面白い問題おしえて〜な 二十問目

1 ：１３２人目の素数さん：2012/12/22(土) 13:17:38.28 .net

過去ログ
http://www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/
まとめwiki
http://www6.atwiki.jp/omoshiro2ch/

1 http://cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/970737952/
2 http://natto.2ch.net/test/read.cgi/math/1004839697/
3 http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1026218280/
4 http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1044116042/
5 http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1049561373/
6 http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1057551605/
7 http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/
8 http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1074751156/
9 http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1093676103/
10 http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1117474512/
11 http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1134352879/
12 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1157580000/
13 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1183680000/
14 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1209732803/
15 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1231110000/
16 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1254690000/
17 http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1284253640/
18 http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1307923546/
19 http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1320246777/

954 ：１３２人目の素数さん：2015/05/15(金) 21:09:45.92 ID:06V0dwp2.net

>>951
t∈Rとする.
与式にx=t, y=-t^2を代入して f(f(t)+t^2)-t^2f(2t)=f(0)
与式にx=t, y=f(t)を代入して f(0)+f(t)f(2t)=f(f(t)+t^2)
これらよりf(2t)(f(t)-t^2)=0 よって∀t∈R, f(2t)=0 またはf(t)=t^2…(☆)
∀t∈R, f(2t)=0 のとき
f(x)=0 これは与式を満たす.
∀t∈R, f(t)=t^2 のとき
f(x)=x^2 これは与式を満たす.
∃a,b∈R (a,b≠0), f(2a)=0 かつ f(b)=b^2 のとき
与式にx=a, y=f(a)-bを代入して
b^2=f(a^2-b+f(a))
b≠0よりa^2-b+f(a)=bまたは−b
a^2-b+f(a)=bのとき, a^2+f(a)=2bより, bとしてありうる値は高々1つなので
∀x∈R(x≠0, x≠b), f(x)=-x^2+2b　これは(☆)に矛盾.
a^2-b+f(a)=−bのとき,a^2+f(a)=0
(☆)よりf(a)≧0なのでa=0となり矛盾.
以上より求めるfは f(x)=0, f(x)=x^2　

955 ：１３２人目の素数さん：2015/05/15(金) 22:53:50.39 ID:06V0dwp2.net

>>945
(x,y)=(1,1),(2,2),(√2,2),(√2,2√2)をそれぞれ代入してあれこれいじるとf(2)>2が示される
あとは2004 春合宿 と本質的に同じ
解答は黄色い本に書いてある

956 ：１３２人目の素数さん：2015/05/15(金) 22:58:32.97 ID:xZK5Qx9q.net

f(2)>f(1)=2 はあれこれするまでもないが

957 ：１３２人目の素数さん：2015/05/15(金) 23:34:07.43 ID:RnqkudAI.net

>>955
黄色い本って何ですか？

958 ：１３２人目の素数さん：2015/05/16(土) 08:43:26.07 ID:pViSrwFE.net

>>956
(2)の条件の1<xに意地悪く等号がついてない(春合宿と違う所)からあれこれしなきゃならない

959 ：１３２人目の素数さん：2015/05/16(土) 08:45:16.24 ID:pViSrwFE.net

>>957
大きめの本屋の数学コーナーに行ったら一際目立つ真っ黄色な本があるからそれ

960 ：１３２人目の素数さん：2015/05/16(土) 08:54:59.19 ID:Vp+m9OwM.net

>>959
数学書で黄色い本と言ったら、サイエンス社の演習書しか思いつかないなぁ

961 ：１３２人目の素数さん：2015/05/16(土) 09:04:50.91 ID:pViSrwFE.net

http://www.asakura.co.jp/G_12.php?isbn=ISBN978-4-254-11132-3

962 ：１３２人目の素数さん：2015/05/16(土) 09:06:34.65 ID:QCuUaG62.net

>>958
確かにそうだな、勝手にx=1での連続性を移入してたわｗｗｗ

963 ：１３２人目の素数さん：2015/05/16(土) 09:18:36.31 ID:Vp+m9OwM.net

>>961は
おー、こんな本があったのか。さんくそ。

964 ：１３２人目の素数さん：2015/05/16(土) 09:22:05.86 ID:Vp+m9OwM.net

>>572
リンクを色々みたが、AM-GMを用いた証明が分かりません。

965 ：１３２人目の素数さん：2015/05/16(土) 13:11:58.30 ID:Y5sGel31.net

>>745
(3) f(x)=(x^2+x+1)^n （n:自然数）

複素数 a を f(x)=0 の解とすると、f(a)=0 より f(a^2)=0
よって a, a^2, a^4, a^8,・・・ はすべて f(x)=0 の解となるが
f(x)=0　の解は有限個なので |a|=1 または a=0
a=0が解なら、f(4)=f(1)f(2)=f(0)f(1)f(2)=0 より
a=4 も解となるが、|a|=1 に矛盾
また、f((x+1)^2)=f(x)f(x+1)より、f(a)=0なら f((a+1)^2)=0
よって(a+1)^2も解となるので、|a+1|=1
以上よりf(x)=0の複素数解は |a|=|a+1|=1をみたすので
a=ω,ω^2 (1の3乗根)の２つしかない
以上よりf(x)は k(x^2+x+1)^n (kは定数) とかける
逆にk=1とすれば、与えられた条件式をみたす

966 ：１３２人目の素数さん：2015/05/16(土) 13:27:14.45 ID:Y5sGel31.net

>>745
(2) f(x)=x^n
f(x) = a(n)・x^n + a(n-1)・x^(n-1) + ・・・ + a(1)・x + a(0)
とおいて係数比較すると、a(n)=1, a(n-1)= ・・・ =a(0)=0 となる　

(4) f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)(x-7)
x=8を代入して、f(7)=0 　x=0を代入して、f(0)=0
x≠0,8のとき f(x-1)=0 ⇔ f(x)=0　　
f(x)=0の解は有限個しかないので x=0,1,2,3,4,5,6,7 のみ

967 ：１３２人目の素数さん：2015/05/16(土) 13:31:46.45 ID:Y5sGel31.net

>>966　訂正
(4) f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)(x-7)

968 ：１３２人目の素数さん：2015/05/16(土) 13:39:15.31 ID:u6Mc3ZNf.net

おもすれー！

969 ：１３２人目の素数さん：2015/05/16(土) 15:13:04.35 ID:Vp+m9OwM.net

また一人数学沼に引きずり込まれようだ。今回の餌食は関数方程式の沼

　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 _
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 /）/ﾉ,>　　　 す　　嵌
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 | lン.)っ　　　で　　 っ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 |/ .〈/　　　　に.　　て
　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 l 　 ）　　　　泥.　　い
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 |iii||||||　　　　中　　る
　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 |iii||||||　　　　　　　　：
　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 |ii||||||||　 　 　 首.　　：
　　　　　　　　　　　　　　　　┌|ii|||||||||　 　 　 ま　　 ：
　　　　　　　､〜"ｲイ__　　　/iiii|||||||||||　　　　 で　　 ：
　　　　　　ゝ:::::::::::ﾚﾍ .|＿_｢iii|||||||||||||　　　　　 ：　　 ：
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;イ::::::::<／（ﾝ ,_,<||||||||||||ｌ'';;;;;;;,,,,,　　　：
;;:;:::;;;;;:::,,,;;;ﾑ;/);;;モヽ u (ﾆ'ﾍ||||||||ｌ;;;::;;;;;;;..''':;;;,
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970 ：１３２人目の素数さん：2015/05/16(土) 15:18:15.87 ID:pViSrwFE.net

(n+1)^k=n!+1 を満たす正の整数n,kを全て求めよ

971 ：１３２人目の素数さん：2015/05/16(土) 18:46:22.31 ID:MyWjm7uV.net

nCk=m^l を満たす自然数の組(n,k,m,l)を全て求めよ
（ここでnCkは二項係数）

972 ：１３２人目の素数さん：2015/05/17(日) 22:10:16.82 ID:rkDPdzLp.net

>>970
n>4のときn!+1は奇数→n+1は奇数→nは偶数
2<n/2<nよりn!は2・n/2・n=n^2の倍数
両辺をmod n^2でみて(二項定理より)n|k
よってn≦k
n^n<(左辺)=(右辺)<n^n+1より不適
n≦4のとき(n,k)=(1,1),(2,1),(4,2)

973 ：１３２人目の素数さん：2015/05/17(日) 23:31:58.77 ID:inO97hsW.net

俺にも性奴隷をまわしてくれ
ナマポも頼むわ

974 ：１３２人目の素数さん：2015/05/18(月) 16:28:56.68 ID:hoxK9OGH.net

四角形ABCDはAB=CD、∠ABC=132°、∠CAD=24°、∠ADC=102°をみたす。このとき、∠BCAを求めよ。
ただし、初等幾何で解くとほうびがもらえるとする。

975 ：１３２人目の素数さん：2015/05/18(月) 17:27:06.05 ID:BC+ZL+kX.net

>>974
正弦定理を使って解いて、18°
初等幾何による解法に期待。

976 ：１３２人目の素数さん：2015/05/18(月) 17:35:24.75 ID:sEoGZx57.net

また正五角形が出てくるのか？

977 ：１３２人目の素数さん：2015/05/19(火) 02:44:18.75 ID:2VXN+23x.net

>>974
凸六角形PQRSTUであって、△PQUが正三角形、五角形QRSTUが正五角形であるものを考えると、四角形PQST∽四角形ABCDが簡単な角度の計算でわかる。
よって、∠BCA=∠QSP=18°

978 ：１３２人目の素数さん：2015/05/19(火) 03:31:24.81 ID:pliD+kpe.net

>>977
やられた。

>>974
汚い補助線引きまくりの方法を概略のみ。

最初は△DACのみに着目する。

△DACの外心をEとし、AEを一辺とする正三角形FAEをAEから見てDと同じ側に作ると、
Eを中心とする円周上にA,F,D,Cがこの順にあり、
∠AEF=60°、∠FED=∠DEC=48°という状況ができるので
円周角と中心角の関係からいろんな角度がわかる。

次に∠GEA=∠EAG=6°の二等辺三角形GEAをAEから見てDと逆側に作ると、
∠AGE+∠ECA=180°よりA,G,E,Cは共円。
∠FGC=∠CFG=72°よりCF=CG

Aを通りFGと平行な直線と直線DFとの交点をHとすると、
∠AGF=∠GFH=84°より、四角形AGFHはAH//GF，AG=HFの等脚台形となり、
△FHC≡△GAC

あとは、CH=AC、CD=AB、∠CHD=132°=∠ABCより、△CDH≡△ABCとなり、
∠BCA=∠DHC=∠GAC=18°

979 ：１３２人目の素数さん：2015/05/19(火) 16:22:22.52 ID:2VXN+23x.net

2015個の相異なる正の整数であって, それらの和が平方数, 積が立方数であるようなものが存在することを示せ.

980 ：１３２人目の素数さん：2015/05/19(火) 18:41:49.38 ID:suW/IKzl.net

>>979
2,8,54,64,128,...,2^2017

981 ：１３２人目の素数さん：2015/05/19(火) 18:51:09.37 ID:XKcvxMhG.net

>>979
1^3, 2^3, ……, 2015^3

982 ：１３２人目の素数さん：2015/05/20(水) 02:23:09.56 ID:1Uhc0RBr.net

2015個の相異なる正の整数であって, それらの和が立方数, 積が平方数であるようなものが存在することを示せ. 

983 ：１３２人目の素数さん：2015/05/20(水) 14:11:59.84 ID:ztZEQGaJ.net

>>982
たとえば
11,13,15,…,2019,2021←1006個
18,22,26,30,…,4038,4042←1007個
ここまでの全ての和をSとし、十分大きい数Nをとって
あと２個を
(27N^3-S)/3と、2(27N^3-S)/3
とすればよい。

984 ：１３２人目の素数さん：2015/05/20(水) 14:23:25.27 ID:ztZEQGaJ.net

まあ、十分に大きい数Nを使えば
a(i) = i（i=1,…,2012）
a(2013) = 3*4*5*6*…*2012
S=a(1)+a(2)+…+a(2012)
a(2014)=(27N^3-S)/3
a(2015)=2(27N^3-S)/3
とかでもいいわな

985 ：１３２人目の素数さん：2015/05/20(水) 14:54:06.48 ID:ztZEQGaJ.net

1,3,5,7,
11,13,15,17,19,21,…,2013,
2,6,10,14,18,22,…,4026,
44795,89590

986 ：１３２人目の素数さん：2015/05/20(水) 15:09:52.03 ID:1Uhc0RBr.net

S=1^2+2^2+・・・+2015^2 とおいて
S^2, (2S)^2, ... , (2015S)^2

987 ：１３２人目の素数さん：2015/05/20(水) 15:17:54.14 ID:1Uhc0RBr.net

任意の正の整数nに対して,
Πcos(kπ/(2n+1))=1/(2^n)
が成り立つことを示せ.
ただし積はk=1,2,...,nについてとる.

988 ：１３２人目の素数さん：2015/05/20(水) 16:05:01.63 ID:BZe1cI9J.net

>>982
16, 3・4^2, 3・4^3, ..., 3・4^2014, 3・4^2015
和：4^2016=(4^672)^3
積：(3^2014)・(4^2031121)=((3^1007)・(2^2031121))^2

989 ：１３２人目の素数さん：2015/05/20(水) 17:58:58.23 ID:BZe1cI9J.net

>>987
cos(kπ/(2n+1)) = −cos((2n+1−k)π/(2n+1))　k=1,2,...,n
より、Π[k=1〜n]cos(kπ/(2n+1)) = (−1)^n・Π[k=n+1〜2n]cos(kπ/(2n+1))
Π[k=1〜n]cos(kπ/(2n+1)) = P とおくと、
P^2 = (−1)^n・Π[k=1〜2n]cos(kπ/(2n+1)) となる
以下、積と和は k=1,2,...,2n について取る
P^2 = (−1)^n・2^(−2n)・Π(exp(ikπ/(2n+1)) + exp(−ikπ/(2n+1)))
= (−1)^n・2^(−2n)・expΣ(−ikπ/(2n+1))・Π(exp(2ikπ/(2n+1)) + 1)
= (−1)^n・2^(−2n)・exp(−inπ)・Π(exp(i2kπ/(2n+1)) + 1)
= 2^(−2n)・Π(exp(i2kπ/(2n+1)) + 1) ・・・(※)
ここで、f(x) = x^(2n+1) − 1 とおくと、f(x) = (x−1)・Π(x − exp(ikπ/(2n+1)))
f(−x) = −(x+1)・Π(x + exp(ikπ/(2n+1)))
f(x)f(−x) = −(x^2−1)・Π(x^2 − exp(2ikπ/(2n+1)))
x=i を代入すると、
f(i)f(−i) = (i^(2n+1)−1)(−i^(2n+1)−1) = −(−1−1)　=　2
= 2・Π(−1 − exp(2ikπ/(2n+1))) = 2・Π(exp(i2kπ/(2n+1)) + 1)
よって、Π(exp(i2kπ/(2n+1)) + 1) = 1
(※)より、P^2 = 2^(−2n)　　P > 0 より　P = 1/(2^n)

990 ：１３２人目の素数さん：2015/05/20(水) 20:12:26.84 ID:cSxGMp8Z.net

倍角公式使えば5行くらいで示せるよ

991 ：１３２人目の素数さん：2015/05/20(水) 20:40:09.85 ID:DEcziQZO.net

嘘を証明してしまうとは

992 ：１３２人目の素数さん：2015/05/20(水) 21:04:31.23 ID:34ydGlLu.net

>>982
1,3,12,16,32,...,2^2015

>>979かつ>>982
64,128,288,1024,2592,4096,8192,...,2^2021

993 ：１３２人目の素数さん：2015/05/20(水) 23:32:15.56 ID:/8iBr8Zz.net

>>991
問題が間違っているってこと？

994 ：１３２人目の素数さん：2015/05/21(木) 01:06:21.42 ID:rY9i59H1.net

【解答】
sin(kπ/(2n+1))=sin((2n+1-k)π/(2n+1))をkが奇数のときに適用して、
Πsin(kπ/(2n+1))
=Πsin(2kπ/(2n+1))
=2^nΠsin(kπ/(2n+1))Πcos(kπ/(2n+1)) (∵倍角公式)
Πsin(kπ/(2n+1))≠0よりΠcos(kπ/(2n+1))=1/(2^n) 

995 ：１３２人目の素数さん：2015/05/21(木) 02:47:17.04 ID:4qvmnIFl.net

http://manjitoushikeiba.blog.fc2.com/blog-entry-69.html?sp
これの2着率って、この条件じゃ出せない筈だよな？

996 ：１３２人目の素数さん：2015/05/21(木) 13:48:56.13 ID:rY9i59H1.net

立方体をある平面で切断したとき、切断面は正五角形になりえないことを示せ。

997 ：１３２人目の素数さん：2015/05/21(木) 13:58:55.02 ID:tDYp4Jaj.net

994さんの質問の答えわかりません
なぜ僕は示せないんでしょう？　示せる人は賢いんですか？

998 ：１３２人目の素数さん：2015/05/21(木) 14:17:42.91 ID:ASW65NaJ.net

座標で書けば一発ちゃう？

999 ：１３２人目の素数さん：2015/05/21(木) 19:20:37.22 ID:Zw/UOBUU.net

>>996
実在するどんな立方体を切断したとしても、原子レベルでは正五角形にはなりえない
はい論破

1000 ：１３２人目の素数さん：2015/05/21(木) 19:34:25.61 ID:4jbcQn4x.net

まるで立方体は実在するかのような主張
笑いのセンスだけでなく注意力までないとは…

1001 ：１３２人目の素数さん：2015/05/21(木) 21:01:23.62 ID:c6nn8WA7.net

>>1000
こいつ最高にアホ！

1002 ：１３２人目の素数さん：2015/05/21(木) 21:22:10.84 ID:yENOyrzH.net

あほ

1003 ：2ch.net投稿限界：Over 1000 Thread

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