現代数学の系譜11 ガロア理論を読む12

284 ：１３２人目の素数さん：2015/03/01(日) 16:48:51.05 ID:WbtuUWlv.net

>>280, 282
＞「任意の2＞s＞1＞t＞0なるs、t∈R＼Qに対してT(s)≠T(t)であることを示す。」か。

それが言えた「だけ」では全く不十分であり、T(x) が非可算無限個あることは言えないよ。
このことは、次のように一般化して考えるとよく見えてくる。

問題：Y は集合とする。写像 F：(0,2)−Q → Y は、
2＞s＞1＞t＞0 なる s,t∈R−Q に対して常に F(s)≠F(t) が成り立つとする。
このとき、F(x) (x∈(0,2)−Q) は非可算無限個あると言えるか？

解答：言えない。Y を2元以上の集合として、Y の異なる2元 a, b を1つずつ取り、
x∈(0,2)−Q に対して、 F(x)＝a (0＜x≦1), b (1＜x＜2) と置けば、
このFは問題の仮定を満たすが、F(x) (x∈(0,2)−Q) はaとbの2種類しか無い。
非可算無限個どころか、「有限個」である。■

というわけで、>>280のやり方「だけ」では不十分であり、
T(x) が非可算無限個あることは絶対に言えない。
なぜなら、もし >>280 のやり方「だけ」で非可算無限個あることが言えたなら、
その論法は上の問題にも適用できてしまって、F(x) が非可算無限個あることが
言えてしまうが、それは上の解答に矛盾するからだ。