不等式への招待　第７章

1 ：不等式ヲタ ( ﾟ∀ﾟ)：2013/03/09(土) 22:14:39.95 .net

ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
　　　　　　　　　　＿＿＿　　　　　　　　　　----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
　　　　|┃三　.／　　≧　＼　　　
　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／　|　
　　　　|┃　≡|::::: (●　(● |　　不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ　 　　　黙っちゃゐられねゑ！
　　　　|┃=＿＿　　　 ＼　　　 　　 　　　　ﾊｧﾊｧ…
　　　　|┃　≡　）　　人　＼ ガラッ

まとめWiki　http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/

過去スレ
・不等式スレッド　（第１章）http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待 第２章　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
・不等式への招待 第３章　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/
・不等式への招待 第４章　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/
・不等式への招待 第５章　http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/
・不等式への招待 第６章　http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1332950303/
・過去スレのミラー置き場　http://cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/

姉妹サイト（？）
キャスフィ 高校数学板 不等式スレ２
http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1359202700/l50
Yahoo! 掲示板　トップ > 科学 > 数学
http://messages.yahoo.co.jp/bbs?action=t&board=1835554&sid=1835554&type=r&first=1

957 ：１３２人目の素数さん：2017/03/23(木) 23:56:17.13 ID:foDcA2jG.net

>>953
1 - x^n < 1/(1+x^n) < 1 (0<x<1)
0 < 1/(1+x^n) < 1/x^n (1<x)
より、
1 - 1/(n+1) < ∫[0,1] 1/(1+x^n) dx < 1,
0 < ∫[1,∞) 1/(1+x^n) dx < 1/(n-1),

958 ：１３２人目の素数さん：2017/03/24(金) 17:34:59.61 ID:/hdr0DUv.net

>>953 (続き)
辺々たすと
n/(n+1) < ∫[0,∞) 1/(1+x^n) dx < n/(n-1),

一方、 >>942 より
1 < R_n < 1/{cos(π/n)}^(1/3),

959 ：１３２人目の素数さん：2017/03/29(水) 06:28:52.30 ID:qmY7hsva.net

Prove that the inequality
　　　1/√(2x) + 1/√(2y) + 2/√(x+y) + 2 ≧ 4/√(x+2) + 4/√(y+2)
holds for all pairs (x,y) of positive real numbers.

960 ：１３２人目の素数さん：2017/04/04(火) 08:50:30.08 ID:h0o7Rnkh.net

>>959
f(x,y) = 1/√(2x) + 1/√(2y) + 2/√(x+y) +2 -4/√(x+2) -4/√(y+2) とおく。
x=y のときは凸性から、
f((x+y)/2, (x+y)/2) = 4/√(2x) + 4/√(2+2) - 8/√(x+2) ≧0,
となる。
f(x､y) - f((x+y)/2, (x+y)/2) ≧ 0 を示さねば...

961 ：１３２人目の素数さん：2017/04/12(水) 09:05:18.35 ID:kkWXQg4L.net

(1)
Let a, b anc c be the lengths of the sides of a triangle with inradius r.
Prove a^6 + b^6 + c^6 ≧ 5184*r^6.

(2)
Suppose that f : [0,1] → R is a differentiable function with continuous derivative and with
　　　∫[0,1] f(x)dx = ∫[0,1] xf(x)dx = 1.
Prove that
　　　∫[0,1] |f'(x)|^3 dx ≧ {128/(3π)}^2.

(3)
Calclate lim[x→∞] (Σ[n=1 to ∞] (x/n)^n )^(1/x).

(4)
Evaluate ∫[0, π/2] (sin x)/(1 + sqrt{sin 2x}) dx.

(5)
Calclate ∫[0,∞]∫[0,∞] (sin x * sin y * sin(x+y))/{xy(x+y)} dx dy.

(6)
Calclate Σ[n=1 to ∞] {2^(2n-1)/(2n+1)}*{(n-1)!/(2n-1)!!}^2 = π-2.

( ﾟ∀ﾟ) ｳﾋｮｯ！

962 ：１３２人目の素数さん：2017/04/12(水) 09:06:02.65 ID:kkWXQg4L.net

(1) anc → and

963 ：１３２人目の素数さん：2017/04/12(水) 22:09:51.74 ID:kkWXQg4L.net

(7)
Find the greatest real number M such that the inequality
a^2 + b^2 + c^2 + 3abc ≧ M(ab + bc + ca)
holds for all nonnegative real numbers a, b, c satisfying a + b + c = 4.

(8)
Find the greatest real number M such that
(x＾2 + y^2)^3 ≧ M(x^3 + y^3)(xy - x - y)
for all real numbers x, y satisfying x + y ≧ 0.

(9)
Let a, b, c be nonnegative real numbers satisfying a^2 + b^2 + c^2 = 1. Prove that
sqrt(a + b) + sqrt(b + c) + sqrt(c + a) ≧ sqrt{ 7(a + b + c) - 3}

(10)
Prove that for all positive real numbers a, b, c satisfying a^2 + b^2 + c^2 + 2abc ≧1,
the following inequality holds:
1/a + 1/b + 1/c ≧ a/b + b/c + c/a + 2(a + b + c).

(11)
Find the greatest real number T satisfying
(x^2 + y)(x + y^2)/(x+y-1)^2 + (y^2 + z)(y + z^2)/(y+z-1)^2 + (z^2 + x)(z + x^2)/(z+x-1)^2 -2(x+y+z) ≧ T
for all real numbers x, y and z such that x+y≠1, y+z≠1, z+x≠1.

(12)
Show that for all nonnegative real numbers a, b, c satisfying a^2 +b^2 +c^2 ≦ 3 the following inequality holds:
(a + b + c)(a + b + c - abc) ≧ 2(a^2・b + b^2・c + c^2・a)

（*ﾟ∀ﾟ）=3ﾊｧﾊｧ

964 ：１３２人目の素数さん：2017/05/01(月) 11:53:32.30 ID:8wByLQwx.net

(e^(1/π) + e^e)/2 ≧ e^(1/3)

（*ﾟ∀ﾟ）=3ﾊｧﾊｧ

965 ：１３２人目の素数さん：2017/05/01(月) 16:09:03.66 ID:Gg+cOD9T.net

>>964
(左辺)>e^e/2>(e+1)/2>e^(1/2)>(右辺)

966 ：１３２人目の素数さん：2017/05/01(月) 16:11:04.11 ID:Gg+cOD9T.net

>>963
(10)反例 a=b=c=1

967 ：１３２人目の素数さん：2017/05/01(月) 16:11:58.65 ID:Gg+cOD9T.net

萎える

968 ：￥ ：2017/05/08(月) 19:57:56.04 ID:OR+quqWp.net

￥

969 ：￥ ：2017/05/08(月) 19:58:19.10 ID:OR+quqWp.net

￥

970 ：￥ ：2017/05/08(月) 19:58:42.05 ID:OR+quqWp.net

￥

971 ：￥ ：2017/05/08(月) 19:59:07.75 ID:OR+quqWp.net

￥

972 ：￥ ：2017/05/08(月) 19:59:32.20 ID:OR+quqWp.net

￥

973 ：￥ ：2017/05/08(月) 19:59:56.65 ID:OR+quqWp.net

￥

974 ：￥ ：2017/05/08(月) 20:00:21.27 ID:OR+quqWp.net

￥

975 ：￥ ：2017/05/08(月) 20:00:42.72 ID:OR+quqWp.net

￥

976 ：￥ ：2017/05/08(月) 20:01:06.04 ID:OR+quqWp.net

￥

977 ：￥ ：2017/05/08(月) 20:01:27.26 ID:OR+quqWp.net

￥

978 ：１３２人目の素数さん：2017/05/17(水) 17:57:55.19 ID:+8Z09fzP.net

もげる

979 ：１３２人目の素数さん：2017/05/20(土) 00:42:07.99 ID:VJhJZ8Xf.net

Bihari?LaSalle inequality

980 ：１３２人目の素数さん：2017/06/10(土) 18:52:40.27 ID:3dLjunNb.net

>>961 (1)　コーシーで
　(1+1+1)(1+1+1)(a^6 + b^6 + c^6) ≧ (aa+bb+cc)^3,
　aa+bb+cc ≧ 36rr　を示す。

>>961 (4)　　 (π-2)/2,


>>964
　1/π + 1/π + 1/e ≧ 1,
相加-相乗　または 凸性から
　e^(1/π) + e^(1/π) + e^(1/e) ≧ 3e^(1/3),

981 ：１３２人目の素数さん：2017/06/10(土) 19:06:10.51 ID:3dLjunNb.net

ついでに
π + π + e ＞ 9,
(π +e+e) π ＜ 27,
ππe ＜ 27,

982 ：１３２人目の素数さん：2017/06/11(日) 16:28:29.36 ID:JurbFnaF.net

>>961 (1)　コーシーで
　(1+1+1)^5 (a^6 + b^6 + c^6) ≧ (a+b+c)^6,
一方、
　a = r {cot(B/2) + cot(C/2)},
　b = r {cot(C/2) + cot(A/2)},
　c = r {cot(A/2) + cot(B/2)},
∴　a+b+c = 2r {cot(A/2) + cot(B/2) + cot(C/2)} ≧ 6r cot((A+B+C)/6) = 6r cot(π/6) =（6√3）r

983 ：１３２人目の素数さん：2017/06/11(日) 16:52:20.52 ID:JurbFnaF.net

>>963 (7)
(a+b+c) {aa+bb+cc - M(ab+bc+ca)} + 12abc
= s(ss-2t) - Mst + 12u
= F_1(a,b,c) + (2-M)st + 3u　(← Schur)
≧0,
∴　M=2

984 ：１３２人目の素数さん：2017/06/16(金) 12:24:58.16 ID:LCy4Y8vy.net

>>961 (1)　>>982
(a+b+c)/2 = s とおく。
相乗-相加平均で
(s-a)(s-b)(s-c) ≦ (s/3)^3,

r = ��/s
= √{(s-a)(s-b)(s-c)/s}　　(Heron)
≦ s/(3√3)
= (a+b+c)/(6√3),

985 ：１３２人目の素数さん：2017/06/17(土) 20:27:24.45 ID:bhb/G+K8.net

問題と一緒に出典も書いてほしい

986 ：１３２人目の素数さん：2017/06/18(日) 03:45:08.00 ID:95rGKKjv.net

Flanders' Inequality を検索したら、空っぽだった…。
http://mathworld.wolfram.com/FlandersInequality.html

987 ：１３２人目の素数さん：2017/06/18(日) 16:20:22.03 ID:tfNCpQJl.net

>>986

【Flanders' inequality】A+B+C=π, 0<A,B,C<π のとき、
　0 < sin(A)sin(B)sin(C) ≦ {(3√3)/2π}^3 ABC ≦ (3√3)/8,
　(初代スレ.668)

　g(x) = log{sin(x)/x},
　g '(x) = cot(x) - 1/x,
　g "(x) = 1/x^2 - 1/sin(x)^2 < 0,
ゆえ、g(x) は上に凸。


【類題】A+B+C=π, 0<A,B,C<π のとき、
　-1 < cos(A)cos(B)cos(C) ≦ [1-cos(A)][1-cos(B)][1-cos(C)] ≦ 1/8,

　(初代スレを参照、右：557-558,566、中：580-587)

988 ：１３２人目の素数さん：2017/06/18(日) 17:14:01.37 ID:95rGKKjv.net

>>987
ありがたき幸せにござる。

989 ：１３２人目の素数さん：2017/06/23(金) 00:32:52.83 ID:P0aRc9y/.net

実数 a,b,c,d が a+b+c+d=0, a^2+b^2+c^2+d^2=100 をみたすとき、a^3+b^3+c^3+d^3 のとりうる値の範囲を求めよ。

990 ：１３２人目の素数さん：2017/06/23(金) 00:51:31.25 ID:4kCqmLoG.net

>>989
大学への数学7月号の表紙の裏の代ゼミの広告の問題（原題は最小値を求めよ）

991 ：１３２人目の素数さん：2017/06/23(金) 00:56:35.78 ID:P0aRc9y/.net

>>990
それは最小値のみ。改造済み。

992 ：１３２人目の素数さん：2017/06/23(金) 00:57:54.04 ID:P0aRc9y/.net

>>989
ちなみに出典は、「平成24年 第1回 東大入試プレ(文科)」らしい。

993 ：１３２人目の素数さん：2017/06/23(金) 03:23:02.02 ID:P0aRc9y/.net

ノート整理中に見つけたが出典不明。正の数a,b,cに対して (a^b)(b^c)(c^a)≦(a^a)(b^b)(c^c) を示せ。

改造しようと思ったが、すぐには思いつかんかった。

994 ：１３２人目の素数さん：2017/06/23(金) 04:52:54.50 ID:P0aRc9y/.net

>>993
(a^b)(b^c)(c^a) と (abc)^{(a+b+c)/3} との大小は定まるかな？

995 ：１３２人目の素数さん：2017/06/23(金) 12:58:33.41 ID:vMBsUZ6Z.net

>>993
　対数とってチェビシェフ


>>994
さだまさし

(a, b, c) = (1/8, 8, 64) のとき
b log(a) + c log(b) + ａ log(c) > 100 > (a+b+c)/3 log(abc),

996 ：１３２人目の素数さん：2017/06/24(土) 00:52:20.05 ID:u2QpKHjV.net

>>995
さんくす。さだまさしか…。

997 ：１３２人目の素数さん：2017/06/24(土) 01:17:12.91 ID:u2QpKHjV.net

（不等式への招待 第５章 698、708より）
> a,b,c>0→a^{b+c}+b^{c+a}+c^{a+b}≧1
>
> (1) a,b,c の中に１以上のものがあるときは明らか。
>
> 次に　M = Max{b+c,c+a,a+b} とおく。
>
> (2) a,b,c ≦ 1 かつ M ≦ 1 のとき
> 　b+c≦1, …, …
> 　y=x^(b+c) は xについて上に凸だから（x=1での）接線の下側にある。
> 　x^(b+c) ≦ 1 +(b+c)(x-1) ≦ 1 + (b+c)x,
> 　(1/x)^(b+c) ≧ 1/{1 + (b+c)x},　　(ベルヌーイの式)
> x=1/a とおいて
> 　a^(b+c) ≧ a/(a+b+c),
> 　循環的にたす。
>
> (3) a,b,c ≦ 1 かつ M ≧ 1 のとき
> 　0 < a ≦ b,c ≦ 1　としても一般性を失わない。
> 　a+b, a+c ≦ b+c = M,
> 　(与式) ≧ b^(c+a) + c^(a+b)
> 　　　≧ b^M + c^M
> 　　　≧ 2･(M/2)^M　　　(← 下に凸)
> 　　　≧ 2(1/2)　　　　(← *)
> 　　　= 1,
>
> *)　{M･log(M/2)} ' = 1 + log(M/2),
> ∴　(M/2)^M は M>2/e　　で単調増加。
> ∴　(M/2)^M ≧ 1/2,　　　(M≧1)
>
> 　casphy - 高校数学 - 不等式 - 710〜713


等号成立条件が分かりませんぬ。

998 ：１３２人目の素数さん：2017/06/24(土) 01:19:48.15 ID:u2QpKHjV.net

>>961-962
出典をきちんと記録してなかった。
http://www.komal.hu/verseny/feladatok.e.shtml などから適当に拾ってきたなり。

999 ：１３２人目の素数さん：2017/06/25(日) 02:29:19.46 ID:dLSgUfzK.net

そろそろ次スレ建てようと思うが、数学板はスレ落ち対策（スレが立ってすぐの時期に、一定時間書き込みが無かったら落ちる）しなくて大丈夫だっけ？

1000 ：１３２人目の素数さん：2017/06/25(日) 08:25:27.08 ID:pKHgR4Is.net

去年たった２レスしかないスレがまだ残っているのを見ればわかるだろう

1001 ：１３２人目の素数さん：2017/06/25(日) 08:35:04.48 ID:dLSgUfzK.net

>>1000
さんくす。専ブラ使っていて、不等式スレ、面白スレ以外はあぼーんしているので分からなかったぜ。

1002 ：１３２人目の素数さん：2017/06/25(日) 17:20:11.69 ID:dLSgUfzK.net

a,b,c を正の定数、
x,y,z は ax+by+cz=1 をみたす実数、
min{ x/a, y/b, z/c } の最大値を求めよ。
（出典不明）

1003 ：１３２人目の素数さん：2017/06/26(月) 01:13:09.35 ID:vrMzbwMW.net

>>1002
x/a=X, y/b=Y, z/c=Z とおく。
X,Y,Z は aaX + bbY + ccZ = 1 をみたす実数。
(aa+bb+cc)*min{X,Y,Z} ≦ aaX + bbY + ccZ = 1,
∴ min{X,Y,Z} ≦ 1/(aa+bb+cc),

1004 ：１３２人目の素数さん：2017/06/26(月) 01:23:02.89 ID:vrMzbwMW.net

>>989-992
（-1000/√3, 1000/√3）に一票

1005 ：１３２人目の素数さん：2017/06/26(月) 01:24:06.95 ID:xsefyNln.net

不等式への招待 第８章
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/

1006 ：2ch.net投稿限界：Over 1000 Thread

2ch.netからのレス数が1000に到達しました。