函数論・複素関数論・複素解析のスレ2

1 ：１３２人目の素数さん：2014/07/29(火) 15:55:06.19 .net

函数論、複素関数論、複素解析に関する事を自由に語ってください

前スレ
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1328699861/

106 ：１３２人目の素数さん：2015/02/18(水) 03:51:00.31 ID:899Ea3Ns.net

>>105

exp (-1/z)

107 ：訂正：2015/02/18(水) 04:02:02.96 ID:899Ea3Ns.net

>>106

exo (-1/z^2)

108 ：１３２人目の素数さん：2015/02/18(水) 13:40:42.74 ID:4BaoHRte.net

> 97,98
有難うございます。

このように定義域を限定すると微分可能になる関数の呼び方ってあるんでしょうか?
「exp(-1/z)はR上での"制限(?)微分可能関数"である」とか言ったりするんでしょうか?

109 ：訂正：2015/02/18(水) 16:57:21.44 ID:899Ea3Ns.net

>>108

区間 [０,∞ ) において微分可能と言ってもよい。原点において右側微分可能とも言う。

110 ：１３２人目の素数さん：2015/02/18(水) 23:34:09.84 ID:1un8xHQp.net

そんなものはない

111 ：訂正：2015/02/19(木) 00:44:40.22 ID:TeXbjkPh.net

>>110

112 ：１３２人目の素数さん：2015/02/19(木) 00:47:26.71 ID:TeXbjkPh.net

>>110

矛盾なく記述されているなら、表現は著者の自由だ。

113 ：１３２人目の素数さん：2015/02/19(木) 01:19:42.42 ID:g6rP0571.net

俺様理論万歳！

114 ：１３２人目の素数さん：2015/02/19(木) 16:55:33.07 ID:EI3A+axd.net

>109

とても参考になります。
どうも有難うございます。

115 ：１３２人目の素数さん：2015/02/19(木) 18:09:59.31 ID:gjJS1sKj.net

そうそう、数学は自由だ

116 ：１３２人目の素数さん：2015/02/24(火) 08:48:04.90 ID:7zRSExHI.net

有用性からもね

117 ：１３２人目の素数さん：2015/03/05(木) 22:31:46.96 ID:7yNMo84z.net

楕円関数の話から始まる短い論文を読んだが
アッペル・アンベールの古典的定理の次に
アティヤやセールの仕事が出てきて
最後は反例の話だった

118 ：１３２人目の素数さん：2015/03/11(水) 07:34:21.03 ID:PcawKhbH.net

最近のフィールズ賞は古典論に関係ないね

119 ：１３２人目の素数さん：2015/03/12(木) 21:48:16.20 ID:9ZhTxceA.net

小平邦彦生誕１００年記念講演会は
市民講演の後だから
席の確保が大変そう
でも複素解析ファンは必聴か

120 ：１３２人目の素数さん：2015/03/28(土) 12:02:15.21 ID:olvXTIDn.net

留数定理関連で、例えば、a,bが実数の時
f(z)=1/(z-ai)(z-bi)
を、複素平面の上半分の半円の径路 C_R; z=R exp(iθ) (0≦θ≦π) で積分する事を
考えます。
f(z)=1/z^2{1 + c_1 z + c_2 z^2 + …}
と書けるので、R → ∞ では
∫_{C_R} f(z) dz → 0
となるのではないかと思ったのです。
しかし、複素平面の下半分の半円の径路 C_R' ; (π≦θ≦2π) の場合も
∫_{C_R'} f(z) dz → 0
となるように思えます。

すると、実軸上の積分路を考えた時、上記の事とz=ai, z=biの留数とが矛盾するように
思えるのですが、どこに間違いがありますか？
個人的には、一様収束と項別積分関連の「モンダイ」かなと思っています。

121 ：１３２人目の素数さん：2015/03/28(土) 13:07:23.11 ID:olvXTIDn.net

(z-ai)(z-bi)=z^2-i(a+b)z-ab=z^2{1-i(a+b)/z-ab/z^2}
∴ 1/(z-ai)(z-bi)=1/[z^2{1-i(a+b)/z-ab/z^2}]
∴ |1/(z-ai)(z-bi)|=1/R^2・1/|1-i(a+b)/z-ab/z^2}|

|1-i(a+b)/z-ab/z^2}| → 1 ( R → ∞ ) より、
1 < M < 2 を満たす任意の正数 M に対し、R を十分大きくとると
1/|1-i(a+b)/z-ab/z^2}| < M
と出来る。

∫_{C_R} 1/(z-ai)(z-bi) dz ≦ ∫_0^π 1/R M dθ → 0

？？？

122 ：１３２人目の素数さん：2015/03/28(土) 13:47:56.26 ID:olvXTIDn.net

age

123 ：１３２人目の素数さん：2015/03/28(土) 13:55:35.75 ID:olvXTIDn.net

>>121
誤字訂正

誤：∫_{C_R} 1/(z-ai)(z-bi) dz ≦ ∫_0^π 1/R M dθ → 0
正：|∫_{C_R} 1/(z-ai)(z-bi) dz| ≦ ∫_0^π 1/R M dθ → 0

124 ：１３２人目の素数さん：2015/03/28(土) 13:57:56.14 ID:97aBLFY3.net

そこかよ

125 ：１３２人目の素数さん：2015/03/28(土) 17:09:47.52 ID:chnIJU35.net

>>120
何が分かんないのか分かんない

126 ：１３２人目の素数さん：2015/03/28(土) 17:20:01.07 ID:Lfr8N1aI.net

>>120
R → ∞のとき、{1 + c_1 z + c_2 z^2 + …} からの寄与は無視できないでしょ
{1 + c_1 z + c_2 z^2 + …} は有界ではないよ

127 ：１３２人目の素数さん：2015/03/28(土) 17:50:56.72 ID:olvXTIDn.net

理由が判明しました。

Res(ai) + Res(bi) = 0 だからです。なぜなら、

Res(ai)=[(z-ai)f(z)]_{z=ai}=[1/(z-bi)]_{z=ai}=1/i(a-b)
Res(bi)=[(z-bi)f(z)]_{z=bi}=[1/(z-ai)]_{z=bi}=1/i(b-a)

だからです。

>>125
例えば、a,b > 0 とした時、
実軸の径路を C_0; z=x, -∞≦x≦∞ とすると、
(i) 複素平面の上半分の半円の周囲で積分すると：
∫_{C_0}+∫_{C_R}=2πi{Res(ai)+Res(bi)} ; 留数の和
(ii) 複素平面の下半分の半円の周囲で積分すると：
∫_{C_0}+∫_{C_R'}=0 ; 留数がない。

しかし、∫_{C_R}=∫_{C_R'}=0 ということであれば、

(i)より、∫_{C_0}=2πi{Res(ai)+Res(bi)} ; 留数の和
(ii)より、∫_{C_0}=0

となるため、矛盾するのではないか、と思ったんです。
ところが実際は、Res(ai)+Res(bi)=0 なので矛盾してなかったんです。

>>126
「>>121」をご覧ください。径路 C_R, C_R' による積分は確かに共に 0
になっているんです。

128 ：１３２人目の素数さん：2015/03/29(日) 00:52:41.81 ID:+eyHgZrh.net

>>120
詳しいことは分からんが、
f(z)をai,biを含む閉曲線で積分すれば、留数定理よりゼロにならないか？
何も矛盾してないように思えるが？？

129 ：１３２人目の素数さん：2015/03/29(日) 02:50:03.27 ID:XsJt2VXj.net

>>128
Res(ai) + Res(bi) = 0
になると言う意味であればその通りで、既に >>127 に書いてあります。

130 ：１３２人目の素数さん：2015/03/29(日) 11:27:29.56 ID:rsl2EJfd.net

こっちでもやってたか

131 ：１３２人目の素数さん：2015/03/29(日) 15:26:43.62 ID:XsJt2VXj.net

>>130
むしろ元々こっちがメインです。

132 ：１３２人目の素数さん：2015/04/01(水) 12:53:46.58 ID:plUV7Ccp.net

書く気をなくさせて何がうれしいんだか

133 ：１３２人目の素数さん：2015/04/02(木) 17:47:07.87 ID:l/QtoNya.net

>>132
嫌味や皮肉ではなく、それがどういうい事が意味が分かりません。

134 ：１３２人目の素数さん：2015/04/04(土) 13:19:12.94 ID:DKkQ67x1.net

へんじがない…書く気がないようだ

135 ：１３２人目の素数さん：2015/04/04(土) 18:00:16.59 ID:HxyDCK/o.net

>>134
何を言ってるのか分からないけれど、>>127 で解決済みなので
返事もやり取りも無いだけですよ？

136 ：１３２人目の素数さん：2015/04/06(月) 06:06:12.89 ID:fLOqSJzX.net

学会の講演はビデオがよかった

137 ：１３２人目の素数さん：2015/04/25(土) 06:50:38.22 ID:l++YUOMa.net

倉田先生の若い時の写真を見たが
知人にそっくりなので驚いた

138 ：１３２人目の素数さん：2015/04/25(土) 10:27:30.83 ID:fjmtX8sn.net

超準解析

139 ：１３２人目の素数さん：2015/05/09(土) 13:13:12.36 ID:FTiWaa3A.net

超獣怪赤

140 ：１３２人目の素数さん：2015/05/19(火) 23:06:43.35 ID:Og2SUNkK.net

野口潤次郎が最近出した多変数複素解析の本、学部生が自主ゼミで読んで挫折したと聞いた
やってたのは学部生の中でも優秀な人たちだと思うけど

タイトルに「学部生に贈る」て書いてあるのにね

141 ：１３２人目の素数さん：2015/05/19(火) 23:35:55.37 ID:z7xChyRJ.net

東大ではコホモロジーは常識だそうな

142 ：１３２人目の素数さん：2015/05/22(金) 00:05:44.46 ID:2L5pUu7d.net

http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1420998630/

143 ：１３２人目の素数さん：2015/05/24(日) 20:44:47.28 ID:MIGe0ado.net

>>140
普通の優秀な人たちでは挫折しても無理ないと思う

144 ：１３２人目の素数さん：2015/05/30(土) 15:35:59.32 ID:XmZtbeM4.net

この前でた倉田先生の数学セミナー連載のまとめ本ちゃんと理解すれば野口先生のにも入りやすいと思うけどね

145 ：１３２人目の素数さん：2015/07/02(木) 20:35:22.13 ID:QpJTIprS.net

>>144
倉田先生の本を読んだけど、すごく分かりやすいじゃん。

146 ：１３２人目の素数さん：：2015/07/23(木) 12:06:04.43 ID:k0vbF1uX.net

fが正則関数でγがJordan閉曲線の時,もしaがγの外部にある時,
�塔ﾁ f(z)/(z-a)^2dzの値は幾らになりますか?

147 ：１３２人目の素数さん：2015/07/23(木) 13:11:19.22 ID:tNCDho28.net

釣りだな

148 ：１３２人目の素数さん：：2015/07/24(金) 02:51:31.97 ID:stCSoorg.net

グルサの定理から0になるのですね。

149 ：１３２人目の素数さん：2015/07/27(月) 12:59:06.78 ID:kx8GLlGh.net

積分定理だよ

150 ：１３２人目の素数さん：2015/08/10(月) 18:08:10.48 ID:9RCavOyb.net

暑くて数学の勉強ができません。どうしたらいいですか

151 ：１３２人目の素数さん：2015/08/10(月) 18:15:52.49 ID:rRXSyH0a.net

釣りでもすればいい

152 ：１３２人目の素数さん：2015/08/11(火) 12:59:27.66 ID:30Ll3fOj.net

釣りってザリガニですか？

153 ：１３２人目の素数さん：2015/08/26(水) 21:38:47.36 ID:3L7Qpw0k.net

zを複素数として，
Σ_0^∞ z^n/(1+z^{2n})
という級数を考えたときに，
この級数は|z|=1で発散，それ以外で収束する不思議な級数のようですが，
この級数に何か名前なぞついていたりしませんか？

154 ：１３２人目の素数さん：2016/02/12(金) 13:27:39.21 ID:ug/MBDYH.net

また面白いモノを

155 ：１３２人目の素数さん：2016/02/15(月) 17:45:16.74 ID:aMB3hwFl.net

テータ函数です