函数論・複素関数論・複素解析のスレ2

127 ：１３２人目の素数さん：2015/03/28(土) 17:50:56.72 ID:olvXTIDn.net

理由が判明しました。

Res(ai) + Res(bi) = 0 だからです。なぜなら、

Res(ai)=[(z-ai)f(z)]_{z=ai}=[1/(z-bi)]_{z=ai}=1/i(a-b)
Res(bi)=[(z-bi)f(z)]_{z=bi}=[1/(z-ai)]_{z=bi}=1/i(b-a)

だからです。

>>125
例えば、a,b > 0 とした時、
実軸の径路を C_0; z=x, -∞≦x≦∞ とすると、
(i) 複素平面の上半分の半円の周囲で積分すると：
∫_{C_0}+∫_{C_R}=2πi{Res(ai)+Res(bi)} ; 留数の和
(ii) 複素平面の下半分の半円の周囲で積分すると：
∫_{C_0}+∫_{C_R'}=0 ; 留数がない。

しかし、∫_{C_R}=∫_{C_R'}=0 ということであれば、

(i)より、∫_{C_0}=2πi{Res(ai)+Res(bi)} ; 留数の和
(ii)より、∫_{C_0}=0

となるため、矛盾するのではないか、と思ったんです。
ところが実際は、Res(ai)+Res(bi)=0 なので矛盾してなかったんです。

>>126
「>>121」をご覧ください。径路 C_R, C_R' による積分は確かに共に 0
になっているんです。