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面白い問題おしえて～な 二十問目
- 564 ：１３２人目の素数さん：2014/03/17(月) 00:26:53.17 .net
- こっちにもいろいろある
√２＋√３＞πの証明
http://www2.ocn.ne.jp/~mizuryu/toukou2/toukou56.html
- 565 ：１３２人目の素数さん：2014/03/18(火) 07:59:49.58 .net
- 何かもっとパズルっぽい問題無いの？？？
1,1,5,8で10を作れみたいなやつとか
- 566 ：１３２人目の素数さん：2014/03/18(火) 08:35:50.36 .net
- >>565
パズル
http://ikura.2ch.net/puzzle/
- 567 ：１３２人目の素数さん：2014/03/18(火) 12:26:47.18 .net
- 4つの4を使って149を作ってください
ただし使っていい記号は以下の通り
•四則演算(+-×÷)
•括弧()
•小数点 (例 .4=0.4)
•根号(√ )
•階乗( ! )
•指数( ^ )
- 568 ：１３２人目の素数さん：2014/03/18(火) 12:35:06.51 .net
- どこがどう面白いのかさっぱり分からん
- 569 ：１３２人目の素数さん：2014/03/18(火) 14:00:00.25 .net
- √（√（√（（√（４）／．４）＾（４！））））＋４！＝１４９。
- 570 ：１３２人目の素数さん：2014/03/20(木) 15:55:16.50 .net
- a[n+1]=√{(1+a[n])/2}
b[n+1]=(1-a[n])b[n]
a[1]=0,b[1]=1
数列a[n],b[n]の一般項を求めよ
- 571 ：１３２人目の素数さん：2014/03/20(木) 15:57:17.88 .net
- つまらん
- 572 ：１３２人目の素数さん：2014/03/21(金) 19:30:02.31 .net
- a＞0、b＞0、c＞0、d＞0、abcd＝1のとき、(1/a)＋(1/b)＋(1/c)＋(1/d)＋9/(a＋b＋c＋d)≧25/4 を証明せよ
- 573 ：１３２人目の素数さん：2014/03/21(金) 20:57:35.99 .net
- >>572
分からない問題はここに書いてね388
http://ai.2ch.net/test/read.cgi/math/1391965739/872
高校数学の質問スレPART368
http://ai.2ch.net/test/read.cgi/math/1393860594/615
知恵袋
ttp://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1185526616
- 574 ：１３２人目の素数さん：2014/03/22(土) 18:06:21.04 .net
- 数列a(n)は、以下の漸化式を満たす
a(n+3)=-a(n+2)+2a(n+1)+8a(n),
a(1)=a(2)=a(3)=1
このとき、a(n)のすべての項は平方数であることを証明せよ
- 575 ：１３２人目の素数さん：2014/03/22(土) 20:00:07.95 .net
- x^2+3x+4=0の2解 α,β
a(n)=2^(n+1)/7-α^n/7-β^n/7
- 576 ：１３２人目の素数さん：2014/03/22(土) 20:40:27.12 .net
- 数列 b(n) を b(n+2)=b(n+1)-2b(n), b(1)=b(2)=1 とおくと、
すべての自然数 n で a(n)=(b(n))^2 となることを、帰納法で示せばいい。
- 577 ：１３２人目の素数さん：2014/03/22(土) 22:57:51.74 .net
- >>554の出題者だがこの問題についてはすでにワイルの均等分布定理という定理があるらしい
これを知っている人からすれば私の問題は全く面白くなかったでしょう
本当に申し訳ない
- 578 ：１３２人目の素数さん：2014/03/22(土) 23:04:00.71 .net
- >>572
これはググれば答えがヒットするが、かなりの難問
- 579 ：１３２人目の素数さん：2014/03/22(土) 23:10:36.14 .net
- 自演乙
- 580 ：１３２人目の素数さん：2014/03/23(日) 01:33:01.01 .net
- >>572
ラグランジュ未定乗数法を使えば解けるが…
不等式の証明で解析を使うのはイケナイことだけど
- 581 ：１３２人目の素数さん：2014/03/25(火) 19:22:28.36 .net
- 逝けない女だと他人は言ふけれど、イイじゃないの、(略証)ならば。
- 582 ：１３２人目の素数さん：2014/03/25(火) 20:00:04.61 .net
- >>574
xx-x+2=0 の2解
γ = (1-ｉ√7)/2,
δ = (1+ｉ√7)/2,
を使えば、
b(n) = (δ^n - γ^n)/(i√7),
２ = γδ,
α = γγ,
β = δδ,
- 583 ：１３２人目の素数さん：2014/03/25(火) 20:41:29.08 .net
- >>576
b[n] = 2^{(n-1)/2}･U_n(1/√8),
ここに U_n は第2種チェビシェフ多項式。
sin(nθ) = (sinθ)U_n(cosθ),
- 584 ：１３２人目の素数さん：2014/03/30(日) 23:38:20.60 .net
- nを正の整数とする。
3点(0,0)、(n√2,0)、(0,n√3)を頂点に持つ三角形の内部にある格子点の数をnで表せ。
- 585 ：１３２人目の素数さん：2014/03/31(月) 05:02:01.95 .net
- ([n√2]+2)([n√3]+2)/2
- 586 ：１３２人目の素数さん：2014/03/31(月) 05:10:40.80 .net
- n=1でもう違った
- 587 ：１３２人目の素数さん：2014/03/31(月) 23:45:33.87 .net
- (0,0)、(√2,0)、(√2,√3)、(0,√3)を4頂点にもつ長方形自体、
内部の格子点は(1,1)の1点だけだから、対角線に関して対称じゃないんだよね。
これ解けるんだろうか？
- 588 ：１３２人目の素数さん：2014/03/31(月) 23:57:46.81 .net
- 数論に出てくる名前のついているようなナントカ数の類が現れそうだな
- 589 ：１３２人目の素数さん：2014/04/01(火) 06:03:07.64 .net
- √3+√2>√6
- 590 ：１３２人目の素数さん：2014/04/01(火) 06:33:50.07 .net
- x>0, y>0
x√3+y√2<6n
- 591 ：１３２人目の素数さん：2014/04/01(火) 08:32:04.24 .net
- 訂正 x√3+y√2<n√6
- 592 ：１３２人目の素数さん：2014/04/02(水) 01:13:56.89 .net
- >>584
近似式：{√(3/2)}n^2-{√(5/2)-0.008}n
- 593 ：１３２人目の素数さん：2014/04/03(木) 13:55:43.07 .net
- 次の漸化式：a_1=p,a_(n+1)=-1+([1/a_n]+1)*a_n
で表される数列{a_n}は0に収束することを示せ
ただしpは無理数である．また実数xに対して[x]でxの整数部分を表すものとする
- 594 ：１３２人目の素数さん：2014/04/03(木) 17:45:11.50 .net
- -1+([1/(-1)]+1)(-1)=-1
- 595 ：１３２人目の素数さん：2014/04/03(木) 18:06:45.47 .net
- ただしpは無理数である．
- 596 ：１３２人目の素数さん：2014/04/03(木) 19:05:01.35 .net
- ↑バカ
- 597 ：１３２人目の素数さん：2014/04/03(木) 20:19:57.09 .net
- 負の数だと成り立たない気がするような
もし間違ってたら馬鹿と罵ってもらってかまわん
- 598 ：１３２人目の素数さん：2014/04/03(木) 20:47:06.65 .net
- p は -1 より大きい無理数とすれば成り立つようだ
- 599 ：１３２人目の素数さん：2014/04/03(木) 22:18:20.77 .net
- 593の出題者です
はじめp=√２で成立したから多分無理数ならなんでも大丈夫なんだろなって思っていたのでpが正の場合しか考えていませんでした
"ただしpは無理数である"→"ただしpは正の無理数である"と訂正します
>>598さんの言うように正よりもっと範囲を拡張できるのかもしれませんが，まだ私自身検討中です
- 600 ：１３２人目の素数さん：2014/04/04(金) 00:40:05.28 .net
- 極限lim(n→∞)tan{2^(1/n) nπ}を求めよ
- 601 ：１３２人目の素数さん：2014/04/04(金) 00:47:09.76 .net
- tan(πlog2)
- 602 ：１３２人目の素数さん：2014/04/04(金) 18:48:58.18 .net
- >>593,599
a_n > 1 のとき a_(n+1) = a_n - 1 だから
0 < a_n < 1 のときを考えればよい
x = 1/a_n とする
x の小数部分を {x} と書く ({x} = x - [x])
a_(n+1) = ([x] + 1)/x - 1 = (1 - {x})/x
1/a_(n+1) = x/(1 - {x}) = x + x{x}/(1 - {x})
x > 1, 0 < 1-{x} < 1 だから
1/a_(n+1) > x + {x} = [x] + 2{x}
1/a_(n+1) > [1/a_n] + 2{1/a_n}
つまり 1/a_(n+1) は 1/a_n より整数部分が大きいか、小数部分が2倍以上
1/a_n (n = 1,2,...) の小数部分は 0 になることはないので、
上から明らかに 1/a_n → ∞ (n→∞)
- 603 ：１３２人目の素数さん：2014/04/04(金) 22:44:10.22 .net
- >>600
え？
- 604 ：abc：2014/04/11(金) 15:37:39.19 .net
- 突然ですが、平方根などの根の計算方法を発見しましたけど、どうしたらよいか分かりません。誰か教えて下さい。複雑な計算や難しい理論を必要とせず、微分積分も使いません。ネットで調べても同じものは無いようです。
- 605 ：１３２人目の素数さん：2014/04/11(金) 16:30:10.68 .net
- 近所の３流以下の大学数学教授にメール、という考えがちらついた
- 606 ：１３２人目の素数さん：2014/04/11(金) 17:00:47.48 .net
- ポエムスレで発表すればいいよ
- 607 ：１３２人目の素数さん：2014/04/11(金) 17:13:15.08 .net
- 適当な学会に入って論文投稿すればー
金払えば入会できるぞ
- 608 ：１３２人目の素数さん：2014/04/11(金) 22:22:08.68 .net
- 近隣の中高教師の勉強会に相談してみては？
あなたの県名＋数学＋指導法＋研究会 でggr,
- 609 ：１３２人目の素数さん：2014/05/03(土) 19:46:07.96 ID:CJIvXJKsu
- >>564
(2k-1)(2k+1) = 2kk +2kk -1 = 2kk(2k+1) -2kk(2k-1) -1,
を kk(2k-1)(2k+1) で割って
1/kk = 2/(2k-1) -2/(2k+1) -1/{kk(2k-1)(2k+1)},
k=1～∞ でたして6倍すると
π^2 = 12 - Σ[k=1,∞) 6/{kk(2k-1)(2k+1)}
≦ 12 -2 -1/10 -2/105
≦ 12 -2 -1/10 -19/1000
= 9.881
√24 = 24/√(25-1) > 24/(5-0.1) > (24/5*5)*(5+0.1) = 0.96*5.1 = 4.896
(√2 +√3)^2 = 5 +√24 > 5 + 4.896 = 9.896
- 610 ：１３２人目の素数さん：2014/05/03(土) 20:29:41.33 ID:CJIvXJKsu
- >>563
0<θ<π/2 のとき、マクローリン展開から
sinθ > θ - (1/6)θ^3,
sinθ > θ - (1/6)θ^3,
tanθ > θ + (1/3)θ^3,
辺々たすと
2sinθ + tanθ > 3θ,
これは Snellius-Huygensの不等式として知られている。
この不等式で θ= π/4 - π/6 = π/12 として
sinθ = sin(π/4 -π/6) = (√3 -1)/√8,
tanθ = tan(π/4 -π/6) = 2-√3,
を使えば
2(4-√2 -2√3 +√6) > π,
一方、
√2 + √3 -2(4-√2 -2√3 +√6) = (√2 -1)^2･(2-√3)^2･(√3 -√2) > 0,
なので、(1)とあわせて
√2 + √3 > π.
- 611 ：１３２人目の素数さん：2014/04/20(日) 01:06:46.65 .net
- 幅→0の長方形
- 612 ：１３２人目の素数さん：2014/04/20(日) 01:23:59.44 .net
- >>611
？
- 613 ：１３２人目の素数さん：2014/04/20(日) 03:52:09.18 .net
- 細い長方形なら格子点沢山覆えるだろう
- 614 ：１３２人目の素数さん：2014/04/20(日) 09:38:28.99 .net
- どんな形状であってもn+1個の格子点を含むように配置できる
と読むのであろう。
- 615 ：１３２人目の素数さん：2014/04/20(日) 11:09:51.99 .net
- 配置は平行移動だけ？ 回転も含まないと無理？
- 616 ：１３２人目の素数さん：2014/04/20(日) 13:15:50.69 .net
- ある点P,Qのx座標の差・y座標の差がいずれも整数であるとき、「PとQは同値である」ということにする。
問の平面図形をA、その面積をS(A)とする。
また、0 ≦ x < 1, 0 ≦ y < 1 に対して、
f(x,y) = [Aの内部にある点で、点 (x,y) と同値であるものの個数]
とする。
すると、S(A) =∫[0,1]∫[0,1] f(x,y) dxdy が成り立つ。
また、S(A) < n より、
f(x,y) ≧ n+1 を満たすような (x,y) が必ず存在する。
(「常にf(x,y) ≦ nが成り立つ」と仮定すると S(A) ≦ ∫[0,1]∫[0,1] n dxdy = n となり矛盾)
そのような (x,y) を一つ取り、点 (x,y) が原点にくるように図形を平行移動させると、
A内部には原点と同値な点 (すなわち格子点) がn+1個以上含まれることになる。
- 617 ：609：2014/04/20(日) 13:40:56.94 .net
- >>616
おお、定式化するとそういう風に証明するんでしょうね。
私が見た解説は、以下のようなものでした。
(1) 平面図形Aを、格子の升目の上に適当に置く。
(2) Aが含まれる1x1の升目を、バラバラに切り取る。
(3) 升目を全部重ねる。
(4) 升目の何処かの座標には、元Aの領域の重なりがn+1以上の箇所がある。
＿(そうでなければ、Aの面積がn以下になるため)
(5) その座標が格子点になるように、平行移動すれば良い。
- 618 ：１３２人目の素数さん：2014/04/21(月) 05:40:12.75 .net
- コインを投げて表が出れば1点を加え、裏が出れば1点引く
ただし、0点の場合は引かない
初めの持ち点は0点とする
n回投げたとき、持ち点がk点となる確率を求めよ
答え
C[n,(n+k)/2](1/2)^n (n+kが偶数)
C[n,(n+k+1)/2](1/2)^n (n+kが奇数)
らしいんだが解き方分かる人いるかな
あと、単位円に内接する正n角形の頂点から3点選んでできる三角形の面積の期待値
- 619 ：１３２人目の素数さん：2014/04/21(月) 07:29:49.30 .net
- >>618
そもそも誤答じゃね？(n,k)=(2,0)とかどうよ
>ただし、0点の場合は引かない
|sin(2πu/n)+sin(2πv/n)-sin{2π(u+v)/n}|/2 (0<u,v),(u+v<n)の期待値あたりか?めんどくさ
- 620 ：１３２人目の素数さん：2014/04/21(月) 21:10:23.10 .net
- n=2,k=0だと表裏と裏裏で1/2
C[2,(2+0)/2](1/2)^2=1/2だが
- 621 ：１３２人目の素数さん：2014/04/21(月) 22:08:16.13 .net
- __ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
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| |::/ / / | | || | | ,ﾊ .| ,ﾊ|
| |/ / / /| ,ﾊﾉ| /|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'
| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' |
| l＾,人| ` `-' ゝ |
| ` -'＼ ｰ' 人 私は死なないわよ。
| /(l ＿＿／ ヽ、 でも最近一寸太ったかしら。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 Windows ver.10 で
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ 元の痩せた姿にしてよね。
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
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- 622 ：618：2014/04/21(月) 22:32:22.29 .net
- >>620
すまん間違えた
- 623 ：１３２人目の素数さん：2014/04/22(火) 12:20:00.40 .net
- 数学的帰納法。
- 624 ：１３２人目の素数さん：2014/04/22(火) 23:35:36.42 .net
- 教科書傍用の下みたいな練習問題
Σ[m=1→n]｛Σ[l=1→m]（Σ[k=1→l]）｝
これを式の意味を解釈して簡単に計算できないかな
たとえばΣ[k=1→n](k-1)(n-k)は
(k-1)(n-k)は1～nの整数の中から3個取り出す方法のうち
2番目に大きい数字がkとなるような取り出しかただから
Σ[k=1→n](k-1)(n-k)=C[n,3]
- 625 ： ◆BhMath2chk ：2014/04/23(水) 00:00:00.94 .net
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- 626 ：１３２人目の素数さん：2014/05/04(日) 02:42:40.97 .net
- test
- 627 ：１３２人目の素数さん：2014/05/04(日) 02:53:40.74 .net
- >>563
0<θ<π/2 のとき、マクローリン展開から
sinθ > θ - (1/6)θ^3,
sinθ > θ - (1/6)θ^3,
tanθ > θ + (1/3)θ^3,
辺々たすと
2sinθ + tanθ > 3θ,
これは Snellius-Huygensの不等式として知られている。
この不等式で θ= π/4 - π/6 = π/12 として
sinθ = sin(π/4 -π/6) = (√3 -1)/(2√2),
tanθ = tan(π/4 -π/6) = 2-√3,
を使えば
4{(√3 -1)/√2 +(2-√3)} > π,
√2 + √3 = 4{(√3 -1)/√2 +(2-√3)} + (√2 -1)^2･(2-√3)^2･(√3 -√2)
> 4{(√3 -1)/√2 +(2-√3)}
> π,
- 628 ：１３２人目の素数さん：2014/05/04(日) 23:07:43.00 .net
- a_0=0, a_1=1, a_(n+2)=a_(n+1)+a_n （n=0,1,2,…）とする。
（１）lim(n→∞）a_n/a_(n-1)を求めよ。
（２）（１）で求めた値をzとする。z^x(xは整数）はxが十分に大きいとき、ほぼ整数となる
ことを示せ。
- 629 ：１３２人目の素数さん：2014/05/13(火) 00:05:49.55 .net
- (1)(1+√5)/2
(2)b[n]=[z^n+1/2],z^n=b[n]+c[n]とする
このとき、-1/2≦c[n]<1/2…①
また、z^(n+2)=z^(n+1)+z^n,
c[2]=(-3+√5)/2,c[3]=-2+√5
2≦nでc[n]/c[n+1]=-zを数学的帰納法で示す
まずn=2のとき成り立つ
n=kで成り立つとする
z^(k+2)=z^(k+1)+z^k=b[k+1]+b[k]+c[k+1]+c[k]
c[k+1]+c[k]についてc[k]とc[k+1]は異符号で①より-1/2<c[k+1]+c[k]<1/2
よってc[k+2]=c[k+1]+c[k]
=(1-z)c[k+1]
c[k+1]/c[k+2]=1/(1-z)=-z
よってn=k+1で成り立つ
これらよりc[n]=c[2]/(-z)^(n-2)
となり示される
- 630 ：１３２人目の素数さん：2014/05/23(金) 20:35:05.31 ID:giHHhsRIW
- 開き括弧'('と閉じ括弧')'のみからなる記号列
（ただし'('と')'が正しく対応付けられるもの）
があるとする。
この記号列のある部分に対し、
(X(Y)Z)→(XYZ)(XYZ)...(XYZ)
という置き換えを考える。
(X(Y)Z)の外側および内側の括弧はそれぞれ対応する括弧であるものとし、
X,Y,Zはそれぞれ任意の記号列（長さ0でもよい）とする。
(XYZ)(XYZ)...(XYZ)は、(XYZ)を任意個（0個でもよい）並べたものである。
このような置き換えを無限に繰り返し行うことは不可能であることを示せ。
- 631 ：１３２人目の素数さん：2014/05/23(金) 20:37:21.90 .net
- 開き括弧'('と閉じ括弧')'のみからなる記号列
（ただし'('と')'が正しく対応付けられるもの）
があるとする。
この記号列のある部分に対し、
(X(Y)Z)→(XYZ)(XYZ)...(XYZ)
という置き換えを考える。
(X(Y)Z)の外側および内側の括弧はそれぞれ対応する括弧であるものとし、
X,Y,Zはそれぞれ任意の記号列（長さ0でもよい）とする。
(XYZ)(XYZ)...(XYZ)は、(XYZ)を任意個（0個でもよい）並べたものである。
このような置き換えを無限に繰り返し行うことは不可能であることを示せ。
- 632 ：１３２人目の素数さん：2014/05/23(金) 20:54:04.69 .net
- >>628 (2)
{(1+√5)/2}^n+{(1-√5)/2}^n は、{1,3,4,7,11,18,...}という整数値を取り、
(1-√5)/2=-0.618...なので、{(1-√5)/2}^nは、nが大きくなるとどんどん小さくなる
ことより、題意は示される。
- 633 ：１３２人目の素数さん：2014/05/24(土) 17:35:50.66 .net
- >>631
記号列を成す、全ての開き括弧“(”、及び、閉じ括弧“)”に対し、
次のルールで「深さ」という値プロパティを与えることとする
・“(”に対しては、「注目している記号より左側の全ての“(”の数」－「注目している記号より左側の全ての“)”の数」
・“)”に対しては、対応する“(”と同じ値
ところで、「置き換え」ルール：(X(Y)Z)→(XYZ)(XYZ)...(XYZ) を適用すると、Y内部の「深さ」は置き換え前に比べ、１減る。
元々の記号列は有限個からなるものなので、「最大の深さ」が存在するため、無限に行うことはできない。
- 634 ：１３２人目の素数さん：2014/05/24(土) 18:50:08.43 .net
- >>633
XとZの内部の深さは変わらないので、最大の深さは変わらない場合もある。
よってこれだけでは証明になっていないと思われるが。
- 635 ：１３２人目の素数さん：2014/05/24(土) 21:02:16.76 .net
- >>634
なるほど、空振りなら、無限回可能ということですね
では、この修正ではどうでしょう。
一番最初に、(X(Y)Z)型の部分列全てに対して、({X}(Y){Z})と、仮想括弧{}を補ってしまいます。
そして、仮想括弧を通常の括弧と同一視した状態で、「深さ」を考えることにします。すると、
>>(X(Y)Z)→(XYZ)(XYZ)...(XYZ)
という置き換えで、X,Y,Z の（修正版の）深さは、1ずつ減ることになります。
- 636 ：１３２人目の素数さん：2014/05/24(土) 21:24:58.94 .net
- >>635
(A(B)C(D)E)という部分列があるとき、
({A}(B){C(D)E})
({A(B)C}(D){E})
という2通りの仮想括弧の付け方がある。
上の説明だと、この場合の考え方が分からない。
- 637 ：１３２人目の素数さん：2014/05/24(土) 21:37:32.88 .net
- >>635
そもそも、例えば((()))に仮想括弧を付けて({(}(){)})とすると
括弧の対応関係がクロスした状態になってしまう。
これはマズいのでは。
- 638 ：１３２人目の素数さん：2014/05/24(土) 22:04:00.24 .net
- グラフ木と対応させればいいんじゃないかな
((()))(()())()なら
●
┃
●●●
┃┣┛
●● ●
┣┻━┛
●
みたいな
- 639 ：１３２人目の素数さん：2014/05/24(土) 22:12:01.78 .net
- なるほど、確かにその通りです。では、素直にいきます。これではどうでしょう。
記号列を食べる関数を考えます。
その関数は、>>633の方法の深さを全ての括弧についてチェックし、
深さ0の括弧のペアの数は、○個
深さ1の括弧のペアの数は、△個
...
と言うように、深さと、その括弧の数を返します。
そして、この返り値は、次の方法で比較可能で、
最大の深さの大小、同じなら、その深さの数の大小、
同じなら、次の深さの大小、同じならその深さの数の大小、．．．
で判断します。
この関数を使えば、置き換え前と、置き換え後を比べると、必ず小さくなっていきます。
- 640 ：１３２人目の素数さん：2014/05/24(土) 22:19:30.43 .net
- >>637
仮想括弧は、「置き換え」に対応させて考えていたものなので、
そのようなクロスは、題意から除かれています。
- 641 ：１３２人目の素数さん：2014/05/24(土) 22:23:48.80 .net
- >>637
失礼、よく読むと、そのようなクロスは、題意から除かれて「いない」んですね。
- 642 ：１３２人目の素数さん：2014/05/24(土) 22:33:53.50 .net
- >>639
X=Y=空列,Z="()"として
(()())→(())(())(())
という置き換えを行うと、最大の深さ2の括弧が2個から3個に増える。
>>640
ちょっとよく分からない。
((()))は置き換えの対象になる記号列だと思うんだけど。
X,Y,Zで表される記号列は、必ずしもその内部だけで
括弧の整合性が取れている必要は無い。
- 643 ：１３２人目の素数さん：2014/05/24(土) 22:35:44.64 .net
- >>641
そういうこと。
- 644 ：１３２人目の素数さん：2014/05/25(日) 09:17:59.51 .net
- >>642
「深さ」の他に、「並列度」とでも言うべき値も考えると、どうだろうか？
直接の「親」に当たる括弧の中に、自分と同じ「深さ」をもつ括弧がいくつかあるか、
それを「並列度」とします。
家系図なんかに例えると、「深さ」は「世代」に、「並列度」は「兄弟の数」に相当します。
>> X=Y=空列,Z="()"として
>> (()())→(())(())(())
>> という置き換えを行うと、最大の深さ2の括弧が2個から3個に増える。
深さ2,並列度2の括弧が二つあったものが、置き換え後は、
深さ2,並列度1の括弧が三つ（or任意個）と数えることになります。
- 645 ：１３２人目の素数さん：2014/05/25(日) 16:53:53.63 .net
- 次の方程式が表す図形を座標平面に図示せよ。（ただしひとつの平面に書き込むこと）
ｘ^2＋ｙ^2＝1
ｘ^2＋ｙ^2＝4
ｙ＝±ｘ (－4≦ｘ≦－3,3≦ｘ≦4）
ｙ＝0 （－4≦ｘ≦－3,3≦ｘ≦4）
ｘ＝0
- 646 ：１３２人目の素数さん：2014/05/25(日) 17:16:00.99 .net
- この類か
https://www.wolframalpha.com/input/?i=graph+hatune+miku+curve
- 647 ：１３２人目の素数さん：2014/05/25(日) 19:06:43.66 .net
- >>644
((())())→((()))((()))
深さ3並列度1が1個→深さ3並列度1が2個
- 648 ：１３２人目の素数さん：2014/05/25(日) 20:21:30.19 .net
- っつうかグラフ木から順序数に対応付けすればいいだけじゃん
そうすれば置き換えによって順序数は必ず減少するんだから
- 649 ：１３２人目の素数さん：2014/05/25(日) 20:54:39.85 .net
- 具体的に
- 650 ：１３２人目の素数さん：2014/05/25(日) 23:44:50.14 .net
- >>631
なかなかいい問題やねｗ 出典が知りたいｗ
>>638のような木構造で考えると、「置き換え」による操作は以下の通り
・根と一致しない部分木を1つ指定する。ただし、部分木は2以上の高さを持つものとする
(X(Y)Z)
・部分木に属する任意の頂点を1つ消去し、頂点の子以下の部分木をもとの頂点の親に接続する
(X(Y)Z) --> (XYZ)
・変形した部分木を任意個複製する
(XYZ) --> (XYZ)...(XYZ)
あとは木の複雑度を数に対応付けて、それらが単調減少することを示せばおｋ
数列 a_n の一般項を （外側から n 番目の括弧の組の数） で （その内側にある括弧の組の数）を割った値
とすれば、変形によりある p, q （p＜q）について a_p が増えて a_q が減るので収束が示せる
注意すべきは、>>637のように X, Y, Z が外側と同じレベル以下の括弧を含む場合で
この場合は無限に増殖できることが示せる
例えば (())(()) で、X="", Y="", Z=")(()" とおくと
(())(()) --> ()(()) が任意個
となって、1操作につき3個以上増やせば操作が無限に行える
- 651 ：１３２人目の素数さん：2014/05/26(月) 00:02:26.41 .net
- 具体的に
- 652 ：１３２人目の素数さん：2014/05/26(月) 00:09:55.58 .net
- > 数列 a_n の一般項を （外側から n 番目の括弧の組の数） で （その内側にある括弧の組の数）を割った値
の部分は、分母を （その内側にある（n+1）番目の括弧の組の数） としても同じ結果になる
>>644の言葉を借りれば、全体について「並列度」を「子供の数の平均」と定義し直して0世代目から並べるイメージ
複雑度が上昇しないことは示せても、最終的に ()()...() の形に収束することは示せないので
厳密な証明には別のアプローチが必要になりそう
あと、具体例を無理に想像するとアッカーマン関数のように急激に増加するのでおすすめしない
- 653 ：１３２人目の素数さん：2014/05/26(月) 00:41:37.68 .net
- >629
> (X(Y)Z)の外側および内側の括弧はそれぞれ対応する括弧であるものとし
仮定から、この操作が可能ならばX,Y,Zにまたがる括弧の組は無い。
従ってこの操作で生成される(XYZ)内の括弧の組は(X(Y)Z)より一つ少なく、
かつ、(XYZ)をいくつ繋げても(XYZ)をまたぐ括弧の組は生まれない。
ゆえに(XYZ)の繰り返し回数が有限ならばこの操作は有限回で収束する。
- 654 ：１３２人目の素数さん：2014/05/26(月) 01:10:19.38 .net
- 具体的に書かないのは反論させないためか。
- 655 ：１３２人目の素数さん：2014/05/26(月) 01:12:04.91 .net
- ((()))=(X(Y)Z)
X=(
Y=
Z=)
- 656 ：１３２人目の素数さん：2014/05/26(月) 07:20:59.41 .net
- >>652=>>652です
>>653
> 仮定から、この操作が可能ならばX,Y,Zにまたがる括弧の組は無い。
「X,Y,Zにまたがる」を「X,Y,Zとその外側にまたがる」
と言いかえれば成り立ちますね。
確かに、外側同士が「対応する括弧」ですから
選んだ部分列の内側に低レベルの括弧は存在しないといえます。
- 657 ：１３２人目の素数さん：2014/05/26(月) 12:57:51.49 .net
- 何度かトライ(631,633,637,642)しましたが、結局、
記号列を食べるある関数F[]を用意し、それが、
F[A(X(Y)Z)B] ＝ F[A(XYZ)B] ＋ α
F[A(XYZ)(XYZ)...(XYZ)B] ＝ F[A(XYZ)B] ＋β
ただし、常に、α＞β≧０ （「任意個」のβが積み重なっても、αより小さい）
を満たせばよいということですよね。
そのようなF[]が存在するのは確かっぽいけど、具体的な中身は、当初の予想とは異なり面倒そうです。
- 658 ：１３２人目の素数さん：2014/05/26(月) 13:05:54.05 .net
- 具体的に書こうとしないからはっきりしないが
(()()())()()
->
(()())(()())(()())()()
が反例じゃないか。
- 659 ：１３２人目の素数さん：2014/05/26(月) 13:58:04.27 .net
- >>658は確かに、>>652と>>652の反例になってますね
（単純に平均値を取っただけでは、ゴミを巻き込むことで
評価関数が 3/3 --> 6/5 と増えてしまう）
出題者の>>657さんは解決に近づいているようなので
本職の数学者の降臨を待ちつつ様子見
- 660 ：１３２人目の素数さん：2014/05/26(月) 14:13:52.78 .net
- 出題者は>>631だが
- 661 ：１３２人目の素数さん：2014/05/26(月) 20:25:57.86 .net
- >>650
一応自作なので出典は無し。
同じような問題はどこかにあるかも。
>>659
>>657は出題者ではないよ。
- 662 ：１３２人目の素数さん：2014/05/26(月) 21:23:06.93 .net
- これは「ヒドラゲーム」と同じ類の問題だな
下のリンク先にグラフ木と順序数との対応付けの方法が載ってる
http://math.andrej.com/2008/02/02/the-hydra-game/
http://ja.googology.wikia.com/wiki/%E3%83%92%E3%83%89%E3%83%A9%E3%82%B2%E3%83%BC%E3%83%A0
- 663 ：１３２人目の素数さん：2014/05/29(木) 09:53:05.43 .net
- >>465
> 面積nを超える平面図形は、内側(境界含む)に
> n+1個の格子点を含むように配置できることを示せ。
>
> ってのが面白かった。
ブリクフェルトの定理。有界がいる。
- 664 ：１３２人目の素数さん：2014/06/05(木) 03:17:39.63 .net
- 四角形の４辺と２本の対角線の長さが全て奇数であるものは存在しないことを証明せよ。
- 665 ：１３２人目の素数さん：2014/06/14(土) 11:48:01.30 .net
- 四角形の頂点をそれぞれabcdとしたとき、の辺の長さab, bcと対角線の長さacには
ab^2 + bc^2 = ac^2の関係があり ab,ｂｃを奇数とすると、ab^2、bc^2はそれぞれ
奇数であるから、ac^2は偶数なっちゃうよ。
acを奇数とするとac^2は奇数だから。ab,bc,acがすべて奇数であるこたーないってこと？
- 666 ：１３２人目の素数さん：2014/06/14(土) 12:23:54.72 .net
- 長方形でない四角形もあるだろ
- 667 ：１３２人目の素数さん：2014/07/20(日) 17:44:57.73 .net
- 1/4の確率で当たりが出ると言われているクジがあります
100人がそれぞれ100回挑戦したところ、確率以上の頻度で当たりを引けたのは10人だけでした
実際の当たりが出る確率はどのくらいだと推定できますか？
情報はこれだけで実際の10000回の試行の具体的な結果は入手できないものとします
- 668 ：１３２人目の素数さん：2014/07/20(日) 17:55:02.82 .net
- 出来ます。
- 669 ：１３２人目の素数さん：2014/07/20(日) 19:52:36.97 .net
- 最尤法でいい？
- 670 ：１３２人目の素数さん：2014/07/20(日) 19:55:27.77 .net
- しかもなんだか正規分布で近似したい気分だけどいい？
- 671 ：１３２人目の素数さん：2014/08/02(土) 22:20:47.73 .net
- 好きな検定を選べ
- 672 ：１３２人目の素数さん：2014/08/22(金) 18:36:15.96 .net
- age
- 673 ：狸 ◆2VB8wsVUoo ：2014/08/22(金) 18:38:11.38 .net
- >>4
>4 名前：KingMathematician ◆LoZDre77j4i1 ：2014/08/21(木) 19:27:24.63
> とりあえず, vector analysis から修得しようか.
>
狸
痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕・痴漢・逮捕
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- 674 ：１３２人目の素数さん：2014/08/29(金) 01:38:17.28 .net
- ∫[1、∞] x^(-x) = Σ[n=1 to ∞] n^(-n) を証明せよ。
( ﾟ∀ﾟ) ﾌﾟｳ
ノヽノ) =3'A`)ﾉ ﾋｬｰ
くく へﾍﾉ
- 675 ：１３２人目の素数さん：2014/09/10(水) 14:34:02.33 .net
- 自然数aに対し[a]をaの桁数とする。
つまり[100]＝3
[[10の1000乗]]＝[1001]＝4
ここで非常に大きい自然数aに関して考える。
aに[]を幾重にも重ねた結果はじめて1になった時、[]を重ねた数を{a}とする。
つまり
{10の10乗}＝2 [[10の10乗]]＝1より
{10の1000乗}＝3 [[[10の1000乗]]]＝1より
では{グラハム数}の値は？
- 676 ：１３２人目の素数さん：2014/09/10(水) 15:07:55.48 .net
- >>675
その中括弧には意味があるのかね、少尉！
- 677 ：１３２人目の素数さん：2014/09/10(水) 15:51:37.78 .net
- だいぶ大雑把に見積もると、「桁数を取る」ってlogを一回かけるようなもんだから
[a↑↑b] ≒ a↑↑(b-1)
{a↑↑b} ≒ b
(ただし↑↑はテトレーション)
くらいか。この程度だとグラハム数にかけても大して小さくならなそうだな
- 678 ：１３２人目の素数さん：2014/09/10(水) 17:50:30.90 .net
- グラハム数って宇宙の全ての物質をインクに変えても表記出来ないんですよね。
では宇宙の全ての物質をインクに変えたらどのぐらいの値が表記できるのでしょうか？
またそれはグラハム数に比べどのくらい小さい値なのかを教えてください。
- 679 ：１３２人目の素数さん：2014/09/10(水) 18:27:00.76 .net
- 宇宙全体の素粒子の数～10^80
つまり、そろばんを二つ並べれば表現できる
- 680 ：１３２人目の素数さん：2014/09/10(水) 20:58:13.34 .net
- 円の内部に点Ｐをとり、円をＰを通る４本の直線（45°で交わる）で８つの領域に分ける。
１個おきに選んで２組に分けるとき、どちらも面積の和が等しいことを示せ。
- 681 ：１３２人目の素数さん：2014/09/11(木) 21:52:08.71 .net
- >>680
妄想も大概にせいよ
- 682 ：１３２人目の素数さん：2014/09/13(土) 18:12:00.12 .net
- コインを今からｎ（100以上の自然数）回投げる。
その時、表が出た回数が0.6ｎを超える、もしくは裏が出た回数が0.6ｎを超える確率ｆ（n)を求めよ。
- 683 ：１３２人目の素数さん：2014/09/13(土) 20:09:00.97 .net
- Σ[k=[0.6n]+1,n]C[n,k](1/2)^n
- 684 ：１３２人目の素数さん：2014/09/14(日) 10:38:24.78 .net
- 1 だろ。
必ずどっちかは、0.6 n を超える。
- 685 ：１３２人目の素数さん：2014/09/14(日) 12:48:04.52 .net
- これはひどい
- 686 ：１３２人目の素数さん：2014/09/14(日) 17:08:51.80 .net
- それしかないんか
- 687 ：１３２人目の素数さん：2014/09/14(日) 22:07:28.97 .net
- >>684
？？？？？
- 688 ：１３２人目の素数さん：2014/09/14(日) 22:54:21.83 .net
- すみません>>683の数式がわからない高校生なのですが、
nが100の場合と1000の場合のそれぞれのf(n)の数値を教えて下さい
- 689 ：１３２人目の素数さん：2014/09/14(日) 23:25:22.23 .net
- 表と裏が0.5n回ずつ出るケースでは、表裏どちらも0.6nを超えてない。
>>684は大間違い。
- 690 ：１３２人目の素数さん：2014/09/15(月) 04:04:03.51 .net
- >>683 訂正
Σ[k=ceil(0.6n),n]C[n,k](1/2)^n
- 691 ：１３２人目の素数さん：2014/09/24(水) 11:40:39.01 .net
- 円周率が超越数である事を示せ
- 692 ：１３２人目の素数さん：2014/09/24(水) 13:46:16.54 .net
- ググって読め
- 693 ：１３２人目の素数さん：2014/09/24(水) 14:28:52.57 .net
- πが超越数でないと仮定する。
しかしこれは「Wikipedia 超越数」に書いてあることに矛盾する。
従ってπは超越数である。
＿人人人人人＿
＞ 証明終了 ＜
￣Y^Y^Y^Y^Y￣
- 694 ：１３２人目の素数さん：2014/09/24(水) 14:53:08.08 .net
- >>693
個人的にフィールズ賞をあげたい
- 695 ：１３２人目の素数さん：2014/09/25(木) 12:41:37.93 .net
- フールズ賞
- 696 ：１３２人目の素数さん：2014/09/25(木) 18:16:43.81 .net
- 自然数ｎについて、2から数えてn個目の素数をf(n)とする。
例：f(3)=5
ここで、lim n→∞ ｆ（n+1)-f(n)を求め、証明せよ。
- 697 ：１３２人目の素数さん：2014/09/25(木) 18:20:41.48 .net
- 仮に問題を解く知識がなかったとしても、文章からポエムなことがすぐわかるね
- 698 ：１３２人目の素数さん：2014/09/25(木) 18:53:04.64 .net
- すべてはまぼろし
運営乙
- 699 ：１３２人目の素数さん：2014/09/25(木) 21:24:18.53 .net
- 差が7000万以下の素数のペアなら無限に存在する事が証明されたそうだから
素数定理と合わせて答えが得られる
- 700 ：１３２人目の素数さん：2014/09/25(木) 21:49:47.09 .net
- (´･∀･`)ﾍｰ
- 701 ：１３２人目の素数さん：2014/09/25(木) 22:44:11.32 .net
- >>699
ま、まじで！？
それって凄いことだよね
- 702 ：１３２人目の素数さん：2014/09/25(木) 23:06:38.25 .net
- >>696
>>699により、liminf_[n→∞](f(n＋1)－f(n))≦7000万
一方で、
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Cram%C3%A9r%27s_conjecture
により、limsup[n→∞](f(n＋1)－f(n))/(log f(n))＝＋∞
特に limsup[n→∞](f(n＋1)－f(n))＝＋∞
以上より、lim_[n→∞](f(n＋1)－f(n)) は存在しない
- 703 ：１３２人目の素数さん：2014/09/26(金) 02:21:49.29 .net
- おみごと
- 704 ：１３２人目の素数さん：2014/09/26(金) 11:54:08.94 .net
- 「sup」の読み方って「スープ」でいいの？
- 705 ：１３２人目の素数さん：2014/09/26(金) 12:04:13.01 .net
- 死ね
- 706 ：１３２人目の素数さん：2014/09/26(金) 12:36:33.67 .net
- What can't Japanese do?
Who can do something?
Who should die?
Why should someone die?
- 707 ：１３２人目の素数さん：2014/09/26(金) 12:54:33.29 .net
- >>704
上付きならsuperscript, 上限ならsupremumだからいいんじゃない
- 708 ：１３２人目の素数さん：2014/09/26(金) 14:16:35.68 .net
- >>706
数学板だからってその英語力はないだろう
- 709 ：１３２人目の素数さん：2014/09/26(金) 16:37:16.80 .net
- >>708
間違っていないと思うけれども
- 710 ：１３２人目の素数さん：2014/09/26(金) 21:42:06.00 .net
- 知りたい事があります。
f(1)=1
f(2)=2の2乗
f(3)=3の3の3乗乗
f(4)=4の4の4の4乗乗乗
こういう関数って書き方あるんですか？
- 711 ：１３２人目の素数さん：2014/09/26(金) 21:49:13.76 .net
- http://i.imgur.com/UUqpdzA.png
- 712 ：１３２人目の素数さん：2014/09/26(金) 21:49:53.60 .net
- >>710
クヌースの矢印 でぐぐれ
- 713 ：１３２人目の素数さん：2014/09/26(金) 21:50:43.21 .net
- ビットマップ描きにしては上手いじゃん
- 714 ：１３２人目の素数さん：2014/09/28(日) 13:13:55.47 .net
- 5000年ごとぴったりの周期で噴火する火山が50個ある。
これから一番速く噴火する火山はあと何年で噴火する？
各火山の噴火タイミングと観測者のいる時刻は全て独立と仮定する。
- 715 ：１３２人目の素数さん：2014/09/28(日) 14:04:22.85 .net
- Σ[k=1,5000]k*(4999/5000)^(k-1)*Σ[i=1,5000]C[5000,i](1/5000)^i*(4999/5000)^(5000-i)
- 716 ：１３２人目の素数さん：2014/09/28(日) 14:09:40.80 .net
- Σ[k=1,5000]k*(4999/5000)^(50(k-1))*Σ[i=1,50]C[50,i](1/5000)^i*(4999/5000)^(50-i)
- 717 ：１３２人目の素数さん：2014/09/28(日) 16:46:27.80 .net
- すごい。なんかちょっと意味分かんないけど、すごいありがとうございます
- 718 ：１３２人目の素数さん：2014/09/30(火) 01:12:59.02 .net
- 夏の夜の
太鼓囃子か
本降りの
トタン屋根打つ
けたたましさよ
- 719 ：１３２人目の素数さん：2014/10/03(金) 00:52:03.45 .net
- お願いします。
10000円を5％と6％の定期にあずけて受け取った利息が575円
この場合10000円をどのような割合で預けたかわかりますか？
お願いします。
- 720 ：１３２人目の素数さん：2014/10/03(金) 02:12:11.77 .net
- マルチうざい
- 721 ：１３２人目の素数さん：2014/10/11(土) 07:23:34.22 .net
- 重さ1の球を三角錐状に3n+1段積んだとき、最下段の中心の球にかかる重さはいくらか。
- 722 ：１３２人目の素数さん：2014/10/13(月) 17:25:24.88 .net
- 抜いても問題ないから0
- 723 ：１３２人目の素数さん：2014/10/13(月) 19:36:48.32 .net
- >>722
想定外の回答だったので条件を加える。
各々の球は、その下段にある3つの球に均等に力を及ぼす。
求めるものは、上の3つの球から加わる力の合力とする。
- 724 ：１３２人目の素数さん：2014/10/13(月) 21:50:13.31 .net
- 上に3つ球がない場合もある
- 725 ：１３２人目の素数さん：2014/10/13(月) 23:58:57.08 .net
- >>724
n=0の場合を例外として除けば、最下段の中心の球には必ず3個の球が上に接してる。
- 726 ：１３２人目の素数さん：2014/10/22(水) 15:53:28.85 .net
- 逆三角錐？
- 727 ：１３２人目の素数さん：2014/10/22(水) 16:50:13.21 .net
- 中心に位置する球のみではなく一般的な場合を考えてしまった
- 728 ：謹賀新年：2015/01/06(火) 23:46:57.78 ID:Cy8xuL1q.net
- 数列a(n)を以下で定める。
a(0)=0
a(1)=1
a(n+1)は、次の2条件を満たす最小の自然数とする。
・ a(n)より大
・ {0,1,,,n}からどのようにi,j(i<j)を選んでも、
a(i),a(j),a(n+1)は等差数列にはならない。
[1] a(2),a(4),a(8)はいくつか。
[2] a(1000)はいくつか。
- 729 ：１３２人目の素数さん：2015/01/07(水) 23:38:15.33 ID:RnUWTRzD.net
- 1000=2^3*(1+2^2*(1+2*(1+2*(1+2*(1+2*(1+0))))))
- 730 ：１３２人目の素数さん：2015/01/10(土) 23:38:55.08 ID:XQc9ebMD.net
- >>728
a[2]=3, a[4]=9, a[8]=27
a[1000]=29484
- 731 ：１３２人目の素数さん：2015/01/11(日) 02:30:38.05 ID:sMhzxOIW.net
- a(2)～a(n-1)の値を出すことなしにa(n)を直接求めるにはどうすればいい？
- 732 ：１３２人目の素数さん：2015/01/30(金) 12:45:53.43 ID:g9X/7gWf.net
- https://www.toshin.com/sp/concours/
積分区間に∞が出てくるから、高校の範囲を超えてない？
('A` ) ﾌﾞﾘﾌﾞﾘｯ
ノヽノ) =3'A`)ﾉ ｷﾞｬ‐ｯ
くく へﾍﾉ
- 733 ：１３２人目の素数さん：2015/01/30(金) 20:50:19.92 ID:LFwsDtx3.net
- 高偏差値の生徒を集めたコースでは、
生徒が退屈して勉強を投げ出さないように、
たまに受験の出題範囲を越える問題も必要。
過保護な気もするが、サービス業だからね。
- 734 ：１３２人目の素数さん：2015/02/24(火) 00:39:09.81 ID:qhrgXP8L.net
- nHrを重複組合せの数とするとき、Σ[k=0 to r] nHk を簡単にせよ。
- 735 ：１３２人目の素数さん：2015/02/28(土) 20:11:08.53 ID:VJZV6J0I.net
- ３以上の自然数nに対し、[n]をn-n未満の最大の素数と定める。
lim n→∞ [n]は発散か収縮か？そしてそれを証明せよ。
- 736 ：１３２人目の素数さん：2015/02/28(土) 20:16:07.99 ID:dv/joUsD.net
- >>735
収束
何故ならn-nは0だから
- 737 ：１３２人目の素数さん：2015/02/28(土) 20:52:49.91 ID:VJZV6J0I.net
- n-（n未満の最大の素数）です！
- 738 ：１３２人目の素数さん：2015/02/28(土) 20:56:14.67 ID:D9aq9ikO.net
- 構文解釈はエスパー4級くらいだな
どこがどう面白いのかはエスパー不能
- 739 ：１３２人目の素数さん：2015/02/28(土) 21:15:11.03 ID:zNiNlMKA.net
- [奇素数+1]=1
[奇素数+2]=2
[奇素数+3]=3or1
[奇素数+4]=4or2
...
素数は無限にあり、このような増加と１への急落を無限に繰り返すので、収縮も収束もしない。発散。
- 740 ：１３２人目の素数さん：2015/03/01(日) 18:17:51.24 ID:zELQ+vft.net
- >>734
(1+r)/n((n+r)C(r+1))
- 741 ：１３２人目の素数さん：2015/03/05(木) 00:16:52.34 ID:RwdUyX8p.net
- >>739
双子素数予想は、解かれたんだっけ？
- 742 ：１３２人目の素数さん：2015/03/05(木) 08:03:48.63 ID:e6CPYyVp.net
- 大川研究室っていう数ヲタの問題サイトって、どっかに移転したの？
- 743 ：１３２人目の素数さん：2015/03/06(金) 00:13:31.73 ID:o/UgraHB.net
- Σ[k=0 to n] (-1)^k {Σ[m=0 to k] C[2n+1, 2m+1]・C[n-m, n-k] } (sinθ)^{2k+1} を簡単にせよ。
ただし、C[n, r] は二項係数を表す。
- 744 ：１３２人目の素数さん：2015/03/15(日) 15:54:44.22 ID:JATPX9sE.net
- lim[n→∞] C[2n, n]/(4^n) の値を求めよん。
- 745 ：１３２人目の素数さん：2015/03/16(月) 00:32:55.90 ID:gTNQV16n.net
- f(x)を実数係数の多項式とする。
(1) f(x-1)f(x+1) = f((x^2)/2) をみたすf(x)を求めよ。
(2) {f(x)}^2 = f(x^2) をみたすf(x)を求めよ。
(3) f(x-1)f(x) = f(x^2) をみたすf(x)を求めよ。
(4) x・f(x-1) = (x-8)・f(x) をみたすf(x)を求めよ。
- 746 ：１３２人目の素数さん：2015/03/16(月) 05:52:03.85 ID:gTNQV16n.net
- x^4 + x^3 - 1 = 0 の４解を a、b、c、dとする。
ab、ac、ad、bc、bd、cd を解にもつ６次方程式を作れ。
- 747 ：１３２人目の素数さん：2015/03/17(火) 18:08:39.22 ID:jPmGUsBF.net
- >>746
これの解説をお願いします。
- 748 ：１３２人目の素数さん：2015/03/20(金) 00:23:42.49 ID:4Uq6RMP/.net
- >>745
すべて求めよと言っていないので、(1)-(4)はいずれも
f(x)=0
でOK
- 749 ：１３２人目の素数さん：2015/03/20(金) 00:54:13.29 ID:X+uuAe1T.net
- かなしいですね
- 750 ：１３２人目の素数さん：2015/03/20(金) 01:03:56.82 ID:++NwwdBp.net
- 単行式なのですがそれは
- 751 ：１３２人目の素数さん：2015/03/20(金) 12:58:07.34 ID:fIrLFwn8.net
- これとか
http://suseum.jp/gq/question/2342
- 752 ：１３２人目の素数さん：2015/03/20(金) 18:52:20.58 ID:5RzcZ7l8.net
- >>746
(x-ab)(x-ac)(x-ad)(x-bc)(x-bd)(x-cd)=0
- 753 ：１３２人目の素数さん：2015/03/20(金) 19:43:02.74 ID:GT36UrAI.net
- >>748、>>752
揚げ足取りだけは一流だな。
>>746はa、b、c、dを使わずに表せってことだろ
- 754 ：１３２人目の素数さん：2015/03/20(金) 19:45:03.23 ID:4kPH0DVg.net
- ┌─────────────
｜シラネーヨ
└─v────────────
∧ ∧
( ´ー｀)∧ ∧
＼ < (´ー｀) ﾁﾗﾈｰﾖ /|
＼.⊂ヽ ＼/|_＿__／/
＼ ⊂ _,ノ ／
∪∪￣∪∪
- 755 ：１３２人目の素数さん：2015/03/21(土) 01:34:54.56 ID:9ngVyk5j.net
- >>746
x^6+x^4+x^3-x^2-1=0
ですかね
- 756 ：１３２人目の素数さん：2015/03/21(土) 01:44:43.42 ID:/GyhVn2u.net
- >>755
どうやったん？
- 757 ：１３２人目の素数さん：2015/03/21(土) 02:04:25.36 ID:9ngVyk5j.net
- ４次方程式と６次方程式の解と係数の関係
- 758 ：１３２人目の素数さん：2015/03/21(土) 02:26:45.29 ID:/GyhVn2u.net
- 計算しんどくない？
- 759 ：１３２人目の素数さん：2015/03/21(土) 13:59:48.72 ID:vzbJx1C7.net
- 簡単にする方法なさそうだなー
- 760 ：１３２人目の素数さん：2015/03/21(土) 15:31:31.03 ID:mH++Bi5J.net
- 問題の6個に a2乗,b2乗,c2乗,d2乗 を加えた
解を持つ10次方程式を経由したら？
- 761 ：１３２人目の素数さん：2015/03/21(土) 17:27:58.58 ID:vzbJx1C7.net
- どうなるの？
- 762 ：１３２人目の素数さん：2015/03/21(土) 18:03:31.86 ID:vzbJx1C7.net
- >>756
(x－ab)(x－ac)(x－ad)(x－bc)(x－bd)(x－cd)
＝x^6－(ab＋ac＋ad＋bc＋bd＋cd)(x^5＋(abcd)^2 x)
＋((a＋b＋c＋d)(abc＋abd＋acd＋bcd)－abcd)(x^4＋abcd x^2)
－((abc＋abd＋acd＋bcd)^2＋((a＋b＋c＋d)^2－2(ab＋ac＋ad＋bc＋bd＋cd))abcd)x^3
＋(abcd)^3
- 763 ：１３２人目の素数さん：2015/03/21(土) 20:23:19.46 ID:ba+CbCKG.net
- １６次式経由のやつだけど
計算をあんまりやらないようにしようとしたけど、余計にめんどうだったかな？
f(x) = (x-a)(x-b)(x-c)(x-d) = x^4+x^3-1 とおくと、
a+b+c+d = abcd = -1, ab+ac+ad+bc+bd+cd = abc+abd+acd+bcd = 0,
(x-aa)(x-bb)(x-cc)(x-dd) = f(√x)f(-√x) = (x^2 + x√x - 1)(x^2 - x√x - 1) = x^4 - x^3 - 2x^2 + 1,
(x-aa)(x-ab)(x-ac)(x-ad) = a^4 f(x/a) = x^4 + ax^3 - a^4.
g(x) = (x-ab)(x-ac)(x-ad)(x-bc)(x-bd)(x-cd) = x^6 + px^5 + qx^4 + rx^3 + sx^2 + tx - 1 とおくと、
（定数項は (-1)^6 ab ac ad bc bd cd = (abcd)^3 = -1）
g(x)^2 (x^4 - x^3 - 2x^2 + 1) = Π[s,t∈{a,b,c,d}](x-st) = (x^4 + ax^3 - a^4)…(x^4 + dx^3 - d^4).
左辺のxの15, 14, 13, 2, 1乗の係数は、それぞれ 2p-1, p^2+2q-2p-2, 2pq+2r-p^2-2q-4p, t^2-2s-2, 2t,
右辺のxの15, 14, 13, 2, 1乗の係数は、それぞれ -1, 0, 0, 0, 0 であるから、 p=0, q=1, r=1, s=-1, t=0.
よって、求める方程式 g(x) = 0 は、 x^6 + x^4 + x^3 - x^2 - 1 = 0.
- 764 ：１３２人目の素数さん：2015/03/21(土) 20:41:35.81 ID:/GyhVn2u.net
- >>762
その変形を楽に見抜く方法ってあるん？
- 765 ：１３２人目の素数さん：2015/03/22(日) 00:04:50.27 ID:281gzaF2.net
- a>b>0のとき、∫[0、2π] log(a + b cos t)dt を計算せよ。
https://www.toshin.com/sp/concours/mondai/mondai_23.php
模範解答見たけど、こういう解法しかないの？
- 766 ：１３２人目の素数さん：2015/03/22(日) 01:56:34.78 ID:zrXoqD+e.net
- >>746
対称性を崩して ab,ac,ad と bc,cd,db で分けてみた。
やっぱ邪道かな・・・
x^4 + x^3 - 1 = (x-a) (x^3 + (a+1) x^2 + a(a+1)x + a^2(a+1))
右辺の２つめの因子を g(x) とおく。
g(x) = (x-b)(x-c)(x-d)
b+c+d = -(a+1)
bc+cd+db = a(a+1)
bcd = -a^2(a+1)
また、a^4 + a^3 - 1 = 0 より a^3(a+1) = 1
これらを用いて計算すると、
(x-ab)(x-ac)(x-ad) = a^3 g(x/a) = x^3 + a(a+1)x^2 + x + a^2
(x-bc)(x-cd)(x-db) = x^3 - (bc+cd+db)x^2 + bcd(b+c+d)x - (bcd)^2 = x^3 - a(a+1)x^2 + (a^2(a+1)^2)x - a(a+1)
(x-ab)(x-ac)(x-ad)(x-bc)(x-cd)(x-db)
= (x^3 + a(a+1)x^2 + x + a^2) (x^3 - a(a+1)x^2 + (a^2(a+1)^2)x - a(a+1))
= x^6 + x^4 + (-a(a+1)+(a+1)^2-a(a+1)+a^2)x^3 - x^2 - 1
= x^6 + x^4 + x^3 - x^2 -1
- 767 ：１３２人目の素数さん：2015/03/22(日) 02:21:45.31 ID:6+nWisbd.net
- >>765
f(p)=∫[0,π]log(1 + p cos x)dx , ただし0≦p≦1 とpの関数とみて、fをpで微分すると
f'(p)=∫[0,π]cos x dx/(1+p cosx)=(1/p)∫[0,π](1 - 1/(1+p cosx))dx
=(1/p)[x-{2/√(1-p^2)} arctan {√{(1-p)/(1+p)} tan(x/2)}]|_x=0~π
=π/p - π/{p√(1-p^2)}
pで積分し、p(0)=0を使って積分定数を定めると
f(p)=πlog{{1+√(1-p^2)}/2} 残りの整形はご自由に
- 768 ：１３２人目の素数さん：2015/03/22(日) 12:44:37.54 ID:281gzaF2.net
- >>765
模範解答の下から４行目から次の行への計算について説明お願いします。
lim (1/n) log(α^n - (-β)^n) = log α
もうひとつ、α^n＋(-β)^n は α^n-(-β)^n のミスですよね？
- 769 ：１３２人目の素数さん：2015/03/23(月) 12:56:30.55 ID:p5MCw5RS.net
- >>768
誤植大杉…
cos(s+t)+isin(s+t)のカッコが抜けてるし、
指摘の通りα^n＋(-β)^n は α^n-(-β)^nだし、
「正の実数だから」の後で同じ計算を繰り返す意味がわからないし、
「区分求積法より」の後の計算の2行目で2πk/nとすべきところが2πknになってるし。
ちなみに
(1/n) log(α^n - (-β)^n) = (1/n) log(α^n (1-(-β/α)^n))
= log(α (1-(-β/α)^n)^(1/n)) → logα （n→∞）
- 770 ：１３２人目の素数さん：2015/03/23(月) 13:02:22.15 ID:p5MCw5RS.net
- ＞「正の実数だから」の後で同じ計算を繰り返す意味がわからないし
大事なことなので２回言ったのにそこが間違ってるっていう
- 771 ：１３２人目の素数さん：2015/03/23(月) 13:28:15.33 ID:HdRm6+fd.net
- >>765
これってαをこう置くのが定石なの？
答えありきで解答作ってるようで嫌だな
- 772 ：１３２人目の素数さん：2015/03/23(月) 13:48:58.91 ID:EE/K0nhY.net
- >>763>>766
おぬしら出来るな…
>>764
>>762 はひたすら計算しただけだからなー
やってると何となくコツが分かってくるけど説明できん
- 773 ：１３２人目の素数さん：2015/03/23(月) 16:01:09.73 ID:jxu6JoMO.net
- >>769
> = log(α (1-(-β/α)^n)^(1/n)) → logα （n→∞）
(1-(-β/α)^n)^(1/n) → 1 を言うところは明らかなんですか？ それとも、はさみうちですか？
- 774 ：１３２人目の素数さん：2015/03/23(月) 16:29:46.04 ID:z4CvzBPe.net
- logα+(1/n)*log(1-(-β/α)^n) とすれば明らか
- 775 ：１３２人目の素数さん：2015/03/24(火) 05:34:05.75 ID:079t8NQi.net
- Lim [n → +0] x^(x^(x^x)) の値は？
- 776 ：１３２人目の素数さん：2015/03/24(火) 09:55:32.81 ID:qu2ThwLP.net
- lim[n→+0]x^x=1であることを利用して
それも1
- 777 ：１３２人目の素数さん：2015/03/24(火) 12:20:21.32 ID:079t8NQi.net
- >>751
解答が投降された
http://suseum.jp/gq/question/2342
- 778 ：１３２人目の素数さん：2015/03/24(火) 21:41:56.07 ID:079t8NQi.net
- l'Hopitalを使って、
lim[n→+0] x log x = lim[n→+0] (log x)/(1/x) = lim[n→+0] (1/x)/(-1/x^2) = lim[n→+0] (-x) = -∞
lim[n→+0] x^x = lim[n→+0] e^(x log x) = 1
lim[n→+0] x^(x^x) = lim[n→+0] e^(x^x log x) = 0
lim[n→+0] x(x^(x^x)) = lim[n→+0] e^(x^(x^x) log x) = ？
もう少し詳しく教えてください。
- 779 ：１３２人目の素数さん：2015/03/24(火) 21:51:07.44 ID:JcRQw3cR.net
- n？
- 780 ：１３２人目の素数さん：2015/03/24(火) 21:51:42.11 ID:079t8NQi.net
- 書き間違いに気づいた。 lim[n→+0] じゃなくて lim[x→+0]
- 781 ：１３２人目の素数さん：2015/03/28(土) 19:38:59.13 ID:QWWPkj1G.net
- 正三角形でない△ABCの辺AB、AC上にそれぞれ点M，Nがあり、
MB=BC=CNが成り立っている。△ABCの内心をI，外心をOとするとき、直線MNと直線IOは直交することを示せ。
- 782 ：１３２人目の素数さん：2015/03/28(土) 20:32:33.57 ID:md2el3MA.net
- AB,ACの中点を順にD,Eとすれば
OM^2-ON^2=OD^2+DM^2-OE^2-EN^2=OB^2-BD^2+DM^2-OC^2+CE^2-EN^2
=CE^2-EN^2-BD^2+DM^2=(CE+EN)(CE-EN)-(BD+DM)(BD-DM)=CN(2×CE-CN)-BM(2×BD-BM)
=BC(AC-BC)-BC(AB-BC)=BC(AC-AB)
また、IからBCに下ろした垂線の脚をFとすれば
IM^2-IN^2=IC^2-IB^2=CF^2-BF^2=BC(CF-BF)=BC{(BC+AC-AB)/2-(BC+AB-AC)/2}
=BC(AC-AB)
したがってOM^2-ON^2=IM^2-IN^2よりOI⊥MN
- 783 ：１３２人目の素数さん：2015/04/03(金) 13:51:31.88 ID:utncgUtV.net
- 1/(1 - x - x^2 -x^3 -x^4 - x^5 - x^6) を無限級数の和の形に表せ。
- 784 ：１３２人目の素数さん：2015/04/03(金) 17:58:40.95 ID:spUwRspF.net
- お断りします
- 785 ：１３２人目の素数さん：2015/04/04(土) 11:05:17.28 ID:8Zlf06VH.net
- ﾊ,,ﾊ
（ ﾟωﾟ ) お断りします
／ ＼
((⊂ ） ﾉ＼つ))
（＿⌒ヽ
ヽ ﾍ }
ε≡Ξ ﾉノ ｀J
ﾊ,,ﾊ ﾊ,,ﾊ
（ ﾟωﾟ ）ﾟωﾟ ） お断りします
／ ＼ ＼ お断りします
((⊂ ） ﾉ＼つﾉ＼つ))
（＿⌒ヽ ⌒ヽ
ヽ ﾍ } ﾍ }
ε≡Ξ ﾉノ ｀Jノ ｀J
お断りします
お断りします
お断りします
ﾊ,,ﾊ ﾊ,,ﾊ ﾊ,,ﾊ ﾊ,,ﾊ
（ ﾟωﾟ ）ﾟωﾟ ）ﾟωﾟ ）ﾟωﾟ ） お断りします
／ ＼ ＼ ＼ ＼ お断りします
((⊂ ） ﾉ＼つﾉ＼つﾉ＼つﾉ＼つ)) お断りします
（＿⌒ヽ ⌒ヽ ⌒ヽ ⌒ヽ お断りします
ヽ ﾍ } ﾍ } ﾍ } ﾍ }
ε≡Ξ ﾉノ ｀Jノ ｀J ノ ｀J ノ ｀J
- 786 ：１３２人目の素数さん：2015/04/04(土) 16:32:47.38 ID:UyAiDdms.net
- 3辺が整数で、3辺の合計がnとなる三角形はいくつあるか？
ちなみに、nが1から10、および、100近辺(98～102)での数は下記の通り
0,0,1,0,1,1,2,1,3,2,...,200,217,208,225,217,...
- 787 ：１３２人目の素数さん：2015/04/04(土) 17:51:53.17 ID:OS+l0M6R.net
- https://oeis.org/A005044
ふむ
- 788 ：１３２人目の素数さん：2015/04/04(土) 22:40:41.16 ID:O7VVhNug.net
- では、つづき
>>786の答が、 1/((1-x^2)(1-x^3)(1-x^4)) を母関数とする数列に現れる理由を述べよ。
>>786の答が、[(n^2+6)/12] - [(n+2)/4]*[n/4] で与えられることを証明せよ。
（ただし、[x]はxを超えない最大の整数を表す。）
- 789 ：１３２人目の素数さん：2015/04/04(土) 22:58:17.03 ID:oohQJNWL.net
- 二問目はあんまり面白そうじゃないけど、一問目は面白そう
- 790 ：１３２人目の素数さん：2015/04/05(日) 01:13:37.32 ID:Q5kF3thj.net
- (11^n)/(n^4+n^3+n^2+n+1) が整数となるような正の整数nを全て求めよ
- 791 ：１３２人目の素数さん：2015/04/05(日) 08:17:35.87 ID:/oMIQUac.net
- n=0
- 792 ：１３２人目の素数さん：2015/04/05(日) 12:54:41.15 ID:w4uWJ6PQ.net
- n=3以外にないことを証明できるか、って話だと思うのだが、答えは用意されてるのかな？
- 793 ：１３２人目の素数さん：2015/04/07(火) 05:37:09.79 ID:qLgpdS7q.net
- ,.__ｙ⌒'ー---┐ _へ､＿､__,.ﾍ、___
/ ＼ r´ -┼‐ ナ丶
} ( 聞 ど l .＜´ ￣￣ ｀＞ 、 ┌´ (才 tナ
f´ ) こ う ヽ / 丶 ／ , ＼ ヽ '´ /
l ( え も } .ｎ⌒l , /! ／{ ／ヽ ヽ } つ /へノ
{ ) ん l |l |ｎ / / j/ ーﾍ｛´ ｌ |｜ | { -‐ｧ -‐ｧ､､
｝ ( な { | { j｣_ / / `}ﾉ! / 〈 （,__ （,__
. ) ！ ,f ／ j /ﾍ/ l ミミ l/} } r‐､
└-､ ,/⌒ヽ人 ゝ_| | , , ミﾐ./ 廴_ ) f´
ゝ ､_,,,,,,,...-ゝ 〈ヽ二/__｣ | /`￢ , , | | {__ノ}） ﾟ
〈 `Tﾁ´‐ | |＞-｜ /＿,ノ ＼ く└----､-､ __,,.､
＼ ｰ‐――┘ヽ | ヽ、l 丶ｲ | |ト､ ヽ.厂
` ＜ ＼＼_ ＼￣l //' | ） ／
｀ ＜ _r―ｧ' ＼ /、| /／} ／∠ト､
ヽ. く ___／／＼｣'/ {丶┬―┘
ヾ￢ｰ'＾ヽ ｰ}_}ｰ ヽ 丶---― ､＿
＼ 〉 /｀`マ^{､ __ } } }⌒＼
＼ ｀Tﾉ ○卜＞'´ ＼ﾉ￣ ⌒ヽJ
/ ○ 丶 ＼
- 794 ：１３２人目の素数さん：2015/04/09(木) 01:00:59.84 ID:zJtxSOMb.net
- まだ解けないのかｗ
- 795 ：１３２人目の素数さん：2015/04/09(木) 03:19:18.00 ID:lnRigAFy.net
- >>794
,.__ｙ⌒'ー---┐ _へ､＿､__,.ﾍ、___
/ ＼ r´ -┼‐ ナ丶
} ( 聞 ど l .＜´ ￣￣ ｀＞ 、 ┌´ (才 tナ
f´ ) こ う ヽ / 丶 ／ , ＼ ヽ '´ /
l ( え も } .ｎ⌒l , /! ／{ ／ヽ ヽ } つ /へノ
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. ) ！ ,f ／ j /ﾍ/ l ミミ l/} } r‐､
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＼ ｀Tﾉ ○卜＞'´ ＼ﾉ￣ ⌒ヽJ
/ ○ 丶 ＼
- 796 ：１３２人目の素数さん：2015/04/09(木) 04:09:56.59 ID:lnRigAFy.net
- 周長一定の四角形の面積が最大となるのは、どんな四角形か？
- 797 ：１３２人目の素数さん：2015/04/09(木) 13:39:12.47 ID:Izmp8vVm.net
- でかい球面に貼った四角形の外側
- 798 ：１３２人目の素数さん：2015/04/11(土) 12:54:57.96 ID:+tjCWHi7.net
- 円周率を小数点以下無限桁表記した時の何かしらの限界や法則を挙げて証明して下さい。
例えば円周率をどんなに表記したとしても同じ数値が１兆桁並ぶことは絶対にない、とか。
どんなに科学技術が進歩しても1京桁を検出することは絶対に不可能である、とか。
- 799 ：１３２人目の素数さん：2015/04/11(土) 13:21:04.76 ID:mMf2cKf/.net
- すべての数列を含むという円周率｡｢93138｣は何桁目か
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1383139090/
- 800 ：１３２人目の素数さん：2015/04/11(土) 14:20:30.00 ID:jsKmQUrg.net
- 10進で0～9の数字全部が現れる
- 801 ：１３２人目の素数さん：2015/04/11(土) 14:44:28.28 ID:I8SR0eto.net
- ランダムな数列を無限に続けていけば、その中にあらゆる数列が現れる
これは間違いない
数列の中に93138を探す場合、
9が十個あれば、その内の一つは次の数字が3であろう
93が十個あれば、その内の一つは次の数字が1であろう・・・・・・
よって円周率がランダムかつ無限であると証明出来ればいい
- 802 ：１３２人目の素数さん：2015/04/11(土) 16:14:48.87 ID:ObjKH11z.net
- 数列がランダムであるとはどういうことですか？
- 803 ：１３２人目の素数さん：2015/04/11(土) 16:31:37.82 ID:N6l/fVa9.net
- 「正規数」でググれ
- 804 ：１３２人目の素数さん：2015/04/11(土) 22:55:37.16 ID:fx2VCN3p.net
- >>801
＞ランダムな数列を無限に続けていけば、その中にあらゆる数列が現れる
＞これは間違いない
それは間違いありなんだよなぁ……
93138を含まない、ランダムな数列を無限に続けることは可能だ。
- 805 ：１３２人目の素数さん：2015/04/12(日) 01:43:01.70 ID:81lWzDTc.net
- 条件がついてる時点でランダムではないのでは
「1～6がランダムに出るサイコロ(ただし5は出ない)」みたいな
自己矛盾してる
- 806 ：１３２人目の素数さん：2015/04/12(日) 01:46:47.61 ID:jt35tDJl.net
- それだけ「ランダム」という言葉は曖昧で、多様な定義があり得るということだよ
- 807 ：１３２人目の素数さん：2015/04/12(日) 01:58:44.28 ID:2Ah7yMen.net
- 見当外れなレスが続いてますな。
>>804が正解。
- 808 ：１３２人目の素数さん：2015/04/12(日) 02:27:00.09 ID:GwBqgrgC.net
- 前に出た数に相関があるならランダムの定義から外れる
例えば93138が出ないなら9313と8には確たる相関が存在し真のランダムではない
- 809 ：１３２人目の素数さん：2015/04/12(日) 09:12:26.92 ID:swt4Y7uQ.net
- 前に出た数に相関があるとはどういうことですか？
- 810 ：１３２人目の素数さん：2015/04/14(火) 13:40:01.21 ID:3fJdIw1N.net
- 定義を知らん奴が多いな
- 811 ：１３２人目の素数さん：2015/04/15(水) 13:04:51.38 ID:5dcIs34t.net
- 5×5のマス目の各マスを、以下の条件を満たすように白色か黒色のいずれかに塗り分けることはできるか？
条件：2×2のマス目からなる部分のうち、どの相異なる2つ(重なっていても構わない)に対しても、それらの塗り分けられた色のパターンは異なる。
- 812 ：１３２人目の素数さん：2015/04/15(水) 15:34:41.11 ID:h3Iy/EL0.net
- ２×２の塗り分けで作れるパターンは１６種類
５×５のマス目の中にある、チェックすべき２×２の小ブロックも１６カ所
つまり、生成可能な１６パターン全てを１回づつ含むようにしなければならなく、無駄は一切許されない。
白と黒については、対称性が要求されるが、用意されているのは２５マスで、同数を配置することはできない。
よって不可能
- 813 ：１３２人目の素数さん：2015/04/15(水) 15:45:53.82 ID:PYF8sig5.net
- >>811
でけた。
例）
11001
11001
00110
10011
00110
- 814 ：１３２人目の素数さん：2015/04/15(水) 16:01:57.45 ID:h3Iy/EL0.net
- そっか、角、辺、内部で、重みが違うから、内部での個数の違いを、辺で回復可能なんだ
- 815 ：１３２人目の素数さん：2015/04/15(水) 16:50:26.90 ID:PYF8sig5.net
- ついでにプログラムで全数検索してみた
正解は800通り。
対称性はなさそうだから、
回転や裏返しを同一視すると
ちょうど100通り。
- 816 ：１３２人目の素数さん：2015/04/15(水) 16:52:19.82 ID:nFwX0VZA.net
- ざっとプログラムで書き出してみたら800通りだった……って言いにきたけど被ったか。一致したから正しいんだろう
http://www.dotup.org/uploda/www.dotup.org266478.txt.html
- 817 ：１３２人目の素数さん：2015/04/15(水) 17:55:30.00 ID:pTJpgUpM.net
- ４×４のトーラスでもできるのかな？
- 818 ：１３２人目の素数さん：2015/04/15(水) 18:26:07.41 ID:a2ce/Zbt.net
- □□□■
□□■□
■□■■
□■■■
参考
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□□■□□
■□■■■
□■■■□
□□□■□
- 819 ：１３２人目の素数さん：2015/04/15(水) 22:40:30.91 ID:nFwX0VZA.net
- □■□□
□■■■
■■■□
□□■□
平行移動するとこうなって美しいな
- 820 ：１３２人目の素数さん：2015/04/17(金) 06:48:38.60 ID:SjXFQsSJ.net
- 以下の条件(i),(ii),(iii)を全て満たすような整数の組(a,b,c,d)は存在するか.
(i) 1≦a<b<c<d≦90
(ii) a,b,c,dはいずれも30でない
(iii) sin a°sin d°=sin b°sin c°
- 821 ：１３２人目の素数さん：2015/04/17(金) 09:07:39.26 ID:IWpT5Gby.net
- 例：(18,24,48,78)
- 822 ：１３２人目の素数さん：2015/04/17(金) 09:17:00.54 ID:IWpT5Gby.net
- a+b+c+d<180となる例を探す。
a+b+c+d+2e=180とすると、
sin a°・sin d°=sin b°・sin c°なら当然
sin a°・sin d°・sin e°=sin b°・sin c°・sin e°
が成り立つので、
△ABCの内部に点Dがあって
∠ABD=∠DBC=e、∠BCD=a、∠DCA=b、∠CAD=d、∠DAB=c
となる整角三角形が存在する。
で、某書籍でそんな整角三角形を探してみた結果。
- 823 ：１３２人目の素数さん：2015/04/17(金) 10:25:45.55 ID:IWpT5Gby.net
- (6,12,24,54)
(9,12,48,81)
(12,18,42,84)
(15,18,54,75)
(18,24,48,78)
- 824 ：１３２人目の素数さん：2015/04/17(金) 11:35:54.50 ID:IWpT5Gby.net
- a+b+c+d>180なら
(24,27,63,84)
(48,54,66,84)
もあるな
- 825 ：１３２人目の素数さん：2015/04/17(金) 12:43:59.66 ID:ewACgWf5.net
- 4人以上の人が円形に並んでいる。
各人はグー、チョキ、パーのいずれかの手を出しており、連続して並ぶ3人組全てについて、その3人でジャンケンをしたと考える。
このとき、3人のうち1人だけ勝っている組の個数と、1人だけ負けている組の個数は、3で割った余りが等しいことを示せ。
- 826 ：１３２人目の素数さん：2015/04/17(金) 22:52:58.16 ID:GO4SxuzC.net
- >>825
ゴリ押しの証明なら。
f：{ 0, 1, 2 }^3 → Z^3 を以下のように定義する。
まず、グーを0, チョキを1, パーを2で表現する。
a,b,c∈{ 0, 1, 2 } に対して、
f(a,b,c)＝
(abcがあいこのとき) (1,0,0),
(abcが1人だけ勝ちのとき) (0,1,0),
(abcが1人だけ負けのとき) (0,0,1)
と定義する。次に、n≧4として、a_1,…,a_n∈{ 0, 1, 2 }が任意に与えられたとき、
S({a_i}_{i=1}^n)＝
f(a_1,a_2,a_3)＋f(a_2,a_3,a_4)＋…＋f(a_{n-2},a_{n-1},a_n)＋f(a_{n-1},a_n,a_1)＋f(a_n,a_1,a_2)
としてS({a_i}_{i=1}^n)を定義する。
S({a_i}_{i=1}^n)の2番目・3番目の成分がmod 3で等しいことを言えばよい。
n≧4に関する数学的帰納法で示す。
- 827 ：１３２人目の素数さん：2015/04/17(金) 22:56:51.73 ID:GO4SxuzC.net
- n＝4のときは、(a_1,a_2,a_3,a_4)の全てのパターン(3^4通り)で確かめればよいので省略する。
n＝kのとき成り立つとして、n＝k＋1のときは、まずS({a_i}_{i=1}^k)＝(x, y, z)と置けば、
帰納法の仮定からy≡z (mod 3)である。また、簡単な計算により、
S({a_i}_{i=1}^{k＋1})＝
S({a_i}_{i=1}^k)－f(a_{k－1},a_k,a_1)－f(a_k,a_1,a_2)＋f(a_{k－1},a_k,a_{k＋1})＋f(a_k,a_{k＋1},a_1)＋f(a_{k＋1},a_1,a_2)
となることが分かる。
－f(a_{k－1},a_k,a_1)－f(a_k,a_1,a_2)＋f(a_{k－1},a_k,a_{k＋1})＋f(a_k,a_{k＋1},a_1)＋f(a_{k＋1},a_1,a_2)＝(s, t, u)
と置くとき、S({a_i}_{i=1}^{k＋1})＝(x＋s, y＋t, z＋u) となるので、y＋t≡z＋u (mod 3)が示せれば
数学的帰納法が達成される。y≡z (mod 3)だったから、t≡u (mod 3)が示せればよい。
(s, t, u) は a_{k－1}, a_k, a_{k＋1}, a_1, a_2 だけで決定されるので、3^5 通りの全てのパターンで
t≡u (mod 3)となることを確かめれば終わる。この確認作業は省略する。以上より、>>825が成り立つ。
- 828 ：１３２人目の素数さん：2015/04/17(金) 23:16:39.19 ID:DPDyr9MG.net
- 値はすべて mod ３で考える。
手の値をグー、チョキ、パーそれぞれ、１、０、－１とし、３人の手の値の和をゲーム値とよぶことにすると、
ゲーム値はアイコが０、ひとり勝ちが１、ひとり負けが－１になる。
ひとり当たり３回ジャンケンしたことになるので、全試合のゲーム値の総和は０。したがって >>825 がいえる。
- 829 ：１３２人目の素数さん：2015/04/18(土) 00:15:54.24 ID:aEqgPHQP.net
- 乗法単位元が存在しない代数系Aにおいて、a∈Aに対する a^0 は何を表しているか？
例えばZで整数を表すとき、 A=2Z なら 2^0 はAの中の何を表している何？ という問だ。
- 830 ：１３２人目の素数さん：2015/04/18(土) 00:57:23.92 ID:iCoFEU/Y.net
- 代数系ってなに？
- 831 ：１３２人目の素数さん：2015/04/18(土) 08:33:06.51 ID:aEqgPHQP.net
- 表現がアホだった。
（乗法単位元の存在を定義に含めない）環ということにしてくれ。
- 832 ：１３２人目の素数さん：2015/04/18(土) 15:17:54.67 ID:Rj0rrVNG.net
- nを3以上の整数とする.円周上にn個の石が並べられて輪を構成している.各石は白石か黒石のいずれかである.今,これらの石からなる輪から,以下の操作によって新たにn個の石からなる輪を作り出す：
操作：隣り合った2つの石からなる組全てに対して,それらが同じ色の石ならば白石を,異なる色の石ならば黒石を,円周上で2つの石の間に1個ずつ並べた後,それまで輪を構成していたn個の石を全て取り除く.
このとき,以下の条件を満たすnを全て求めよ：
:条件：最初に並べられたn個の石の色がどうであっても,上記の操作を有限回繰り返すことで,輪を構成する全ての石が白石になる.
- 833 ：１３２人目の素数さん：2015/04/18(土) 21:11:12.02 ID:2y8DecAj.net
- 基準の位置を決める。
今その石が何色であろうと、その操作を２回行って、次にその場所に置かれる石の色は、
今の両隣の石の色が同じなら白、異なるなら黒になる
従って、４操作後、つまり、次の次にその場所に置かれる石の色は、今左に２個隣の石と
右に２個隣の石が同じなら白、異なるなら黒になる。
置かれている石の数が２ｎ個なら、左にｎ個隣の石＝右にｎ個隣の石＝調度反対側の石であり、
同一の石なので、２ｎ回操作すると、必ず白になる
つまり、ｎが偶数なら、ｏｋ
- 834 ：１３２人目の素数さん：2015/04/18(土) 22:03:05.01 ID:PxtoJVc8.net
- よく考えれば、置かれている石の数が奇数個でも、
（２×置かれている石の数）操作後の基準位置の石の色は、
「左に（置かれている石の数）個隣の石」と「右に（置かれている石の数）個隣の石」
の色が同じなら白、異なるなら黒となるが、この二つは＝基準の石、つまり、同一の石なので
必ず白になりますね。つまり、条件無し（＝３以上の整数全て）
- 835 ：１３２人目の素数さん：2015/04/19(日) 02:46:50.86 ID:+TZRPpO4.net
- ３個なら○●●→●○●で無限ループになりますな。
５個だと●●○○○→○●○○●→●●○●●→○●●○○でやはり無限ループ。
自動的に、３の倍数や５の倍数は、必ず無限ループになる配置が存在することになる。
まだ詰めてないけど、条件を満たすｎは２のべき乗ではないかと予想。
- 836 ：１３２人目の素数さん：2015/04/19(日) 02:55:07.30 ID:+TZRPpO4.net
- ｎが奇数の場合について考える。
最終的に全て白石になる状態から逆算して、出発点となりうるパターンを考えると、
直前は全黒か全白。
全黒の直前は、白黒交互に配置されている状況だが、ｎが奇数だとそれはありえない。
したがって、全白に収束する初期状態は、全白と全黒のみ。
よって、ｎが奇数の場合は、全白に収束しない初期状態が必ず存在する。
- 837 ：１３２人目の素数さん：2015/04/19(日) 03:00:12.68 ID:+TZRPpO4.net
- ｎが３以上の奇数ｐを約数として持つ場合、
ｐ個からなるパターンを繰り返した配置にすれば、ｎ＝ｐの場合と同様の挙動となるので
白のみでも黒のみでもないｐ個からなるパターンを繰り返した初期配置からは全白には到達しえない。
よって、条件を満たすｎは、少なくとも２のべき乗である必要がある。
（あとは、十分性の確認）
- 838 ：１３２人目の素数さん：2015/04/19(日) 03:42:04.44 ID:+TZRPpO4.net
- 議論を簡単にするため、石の配置は、前回の配置の石を取り除いた後に
反時計回りに石の間隔の半分だけ回転するものとする。
（したがって、ある時点で時計回りに見て石Ｘの次が石Ｙだとすると、
１回操作後は、ＸとＹが同じ色ならＸの位置に白石が置かれ、
違う色ならＸの位置に黒石が置かれることになる。）
白を0、黒を1とし、kを0以上の整数とすると、
時点Ｔから2^k回操作後の位置Ｐにおける石の色は、
時点Ｔにおける、位置Ｐの石の色と、位置Ｐから時計回りに2^k個離れた位置の石の色の
排他的論理和になることを、数学的帰納法で示すことができる。
従って、n=2^k（k=2,3,…）ならば、2^k回の操作で必ず全て白石となる。
- 839 ：１３２人目の素数さん：2015/04/19(日) 04:20:02.86 ID:YQQ6oYuU.net
- (x^(-1/2)+x^(1/2))^(2n)を展開したときの係数は、x^(-n)とx^(n)の係数が1であるのを除いて、
全て偶数だと思い込んでいました。831と832は全くの間違いです。
先頭と最後以外全て偶数になるのは、2^n乗の時だけのようです。
- 840 ：１３２人目の素数さん：2015/04/19(日) 16:00:46.88 ID:YYGac0T3.net
- ２種類の円順列を考える。
ひとつは、列の長さが m、総和が n、要素が非負整数のもの。
これらの集合を Ａ(m,n)とする。
もうひとつは、列の長さが m、総和が n、要素が０と１だけのもの。
これらの集合を Ｂ(m,n)とする。
例：
Ａ(5,3)={30000, 21000, 20100, 20010, 20001, 11100, 11010}
Ａ(3,5)={500, 410, 320, 302, 311, 221}
Ｂ(8,3)={11100000, 11010000, 11001000, 11000100, 11000010, 10101000, 10100100}
Ｂ(8,5)={11111000, 11110100, 11110010, 11101100, 11101010, 11100110, 11011010}
（円順列は開いて表わした。1234, 2341, 3412などは同じ円順列。）
もう２種類、数列を考える。こちらは円順列ではない。
ひとつは、列の長さが m、総和が nの倍数、n-1≧a[1]≧a[2]≧…≧a[m]≧0 をみたすもの。
これらの集合を Ｓ(m,n)とする。
もうひとつは、列の長さが m、総和が nの倍数、n-1≧a[1]＞a[2]＞…＞a[m]≧0 をみたすもの。
これらの集合を Ｔ(m,n)とする。
例：
Ｓ(5,3)={22221, 22200, 22110, 21111, 21000, 11100, 00000}
Ｓ(3,5)={442, 433, 410, 320, 311, 221, 000}
Ｔ(3,8)={763, 754, 710, 620, 530, 521, 431}
Ｔ(5,8)={76542, 76210, 75310, 74320, 65410, 65320, 64321}
次を示してください。
＃Ａ(m,n) ＝ ＃Ａ(n,m) ＝ ＃Ｂ(m+n,n) ＝ ＃Ｂ(m+n,m) ＝ ＃Ｓ(m,n) ＝ ＃Ｓ(n,m) ＝ ＃Ｔ(n,m+n) ＝ ＃Ｔ(m,m+n)
ここで、＃ＸはＸの要素の個数を表わす。
できればＡ(またはＢ)とＳ(またはＴ)の間の全単射による組合せ論的証明を見つけてほしいです。俺が知らないので。
- 841 ：１３２人目の素数さん：2015/04/20(月) 16:30:15.01 ID:OClVmyMl.net
- 平面上の無限個の点からなる集合Sは、以下の条件を満たす。
条件：Sに含まれる任意の2点間の距離は整数
このとき、Sの全ての点は同一直線上にあることを示せ。
- 842 ：１３２人目の素数さん：2015/04/20(月) 20:26:57.57 ID:29zkaLXd.net
- もう締め切りを過ぎたんで貼る
https://www.toshin.com/sp/concours/
この手の問題のお決まりの解決方法があったら教えてクリリン！
- 843 ：１３２人目の素数さん：2015/04/21(火) 14:07:11.97 ID:UggWszef.net
- >>840
横の長さm，縦の長さnの碁盤目状の道の左上端から右下端への最短ルートを考え，
さらにそのルートを無限個，終点と始点を連結してつなげたものを考える。
その無限経路の種類数を，平行移動して一致するものは同一視してカウントしたものが
＃Ａ(m,n) ＝ ＃Ａ(n,m) ＝ ＃Ｂ(m+n,n) ＝ ＃Ｂ(m+n,m) ＝ ＃Ｓ(m,n) ＝ ＃Ｓ(n,m) ＝ ＃Ｔ(n,m+n) ＝ ＃Ｔ(m,m+n)
に相当する。
例えば，(m,n)=(5,3)のとき，（→→↓→↓↓↓↓）の繰り返しという経路を考えたとき
・(→,↓)を(1,0)または(0,1)と対応付けたものがB(m+n,n)，B(m+n,m)の要素
・↓の後に→が何個並ぶかをリストアップした(10002)という円順列がA(m,n)の要素
・→の後に↓が何個並ぶかをリストアップした(014)という円順列がA(n,m)の要素
・経路上のある→の直後からk番目に出現する↓までの間に出現する→の個数をk=1～mについて調べ
それを逆順に並べると(22221)(11110)(20000)のn個の数列が得られるが，
このうち合計がnの倍数となるのは(22221)のみで，これがS(m,n)の要素
・経路上のある↓の直後からk番目に出現する→までの間に出現する↓の個数をk=1～nについて調べ
それを逆順に並べると(440)(433)(322)(211)(100)のm個の数列が得られるが，
このうち合計がmの倍数となるのは(433)のみで，これがS(n,m)の要素
・経路上のある地点から，各→までの距離を逆順に並べると
(310)(720)(761)(650)(754)(643)(532)(421)のm+n個の数列が得られるが，
このうち合計がm+nの倍数となるのは(754)のみで，これがT(n,m+n)の要素
・経路上のある地点から，各↓までの距離を逆順に並べると
(24567)(13456)(02345)(12347)(01236)(01257)(01467)(03567)のm+n個の数列が得られるが，
このうち合計がm+nの倍数となるのは(754)のみで，これがT(n,m+n)の要素
- 844 ：１３２人目の素数さん：2015/04/21(火) 14:11:22.25 ID:UggWszef.net
- >>843
最後の３行修正
・経路上のある地点から，各↓までの距離を逆順に並べると
(76542)(65431)(54320)(74321)(63210)(75210)(76410)(76530)のm+n個の数列が得られるが，
このうち合計がm+nの倍数となるのは(76542)のみで，これがT(m,m+n)の要素
- 845 ：１３２人目の素数さん：2015/04/21(火) 15:01:21.40 ID:UggWszef.net
- >>840
ところで、SとTに関して、mとnは互いに素という制約はついてませんでしたか？
- 846 ：１３２人目の素数さん：2015/04/21(火) 16:05:46.81 ID:HCzWEoa0.net
- >>840,843
すみません。昔のメールをそのまま持ってきたもので、その後訂正したのを忘れてました。
次のように Ｔ(m,n)を変更してください。そうすれば、m,nが互いに素でなくても大丈夫だと思います。
>>843でのＳやＴの対応は、条件を満たすものが存在して、しかも一意的である必要がありますが、
それはどう示すのでしょうか？
×
もうひとつは、列の長さが m、総和が nの倍数、n-1≧a[1]＞a[2]＞…＞a[m]≧0 をみたすもの。
これらの集合を Ｔ(m,n)とする。
○
もうひとつは、列の長さが m、総和を nで割ったときの余りが、mが奇数のときは 0、mが偶数のときは m/2 、
n-1≧a[1]＞a[2]＞…＞a[m]≧0 をみたすもの。これらの集合を Ｔ(m,n)とする。
あと
×Ａ(3,5)={500, 410, 320, 302, 311, 221}
○Ａ(3,5)={500, 410, 401, 320, 302, 311, 221}
- 847 ：１３２人目の素数さん：2015/04/21(火) 22:28:35.01 ID:UggWszef.net
- >>846 （日付が変わる前に）
＞>>843でのＳやＴの対応は、条件を満たすものが存在して、しかも一意的である必要がありますが、
＞それはどう示すのでしょうか？
それを示すために「互いに素」の条件が必要だという話をしているのですが。
そんなに難しい話ではないので、ご自分でお考え下さい。
それと、T(m,n)の定義の変更は、あまり意味がない気がします。
どちらにせよ互いに素でないとダメという状況になんら変わりはありません。
- 848 ：１３２人目の素数さん：2015/04/22(水) 02:40:23.26 ID:3m567tgt.net
- >>831
乗法単位元の存在しない環は乗法単位元付きの環に埋め込める
http://ja.wikipedia.org/wiki/%e6%93%ac%e7%92%b0
- 849 ：１３２人目の素数さん：2015/04/22(水) 07:45:14.78 ID:rwqRr9Hn.net
- さしあたってそういうのはどうでもいいんだ。
- 850 ：１３２人目の素数さん：2015/04/22(水) 09:14:01.65 ID:YyVmQC12.net
- どうでもよくはないだろう。
単位元を添加した拡大環上で累乗を定義するとき、
慣例どおりにやると０乗の値は１とするから、
部分環では０乗が閉じていないことになる。
- 851 ：１３２人目の素数さん：2015/04/22(水) 09:25:51.71 ID:NCPVJCXm.net
- で？
- 852 ：１３２人目の素数さん：2015/04/22(水) 09:48:58.86 ID:YyVmQC12.net
- 何でも好きに定義したらよいが、
単位元を持たない環では
指数法則を満たす０乗は定義できない。
そんだけのこと。
- 853 ：１３２人目の素数さん：2015/04/22(水) 16:14:59.43 ID:pi/Si0Dq.net
- >>847
m,nが互いに素でないときは、>>843の対応がうまくいかないだけで、
＃Ａ(m,n) ＝ ＃Ｂ(m+n,n) ＝ ＃Ｓ(m,n) ＝ ＃Ｔ(n,m+n) などは常に成り立ちます。
すべての場合に成り立つ一対一対応を見つけてほしいのです。
- 854 ：１３２人目の素数さん：2015/04/22(水) 16:46:33.06 ID:ZZFcCH0d.net
- >>853
そうなんですね
じゃあ当方ではわかりません
こちらの思いついた方法はmとnが互いに素の場合にのみうまくいくというだけですから。
それが分かっていたのなら
＞>>843でのＳやＴの対応は、条件を満たすものが存在して、しかも一意的である必要がありますが、
＞それはどう示すのでしょうか？
という聞き方はミスリードだとは思いますが…
- 855 ：１３２人目の素数さん：2015/04/22(水) 18:15:51.27 ID:ZZFcCH0d.net
- B(m,n)から得られる全ての順列（円順列でない）の集合をP(m,n)
P(m,n)のうち右端が1のものの集合をQ(m,n)とするとき
Q(m+n,n)の１つの要素について、その中の0を右側から順にたどり、それより左に1が何個あるかを並べたもの の集合をX(m,n)
P(m+n,n)の１つの要素について、その中の1を右側から順にたどり、それらの順列内の場所を左端を0として表したもの の集合をY(n,m+n)
とすると、
N = #B(m+n,n) として
#X(m,n) = #Q(m+n,n) = nN
#X(n,m) = #Q(m+n,m) = mN
#Y(n,m+n) = #Y(m,n+m) = #P(m+n,n) = #P(m+n,m) = (m+n)N
となります。
で、
集合Q(m+n,n)を「円順列として同じ」という同値類に分割したときの代表元の集合がB(m+n,n)となっており、Q(m+n,n)とX(m,n)が１対１対応しているのですが、
集合X(m,n)を「別の切り口」でn個ずつの同値類に分割したときの代表元の集合がS(m,n)となるような「切り口」を探す
という方向性の方が有意義なのではないかと。
つまり、X(m,n)とB(m+n,n)の間と、X(m,n)とS(m,n)の間には、それぞれn対1の対応関係があるが、
B(m+n,n)とS(m,n)の間に意味のある１対１対応はないのではないかということです。
同様に、Y(n,m+n)とB(m+n,n)、Y(n,m+n)とT(n,m+n)の間にも、それぞれ異なる
m+n対1の対応関係があるのではないでしょうか。
（mとnが互いに素の場合は、たまたま同じ切り口でも成立しただけ、ということで。）
- 856 ：１３２人目の素数さん：2015/04/22(水) 18:28:09.14 ID:ZZFcCH0d.net
- 言うまでもないと思いますが
ここで定義したX(m,n)は、S(m,n)の定義から総和の条件を除いたもの、
Y(m,n)はT(m,n)の定義から総和の条件を除いたものと一致します。
- 857 ：１３２人目の素数さん：2015/04/22(水) 23:12:08.67 ID:ZZFcCH0d.net
- あ、全然違うな…すみません >>855と>>856はキャンセル。
＞#X(m,n) = #Q(m+n,n) = nN
＞#X(n,m) = #Q(m+n,m) = mN
＞#Y(n,m+n) = #Y(m,n+m) = #P(m+n,n) = #P(m+n,m) = (m+n)N
とか言ってる時点で、暗黙のうちに「mとnは互いに素」を使ってた。
- 858 ：１３２人目の素数さん：2015/04/24(金) 16:11:21.13 ID:Zj1CkDBa.net
- 以下の条件(1)(2)をともに満たすような正の整数からなる数列{a_n}が存在することを示せ。
(1)任意の正の整数nに対して、Σ_{k=1}^{n} {a_k}^3は平方数
(2){a_n}の階差数列は全ての項が相異なる平方数
- 859 ：１３２人目の素数さん：2015/04/24(金) 23:22:40.02 ID:GW+jCLBg.net
- a_n=F[1]^2+F[2]^2+F[3]^2+...+F[n]^2=F[n]*F[n+1]; F[1]=1,F[2]=1,F[n]=F[n-1]+F[n-2]
- 860 ：１３２人目の素数さん：2015/04/24(金) 23:45:20.84 ID:oCBbq7+G.net
- へー（´・ω・｀）
- 861 ：１３２人目の素数さん：2015/04/25(土) 04:22:50.58 ID:zOxI0rTh.net
- F[n+2]^2-F[n-1]^2
=(F[n+2]+F[n-1])*(F[n+2]-F[n-1])
=(F[n+1]+F[n]+F[n-1])*(F[n+1]+F[n]-F[n-1])=(2F[n+1])*(2F[n])=4*F[n+1]*F[n]
両辺に、(F[n+1]*F[n])^2を掛けると
(F[n+2]*F[n+1]*F[n])^2-(F[n+1]*F[n]*F[n-1])^2=4*F[n+1]^3*F[n]^3
F[0]=F[2]-F[1]=0に注意して、和を考えると、
Σ[k=1,n]F[k]*F[k+1]={F[n+2]*F[n+1]*F[n]/2}^2
- 862 ：１３２人目の素数さん：2015/04/25(土) 04:25:01.99 ID:0fursNQo.net
- ×：Σ[k=1,n]F[k]*F[k+1]={F[n+2]*F[n+1]*F[n]/2}^2
○：Σ[k=1,n](F[k]*F[k+1])^3={F[n+2]*F[n+1]*F[n]/2}^2
- 863 ：１３２人目の素数さん：2015/04/26(日) 04:43:52.03 ID:Csln/AA5.net
- 10進法で各桁に同じ数字が2度以上現れない自然数を「プレミア数」と
呼ぶことにする. 例えば, 2015はプレミア数である.
A,B(A<B)はともに4桁のプレミア数であり, Aより大きくかつBより小さいプレミア数は存在しないという. このとき, B-Aの値が最大となるようなA,Bを全て求めよ.
- 864 ：１３２人目の素数さん：2015/04/26(日) 14:55:33.35 ID:boKeo1S0.net
- (A,B)=(1098, 1203) (8796, 8901)
>>842はまだ締切すぎてないよね
- 865 ：１３２人目の素数さん：2015/04/26(日) 15:21:20.30 ID:T3D4IB1d.net
- >>864
何か問題が差し替わってる。関数方程式だったのに…
- 866 ：１３２人目の素数さん：2015/04/26(日) 15:43:35.88 ID:boKeo1S0.net
- >>865
ちなみにどんな感じの問題だったの？
- 867 ：１３２人目の素数さん：2015/04/26(日) 15:53:57.45 ID:T3D4IB1d.net
- >>866
週明けに捨てるゴミ袋を漁って、計算用紙を発掘！
f : N → N
∀x、∀y ∈N、f(x + f(x)・f(y)) = (1+y)・f(y)
- 868 ：１３２人目の素数さん：2015/04/26(日) 15:59:38.01 ID:zBcOm79P.net
- Nって正の整数？
- 869 ：１３２人目の素数さん：2015/04/26(日) 16:01:49.11 ID:T3D4IB1d.net
- すまん、Ｎは自然数全体の集合
- 870 ：１３２人目の素数さん：2015/04/29(水) 12:50:50.68 ID:+SnV9o4i.net
- だーかーらー自然数に0が入ってるんか？
- 871 ：１３２人目の素数さん：2015/04/29(水) 12:57:56.97 ID:KdQ2RsbE.net
- 入らないよん、ちゃん！
- 872 ：１３２人目の素数さん：2015/04/29(水) 13:57:04.19 ID:oVt7pGEk.net
- >>867
問題おかしい気がする
- 873 ：１３２人目の素数さん：2015/04/29(水) 16:32:39.48 ID:XzFULP7H.net
- n≧2に対し、
f(n)=Π[k,1,(n-1)/2]{3+2cos(2kπ/n)}
で定義される f(n)は
f(n+2) = f(n+1) + f(n)
を満たすことを示せ
(kの上限 (n-1)/2 が半整数の時は、小数部分を切り捨てる)
- 874 ：１３２人目の素数さん：2015/04/29(水) 16:35:27.43 ID:Ec9SWfhx.net
- nが整数とかいう後出しは当然なしだよな
- 875 ：１３２人目の素数さん：2015/04/29(水) 16:57:16.76 ID:3AMk9r5K.net
- 申し訳ないけど、盲目的な厳密教徒は有害なので黙ってて
- 876 ：１３２人目の素数さん：2015/04/29(水) 20:49:17.97 ID:JMSWHRVp.net
- 正の整数nについて√nを連分数で表したとき周期が3となるのはどういうときか。
ただしここでいう連分数とはa+1/(b+1/(c+...))の形のものでa,b,c,...は正の整数とする。
- 877 ：１３２人目の素数さん：2015/05/02(土) 00:34:09.35 ID:hHOqtvQG.net
- >>876の類題
素数pについて√pの連分数展開の周期が4となるときp+2は平方数となることを示せ。
- 878 ：１３２人目の素数さん：2015/05/05(火) 09:22:39.17 ID:i2P9wMwe.net
- 結局>>841って誰も解けないの？
- 879 ：１３２人目の素数さん：2015/05/06(水) 00:34:58.14 ID:y6+sjrNo.net
- >>841
辺の長さが3,4,5の直角三角形の頂点上に
無限個の点がそれぞれ分布していれば、
題意の条件を満たすが一直線上にない。
- 880 ：１３２人目の素数さん：2015/05/06(水) 00:39:12.17 ID:W/Ktf+F1.net
- >>879
一つの頂点には一つの点しか乗れないのですがそれは
- 881 ：１３２人目の素数さん：2015/05/06(水) 00:45:39.39 ID:+MaE56nX.net
- 後出しご苦労。
- 882 ：１３２人目の素数さん：2015/05/06(水) 00:50:06.55 ID:Th7k4UK7.net
- 後出しも何も、「無限個の点からなる集合」という表現を見てどうして>>879の設定が出てくるんだ
- 883 ：１３２人目の素数さん：2015/05/06(水) 00:56:53.10 ID:+MaE56nX.net
- 識別を明確にしてないから、だね。残念。
- 884 ：１３２人目の素数さん：2015/05/06(水) 00:57:58.41 ID:Th7k4UK7.net
- は？
いや、何言ってんの
- 885 ：１３２人目の素数さん：2015/05/06(水) 00:59:45.46 ID:Th7k4UK7.net
- >>879自身は冗談で言ってるとは思うんだが、この遊びに便乗した>>881はガチっぽいんだよな…
- 886 ：１３２人目の素数さん：2015/05/06(水) 01:01:26.81 ID:+MaE56nX.net
- 「P,Qを相異なる2点とする」という表現はよく目にするのではないかい？
- 887 ：１３２人目の素数さん：2015/05/06(水) 01:04:30.49 ID:+MaE56nX.net
- >>885
ガチも何も、>>841の表現の迂闊さを突いたのが>>879。
冗談でもなんでもない。
- 888 ：１３２人目の素数さん：2015/05/06(水) 01:04:42.53 ID:Th7k4UK7.net
- 本当に「ガチ」だったか
あのな、同じものに異なる名前を付けることが可能だから「P,Qを相異なる2点とする」という表現が必要になるんだよ
でも「無限個の点からなる集合」という表現に名前なんて出てこないからね
これ、単に「無限集合」の言い換えだよ？分かってた？
- 889 ：１３２人目の素数さん：2015/05/06(水) 01:05:39.29 ID:+MaE56nX.net
- 後出しご苦労。
- 890 ：１３２人目の素数さん：2015/05/06(水) 01:06:31.66 ID:Th7k4UK7.net
- >>889
何が後出しなのかはっきりと言ってみ？ｗ
- 891 ：１３２人目の素数さん：2015/05/06(水) 01:07:46.31 ID:+MaE56nX.net
- 惨めな抵抗、お疲れ！
- 892 ：１３２人目の素数さん：2015/05/06(水) 01:09:29.74 ID:+MaE56nX.net
- >>890
そうそう、それで>>841に対するお前の解釈での解はどこ？
- 893 ：１３２人目の素数さん：2015/05/06(水) 01:22:27.68 ID:+MaE56nX.net
- 誤解のない表現の一例としては
座標面上の無限個の相異なる点からなる集合に属する任意の2点間の距離が整数であるという。
この集合に属する全ての点はある一直線上にあることを示せ。
かな。
あ、オレにはこの解は思いついてない。
これ真かどうかも知らないが
>>879が真っ当な回答の一つであることはよ～く分るよ。
お前も、そうは思うだろ。
- 894 ：１３２人目の素数さん：2015/05/06(水) 01:25:04.22 ID:w4qdyJpP.net
- >>841はSの任意の相異なる3点が同一直線上にあることを示せばいいんだよね
うーん
- 895 ：１３２人目の素数さん：2015/05/06(水) 13:01:25.87 ID:YAoHrVAA.net
- >>893
全然思わん
>>841 の表現に問題は無い
- 896 ：１３２人目の素数さん：2015/05/06(水) 13:15:30.42 ID:T1/5hPxK.net
- 対偶命題を考えれば、簡単に証明できるんじゃないのか？
- 897 ：１３２人目の素数さん：2015/05/06(水) 15:54:06.31 ID:Zlq98Q5A.net
- >>841
異なる2つの双曲線の共有点が高々4個であることを示せばいい
- 898 ：１３２人目の素数さん：2015/05/06(水) 18:53:00.95 ID:7amcWDQv.net
- 結論通りじゃないなら、Sはとある格子上（したがってdiscrete）
まで考えたところで酒の時間だ
- 899 ：１３２人目の素数さん：2015/05/07(木) 04:29:49.85 ID:zpDErsxr.net
- 今気付いたのだけど、 >>841 の問題って、無限の理解が曖昧だと
うっかり間違った対偶をとって偽だと言ってしまいそうで怖いな。
次の命題が偽であることはわりと簡単に証明できるのだけど。
「座標平面上のn個の点からなるある集合Sが、
Sに属する任意の２点間の距離が整数であり、
なおかつSに属するすべての点を通る直線は存在しないという条件を満たすとき、
nの値には上界が存在する」
- 900 ：１３２人目の素数さん：2015/05/07(木) 04:42:18.54 ID:zpDErsxr.net
- 要するに、有限個の集合の個数に上限はないけど、
無限個の集合は存在しなさそうってことのようなので、
「＊個以上であれば必ず同一直線上」というアプローチにはno chanceって話。
- 901 ：１３２人目の素数さん：2015/05/07(木) 04:57:27.51 ID:zpDErsxr.net
- 任意の個数の「全ての点を通る直線は存在しないが、
全ての距離が整数」である集合の作り方の例：
nを3以上の自然数とする。
a(k)=2k，b(k)=k^2-1という2つの整数列を考え、
a(1)～a(n-1)の最小公倍数をLとし、n個の点P_0～P_{n-1}を
P_0(0,L)
P_k(b(k)L/a(k),0) （k=1,…,n-1）
とすれば、P_1～P_{n-1}は全てx軸上にあるが、点P_0だけはx軸上になく、
なおかつ、任意の２点間の距離は整数。
（ピタゴラス数が無限に存在することを利用。最小公倍数を使っている時点で
この方法で無限個の集合は構築できない。）
- 902 ：１３２人目の素数さん：2015/05/07(木) 05:48:28.06 ID:7SgTC73q.net
- a^2+b^2=c^2、a<b<c、a,b,cは整数とすると、1≦c-b=a^2/(b+c)<a^2/(2b)
つまり、b < a^2/2
三点、(0,a),(0,0),(b,0)を取って、これがピタゴラス三角形になるためには、
b < a^2/2 という条件があるため、無限にはとれない。
直線外に点を求めると、（直線との距離に依存する）上限が現れる
- 903 ：１３２人目の素数さん：2015/05/07(木) 06:27:59.45 ID:zpDErsxr.net
- >>902
つまりそれは「全ての点の距離が整数である無限個の点の集合Sの要素のうち、
１つの直線上に無限個の点が存在して、なおかつその直線以外にも
点が存在する」ことがありえないということだと思いますが．
それだけでは、「無限個の点を含む直線は存在しないが、点自体は無限に存在する」
ような例が存在しないことの証明にはまだなっていないですよね。
- 904 ：１３２人目の素数さん：2015/05/07(木) 13:56:38.90 ID:2Q25sLle.net
- 「無限個存在する」が、もし、
「十分大きな数Nを用意し、そのNに対応する点の配置法がある」なら、
N-1個を直線上に取り、『最後』の１個を直線外に取ることにより、完成させることができるだろう。
しかし、無限個に不相当な『最後』という言葉が使われているように、「無限個存在する」の意味は
この様なことでは無いはず。
「無限個存在する」を証明するためには、
「十分多くの数が存在しているところに、新たに、何度でも加えることができる」
という動的な意味が必要。
直線上にだけ点を配置する分には、いくらでも加えることが可能だけど、
一端、直線外に点を求めると、その点と直線の距離をaとすると、
その直線上の、-a^2/2～a^2/2 という範囲内にしか、点を求めることはできない。
精々、～a^2 回しか追加できない。つまり、有限回。
この意味で、「無限個存在する」は否定できているとおもうが。
- 905 ：１３２人目の素数さん：2015/05/07(木) 16:04:30.36 ID:V7lETSuQ.net
- 点間の距離が整数、つまり離散的ってことが重要なのかね
有理数だと例があるんだろか
- 906 ：１３２人目の素数さん：2015/05/07(木) 18:33:29.61 ID:zpDErsxr.net
- >>905
有理数でいいなら
>>901 の座標を全部Lで割れば
それが例になると思います
- 907 ：１３２人目の素数さん：2015/05/07(木) 19:38:46.71 ID:04I/B1WS.net
- 無限という語の意味について後付の解説を始めた時点で
元の問題の表現が曖昧だったと証明されたということが
理解できていないのだろうか
本当に分かっているなら素直に不備を認めて
出題意図に沿った表現に改めるだけの話だろう
- 908 ：１３２人目の素数さん：2015/05/07(木) 20:21:59.06 ID:yTPwzRkT.net
- お前が理解できないだけ
- 909 ：１３２人目の素数さん：2015/05/07(木) 20:27:12.52 ID:t9xczrar.net
- いつまでもつまらねー問題といてんじゃねーよ
- 910 ：１３２人目の素数さん：2015/05/07(木) 20:46:21.93 ID:yTPwzRkT.net
- http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/1686_m8.htm
- 911 ：１３２人目の素数さん：2015/05/07(木) 20:53:35.55 ID:LtAnJ1ty.net
- >>904
なんでaが整数だっていえるの？
- 912 ：１３２人目の素数さん：2015/05/07(木) 22:46:18.59 ID:zpDErsxr.net
- >>910
なるほど、エルデシュの名前を冠した定理なのか。
それにしても、佐藤郁郎氏のサイトは何でもよく集めてるなー
- 913 ：１３２人目の素数さん：2015/05/07(木) 23:45:29.44 ID:0/7iUFdB.net
- >>910
鮮やかな証明だ。感激した。
- 914 ：１３２人目の素数さん：2015/05/09(土) 05:43:03.75 ID:2Ji3jztR.net
- f : R→R
∀x, ∀y ∈R , f(f(x)+y) = 2x + f(f(f(y))-x)
- 915 ：１３２人目の素数さん：2015/05/09(土) 13:34:50.36 ID:p3UoDKP0.net
- >>914
fを求める問題？
- 916 ：１３２人目の素数さん：2015/05/09(土) 14:24:47.79 ID:thUnZu1m.net
- 解の１つがf(x)=xなのはわかった
- 917 ：１３２人目の素数さん：2015/05/09(土) 18:33:22.73 ID:2Ji3jztR.net
- こういう関数方程式の問題のお決まりの解法ってなんだろうな
- 918 ：１３２人目の素数さん：2015/05/10(日) 16:02:40.40 ID:CIiswLGB.net
- >>914
2003 春合宿なら
f(f(x)+y) = 2x + f(f(y)-x)
だけど、それとは別の問題？
- 919 ：１３２人目の素数さん：2015/05/10(日) 16:31:57.91 ID:3rqDb3p4.net
- >>918
別。
- 920 ：１３２人目の素数さん：2015/05/10(日) 18:48:38.37 ID:CIiswLGB.net
- >>914
与式においてy=-f(x)として
f(0)=2x+f(f(f(-f(x)))-x)
この左辺は定数で, xは実数全体を動くのでfは全射.
a,b∈R, f(a)=f(b)とする. 与式においてy=a, bとして
f(f(x)+a)=f(f(x)+b)
fは全射よりf(x)は任意の実数値をとりうるのでfは周期b-aをもつ.
また, 与式においてx=a, bとして
2a+f(f(f(y))-a)=2b+f(f(f(y))-b)
f(f(y))-a-{f(f(y))-b)}=b-aとfの周期性よりf(f(f(y))-a)=f(f(f(y))-b)なので
a=b よってfは単射.
与式においてx=y=0として
f(f(0))=f(f(f(0))) fは単射なのでf(0)=0
∀c∈R, 与式においてx=-c, y=0として
f(f(-c))=-2c+f(c)・・・①
また, 与式においてx=0, y=-cとして
f(-c)=f(f(f(-c)))
fは単射なので-c=f(f(-c))・・・②
①, ②より-2c+f(c)=-c
よってf(c)=c
逆にf(x)=xは与式を満たす. □
- 921 ：１３２人目の素数さん：2015/05/10(日) 19:17:28.97 ID:WPPJSoaI.net
- へー（´・ω・｀）
- 922 ：１３２人目の素数さん：2015/05/10(日) 19:38:46.25 ID:CIiswLGB.net
- 以下の条件(i), (ii)をともに満たす集合Sが存在するような正の整数nをすべて決定せよ：
条件(i)：Sは相異なるn個の正の整数からなる
(ii)：Sの任意の空でない部分集合Aに対して, Aの要素の総和は累乗数でない
- 923 ：１３２人目の素数さん：2015/05/11(月) 12:05:04.54 ID:JOB5mkPY.net
- Wikipedia「累乗数」の
＞累乗数を小さいほうからa_1=1, a_2=4, ...と並べるとき、a_{i+1}-a_iはiと共に無限大に発散すると予想されている
という予想が正しいならば、
数学的帰納法により任意の自然数nについて条件を満たす集合Sが存在することが示せるので
答えは「全ての自然数」
（その予想を使わずに示せるかどうかは知らん）
n個の要素からなる条件を満たすSに対し、その要素の総和をMとする
a_{i+1}-a_i≧M+2となるようなa_iを選び、
Sにa_i +1を追加した集合S'を作ると、S'も条件を満たす
- 924 ：１３２人目の素数さん：2015/05/12(火) 01:00:00.40 ID:5Kxo+n16.net
- >>923
もっとずっと初等的に解ける
- 925 ：１３２人目の素数さん：2015/05/12(火) 01:21:14.84 ID:1aK7nWo1.net
- そのページに書いてある「ゴールドバッハの定理」を使えば同じ証明が通用するじゃん
- 926 ：１３２人目の素数さん：2015/05/12(火) 03:28:34.59 ID:s0mVYDPm.net
- x, y, z は自然数で x≦y≦z のとき、x^y + y^z = z^x の解
- 927 ：１３２人目の素数さん：2015/05/12(火) 05:22:20.55 ID:5Kxo+n16.net
- f(x)=(logx)/xがx≧3で単調減少であること(微分で容易に証明可)と
y^z<x^y+y^z=z^x≦z^y よりy≦2
y=1のときは(x,y,z)=(1,1,2)
y=2のときはf(2)=f(4)よりz≦4 順に調べて解なし
- 928 ：１３２人目の素数さん：2015/05/12(火) 05:34:40.23 ID:5Kxo+n16.net
- >>925
もっと具体的に教えて
- 929 ：１３２人目の素数さん：2015/05/12(火) 06:11:02.69 ID:I13rWrE/.net
- >>922
任意のnに対して
n(n+1)/2 < p をみたす十分大きい素数pをとり
S={p,2p,...,np} とする
- 930 ：１３２人目の素数さん：2015/05/12(火) 11:59:59.78 ID:3BlB8DxD.net
- ａ（１）＝ｐ（１）。
ａ（ｎ）＝ａ（ｎ－１）ｐ（ｎ－１）ｐ（ｎ）。
- 931 ：１３２人目の素数さん：2015/05/12(火) 17:01:29.43 ID:5Kxo+n16.net
- >>929 >>930
正解
- 932 ：１３２人目の素数さん：2015/05/12(火) 17:11:21.06 ID:5Kxo+n16.net
- 正の整数の組(a, b, c)であって,
a/b+b/c+c/a と a/c+c/b+b/a がともに整数であるようなものをすべて求めよ.
- 933 ：１３２人目の素数さん：2015/05/13(水) 01:19:18.79 ID:8q0tyZQK.net
- >>932
a=b=c（aは任意の正の整数）
しかないようですな
a,b,cのGCDをgとして、a=gA，b=gB、c=gCとおくと
A/B+B/C+C/A=m, A/C+C/B+B/A=n（m,nは整数）
これを変形して
BC^2=A(mBC-CA-B^2)
CB^2=A(nBC-AB-C^2)
これから、Aの素因数の１つpが、Aの素因数分解の中でp^iの形で現れるとすると
・pはB,Cのいずれかの素因数であるが、両方ではない。
・pがBの素因数であり、Bの素因数分解の中でp^jの形で現れるとき、j≧i
・pがCの素因数であり、Cの素因数分解の中でp^jの形で現れるとき、j≧i
となり、同様の議論を繰り返すと結局
A=yz, B=zx, C=xy（ただし、xとy，yとz，zとxはそれぞれ互いに素）となる。
これを元の式に代入して整理すると
y/x+z/y+x/z=m，z/x+y/z+x/y=nとなり
また同様の変形をすると、pがxの素因数ならばpはyまたはzの素因数となるが、これは
互いに素であることと矛盾するので、xには素因数は存在しないことになり、
結局x=y=z=1
よって、A=B=C=1，a=b=c=g
- 934 ：１３２人目の素数さん：2015/05/13(水) 03:37:29.99 ID:si3QnkKj.net
- >>932
(x-a/b)(x-b/c)(x-c/a)は整数係数モニック多項式なのでa/b,b/c,c/aは整数すなわちa=b=c
- 935 ：１３２人目の素数さん：2015/05/13(水) 10:49:10.41 ID:86nDKUeq.net
- (n+1)!/(2^n-1)が3で割り切れない整数となるような正の整数nを全て求めよ
- 936 ：１３２人目の素数さん：2015/05/13(水) 11:42:55.67 ID:M1de1A4J.net
- >>934
しゅごい
- 937 ：１３２人目の素数さん：2015/05/13(水) 12:38:42.03 ID:ZwfUsv0M.net
- >>935
それが人に物を頼む態度か！ああ！？
- 938 ：１３２人目の素数さん：2015/05/13(水) 14:47:35.70 ID:86nDKUeq.net
- >>937
誠に申し訳ございませんが、(n+1)!/(2^n-1)が3で割り切れない整数となるような正の整数nを全て求めて頂けないでしょうか。 無礼な依頼であることは承知ですが、ご検討頂ければ幸いです。何卒宜しくお願い申し上げます。
- 939 ：１３２人目の素数さん：2015/05/14(木) 14:09:30.58 ID:7tSBb3jJ.net
- むずかしいからダメ
- 940 ：１３２人目の素数さん：2015/05/14(木) 17:01:35.76 ID:ACZwxwZd.net
- nが3でちょうどm回割り切れるとして条件からm(またはn)の不等式を作り、それが十分大きいnで成り立たないことを示す
- 941 ：１３２人目の素数さん：2015/05/14(木) 21:08:53.78 ID:bIHfcpAN.net
- n=2,4
- 942 ：１３２人目の素数さん：2015/05/14(木) 21:20:28.14 ID:qYPony3p.net
- n=1 も追加
- 943 ：１３２人目の素数さん：2015/05/15(金) 08:08:07.92 ID:06V0dwp2.net
- ヒント
2以上の整数kに対して、kを素因数分解したときの3の指数をord kと書くことにする。nが条件を満たすとき
１．ord(2^n-1)=ord n +1 を示す
２．ord(n+1)! の考察によりn≧9においてn≦3ord n +1 を示す
３．n≧9において(n+1)!<2^(2^((n+1)/2)) を示す
- 944 ：１３２人目の素数さん：2015/05/15(金) 08:45:47.10 ID:06V0dwp2.net
- >>943
無論n≧2で
- 945 ：１３２人目の素数さん：2015/05/15(金) 10:39:03.71 ID:RnqkudAI.net
- 次の2条件をみたす f ： R^+ → R^+ を求めよ。R^+は正の実数の集合
(1) ∀x, ∀y ≧0 に対して、f(x)f(y) = f(xy) + f(y/x)
(2) 1<x<y ⇒ f(x)<f(y)
- 946 ：１３２人目の素数さん：2015/05/15(金) 11:05:43.38 ID:pEpb7hJG.net
- nを素因数分解した場合の3の指数をmとしたとき、4^n-1は3^(m+1)で割り切れる
- 947 ：１３２人目の素数さん：2015/05/15(金) 11:08:50.42 ID:RnqkudAI.net
- f ： R^+ → R^+
∀x, ∀y >0 に対して、f(f(x)+f(y)) = x+y
をみたすfを求めよ
- 948 ：１３２人目の素数さん：2015/05/15(金) 11:09:42.78 ID:RnqkudAI.net
- >>945 訂正
(1) ∀x, ∀y >0 に対して、f(x)f(y) = f(xy) + f(y/x)
- 949 ：１３２人目の素数さん：2015/05/15(金) 11:11:33.25 ID:hq3tcZyV.net
- R^+ の恒等写像だけはわかった。
- 950 ：１３２人目の素数さん：2015/05/15(金) 11:11:37.48 ID:RnqkudAI.net
- f ： R → R
∀x, ∀y ∈R に対して、f(x^2) + f(xy) = f(x)f(x+y)
をみたすfを求めよ
- 951 ：関数方程式：2015/05/15(金) 11:18:16.99 ID:RnqkudAI.net
- ゴチャゴチャしてきたので、まとめる。 R^+は正の実数の集合とする。
>>945
次の2条件をみたす f ： R^+ → R^+ を求めよ。
(1) ∀x, ∀y > 0 に対して、f(x)f(y) = f(xy) + f(y/x)
(2) 1<x<y ⇒ f(x)<f(y)
>>947
f ： R^+ → R^+
∀x, ∀y >0 に対して、f(f(x)+f(y)) = x+y
>>950
f ： R → R
∀x, ∀y ∈R に対して、f(x^2) + f(xy) = f(x)f(x+y)
>>951
f ： R → R
∀x, ∀y ∈R に対して、f(f(x)-y) + y・f(2x) = f(x^2 +y)
- 952 ：１３２人目の素数さん：2015/05/15(金) 16:47:53.10 ID:06V0dwp2.net
- >>947
∀a, b∈R^+ (a<b), ∃s,t,u∈R^+ s.t. b-a=s+t+u
与式にx=f(a)+f(s), y=f(t)+f(u)を代入して
f(b)=f(a)+f(s)+f(t)+f(u)>f(a)
よってfは狭義単調増加, とくに単射.
∀r∈R^+, 与式にx=y=f(r)+f(r)を代入して f(4r)=4f(r) …(ア)
また, f(f(r)+f(4r))=f(f(2r)+f(3r))=5r fは単射なので f(r)+f(4r)=f(2r)+f(3r) …(イ)
同様にf(r)+f(3r)=f(2r)+f(2r) …(ウ)
(ア),(イ),(ウ)よりf(2r)=2f(r) …(エ)
∀n∈N(n≧2), f(r)+f(nr)=f(2r)+f((n-1)r) これと(エ)より
f(nr)=f(r)+f((n-1)r) よって帰納的にf(nr)=nf(r)
これより∀p,q∈Z^+, pf(1)=f(p)=f(p/q・q)=qf(p/q) すなわちf(p/q)=(p/q)f(1) …(オ)
ここで, f(1)=tとおく.与式にx=y=1を代入して(エ)を用いることでf(t)=1
fは狭義単調増加なのでt=1 よって(オ)より∀r∈Q^+, f(r)=r
∃x∈R^+, x<f(x) と仮定すると∃r∈Q^+, x<r<f(x)
fは狭義単調増加なのでf(x)<f(r)=r これは矛盾.
∃x∈R^+, x>f(x) と仮定しても同様に矛盾.
よって∀x∈R^+, f(x)=x 逆にこれは与式を満たす.
- 953 ：１３２人目の素数さん：2015/05/15(金) 19:23:50.63 ID:06V0dwp2.net
- >>950
(i)f(1)=0のとき
与式にx=1を代入してf(y)=0 よって∀x∈R, f(x)=0 これは与式を満たす.
(ii)f(0)=2のとき
与式にx=0を代入してf(y)=2 よって∀x∈R, f(x)=2 これは与式を満たす.
(iii)f(1)≠0かつf(0)≠2のとき
与式にx=y=0を代入してf(0)(f(0)-2)=0 f(0)≠2よりf(0)=0
与式にx=1, y=0を代入してf(1)(f(1)-1)=0 f(1)≠0よりf(1)=1
∀n∈Z, 与式にx=1, y=nを代入して1+f(n)=f(n+1)
よって帰納的に∀n∈Z, f(n)=n
∀p∈Z, q∈N, 与式にx=q, y=p/q-qを代入してf(p/q)=p/q
よって∀r∈Q, f(r)=r
t∈R^+とする.
与式にx=√t, y=0を代入してf(t)=f(√t)^2≧0…(ア)
与式にx=√t, y=-√tを代入してf(-t)=-f(t)…(イ)
ここでf(t)=0と仮定すると, 与式にx=t, y=1/tを代入して
f(t^2)+f(1)=0 これと(ア)よりf(1)=0となって矛盾.よってf(t)>0…(ウ)
a,b∈R(0≦a<b)とする.
与式にx=√b, y=-a/√bを代入して(イ)より
f(b)-f(a)=f(√b)f((b-a)/√b)
√b>0, (b-a)/√b>0なので(ア), (ウ)よりf(√b)f((b-a)/√b)>0
よってf(a)<f(b) ゆえにfはx≧0で狭義単調増加.
>>952 と同様にして∀x∈R^+, f(x)=x これと(イ)より
∀x∈R, f(x)=x これは与式を満たす.
以上より, 求めるfは f(x)=0, f(x)=2, f(x)=x
- 954 ：１３２人目の素数さん：2015/05/15(金) 21:09:45.92 ID:06V0dwp2.net
- >>951
t∈Rとする.
与式にx=t, y=-t^2を代入して f(f(t)+t^2)-t^2f(2t)=f(0)
与式にx=t, y=f(t)を代入して f(0)+f(t)f(2t)=f(f(t)+t^2)
これらよりf(2t)(f(t)-t^2)=0 よって∀t∈R, f(2t)=0 またはf(t)=t^2…(☆)
∀t∈R, f(2t)=0 のとき
f(x)=0 これは与式を満たす.
∀t∈R, f(t)=t^2 のとき
f(x)=x^2 これは与式を満たす.
∃a,b∈R (a,b≠0), f(2a)=0 かつ f(b)=b^2 のとき
与式にx=a, y=f(a)-bを代入して
b^2=f(a^2-b+f(a))
b≠0よりa^2-b+f(a)=bまたは－b
a^2-b+f(a)=bのとき, a^2+f(a)=2bより, bとしてありうる値は高々1つなので
∀x∈R(x≠0, x≠b), f(x)=-x^2+2b これは(☆)に矛盾.
a^2-b+f(a)=－bのとき,a^2+f(a)=0
(☆)よりf(a)≧0なのでa=0となり矛盾.
以上より求めるfは f(x)=0, f(x)=x^2
- 955 ：１３２人目の素数さん：2015/05/15(金) 22:53:50.39 ID:06V0dwp2.net
- >>945
(x,y)=(1,1),(2,2),(√2,2),(√2,2√2)をそれぞれ代入してあれこれいじるとf(2)>2が示される
あとは2004 春合宿 と本質的に同じ
解答は黄色い本に書いてある
- 956 ：１３２人目の素数さん：2015/05/15(金) 22:58:32.97 ID:xZK5Qx9q.net
- f(2)>f(1)=2 はあれこれするまでもないが
- 957 ：１３２人目の素数さん：2015/05/15(金) 23:34:07.43 ID:RnqkudAI.net
- >>955
黄色い本って何ですか？
- 958 ：１３２人目の素数さん：2015/05/16(土) 08:43:26.07 ID:pViSrwFE.net
- >>956
(2)の条件の1<xに意地悪く等号がついてない(春合宿と違う所)からあれこれしなきゃならない
- 959 ：１３２人目の素数さん：2015/05/16(土) 08:45:16.24 ID:pViSrwFE.net
- >>957
大きめの本屋の数学コーナーに行ったら一際目立つ真っ黄色な本があるからそれ
- 960 ：１３２人目の素数さん：2015/05/16(土) 08:54:59.19 ID:Vp+m9OwM.net
- >>959
数学書で黄色い本と言ったら、サイエンス社の演習書しか思いつかないなぁ
- 961 ：１３２人目の素数さん：2015/05/16(土) 09:04:50.91 ID:pViSrwFE.net
- http://www.asakura.co.jp/G_12.php?isbn=ISBN978-4-254-11132-3
- 962 ：１３２人目の素数さん：2015/05/16(土) 09:06:34.65 ID:QCuUaG62.net
- >>958
確かにそうだな、勝手にx=1での連続性を移入してたわｗｗｗ
- 963 ：１３２人目の素数さん：2015/05/16(土) 09:18:36.31 ID:Vp+m9OwM.net
- >>961は
おー、こんな本があったのか。さんくそ。
- 964 ：１３２人目の素数さん：2015/05/16(土) 09:22:05.86 ID:Vp+m9OwM.net
- >>572
リンクを色々みたが、AM-GMを用いた証明が分かりません。
- 965 ：１３２人目の素数さん：2015/05/16(土) 13:11:58.30 ID:Y5sGel31.net
- >>745
(3) f(x)=(x^2+x+1)^n （n:自然数）
複素数 a を f(x)=0 の解とすると、f(a)=0 より f(a^2)=0
よって a, a^2, a^4, a^8,・・・ はすべて f(x)=0 の解となるが
f(x)=0 の解は有限個なので |a|=1 または a=0
a=0が解なら、f(4)=f(1)f(2)=f(0)f(1)f(2)=0 より
a=4 も解となるが、|a|=1 に矛盾
また、f((x+1)^2)=f(x)f(x+1)より、f(a)=0なら f((a+1)^2)=0
よって(a+1)^2も解となるので、|a+1|=1
以上よりf(x)=0の複素数解は |a|=|a+1|=1をみたすので
a=ω,ω^2 (1の3乗根)の２つしかない
以上よりf(x)は k(x^2+x+1)^n (kは定数) とかける
逆にk=1とすれば、与えられた条件式をみたす
- 966 ：１３２人目の素数さん：2015/05/16(土) 13:27:14.45 ID:Y5sGel31.net
- >>745
(2) f(x)=x^n
f(x) = a(n)・x^n + a(n-1)・x^(n-1) + ・・・ + a(1)・x + a(0)
とおいて係数比較すると、a(n)=1, a(n-1)= ・・・ =a(0)=0 となる
(4) f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)(x-7)
x=8を代入して、f(7)=0 x=0を代入して、f(0)=0
x≠0,8のとき f(x-1)=0 ⇔ f(x)=0
f(x)=0の解は有限個しかないので x=0,1,2,3,4,5,6,7 のみ
- 967 ：１３２人目の素数さん：2015/05/16(土) 13:31:46.45 ID:Y5sGel31.net
- >>966 訂正
(4) f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)(x-7)
- 968 ：１３２人目の素数さん：2015/05/16(土) 13:39:15.31 ID:u6Mc3ZNf.net
- おもすれー！
- 969 ：１３２人目の素数さん：2015/05/16(土) 15:13:04.35 ID:Vp+m9OwM.net
- また一人数学沼に引きずり込まれようだ。今回の餌食は関数方程式の沼
_
/）/ﾉ,> す 嵌
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- 970 ：１３２人目の素数さん：2015/05/16(土) 15:18:15.87 ID:pViSrwFE.net
- (n+1)^k=n!+1 を満たす正の整数n,kを全て求めよ
- 971 ：１３２人目の素数さん：2015/05/16(土) 18:46:22.31 ID:MyWjm7uV.net
- nCk=m^l を満たす自然数の組(n,k,m,l)を全て求めよ
（ここでnCkは二項係数）
- 972 ：１３２人目の素数さん：2015/05/17(日) 22:10:16.82 ID:rkDPdzLp.net
- >>970
n>4のときn!+1は奇数→n+1は奇数→nは偶数
2<n/2<nよりn!は2・n/2・n=n^2の倍数
両辺をmod n^2でみて(二項定理より)n|k
よってn≦k
n^n<(左辺)=(右辺)<n^n+1より不適
n≦4のとき(n,k)=(1,1),(2,1),(4,2)
- 973 ：１３２人目の素数さん：2015/05/17(日) 23:31:58.77 ID:inO97hsW.net
- 俺にも性奴隷をまわしてくれ
ナマポも頼むわ
- 974 ：１３２人目の素数さん：2015/05/18(月) 16:28:56.68 ID:hoxK9OGH.net
- 四角形ABCDはAB=CD、∠ABC=132°、∠CAD=24°、∠ADC=102°をみたす。このとき、∠BCAを求めよ。
ただし、初等幾何で解くとほうびがもらえるとする。
- 975 ：１３２人目の素数さん：2015/05/18(月) 17:27:06.05 ID:BC+ZL+kX.net
- >>974
正弦定理を使って解いて、18°
初等幾何による解法に期待。
- 976 ：１３２人目の素数さん：2015/05/18(月) 17:35:24.75 ID:sEoGZx57.net
- また正五角形が出てくるのか？
- 977 ：１３２人目の素数さん：2015/05/19(火) 02:44:18.75 ID:2VXN+23x.net
- >>974
凸六角形PQRSTUであって、△PQUが正三角形、五角形QRSTUが正五角形であるものを考えると、四角形PQST∽四角形ABCDが簡単な角度の計算でわかる。
よって、∠BCA=∠QSP=18°
- 978 ：１３２人目の素数さん：2015/05/19(火) 03:31:24.81 ID:pliD+kpe.net
- >>977
やられた。
>>974
汚い補助線引きまくりの方法を概略のみ。
最初は△DACのみに着目する。
△DACの外心をEとし、AEを一辺とする正三角形FAEをAEから見てDと同じ側に作ると、
Eを中心とする円周上にA,F,D,Cがこの順にあり、
∠AEF=60°、∠FED=∠DEC=48°という状況ができるので
円周角と中心角の関係からいろんな角度がわかる。
次に∠GEA=∠EAG=6°の二等辺三角形GEAをAEから見てDと逆側に作ると、
∠AGE+∠ECA=180°よりA,G,E,Cは共円。
∠FGC=∠CFG=72°よりCF=CG
Aを通りFGと平行な直線と直線DFとの交点をHとすると、
∠AGF=∠GFH=84°より、四角形AGFHはAH//GF，AG=HFの等脚台形となり、
△FHC≡△GAC
あとは、CH=AC、CD=AB、∠CHD=132°=∠ABCより、△CDH≡△ABCとなり、
∠BCA=∠DHC=∠GAC=18°
- 979 ：１３２人目の素数さん：2015/05/19(火) 16:22:22.52 ID:2VXN+23x.net
- 2015個の相異なる正の整数であって, それらの和が平方数, 積が立方数であるようなものが存在することを示せ.
- 980 ：１３２人目の素数さん：2015/05/19(火) 18:41:49.38 ID:suW/IKzl.net
- >>979
2,8,54,64,128,...,2^2017
- 981 ：１３２人目の素数さん：2015/05/19(火) 18:51:09.37 ID:XKcvxMhG.net
- >>979
1^3, 2^3, ……, 2015^3
- 982 ：１３２人目の素数さん：2015/05/20(水) 02:23:09.56 ID:1Uhc0RBr.net
- 2015個の相異なる正の整数であって, それらの和が立方数, 積が平方数であるようなものが存在することを示せ.
- 983 ：１３２人目の素数さん：2015/05/20(水) 14:11:59.84 ID:ztZEQGaJ.net
- >>982
たとえば
11,13,15,…,2019,2021←1006個
18,22,26,30,…,4038,4042←1007個
ここまでの全ての和をSとし、十分大きい数Nをとって
あと２個を
(27N^3-S)/3と、2(27N^3-S)/3
とすればよい。
- 984 ：１３２人目の素数さん：2015/05/20(水) 14:23:25.27 ID:ztZEQGaJ.net
- まあ、十分に大きい数Nを使えば
a(i) = i（i=1,…,2012）
a(2013) = 3*4*5*6*…*2012
S=a(1)+a(2)+…+a(2012)
a(2014)=(27N^3-S)/3
a(2015)=2(27N^3-S)/3
とかでもいいわな
- 985 ：１３２人目の素数さん：2015/05/20(水) 14:54:06.48 ID:ztZEQGaJ.net
- 1,3,5,7,
11,13,15,17,19,21,…,2013,
2,6,10,14,18,22,…,4026,
44795,89590
- 986 ：１３２人目の素数さん：2015/05/20(水) 15:09:52.03 ID:1Uhc0RBr.net
- S=1^2+2^2+・・・+2015^2 とおいて
S^2, (2S)^2, ... , (2015S)^2
- 987 ：１３２人目の素数さん：2015/05/20(水) 15:17:54.14 ID:1Uhc0RBr.net
- 任意の正の整数nに対して,
Πcos(kπ/(2n+1))=1/(2^n)
が成り立つことを示せ.
ただし積はk=1,2,...,nについてとる.
- 988 ：１３２人目の素数さん：2015/05/20(水) 16:05:01.63 ID:BZe1cI9J.net
- >>982
16, 3・4^2, 3・4^3, ..., 3・4^2014, 3・4^2015
和：4^2016=(4^672)^3
積：(3^2014)・(4^2031121)=((3^1007)・(2^2031121))^2
- 989 ：１３２人目の素数さん：2015/05/20(水) 17:58:58.23 ID:BZe1cI9J.net
- >>987
cos(kπ/(2n+1)) = －cos((2n+1－k)π/(2n+1)) k=1,2,...,n
より、Π[k=1～n]cos(kπ/(2n+1)) = (－1)^n・Π[k=n+1～2n]cos(kπ/(2n+1))
Π[k=1～n]cos(kπ/(2n+1)) = P とおくと、
P^2 = (－1)^n・Π[k=1～2n]cos(kπ/(2n+1)) となる
以下、積と和は k=1,2,...,2n について取る
P^2 = (－1)^n・2^(－2n)・Π(exp(ikπ/(2n+1)) + exp(－ikπ/(2n+1)))
= (－1)^n・2^(－2n)・expΣ(－ikπ/(2n+1))・Π(exp(2ikπ/(2n+1)) + 1)
= (－1)^n・2^(－2n)・exp(－inπ)・Π(exp(i2kπ/(2n+1)) + 1)
= 2^(－2n)・Π(exp(i2kπ/(2n+1)) + 1) ・・・(※)
ここで、f(x) = x^(2n+1) － 1 とおくと、f(x) = (x－1)・Π(x － exp(ikπ/(2n+1)))
f(－x) = －(x+1)・Π(x + exp(ikπ/(2n+1)))
f(x)f(－x) = －(x^2－1)・Π(x^2 － exp(2ikπ/(2n+1)))
x=i を代入すると、
f(i)f(－i) = (i^(2n+1)－1)(－i^(2n+1)－1) = －(－1－1) = 2
= 2・Π(－1 － exp(2ikπ/(2n+1))) = 2・Π(exp(i2kπ/(2n+1)) + 1)
よって、Π(exp(i2kπ/(2n+1)) + 1) = 1
(※)より、P^2 = 2^(－2n) P > 0 より P = 1/(2^n)
- 990 ：１３２人目の素数さん：2015/05/20(水) 20:12:26.84 ID:cSxGMp8Z.net
- 倍角公式使えば5行くらいで示せるよ
- 991 ：１３２人目の素数さん：2015/05/20(水) 20:40:09.85 ID:DEcziQZO.net
- 嘘を証明してしまうとは
- 992 ：１３２人目の素数さん：2015/05/20(水) 21:04:31.23 ID:34ydGlLu.net
- >>982
1,3,12,16,32,...,2^2015
>>979かつ>>982
64,128,288,1024,2592,4096,8192,...,2^2021
- 993 ：１３２人目の素数さん：2015/05/20(水) 23:32:15.56 ID:/8iBr8Zz.net
- >>991
問題が間違っているってこと？
- 994 ：１３２人目の素数さん：2015/05/21(木) 01:06:21.42 ID:rY9i59H1.net
- 【解答】
sin(kπ/(2n+1))=sin((2n+1-k)π/(2n+1))をkが奇数のときに適用して、
Πsin(kπ/(2n+1))
=Πsin(2kπ/(2n+1))
=2^nΠsin(kπ/(2n+1))Πcos(kπ/(2n+1)) (∵倍角公式)
Πsin(kπ/(2n+1))≠0よりΠcos(kπ/(2n+1))=1/(2^n)
- 995 ：１３２人目の素数さん：2015/05/21(木) 02:47:17.04 ID:4qvmnIFl.net
- http://manjitoushikeiba.blog.fc2.com/blog-entry-69.html?sp
これの2着率って、この条件じゃ出せない筈だよな？
- 996 ：１３２人目の素数さん：2015/05/21(木) 13:48:56.13 ID:rY9i59H1.net
- 立方体をある平面で切断したとき、切断面は正五角形になりえないことを示せ。
- 997 ：１３２人目の素数さん：2015/05/21(木) 13:58:55.02 ID:tDYp4Jaj.net
- 994さんの質問の答えわかりません
なぜ僕は示せないんでしょう？ 示せる人は賢いんですか？
- 998 ：１３２人目の素数さん：2015/05/21(木) 14:17:42.91 ID:ASW65NaJ.net
- 座標で書けば一発ちゃう？
- 999 ：１３２人目の素数さん：2015/05/21(木) 19:20:37.22 ID:Zw/UOBUU.net
- >>996
実在するどんな立方体を切断したとしても、原子レベルでは正五角形にはなりえない
はい論破
- 1000 ：１３２人目の素数さん：2015/05/21(木) 19:34:25.61 ID:4jbcQn4x.net
- まるで立方体は実在するかのような主張
笑いのセンスだけでなく注意力までないとは…
- 1001 ：１３２人目の素数さん：2015/05/21(木) 21:01:23.62 ID:c6nn8WA7.net
- >>1000
こいつ最高にアホ！
- 1002 ：１３２人目の素数さん：2015/05/21(木) 21:22:10.84 ID:yENOyrzH.net
- あほ
- 1003 ：2ch.net投稿限界：Over 1000 Thread
- 2ch.netからのレス数が1000に到達しました。
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