continueじゃなくて、restartするべきだよ
503 ：１３２人目の素数さん：2015/03/08(日) 23:39:49.64 ID:P7UvCxav.net: 以前、「正規部分群の問題」とか言って出てきたのがちょっとアレだったので
もうちょっとマトモなものをと思って>>417を出した。

>>480
はい、よくできましたっと
(n"'"の置き方をミスってるような気がするが)

>>417の文脈で well-difined ときたら普通は>>476のように解釈すると思うんだが
俺が勉強不足なんだろうか。第三者の意見がないと何とも

>>499
題意取れてなかったじゃないですかー
504 ：１３２人目の素数さん：2015/03/09(月) 18:29:00.33 ID:xxNMxkkG.net: くだらん
あほか？
505 ：１３２人目の素数さん：2015/03/09(月) 20:50:34.73 ID:ar9H3cST.net: http://jbbs.shitaraba.net/sports/42269/
506 ：１３２人目の素数さん：2015/03/10(火) 10:26:58.77 ID:+DhpSksz.net: >>504
スレ主はぱーちくりん
507 ：１３２人目の素数さん：2015/03/12(木) 16:22:42.92 ID:KvT+3nBA.net: >>279
>>239-240は次のように訂正。

[第5段]：任意の2＞s＞1＞t＞0なるs、t∈R＼Qに対してT(s)≠T(t)であることを示す。
確かに任意のθ∈R＼Qに対して群T(θ)は定まる。
矛盾に導くため、或る2＞s＞1＞t＞0なるs、t∈R＼Qが存在して、T(s)＝T(t)であったとする。
すると、T(s)、T(t)は両方共に複素平面Cの単位円周C’上の部分集合であるから、
或る(m,n)∈(Z＼{0})^2が存在して、e^{i(msπ)}＝e^{i(ntπ)}…①。
ここで、自然数a≧2を任意に取る。すると、2＞s＞1＞t＞0から、1＞s/a＞1/a＞t/a＞0
である。また、N∪{0}、Zは両方共に可算無限集合である。よって、
A(s/a)＝{e^{im_1・(s/a)π}|m_1∈Z}、B(t/a)＝{e^{im_1・(t/a)π}|a∈Z}
とおくと、A(s/a)、B(t/a)は両方共に可算無限群である。そして、m_1を整数変数とすると、
f(a,m_1)：B(t/a)∋e^{im_1・(t/a)π}→e^{im_1・(s/a)π}∈A(s/a)
はB(t/a)からA(s/a)への同型写像である。自然数a≧2は任意だから、
aを走らせて考えて、A(s/a)、B(t/a)、f(a,m_1)のa≧2についての各和集合
∪A(s/a)＝{e^{im_1・sπ}|m_1∈Q}、　∪B(t/a)＝{e^{im_1・tπ}|m_1∈Q}、
∪f(a,m_1)＝{f(a,m_1)：B(t/a)∋e^{im_1・(t/a)π}
　　　　　　　　　　　　　　　→e^{im_1・(s/a)π}∈A(s/a)|a∈N＼{0,1}、m_1∈Zは変数}
を、それぞれ、A＝∪A(s/a)、B＝∪B(t/a)、F＝∪f(a,m_1)
とおけば、A、Bは両方共にC’上における可算無限巡回群であり、
Fは自然数a≧2により定まるB(t/a)からA(s/a)への同型写像の可算無限集合である。
508 ：１３２人目の素数さん：2015/03/12(木) 16:26:22.60 ID:KvT+3nBA.net: >>279
(>>507の続き)
各a≧2に対して同型写像f(a,m_1)：B(t/a)→A(s/a)はaにより定まる
から、m_1を有理数変数として、BからAへの写像gを
g：B∋e^{im_1・tπ}→e^{im_1・sπ}∈A　で定義すると、
gはBからAへの準同型である。ここで、e^{i(msπ)}∈T(s)⊂Aであり、e^{i(ntπ)}∈T(t)⊂Bだから、
①から、e^{i(msπ)}＝e^{i(ntπ)}∈A∩Bであり、よってg(e^{i(ntπ)})＝e^{i(nsπ)}
からg(e^{imsπ})＝e^{insπ}…②。一方、e^{i(-m)sπ}∈T(s)⊂Aであり、
e^{i(-m)tπ}∈T(t)⊂Bだから、同様に①に注意して考えると、
g(e^{i(-m)tπ})＝e^{i(-m)sπ}＝e^{i(-n)tπ}…③。
よって、g：B→Aは準同型であることに注意すると、②、③から、
g(e^{im(s-t)π})＝e^{in(s-t)π}が得られ、e^{im(s-t)π}∈B、e^{in(s-t)π}∈A。
故に、或るm_1、m_2∈Qが存在してm_1・s＝m(s-t)、m_2・t＝n(s-t)となる。
ここで、s＞t＞0からt、s-t≠0であり、m、n∈Z＼{0}だからm_1、m_2≠0。
従って、(m_1・s)/(m_2・t)＝m/nから、s＝((m・m_2)/(m_1・n))・tである。
x＝m・m_2、y＝m_1・nとおくと、x、y∈Z＼{0}であり、s＝(x/y)t
T(s)＝T(t)だったから、|x|≠|y|とはなり得ず、|x|＝|y|から、x＝±y。
Case1)：x＝yのとき。このとき、s＝tであり、s＞tに反し矛盾。
Case2)：x＝-yのとき。このとき、s＝-tからs+t＝0であるが、これはs+t＞0に反し矛盾。
Case1、2から、2＞s＞1＞t＞0なるs、t∈R＼Qが存在して、T(s)＝T(t)であったとすると矛盾。

[第6段]:任意の|s|＞|t|かつ-1＜s＜0＜t＜1なるs、t∈R＼Qに対してT(s)≠T(t)であることを示す。
θを実変数とするとe^{iθπ}はmod2の周期関数であるから、第5段の結果から従う。

[第7段]：任意の1＞s＞t＞0なるs、t∈R＼Qに対してT(s)≠T(t)であることを示す。
複素平面Cは実軸について対称であるから、第6段の結果から従う。

[第8段]；乗法群C^{×}の正規部分群は非可算個存在することを示す。
開区間(0,1)は非可算であるから、乗法群C^{×}の正規部分群は非可算個存在する。
509 ：１３２人目の素数さん：2015/03/12(木) 16:28:46.82 ID:KvT+3nBA.net: まあ、細かいことは後で。ちょっと寝る。
510 ：１３２人目の素数さん：2015/03/12(木) 17:06:26.57 ID:Mah1XYlY.net: >>507-508
今までと全く同じミスを繰り返している。その議論では
「 s,t∈R－Q, T(s)＝T(t), s＞t＞0 」という条件しか使っていないので、
「 s,t∈R－Q, T(s)＝T(t), s＞t＞0 ならば矛盾」が証明できたことになり、
従って「 s,t∈R－Q, s＞t＞0 ならば T(s)≠T(t)」が証明できたことになるが、
これには反例があるのだった(s＝√2＋2, t＝√2 など)。
よって、今回の議論も自動的に間違っていることになる。

＞ここで、自然数a≧2を任意に取る。すると、2＞s＞1＞t＞0から、1＞s/a＞1/a＞t/a＞0

この部分では、あたかも 2＞s＞1＞t＞0 を使っているかのように見えるが、
そこから得られる「 1＞s/a＞1/a＞t/a＞0 」という不等式はその後の議論で
全く使われてないので、実際には「2＞s＞1＞t＞0」という条件は使われてないことになる。
そして、証明をよく読むと、実際に使われている条件は
「 s,t∈R－Q, T(s)＝T(t), s＞t＞0 」
のみである(よって、自動的に間違っている)。
511 ：１３２人目の素数さん：2015/03/12(木) 17:13:54.33 ID:Mah1XYlY.net: あと、いま気づいたことだが、>>507の[第5段]は、
そもそも命題自体が間違っている。
以下で[第5段]の反例を挙げる。

0＜α＜1なる無理数αを1つ取り、t＝α, s＝2－αと置くと、
s,t∈R－Q かつ 2＞s＞1＞t＞0 が成り立つことが分かる。
さらに、T(s)＝T(t) が成り立つことが確かめられる。
よって、[第5段]はそもそも命題自体が間違っている。

一応補足しておくと、[第7段] の命題は正しくて、
これさえ示せれば目標は達成される。
(ただし、今回のお前の論法では [第7段] は示せてないってこと。)
512 ：１３２人目の素数さん：2015/03/13(金) 13:36:11.32 ID:hKmg+Ort.net: >>279
示すべき命題(予想とでもいうのか)が間違っていたようで、>>239-240は次のように訂正。
道理で幾度も間違いをしていた訳だ。完全な盲点になっていた。

[第5段]：任意の1＞s＞t＞0なるs、t∈R＼Qに対してT(s)≠T(t)であることを示す。
確かに任意のθ∈R＼Qに対して群T(θ)は定まる。
矛盾に導くため、或る1＞s＞t＞0なるs、t∈R＼Qが存在して、T(s)＝T(t)であったとする。
すると、T(s)、T(t)は両方共に複素平面Cの単位円周C’上の部分集合であるから、
任意の有理数aに対し、{a,s}、{a,t}は有理数体Q上線型独立であることに注意して、
m、nを整数変数とすると、任意のe^{i(ms)π}∈T(s)(或いは任意のe^{i(nt)π}∈T(t))に対して
或るe^{i(nt)π}∈T(t)(同じく続けて或るe^{i(ms)π}∈T(s))が一意に定まって、
e^{i(ms)π}＝e^{i(nt)π}。即ち、T(s)からT(t)への全単射が存在する。
よって、e^{isπ}∈T(s)に対して或るn∈Z＼{0}が一意に存在して、e^{isπ}＝e^{i(nt)π}…①。
また、e^{itπ}∈T(t)に対して或るm∈Z＼{0}が一意に存在して、e^{itπ}＝e^{i(ms)π}…②。
Case1)：mn≧2のとき。①、②から、e^{isπ}＝e^{i(mn)sπ}、e^{itπ}＝e^{i(mn)tπ}。
よって、mn≧2から、T(s)、T(t)は両方共に位数mn-1の有限巡回群になって矛盾。
Case2)：mn≦-2のとき。①、②から、e^{isπ}＝e^{i(-mn)sπ}、e^{itπ}＝e^{i(-mn)tπ}。
よって、-mn≧2から、T(s)、T(t)は両方共に位数|mn|-1＝-(mn+1)の有限巡回群になって矛盾。
513 ：１３２人目の素数さん：2015/03/13(金) 13:40:55.88 ID:hKmg+Ort.net: >>279
(>>512の続き)
Case3)：mn＝1のとき。このとき、m＝n＝1またはm＝n＝-1。
Case3-1)：m＝n＝1のとき。n＝1(m＝1)、①(②)から、e^{isπ}＝e^{itπ}。
故に、偏角の不定性から両辺に主値を取ると、或るk∈Zが存在して、s＝t+2k。
よって、s＞tから、t+2k＞tであり、k≧1。t＞0だから、
1＜t+2kを得るが、一方1＞s＝t+2kであり、1＜t+2kに反し矛盾。
Case3-2)：m＝n＝-1のとき。このとき、①(②)から、e^{i(s+t)π}＝1を得る。
故に、偏角の不定性から両辺に主値を取ると、或るk∈Zが存在して、s+t＝2k。
然るに1＞s＞0、1＞t＞0から2＞s+t＞0であり、2＞2k＞0から、
1＞k＞0なる整数kが存在することになって矛盾。
Case3-1、Case3-2から、mn＝1のとき矛盾。　　　(Case3終)
Case4)：mn＝-1のとき。このとき、m＝1、n＝-1　または　m＝-1、n＝1。
Case4-1)：m＝1、n＝-1のとき。このとき、n＝-1、①から、
e^{isπ}＝e^{i(-t)π}であり、e^{i(s+t)π}＝1。故に、Case3-2と同様に考えると矛盾。
Case4-2)：m＝-1、n＝1のとき。このとき、m＝-1、②から、
e^{i(-s)π}＝e^{itπ}であり、e^{i(s+t)π}＝1。故に、Case3-2(Case4-1)と同様に矛盾。
Case4-1、Case4-2から、mn＝-1のとき矛盾。　　　(Case4終)
Case1～Case4から、1＞s＞t＞0なるs、t∈R＼Qが存在して、T(s)＝T(t)であったとすると矛盾。

[第6段]：乗法群C^{×}の正規部分群は非可算個存在することを示す。
開区間(0,1)は非可算であるから、乗法群C^{×}の正規部分群は非可算個存在する。
514 ：１３２人目の素数さん：2015/03/13(金) 16:40:30.18 ID:hKmg+Ort.net: >>279
>>512のCase2は次のように訂正：
>Case2)：mn≦-2のとき。①、②から、e^{isπ}＝e^{i(mn)sπ}、e^{itπ}＝e^{i(mn)tπ}
>であり、e^{i(-s)π}＝e^{i(-mn)sπ}、e^{i(-t)π}＝e^{i(-mn)tπ}。また、点1はT(s)、T(t)の単位元である。
>T(s)の点e^{i(-s)π}はe^{isπ}∈T(s)の逆元であり、T(t)の点e^{i(-t)π}はe^{itπ}∈T(t)の逆元である。
>T(s)、T(t)は単位円周C’上の群だから、-mn≧2から、T(s)、T(t)は両方共に
>位数(|mn|+2)-1＝|mn|+1＝-mn+1の有限巡回群になって矛盾。
515 ：１３２人目の素数さん：2015/03/13(金) 16:44:20.68 ID:xRYOqgaS.net: >>512-513
正解。すばらしい。1＞s＞t＞0 という条件も本質的に全て使われている。
大切なのは、T(t)＝T(s)から導かれる

＞よって、e^{isπ}∈T(s)に対して或るn∈Z＼{0}が一意に存在して、e^{isπ}＝e^{i(nt)π}…①。
＞また、e^{itπ}∈T(t)に対して或るm∈Z＼{0}が一意に存在して、e^{itπ}＝e^{i(ms)π}…②。

この2行である。今までは、T(t)＝T(s)から

「ある n,m∈Z－{0} が存在して e^{i(ms)π}＝e^{i(nt)π} 」… (*)

しか導いていなかったから上手く行かなかったのであり、
ここからさらに踏み込んで、より便利な ①,② を導いたのが成功の鍵なのだ。

実際、T(t)＝T(s)が成り立つことと①＆② が成り立つことは同値となるので、
①＆② を使うことは「 T(t)＝T(s) 」を完全に使っていることを意味する。
一方で、T(t)＝T(s)と(*)は同値にならないので、(*)ばかり使っていた今までの議論では、
「 T(t)＝T(s) 」を完全には使っていなかったことになる。
516 ：１３２人目の素数さん：2015/03/13(金) 16:48:30.85 ID:xRYOqgaS.net: ちなみに、

＞示すべき命題(予想とでもいうのか)が間違っていたようで、>>239-240は次のように訂正。
＞道理で幾度も間違いをしていた訳だ。完全な盲点になっていた。

盲点もクソもなくて、俺は>>347の時点で最初から「これは正しくて、証明も簡単に済む」と
指摘していたのであり、実際お前は>>347以降のしばらくの間、今回と全く同じ命題について
直接的な証明を試みていたのだ。それが上手く行かなかったからといって、途中で勝手に
「2＞s＞1＞t＞0」という条件に差し替えて悪戦苦闘していたのが今までの流れである。
そして、今回は>>347の方針に逆戻りしたに過ぎないのだ。

で、今回と>>347の違いは上のレスで既に説明した。
単にお前が、(*)よりも強い①＆②に気づいただけの話である。
517 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/13(金) 22:32:55.89 ID:09ioS4MW.net: >>506
ぱーちくりん連呼くんか・・
これから、君を”連呼くん”と呼ぼう>>398

”連呼くん”には、>>392の問題１を出しておいた。易しい方の問題だ。>>80で2015/02/21(土) だったね
>>406 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2015/03/07(土) 15:59:06.20 ID:Pt6N2tUG さんがあっさり解いたね

>>502 ID:Hjn71QWc くんか・・口達者なものよ、君には宿題を出しておいたが、できたか？　>>484だ

お二人には、再度問題を書いておく

>>392の問題２
「ゼロを除く複素数の成す乗法群の集合は、連続濃度の”べきの濃度”を持つ」は正しいか否か
理由を付して述べよ

どうせ、君たちには無理だろうがね（笑い）ふふ、”何事も基礎を固めるのが重要だよ急がばまわれ”、”数学なんてやめたら？ continueじゃなくて、restartするべきだよ”か、上手いことを言うね、口先くん。君の数学の実力を見せてくれ
ハメル基でも何でも使えよ・・、使えるものならね（笑い）
「ゼロを除く複素数の成す乗法群」なんて、基礎の基礎。さぞかし簡単でしょう（笑い）おそら次の週も同じことが書けそうだな・・
518 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/14(土) 00:10:44.17 ID:1ktc1FSG.net: >>515-516
ID:xRYOqgaSは、メンターさんか・・

>>512-514
ID:hKmg+Ort は、”おっちゃん”か・・
”おっちゃん”の証明を見ると、かつてのコテKummerさんを思い出すよ・・

メンターさんが、”おっちゃん”の証明を追う忍耐は驚異的です
頭が下がります
519 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/14(土) 00:21:39.61 ID:1ktc1FSG.net: >>503
well-difined ね

”つまり証明すべきことは
「g,g',h,h'∈G に対し、
　　　gN=g'N かつ hN=h'N ならば g*hN=g'*h'N」という命題。 ”

>>423 http://ja.wikipedia.org/wiki/Well-defined の後があった・・「代入原理と呼ばれる条件」（下記だね）
例
例えば、写像あるいは（一価の）関数 f は代入原理と呼ばれる条件

a = b → f(a) = f(b)

を満たす対応（一意対応）でなければならないから、同値類に対する写像をその代表元を用いて定義しようとする場面などでは well-defined 性が問題になる。
典型的なものが、代数学において商代数系（商群や商環、商ベクトル空間など）の演算を導入する場面に現れる。

鎖複体の射からホモロジー（これは鎖複体から定まるある商加群である）の間の準同型が誘導されるが、このときも well-defined 性が問題になる。
上述の一意性に加え、写像の行き先が実際に終域に入っていることを確かめなくてはならない。
（引用おわり）

余談だが、英文では、３つに分けて説明しているね
http://en.wikipedia.org/wiki/Well-defined

Well-defined functions

Operations

Well-defined notation
520 ：１３２人目の素数さん：2015/03/14(土) 00:23:05.43 ID:EELCrdHf.net: 数少ない支援者の後藤さんを応援してあげてよｗ
521 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/14(土) 05:53:01.88 ID:1ktc1FSG.net: >>520
どうも。スレ主です。
ID:EELCrdHfさんか

後藤さんとは、>>417を出題した人のことかな？
君は、>>488で「後藤さんよかったね、おめ☆ 」と書いていたね
が、>>356では「後藤さん張り切ってるね」で、後藤さん＝”おっちゃん”と読める
はて？　両者は別人だろう？

まあ、ともかく、>>417の出題者と、”おっちゃん”とが、支援者というのは納得です
522 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/14(土) 06:03:04.26 ID:1ktc1FSG.net: >>519
well-difined は、はっきりさせておきたい
ここは初学者も来るからね

wikipedia にあるように
「写像あるいは（一価の）関数 f は代入原理と呼ばれる条件 a = b → f(a) = f(b)
を満たす対応（一意対応）でなければならないから、同値類に対する写像をその代表元を用いて定義しようとする場面などでは well-defined 性が問題になる。
典型的なものが、代数学において商代数系（商群や商環、商ベクトル空間など）の演算を導入する場面に現れる。」と

つまりは、well-defined 性とは、代入原理と呼ばれる条件 a = b → f(a) = f(b)が成り立つかどうかと

英wikipedia では
Well-defined functions
All functions are well-defined binary relations: if there exist two ordered pairs in the function with the same first coordinate, then the two second coordinates must be equal.
More precisely, if (x,y) and (x,z) are elements the function f, then y=z.
Because the output assigned to x is unique in this sense, it is acceptable to use the notation f(x)=y (and/or f(x)=z) and to take advantage of the symmetric and transitive properties of equality.
Thus if f(x)=y and f(x)=z, then of course y=z.

An equivalent way of expressing the definition above is this: given two ordered pairs (a,b) and (c,d), the function f is well-defined iff whenever a=c it is the case that b=d.
The contrapositive of this statement, which is equivalent and sometimes easier to use, says that b≠d implies a≠c.
In other words, "different outputs must come from different inputs."

In group theory, the term well-defined is often used when dealing with cosets, where a function on a quotient group may be defined in terms of a coset representative.
Then the output of the function must be independent of which coset representative is chosen.
523 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/14(土) 06:39:39.82 ID:1ktc1FSG.net: >>522 つづき
英wikipedia の記述が難しく、意味がとれないところがあるが（英文だしね）（＾＾
日wikipedia の”（一価の）関数 f は代入原理と呼ばれる条件 a = b → f(a) = f(b) を満たす対応（一意対応）でなければならない”を正としよう

で、私がやったことは、まさにこれ（日wikipedia ）
>>461で、「(2) 定義がもともとの対象から複数定まる対象を経由して行われる場合、結果がもともとの対象にのみ依存する。」を示すことにすると

そして、「Hg'＝Hgが証明された。すなわち、剰余類Hgの任意の元g'の剰余類Hg'はHgと一致する
即ち、２つの剰余類が交われば、これらは一致する
また、剰余類Hgは、g∈Hのとき、そのときに限り部分群Hと一致する。（部分群Hは単位元eの剰余類と見なすことができる）」を証明した

次に、>>462で、整列可能定理と剰余類別 G/Nも一意（正規部分群だから）を示した
この方針は、>>447に書いた、（部分群Hに対して）「一般に剰余類が、右剰余類が１通り、左剰余類が１通り、計２通り。正規部分群なら、１通り。」によった

で、”つまり証明すべきことは
「g,g',h,h'∈G に対し、
　　　gN=g'N かつ hN=h'N ならば g*hN=g'*h'N」という命題。 ”
　↓↑
”（一価の）関数 f は代入原理と呼ばれる条件 a = b → f(a) = f(b) を満たす対応（一意対応）でなければならない”
（同値）が言えるのかね？　

>>478で述べたように、私は（一意対応）を直接示したから、あなたのいう"well-defined"なら十分終わっていると（つまり一意対応から、「積も一意」はすぐ示せる）
が、問題は「g,g',h,h'∈G に対し、gN=g'N かつ hN=h'N ならば g*hN=g'*h'N」→（一意対応）が言えるのか？
gNの定義をしっかりしていれば言える？　でも、gNの定義の過程で代入原理 a = b → f(a) = f(b) （一意対応）を先に示してしまえば、そこで終わってる話と思うのだが・・
524 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/14(土) 07:02:02.51 ID:1ktc1FSG.net: >>474 ハメル基つづき
ちょっと考えたことがあるので、書いておく

１．ハメル基の話は、代数拡大で、ベクトル空間の基底の概念の特別な場合であると。つまり、体の話
２．それを、今の問題の”複素平面Cの乗法群C^{×}＝C-{0}”に持ち込んで、どう使うのか？　さっぱり筋が浮かばない（筋違い？）
３．さらに言えば、代数的数全体からなる集合Q~（下記）は、有理数体の無限次元の代数拡大体であり（ガロア理論を参照）、可算集合であるという

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E7%9A%84%E6%95%B0
数学、特に代数学における代数的数とは、ある有理数係数の 0 でない多項式の根となる複素数のことである。
代数的数に対する加減乗除の結果は、やはり代数的数であるので、代数的数全体からなる集合は体をなし、Q~（本当はQの上にバーがついているが、書けないのでこれで）と表す。

Q~の性質
Q~は、有理数体の無限次元の代数拡大体である。
また、代数的数を係数とする 0 ではない多項式の根は代数的数であるので、Q~ は、代数的閉体である。
さらに、有理数体を含む任意の代数的閉体は、Q~を含むので、有理数体の代数的閉包でもある。

集合論的性質
カントール (G. Cantor) は、1874 年に、Q~ が可算集合であることを証明した。
その後、彼は複素数全体の集合が非可算集合であることを証明し、ほとんど全ての複素数は、代数的数ではない、つまり超越数であることが判明した。
525 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/14(土) 08:01:27.18 ID:1ktc1FSG.net: >>524 つづき

１．繰り返すが、"代数的数全体からなる集合Q~（下記）は、有理数体の無限次元の代数拡大体であり（ガロア理論）、可算無限集合"だと
２．つまり、現代ガロア理論で言えば、Q~は無限次元のベクトル空間で、その次元は可算無限。だから、集合Q~の基底は可算無限
３．同様に、実数Rを有理数体Qの無限次元の拡大体と考えて、その基底がハメル基
４．が、その次元は連続無限。だから、その基底（ハメル基）も連続無限
５．当然、ハメル基を具体的に構成することは、２１世紀数学でもまだできない。
（∵（wikipedia 「代数的数」より）”代数的でない式によって与えられた数が代数的数であるか否かを判定することは大変難しく、
オイラーの定数のように古くから知られていながら、代数的数かどうかどころか、有理数かどうかかすら分かっていない数もある。”という現状だから）
６．ハメル基の存在は、>>470 藤岡敦に証明がある。（整列定理と超限帰納法を用いて）（但し、ｎは有限だが、ハメル基は連続無限あることへの言及がないのは残念だ）
７．まあ、要は代数的数全体からなる集合Q~の可算無限拡大の延長に、実数Rのハメル基なるものの存在があると。但し、”ｎは有限”に重みがあるように思うのだが

これが、私のハメル基の理解

下記mathoverflowを読むと、内容はあまり理解できないが、日本の（一般向け）掲示板とはちょっとレベルが違う気がする
http://mathoverflow.net/questions/46063/explicit-hamel-basis-of-real-numbers
Explicit Hamel basis of real numbers edited Nov 16 '10
526 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/14(土) 08:53:55.68 ID:1ktc1FSG.net: >>219-220 ここに戻る
対角線論法にはまっていた
むずかった

が「自己言及の論理と計算 - 京都大学長谷川真人」が面白かった
www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~cs/cs2011_hasegawa.pdf
(抜粋)
良く知られているカントール（Cantor, G., 1845-1918）の対角線論法は，はじめに述べたラッセルのパラドックスと大変良く似た構造を持っている．
定理1 自分自身の巾集合を含むような集合は存在しない．より正確には，任意
の集合X について，その巾集合2X からX への単射は存在しない．

証明はラッセルのパラドックスに用いられたのとほとんど同じ論法による．X を
集合とし，m : 2X → X を単射としよう．ここで，X の部分集合R を，
R = {m(A) | A ⊆ X, m(A) not∈ A}
と定義しよう．問題は，m(R) がR に属するかどうかである．
（引用おわり）
ここが分からんかった

余談だが、自己言及というより、自己否定言及だと思うんだよね
「私のいうことはうそです」と・・。１）「」内が正しいと、「」内はうそで「」内が否定される。２）一方「」内が否定されると、「」は正しく「」内が肯定される。

「私はうそは申しません」は、自己言及だが、数学の証明には使えない・・
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B1%A0%E7%94%B0%E5%8B%87%E4%BA%BA
池田勇人
1960年11月20日の第29回総選挙に先立っては自ら自民党のテレビCMに登場して、本音しか言えない池田というイメージを逆手に取って「私はウソは申しません」と言い切った。
527 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/14(土) 09:04:47.23 ID:1ktc1FSG.net: つづき
>>220の渡辺治 [PDF]計算複雑さ解析法＃2 対角線論法 - TOKYO TECH OCW が良い
P4 2 進数αを使った説明が良い

”この対角線論法は，無限長2 進列の無限集合A （ただし，要素を並べることができるもの）に対し，それに入らない無限長2 進列を作る方法である．
その議論でのポイントは，
(i) A の要素（無限長2 進列）を並べた表を作り，
(ii) その対角線の値（0 または1）を反転させた無限長の2 進列としてαを定義する，
の2 点である．
このようにすると，A に入らない2 進列α の構成が可能になるのである．”

これ、べき集合の>>526”定理1 自分自身の巾集合を含むような集合は存在しない．より正確には，任意の集合X について，その巾集合2X からX への単射は存在しない．”
の説明になっている

上で構成した、A に入らない2 進列αを使って、定理1の証明（自己否定言及）にもってゆくのかなーと
528 ：１３２人目の素数さん：2015/03/14(土) 09:14:27.21 ID:1ktc1FSG.net: >>527 つづき

下記のような理由があり、2 進数による証明は、べき集合に容易に拡張できる・・かな
http://homepage3.nifty.com/rikei-index01/syugou/syugou4.html
集合の基本４（べき集合、直積など）
(抜粋)
定義（べき集合）

Ｘを集合とする。
Ｘの部分集合全体を『Ｘのべき集合』といい、２^Ｘと表す。
すなわち、２^Ｘ＝｛Ａ | Ａ⊂Ｘ｝である。

べき集合の元の数は２のべき乗になる。
例えば、上の例では集合Ｘの元は３個で、２^Ｘの元は２^３＝８個である。
なぜこのような関係が成り立つのだろうか？
いま、２^Ｘに属するＸの部分集合にどのようなものがあるかを考えてみよう。
これはＸの各元が部分集合に「属する・属さない」の組み合わせを考えることと同じである。
だから、べき集合の元の数は２のべき乗になるのである。
べき集合を２^Ｘと表すのもこれが理由である。

Ｘのべき集合をＰ（Ｘ）と表す流儀もある。
これは英語の power set （べき集合という意味）に由来する。
529 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/14(土) 10:15:10.87 ID:1ktc1FSG.net: >>526-528 まとめ

１．「自己言及の論理と計算 - 京都大学長谷川真人」京都大学数理解析研究所数学入門公開講座（2002 年8 月5～8 日）の予稿を改訂か
２．最初の定理１で躓いた私としては、渡辺治の「2 進数説明」と、「べき集合の元の数は２のべき乗になる」を抜きに、分かるのかなー？と
　まあ、京都大学数理解析研のレベルなら、「常識」と仮定していいんだろうか？

３．面白いところ「対角線論法から不動点へ」、「不動点定理から具体例を見直す」（圏論）、「直観主義的抜け道について」、「停止性問題」、「計算可能性とラムダ計算」・・
４．具体的には
P3
「そして，このことから，自分自身を呼び出すようなプログラム（再帰プログラム）を，自己適用現象を用いて得られる不動点として構成することができるのである．
（似たことが直観主義論理の世界でも起こりうる：以下のコラムを参照．）」
「対角線論法というと，矛盾から否定的な結果を導くための道具，という印象を持っておられる方が少なくないであろうし，
また，（すでに見てきたように）実際そうなのであるが，少し広い視野に立って，一般化された対角線論法を考えると，
実は，有用な（肯定的な）結果を導く際にも対角線論法が現れていることがわかる．
ここで使われる数学は決して難解なものではないが，数学における具体例からの一般化，
また一般化された見方からの具体例の分析，さらに否定的な見方から肯定的な見方への変化などの面白さが，端的に現れているものだと思う．
そのあたりの楽しさを味わって頂ければ幸いである．」・・

P9
「ゲーデルの不完全性定理や停止性問題なども，この不動点定理の一例と考えることができる．」・・辺り

５．要は、計算科学の方が、２０世紀の素朴な数学基礎論を超えて、明確に進化したという感覚を持ちました。（細かい点はむずいので良く分からないところが多いが）
530 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/14(土) 10:32:50.92 ID:1ktc1FSG.net: >>529 補足

対角線論法をいろいろ調べたのは、べき集合の濃度やハメル基とかの関係
ハメル基って使えるの？　ハメル基って集合の濃度が示せるのか？　という素朴な疑問からだった

対角線論法が、いまこんなに広がりを持っているとは知らなかった・・
が、結論から言えば、べき集合の濃度、つまりは実数の連続濃度の証明は、対角線論法を使う以外にはないみたいってこと

「ハメル基の持つ性質を使って濃度が非加算無限を導くのではなく、Hの構成法から、Rを全て表すためにはHの濃度が非加算無限でなければならないという論理だろう」>>474の裏付け
これで、べき集合の濃度の考え方がクリアーになったよ
531 ：１３２人目の素数さん：2015/03/14(土) 10:55:39.58 ID:Z5dsHth2.net: 対角線論法は次の一点さえ理解できれば簡単

有理数に対して対角線論法を使った場合に、何故無理数の場合と同じことにならないのか？
532 ：１３２人目の素数さん：2015/03/14(土) 11:14:19.87 ID:FaEZeIo7.net: >>522 >>523
>>417の(3)は G/N に演算を定める問題だが、
前提として G/N が集合として定義されてなければならない。

集合としての定義は厳密にはこう：
　g,g'∈G に対し、「g～g'⇔g∈g'N」として関係～を定めれば、～は同値関係。
　この同値関係による商集合を G/N と書く。

>>461はこの段階の話でしかない。

例えば G=Z (整数全体のなす加法群)、N=3Z とすると、
>>461 >>462では集合として
　G/N={[0],[1],[2]}　（[a]はaを含む同値類）
であると言っているにすぎず、
例えば [0]+[2] と [6]+[8] は等しいか？ということについては触れられていない。
533 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/14(土) 11:24:05.22 ID:1ktc1FSG.net: >>531
どうも。スレ主です。

>対角線論法は次の一点さえ理解できれば簡単
>有理数に対して対角線論法を使った場合に、何故無理数の場合と同じことにならないのか？

いや、だから、それを一般の集合とべき集合に適用したときにどうなんだと
534 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/14(土) 11:37:52.13 ID:1ktc1FSG.net: >>532
どうも。スレ主です。

well-defined 性は、>>522-523に書いたように、個別問題を離れれば、
代入原理と呼ばれる条件 a = b → f(a) = f(b)だと

そして、おっしゃるように、>>461では商集合を G/N の類別の一意性（well-defined）を示した
積*の定義は、元の群の定義*を使う

で、>>417で誘導してもらったのかね？　f:G→G' の群準同型写像を考える
これは、>>436で書いたように、f(xy)=f(x)f(y)と積の構造が保存される

だから、代入原理 a = b → f(a) = f(b)が言えれば、あとはすぐ上との組み合わせで、直ちに”gN=g'N かつ hN=h'N ならば g*hN=g'*h'N”と言えないのかね？
直感だが、そういう気がする

そして、”gN=g'N かつ hN=h'N ならば g*hN=g'*h'N”の部分は、群環体その他対象に依存する部分だと

正直、well-definedはいろんなところで出てくるが、深く考えたことはない
が、いま考えるとそういうことではという気がする
535 ：１３２人目の素数さん：2015/03/14(土) 11:50:11.91 ID:Z5dsHth2.net: >だから、代入原理 a = b → f(a) = f(b)が言えれば、あとはすぐ上との組み合わせで、直ちに”gN=g'N かつ hN=h'N ならば g*hN=g'*h'N”と言えないのかね？
>直感だが、そういう気がする

何故自分の直感を他人に証明してもらおうとするのか？
536 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/14(土) 12:14:12.58 ID:1ktc1FSG.net: いや、ここでは証明をする気はないんだ
原則としてね。このアスキー制限の掛かった板は、数学の証明には向かないから

だから、私は他のホームページやブログからの紹介とコピペをベースにするんだ
今回は出題だったから、むりむり証明を行った

が、「(n"'"の置き方をミスってるような気がするが)」>>503とご指摘のようにそうかもしらん
mathoverflow流なら、もう少し表現を工夫するところだろう

well-definedの議論も、「べつにー」と
ただ、well-definedを自分なりに深く考える機会になったし、英wikiと日wikiで記載が異なるし、それぞれ読み比べてみれば面白かったと
537 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/14(土) 13:42:35.98 ID:1ktc1FSG.net: >>530
今後のために、またご参考まで、下記貼ります
http://ufcpp.net/study/set/cardinality.html#infinite
(集合論) "++C++; // 未確認飛行 C"
(抜粋)
無限濃度に関する性質
まず、可算濃度 ??0 よりも大きな無限濃度が存在することについて説明します。（といっても、ところどころ証明は省き、概要説明だけになりますが。）
（有限・無限を問わず）ある集合 a に対して、その冪集合 P (a) の濃度は 2^ |a| になります。
そして、証明は省きますが、 a と P (a) の間には全単写が存在しない（＝同値にはならない）ので、 |a| < 2^ |a| になります。

ここで、a の部分に自然数全体の集合 ω を入れると、 ??0 < 2^ ??0 となり、可算濃度よりも大きな濃度が存在することが分かります。
可算濃度よりも大きな濃度を持つ集合を非可算集合（uncountable set）と呼びます。また、この式から、無限濃度がいくらでも作れることが分かります。

証明は省略しますが、無限濃度に関して、 α を無限濃度、 β を濃度として、以下の定理が成り立ちます。

・β ≦ α ⇒ α + β = α
・0 < β ≦ α ⇒ αβ = α
・n を非0の自然数として、 α^n = α
・α < 2α
・2 ≦ β ≦ α ⇒ 2^α = β^α

まとめると、 2 ≦ β ≦ α であるような濃度 β に対し、
α + β = αβ = α < 2^α = 3^α = ? = β^α

となり、見ての通り、有限濃度（＝自然数）の場合と大きく異なります。
538 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/14(土) 13:51:01.32 ID:1ktc1FSG.net: >>534-536
まあ、うまく言えないが
”gN=g'N かつ hN=h'N ならば g*hN=g'*h'N”の部分は、体だったら、積に加えて”gN=g'N かつ hN=h'N ならば g+hN=g'+h'N”みたく、和についても言及する必要があるんじゃないか？
でも、それって、最初のgNやhNの定義のwell-defined 性（一意）がキモなんじゃないか？　代入原理 a = b → f(a) = f(b)（一意）みたいなことが言えれば、後は体の定義と演算から自然に導かれるみたいな・・（体の場合は代数拡大とか言うんだろうが・・）
539 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/14(土) 13:53:13.15 ID:1ktc1FSG.net: >>537 文字化けしている ??の部分がアレフ記号なんだ
540 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/14(土) 14:08:25.17 ID:1ktc1FSG.net: アレフ　? でるかな？
541 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/14(土) 14:10:00.55 ID:1ktc1FSG.net: アレフが書けないのか・・、困ったものだ
542 ：１３２人目の素数さん：2015/03/14(土) 14:18:51.17 ID:FaEZeIo7.net: >>538
そう思うのは自由だが
それはそれとして、演算の well-defined 性の証明はやっぱり必要。

群環体の場合はある程度しっかりした構造を持っているからうまくいくのであって、
より一般の代数構造ではうまくいかないこともある。

ちなみに、環や体の場合正規部分群に相当する概念は(両側)イデアルというもので、
環の場合は確かに和、積両方について言及が必要。
体の場合、イデアルは自明なもの({0}と全体集合)しかないので、似たようなことは話題にならない。
代数拡大は全然違う話。
543 ：１３２人目の素数さん：2015/03/14(土) 14:37:27.10 ID:FEJE1Jnz.net: well-defined ほど重要な概念は無いと言っても過言ではない。

複雑な対象ほど、そのままでは扱えないので、
何らかの同値類を取って簡略化した対象にしてから扱うことになる。

だがしかし、複雑な対象を簡略化したからと言って、その対象は本質的には全く簡単になっていない。
なぜなら、複雑だった部分は、同値類によってその内部に隠蔽されてしまっただけだからだ。
その隠蔽された複雑性は、どこかで「再出現」するのであり、再出現した段階で
真正面から相手にせざるを得ない。

では、その複雑性は、具体的にはどこで「再出現」するのか。
たとえば、その同値類を定義域とする何らかの写像 f を定義したとしよう。
すると、定義域が「同値類」であるがゆえ、f が well-defined であるかどうかが
大きな問題となる。

もう分かるだろう。隠蔽された複雑性は、well-defined 性を示す場面において
「再出現」するのである。

したがって、「 well-defined に興味を持たない」とは、「対象の複雑性から逃げている」
ことを意味する。それはすなわち、対象そのものについて真正面から向き合っていないことを意味する。

それでは数学を勉強している意味が無い。
種々の写像について、それが well-defined であることは自力で証明して然るべきである。
また、それが示せたならば、対象の複雑性を克服できたということである(…というのは言い過ぎではあるが)。
544 ：１３２人目の素数さん：2015/03/14(土) 14:51:29.31 ID:gO6zAEmW.net: >>520
正確に(完全に)
>数少ない支援者
といえる訳ではない。机で数学をしていたのだが、ちょっとゴタゴタした面倒なことがあって、
少し時間を費やすことになり、スレ主とは暇潰しにじゃれあっているつもりである。

>>518
「メンターさん」と呼んでいる人は、高校数学の質問スレにもいるよ。
人物像は特定出来ないが、何らかのきっかけで高校数学に関係があるのだろう。
まあ、己が出した問題の解答を自力で出来なかったことは認める。情けない限りだ。
かつてのコテKummerは、確か代数的整数論スレで関数解析がらみの話をいていたんじゃなかったけ？
545 ：１３２人目の素数さん：2015/03/14(土) 15:03:47.14 ID:gO6zAEmW.net: >>525
いや、オイラー数は確実に無理数ではあるよ。
ただ、少し面倒な解析をすることにはなる。超越数かどうかまでは分からない。
あと、よく確認したら、確かに有理数の稠密性とディオファンタス近似は何ら矛盾していなかった。
詳細を書かなかったために生じたちょっとした勘違いだったな。
546 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/14(土) 19:23:28.57 ID:1ktc1FSG.net: >>544-545
どうも。スレ主です。
”おっちゃん”、ありがとう

>スレ主とは暇潰しにじゃれあっているつもりである。

それはありがとう。楽しんでいってくれ

>「メンターさん」と呼んでいる人は、高校数学の質問スレにもいるよ。
>人物像は特定出来ないが、何らかのきっかけで高校数学に関係があるのだろう。

それは正に「メンターさん」と呼ぶにふさわしいね

>かつてのコテKummerは、確か代数的整数論スレで関数解析がらみの話をいていたんじゃなかったけ？

そうそう、代数的整数論スレやってた人

>オイラー数は確実に無理数ではあるよ。

オイラー数違いかも（後で）

>よく確認したら、確かに有理数の稠密性とディオファンタス近似は何ら矛盾していなかった。

おっちゃん、いろんなことに興味持っているんだね
547 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/14(土) 19:32:05.21 ID:1ktc1FSG.net: >>546 つづき
オイラーの定数とオイラー数

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E6%95%B0
オイラーの定数オイラーの定数は超越数であろうと予想されているが、無理数であるかどうかさえ分かっていない。
http://en.wikipedia.org/wiki/Euler%E2%80%93Mascheroni_constant
Euler?Mascheroni constant
Properties
The number \gamma has not been proved algebraic or transcendental. In fact, it is not even known whether \gamma is irrational.
Continued fraction analysis reveals that if \gamma is rational, its denominator must be greater than 10242080.[7]
The ubiquity of \gamma revealed by the large number of equations below makes the irrationality of \gamma a major open question in mathematics. Also see Sondow (2003a).

Lagarias, Jeffrey C. (October 2013). "Euler's constant: Euler's work and modern developments" (PDF). Bulletin of the American Mathematical Society 50 (4): 556. doi:10.1090/s0273-0979-2013-01423-x.
http://www.ams.org/journals/bull/2013-50-04/S0273-0979-2013-01423-X/S0273-0979-2013-01423-X.pdf

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E6%95%B0
オイラー数は、双曲線正割関数のテイラー展開における展開係数として定義される。
http://en.wikipedia.org/wiki/Euler_number
In number theory, the Euler numbers are a sequence En of integers (sequence A122045 in OEIS) defined by the following Taylor series expansion:
548 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/14(土) 19:43:08.69 ID:1ktc1FSG.net: >>542-543
どうも。スレ主です。

ID:FEJE1Jnzさんか、興味深い話をありがとう。
”well-defined ほど重要な概念は無いと言っても過言ではない。
複雑な対象ほど、そのままでは扱えないので、
何らかの同値類を取って簡略化した対象にしてから扱うことになる。”か

そういう視点は持っていなかったが、大事だね

ID:FaEZeIo7さんは、数学科で３年修了より上なんだろうね。レベル高いね
well-defined 性の話は単純なんだ。wikipedia（日および英）に書いてあることと違うと
で、思うに、wikipediaに書いてあることから、ID:FaEZeIo7さんの演算の確認は、できるんじゃないかと
そういう流れにならないと、自分の中でwikipediaとID:FaEZeIo7さんの話とが繋がってこない

まあ、この話はじっくりやりましょう
そもそも、well-defined は数学的定義じゃなく、哲学的定義だ
「うまく定義できました」と
でも、>>543の視点は重要だと思うよ
549 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/14(土) 19:56:07.65 ID:1ktc1FSG.net: >>548 つづき

省略したが、well-definedってどういう意味ですか？のベストアンサーが、ID:FaEZeIo7さんにずばりだね
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/welldefined/welldefined.htm
Ｗｅｌｌ　Ｄｅｆｉｎｅｄ
　抜粋
　高校数学から大学数学へ進化していく過程で、「Ｗｅｌｌ　Ｄｅｆｉｎｅｄ」ということが、否応にも
意識され始める。私自身最初のころは、その本質を理解しないまま、見よう見まねでなんとなく使っていた覚えがある。

今回、次の書籍：土基善文　著　　ＸのＸ乗のはなし　（日本評論社）
を読んでいたら、「Ｗｅｌｌ　Ｄｅｆｉｎｅｄ」の話があって、改めてその奥の深さを認識させられた。

　「Ｗｅｌｌ　Ｄｅｆｉｎｅｄ」という言葉に初めて接するのは、おそらく「位相空間論」の講義におい
てだろう。または、「群論」の講義かもしれない。

（コメント）　初めて「Ｗｅｌｌ　Ｄｅｆｉｎｅｄ」に接したときは、「当たり前のことを、何でそんなに仰
　　　　　　々しく述べるの？」という感じだったが、その真意が分かるにつれ、重要性も理解
　　　　　　され当たり前のように「Ｗｅｌｌ　Ｄｅｆｉｎｅｄ」を確認している自分に気がつく。端から
　　　　　　は、きっと、私が当初感じたように見られているのでしょうね？

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1435043524
2010/1/814:21:44 well-definedってどういう意味ですか？
ベストアンサーに選ばれた回答watayans30さん2010/1/817:09:32
略

http://iky.no-ip.org/dictionary/2007/08/welldefined.html
役に立たない数学用語事典
「定義」を見たとき、その定義がwell-definedであるかどうかを気にできるようになったらかなりの上級者である。Posted at 2007年08月15日 00:26
550 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/14(土) 20:25:40.62 ID:1ktc1FSG.net: >>549 つづき

☆☆ぎゅるたん数学講座☆☆ 剰余群における演算のwell-defined性は、これもID:FaEZeIo7さんにずばりだね
大学では、そう教えているんだろうね。しかし、雪江明彦先生怒っているね

http://www.math.tohoku.ac.jp/~yukie/report4.pdf
代数概論A レポート問題(演習)4 について（雪江明彦）
# 1. 代数では『well-defined』ということがなかなかわかってもらえず苦労するが，この問題はまさに『well-defined』とはどういうことかということを問う問題.
採点してみて，大部分の人がまだ『well-defined』という概念を理解していないことがわかった.
また，論理に関しても必要条件と十分条件の区別がつかない人が大部分である.
授業で確かにn,m が非常に小さい場合に起こりうる不都合について述べたが，そのような不都合が起こらないからといって，定義がwell-defined であるという保証はない.
（略）

http://ameblo.jp/algebric-variety/entry-11166307952.html
☆☆ぎゅるたん数学講座☆☆
群論９　剰余群における演算のwell-defined性 2012-02-16 10:53:24
（抜粋）
※注意　今回の内容はwell-defined性といって、ちょっと難しいです。
かなり丁寧に書いたつもりですが、それでもわからないかもしれません。大学数学の難関の一つだと言われています。
それでも類書などに比べてかなり丁寧に解説したつもりではあるんですが、それでも上手く書けたかどうか・・・。
「私は意味にしか興味ない、厳密数学などに興味はない」という方はこの記事は飛ばして次の記事に飛んでいただくといいと思います。

[well-defined性とは？？]
　前回、部分群Nによる商集合G/Nで、特にNが正規部分群という性質のいい部分群のときは、商集合G/NにGの演算に適合した演算(aN)(bN)=(ab)Nを定義することができて、
しかもこの演算で群になり、この群G/Nを剰余群というのでした。

[演算の定義がwell-definedであることの証明]
略
いつもは特に詰まる箇所もなくすらすら書けていたのですが、今回の証明は詰まるところが何箇所かあって、結構長考してしまいました。
551 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/14(土) 20:52:49.90 ID:1ktc1FSG.net: >>546 補足

"有理数の稠密性とディオファンタス近似"で検索したら、下記がヒットした
（以前に紹介したかも知れないが・・）

http://www.ma.noda.tus.ac.jp/u/ha/SS2006/hokoku.html
2006年度整数論サマースクール報告集
http://www.ma.noda.tus.ac.jp/u/ha/SS2006/Data/Hokoku/hirata.pdf
平田典子（日本大学）
「対数一次形式の理論と応用:HermiteからBaker, Matveevまで」
「部分空間定理と単数方程式:SiegelからSchmidt, Faltingsまで」
「最近の新結果の紹介」
「ディオファントス問題における未解決問題」
552 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/14(土) 22:53:23.19 ID:1ktc1FSG.net: >>548-550 補足

well-definedね
ID:FaEZeIo7さん、
☆☆ぎゅるたん数学講座☆☆ 剰余群における演算のwell-defined性は、これID:FaEZeIo7さんにずばりなんだ
でもね、雪江明彦先生怒っているね

”代数では『well-defined』ということがなかなかわかってもらえず苦労するが，この問題はまさに『well-defined』とはどういうことかということを問う問題.
採点してみて，大部分の人がまだ『well-defined』という概念を理解していないことがわかった”と

”この場合、well-defined ということは、g ∈ G をg = x^i と表してg にy^i を対応させた場合，i の取りかたによらず定義が定まる.
ということである."と雪江明彦先生

どんな問題か分からないのだが、well-definedを雪江明彦先生レベルで捉えないと行けないと思うんだよね
☆☆ぎゅるたん数学講座☆☆ 剰余群における演算のwell-defined性は、これで良いとして（当然ID:FaEZeIo7さんも良いが）

”「定義」を見たとき、その定義がwell-definedであるかどうかを気にできるようになったらかなりの上級者である。”
”初めて「Ｗｅｌｌ　Ｄｅｆｉｎｅｄ」に接したときは、「当たり前のことを、何でそんなに仰々しく述べるの？」という感じだったが、
その真意が分かるにつれ、重要性も理解され当たり前のように「Ｗｅｌｌ　Ｄｅｆｉｎｅｄ」を確認している自分に気がつく。”

だから、well-defined は、ぎゅるたんで終わりじゃないと思うんだ
もう一つ上位があるんだろう。うまく言えてないけど、剰余群に限らないものが。だから、>>522-523を書いたつもりだ
ここは、うまく整理できていないが、また何かの機会に取り上げよう
553 ：１３２人目の素数さん：2015/03/14(土) 23:41:46.90 ID:FaEZeIo7.net: そりゃ剰余群の演算の well-defined 性が話題だったんだから、剰余群に話を限定しただけだ。

>>438で「well-defined を知らないんだったら」と書いたのは、
「一度でも well-defined の概念をちゃんと理解したことがあるなら、>>417の表現で伝わるはず、
それすら分からないのは知らないのと同じ」という意味合い。
解釈のズレを解決するのが面倒で適当な言い方をしてしまった。

雪江先生の問題はおそらく、
　　位数 n の巡回群を C_n と書く。演算は乗法的に書く。
　　正整数 m,n に対し巡回群 C_m, C_n を考え、それぞれの生成元の一つを x,y とする。
　　写像 f:C_m → C_n を f(x^i)=y^i (∀i∈Z)によって定めたとき、f が well-defined になるための
　　必要十分条件を m,n を用いて表せ。
というところだろう。

雪江先生レベルに理解してるなんてとても言えないが、
剰余群以外に well-defined の例を挙げろと言われれば挙げられる程度には知ってるぞ。
554 ：１３２人目の素数さん：2015/03/14(土) 23:50:32.14 ID:Z5dsHth2.net: 結局スレ主さんは（１）、（３）不正解で、33点　⇒群論入門落第ってことか
555 ：１３２人目の素数さん：2015/03/15(日) 00:28:17.99 ID:q+GeWCat.net: 解釈を正すのが面倒という判断は正解だったな。
結局ズルズルと話を広げさせてしまった。

あ、>>553の問題は当てずっぽうなんであしからず
556 ：１３２人目の素数さん：2015/03/15(日) 09:07:59.50 ID:N5rH2DRm.net: >>546
＞>オイラー数は確実に無理数ではあるよ。
＞オイラー数違いかも（後で）
あ～、確かにオイラーの定数の間違いだったね。

＞>よく確認したら、確かに有理数の稠密性とディオファンタス近似は何ら矛盾していなかった。
＞おっちゃん、いろんなことに興味持っているんだね
いや、注意深く分析してよく考えるとリウビルの定理(同じ名称の定理は他にもある)
っていう超越数論の基本的な定理が得られる内容とかが書かれているような、
デデキント切断による実数論や有理数の稠密性に述べた
小平解析入門っていう微分積分の本はあるよ。今でも売られている。
いい微分積分の本だよ、うん。やっぱり基本は大事だよ。
幅広く関心を持つことは重要。この点では表現論が応用性があるな。
557 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/16(月) 00:30:34.32 ID:WV/RsgiY.net: >>553
どうも。スレ主です。
ああ、そりゃそうだろう

まあ、well-defined の話はまた次にやろう
あの雪江先生の解説で問題を推定できるのはさすがだね。レベルが高いね

>>554
ID:Z5dsHth2 くんか、君はレベル低そうだな？
出題者は、いちおう全問正解をくれたよ
33点　⇒群論入門落第は、君自身だよ（笑い）

君にも、>>517の問題をぶつけておくよ
どうせ、君には無理だろうがね（笑い）。来週も君たちの泣き顔が見られるとは楽しみだ
558 ：１３２人目の素数さん：2015/03/16(月) 00:35:05.89 ID:WV/RsgiY.net: >>555
どうもどうも
勉強になりました

well-definedね
深い話があるみたいだね・・

>>553の問題は、当たっている気がする

>>556
おっちゃん、どうも
勉強がんばってなー
559 ：１３２人目の素数さん：2015/03/16(月) 01:33:22.12 ID:e/FImr/y.net: 勉強はもういいよ
560 ：１３２人目の素数さん：2015/03/16(月) 19:24:08.81 ID:D2P349Cb.net: おまんこ頑張らな子供できへんで
561 ：１３２人目の素数さん：2015/03/16(月) 21:42:31.45 ID:UUvM2zSj.net: >>557
これは群論の入門レベルの問題で、しかも君が大恥かいて必死に勉強し直した”正規部分群”に関する問題だ。
君の場合まず自分が馬鹿であると言う自覚を持つことから始めるようお勧めする。
>>429 >>430 >>447 >>449 ←この解答で自称満点とは、馬鹿にも程があるからね。
562 ：１３２人目の素数さん：2015/03/16(月) 22:08:14.93 ID:fjQeHHyh.net: 出来ることと、好きなことは一致しないものだ
563 ：１３２人目の素数さん：2015/03/18(水) 13:44:48.03 ID:/eYL1Gmz.net: >>558
私が出した問題は、本当は単純に示せる問題だった。
過去スレ見たが、スレ主の方針と微妙に違うようなので、一応書いておく。
もしかしたらスレ主の方針と何ら変わらないのかも知れないが、判別不能。

開区間(1,+∞)は非可算集合である。乗法群C^{×}は可換群であるから、任意のs＞t＞1なるs、t∈Rに対して
G(s)＝{e^{ms}|m∈Z}、G(t)＝{e^{mt}|m∈Z}
と定義すると、G(s)(G(t))はC^{×}の部分群であり正規部分群である(ここまでの証略)。
実変数xの指数関数e^xは単調増加であるから、各s＞1に対して定まる
群G(s)の生成元e^sの全体からなるような集合{e^s∈G(s)|s＞1}は非可算である。
今、任意のs＞t＞1なるs、t∈Rに対してG(s)≠G(t)なることを示す。
矛盾に導くため、或るs＞t＞1なるs、t∈Rが存在してG(s)＝G(t)だったとすると、
或る(m,n)∈Z＼{0}に対してe^{ms}＝e^{nt}からms＝ntであり、s＝(n/m)t。
よって、s、tの大小関係及び1＞0からs＞t＞0であり、n＞m≧1またはn＜m≦-1。
即ち、n/mに対して或るa＞b≧1なる自然数a、bが存在してn/m＝a/bであり、s＝(a/b)t。
故に、G(s)＝G((a/b)t)＝G(t)となるが、a、bが互いに素であるか否かに関わらず、
G((a/b)t)、G(t)のどちらか片方、かつその一方にのみ属する点が必ず存在するから、
G((a/b)t)≠G(t)であることになって矛盾。
564 ：１３２人目の素数さん：2015/03/18(水) 15:58:59.98 ID:/eYL1Gmz.net: >>558
あっ、>>563では最後に
>故に群の集合族{G(s)⊂C^{×}|s＞1}は非可算である。
と書く必要があるか。まあ、開区間(1,+∞)は非可算集合であることは、開区間(1,2)が非可算であることを
開区間(0,1)が非可算の証明に使ったカントールの対角線論法で同様に示し、それから(1,2)⊂(1,+∞)なることをいって示せる。
証明は殆ど同様の形になる。>>290を読む限りでは違う方法のようだ。
>６．(1＜)x1＜x2 なる実数からなる二つの最小の乗法群 G1とG2を考える。
>x1∉ G2 だから、G1≠G2となる。（細かい点は分かるだろうから省略）
だと、必ずしも(s＝)log(x_1)＝(a/b)・log(x_2)(＝(a/b)t)になるとは限らない。
565 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/20(金) 23:16:03.13 ID:YqNEqI5d.net: >>561-562
どうも。スレ主です。

ID:UUvM2zSjくんか、君たちもレベルが低そうだな。口先ばかりで
で、君たちにも、>>517の問題をぶつけよう
そうだな、君たちはレベルが低そうだから、問題を解けとはいわん

何でも良いから、>>517の問題を見て、思うところを書いてみな（笑い）
それで、君たちの数学レベルが透けて見えるから・・（笑い）
こう書けば、君たちには何もかけまい。書けるはずがないよね（クククッ）
566 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/20(金) 23:39:07.95 ID:YqNEqI5d.net: >>558
>well-definedね

ここに戻る、酒井克郎筑波大学下記より
https://sites.google.com/site/ksakaiidtopology/home/ri-ben-yunopeji/basic-topology
Homepage of Katsuro Sakai ; 酒井克郎のホームページ? > ?酒井克郎のホームページ? > ?
集合と位相の基礎知識
大学の 1, 2 年では、集合と写像について学ぶ。現代数学を学ぶ上で、集合と写像は数学の言語とも言える基礎概念である。
大学の 2, 3 年では位相空間と連続写像に関する基本的な事柄を学ぶ。
添付ファイルは何年か筑波大学で担当した講義の際にまとめた講義録であり、ご自由にダウンロードできます。
ご意見・ご感想など、gmail.com のアドレス k.sakai.top にお寄せ下さい。

https://docs.google.com/viewer?a=v&pid=sites&srcid=ZGVmYXVsdGRvbWFpbnxrc2FrYWlpZHRvcG9sb2d5fGd4OjUxMzU4MWE1MDIxM2YxMmQ
2012 年改訂版集合入門集合と写像の基礎概念酒井克郎筑波大学・数学系

はじめに
　集合や写像に関する命題の証明が書けるようになること, 商集合の扱いになれ, well-definedness に対する認識を持てるようになることも大切
な目標となっている.

P33「数学では, ある集合の上に様々な概念や事柄を定義して, それについて議論を進めていくが,
何かを定義をする場合, “その定義には矛盾がなく適切か”, 言い換えれば, “矛盾無く適切に定義できているか” が問題となることが多い.
“矛盾無く適切に定義できている” ということを“well-defined” であるという.
考えている集合が商集合の場合, ある概念を定義するとき, 商集合の元ではなく, その代表元を用いて定義することが少なくない.
この場合の“well-defined” の問題は, “代表元の取り方に依存せずに定義できているかどうか” ということである.」
567 ：１３２人目の素数さん：2015/03/20(金) 23:54:14.57 ID:WYbmvuv/.net: >>565
お前自分で解けないからってしつこく聞くなよみっともないｗ
群論の初歩問題でさえ赤っ恥解答のお前に解けるはずないもんなｗ
568 ：１３２人目の素数さん：2015/03/20(金) 23:59:15.48 ID:WYbmvuv/.net: >>566
やっと
＞429 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/07(土) 21:05:06.49 ID:CATUi/5b
＞２．>>423の「(2) 定義がもともとの対象から複数定まる対象を経由して行われる場合、結果がもともとの対象にのみ依存する。」を示すには、>>425”g1,g2・・・は、上記Nでの剰余類別の代表元”が一意であることを示せばよい
が大馬鹿発言って気付いたのか？遅いぞ馬鹿
569 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/20(金) 23:59:43.35 ID:YqNEqI5d.net: >>566
酒井克郎筑波大
・商集合の扱いになれ, well-definedness に対する認識を持てるようになる
・考えている集合が商集合の場合, ある概念を定義するとき, 商集合の元ではなく, その代表元を用いて定義することが少なくない.
・この場合の“well-defined” の問題は, “代表元の取り方に依存せずに定義できているかどうか” ということである.

さて
・「定義」を見たとき、その定義がwell-definedであるかどうかを気にできるようになったらかなりの上級者である。>>549
という
>>417の出題者 ID:Pt6N2tUG くんを、”well-defined”について、Ｘ級位者だとしてみよう

問題は、Ｘ級が初級なのか上級なのかだ
早めに言っておくが、明らかに出題者 ID:Pt6N2tUG くんは、私スレ主より上位者だ

だが、私が下位だから、愚直にwikipediaのwell-definedを調べた。>>423だ
そして、上記酒井克郎筑波大とほぼ同じ結論に達した
「この場合の“well-defined” の問題は, “代表元の取り方に依存せずに定義できているかどうか” ということである.」と

そして、この方針に沿って証明を書いた
それが>>461だ（つまりは、商集合を使った積は群で定義された積を使っているので、“代表元の取り方に依存せずに定義できているかどうか”がポイントだと）

これに対して、出題者は>>476
「正直>>462以降は何が言いたいのかよくわからないが、>>417の出題で意図された"well-defined"は証明できてないと思われる。」
「つまり証明すべきことは「g,g',h,h'∈G に対し、gN=g'N かつ hN=h'N ならば g*hN=g'*h'N」という命題。」
だと

もう言いたいことはお分かりだろう
570 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/21(土) 00:03:28.34 ID:ooXUMShZ.net: >>567-568
面白いやつ
>>517の問題は解けたか（笑い）

もう一週間笑えそうだな（クククッ）
571 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/21(土) 00:07:08.53 ID:ooXUMShZ.net: >>517の問題を再録しておこうか？
「ゼロを除く複素数の成す乗法群の集合は、連続濃度の”べきの濃度”を持つ」は正しいか否か
理由を付して述べよ

「複素数の成す乗法群」なんて、高校生レベルだろうよ？　これが分からないようじゃ、大学数学は無理
572 ：１３２人目の素数さん：2015/03/21(土) 00:11:55.01 ID:eCYLhHIT.net: （´･∀･`）ﾍｰ
573 ：１３２人目の素数さん：2015/03/21(土) 00:15:47.04 ID:8RykR7UY.net: >>571
じゃあスレ主は大学数学無理だね
574 ：１３２人目の素数さん：2015/03/21(土) 00:17:06.27 ID:le0Wvqws.net: >>571
それ、マスゴミがよくやる手口だよね
575 ：１３２人目の素数さん：2015/03/21(土) 02:57:24.82 ID:o57Ps3qH.net: >>417です。

とりあえず>>417の問題について。
(1)は>>440での"逆の包含"が残ってるので未完。
そしてここの理解が不足してるなら、(2)の"正規であること"の証明も不十分と言わざるを得ないかな。
もし修正するなら、>>440のように正規部分群のどの条件を示すのかはっきり提示して、それを示すのがいい。

あんまりしつこく>>417を引っ張るのも申し訳ないんで、(1)(2)についてはスレ主の好きにしてくれ。

ちなみに誘導したつもりは特になかった
576 ：１３２人目の素数さん：2015/03/21(土) 03:02:09.74 ID:8RykR7UY.net: >>557
>出題者は、いちおう全問正解をくれたよ
↑
嘘つきは朝鮮人の始まり
577 ：１３２人目の素数さん：2015/03/21(土) 03:26:59.06 ID:o57Ps3qH.net: >>569
>>461は「類別がうまくいく」ことの証明になっている。
出題したのは「演算がうまくいく」こと、
つまり、代表元の取り方に依存せず「積が」定義できていることの証明。これは別の話。

現に、せっかく>>425で
＞剰余群 G/Nの積を、giN*gjN＝gi*gjNで表す
と定義したのに、>>461では全くこの積が現れない。

で、代表元の取り方に依存せず積が定義できている、というのがまさに
「g,g',h,h'∈G に対し、gN=g'N かつ hN=h'N ならば g*hN=g'*h'N」
ということなんだが、伝わってなかったんかな・・・
578 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/21(土) 06:26:50.79 ID:ooXUMShZ.net: >>575
どうも。スレ主です。

>(1)は>>440での"逆の包含"が残ってるので未完。

いや、終わっているよ。
>>440で、”群が正規部分群であることを示す。「N=gNg^-1」の形を使う”と書いた

"「N=gNg^-1」の形"とは、数学的に正確に述べれば、「G の任意の元 g に対して gNg?1 = N が成り立つ。」by wikipedia （下記URL 因みに群論のテキストなら書いて有るとおり）
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E8%A6%8F%E9%83%A8%E5%88%86%E7%BE%A4

そして、証明はもともとこの文脈で書いている
>>454で、「n∈Ker(f) とする」→「∀n∈Ker(f) とする」と書いてある
そして、文脈からgについても、∀g∈Gだよ

だからそもそも、>>442の「うん、いいんじゃないかな」、「逆の包含を言ってないってことか？
それは問題ない。が、スレ主が分かっててやってるかは知らないので説明はスレ主に譲る。」
ってことだった

つまり、出題者は、暫定OKを出した。そして、私は>>454の補足説明をしたし、∀g∈Gは「N=gNg^-1」の”形”の中に込めている
つまり、∀g∈G & ∀n∈Ker(f) について述べたから、逆の包含も終わっている
（なお、∀を省略しているのは、省略しても自明だからと∀を記号から呼び出すのが面倒>>458だからの二つの理由からだ）
579 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/21(土) 07:01:07.84 ID:ooXUMShZ.net: >>577
well-definednessについては、いまだ勉強中だけど、重要な概念だということは良く分かった。ありがとう
明らかに出題者 ID:Pt6N2tUG くんは、私スレ主より上位者だということは、再度強調しておく。で、

１．酒井克郎筑波大”ある概念を定義するとき, 商集合の元ではなく, その代表元を用いて定義することが少なくない. この場合の“well-defined” の問題は, “代表元の取り方に依存せずに定義できているかどうか” ということである.”と
２．で、「>>417の文脈で well-difined ときたら普通は>>476のように解釈すると思うんだが俺が勉強不足なんだろうか。第三者の意見がないと何とも」>>503だったよね
３．そして、”つまり証明すべきことは「g,g',h,h'∈G に対し、gN=g'N かつ hN=h'N ならば g*hN=g'*h'N」という命題。”>>476だった
４．さらに、”well-defined を知らないんだったら(3)は無理にやらなくていいよ。知識を問いたいわけじゃないから。well-defined の意味を知らずに>>423だけ見て正しい証明を書くなんて、少なくとも俺にはできない。 ”>>438だった

が、「>>423だけ見て正しい証明を書く」というのが上級者のような気がするんだよね
酒井克郎筑波大”商集合の扱いになれ, well-definedness に対する認識を持てるようになる ”とか
雪江明彦”代数では『well-defined』ということがなかなかわかってもらえず苦労するが，この問題はまさに『well-defined』とはどういうことかということを問う問題.
採点してみて，大部分の人がまだ『well-defined』という概念を理解していないことがわかった. ”>>550
とかの先生がたの発言を読むと

確かに、”代表元の取り方に依存せず「積が」定義できていることの証明。これは別の話”だと。それは、正しい
が、私が考えたのは、まず”代表元の取り方に依存せず”を証明しようとしたんだ、well-definednessの初心者以前だから
そして、それさえ証明すれば、あと（「積が」定義できているこ）はほぼ自明だと

>>447に書いたように、”正規部分群の性質を強く使えば、１通りはすぐ言えそうだが ”とは思ったんだよね
まあ、それが、上記３（>>476）だったんだね、おそらく
580 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/21(土) 07:53:40.79 ID:ooXUMShZ.net: >>579 つづき

”つまり証明すべきことは「g,g',h,h'∈G に対し、gN=g'N かつ hN=h'N ならば g*hN=g'*h'N」という命題。”というのは、商群についてならば、これが最短かつ必要十分なんだろう

>>461のような、剰余類別の一意性は、すでに教科書の前の部分に示されているか、あるいは正規部分群の性質を強く使えば、”g*hN=g'*h'N”は簡単なのかも

>>417 "(3)
G を群とし、N を G の正規部分群とする。
剰余群 G/N における演算の定義を述べ、
それが well-defined であることを示せ。"

これ、まさに酒井克郎筑波大「この場合の“well-defined” の問題は, “代表元の取り方に依存せずに定義できているかどうか” ということである」
そして、１）代表元の取り方に依存せず一意であることを示し、２）次に演算についても一意であることを示す
この二段階に分ける。これが、「well-defined の意味を知らずに>>423だけ見て正しい証明を書く」こと

つまりは、剰余類群という個別の定義を離れて、上位概念としてのwell-definednessの視点だと思うんだよね
で、さきに、１）は>>461-462で示した
２）は、ほぼ自明で、実質は１）で終わっていると思っていたが（>>479）
確かに問題として出題されれば、出題者のいうとおりだ

で、>>480を書いた。これは、出題者の誘導があってのことだが、”はい、よくできましたっと ”OKを出して貰った>>503
581 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/21(土) 08:12:32.01 ID:ooXUMShZ.net: >>580 つづき

well-definednessの概念は、当然ガロアの時代にはない
が、正規部分群と商群の概念はガロアの発明と思う

彌永「ガロアの時代ガロアの数学」第1部時代篇
P249 で、G=H+HS+HS'+・・・とG=H+TH+T'H+・・・とが、一致する場合として、固有分解（一意という意味だろう）の概念を示している
オーギュスト・シュバリエへの遺言の中で

彌永「ガロアの時代ガロアの数学」第2部数学篇
P241で、商群の概念を示している。ガロア第一論文の命題IVだ。命題IVによって、群の縮小つまり正規部分群による商群を実質的に示している
命題Vで、群の縮小の概念を使って、方程式の群の可解性の概念を示している

なかなか見事なものです
582 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/21(土) 09:30:41.53 ID:ooXUMShZ.net: >>566
酒井克郎筑波大学 2012 年改訂版集合入門集合と写像の基礎概念
P60 定理6.7 カントールの対角線論法で
”hi(i) が奇数ならxi = 2, hi(i) が偶数ならxi = 1 とする. ”ってところが、「おっ！」って感じ。良いね
>>527の渡辺治 [PDF]計算複雑さ解析法＃2 対角線論法 - TOKYO TECH OCW P4 2 進数αを使った説明に繋がる感じだね
583 ：１３２人目の素数さん：2015/03/21(土) 10:33:55.60 ID:8RykR7UY.net: >>578
スレ主はやっぱり正規部分群がわかってない
と言うより、数学の基礎がわかってないから正規部分群もわかってないと言う方がより正確か
とにかく馬鹿過ぎて群論どうこう以前のレベルだ
584 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/21(土) 12:03:49.51 ID:ooXUMShZ.net: >>583
どうも。スレ主です。
その声は、ぱーちくりん連呼くんか・・
だれが見ても、一番分かっていないのは君だろう

>>517の問題は解けたか？　また、来週も君の泣き顔が見られそうだな

”連呼くん”には、>>392の問題１を出しておいた。易しい方の問題だ。>>80で2015/02/21(土) だったね
これさえ、君には無理だったが
>>406 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2015/03/07(土) 15:59:06.20 ID:Pt6N2tUG さんがあっさり解いたね

君のレベルの低さは圧倒的だな（笑い）
585 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/21(土) 12:07:04.92 ID:ooXUMShZ.net: >>582
集合論の続き

次元の話
http://ncode.syosetu.com/n0050be/10/
Ｐ１１　【連続体仮説】の意外な結末
(抜粋)
カントールは数直線上の点と平面上の点が同じ個数だけある事を自（みずか）ら証明してしまいます。
果たしてカントールはいかにしてそれを証明したのか？

そこで数直線上の点に対応した１つの実数をａで表し，平面上の点を２つの実数の組（ｘ，ｙ）で表す事にします。
前回、どんな実数も無限小数で表せると言いました。実数ａを無限小数で表す事にします。例えば
　　ａ＝７２１．３８５９７１２７４６……
この時、平面上の点として
　　（７１．８９１７６……　，２．３５７２４……）
を対応させます。対応のさせ方は
　　ａ＝【７】２【１】．３【８】５【９】７【１】２【７】４【６】……
このように実数ａに現れる数字を先頭から１つとびでとって（ｘ，ｙ）のｘ座標へ。そしてその間に現れる数字をとって（ｘ，ｙ）のｙ座標へ対応させるのです。
この対応の仕方だと、数直線上のどんな点も平面上の点へ１対１で対応出来ます。

ちなみに上記の対応で１つの実数に対し２つとびや３つとびを考えると、直線上の点は空間上の点や４次元空間上の点への全単射も作る事が出来ます。
つまり直線上の点と空間上の点も同じ個数ある（同じ濃度である）んですね。
直線上にある点が、平面や空間にある点と同じだけある……
カントールは自分の証明を見て
　　【私にはそれが見える。だが、信じる事が出来ない】
という言葉を、友人のデデキントの手紙の中で語ったといいます。

http://oshiete.goo.ne.jp/qa/18806.html
Q 直線上の点の数と平面上の点の数は本当に等しいの？ 2000-12-14
質問者が選んだベストアンサー
ペアノ曲線。１本の連続曲線で正方形を埋め尽くすことができます。
従って、この曲線の長さにそった１次元の座標と、正方形上の２次元座標とが対応づけられます。 👀
586 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/21(土) 12:10:19.57 ID:ooXUMShZ.net: >>583

次元の話補足（下記に分かり易い図がある）
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/dimension/dimension.htm
次元の話題　

ペアノ曲線の構成は、ヒルベルトにより、次のように説明されている。

　このような曲線の出現により、次元の定義が見直され、現在、種々の定義が考案されてい
る。（フラクタル次元、相似性次元、ハウスドルフ次元、容量次元、情報量次元、・・・）
　
　フラクタル（Ｆｒａｃｔａｌ）という言葉は、１９７５年、マンデルブロ（Ｍａｎｄｅｌｂｒｏｔ）により作られた。
物が壊れて、小さな破片や大きな破片がたくさん集まったような状態を意味するらしい。
587 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/21(土) 12:35:03.21 ID:ooXUMShZ.net: >>586

補足（村田全先生2008年7月6日逝去か）
http://fomalhautpサクラ.ne.jp/Science/Murata/cantor-menge-utf.pdf 　サクラがNGがらしいので各自検索のこと
カントルの集合論形成のスケッチ
『数学と哲学との間』所収。カントルが集合論を作り上げるまでの簡明な解説
（抜粋）
この稿の原型は1989 年「数学若手の会」での講演を同会会誌に載せた文章だが，今回，基本線だけを保存
して，一般の読者にも読めるように全面的に書き直し，二三の専門用語には解説を付けた。説明のない術
語は読み飛ばされても全体の理解に差し支えはないと思う。

さてカントルはこのようにして集合に濃度を付与し，可算濃度と連続体濃度と
を分かつのですが，デデキント宛の書簡から見ると，カントルは当初，直線，平
面，立体的空間……，の順で濃度が上がって行くと考えていたようで，それが全
て連続体濃度に帰着するというのがこの論文の主要な結果です。彼はここで，古
典的な「次元」の概念はその意味を失ったと考え，大変興奮したことがデデキント
宛の書簡に残っています。ところがここで驚くのは，この手紙の数日後のデデキ
ントの返事です。彼はカントルに「貴君の証明は誤っていません。ただ，貴君が
直線と平面との間に用いた一対一対応は連続性が欠けています。それにしてもそ
れは驚くべき事実ですが，一対一両連続な対応（今日の位相変換）の下であれば，
次元の消滅は起こらないのではないでしょうか」という意味のことを書き送りま
す。デデキント自身同様のことを以前から考えてはいたらしいのですが，それに
してもこの洞察も驚くべきことです。カントルはこの論文に引き続いて，位相的
対応の下での次元の不変性の証明を試みますが(1879)，それは完全でなく，後に
ブロウエルがはじめてそれに成功します(1910)。

http://fomalhautpsサクラ.ne.jp/　サクラがNGがらしいので各自検索のこと
科学図書館（2012/06/04 改訂)

村田　全の部屋(2008年7月6日逝去)
――透徹した史観と幅広い視野を持つ数学史家・村田全の著作を収めた部屋――
――ここに収録した著作は著作権者の許諾のもとに掲載したものです。私的利用は問題ありませんが、商用目的に使用される場合は、ご連絡ください。
588 ：１３２人目の素数さん：2015/03/21(土) 12:38:04.50 ID:8RykR7UY.net: >>584
君がわかってないことを証明できるよ
(1)だけでいいからもう一度証明を書いてごらん
「～は～に書いた」とかじゃなく、１レス内で完結するように整理して書いてごらん
君はわかってないから書ないだろうけど
589 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/21(土) 13:06:07.01 ID:ooXUMShZ.net: >>586

つづき（サクラがNGがらしいので各自検索のこと）

『ブルバキ　数学史』を斜め読みしたが、ちょっと内容が古いか・・。いまどき、『ブルバキ　数学史』を読む人も少ないかも
が、『ブルバキ　数学史』観が、世界に与えた影響は大きいかもしれない・・
http://fomalhautpsa.サクラ.ne.jp/Science/Murata/bourbaki-utf.pdf
『ブルバキ　数学史』について
邦訳『ブルバキ　数学史』の「訳者覚えがき」を大幅に加筆訂正し、あらたに参考文献も付け加えた．ブルバキの数学史を批判的に紹介しながら、随所に著者の独自の数学史観を展開している．

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9D%91%E7%94%B0%E5%85%A8
抜粋
村田全（むらたたもつ、1924年3月11日 - 2008年7月6日）は、日本の数学史学者・数理哲学者、立教大学名誉教授。

来歴
兵庫県出身。北海道帝国大学理学部卒。
「Problems of the mathematical infinity : on some aspects of the concept of anti-set-theoretical totality（数学的無限についての諸問題）」で慶應義塾大学文学博士[1]。
1971年、立教大学教授。1989年、定年退任、名誉教授、桃山学院大学文学部教授。1994年、退職。
1972年から1974年まで、フランス国立科学研究センター研究員。国際科学史アカデミー会員。

翻訳
G・カントル『超限集合論』功力金二郎共訳　共立出版、1979　現代数学の系譜
590 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/21(土) 13:07:24.03 ID:ooXUMShZ.net: >>588
具体的に指摘してみな（笑い）
>>517の問題は解けたか？（笑い）
591 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/21(土) 13:25:05.67 ID:ooXUMShZ.net: >>533

関連
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%AA%E9%9B%86%E5%90%88
（文字化けご容赦、修正しません）
冪集合（べきしゅうごう、英: power set）とは、数学において、与えられた集合から、その部分集合の全体として新たに作り出される集合のことである。べきは冪乗の冪（べき）と同じもので、冪集合と書くのが正確だが、一部分をとった略字としてしばしば巾集合とも書かれる。

集合と呼ぶべき対象を公理的に構成的に与える公理的集合論では、集合から作った冪集合が集合と呼ばれるべきもののうちにあることを公理の一つ（冪集合公理）としてしばしば提示する。

冪集合の濃度
の部分集合 A とその指示関数 \chi_A : S \to \{0,1\} すなわち

\chi_A(x) := \begin{cases} 1 & {\rm if}\ x \in A \\ 0 & {\rm if}\ x \notin A \end{cases}

を対応づけることにより、冪集合 2^S と {\rm MAP}(S,\{0,1\})=\{0,1\}^S が一対一に対応する。
これは、S の元 a が部分集合 A に属するとき 1、属さないとき 0 をラベル付けすることで部分集合 A が特定できるということに対応する。
したがって特に A の濃度 {\rm card}(A) が有限の値 n であるとき冪集合 2^A の濃度 {\rm card}(2^A) は 2^{{\rm card}(A)}=2^n に等しい。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E7%A4%BA%E9%96%A2%E6%95%B0
数学において指示関数（しじかんすう、indicator function）、集合の定義関数あるいは特性関数（とくせいかんすう、characteristic function）は、集合の元がその集合の特定の部分集合に属するかどうかを指定することによって定義される関数である。

確率論においては、分布関数のフーリエ変換を「分布の特性関数」と呼ぶため、区別のために「集合の特性関数」を「指示関数」、「分布の特性関数」を単に「特性関数」と読んで区別する傾向が強い。
また一般には、「集合の定義関数」を単に「定義関数」と呼ぶことが多いが、これも文脈上の意味が明らかな場合のことである。
592 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/21(土) 13:28:07.90 ID:ooXUMShZ.net: >>590
補足

>具体的に指摘してみな（笑い）

具体的に指摘は、できんよ
君には
君は、自分の数学能力の低さがばれるのを極度に恐れて、数学的なカキコはずっと避けてきた
それは感じている

君にはできない
断言しておく
すれば、命取りだもんね（笑い）
593 ：１３２人目の素数さん：2015/03/21(土) 13:54:57.19 ID:8RykR7UY.net: >>592
何を恐れている？たった一問証明を書くだけなのに何故逃げる？

＞君は、自分の数学能力の低さがばれるのを極度に恐れて、数学的なカキコはずっと避けてきた
誰と勘違いしてるんだ？
594 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/21(土) 14:07:23.47 ID:ooXUMShZ.net: >>593
その声は、ぱーちくりん連呼くんと思ったが・・？
ともかく、おれは、もう終わったんだ
文句があるなら、具体的に言ってくれ
595 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/21(土) 14:10:38.49 ID:ooXUMShZ.net: >>591
関連
http://en.wikipedia.org/wiki/Cantor%27s_first_uncountability_proof
（文字化けご容赦、修正しません）
Cantor's first uncountability proof

The proofs
To prove that the set of real algebraic numbers is countable,
Cantor starts by defining the height of a polynomial of degree n to be: n ? 1 + |a0| + |a1| + … + |an|, where a0, a1, …, an are the (integer) coefficients of the polynomial.
Then Cantor orders the polynomials by their height, and orders the real roots of polynomials of the same height by numeric order.
Since there are only a finite number of roots of polynomials of a given height, Cantor's orderings put the real algebraic numbers into a sequence.[11]

Next Cantor proves his second theorem: Given any sequence of real numbers x1, x2, x3, … and any interval [a, b], one can determine a number in [a, b] that is not contained in the given sequence.[12]
596 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/21(土) 14:16:17.25 ID:ooXUMShZ.net: >>595
関連
http://en.wikipedia.org/wiki/Cantor%27s_diagonal_argument
（文字化けご容赦、修正しません）
In set theory, Cantor's diagonal argument, also called the diagonalisation argument, the diagonal slash argument or the diagonal method,
was published in 1891 by Georg Cantor as a mathematical proof that there are infinite sets which cannot be put into one-to-one correspondence with the infinite set of natural numbers.[1][2][3]
Such sets are now known as uncountable sets, and the size of infinite sets is now treated by the theory of cardinal numbers which Cantor began.

The diagonal argument was not Cantor's first proof of the uncountability of the real numbers;
it was actually published much later than his first proof, which appeared in 1874.[4][5]
However, it demonstrates a powerful and general technique that has since been used in a wide range of proofs, also known as diagonal arguments by analogy with the argument used in this proof.
The most famous examples are perhaps Russell's paradox, the first of Godel's incompleteness theorems, and Turing's answer to the Entscheidungsproblem.

General sets
A generalized form of the diagonal argument was used by Cantor to prove Cantor's theorem: for every set S the power set of S, i.e., the set of all subsets of S (here written as P(S)), has a larger cardinality than S itself.

This proof proceeds as follows:
Let f be any function from S to P(S). It suffices to prove f cannot be surjective.
That means that some member T of P(S), i.e., some subset of S, is not in the image of f. As a candidate consider the set:

T = { s ∈ S: s ? f(s) }.

For every s in S, either s is in T or not.
If s is in T, then by definition of T, s is not in f(s), so T is not equal to f(s). On the other hand, if s is not in T, then by definition of T, s is in f(s), so again T is not equal to f(s); cf. picture.
597 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/21(土) 14:19:29.78 ID:ooXUMShZ.net: >>594
こうしようか？
>>517の問題について、先に何か書いてくれ
それで君のレベルが分かるから
そうすれば、こちらも書こう（もう終わっているんだがね）
598 ：１３２人目の素数さん：2015/03/21(土) 14:21:02.67 ID:8RykR7UY.net: >>594
そうだね
１レスでまともに書けない時点で不正解で終わり
君は群論の初歩問題も解けないレベルってことでいいかな？
599 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/21(土) 14:23:50.58 ID:ooXUMShZ.net: >>596

関連
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%B3%E3%83%88%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%AF%BE%E8%A7%92%E7%B7%9A%E8%AB%96%E6%B3%95
（抜粋。文字化けご容赦、修正しません）
カントールの対角線論法（カントールのたいかくせんろんぽう）は、数学における証明テクニック（背理法）の一つ。
1891年にゲオルク・カントールによって非可算濃度を持つ集合の存在を示した論文[1]の中で用いられたのが最初だとされている。
その後対角線論法は、数学基礎論や計算機科学において写像やアルゴリズム等が存在しない事を示す為の代表的な手法の一つとなり、例えばゲーデルの不完全性定理、停止性問題の決定不能性、時間階層定理といった重要な定理の証明で使われている。

対角線論法
集合による表現

対角線論法とは、陰に陽に以下の補題を使って定理を証明する背理法の事である。

Xを集合とし、2XをXのべき集合とする。さらにψをXから2Xへの写像とする。Xの部分集合YをY=\{x\in X: x\notin\psi(x)\}により定義すると、ψ(x)=Yとなるx∈Xは存在しない。

上の補題は以下のように示せる。ψ(x)=Yとなるx∈Xが存在すると仮定したうえでxがYの元であるか否かを考える。
もしxがYの元であればx∈Y=ψ(x)である。しかしYの定義より、Yはx\notin\psi(x)を満たすxの集合であるので、x\notin\psi(x)でなければならず、矛盾する。
反対にもしxがYの元でなければx\notin Y=\psi(x)であるが、Yの定義により、x\notin\psi(x)であるxはYの元でなければならず、やはり矛盾する。
600 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/21(土) 14:25:25.78 ID:ooXUMShZ.net: >>598
そうだね
やっぱ、逃げ回りは君だと>>597
その一言で証明終わり（QED）
601 ：１３２人目の素数さん：2015/03/21(土) 14:34:18.47 ID:8RykR7UY.net: >>600
意味不明、いつ俺が>>517とやらを解くと言った？
お前は(1)を解いたと言ったから、１レスで整理して書けと言ってるだけなんだが。
602 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/21(土) 14:59:16.48 ID:ooXUMShZ.net: >>601
意味不明。
言い訳だけは一人前
逃げ回り
603 ：１３２人目の素数さん：2015/03/21(土) 15:00:54.39 ID:8RykR7UY.net: >>602
言い訳とは？何に対する？逃げ回りとは？何から？
前は(1)を解いたと言ったから、１レスで整理して書けと言ってるだけなんだが。
604 ：１３２人目の素数さん：2015/03/21(土) 15:10:24.09 ID:wGjFnCi7.net: スレ主よ。それにしてもさ、ちょっと聞いておくれよ。
伝書鳩が野生化したドバトっていうヤツ何とかならないかね。
何かここ1ヶ月あたり、近所に巣を作ったみたいで、
机で数学していると、毎日午前中に糞をしに家のベランダに来て糞を落として行っているんです。
これを無視したら無視したで余計糞をして汚すことになって、
病原菌やウイルス撒き散らす位に医学的にもよくないからさ、毎日数学の途中で毎回掃除ですよ。
カラスはまだ頭が良くて学習能力があるから可愛げが合っていいんだけど、
ドバトはとにかくしつこくて、パカパカ繁殖しまくっている
だけのどうしようもないバカ鳥で、天敵も少なくて本当にどうしようもないんです。
ドバトは糞に医学的問題があるから共生しようもなく、天敵のオオタカは普段都市には来ないだろ。
よくもまあ、こんな生き物鳥獣保護法で保護しているなと思ってさ。
こんなヤツ等を法律で保護するなとを。
政治家や役人もとっとと容赦なく捕獲とか出来るように法律改正しろと。
ホントここ数週間、ドバトはストレスの種です。
605 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/21(土) 17:55:21.71 ID:ooXUMShZ.net: >>603
どうも。スレ主です。
逃げ回りとは？　数学的に意味あるカキコをして、自分の数学レベルがばれることから
言い訳とは？上記に対してだよ
606 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/21(土) 18:02:26.57 ID:ooXUMShZ.net: >>603
(1)は解いた。>>440で終わっている。出題者は、>>442で「うん、いいんじゃないかな逆の包含を言ってないってことか？それは問題ない。」と
だから、本質的には終わっている

「が、スレ主が分かっててやってるかは知らないので説明はスレ主に譲る。」ということだったから
>>454と、そして>>578で説明した

以上で終わりだ
607 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/21(土) 18:05:37.23 ID:ooXUMShZ.net: >>604
どうも。スレ主です。
はい、毎日数学と途中で毎回掃除、ご苦労さまです
頑張って下さい
608 ：１３２人目の素数さん：2015/03/21(土) 18:08:28.29 ID:8RykR7UY.net: >>605
いつ俺が「数学的に意味あること書きます」って宣言した？
何故宣言してないことをやらないことが逃げになったり言い訳になったりするの？

お前は(1)を解いたと言ったから、１レスで整理して書けと言ってるだけなんだが。
609 ：１３２人目の素数さん：2015/03/21(土) 18:14:11.21 ID:8RykR7UY.net: >>606
だから、ごく普通の証明として、１レス内で完結するように整理して書けと言ってるだけなんだが、それすらできないの？
分かってないことがバレるのが恐いから？
610 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/21(土) 18:14:23.26 ID:ooXUMShZ.net: >>608
だから、逃げ回っているんだろ
言い訳して
611 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/21(土) 18:15:50.91 ID:ooXUMShZ.net: 文句があるなら、具体的に言ってくれ>>594と
だが、それをすると君の数学レベルがみえるからねー（笑い）
612 ：１３２人目の素数さん：2015/03/21(土) 18:21:52.48 ID:8RykR7UY.net: >>610
じゃあ数学的に意味のあること書いてあげるから、(1)の証明をちゃんと１レスにまとめて
それに対する具体的な指摘は意味のあることだろ？
ちゃんとまとまってなきゃ指摘のしようも無い

>>611
じゃあ具体的に書こうか
お前は未だ証明を完成させていない
はい、書いたよ
613 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/21(土) 18:32:29.81 ID:ooXUMShZ.net: 突然ですが、検索ヒットしたので貼る

http://opac.kanto-gakuin.ac.jp/cgi-bin/retrieve/sr_bookview.cgi/U_CHARSET.utf-8/NI20000546/Body/P01-21.html
n次元リーマン多様体におけるテンソル解析の黎明期大町英理子関東学院大学工学部教養学会科学/人間第38号 20091125

内容記述：
19世紀後半、リーマン幾何学におけるテンソル解析の手法が確立されていく過程で、主に1860年代にn次元での微分不変量を導入しようとする数学者達を取り巻いていた状況、および彼等の研究がテンソル解析の確立において果たした意義を考察する。
614 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/21(土) 18:34:04.78 ID:ooXUMShZ.net: >>612
どうも。スレ主です。
面白いね。これで、君の数学レベルが見えた（笑い）

だから、逃げ回っているんだろ
言い訳して

相手にする価値なしだな
615 ：１３２人目の素数さん：2015/03/21(土) 18:41:35.66 ID:8RykR7UY.net: >>614
だから俺が逃げ回らないようにするために早く１レスにまとめてくれよ
つーかお前は俺が逃げ回ってくれなきゃ困るんだろｗ
だから１レスにまとめるという簡単なことさえやらないんだよなｗ
はい、君の数学レベルみえた（笑い）
616 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/21(土) 19:51:02.88 ID:ooXUMShZ.net: >>615
どうも。スレ主です。
面白いね。これで、君の国語レベルが見えた（笑い）

１レスの制限2048バイト。全角文字で1024文字
「先生！　ぼく長文苦手。1000文字超える長文はだめです！」か・・

中学へ行け！（笑い）

追伸
出題者は、>>442「うん、いいんじゃないかな」って、３つぐらいのレスなど平気だろうさ
おまえ、レベル低すぎ。家で泣いてろ！（笑い）
617 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/21(土) 19:59:56.44 ID:ooXUMShZ.net: 突然ですが、検索ヒットしたので貼る

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%87%8D%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0
数学における多重線型代数（英語: multilinear algebra）とは、線型空間における多重線型性 (multilinearity) を扱う代数学の分野。
多重線型性は典型的には線型環における積の構造に現れている。

多重線型性を捉える基本的な対象としてテンソル代数（てんそるだいすう、tensor algebra）、対称代数（たいしょうだいすう、symmetric algebra）、外積代数（がいせきだいすう、exterior algebra）が挙げられる。

歴史
多重線型代数の起源は様々な形で19世紀における一次方程式（線型代数）の研究やテンソル解析などのいくつかの分野に辿ることができる。
20世紀前半の微分幾何学や一般相対性理論、あるいは応用数学の様々な分野におけるテンソルの使用によって多重線型代数の概念はさらに発展させられた。

20世紀の中頃になってテンソルの理論はより抽象的な形に再定式化された。
ブルバキによる『代数』[1]（の「多重線型代数」章）の執筆はこの過程に強い影響を与えており、実際のところ、多重線型代数という用語自体も彼らによって作られたものだとされている。
この時代にはホモロジー代数が多重線型代数の新たな応用先として現れていた。

ブルバキによる多重線型代数の再構成において、それまでの多重線型代数の一流儀であった四元数（より一般にはリー群との関係から導かれるような）を通じてテンソルを考える方法は打ち捨てられることになった。
ブルバキが採用したのはより圏論的な方法論であり、普遍性をもとにした議論によって多重線型代数の理論は大きく整理された。
こうして、テンソル空間を考えることによって多重線型性の問題が単なる線型性の問題へと言い換えられる、ともいうべき理解が得られた。
この過程で用いられる操作は純代数的なものであり、幾何学的な直感は見かけ上完全に排除されている。
多重線型代数の理論を代数的・圏論的に整理したことによって多重線型的な問題の「最適解」の概念がはっきりとしたものになる。
その場その場に応じた、座標系を用いたりして幾何学的な概念に訴える必要無しに、すべてのものが「自然に」構成できることになる。
618 ：１３２人目の素数さん：2015/03/21(土) 20:06:01.90 ID:8RykR7UY.net: >>616
文字数制限で書けないなら、ker(f)がGの部分群であることは省いていいよ
正規部分群であることの証明だけちゃんと書いてごらん
619 ：１３２人目の素数さん：2015/03/21(土) 20:18:48.61 ID:829x2NjU.net: >>613 >>617
接続って結構ナウくてホモロジー代数に載りにくい概念なんだよな。

正規部分群よりイデアルと準同型の関係の方をきちんと理解してる方が一般の代数っぽいと思う。
620 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/21(土) 20:23:01.75 ID:ooXUMShZ.net: >>618
1000文字超える長文がだめな中学頭の君に分かるようには書けんよ
家に帰りな（笑い）
621 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/21(土) 20:25:36.01 ID:ooXUMShZ.net: >>619
どうも。スレ主です。
すまん。内容は、理解できていないんだ。せっかくヒットしたから、天下のメモ帳に貼った

>接続って結構ナウくてホモロジー代数に載りにくい概念なんだよな。

そーなんか

>正規部分群よりイデアルと準同型の関係の方をきちんと理解してる方が一般の代数っぽいと思う。

ああ、そうなんかー
622 ：１３２人目の素数さん：2015/03/21(土) 20:33:30.31 ID:OiKiwLwN.net: 行列は一重線形で、行列式は多重線形か
623 ：１３２人目の素数さん：2015/03/21(土) 20:33:45.58 ID:8RykR7UY.net: >>620
何で逃げるんだよｗ
(1)だけ、しかも正規部分群の証明だけに限定してるのにｗ
やっぱりわかってないのかｗ
まあでもわかってないことを自覚できるようになった分以前より進歩してるかな（笑）
624 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/21(土) 20:35:04.29 ID:ooXUMShZ.net: >>621
”群を正規部分群で類別することによって剰余群を得るのと同様に、環を両側イデアルで類別することによって剰余環を得る”ですか。なるほど
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A4%E3%83%87%E3%82%A2%E3%83%AB （抜粋。文字化けご容赦、修正しません）
定義
環 R の部分集合 I が、加法群としての部分群であり、R のどの元を左からかけても、また I に含まれるとき、I を左イデアル (left ideal) という。
同様に任意の R の元を右からかけたものが I に含まれるとき、I を右イデアル (right ideal) という。
言い換えると、R の部分集合 I が左（右）イデアルであるとは、I が R の左（右）加群としての部分加群であることをいう。
左イデアルかつ右イデアルであるものを、両側イデアル (two?sided ideal) または単にイデアルという。
R が可換環である場合はこれらの概念は全て一致するため、単にイデアルと呼ばれる。
以下に述べるように、群を正規部分群で類別することによって剰余群を得るのと同様に、環を両側イデアルで類別することによって剰余環を得る。

I を環 R の両側イデアルとする。

a \sim b \iff a - b \in I

によって二項関係～を定義すると、これは同値関係になる。この同値類には自然に演算が定義できて、環になることが分かる。
新しく作られたこの環を R のイデアル I による剰余環と呼び、R/I と書く。商環と呼ばれる場合もある。

環の準同型の核はイデアルであり、逆にイデアルはある環準同型の核になる。群の場合と同じように、環についても準同型定理が成り立つ。すなわち、

f : R 1 → R 2 が準同型ならば、R 1 の核による剰余環 R 1/Ker f は準同型の像 Im f と同型である。
625 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/21(土) 20:38:32.31 ID:ooXUMShZ.net: >>623
逃げてるのは、中学頭の君だよ>>605
"(1)の証明をちゃんと１レスにまとめて・・”、”ちゃんとまとまってなきゃ指摘のしようも無い・・”か
そんなバカ頭じゃ、どうしよもないよ。もともと理解能力ゼロだ
626 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/21(土) 20:42:37.85 ID:ooXUMShZ.net: 「じゃあ具体的に書こうか
お前は未だ証明を完成させていない
はい、書いたよ」か

小学生レベルだな
627 ：１３２人目の素数さん：2015/03/21(土) 20:48:06.58 ID:8RykR7UY.net: >>625
そんな必死に誤魔化さんでもｗ
適当にごちゃごちゃ誤魔化し書いたものには指摘にも値しないってことだよ
指摘を受けたいなら、受ける側もそれなりの節度を持って臨まんとな
まあ、君の場合ガチで指摘を受けたくないんだろうけど（笑）
628 ：１３２人目の素数さん：2015/03/21(土) 20:49:00.06 ID:8RykR7UY.net: >>626
事実完成させてないだろｗ
629 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/21(土) 20:50:06.70 ID:ooXUMShZ.net: >>621

>接続って結構ナウくてホモロジー代数に載りにくい概念なんだよな。

そういや、思い出してきたが、接続の幾何が、物理への応用があるって話が、あったね
下記みたいな話で良いんかね・・
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6
幾何学（きかがく、古代ギリシア語: γηωμετρια , 英語: geometry[1] ）は、図形や空間の性質について研究する数学の分野である[2][3]。
イエズス会マテオ・リッチによるgeometriaの中国語訳であり、gi-hoというgeoに似た音と、ものの大きさを測るという意味を合わせた「幾何」を日本でも用いている。

20世紀前半には多様体は数学的に厳密に定式化され、ワイル、E･カルタンらにより多様体上の幾何学や現代微分幾何学が盛んに研究された[6]。
リーによって導入されたリー群によって、これらの様々な幾何学を不変にする変換群が与えられたが、カルタンはリー群を応用して接続の概念を導入し接続幾何学を完成させ[4]、これらの幾何学を統一化することに成功した[6]。
これはリーマンによる多様体と、クラインによる変換群の考えを統一化したとも理解できる[6]。これは現代では素粒子物理学などの物理学の諸分野でも常識となっている。
630 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/21(土) 20:52:03.62 ID:ooXUMShZ.net: >>627-628
だから
それを数学的に指摘したらどうよと
それを逃げ回る君

そりゃ、無理だよ
君の頭は、１０００文字でオーバーフローだもんな（笑い）
631 ：１３２人目の素数さん：2015/03/21(土) 20:56:02.21 ID:8RykR7UY.net: >>630
だから数学的に指摘して欲しいならちゃんと証明を書いたらどうよと
それを逃げ回る君

そりゃ無理だよ
君の頭は、上から目線は大好きだけど指摘されるのは大嫌いだもんな（笑い）
632 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/21(土) 21:03:14.12 ID:ooXUMShZ.net: >>622 関連

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1088123555
多重線形性てなんですか 2012/5/28

ベストアンサー

f:A→B
に関して
a,b∈A,α∈K
f(αa)=αf(a)
f(a+b)=f(a)+f(b)
が成り立っているときfは線形

今x1,x2,..,xn∈Aがあって
f(x1,x2,..,αxi,..,xn)=αf(x1,x2,..,xi,..,xn)
f(x1,x2,..,xi+xi',...xn)=f(x1,x2,..,xi,...xn)+f(x1,x2,..,xi',..,xn)
が成り立っているとき多重線形
行列式がそのひとつ

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F
現代的な行列式の概念の確立

現代的な意味での行列式という用語はコーシーによって初めて導入された。彼はそれまでに得られていた知識を統合し、1812年には積と行列式の関係を発表している（同じ年にビネも独立に証明をあたえていた）。
コーシーは平行して準同型の簡約化についての基礎付けの研究も行っている。

1841年に「クレレ誌」で発表されたヤコビの3本の著作によって行列式の概念の重要性が確立された。
ヤコビによって初めて行列式の計算の系統的なアルゴリズムが与えられ、またヤコビアンの概念によって写像の行列式も同様に考察できるようになった。
行列の枠組みはケイリーとシルベスターによって導入された。
ちなみにケイリーは逆行列の公式を確立させており、行列式の記号として縦棒を導入したのも彼である。

行列式の理論は様々な対称性を持つような行列についての行列式の研究や、線型微分方程式系のロンスキアンなど数学の様々な分野にあらたに行列式を持ち込むことが追求されている。
633 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/21(土) 21:09:50.11 ID:ooXUMShZ.net: >>631
どうも。スレ主です。
君が逃げ回っているのは、数学的に意味あるカキコをして、自分の数学レベルがばれることからだね
君は立派だよ、言い訳だけは

私スレ主は、すでに書いた >>436-440だ
これで出題者には、十分伝わった。だからの>>442「うん、いいんじゃないかな」だ
だが、残念なことに、君の頭の容量が、１０００文字なんだ。容量オーバーだったんだ（笑い）

家に帰って泣いてな（笑い）
634 ：１３２人目の素数さん：2015/03/21(土) 21:14:53.26 ID:8RykR7UY.net: >>632
n個のK^nの元からKの元への写像 f(x1,x2,..,xi,..,xn) が多重線型性と交代性を併せ持つなら、
f(x1,x2,..,xi,..,xn)=f(e1,e2,..,ei,..,en)det(x1,x2,..,xi,..,xn)（但しeiは単位ベクトル）
が成り立つ。つまり、多重線型性と交代性は行列式を特徴付ける。
Think different? by 2ch.net/bbspink.com
635 ：１３２人目の素数さん：2015/03/21(土) 21:17:47.08 ID:8RykR7UY.net: >>633
＞これで出題者には、十分伝わった。だからの>>442「うん、いいんじゃないかな」だ
>>450
Think different? by 2ch.net/bbspink.com
636 ：１３２人目の素数さん：2015/03/21(土) 21:20:27.63 ID:829x2NjU.net: あいかわらず平行線だな。

接続という概念をはじめ平行、平行線は幾何とかかわりが強い。
Think different? by 2ch.net/bbspink.com
637 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/21(土) 21:51:20.23 ID:ooXUMShZ.net: >>634
へー、書けるじゃん

>>635 ＞＞５７８
Think different? by 2ch.net/bbspink.com
638 ：１３２人目の素数さん：2015/03/21(土) 21:59:56.27 ID:8RykR7UY.net: >>632
＞1812年には積と行列式の関係を発表している
|AB|=|A||B| は、>>634 を使えばいとも簡単に証明できる。

>>637
＞へー、書けるじゃん
線型代数の入門レベルに過ぎない

＞>>635 ＞＞５７８
だから>>578が何の修正にもなっていないと
Think different? by 2ch.net/bbspink.com
639 ：１３２人目の素数さん：2015/03/22(日) 00:02:55.96 ID:+4s3Sa6v.net: どっちも一緒に黙っちゃったね。
640 ：１３２人目の素数さん：2015/03/22(日) 00:17:03.99 ID:zrXoqD+e.net: 俺(>>417出題者)の見解も>>638に同じ。>>578では説明になっていない。

>>440では「n∈Ker(f)　ならば　gng^-1∈Ker(f)」を証明している。
これはすなわち g・Ker(f)・g^(-1) ⊂ Ker(f) を示したことになる。
n や g は最初から任意。∀を付けても変わらない。

残る部分は逆の包含、すなわち「g・Ker(f)・g^(-1) ⊃ Ker(f)」の証明。
>>578で示せたというのなら、>>578を使ってこれを証明してみてくれ。
641 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/22(日) 08:06:39.49 ID:bOyC9x7S.net: >>638-640
どうも。スレ主です。
”Think different? by 2ch.net/bbspink.com”なので、それを考えていたんだが・・、バグか

で、本題
いや、みなさんレベル高いね。さすが大学の数学
ID:8RykR7UYさんは、ぱーちくりん連呼くんと思ったが、違うみたい
おっちゃんの添削をしているメンターさんかね？

「残る部分は逆の包含、すなわち「g・Ker(f)・g^(-1) ⊃ Ker(f)」の証明」か・・
それは、>>578とはちょっと違うかな？ほとんど終わっている気がするが、ほとんどではいかんと・・

問題再録 Q(1)>>417
G,G' を群とし、f:G→G' を準同型写像とする。
f の核 Ker(f) が G の正規部分群であることを示せ。
なお f の核とは、G' の単位元を e' としたときの
集合 {g∈G | f(g)=e'} のことである。

０．正規部分群の定義、「N=gNg^-1」の形を使う
１．gng^-1∈Ker(f)→g・Ker(f)・g^(-1) ⊂ Ker(f) （∀g∈G）を、すでに>>440で示した
２．そこで、n1,n2∈Ker(f),g∈Gとして
　　gn1g^-1≠gn2g^-1→n1≠n2が言える。
（∵gn1g^-1≠gn2g^-1の両辺に、左からg^-1を、右からgを作用させれば、n1≠n2だから）
３．よって、gng^-1とnとは、一対一対応がとれる
４．gng^-1∈Ker(f)であったから、「N=gNg^-1」が成り立つ。QED

では
642 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/22(日) 09:26:14.84 ID:bOyC9x7S.net: 共役の性質から従うんよね
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%B1%E5%BD%B9%E9%A1%9E#.E5.85.B1.E5.BD.B9.E9.A1.9E.E6.96.B9.E7.A8.8B.E5.BC.8F
群論において、任意の群は共役類に分割できる
同じ共役類の元は多くの性質を共有し、非アーベル群の共役類の研究はそれらの構造のたくさんの重要な特徴を明らかにする。すべてのアーベル群において各共役類は1つの元からなる集合（単元集合）である

定義
G を群とする。G の2つの元 a と b が共役であるとは、G の元 g が存在して　 gag?1 = b　を満たすことである
共役性は同値関係でありしたがって G を同値類に分割することが直ちに示せる
（これが意味するのは群の各元はちょうど1つの共役類に属し、類 Cl(a) と Cl(b) が等しいことと a と b が共役であることは同値であり、そうでなければ互いに素である。）G の元 a を含む同値類は
Cl(a) = { g ∈ G : ある x ∈ G が存在して g=xax?1 }
であり a の共役類と呼ばれる。G の類数とは互いに素な（異なる）共役類の個数である。同じ共役類に属するすべての元は同じ位数をもつ

部分群と一般の部分集合の共役
より一般に、G の任意の部分集合 S （S は部分群である必要はない）が与えられると、G の部分集合 T が S に共役であるということを、ある g ∈ G が存在して T = gSg?1 ということで定義する
Cl(S) を T が S に共役であるような G のすべての部分集合 T からなる集合として定義できる

頻繁に使われる定理は、G の任意の部分集合 S が与えられると、G における N(S) （S の正規化群）の指数は Cl(S) の位数に等しい：
|Cl(S)| = [G : N(S)]
これは従う、なぜならば g と h が G の元であれば、gSg?1 = hSh?1 であることと g?1h が N(S) の元であることは同値である、言い換えれば、g と h が N(S) の同じ剰余類の元であることと同値であるからである
この公式は共役類の元の数に対する前に与えられたものを一般化することに注意しよう（S = {a} とせよ）

したがって部分群は2つの部分群が同じ類に属することとそれらが共役であることは同値であるとして共役類に分けられることができる
共役部分群は同型であるが、同型な部分群が共役であるとは限らない。例えば、アーベル群は同型な 2 つの異なる部分群をもつかもしれないが、それらは決して共役でない
643 ：１３２人目の素数さん：2015/03/22(日) 10:40:41.71 ID:a/hNjCFp.net: 運営乙

I know they have nothing to tell at the 2ch.net!
644 ：１３２人目の素数さん：2015/03/22(日) 10:53:20.88 ID:ci45Olgb.net: >>641
２は、φ：g・ker(f)・g^-1→ker(f)、φ(n)=n の単射性を示したに過ぎない。
一方３はφが全単射であると言っているが、φの全射性が示されていないので駄目。
645 ：１３２人目の素数さん：2015/03/22(日) 11:39:09.60 ID:ci45Olgb.net: >>644
訂正
２は、φ：g・ker(f)・g^-1→ker(f)、φ(gng^-1)=n の単射性を示したに過ぎない。
646 ：１３２人目の素数さん：2015/03/22(日) 14:14:13.20 ID:FC94teXg.net: スレ主の自明なことの詳細な証明始まりました！
647 ：１３２人目の素数さん：2015/03/22(日) 14:16:26.67 ID:QgMGPgaD.net: ここはぱーちくりん張った結界である
パーチクリンに従うが良い
648 ：１３２人目の素数さん：2015/03/22(日) 15:19:54.29 ID:UPYEnrDT.net: >>641
>おっちゃんの添削をしている
本来、私は、高校数学の問題を解いている予備校講師らしき
研究者崩れの人間に添削される筋合いなどないのだ。
649 ：１３２人目の素数さん：2015/03/22(日) 15:21:42.52 ID:W9voAIXs.net: >>641
「一対一」(単射の場合)と「一対一対応」(全単射の場合)をしっかり区別して使うことは
代数以前の入門レベルの話だよね
650 ：１３２人目の素数さん：2015/03/22(日) 17:48:38.76 ID:1qc6c5xt.net: >>648

「わたしは、高校数学の問題を解いている予備校講師らしき研究者崩れの人間に、
　何度も何度も自分の証明を手取り足取り添削されてやっと正解に辿り着くことが出来ました」

と言っているようにしか見えないのだが、新しい自虐ネタのつもりかね？

お前の証明モドキを添削してたのは俺だが、高校数学の問題を解いているとはどういうことか？
俺は高校数学関連のスレには顔を出していない。

添削される筋合いなど無いというが、今まで散々間違えまくったザコのお前が言えたセリフではない。
一発で正しい解答が提示できていれば、他人の添削が入る隙など生じないのであり、
全てはお前の力不足が原因である(>>544で自覚しているようだが)。
お前自身、「自己査読していないことは自覚している(>>360)」とコメントしているように、
そのようないい加減な態度に甘んじていること自体が既にお話にならない。
他人の添削が入るのも当然の成り行きである。

数学で一番恐ろしいのは、自分の間違いにずっと気づかないことである。
俺が手取り足取りお前の証明モドキを添削しなければ、
お前は間違った証明をいつまでも正しい証明だと勘違いしたままだったことになる。
俺に感謝する必要は微塵も無いが、だからといって「添削される筋合いなど無い」なんて
クズもいいところだろう。今まで散々間違えまくったお前が言えたセリフではない。

やっと正解まで漕ぎ着けた>>512-514でさえ、なぜ上手くいったのか、
その正確な理由をお前は把握しておらず、正確な理由は俺が>>516で指摘したのである。
お前のレベルの低さがよく分かるだろう。
651 ：１３２人目の素数さん：2015/03/22(日) 17:51:56.91 ID:UuL3oCxD.net: お前は馬鹿くんと後藤おじさんってすごく仲良いよね
652 ：１３２人目の素数さん：2015/03/22(日) 18:04:35.04 ID:1qc6c5xt.net: >>648
さて、お前は>>545で
＞いや、オイラー数は確実に無理数ではあるよ。
と言っているが、そのオイラー数が

ttp://ja.wikipedia.org/wiki/オイラーの定数

のことを指しているのなら、それはまだ未解決問題だったはず。
もし本当に無理数であることが証明できているなら、さっさと論文にして
どこかの雑誌に投稿すべきである(もちろん、このスレに証明を書く必要はない)。

ま、どうせ「証明を間違えている」のがオチだろうがね。
いい機会だから、本気でその証明を検証してみたまえ。
どうせ間違いが見つかるよ。
653 ：１３２人目の素数さん：2015/03/23(月) 02:57:08.62 ID:B+4Lwrme.net: >>650
>お前の証明モドキを添削してたのは俺だが、高校数学の問題を解いているとはどういうことか？
>俺は高校数学関連のスレには顔を出していない。
おいおい、2015年3月12日に
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1423129012/
で

＞924 ：１３２人目の素数さん：2015/03/12(木) 13:16:42.03 ID:Mah1XYlY
＞>920(スレ利用者のため、ここはそう書く)
＞たとえば、ペアノの公理系はどのくらい「真理とはほど遠い」のかね。

とか(続き)
654 ：１３２人目の素数さん：2015/03/23(月) 03:10:14.67 ID:B+4Lwrme.net: >>650
(続き)

＞931 ：１３２人目の素数さん：2015/03/12(木) 15:49:35.35 ID:Mah1XYlY
＞>928(同様)
＞ユークリッド幾何学の何を証明するの？
＞「ユークリッド幾何学を証明する」では日本語になってないよ。
＞あと、それ以前の問題として、ペアノの公理系が
＞ユークリッド幾何学の何らかの対象を証明可能でなければならない理由は何？
＞
＞お前は「真理とはほど遠い」とほざいたんだぞ。それはすなわち、
＞
＞「とても真理とは呼べないシロモノが紛れ込んでいる」
＞
＞ってことだろ？
＞で、ペアノの公理系の場合は何が該当するの？
＞何が真理からほど遠いの？
＞俺はそれを聞いているわけだが、どうしてそこで
＞
＞「ユークリッド幾何学の何らかの対象を証明できなければならない」
＞
＞というトンチンカンな方向に行くわけ？
＞それとも、ユークリッド幾何学の何らかの対象を証明できなければ
＞真理とは呼べないわけ？だったら、なんでそこでユークリッド幾何学が中心に来てるの？
＞
＞そもそも、お前の言う真理って何？お前バカなの？

って書いてあるだろw
このスレの>>510-511のID:Mah1XYlYと見事に一致しているじゃないかw
違う人物が書いた可能性は低く、高校数学関連のスレに顔を出した可能性が高いぞ。
655 ：１３２人目の素数さん：2015/03/23(月) 03:36:52.28 ID:B+4Lwrme.net: >>652
己の能力不足を意識しており、投稿したその後のことが見えているので、
まだする気はない。或る程度、力が付いたと意識出来たらする。
他の定理も証明したりしているが、>>411を見たとき、もしかして
一瞬あの人かと思ったが>>477を見る限りでは必ずしもそのような即断は出来んな。
656 ：１３２人目の素数さん：2015/03/23(月) 03:58:46.51 ID:B+4Lwrme.net: >>650
あとさ、高校スレ見て見たが、
>＞ユークリッド幾何学の何を証明するの？
>＞「ユークリッド幾何学を証明する」では日本語になってないよ。
ってユークリッド幾何を知っているなら、
これ位「ユークリッド幾何学(の命題或いは定理)を証明する」って訂正して
>ユークリッド幾何学の命題或いは定理を証明するの間違いだろ。
とか書いて読めよw　これだと、場合によっては、
どこまで融通が利かないバカなんだと思われかねないぞ。
>>357で「センスなさすぎ。」とか「算数も出来てないじゃないか。」を
読む限りでは、外国行ったことあるのか否か少し疑わしいな。
657 ：１３２人目の素数さん：2015/03/23(月) 19:07:13.66 ID:yKyf3WgZ.net: >>653
それは確かに俺のレスである。
アホな書き込みにレスした記憶があるが、高校スレだったようだな。

高校スレに通うような習慣は本当に無いのだが、調べてみると、
922がageになっていて、その後に俺の924があることから、
高校スレが2chの先頭付近にあったときにたまたま見かけてレスしたのだろう。

>>655
なるほど、他人を勝手に
"高校数学の問題を解いている予備校講師らしき研究者崩れの人間"
という人物像にでっち上げておきながら、
当のお前は論文の1つや2つも書けないわけか。カスだな。

人物像といえば、このスレでは「後藤さん」とか「おっちゃん」といった
書き込みを目にするが、俺はお前のことを「おっちゃん」と呼んだことは一度もないし、
「後藤」という名前も意味が分からない。お前は数学板では有名人なのか？

>>656
＞>>357で「センスなさすぎ。」とか「算数も出来てないじゃないか。」を
＞読む限りでは、外国行ったことあるのか否か少し疑わしいな。
意味不明。それらのレスと「外国」に何の関係があるのか？
というか、外国に行ったことがある・ないという話そのものが意味不明。
外国に行けばお前のような低レベルの人間が出来上がるという自虐ネタかね？
658 ：１３２人目の素数さん：2015/03/24(火) 13:12:36.36 ID:1hB1LM4o.net: >>657
>＞>>357で「センスなさすぎ。」とか「算数も出来てないじゃないか。」を
>＞読む限りでは、外国行ったことあるのか否か少し疑わしいな。
>意味不明。それらのレスと「外国」に何の関係があるのか？
>というか、外国に行ったことがある・ないという話そのものが意味不明。
仮にお前さんが数学関係で外国に行ったことがあったとしよう。
外国だと、国によっては日本のように全員が全員高度な教育を受けている訳ではなくなる。
数学研究のレベルは高いが、九九が出来ない人が多いような国もある。
すると、同じ国に何ヶ月も滞在していれば、通常は滞在先の国の社会事情が分かる筈である。
国民全員が受ける教育は、その社会事情に長期的に影響して来る営みである。
また、最近のヨーロッパだと、多くの国の面積が狭く違う国の人が行きかうことが多い。
なので、外国の社会事情が分からないということは、何を意味するかというと、
お前さんは、少なくとも、数学研究のレベルが高く九九が出来ない人が多い国に
長期滞在したことはないということになる。このような国は、例えばアメリカ、ドイツなどがある。
また、同時にアメリカやドイツなど多くの外国の国民の教育事情を知らないことも意味している。
更に、最近ヨーロッパの国に長期滞在したこともないことを意味する。
お前さんは、アメリカやドイツに長期滞在したことはない筈である。
同時に、アメリカやドイツなど多くの外国の国民の教育事情を知らない筈である。
更に、最近ヨーロッパの国に長期滞在したこともない筈である。少なくとも、そのような憶測は出来る。
ちなみに、センスという言葉を嫌っているかのように見える偉大な数学者はいるぞ。
659 ：１３２人目の素数さん：2015/03/24(火) 13:55:25.90 ID:1hB1LM4o.net: >>657
＞>>655
＞なるほど、他人を勝手に
＞"高校数学の問題を解いている予備校講師らしき研究者崩れの人間"
＞という人物像にでっち上げておきながら、
＞当のお前は論文の1つや2つも書けないわけか。カスだな。
悪いが、私は、数学科を卒業した訳ではなく数学関係の院に行った訳でもない。
なので、学習から論文に至るまですべて自前(これが当然か)であり、最初はテキストか他人のマネするなりして
書き方などのお勉強が或る程度必要になる。また、書かんとする論文の内容の割には知識不足である。
私がその先やらんとすることの構想があるが、具体的な方法がまだ思い付かず、理論展開せんとする
ことの論理の概要も把握出来ないままである。そのために試行錯誤している段階である。
紙に鉛筆で日本語で書いた論文でいいなら、すぐ書いてあげよう。

分野にもよるが、ザコ論文を量産して沢山書いても仕方ないだろ。
分野にもよるが、こういう論文は、やがてはすぐど～でもいい論文になることもある。

上から目線は、ご立派だね。
660 ：１３２人目の素数さん：2015/03/24(火) 14:13:30.59 ID:1hB1LM4o.net: >>657
いや、もしすぐ書いてほしいなら、個人的には
出来れば書き慣れている広告の裏の方がいいな。
レポート用紙も片面だけ使うことになって何気に高いしな。
661 ：１３２人目の素数さん：2015/03/24(火) 19:20:31.44 ID:cnH8MjjN.net: >>658
何言ってるんだコイツ。たとえば、ここが

「数学研究のレベルは高いが、九九が出来ない人が多いような国」

であったとしよう。その国においても、俺の書いたことはそのまま通用する。
九九すら出来ていない人間に対して、その本人に向かって
「算数も出来てないじゃないか」とコメントを入れることは、
それがどの国であろうと正しい主張である。もちろん、

「ああ、この人にはやむを得ない事情があって、九九が出来ないんだな」

などと気を利かせて、"言葉を選ばなければならない" ような場面は存在するであろう。
だがしかし、今回はそのような場面には　該　当　し　な　い　。
なぜなら、この話題はお前が持ち出したものだからだ。
お前が問題を出題し、お前が周回遅れで自分の証明を提出し、
しかもその証明は間違いだらけで、俺が手取り足取り添削していたのである。
そのような場面で「算数も出来てないじゃないか」とコメントを入れることは、
ここがたとえ外国であったとしても、何ら問題のある発言ではない。
単にお前が自縛しただけの話であり、お前の自業自得である。
しかも、ここは実際には外国ではなく、日　本　なのだ。

見苦しい言い訳に労力を使うより、少しは数学の力量を上げることだな。
662 ：１３２人目の素数さん：2015/03/24(火) 19:26:17.14 ID:cnH8MjjN.net: >>659
俺がお前のことを「カス」と呼んだのは、お前が論文の1つや2つ書けないからではない。
他人を勝手にワケの分からない人物像に仕立て上げておきながら、
当のお前が論文の1つや2つ書けないというダブルスタンダードに陥っているからこそ、
「カス」と呼んだのである。つまり、お前の人間性が「カス」だからカスと呼んだのである。

＞分野にもよるが、ザコ論文を量産して沢山書いても仕方ないだろ。
＞分野にもよるが、こういう論文は、やがてはすぐど～でもいい論文になることもある。

俺をそのような人物像に仕立て上げたところで、お前には何のメリットもなく、

「わたしは、ザコ論文を量産している人間に、
　何度も何度も自分の証明を手取り足取り添削されてやっと正解に辿り着くことが出来ました」

と言っていることになるのだが、自虐ネタのつもりかね？

>>660
新しい結果は安易に他人に見せるものではない。しかもここは2chである。
>>652でも書いたとおり、

＞どこかの雑誌に投稿すべきである(もちろん、このスレに証明を書く必要はない)。

が俺のスタンスである。
ただし、お前に限って言えば、お前が発見したことは「証明が間違っている」か、
もしくは「正しいけど自明すぎて下らない」かのどちらかであろう。
ま、好きにしたまえ。俺はお前に対して何も要求しない。お前が勝手に決めることである。
663 ：１３２人目の素数さん：2015/03/25(水) 08:26:38.63 ID:Wk7vQsS5.net: >>662
>俺がお前のことを「カス」と呼んだのは、お前が論文の1つや2つ書けないからではない。
>他人を勝手にワケの分からない人物像に仕立て上げておきながら、
>当のお前が論文の1つや2つ書けないというダブルスタンダードに陥っているからこそ、
>「カス」と呼んだのである。つまり、お前の人間性が「カス」だからカスと呼んだのである。
行動や考え方における一貫性の有無と、人間性が同じか？　といったら別だな。
両者は他人から見たときに感じる点や他人との関係から生じる点では共通しているが、
人間性を判断するときに考える点は、行動や考え方における一貫性の有無だけに限らないだろ。
人間性の判断には親切か否かとかも関係して来るぞ。批判するなら、
私の能力の低さや行動や考え方における一貫性の有無で批判するのが正しい批判になるのだ。
今回は私を「バカ」とか「行動や考え方に一貫性がない」と批判しないといけないのだ。
まあ、ダブルスタンダードに陥っていることは指摘しているが、人間性までは批判していけないのだ。
664 ：１３２人目の素数さん：2015/03/25(水) 08:49:27.12 ID:Wk7vQsS5.net: >>662
>＞分野にもよるが、ザコ論文を量産して沢山書いても仕方ないだろ。
>＞分野にもよるが、こういう論文は、やがてはすぐど～でもいい論文になることもある。
>
>俺をそのような人物像に仕立て上げたところで、お前には何のメリットもなく、
>
>「わたしは、ザコ論文を量産している人間に、
>何度も何度も自分の証明を手取り足取り添削されてやっと正解に辿り着くことが出来ました」
>
>と言っていることになるのだが、自虐ネタのつもりかね？
私がやらんとしていることを正確に把握せず、そういうことを書くのは即断になる。
ところで無理数度って分かるよな？　代数的数の無理数度は2で
条件を満たしており、私が証明した定理の証明を見ると、今のところ
論理の飛躍はあったが間違いはないらしいのだ。まあ、お勉強と同時に、暫く精査するけどさ。
あと、アペリー数とかいうζ(3)の無理数度は5より大きく確実に超越数になる。
それでもいまだ、やらんとしていることの理論展開の論理の概要を把握出来ない。
665 ：１３２人目の素数さん：2015/03/25(水) 12:54:00.99 ID:Wk7vQsS5.net: >>662
まあ、今度から、お前さんの私に対する侮蔑とも読み取れる書き込みは無視することにするよ。
お前さんが誰だか知らんけど、毎回毎回相手して、場合によっては人間関係をもつれさせかねない
行為をしていても単なる時間のムダになって仕方ない。こんなこといつまでもしていても、意味がない。
お前さんが、私に対して「クズ」とか「カス」とか書いて、侮蔑したければ自由にしていい。
まあ、このスレではじめに現れたとも読み取れる>>236の時点から「ザコ」とか書いていましたけど。
前スレでも「消えろ」とか書いていた人かも知れませんけど。もう、ど～でもいいと思えて来た。
666 ：１３２人目の素数さん：2015/03/25(水) 19:48:30.57 ID:TPK5GFGN.net: >>664
＞アペリー数とかいうζ(3)の無理数度は5より大きく確実に超越数になる。
を証明して下さい。無理ならソース提示でもいいです。
667 ：１３２人目の素数さん：2015/03/25(水) 23:00:10.08 ID:wofUfiHt.net: ホラ見ろ何も言い返せないし矛盾も突けない。ザマアｗ
俺が初っ端ユニーク特定の話をした理由が理解できたかな？
トリ？俺はいつでもできるよ？
お前は逃げるだけでできないだろｗ豚。
668 ：１３２人目の素数さん：2015/03/25(水) 23:05:58.10 ID:wofUfiHt.net: すべての反論を封じる（聞き耳を持たない）メタ書込みって便利だなｗ
前後の流れと何ら整合してなくても優位そうに見える

数論レスに貼ってみた　ｗ
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1423957563/667-
669 ：１３２人目の素数さん：2015/03/26(木) 19:28:45.47 ID:SnmuXk2f.net: >>667-668
ID:Wk7vQsS5とID:wofUfiHtで違うIDになっているが、同一人物なのか？

何を一人相撲とってるのか知らんが、昨日は俺は何も書き込んでいない。
なぜなら、お前は>>665で今回のやりとりを打ち切ったからだ。
俺の方から更に反論レスを書いても、くだらない火種が増えるだけで、
意味がないだろうと判断した。また、お前は

＞こんなこといつまでもしていても、意味がない。

このような発言もしている。これについては俺も同意で、
もはや数学とは関係のない下らない話題の応酬になりつつあって意味が無い。
そんなわけで、お前の>>665も踏まえつつ、昨日は俺は何も書き込んでいない。
当然、>>666は俺の書き込みではない。

俺のスタンスは既に書いたとおりであり、
お前の "結果" について、俺はお前に何も要求しない。
どこに公表するかはお前が決めることである。
670 ：１３２人目の素数さん：2015/03/27(金) 01:32:49.50 ID:ajil3vhY.net: 専門板特有のネチっこいレスバトルやめようよ
671 ：１３２人目の素数さん：2015/03/27(金) 13:50:02.68 ID:hIe5JFek.net: 私は>>665を書いた、2015/03/25(水)のID:Wk7vQsS5に当たる者だが、昨日は何も書いていない。
>>669が>>666を書いていないのなら、何故一々>>669の内容を書いたのか理解に苦しむ。
本当に喧嘩っ早いというか、無意味な火種のきっかけを引き起こす人だな。
672 ：１３２人目の素数さん：2015/03/27(金) 13:57:36.79 ID:hIe5JFek.net: 2015/03/25(水)におけるID:Wk7vQsS5とID:wofUfiHtは違う人物な。
>>671の1行目の「昨日は何も書いていない。」は「3月25日の最後の書き込みは>>665である。」の間違い。
673 ：１３２人目の素数さん：2015/03/27(金) 14:38:56.26 ID:hIe5JFek.net: >>666
無理数度の定義から、ζ(3)の無理数度は5より大きいことから
|ζ(3)－q/p|＜1/p^5なる有理数q/p＞0(p、q≧1)は可算無限個存在する。
よって、リュービルの定理からζ(3)が代数的数なら、或るn≧6なる自然数nが存在して
ζ(3)＞0から、ζ(3)に対して或るc＞0が定まって任意の有理数q/p＞0(p、q≧1)に対して
|ζ(3)－q/p|＞c/p^nが成り立つことになる。しかし、素数は可算無限個存在するから
pが素数になるように既約な有理数q/p＞0(p、q≧1)を選んで考えると、矛盾が生じることが分かるんです。
これは、一応証明出来てはいます。あとは論文か何かにするだけです。
こういうことを英語で正確にまだ書けず、先の話になるでしょうけど。
日本語で書いた論文が通じればいいんですけどね。
674 ：１３２人目の素数さん：2015/03/27(金) 15:01:20.02 ID:5phJUuND.net: トンデモ
675 ：１３２人目の素数さん：2015/03/27(金) 15:18:16.06 ID:hIe5JFek.net: >>674
数学的に正確な証明をここに書く訳がないだろw
>>673は大筋を書いた啓蒙書に似た文章だよ。
勿論、肝心な部分は伏せて書いているけどね。
676 ：１３２人目の素数さん：2015/03/27(金) 18:36:15.38 ID:iBPn9q5A.net: >>675
禿藁
677 ：１３２人目の素数さん：2015/03/27(金) 18:43:35.30 ID:FWFLu9l6.net: その日本語で書いた論文（）が日本人にも通じないに全部
678 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/27(金) 22:31:16.46 ID:03I7UyLR.net: どうも。スレ主です。
お久しぶりですね
知らないうちに盛り上がっていますね
良いことですね
679 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/28(土) 06:11:13.69 ID:XpA6GK50.net: >>647
パーチクリン連呼くんかね？　最近声が小さいね
だれが見ても、一番分かっていないのは君だろう

>>517の問題は解けたか？　また、来週も君の泣き顔が見られそうだな（ >>584）だったが
解けたか（笑い）517の問題で１年くらい君を叩けそうだな（高笑）
一月で解けなければ、百年経っても解けまい（笑い）

517の問題再録
「ゼロを除く複素数の成す乗法群の集合は、連続濃度の”べきの濃度”を持つ」は正しいか否か
理由を付して述べよ

予備知識ほとんど不要。必要なのは数学的思考力のみ。証明は求めてはいない。君には無理だから
だが、何かを述べれば、君の数学レベルが丸わかりになるだろうな・・、低レベルが・・（高笑）
680 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/28(土) 06:16:26.98 ID:XpA6GK50.net: >>648
おっちゃん、どうも。スレ主です。
後藤おじさんと呼ばれているのかね？>>651

それはともかく、良い問題を出してくれたね。ありがとう
ちょっとひねったら、雑魚を叩くのに、良い問題が出来たよ>>679
681 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/28(土) 06:22:35.19 ID:XpA6GK50.net: >>641-645
この問題は面白いが、あまり長くやっても仕方ない
岡山大吉野雄二教授に登場願おう（下記）

http://www.math.okayama-u.ac.jp/~yoshino/JapaneseIndex.html
吉野雄二ホームページ岡山大学理学部数学科

http://www.math.okayama-u.ac.jp/~yoshino/oldlectures.html
２０１１年度前期｢代数基礎A演習」
演習問題 http://www.math.okayama-u.ac.jp/~yoshino/pdffiles/alg2.pdf
演習問題・解答編（TAの青影一哉，飯間圭一郎の両君の作成による）　ただし現在は利用不可です。

が、なぜか（解答編）下記が検索ヒットし、抜粋する
http://www.math.okayama-u.ac.jp/~yoshino/pdffiles/answeralg2.pdf
第1章群の基礎（解答編）
1.6 準同型定理
「準同型定理の基本形」
・ f : G → G' が群の全射準同型写像であるとき、H = Ker(f) と置くと、H はG の正規部分群で、fは自然な同型写像f~ : G/H → G' を導く。
（任意の[x] ∈ G/H に対して、f~([x]) = f(x) と定義される。）

問題1.6.1 「準同型定理の基本形」を証明せよ。
(証明) (1) H が正規部分群であることを証明する.
任意のa, b ∈ H に対して, f(ab) = f(a)f(b) = e' によりab ∈ H を充たす. よってH はG の部分群である.
任意のx ∈ G とy ∈ H に対して, f(xyx^-1) = f(x)f(y)f(x)^-1 = f(x)e'f(x)^-1 = e' により, H はGの正規部分群である.
(2) f~ : G/H → G' がwell-defined な写像であることを証明する.
(以下略)
682 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/28(土) 06:58:50.68 ID:XpA6GK50.net: >>681 つづき
元の問題を再録しておく>>417 (1)
G,G' を群とし、f:G→G' を準同型写像とする。
f の核 Ker(f) が G の正規部分群であることを示せ。
なお f の核とは、G' の単位元を e' としたときの
集合 {g∈G | f(g)=e'} のことである。
(引用おわり)

これは、吉野雄二教授２０１１年度前期｢代数基礎A演習」
”問題1.6.1 「準同型定理の基本形」を証明せよ。 ”の前半と同じだ

そして、解答編（TAの青影一哉，飯間圭一郎の両君の作成による）の(証明) (1) は
私が書いた>>436-443とほぼ同じだ

解答編の「任意のx ∈ G とy ∈ H に対して」の部分は、>>452-456で書いた
だから、解答編の証明と同じことは、>>436-456で尽くされている

が、>>640"俺(>>417出題者)の見解"、”残る部分は逆の包含、すなわち「g・Ker(f)・g^(-1) ⊃ Ker(f)」の証明。 ”だと
ここは、吉野の解答編とはマッチしていない

が、それは是としよう。「”自明”とされることでも、きちんと証明すべき」が、大学の数学だから
（そこの疑問をつっこんでくるのは、レベルが高いと思うよ）
なので、>>641-642を示した
683 ：１３２人目の素数さん：2015/03/28(土) 09:52:00.73 ID:oUv7+bkp.net: >>680
私の出題した問題をよいといってくれたか。
それは、よかったよかった。

>>677
当たり前。肝心なところを伏せて、啓蒙書の雰囲気を出して書いたのだ。
まあ、「リュービルの定理からζ(3)が代数的数なら」は
「ζ(3)が代数的数なら、リュービルの定理から」と書くべきだろうけどな。
684 ：１３２人目の素数さん：2015/03/28(土) 10:54:06.56 ID:/kdxB2Uf.net: >>673
＞ζ(3)の無理数度は5より大きい
これを証明して下さい
685 ：１３２人目の素数さん：2015/03/28(土) 10:54:33.39 ID:lzbB148z.net: >>681-682
>>681で引用されている解答では、正規部分群の定義として「gNg^(-1) ⊂ N　(∀g∈G)」が使われている。
これは実は「gNg^(-1) = N　(∀g∈G)」と同値。（自明ではない）
この知識を前提とすれば>>681の解答で十分となる。
>>440もこれを前提としていると勘違いして一旦良しとしたが、そうではないようだったので取り下げた。
（ここら辺の話は終わってからするつもりだった。）
ちなみに、>>681の上から２番目のリンク先の「群の基礎」にも（証明なしで）書いてある。

そして、他の方が言ってくれている通り、>>641-642では逆の包含の証明になっていない。
g・Ker(f)・g^(-1) ⊃ Ker(f)　を証明するんだから、
「n ∈ Ker(f) とする」から始めて「gng^(-1) ∈ Ker(f)である」を得るだけでいいのにどうして別のことをするのか。
686 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/28(土) 10:58:56.92 ID:XpA6GK50.net: >>682 つづき
それで、>>641でしめしたのは、「逆の包含、すなわち「g・Ker(f)・g^(-1) ⊃ Ker(f)」の証明」をちょっと変形した

少し説明すると、集合N'= {gng^-1 | n∈Ker(f), g∈G } として
641の２と３で、card(N')=card(Ker(f))(∵ gn1g^-1≠gn2g^-1→n1≠n2が言える（なお、逆も同様）)を示した
これと、１のg・Ker(f)・g^(-1) ⊂ Ker(f) から「N=gNg^-1」が成り立つと
（有限群に限って分かり易く説明すれば、集合N'とKer(f)との要素の個数が同数で、g・Ker(f)・g^(-1) ⊂ Ker(f) だから「N=gNg^-1」だと）

逆の包含を使うより、共役の性質（一対一対応）を強く使う方が本質だろうと思ったからだ

もう少し丁寧に書けば
写像f^-1:N'→Ker(f) （gng^-1→n）が単射（∵ n1＝n2→gn1g^-1＝gn2g^-1）が容易に言える
（なお、gの逆元を使う共役変換を考え、写像f^-1:g^-1(gng^-1)g→n とすれば分かり易いだろう）

また、g^-1(gng^-1)g→nの形から、n=g^-1(gng^-1)g つまり、g'=g^-1と書けば、n=g'(g'^-1 n g')g'^-1と書けて
g・Ker(f)・g^(-1) ⊂ Ker(f) を示しているから、g'^-1ng'∈Ker(f)
従って、n=g'(g'^-1ng')g'^-1∈N'として、逆の包含も直接示せる。が、かえって回りくどくて本質が見えないだろうと思った
687 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/28(土) 11:20:22.29 ID:XpA6GK50.net: >>685
どうも。スレ主です。
>>417の出題者だね。なかなか面白かった
君はレベルが高いね

>正規部分群の定義として「gNg^(-1) ⊂ N　(∀g∈G)」が使われている。
>これは実は「gNg^(-1) = N　(∀g∈G)」と同値。（自明ではない）

うん、その話は、wikipediaにもある（下記）
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E8%A6%8F%E9%83%A8%E5%88%86%E7%BE%A4
正規部分群
群 G の部分群 N が正規部分群であるとは、共役変換（英語版）によって不変、すなわち N の任意の元 n と G の任意の元 g に対して、元 gng?1 が再び N に属するときにいう。
任意の部分群について、以下の条件はいずれも今上げた正規性の条件に同値である。このため、これらの条件のどれかを正規部分群の定義としてもよい。
・G の任意の元 g に対して gNg?1 ⊆ N が成り立つ。
・G の任意の元 g に対して gNg?1 = N が成り立つ。
・G における H を法とする左剰余類全体の成す集合と右剰余類全体の成す集合とが一致する。
・G の任意の元 g に対して gN = Ng が成立する。
・N は G の共役類の和集合である。
・G 上定義された群準同型で N をその核に持つものが存在する。

最後の条件は正規部分群の重要性の一端を示すもので、ある群の上で定義される準同型写像全体の内部的に分類する方法を与えている。
（引用おわり）

「（自明ではない）」が、>>686に書いたように共役変換の性質から従うのだろうね
688 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/28(土) 11:39:11.82 ID:XpA6GK50.net: >>685 つづき
>g・Ker(f)・g^(-1) ⊃ Ker(f)　を証明するんだから、
>「n ∈ Ker(f) とする」から始めて「gng^(-1) ∈ Ker(f)である」を得るだけでいいのにどうして別のことをするのか。

その理由は、>>686に書いた通りだ

"・G の任意の元 g に対して gNg-1 ⊆ N が成り立つ。
・G の任意の元 g に対して gNg-1 = N が成り立つ。"
の差ね。

さすがに、プロ（数学者）の卵だね。さすがに大学の数学だ（大学への数学ではなく）
実は、正規部分群ではなく、その下位の共役変換がいまいち深く理解できていなかったんだ

「gNg-1の形がなんだかなー」と。でも、今回の問題を解く過程で良く分かったよ
gNg-1だけ見ていても分からない。「(gag-1)*(gbg-1)＝g(a*b)g-1」と積の形を考えると、本質が見えてくる
gn1g^-1＝gn2g^-1→n1＝n2 も（またその逆。また不等号についても成り立つ）
なので、群の共役変換"gNg^(-1)"が、積の形を保存して、一対一対応（well defined 性）など、良い性質を持っている特別の形なんだーと
689 ：１３２人目の素数さん：2015/03/28(土) 11:56:12.88 ID:lzbB148z.net: >>685は間違えた。
「n ∈ Ker(f) とする」から始めて「n ∈ g・Ker(f)・g^(-1)である」を得る
だった。

>>686
集合A,Bに対して、「A⊂B かつ card(A)=card(B) ならば A=B」が成り立つのは有限集合の場合のみ。
前半の説明では、有限群に対する証明にしかなっていない。

＞写像f^-1:N'→Ker(f) （gng^-1→n）
ここは well-defined 性の問題がある。
g,n とは別の g'∈G, n'∈Ker(f) に対して gng^-1 = g'n'g'^-1 である場合、
n と n'は必ずしも一致しない。
690 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/28(土) 12:21:45.18 ID:XpA6GK50.net: >>688 つづき
>群の共役変換"gNg^(-1)"が、積の形を保存して、一対一対応（well defined 性）など、良い性質を持っている特別の形なんだーと

共役変換と内部自己同型（英語版）って話もあって、なかなか深いね
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E5%B7%B1%E5%90%8C%E5%9E%8B
自己同型群

群の自己同型は、群からそれ自身への群同型である。非公式に言うと、構造を変化させない群上の置換である。
すべての群 G に対して、像は内部自己同型（英語版）(inner automorphism)の群 Inn(G) となり、核が G の中心となるような、自然な作用をもつ準同型 G → Aut(G) が存在する。
従って、G が自明な中心を持つならば、G を G 自身の自己同型群に埋め込むことができる。[1]

内部自己同型と外部自己同型
ある種の圏、特に群、環、リー代数では、自己同型を「内部自己同型」と「外部自己同型」の 2種類に分けることができる。

群の場合、内部自己同型（英語版）(inner automorphism)は、その群の元による共役作用である。群 G の各元 a に対し、a による共役とは Φ_a (g) = a g a^-1 （もしくは、a-1ga 、使い道により異なる）により与えられる作用 φa : G → G のことである。
a による共役が群の自己同型であることは容易に分かる。内部自己同型全体は Aut(G) の正規部分群を成し、これを Inn(G) で表す。これをグルサの補題（英語版）(Goursat's lemma)という。

これ以外の自己同型を外部自己同型（英語版）(outer automorphism)と呼ぶ。商群 Aut(G) / Inn(G) を普通、Out(G) で表す。この群の非自明な元は、外部自己同型を含む剰余類である。
691 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/28(土) 12:28:51.76 ID:XpA6GK50.net: >>689
どうも。スレ主です。

>前半の説明では、有限群に対する証明にしかなっていない。

同意。だが、個人的にはまず有限群論で理解するのが先なので、とりあえずこれで。無限を扱うなら他の証明の筋を使うのが良いんだろうね

>ここは well-defined 性の問題がある。

ども。ちょっと考えてみるよ
692 ：１３２人目の素数さん：2015/03/28(土) 12:32:57.44 ID:/kdxB2Uf.net: 結局不正解じゃんｗ
693 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/28(土) 12:36:44.58 ID:XpA6GK50.net: >>690 つづき
内部自己同型と外部自己同型（英語版）
http://en.wikipedia.org/wiki/Inner_automorphism
Inner_automorphism
In abstract algebra an inner automorphism is a function which, informally, involves a certain operation being applied, then another operation (shown as x below) being performed, and then the initial operation being reversed.
Sometimes the initial action and its subsequent reversal change the overall result ("raise umbrella, walk through rain, lower umbrella" has a different result from just "walk through rain"),
and sometimes they do not ("take off left glove, take off right glove, put on left glove" has the same effect as "take off right glove only").

http://en.wikipedia.org/wiki/Outer_automorphism_group
Outer automorphism group
In mathematics, the outer automorphism group of a group G is the quotient Aut(G) / Inn(G), where Aut(G) is the automorphism group of G and Inn(G) is the subgroup consisting of inner automorphisms.
The outer automorphism group is usually denoted Out(G). If Out(G) is trivial and G has a trivial center, then G is said to be complete.

Out(G) for some finite groups の表が面白い
694 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/28(土) 12:38:39.14 ID:XpA6GK50.net: >>692
どうも。スレ主です。
君はレベルが低いね
一番分かっていないのは君だろうよ（笑い）
695 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/28(土) 12:39:55.00 ID:XpA6GK50.net: 人の尻馬にしか乗れない低レベル（笑い）
自分の頭からっぽ（笑い）
696 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/28(土) 12:41:20.02 ID:XpA6GK50.net: なんか数学レベルを示すものを書いてみな
笑ってやるから（笑い）
697 ：１３２人目の素数さん：2015/03/28(土) 12:41:37.13 ID:/kdxB2Uf.net: >>694
どうして不正解を不正解と言われるとキレるの？
698 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/28(土) 12:46:11.59 ID:XpA6GK50.net: >>692
そうそう、ID:/kdxB2Ufくんにも、>>517の問題を投げておくよ
>>679だ。君程度の雑魚レベルじゃ解けない問題だよ
699 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/28(土) 12:49:10.52 ID:XpA6GK50.net: >>697
>>686の最後を良く読んでみな
”逆の包含も直接示せる”と書いてあるだろ？

これの正否について述べよ
まあ、君には無理だろうが（笑い）
700 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/28(土) 13:00:46.17 ID:XpA6GK50.net: >>693 続き

外部自己同型
http://en.wikipedia.org/wiki/Outer_automorphism_group
Out(G) for some finite groups 表

Sn n ≠ 6 trivial 1
S6 Z2 (see below) 2
An n ≠ 6 Z2 2
A6 Z2 × Z2(see below) 4

The outer automorphisms of the symmetric and alternating groups
For more details on this topic, see Automorphisms of the symmetric and alternating groups.

The outer automorphism group of a finite simple group in some infinite family of finite simple groups can almost always be given by a uniform formula that works for all elements of the family.
There is just one exception to this:[1] the alternating group A6 has outer automorphism group of order 4, rather than 2 as do the other simple alternating groups (given by conjugation by an odd permutation).
Equivalently the symmetric group S6 is the only symmetric group with a non-trivial outer automorphism group.

n≠ 6: Out(S_n) = 1
n≧ 3, n≠ 6: Out(A_n) = C_2
Out(S_6) = C_2
Out(A_6) = C_2 ｘ C_2

Note that, in the case of G = A6 = PSL(2,9), the sequence 1 -> G -> Aut(G) -> Out(G) -> 1 does not split. A similar result holds for any PSL(2,q^2), q odd.

http://en.wikipedia.org/wiki/Automorphisms_of_the_symmetric_and_alternating_groups
Automorphisms of the symmetric and alternating groups
701 ：１３２人目の素数さん：2015/03/28(土) 13:09:14.43 ID:lzbB148z.net: >>685で偉そうなこと言って間違えた責任をとって（そろそろめんどくさいから）自分で終わらせることにする。
証明するべきことは「g・Ker(f)・g^(-1) ⊃ Ker(f)　∀g∈G」

n∈Ker(f) とする。
任意に g∈G をとると、 n=g(g^-1・n・g)g^-1 ∈ g・Ker(f)・g^(-1) である。
よって Ker(f) ⊂ g・Ker(f)・g^(-1) □
702 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/28(土) 13:22:03.10 ID:XpA6GK50.net: >>701
どうも。スレ主です。

なかなかあざやかですな
レベル高いね。ID:/kdxB2Ufくんとはレベルの差を感じる

まあ、同じようなことは、>>686の最後に書いた
”また、g^-1(gng^-1)g→nの形から、n=g^-1(gng^-1)g つまり、g'=g^-1と書けば、n=g'(g'^-1 n g')g'^-1と書けて
g・Ker(f)・g^(-1) ⊂ Ker(f) を示しているから、g'^-1ng'∈Ker(f)
従って、n=g'(g'^-1ng')g'^-1∈N'として、逆の包含も直接示せる。”だ

だけど、>>686で書いたように、これは結局共役の性質を暗に使っていると思うんだ
もっと、共役の性質から直接示せると思ったんだよね。というか、そういう理解に到達したいと

数学でね、証明の筋を追えば、例えば１０段階あって、各段ごとは追える
が、１０段階通して、分かったかというと、それは別問題みたいな

これも、共役の性質から、もっと自然な理解が可能だろうと・・
まあ、うまく纏まっていないが・・
703 ：１３２人目の素数さん：2015/03/28(土) 13:50:40.99 ID:/kdxB2Uf.net: >>702
n=g'(g'^-1 n g')g'^-1と書けると何故g・Ker(f)・g^(-1) ⊂ Ker(f) なのか？
704 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/28(土) 17:55:15.04 ID:XpA6GK50.net: 群論電卓の話がヒットしたので、メモを貼ります

http://ci.nii.ac.jp/els/110002885150.pdf?id=ART0003207928&type=pdf&lang=jp&host=cinii&order_no=&ppv_type=0&lang_sw=&no=1427532680&cp=
拡張Prologによる群論電卓の作成情報処理学会全国大会講演論文集第49回平成6年後期(1), 97-98, 1994-09-20

抄録
飯高茂は1980年代後半より、Prologの持つバックトラッキングとパターンマッチの機能を利用して、数学の世界を組み立てることを行ってきた。
その中で群論電卓の作成が大きなテーマとして取り上げられている。
群論計算システムとして、CAYLEなどの大規模なシステムがよく知られている。
飯高の群論電卓は、これらのシステムとは異なり、群論電卓の作成を通して、群論を理解することに力点がある。
このような小規模なシステムでも新しい定理を発見するための具体例の計算にも使えることができる。
数学では、「ある構造をもつ数学的対象の間に、その構造を保つ写像を考えつつ議論を進めるのが基本である」と言われている。
飯高の群論電卓では、同時に複数の群を扱うことが出来ないので、この基本に沿った計算を実行することが出来ない。
本報告では、Prologにオブジェクト指向風の拡張を施し、それを利用して複数の群を扱うことの出来る群論電卓の概要を報告する。
705 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/28(土) 17:59:28.47 ID:XpA6GK50.net: これは、以前紹介したかも知れないが
http://www.nasuinfo.or.jp/FreeSpace/kenji/sf/pysf/math/group/group.htm
python sf による群論：群電卓抜粋

python sf は、普段のメモ書き数式そのままを計算させてたくて作りました。その python sf は群論での数式にも使えます。

例えば対称群 Sn(4) における S4(3,0,2,1) 要素の共役類を下のように、エディタでメモ書きする数式に近い python sf 式で計算できます。

半群

まず半群についての python sf を使った具体的な検討・考察例を見ていきましょう。

半群であるとは推移律： (x y) z == x (y z) が成り立つことです。これは部分的に演算を定めると、それが別の演算まで定めてしまうことを意味します。演算規則の定まり方に粘着性があることを意味します。

python の辞書データ型を使えば、この半群の性質を記述できます。実際に推移律演算を実行させられます。以下では具体的に a b c d 四文字の集合の半群構造を python の辞書を使って記述・実行していきます。
706 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/28(土) 18:01:50.65 ID:XpA6GK50.net: これは、GAPくんの出番かも

http://math.shinshu-u.ac.jp/~hanaki/edu/symmetry/03.html
群論と対称性
第 2 回 GAP を使う - 電卓のように

Akihide Hanaki (Shinshu University)
707 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/28(土) 18:08:32.76 ID:XpA6GK50.net: これもヒットしたので、メモ

[PDF]数式処理の想い出 - Jssac
www.jssac.org/Editor/Suushiki/V07/No1/V7N1_102.pdf
数式処理J.JSSAC (1998)
Vol. 7, No. 1, pp. 2 - 5

一松信
Sin HITOTUMATU

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%80%E6%9D%BE%E4%BF%A1
一松信（ひとつまつしん、1926年3月6日 - ）は、日本の数学者。京都大学名誉教授。

人物

「すでに学生時代に多変数関数論の最高峰をきわめられた」[1]と紹介されるほどの俊才だったようで、その後も、多変数関数論の他、数値解析、計算機科学などでもリーダー的な研究者であった。

著作は多数に上り、良書とされるものが多い。また優れたエッセイ集もある。

著作は明解かつ詳細な記述が特徴で、構成が緻密であり、練習問題やその解答、索引や参考文献にも気が配ってあるものが多い。
708 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/28(土) 18:13:40.75 ID:XpA6GK50.net: これもメモしておく

http://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~s-yokoyama/files/PCAS2011.pdf
Sage for Number Theorists 横山俊一（九大数理）
概要
Pythonを基盤とする計算機システムSageの概説を主に数論研究者向けに行う.
本稿は2011年8月に開催された研究集会「計算機代数システムの進展」にて筆者が行った講演内容に従っている.
なお,本稿で使用されている幾つかのイラストはSage development teamより許可を得て使用させて頂いた.
使用許諾を快く与えて下さったWilliam Stein氏（Washington大学）およびMartin Albrecht氏（Universite Pierre et Marie
Curie）に感謝御礼申し上げたい.

1 Sageとは？
SageとはSystem for Algebra and Geometry Experimentationの略称であり「セージ」と発音する.
その名の通り,ハーブ類の一種の名称とのダブルミーニングである.
開発目的としてMagma,Maple, Mathematica, Matlabといった多種多様な有償計算機システムの代替となる「フリー」なソ
フトウェアを作成し,広く提供することが挙げられている.
以下略
709 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/28(土) 18:19:54.18 ID:XpA6GK50.net: これもメモ

http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~sakasai/MCG/MCG.html
このページは阿原一志と逆井卓也の共著『パズルゲームで楽しむ写像類群入門』 (日本評論社, 2013 年 9 月発刊) のサポートページです.

本の内容
目次と補足資料
第1章　パズルゲームてるあき
第2章「写像」・「類」・「群」
第3章　曲面と曲線
第4章　曲面の写像類群
第5章　デーン-リコリッシュの定理
命題 5.5 の証明については正誤表をご覧下さい.
第6章　1次元ホモロジー群
第7章　曲面の1次元ホモロジー群
第8章　トーラスの写像類群
第9章　リコリッシュの定理とその証明
9.8 節の内容については正誤表をご覧下さい.
補題 9.9, 9.10 について
第10章　リコリッシュの定理でてるあきを解く
第11章　リコリッシュの生成元と組み紐
第12章　シンプレクティック表現とトレリ群
第13章　基本群
第14章　デーン-ニールセンの定理
第15章　写像類群とトポロジー
710 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/28(土) 19:01:15.55 ID:XpA6GK50.net: >>703
まあ、自分で考えてみな
>>699に書いたように、「”逆の包含も直接示せる”と書いてあるだろ？これの正否について述べよ」と
ノーヒントでは無理だろうが、幸い出題者が>>701でヒントを与えてくれた

701と686を比べてみな
そうすれば、なにか感じるところがあるだろう
711 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/28(土) 19:11:43.69 ID:XpA6GK50.net: >>685 補足

>>681の解答をもう一度読んでみた
結論は、「任意のx ∈ G とy ∈ H に対して, f(xyx^-1) = f(x)f(y)f(x)^-1 = f(x)e'f(x)^-1 = e' 」ここまでが
H = Ker(f) を本質的に使った部分だ

正規部分群の定義として「gNg^(-1) ⊂ N　(∀g∈G)」か「gNg^(-1) = N　(∀g∈G)」かは、H = Ker(f) とは直接関係ない
どちらを使っても、ほとんど同じ（そこは、>>702に書いたように、共役の性質を使えば、どちらでも可だと）

だから、>>681ではこれで終わっているんだと
確かに、「gNg^(-1) = N　(∀g∈G)」を使えば、包含関係とか気になるんだろう
それはそれで悪くないし、こちらはあまり気付いていなかった部分だがね
712 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/28(土) 19:17:26.72 ID:XpA6GK50.net: >>689
>＞写像f^-1:N'→Ker(f) （gng^-1→n）
>ここは well-defined 性の問題がある。
>g,n とは別の g'∈G, n'∈Ker(f) に対して gng^-1 = g'n'g'^-1 である場合、
>n と n'は必ずしも一致しない。

ここに戻る。共役変換を押さえておこう
https://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~hiraki/
平木研究室平木　彰大阪教育大学／柏原キャンパス／教養学科／数理科学講座
https://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~hiraki/Box/box.htm
質問箱
https://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~hiraki/Box/A8.htm
（問題）群 G の部分群 H,K と a ∈ G に対して、次の命題が正しければ証明をし、正しくなければ反例をあげよ。
(1) H と aHa-1 は同型である。
(2) H と K が同型ならば K = bHb-1 となる b ∈ G が存在する。

（考察）
群の内部自己同型と外部自己同型を考えましょう。
群 G の元 x に対して、x による共役写像 fx を
fx : G → G 　 ( a → xax-1 )
と定義すれば G から G 自身への同型写像になります。（確認）
このような自己同型写像を内部自己同型といいます。
それに対して、内部自己同型ではない自己同型写像を外部自己同型といいます。
(1) 部分群 H の共役部分群 aHa-1 とはまさに内部自己同型 fa による像ですから、同型になります。
(2) の問題は、「同型な二つの部分群は内部自己同型であるか？」ということです。外部自己同型が存在する群を考えてみましょう。
例えば、可換群（アーベル群）を考えてみます。
可換群においては、内部自己同型は全て恒等写像になります。
一方、「アーベル群の基本定理」によれば、「全てのアーベル群は巡回群の直積に同型であり、不変系がただ一つ定まる。」ので、不変系が同じなら同型です。
したがって、同じ不変系の部分群を２つ以上含むようなアーベル群を考えれば反例が見つかります。
713 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/28(土) 19:19:20.20 ID:XpA6GK50.net: >>712 つづき

（解答例）
(1) a による内部自己同型　(a による共役写像)
fa : H → aHa-1 ( h → aha-1 )
は H から aHa-1 への同型写像ですから H と aHa-1 は同型です。（正しい）
(2) G = { (x,y) | x,y ∈ {1,-1} } を考えます。(演算は成分ごとの積）
これは、Z2 + Z2 と同型な不変系 (2,2) の可換群です。その部分群 H,K を
H = { (x,1) | x ∈ {1,-1} },　 K = { (1,y) | y ∈ {1,-1} }
とすれば、H,K はともに、位数２の巡回群なので同型です。
しかし、G は可換群なので bHb-1 = H ≠ K (∀b ∈ G ) です。（正しくない）不変系 (p,p) の可換群の中に全く同じ反例が見つけられますね。
ちなみに上の (2) においては g : G → G 　 ( (x,y) → (y,x) ) が H を K に移す外部自己同型です。
（引用おわり）
714 ：１３２人目の素数さん：2015/03/28(土) 19:32:33.25 ID:/kdxB2Uf.net: >>686
＞少し説明すると、集合N'= {gng^-1 | n∈Ker(f), g∈G } として
＞641の２と３で、card(N')=card(Ker(f))(∵ gn1g^-1≠gn2g^-1→n1≠n2が言える（なお、逆も同様）)を示した
gn1g^-1≠gn2g^-1→n1≠n2　だと何故　card(N')=card(Ker(f))　が言えるの？

＞これと、１のg・Ker(f)・g^(-1) ⊂ Ker(f) から「N=gNg^-1」が成り立つと
card(N')=card(Ker(f))　と　g・Ker(f)・g^(-1) ⊂ Ker(f)　から何故　N=gNg^-1　が言えるの？
（実際には　card(N')=card(Ker(f))　すら言えてないわけだが）
715 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/28(土) 19:44:17.98 ID:XpA6GK50.net: >>713

「H と aHa-1 は同型である」を使えば、良いと思うんだ
>>439 >>443でKer(f) が群を成すことは、先に証明しているから（>>681に同じ）

なので、同型から全単射の存在が言える
それは、gやg'毎に考えるべきで、そうすれば、全てのg毎に全単射の存在が言える（gとg'とを混在させるとまずいが）

それで今回の問題には十分だろう
716 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/28(土) 20:11:33.55 ID:XpA6GK50.net: >>714
ども
丁寧に書くと
集合N'= {gng^-1 | n∈Ker(f), g∈G } として写像F：N'→Ker(f) （gng^-1→n）が単射を言いたい
（686では、Fをf^-1と書いたが、簡単化した）

で、単射
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E5%B0%84
定義
集合 A 上で定義され、集合 B を終域とする写像 f: A → B が条件
(∀ a_1, a_2 ∈ A)[a_1 ≠ a_2 → f(a_1) ≠ f(a_2)]
を満たすとき、 f を単射 (injection) とよぶ。あるいは f は（写像として）単射である (injective) という。
対偶をとれば、f が単射である条件は
(∀ a_1, a_2 ∈ A)[ f(a_1) ＝ f(a_2) → a_1 ＝ a_2 ]
とも述べられる。
（引用おわり）

から、 gn1g^-1≠gn2g^-1→n1≠n2を示す（その逆も）ことで、gng^-1とnとが一対一対応すると
もっと強く、>>712(平木研)にあるように、同型も言える
それは、gng^-1という共役変換という形から従う

だから、card(N')=card(Ker(f))が言える
なお、686では細かく証明を書くのではなく、あらすじだけを書いた（このスレではその方が良いと思ったからね）
それがかえって、数学科の人には分かり難いのかも知れないが・・
717 ：１３２人目の素数さん：2015/03/28(土) 20:13:43.48 ID:nK6CSiqo.net: 何学科の人だとわかりやすいの？
718 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/28(土) 20:16:19.25 ID:XpA6GK50.net: >>714 つづき

>＞これと、１のg・Ker(f)・g^(-1) ⊂ Ker(f) から「N=gNg^-1」が成り立つと
>card(N')=card(Ker(f))　と　g・Ker(f)・g^(-1) ⊂ Ker(f)　から何故　N=gNg^-1　が言えるの？
>（実際には　card(N')=card(Ker(f))　すら言えてないわけだが）

ここは、出題者の解答>>701
"n∈Ker(f) とする。
任意に g∈G をとると、 n=g(g^-1・n・g)g^-1 ∈ g・Ker(f)・g^(-1) である。
よって Ker(f) ⊂ g・Ker(f)・g^(-1) □"と比べてごらん
719 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/28(土) 20:24:17.94 ID:XpA6GK50.net: >>717
何学科の人だとわかりやすいというのは、ないだろう
ただ、数学科の人は、上級になればなるほど、普段使っている記号になれているだろうから、この板みたくアスキーしか使えないところは、つらいだろうし
プロ同士の会話になれていると、このスレでの会話も合わないだろうとは思うよ

だから、あまり証明は書く気はない。（必要があれば別だが）
主に、ホームページやPDFの紹介を主にしようと思っている（その方が読みやすいだろうし）
720 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/28(土) 21:52:31.47 ID:XpA6GK50.net: これもメモしておく

http://www.uec.tottori-u.ac.jp/~thashi/
橋本隆司鳥取大
http://www.uec.tottori-u.ac.jp/~thashi/dat/math_sym.html
対称性の数理 I
2014年度講義ノートはこちら(4/14/14) http://www.uec.tottori-u.ac.jp/~thashi/dat/LN_sym1_12.pdf

はじめに
この講義ノートは，鳥取大学大学院工学研究科情報エレクトロニクス専攻および機械宇
宙工学専攻の博士前期課程1 年生を対象に行われた講義「組合せ論」および「対称性の数
理I」の講義ノートを加筆・修正して作成された．
講義では対称群の表現論への入門的な解説を行うことを目標とし，第1 章では対称群の
構造について簡単におさらいした後，線形代数の復習を行い，多重線形代数，すなわち，
ベクトル空間のテンソル積，外積代数，対称代数について説明した．ついで第2 章におい
ては有限群の表現論および指標について解説した後，対称群の表現を組合せ論的に構成す
るSpecht 加群についての解説を行った．線形代数が縦横に駆使される様子を目の当たり
にすることができるかと思う．
721 ：１３２人目の素数さん：2015/03/28(土) 22:36:32.41 ID:lzbB148z.net: いや、>>702で気づいた。
>>701は論証が足りなかった、すまない。
これじゃ恥の上塗りだ・・・

n∈Ker(f) とする。
任意に g∈G をとると、 n=g(g^-1・n・g)g^-1
ここで、f(g^-1・n・g) = f(g)^-1・e'・f(g) = e' より g^-1・n・g ∈ Ker(f)　（すでに示されている g^-1・Ker(f)・g ⊂ Ker(f) を用いてもよい）
よって n=g(g^-1・n・g)g^-1 ∈ g・Ker(f)・g^(-1) である。
したがって Ker(f) ⊂ g・Ker(f)・g^(-1) □
722 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/28(土) 22:45:48.19 ID:XpA6GK50.net: >>721
どうもありがとう

ID:/kdxB2Ufくん（>>714）、分かったかな？
723 ：１３２人目の素数さん：2015/03/28(土) 22:48:54.08 ID:lzbB148z.net: さらに間違えた
>>702で気づいた。→>>703で気づいた。
724 ：１３２人目の素数さん：2015/03/28(土) 23:21:33.92 ID:lzbB148z.net: ということで、>>701を後ろ盾にした発言は取り下げてくれスレ主よ
725 ：１３２人目の素数さん：2015/03/28(土) 23:43:12.32 ID:/kdxB2Uf.net: では参考までに私の解答を載せておこう。

G,G' を群とし、f:G→G' を準同型写像とする。
f の核 Ker(f) が G の正規部分群であることを示せ。
なお f の核とは、G' の単位元を e' としたときの
集合 {g∈G | f(g)=e'} のことである。

まず ker(f) が G の部分群であることを示す。
ker(f)⊂G は明らかなので、G の演算によって ker(f) が群の公理を満たすことを示せばよい。
g,h,i∈G、a,b,c∈ker(f) とする。
f(ab)=f(a)f(b)=e'e'=e' だから、ab∈ker(f)【演算が閉じている】
f(g)=f(ge)=f(g)f(e) だから、f(e)=e' よって、e∈ker(f)【単位元の存在】
e'=f(e)=f(gg^-1)=f(g)f(g^-1) だから f(g^-1)=f(g)^-1
f(a^-1)=f(a)^-1=e'^-1=e' だから、a^-1∈ker(f)【逆元の存在】
f(a)(f(b)f(c))=f(a)f(bc)=f(a(bc))=f((ab)c)=f(ab)f(c)=(f(a)f(b))f(c)【結合則】

さらに ker(f) の正規性を示す。
f(gag^-1)=f(g)f(a)f(g^-1)=f(g)e'f(g)^-1=f(g)f(g)^-1=e' だから、gag^-1∈ker(f) よって、g・ker(f)・g^-1⊂ker(f)
f(g^-1ag)=f(g^-1)f(a)f(g)=f(g)^-1e'f(g)=f(g)^-1f(g)=e' だから、g^-1ag∈ker(f) よって、a=g(g^-1ag)g^-1∈g・ker(f)・g^-1 よって、ker(f)⊂g・ker(f)・g^-1
ゆえに、ker(f)=g・ker(f)・g^-1■
726 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/29(日) 04:55:48.60 ID:VMbS5KbH.net: どうも。スレ主です。
>>724 了解

>>725 ID:/kdxB2Ufくん（>>714）に分かるように丁寧に書いてくれたんだね
最後のところは、下記にすれば２行省略できるね

　　記
さらに ker(f) の正規性を示す。(正規部分群の定義として「gNg^(-1) ⊂ N　(∀g∈G)」*)を使う>>685)
f(gag^-1)=f(g)f(a)f(g^-1)=f(g)e'f(g)^-1=f(g)f(g)^-1=e' だから、gag^-1∈ker(f) よって、g・ker(f)・g^-1⊂ker(f)■

*)正規部分群の定義として「gNg^(-1) ⊂ N　(∀g∈G)」と「gNg^(-1) = N　(∀g∈G)」とは同値。
自明ではないが、共役変換の性質「群 G の部分群 H と a ∈ G に対して、H と aHa-1 は同型である。」（>>712 平木研）を知識として使えば、同値であることは容易に分かる。
つまり、gNg^(-1) とNとが同型だから、gNg^(-1) ⊂ N→gNg^(-1) = Nが成り立つ。逆は、当然。

追伸
出題と解答ありがとう
ぼんやりとしか理解できていなかった共役変換が、深く理解できました。（>>688に書いた通り）
727 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/03/29(日) 09:41:48.82 ID:VMbS5KbH.net: >>684
どうも。スレ主です。
証明は、おっちゃんにゆずるが、下記が参考になるだろう
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%9A%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
アペリーの定理（アペリーのていり、Apery's theorem）とは、リーマンゼータ関数 ζ の特殊値 ζ(3) が無理数である、という定理である。
http://en.wikipedia.org/wiki/Ap%C3%A9ry%27s_theorem 英語版（和文は英語版の訳と思われるが、引用文献が和１４英１２と異なっている。英がリバイズされたか）

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E7%90%86%E6%95%B0
無理数度
有理数の無理数度は 1, ディリクレの定理およびロスの定理より代数的無理数の無理数度は 2, リウヴィル数の無理数度は ∞ である。ディリクレの定理より無理数の無理数度は全て 2 以上である。e の無理数度は 2 であることが知られている。
ルベーグ測度に関してほとんど全ての数の無理数度は 2 である。
728 ：１３２人目の素数さん：2015/03/29(日) 12:04:44.83 ID:G8tCtmBr.net: >>726
理解できたと言ってるところ申し訳ないが、まだ問題があるように見える。

＞gNg^(-1) ⊂ N→gNg^(-1) = Nが成り立つ
この→は「ならば」のことだろうか。だとすると、これでは証明になっていない。

例えば、整数全体の集合 Z と偶数全体の集合 2Z は、
和についての群として同型で 2Z⊂Z であるが、2Z=Z ではない。
729 ：１３２人目の素数さん：2015/03/29(日) 12:09:01.57 ID:5FNRcFzF.net: 2Z⊂2Z で、当然ながら2Z=2Zだよ
730 ：１３２人目の素数さん：2015/03/29(日) 12:23:05.19 ID:G8tCtmBr.net: 群 G の部分群 H,H' に対して、
「H⊂H' かつ H と H' が同型」ならば H=H'
は必ずしも成り立たない、ということが言いたかった。

包含写像 H→H' と同型写像 H→H' が一致するなら H=H' だけど、
スレ主の gNg^(-1) と N の場合はそれも成り立ってない。
731 ：１３２人目の素数さん：2015/03/29(日) 12:30:14.47 ID:Akp98M0a.net: 未だ問題があると言うより根本的に駄目だね。
スレ主は逆の包含を示さずに不正解とされたことに不満を抱き、それでも正解と示そうとしたが
逆に無知を晒してしまった。
732 ：１３２人目の素数さん：2015/03/29(日) 12:49:26.97 ID:giyBvreh.net: >>684
>>727
おいおい、>>673の「ζ(3)の無理数度は5より大きい」という部分は
http://mathworld.wolfram.com/IrrationalityMeasure.html
を参考にして書いたんだよ。現時点でζ(3)の無理数度の値は「5.5…」となっている。
数学的には、ζ(3)の無理数度は2まで引き下げられるよ。そうでないと矛盾が生じる。
本来は、現時点での無理数度の値を見たら、任意の実数の無理数度は1か2か+∞になると予想するべきなのだ。
これは、eという無理数度2の超越数の具体例がある訳で、もっともらしい。
733 ：１３２人目の素数さん：2015/03/29(日) 12:55:46.36 ID:Akp98M0a.net: >>732
upper bound の意味を知らんのか？
734 ：１３２人目の素数さん：2015/03/29(日) 13:16:38.07 ID:giyBvreh.net: >>733
上界だが。
735 ：１３２人目の素数さん：2015/03/29(日) 13:29:36.55 ID:giyBvreh.net: >>733
あ～、「upper bound 」は上に界がある値で意味は上限か。だが、
>任意の実数の無理数度は1か2か+∞
は正しいだろうな。実数αについて、
|α－q/p|＜1/p^5なる分数q/pが可算無限個あって
|α－q/p|＜1/p^4なる分数q/pが有限個なんていうことあり得ない。
736 ：１３２人目の素数さん：2015/03/29(日) 13:35:53.65 ID:giyBvreh.net: >>733
あ～、
>任意の実数の無理数度は1か2か+∞
が間違いだったのか。実数αについて、
|α－q/p|＜1/p^5なる分数q/pが有限個あって
|α－q/p|＜1/p^4なる分数q/pが有限個あることはあり得る現象か。
737 ：１３２人目の素数さん：2015/03/29(日) 13:45:33.37 ID:giyBvreh.net: >>684
まあ、それでも、>>673の「ζ(3)の無理数度は5より大きい」という部分
は「ζ(3)の無理数度は1より大きい」を意味する訳で、
ζ(3)の場合、証明にはこれさえあればいいのだ。
738 ：１３２人目の素数さん：2015/03/29(日) 14:02:02.02 ID:giyBvreh.net: いや、本を改めて見直したら無理数度は下限として定義されていて、
>任意の実数の無理数度は1か2か+∞
は正しいように見える。下限として定義した以上、無理数度は引き下げられて行く値なのだ。
ということは、>>673では「ζ(3)の無理数度は6より小さい」と書くべきだったのか。
739 ：１３２人目の素数さん：2015/03/29(日) 15:38:53.85 ID:giyBvreh.net: upper boundの訳は上界だがinfimumは下限で無理数度の定義が下限だから、
>>732に挙げたサイトのデータの値は更新されている筈。
参考にしたのが2001年では少し古いだろう。
下限の上界の範囲が狭められて行くということか。
740 ：１３２人目の素数さん：2015/03/29(日) 23:32:26.10 ID:ul+L4Deq.net: スレ主は「無知睾丸」
741 ：１３２人目の素数さん：2015/03/30(月) 21:42:41.83 ID:oO1nmDC/.net: スレ主の言い訳予想
　私は有限群しか興味無いので有限群限定で考えた

⇒それなら問題(1)をマトモに解く気は無かったはずなのに、ID:/kdxB2Ufへの上から目線は一体何だったのか？ｗ
742 ：１３２人目の素数さん：2015/03/31(火) 01:48:13.88 ID:PYljh/Cs.net: 確かに、有限群なら>>726は問題ないな。

　有限群で成り立つから一般の場合にも成り立つと思った
に一票
743 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/04/04(土) 13:02:12.63 ID:6oRaj5nX.net: >>728-731
どうも。スレ主です。

>>728が正解だな

説明しよう
１）自明だが、「g*h1=g*h2←→h1=h2」 & 「g*h1≠g*h2←→h1≠h2」
２）だからこれも自明だろう。「g*h1*g^(-1) =g*h2*g^(-1) ←→h1=h2」 & 「g*h1*g^(-1) ≠g*h2*g^(-1) ←→h1≠h2」
３）上記を念頭に、gNg^(-1) と Nとの対応を考えてみなさい。言いたいことは自明だろう。これが、共役変換の性質「群 G の部分群 H と a ∈ G に対して、H と aHa-1 は同型である。」（>>712 平木研）>>726だ
４）ID:G8tCtmBrさんは、ここをもう一度考えてみたらどうかね。おっと、ID:G8tCtmBrさんもだよ
５）なお、「スレ主は逆の包含を示さずに不正解とされたことに不満を抱き」→「スレ主は逆の包含を示さずに不正解とされたことに違和感を抱き」だよ
744 ：１３２人目の素数さん：2015/04/04(土) 13:06:41.00 ID:QN/qEVY+.net: スレ主さんがガロア理論に惹かれる理由ってなんですか？
745 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/04/04(土) 13:08:19.31 ID:6oRaj5nX.net: >>743
訂正
>>728が正解だな
↓
>>729が正解だな

失礼しました。
なお、>>688をもう一度強調しておく
746 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/04/04(土) 13:12:03.36 ID:6oRaj5nX.net: >>744
正確には、原ガロア理論＝ガロア第一論文だ
それに惹かれる理由はいろいろあるが、
１）群論や体論がない時代に、手探りで代数方程式の可解性を解明したこと
２）その手作り感
３）それが、自分がなにか未知の問題（数学に限らず）に対面したときに、勇気を与えてくれる気がする

そんなところだ
747 ：１３２人目の素数さん：2015/04/04(土) 13:20:22.06 ID:+zD8feXr.net: これは低脳の基地外を惹きつける誘蛾灯の一つなり。
他に有名な誘蛾灯に角の三等分の作図法がある。
748 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/04/04(土) 13:24:17.89 ID:6oRaj5nX.net: 自分のことを言っている・・
749 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/04/04(土) 13:27:08.72 ID:6oRaj5nX.net: 昔ならフェルマーが解けた
今なら、フェルマーの初等証明かね。ポアンカレ３次元の別解。リーマンとか。ABCの強予想はどうよ？
750 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/04/04(土) 13:39:45.26 ID:6oRaj5nX.net: >>740-742
どうも。スレ主です。
確かに、似たことは>>691に既に書いたよ
が、それは、「集合A,Bに対して、「A⊂B かつ card(A)=card(B) ならば A=B」が成り立つのは有限集合の場合のみ。」>>689
に対してで、「A⊂B かつ card(A)=card(B) ならば A=B」の議論だ

が、>>726で書いたことは違う

君たちに聞きたい
>>687に戻る
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E8%A6%8F%E9%83%A8%E5%88%86%E7%BE%A4
正規部分群
群 G の部分群 N が正規部分群であるとは、共役変換（英語版）によって不変、すなわち N の任意の元 n と G の任意の元 g に対して、元 gng-1 が再び N に属するときにいう。
任意の部分群について、以下の条件はいずれも今上げた正規性の条件に同値である。
このため、これらの条件のどれかを正規部分群の定義としてもよい。
・G の任意の元 g に対して gNg-1 ⊆ N が成り立つ。
・G の任意の元 g に対して gNg-1 = N が成り立つ。
(引用おわり)

上記二つの正規部分群の定義が同値であること、つまり
・G の任意の元 g に対して gNg-1 ⊆ N が成り立つ。
　↓↑
・G の任意の元 g に対して gNg-1 = N が成り立つ。

を示すのに、>>743で述べた
共役変換の性質「群 G の部分群 H と a ∈ G に対して、H と aHa-1 は同型である。」（>>712 平木研）>>726を使うと思うのだが、どうよ？
そして、これは、有限群のみならず無限群でも同じと思うのだが、どうよ？
751 ：１３２人目の素数さん：2015/04/04(土) 13:51:11.66 ID:+zD8feXr.net: 無脳がまた…
752 ：１３２人目の素数さん：2015/04/04(土) 13:56:01.82 ID:SzYxKgEA.net: そんなことも分からないのかw
753 ：１３２人目の素数さん：2015/04/04(土) 14:27:20.26 ID:NuBVm7kq.net: スレ主がごちゃごちゃと説明を付け足すのは、元の証明が駄目である何よりの証拠。
スレ主に問われているのは(1)の証明であって、
＞上記を念頭に、gNg^(-1) と Nとの対応を考えてみなさい。
のようなお説教じゃない。
754 ：１３２人目の素数さん：2015/04/04(土) 14:42:15.13 ID:u5J7qn/M.net: スレ主よ。おぼろげながら、やっと少しは夢の実現への方針がつかめた。
私の夢の実現には、ガロア理論だけでは足りないかも知れない。
やはり、関数解析とかが必要になる可能性はある。楽しい数学になり得る。
まあ、何するにしても、やっぱり群論は有効ですよ。
代数で、群論程威力発揮するモノはないんじゃないですかね。
しかし、可算無限と非可算の違いは大きいね。根本的にここを解決出来ればいいんだけどね。
うん、無限は難しい。単純には解決出来ない。
755 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/04/04(土) 14:51:40.36 ID:6oRaj5nX.net: >>751-753
雑魚がわいてきたか・・

雑魚にはこれだな
ID:+zD8feXrさん、ID:SzYxKgEAさん、ID:NuBVm7kqさんにも、>>517の問題を投げておくよ
>>679だ。君たち程度の雑魚レベルじゃ解けない問題だよ
756 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/04/04(土) 14:58:33.99 ID:6oRaj5nX.net: >>754
おっちゃん、どうも。スレ主です。

>スレ主よ。おぼろげながら、やっと少しは夢の実現への方針がつかめた。

ああ、それはよかったね

>しかし、可算無限と非可算の違いは大きいね。

ああ、そうだね
そして、連続濃度と連続濃度の”べきの濃度”との差も大きいよ
実際、>>679は雑魚レベルじゃ解けない問題になった
これ、１年くらい持ちそうだな
雑魚を叩くのに好都合の問題だ（笑い）
757 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/04/04(土) 15:07:17.30 ID:6oRaj5nX.net: >>755 つづき

そうだな・・、>>679は君たち雑魚には難しすぎるか・・
こうしよう！

正規部分群の定義>>750で
二つの正規部分群の定義が同値であること、つまり
・G の任意の元 g に対して gNg-1 ⊆ N が成り立つ。
　↓↑
・G の任意の元 g に対して gNg-1 = N が成り立つ。
を示せ

つまり、「G の任意の元 g に対して gNg-1 ⊆ N が成り立つ」→「G の任意の元 g に対して gNg-1 = N が成り立つ」を示せ
基本中の基本だろう。これなら、君たちレベルでも秒殺だろう・・（笑い）
758 ：１３２人目の素数さん：2015/04/04(土) 15:33:45.23 ID:NuBVm7kq.net: >>757
君は字が読めないのか？
君の糞理論を使うも使わないも君の自由だから、とっとと(1)を証明しなさい。
759 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/04/04(土) 15:56:12.57 ID:6oRaj5nX.net: >>758
教えて欲しいのか？
教えてはやらん（笑い）
自分で考えろ！（笑い）
760 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/04/04(土) 16:03:30.26 ID:6oRaj5nX.net: なお、逆の包含については、出題者の>>701より先に、私が>>686の最後に書いたよ（>>702）
これで証明は終わっている。それは、出題者が>>721に書いた通り（”すでに示されている g^-1・Ker(f)・g ⊂ Ker(f) を用いてもよい”）だ
761 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/04/04(土) 16:21:59.23 ID:6oRaj5nX.net: >>728,>>730のID:G8tCtmBrさんは、おそらく出題者だろう
確かに君は、レベルが高い

”例えば、整数全体の集合 Z と偶数全体の集合 2Z は、
和についての群として同型で 2Z⊂Z であるが、2Z=Z ではない。”は確かにそうだ

そして、”群 G の部分群 H,H' に対して、
「H⊂H' かつ H と H' が同型」ならば H=H'
は必ずしも成り立たない、ということが言いたかった。”も正しい

だが、>>743と>>750に書いたように、今回の共役変換（もっと言えば正規部分群）の場合には、当てはまらない
なぜか？
もう正解に気付いていると思うがね・・

だれが最初に正解を書くのかな？（笑い）
おっちゃんのいう>>754”うん、無限は難しい。単純には解決出来ない。”がヒントだ
762 ：１３２人目の素数さん：2015/04/04(土) 16:27:19.76 ID:6q6UTOKw.net: 　　　　　　　　　⌒　　ヾ　　　　　　　　　　　　　　　　　､ミ川川川彡　　　
　　　　　r／￣￣￣￣ヽ､　ヽ　　　　　　　　　　　　　ミ　　　　　　　彡　　　
　　　　　/.　ﾉ(　　（ﾟｯ）/　￣￣~ヽ　ヾ　　　　　　　　三　　こ　駄　三　　　　　
　　　　/　　⌒ 　　　ト､.,..　　　　＼丶。　　　　　　三　　ら　め　三　　　　
　　　彳､＿　　　　｜　 ∴＼　　　ヽ　　　　　　　三.　え　だ　三　　　
　　　| ) r‐　　　　　/ 　ﾉ(　＼＼　　｜∴　　　　　三　　る　　　三　
　　　|　　　　　　　　 ⌒|⌒　ヽヽ　　|　｡ｏ　　　　三.　ん　ま　三　
　　ﾉ(　　　　　　　　　　　/　　　 | |　 /　　　　　　　三.　だ　だ　三,.
　　　　　.⌒　　　　　　／　　　　ヽ|／ﾞＵ　　　　　　　三　　　　吐　三　
　　　　　　　　　　　／　　　　　u　　　　　　　　　　　三.　　　　く　三　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　三　　　な　三　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　彡　　　　　　ミ　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　彡川川川ミ.　　
763 ：１３２人目の素数さん：2015/04/04(土) 16:28:37.53 ID:NuBVm7kq.net: >>761
＞だが、>>743と>>750に書いたように、今回の共役変換（もっと言えば正規部分群）の場合には、当てはまらない
そんな付け足しが要るってことは、君の証明が証明になってないというなによりの証拠
764 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/04/04(土) 16:28:56.62 ID:6oRaj5nX.net: >>743
今見ると、さらに訂正だ

おっと、ID:G8tCtmBrさんもだよ
　↓
おっと、ID:Akp98M0aさんもだよ
765 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/04/04(土) 16:33:36.37 ID:6oRaj5nX.net: >>763
この付け足しは、不要だ
それは、>>681に示した吉野雄二岡山大学理学部数学科問題1.6.1の(証明)に有るとおりさ
この付け足しはあくまで君たちのためだよ
766 ：１３２人目の素数さん：2015/04/04(土) 16:41:10.75 ID:NuBVm7kq.net: 付け足ししないなら、>>728の反例で終了
767 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/04/04(土) 16:58:04.18 ID:6oRaj5nX.net: >>766
それ（「2Z⊂Z であるが、2Z=Z ではない」>>728）は、確かに
”群 G の部分群 H,H' に対して、
「H⊂H' かつ H と H' が同型」ならば H=H'
は必ずしも成り立たない、ということが言いたかった。”については正しい>>761

だが、今回の共役変換（もっと言えば正規部分群）の場合には、当てはまらない>>761
768 ：１３２人目の素数さん：2015/04/04(土) 17:12:42.40 ID:NuBVm7kq.net: >>767
正規部分群であることを証明したいのに、正規部分群の場合に当てはまらない
から正しいと言われてもねえｗ
769 ：１３２人目の素数さん：2015/04/04(土) 18:32:48.10 ID:imPboNFR.net: （スレ主さん、証明とかの類いだの「付け足し」だのは諦めて、
　ひたすらネットの情報だけ挙げてればいいと思うんだが・・・）
770 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/04/04(土) 18:59:28.22 ID:6oRaj5nX.net: >>768
ID:NuBVm7kqさん・・か
本当にあなたは、数学的思考が弱いね
よくそれだけ、数学の本質を外した解釈ができるね（笑い）
771 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/04/04(土) 19:03:44.98 ID:6oRaj5nX.net: >>769
私もそれが本来なんだけど、出題者さんが問題を出して遊びたいというから
こっちも楽しんだんだよね
お陰で、出題者さんより深く共役変換（もっと言えば正規部分群）について理解できたみたい

その差が、>>761だよ
出題者さんは、もう気付いているだろうが・・
772 ：１３２人目の素数さん：2015/04/04(土) 19:10:22.46 ID:NuBVm7kq.net: >>771
これは笑える
773 ：１３２人目の素数さん：2015/04/04(土) 19:11:42.80 ID:EK3Fw0aZ.net: 「ウリは偉い賢いニダ」
774 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/04/04(土) 19:49:15.95 ID:6oRaj5nX.net: >>772
おれも笑える
ID:NuBVm7kqさん、あんたに何が分かるんだね？
775 ：１３２人目の素数さん：2015/04/04(土) 20:51:10.19 ID:BEr55Sxn.net: 出題者だけど
俺は最初から>>757の同値性もその証明方法も分かってる。
スレ主が分かってるかどうかを確認したいんだ。

って、言うだけじゃスレ主と同じなんだよな。
こういう「俺は分かってるから、お前が証明してみろよ」って互いに譲らないで
いつまでも話が進まないのはもう見飽きた。

スレ主が他人に説明を求めるなら俺が書くけど、
その場合、スレ主の挽回の機会は失われ、今後は俺から（おそらく他の皆からも）「結局最後まで(1)が解けなかったやつ」として扱われることになる。
776 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/04/04(土) 21:28:16.66 ID:6oRaj5nX.net: >>775
どうも。スレ主です。
出題者さま、まず、お礼を。深く共役変換（もっと言えば正規部分群）について理解できたことを

さて、確認だが、>>728,>>730のID:G8tCtmBrさんは、出題者さんだったんだよね
その確認をしておきたい

で、>>757の同値性もその証明方法も問題を解く前は、分かっていなかった
が、問題を解いた後、本質は>>726で尽くされていると思うよ

「例えば、整数全体の集合 Z と偶数全体の集合 2Z は、
和についての群として同型で 2Z⊂Z であるが、2Z=Z ではない。」>>728は、この場合の反例としては不適切だ

だから、私の挽回は不必要だ
その説明を求めるならば、説明をするよ
777 ：１３２人目の素数さん：2015/04/04(土) 21:45:28.28 ID:BEr55Sxn.net: >>728 >>730は俺です。

じゃあとりあえずその「説明」をお願いします。
778 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/04/04(土) 21:53:50.38 ID:6oRaj5nX.net: >>777
どうも。スレ主です。

ありがとう。では説明します

ヒントは、数学的帰納法（自然数に関するペアノの公理）。といえば、出題者にはすぐに分かるだろう
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%9A%84%E5%B8%B0%E7%B4%8D%E6%B3%95
（抜粋）
数学的帰納法（すうがくてききのうほう、英: mathematical induction）は自然数に関する命題P(n) が全てのn に対して成り立っている事を証明するための、次のような証明手法である[1]。

自然数に関するペアノの公理の中に、ほぼ等価なものが含まれている。

超限帰納法

上記の形で自然数について定式化された数学的帰納法は、任意の整列集合に対して次のように一般化することができる。
この一般化を超限帰納法 (ちょうげんきのうほう、英: transfinite induction)という。
任意濃度の集合は選択公理と同値な整列可能定理により整列順序を持つとすることができるので、選択公理を含む公理系であれば超限帰納法は任意濃度の集合に対して成立すると主張できる。
779 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/04/04(土) 22:00:35.76 ID:6oRaj5nX.net: >>778 つづき
　 >>742の人も言っているが、有限群なら>>726は問題ない
　つまりは、任意の位数Nの群について>>726は成り立つ
　だから、数学的帰納法または自然数に関するペアノの公理と同じ理屈で、N→∞とすることができる
　
　「例えば、整数全体の集合 Z と偶数全体の集合 2Z は、
　和についての群として同型で 2Z⊂Z であるが、2Z=Z ではない。」は、上記とは本質的に異なる
　どう異なるかは、出題者にはすぐ分かるはず
780 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/04/04(土) 22:07:06.01 ID:6oRaj5nX.net: >>779 つづき
　「例えば、整数全体の集合 Z と偶数全体の集合 2Z は、
　和についての群として同型で 2Z⊂Z であるが、2Z=Z ではない。」は、本質的に異なる

　これは、>>726が任意の位数Nの群について成り立つことを主張しN→∞とすることができることを主張しているのに対し、
　任意の位数Nの群については、成り立たない例だからだ
以上
781 ：１３２人目の素数さん：2015/04/04(土) 22:07:46.26 ID:BEr55Sxn.net: え、超限帰納法使うの！？
どうも俺とは大分違うことを考えているようだ。

ちょっとすぐには繋がりが分からないから詳しく説明してほしい。
ちなみに数学的帰納法や超限帰納法を使っても「有限の場合に全て成り立つから無限でも成り立つ」ってことにはならないからな。
782 ：１３２人目の素数さん：2015/04/04(土) 22:23:47.94 ID:BEr55Sxn.net: 追記

実際、>>730に書いた
＞群 G の部分群 H,H' に対して、
＞「H⊂H' かつ H と H' が同型」ならば H=H'
という命題は |G|<∞ で成り立つが |G|=∞ では必ずしも成り立たない。
783 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/04/04(土) 22:52:39.02 ID:6oRaj5nX.net: >>781-782
そんな大風呂敷を考えるつもりは全くない
”「有限の場合に全て成り立つから無限でも成り立つ」ってことにはならないから”というのは知ったことでない
そんなことは、基礎論好きに任せておけ

共役変換（もっと言えば正規部分群）に限定して考えてくれ
この場合に、「任意の位数Nの群について>>726は成り立つ
　だから、数学的帰納法または自然数に関するペアノの公理と同じ理屈で、N→∞とすることができる」に賛同するのか反対するのか？

反対するなら、はっきり理由を述べよ
784 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/04/04(土) 22:54:20.19 ID:6oRaj5nX.net: 　「例えば、整数全体の集合 Z と偶数全体の集合 2Z は、
　和についての群として同型で 2Z⊂Z であるが、2Z=Z ではない。」は、本質的に異なる

なんなら、集合 Zの和についての群として、共役変換の反例を出してくれ
785 ：１３２人目の素数さん：2015/04/04(土) 23:12:23.63 ID:EK3Fw0aZ.net: 位相が無くてもlimitが取れると考えるスレ主であったw
786 ：１３２人目の素数さん：2015/04/04(土) 23:19:08.96 ID:oohQJNWL.net: 真面目に読んでないからよくわからんけど、lim取るだけなら別に位相いらくね？
787 ：１３２人目の素数さん：2015/04/04(土) 23:39:18.77 ID:BEr55Sxn.net: >>783
共役変換の場合、確かに任意の濃度で成り立つという結論は正しい。
が、「任意の位数Nの群について>>726は成り立つ」というだけでは共役変換でない場合との違いが無いので根拠にならない。
共役変換に限定しろというのなら、共役変換の性質をどう使うのか説明してくれ。

そして、俺の考えてる>>757の証明では帰納法は特に使わない。
帰納法を使った証明もちょっと考えたが、スレ主の意向に沿うようなものは思いつかない。
そういう意味で、「反対」。

>>784
反例は無い。共役変換の場合は結論は正しいから。
>>778-780では「共役変換」なんて一言も言ってないじゃないか。
>>726でも「同型だから」以上の詳しい説明はなかった。
それで、一般の場合にも成り立つと勘違いしてるんじゃないかと思って>>728を書いた。
共役変換に限定しろというのなら、共役変換の性質をどう使うのか説明してくれ。
788 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/04/05(日) 05:31:23.67 ID:5o4dQmCs.net: どうも。スレ主です。

>>785-786 おれは、>>786に賛成
789 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/04/05(日) 05:33:35.82 ID:5o4dQmCs.net: >>787　難しく考えすぎだろ。

１．>>436で、「２）群が正規部分群であることを示す。この場合は、「N=gNg^-1」の形が使い易いだろう」と宣言してある
　そして、その前提での>>442「逆の包含を言ってないってことか？」だった
　それに対して、>>681 岡山大吉野雄二（正確には）の証明を示したところ、>>685「引用されている解答では、正規部分群の定義として「gNg^(-1) ⊂ N　(∀g∈G)」が使われている。」だった
　最初から最後まで、「N=gNg^-1」 or 「gNg^(-1) ⊂ N　(∀g∈G)」の話だよ

２．そして、数学的帰納法は公理であって定理ではない。共役変換に限定されない
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%9A%84%E5%B8%B0%E7%B4%8D%E6%B3%95
数学的帰納法の形式的な取り扱い
ペアノ算術などの形式な体系では、数学的帰納法を証明に用いてよいことが公理として仮定されるのが普通である。
つまり、形式的には、自然数の性質から数学的帰納法の正しさが証明できるのではなく、逆に自然数の本質的な性質を与える推論規則として数学的帰納法が仮定される、ということになる。

３．数学的帰納法を公理として認めれば、「無限個ある自然数全てに対してP(n) が成り立つ」という数学的帰納法の結論が導かれる。それを単純に、共役変換の場合にも成り立つとすれば良い。
　任意の位数Nの群について>>726は成り立つ。だから、「無限個ある自然数全てに対してP(n) が成り立つ」
　（超限帰納法も、ことは単純で、公理系の問題だよ。選択公理と同値な整列可能定理により・・とすれば良いだけ）

４．帰納法を使わない証明：「gNg^(-1) ⊂ N　(∀g∈G)」→「N=gNg^-1」は、そりゃあるだろうよ
　というか、その話は686の最後とか、出題者さんの725。あるいは、それを少し変形すればできるだろうよ（まだ考えてないが）

５．最後に、”ちなみに数学的帰納法や超限帰納法を使っても「有限の場合に全て成り立つから無限でも成り立つ」ってことにはならない”は、その通りだろう
　が、それは数学的帰納法の公理から外れる例だろうさ。例えば、785の位相が必要だとか。例えばcard(N)みたく有限と無限で定義が異なるとか
790 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/04/05(日) 06:06:13.48 ID:5o4dQmCs.net: >>789 補足
帰納法を使わない証明：「gNg^(-1) ⊂ N　(∀g∈G)」→「N=gNg^-1」は、出題者さんの725。あるいは、それを少し変形すればできるだろうよ

>>725より引用
ker(f) の正規性を示す。
f(gag^-1)=f(g)f(a)f(g^-1)=f(g)e'f(g)^-1=f(g)f(g)^-1=e' だから、gag^-1∈ker(f) よって、g・ker(f)・g^-1⊂ker(f)
f(g^-1ag)=f(g^-1)f(a)f(g)=f(g)^-1e'f(g)=f(g)^-1f(g)=e' だから、g^-1ag∈ker(f) よって、a=g(g^-1ag)g^-1∈g・ker(f)・g^-1 よって、ker(f)⊂g・ker(f)・g^-1
ゆえに、ker(f)=g・ker(f)・g^-1
（引用おわり）
だったね

ここで、ker(f)→Nに置き換えれば、そのまま証明に使えるだろう
「gNg^(-1) ⊂ N　(∀g∈G)」を仮定し、a∈Nとする。仮定よりg^-1ag∈N
以下で” N⊂gNg^(-1) 　(∀g∈G)”を示す
a=g(g^-1ag)g^-1∈g・N・g^-1 よって、N⊂g・N・g^-1

ゆえに、N=g・N・g^-1 QED

わざわざ、「俺の考えてる>>757の証明では帰納法は特に使わない」というほどのこともない
(なお、繰り返すが>>686の最後に同じことは書いてある)
本質は、共役変換だよ
791 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/04/05(日) 06:34:05.67 ID:5o4dQmCs.net: いいかい
>>686、>>726、>>743が、共役変換の本質なんだ

「gNg^(-1) ⊂ N　(∀g∈G)」→「N=gNg^-1」は、有限群に限れば、ほぼ自明だ（∵gNg^(-1)はNと同型で、何より位数（=card(N))が等しいのだから）
そして、数学的帰納法を公理として認めれば、「無限個ある自然数全てに対してP(n) が成り立つ」という数学的帰納法の結論が導かれる。
だから、「gNg^(-1)はNと同型」を知識として知っていれば、>>681 の岡山大吉野雄二の証明のように、わざわざ逆の包含をいうほどのこともないということなのだろう

なお、試験問題なら、（∵gNg^(-1)はNと同型で、位数（=card(N))が等しいから、有限群に限ればN=gNg^-1が成り立つ。無限群の場合は、数学的帰納法による。）と書くか、>>790みたく ”∵a=g(g^-1ag)g^-1∈g・N・g^-1 よって、N⊂g・N・g^-1”か
時間があるなら、どちらかを書くべきだろう

しかし、数学の学習の理解としては、後者だけでなく前者も必要だよ
792 ：１３２人目の素数さん：2015/04/05(日) 06:53:33.15 ID:X55sT+uM.net: ＞だから、数学的帰納法または自然数に関するペアノの公理と同じ理屈で、N→∞とすることができる」に賛同するのか反対するのか？
＞反対するなら、はっきり理由を述べよ
∞∈/Nだからダメ
数学的帰納法の主張は、「n∈Ｎ⇒P(n)は真」であって、「P(∞)は真」ではない。

スレ主は見識が狭い。wikiに書かれていることが全てと思ってる。
（wikiは誰でも編集できてしまうということをお忘れなく）
俺は数学的帰納法が定理として証明されることを知っている。
（その立場では、自然数の公理も不要。必要なのは実数の１７個の公理のみ。）
別に公理にしたければしても構わないが、俺は好かん。公理が少ない体系ほど美しいと思っているから。
793 ：１３２人目の素数さん：2015/04/05(日) 07:54:09.98 ID:X55sT+uM.net: >>778
スレ主さん、超限帰納法を理解できてて言ってる？
（その前に整列定理を理解できてるかも怪しいが）
もし理解できているなら実際に超限帰納法を使って証明してみて

コピペを貼ることと理解できてることは全く違うよ
794 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/04/05(日) 10:37:29.22 ID:5o4dQmCs.net: >>792-793
なかなか出題者さんは、レベルが高いね
あなたのレベルの高さには感心するよ
数学的には、あなたのお説の通りさ

だが、問題の証明レベルなら、>>790に書いたごとく既に>>686で逆の包含を直接示しているので終わっている
もっと言えば、>>681 の岡山大吉野雄二の証明レベルなら、>>440で終わっている（>>442「逆の包含を言ってないってことか？それは問題ない。」だったね）
ただ、そのときの共役に対する理解が浅かったから、>>789-791のような説明が出来なかっただけ（＾＾
「gNg^(-1) ⊂ N　(∀g∈G)」（N＝ker(f)）は440で示したから
後は、私>>686と貴方>>725が書いた”a=g(g^-1ag)g^-1∈g・N・g^-1 ”で終わりだ

この共役変換の１行が全て
この１行は、ker(f) について直接示すもよし、正規部分群Nの定義の同値として示すもよしだ
共役変換の本質は同じだ

だがね、前にも書いたように、”a=g(g^-1ag)g^-1∈g・N・g^-1 ”ですっと流すと、共役変換の本質が見えてないだろうと
共役変換の本質は、集合なら一対一対応であり、群であれば同型なんだよね
そして、その知識があれば、有限群に限れば、「gNg^(-1) ⊂ N　(∀g∈G)」を示した時点で、gNg^(-1) ＝ N　は自明なんだよね
さらに、共役変換の本質を理解していれば、無限群でもほとんど同じだ
それが、私の感性だ
795 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/04/05(日) 11:07:57.88 ID:5o4dQmCs.net: せっかくの出題>>417だったから、あとwell-definedについてまとめておこう
１）どなたかが書いてくれたが>>543「well-defined ほど重要な概念は無いと言っても過言ではない。」
　「複雑な対象ほど、そのままでは扱えないので、何らかの同値類を取って簡略化した対象にしてから扱うことになる。」と
２）それが、商集合という概念
　 >>566酒井克郎筑波大学 https://docs.google.com/viewer?a=v&pid=sites&srcid=ZGVmYXVsdGRvbWFpbnxrc2FrYWlpZHRvcG9sb2d5fGd4OjUxMzU4MWE1MDIxM2YxMmQ
　「商集合の扱いになれ, well-definedness に対する認識を持てるようになることも大切」
　「何かを定義をする場合, “その定義には矛盾がなく適切か”, 言い換えれば, “矛盾無く適切に定義できているか” が問題となることが多い.
“矛盾無く適切に定義できている” ということを“well-defined” であるという.」
　「考えている集合が商集合の場合, ある概念を定義するとき, 商集合の元ではなく, その代表元を用いて定義することが少なくない.
　　この場合の“well-defined” の問題は, “代表元の取り方に依存せずに定義できているかどうか” ということである.」
３）ご存知雪江明彦先生>>550 http://www.math.tohoku.ac.jp/~yukie/report4.pdf
　「代数では『well-defined』ということがなかなかわかってもらえず苦労するが，この問題はまさに『well-defined』とはどういうことかということを問う問題.
　　採点してみて，大部分の人がまだ『well-defined』という概念を理解していないことがわかった.」
796 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/04/05(日) 11:28:27.28 ID:5o4dQmCs.net: >>795 つづき
４）well-defined
　 http://ja.wikipedia.org/wiki/Well-defined >>423 抜粋
　 well-defined は、ある概念が数学的あるいは論理学的に特定の条件を公理に用いて定義・導入されるとき、その定義（における公理の組）が自己矛盾をその中に含み持たぬ状態にあることを言い表す修飾語句である。
　以下の二つが示せたとき、定義が well-defined であるという[1]。
(1) 定義で使われる方法が実際にうまくいく。
(2) 定義がもともとの対象から複数定まる対象を経由して行われる場合、結果がもともとの対象にのみ依存する。
　 http://en.wikipedia.org/wiki/Well-defined
　 In mathematics, an expression is well-defined if it is unambiguous and its objects are independent of their representation. More simply, it means that a mathematical statement is sensible and definite.
　 In particular, a function is well-defined if it gives the same result when the form (the way in which it is presented) is changed but the value of an input is not changed.
５）あと、同値関係と商集合
　 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%90%8C%E5%80%A4%E9%96%A2%E4%BF%82
　同値関係（どうちかんけい、英: equivalence relation）とは、2 つの対象が "ある意味で" 同じである、あるいは同一視できるという関係を一般化した概念である。
　ある集合 S において、二項関係～が次の性質を満たすとき、～は S の同値関係であるという。
反射律: a ～ a
対称律: a ～ b → b ～ a
推移律: a ～ b ∧ b ～ c → a ～ c
上の3項をまとめて同値律という。～が同値関係であるとき、a ～ b であることを、a と b は同値であると言い表す。
（商集合の説明があるが、省略します。直接URLを開いてください）
797 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/04/05(日) 11:38:28.13 ID:5o4dQmCs.net: >>798 つづき

あと、商集合が定義されたあと、当然ながら演算を定義するんだよね
演算を定義しないと、おもしろくないから（笑い）

そのときに、演算に対してもwell-definedが問題になる
この話は、また機会があればやりたいね

ともかく、>>549
"（コメント）　初めて「Ｗｅｌｌ　Ｄｅｆｉｎｅｄ」に接したときは、「当たり前のことを、何でそんなに仰
　　　　　　々しく述べるの？」という感じだったが、その真意が分かるにつれ、重要性も理解
　　　　　　され当たり前のように「Ｗｅｌｌ　Ｄｅｆｉｎｅｄ」を確認している自分に気がつく。"

"「定義」を見たとき、その定義がwell-definedであるかどうかを気にできるようになったらかなりの上級者である。"
だそうだ（＾＾
798 ：１３２人目の素数さん：2015/04/05(日) 12:04:53.04 ID:jwP/UdlD.net: 出題者です。
>>792 >>793は出題者は別人です。

＞「gNg^(-1) ⊂ N　(∀g∈G)」を仮定し、a∈Nとする。仮定よりg^-1ag∈N
＞以下で” N⊂gNg^(-1) 　(∀g∈G)”を示す
＞a=g(g^-1ag)g^-1∈g・N・g^-1 よって、N⊂g・N・g^-1
＞
＞ゆえに、N=g・N・g^-1 QED

はい、よくできました。
>>686はなんかそれっぽいことが書いてあるなーと思ったけど
＞また、g^-1(gng^-1)g→nの形から
が意味不明だったし、もう面倒で>>721で終わらせるつもりだったからスルーした。すまない。

数学的説明をせずに本質がどうのうこうの言ってるだけじゃ何も伝わらない。
まずはきちんと数学的な説明を書いて納得させないと。
逆の立場だったらそうだろう？
799 ：１３２人目の素数さん：2015/04/05(日) 12:12:17.84 ID:jwP/UdlD.net: >>722 >>723は別人だけど、意見は同じ。
帰納法を使っても無限群に対しては証明できない。
「無限個ある自然数全てに対してP(n) が成り立つ」と自分でも書いてるじゃないか。
∞は自然数でないので対象外。

そもそも帰納法ってのは、
・最小元で成り立つ
・ある元 a に対し、a より小さい全ての元で成り立つなら、a でも成り立つ。
という形の証明だけど、そんな行為一度だってしてない。
「難しく考えすぎ」ってスレ主が帰納法なんて関係ないことを書いたせいだろう。

ちなみに>>725も俺じゃない。ID見れば分かるけど、あなたが貶していたID:/kdxB2Ufさんだよ。
800 ：１３２人目の素数さん：2015/04/05(日) 12:14:51.69 ID:X55sT+uM.net: >>789
命題「群 G の部分群 N と ∀g∈G に対し、N⊂gNg^-1 なら N=gNg^-1」
を超限帰納法を使って証明して下さい。

「超限帰納法も、ことは単純で」と言ったのは君だから、当然できるはずだよね？

＞３．数学的帰納法を公理として認めれば、「無限個ある自然数全てに対してP(n) が成り立つ」という数学的帰納法の結論が導かれる。それを単純に、共役変換の場合にも成り立つとすれば良い。
＞　任意の位数Nの群について>>726は成り立つ。だから、「無限個ある自然数全てに対してP(n) が成り立つ」
＞　（超限帰納法も、ことは単純で、公理系の問題だよ。選択公理と同値な整列可能定理により・・とすれば良いだけ）
801 ：１３２人目の素数さん：2015/04/05(日) 13:14:18.60 ID:CBD9FLtF.net: >>800
自然数の場合の帰納法、整列性の概念すらちゃんと分かってないやつに出来るわけないだろw
802 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/04/05(日) 14:11:36.46 ID:5o4dQmCs.net: >>798-800
出題者さん、ども
次から新スレへ行きましょう

皆さん、ほんとレベルが高いね。感心するよ
論点整理をしよう
１．まず確認だが、>>794で有限群の場合は良いんだよね？
　「gNg^(-1) ⊂ N　(∀g∈G)」→「N=gNg^-1」が、共役変換の本質：「集合なら一対一対応であり、群であれば同型」から従う
２．無限群についても、共役変換の本質から”a=g(g^-1ag)g^-1∈g・N・g^-1 ”で終わりだと。
３．共役変換の本質から”a=g(g^-1ag)g^-1∈g・N・g^-1 ”を使って、”ker(f) について直接示すもよし、正規部分群Nの定義の同値として示すもよし”だ
４．だから、>>417の問題(1) は、>>681 の岡山大吉野雄二の証明レベルで可だ。
５．それは>>440で終わっている（>>442「逆の包含を言ってないってことか？それは問題ない。」だったね）
６．但し、「N=gNg^-1」を使ったから、逆の包含についての説明か証明が必要だということになった。
　それも既に>>686で逆の包含を直接示しているので終わっている
７．だから、数学的帰納法を持ち出して混乱させたが、>>417の問題(1) は既に終わっているし、共役変換の本質の理解と説明も間違っちゃいないだろ
８．但し、数学的帰納法と超限帰納法については、意見が一致していない

数学的帰納法と超限帰納法については、新スレ（下記）でやろう
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む13
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1428205549/
803 ：１３２人目の素数さん：2015/04/07(火) 12:29:50.69 ID:Z+g58olw.net: 本格的にトンデモに育ってきたなw
804 ：１３２人目の素数さん：2015/04/07(火) 12:34:21.90 ID:Z+g58olw.net: 本当のゼミで凹まされて育った数学科の猛者から見たら笑止千万すぎるもんな威張りながら教わろうとはｗ
805 ：１３２人目の素数さん：2015/04/07(火) 13:44:50.66 ID:NwxyNtnn.net: 何を言う。
スレ主は王道を行っとる。
金払って威張り散らす腐れ教員に頭を下げるなど以ての外。
金払をもらったのならその分働け。
分かるように学生様に分かりやすく説明しろ。
教えたく無いなら、教える必要のない研究職につけ怠け教員。
806 ：１３２人目の素数さん：2015/04/09(木) 03:29:10.96 ID:nTN786wm.net: 国公立の学生は国民納税者に学費を税金経由でたかって学問収めさせてもらってる乞食なのだから国民納税者にひざまずけ
807 ：１３２人目の素数さん：2015/04/09(木) 19:03:28.26 ID:K8KMCiFa.net: べき根で表せない解って具体的にどんな形をしてるの？
三角関数がうにょうにょした感じってイメージであってる？
808 ：１３２人目の素数さん：2015/04/09(木) 19:16:05.14 ID:sC/9Vs45.net: それは超越解では
809 ：１３２人目の素数さん：2015/04/09(木) 23:20:27.82 ID:+fXi7TzJ.net: テータ函数使えば，任意の代数方程式の解は書けるから
「三角関数がうにょうにょした感じ」でイメージはあってるなｗ
810 ：１３２人目の素数さん：2015/04/10(金) 06:30:24.58 ID:8XLHEbVF.net: >>804
数学科の猛者を自称する幼稚園のすうがく組？
「上から目線、上から目線。あいつやっつようぜ。よし、おまえ行け」
811 ：１３２人目の素数さん：2015/04/10(金) 08:43:13.70 ID:OjdOUtND.net: 幼稚園にも上がれない大きな赤ん坊がスレを立ててるのを見るとなあw
812 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/04/10(金) 23:19:06.58 ID:PTxulp5P.net: どうも。スレ主です。
813 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/04/10(金) 23:22:27.04 ID:PTxulp5P.net: >>803-811
ご高説ありがとう
では、問題だ。>>517をお願いします。
本当のゼミで凹まされて育った数学科の猛者さまですか
さぞかし簡単でしょうね（笑い）
814 ：１３２人目の素数さん：2015/04/10(金) 23:39:35.28 ID:OjdOUtND.net: だいたい基礎論持ってくる事態がお門違いというか。トンデモって基礎論大好きだからな
815 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/04/11(土) 05:48:25.41 ID:pLE9DoNh.net: どうも。スレ主です。
別に証明しろとは言っていない
「どう思いますか？」と、君の数学的センスを聞いているんだよ（笑い）
816 ：１３２人目の素数さん：2015/04/11(土) 17:11:54.27 ID:osSnm/+q.net: 基礎論厨の人の発言が「数学業界では環とか体なんていう超難解な概念が頻出するんだけど」

そしてこのスレ主である。基礎論はなんか真面目にやってても不真面目なのがやっててもアレだなあ。
817 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2015/04/12(日) 19:30:25.15 ID:IFDb2ZM+.net: どう思うと聞いているだけなんだけどね
だが、それに答えると、てめえの数学レベルがばれる

そういう仕掛け
ただそれだけだ

基礎論もくそも
無関係だよ
818 ：１３２人目の素数さん：2015/04/13(月) 03:16:04.52 ID:JBpqW1sO.net: 低レベルが激おこかw
まあ、うんこ同士仲良くしろやwww

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