函数論・複素関数論・複素解析のスレ2

120 ：１３２人目の素数さん：2015/03/28(土) 12:02:15.21 ID:olvXTIDn.net

留数定理関連で、例えば、a,bが実数の時
f(z)=1/(z-ai)(z-bi)
を、複素平面の上半分の半円の径路 C_R; z=R exp(iθ) (0≦θ≦π) で積分する事を
考えます。
f(z)=1/z^2{1 + c_1 z + c_2 z^2 + …}
と書けるので、R → ∞ では
∫_{C_R} f(z) dz → 0
となるのではないかと思ったのです。
しかし、複素平面の下半分の半円の径路 C_R' ; (π≦θ≦2π) の場合も
∫_{C_R'} f(z) dz → 0
となるように思えます。

すると、実軸上の積分路を考えた時、上記の事とz=ai, z=biの留数とが矛盾するように
思えるのですが、どこに間違いがありますか？
個人的には、一様収束と項別積分関連の「モンダイ」かなと思っています。